Bac matematică M1 mate-info 2025, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră numerele complexe

\displaystyle z_1 = 1 - i

și

\displaystyle z_2 = 2 + i

. Arătați că

\displaystyle 2z_1 + iz_2 = 1

.

Vezi rezolvarea

Se scriu numerele complexe date în enunț.
$\displaystyle z_1 = 1 - i$ , $\displaystyle \ z_2 = 2 + i$
Se calculează termenul $\displaystyle 2z_{1}$ prin înmulțirea lui $\displaystyle z_{1}$ cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2z_1 = 2(1-i) = 2 - 2i$
Se calculează termenul $\displaystyle iz_{2}$ prin înmulțirea lui $\displaystyle z_{2}$ cu $\displaystyle i$ , distribuind $\displaystyle i$ .
$\displaystyle iz_2 = i(2+i) = 2i + i^2$
Se înlocuiesc numerele complexe în expresia $\displaystyle 2z_{1} + iz_{2}$ și se scrie suma celor două produse dezvoltate, obținând expresia intermediară cu $\displaystyle i^{2}$ .
$\displaystyle 2z_1 + iz_2 = 2(1-i) + i(2+i) = 2 - 2i + 2i + i^2 =$
Se reduc termenii $\displaystyle -2i$ și $\displaystyle 2i$ , care se anulează reciproc, rămânând doar $\displaystyle 2 + i^{2}$ .
$\displaystyle 2 - 2i + 2i + i^2 = 2 + i^2$
Se folosește proprietatea unității imaginare, $\displaystyle i^{2} = -1$ , și se efectuează scăderea finală pentru a obține rezultatul cerut.
$\displaystyle = 2 - 1 = 1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = x + 3

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle (f \circ f)(a) = 9

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției $\displaystyle f$ aplicate în punctul $\displaystyle a$ , conform definiției $\displaystyle f(x) = x + 3$ .
$\displaystyle f(a) = a+3$
Se calculează compunerea $\displaystyle (f\circ f)(a) = f(f(a))$ , înlocuind $\displaystyle f(a)$ în expresia lui $\displaystyle f$ și simplificând, pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f(a) = a+3$ , $\displaystyle \ (f \circ f)(a) = f(a+3) = (a+3)+3 = a+6\text{, pentru orice număr real }a$
Se pune condiția din enunț, $\displaystyle (f\circ f)(a) = 9$ , folosind expresia obținută anterior, și se rezolvă ecuația de gradul I în $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a+6 = 9\text{, de unde obținem }a = 3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{2x^2 - 3x + 2} = x

.

Vezi rezolvarea

Se stabilește condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă. Calculăm discriminantul trinomului $\displaystyle 2x^{2}-3x+2$ , care este negativ, deci expresia este strict pozitivă pentru orice $\displaystyle x$ real, condiția fiind automat îndeplinită.
$\displaystyle \Delta = 9-16=-7<0\Rightarrow 2x^2-3x+2>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Deoarece membrul stâng este un radical (deci nenegativ), pentru ca egalitatea să aibă sens este necesar ca și membrul drept să fie nenegativ, adică $\displaystyle x\geq 0$ . Această condiție trebuie verificată la final pentru soluțiile obținute.
$\displaystyle x\geq 0$
Se ridică ambii membri ai ecuației la pătrat pentru a elimina radicalul, obținându-se o ecuație polinomială. Se trec toți termenii într-o singură parte și se obține ecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle 2x^2 - 3x + 2 = x^2\text{, de unde obținem }x^2 - 3x + 2 = 0$
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, folosind formula discriminantului.
$\displaystyle \Delta = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = 9-8=1$ , $\displaystyle \quad x_{1,2}=\dfrac{3\pm 1}{2}$
Se calculează cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea.
$\displaystyle x_1=\dfrac{3+1}{2}=2$ , $\displaystyle \quad x_2=\dfrac{3-1}{2}=1$
Se verifică soluțiile obținute în ecuația inițială, ținând cont și de condiția $\displaystyle x\geq 0$ . Ambele soluții sunt nenegative, deci se verifică prin înlocuire în ecuația cu radical: pentru $\displaystyle x=1$ , sub radical avem $\displaystyle 2-3+2=1$ , iar radicalul este $\displaystyle 1$ , egal cu $\displaystyle x$ ; pentru $\displaystyle x=2$ , sub radical avem $\displaystyle 8-6+2=4$ , iar radicalul este $\displaystyle 2$ , egal cu $\displaystyle x$ . Ambele soluții convin.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=2\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului

\displaystyle 2^6

.

Vezi rezolvarea

Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre, adică numerele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ .
$\displaystyle \{10,11,12,\ldots,99\}$
Se numără câte elemente are această mulțime, adică numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 99-10+1=90\text{ cazuri posibile}$
Se calculează valoarea numărului dat, $\displaystyle 2^{6}$ .
$\displaystyle 2^6=64$
Se determină toți divizorii naturali ai numărului 64, scriindu-l ca putere a lui 2.
$\displaystyle 64=2^6\Rightarrow\text{divizorii sunt }1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 8$ , $\displaystyle 16$ , $\displaystyle 32$ , $\displaystyle 64$
Se selectează dintre divizorii găsiți doar cei care au două cifre.
$\displaystyle \{16,32,64\}\Rightarrow 3\text{ cazuri favorabile}$
Se aplică definiția probabilității ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi se simplifică fracția.
$\displaystyle p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,1)

,

\displaystyle B(5,0)

,

\displaystyle C(6,3)

și

\displaystyle D(a,b)

, unde

\displaystyle a

și

\displaystyle b

sunt numere reale. Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

, știind că segmentele

\displaystyle AC

și

\displaystyle BD

au același mijloc.

Vezi rezolvarea

Se reamintește formula de calcul a coordonatelor mijlocului unui segment determinat de două puncte.
$\displaystyle M_{XY}\left(\frac{x_X+x_Y}{2}, \frac{y_X+y_Y}{2}\right)$
Se calculează coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle AC$ , folosind $\displaystyle A(0,1)$ și $\displaystyle C(6,3)$ , și se scriu coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle BD$ , folosind $\displaystyle B(5,0)$ și $\displaystyle D(a,b)$ .
$\displaystyle M_{AC}(3,2)\text{ și }M_{BD}\left(\frac{5+a}{2}, \frac{b}{2}\right)$
Se pune condiția ca cele două mijloace să coincidă, obținându-se un sistem format din egalarea abscisei și egalarea ordonatei.
$\displaystyle \frac{5+a}{2}=3\text{ și }\frac{b}{2}=2$
Se rezolvă cele două ecuații simple obținute, determinând valorile lui $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle 5+a=6\Rightarrow a=1\text{ și }b=2\cdot 2=4$
Se scrie răspunsul final pentru valorile determinate ale numerelor $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle a=1\text{ și }b=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB = 2

și

\displaystyle \operatorname{tg} B = 3

. Arătați că

\displaystyle BC = 2\sqrt{10}

.

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ cu unghiul drept în $\displaystyle A$ , cateta opusă unghiului $\displaystyle B$ este $\displaystyle AC$ , iar cateta alăturată este $\displaystyle AB$ . Scriem tangenta: $\displaystyle \operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB}$ .
$\displaystyle \operatorname{tg} B = \frac{AC}{AB}$
Înlocuim $\displaystyle \operatorname{tg} B = 3$ și $\displaystyle AB = 2$ , deci $\displaystyle 3 = \dfrac{AC}{2}$ . Rezultă $\displaystyle AC = 3 \cdot 2$ .
$\displaystyle AC = 3 \cdot 2 = 6$
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul $\displaystyle ABC$ , cu ipotenuza $\displaystyle BC$ : $\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2$ . Înlocuim $\displaystyle AB = 2$ și $\displaystyle AC = 6$ .
$\displaystyle BC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$
Cum $\displaystyle BC > 0$ , avem $\displaystyle BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1)) = 8

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ în matricea $\displaystyle A(x)$ : $\displaystyle 2-3\cdot 1=-1$ , elementul $\displaystyle x$ devine $\displaystyle 1$ , $\displaystyle -9\cdot 1=-9$ , iar $\displaystyle 2+3\cdot 1=5$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(1)$ și aplicăm regula triunghiului (sau regula lui Sarrus): adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{vmatrix}$
Calculăm termenii: produsul de pe diagonala principală este $\displaystyle (-1)\cdot 2\cdot 5=-10$ ; ceilalți doi termeni cu plus conțin factorul $\displaystyle 0$ , deci sunt $\displaystyle 0$ . Pe diagonala secundară produsul este $\displaystyle 1\cdot 2\cdot(-9)=-18$ și se scade, deci contribuie cu $\displaystyle +18$ ; ceilalți doi termeni cu minus conțin factorul $\displaystyle 0$ . Rezultatul este $\displaystyle -10+18=8$ .
$\displaystyle \det(A(1))=-10+0+0+18-0-0=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(x) \cdot A(y) = 2A(x+y)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Se scrie produsul $\displaystyle A(x)\cdot A(y)$ ca produs de matrice 3x3, pregătind calculul fiecărui element prin înmulțirea liniilor lui $\displaystyle A(x)$ cu coloanele lui $\displaystyle A(y)$ .
$\displaystyle A(x)\cdot A(y) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2-3y & 0 & y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9y & 0 & 2+3y \end{pmatrix}$
Se calculează elementul de pe linia 1, coloana 1: $\displaystyle (2-3x)(2-3y) + 0\cdot 0 + x\cdot(-9y) = 4-6y-6x+9xy-9xy = 4-6x-6y$ .
$\displaystyle (2-3x)(2-3y) + x\cdot(-9y) = 4-6x-6y+9xy-9xy = 4-6x-6y$
Se calculează elementul de pe linia 1, coloana 3: $\displaystyle (2-3x)\cdot y + 0 + x\cdot(2+3y) = 2y-3xy+2x+3xy = 2x+2y$ .
$\displaystyle (2-3x)\cdot y + x\cdot(2+3y) = 2y-3xy+2x+3xy = 2x+2y$
Se calculează elementul de pe linia 3, coloana 1: $\displaystyle -9x(2-3y) + 0 + (2+3x)(-9y) = -18x+27xy-18y-27xy = -18x-18y$ .
$\displaystyle -9x(2-3y) + (2+3x)(-9y) = -18x+27xy-18y-27xy = -18x-18y$
Se calculează elementul de pe linia 3, coloana 3: $\displaystyle -9x\cdot y + 0 + (2+3x)(2+3y) = -9xy+4+6y+6x+9xy = 4+6x+6y$ .
$\displaystyle -9x\cdot y + (2+3x)(2+3y) = -9xy+4+6y+6x+9xy = 4+6x+6y$
Elementele de pe pozițiile $\displaystyle (1,2)$ , $\displaystyle (2,1)$ , $\displaystyle (2,3)$ , $\displaystyle (3,2)$ sunt nule, iar elementul $\displaystyle (2,2)$ rămâne $\displaystyle 2\cdot 2 = 4$ (celelalte produse fiind cu $\displaystyle 0$ ). Se centralizează toate rezultatele obținute pentru a scrie matricea produs.
$\displaystyle A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 4-6x-6y & 0 & 2x+2y \\ 0 & 4 & 0 \\ -18x-18y & 0 & 4+6x+6y \end{pmatrix} =$
Se scoate factorul comun $\displaystyle 2$ din fiecare element al matricei obținute, pentru a pune în evidență forma $\displaystyle 2A(x+y)$ .
$\displaystyle = 2\begin{pmatrix} 2-3(x+y) & 0 & x+y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9(x+y) & 0 & 2+3(x+y) \end{pmatrix}$
Se recunoaște în matricea din paranteză exact matricea $\displaystyle A$ evaluată în $\displaystyle x+y$ , obținându-se astfel relația cerută, adevărată pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle = 2\begin{pmatrix} 2-3(x+y) & 0 & x+y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9(x+y) & 0 & 2+3(x+y) \end{pmatrix} = 2A(x+y)\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (A(x) + A(3x)) \cdot A(2x) = 4A(x^2)

.

Vezi rezolvarea

Descompunem matricea: $\displaystyle A(x)=2I_3+xB$ , unde $\displaystyle B=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -9 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(x)=2I_3+xB$
Calculăm $\displaystyle B^2$ . Prima linie: $\displaystyle (-3)(-3)+1\cdot(-9)=0$ și $\displaystyle (-3)\cdot 1+1\cdot 3=0$ . A treia linie: $\displaystyle (-9)(-3)+3\cdot(-9)=0$ și $\displaystyle (-9)\cdot 1+3\cdot 3=0$ . Linia a doua este nulă. Deci $\displaystyle B^2=O_3$ .
$\displaystyle B^2=O_3$
Calculăm suma $\displaystyle A(x)+A(3x)=4I_3+(x+3x)B=4I_3+4xB=2\left(2I_3+2xB\right)$ , adică $\displaystyle 2A(2x)$ .
$\displaystyle A(x)+A(3x)=2A(2x)$
Aflăm produsul $\displaystyle A(x)A(y)=(2I_3+xB)(2I_3+yB)=4I_3+2(x+y)B+xyB^2$ . Cum $\displaystyle B^2=O_3$ , rezultă $\displaystyle A(x)A(y)=4I_3+2(x+y)B=2A(x+y)$ .
$\displaystyle A(x)A(y)=2A(x+y)$
Înlocuim în produsul din enunț: $\displaystyle (A(x)+A(3x))\cdot A(2x)=2A(2x)\cdot A(2x)=2\cdot 2A(4x)=4A(4x)$ , pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle (A(x)+A(3x))\cdot A(2x)=4A(4x)$
Ecuația devine $\displaystyle 4A(4x)=4A(x^2)$ , adică $\displaystyle A(4x)=A(x^2)$ . Prin scădere, $\displaystyle (4x-x^2)B=O_3$ . Cum $\displaystyle B\neq O_3$ , rămâne $\displaystyle 4x=x^2$ .
$\displaystyle 4x=x^2$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle x^2-4x=0$ , adică $\displaystyle x(x-4)=0$ . Soluțiile sunt $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=4$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6

, unde

\displaystyle a

este număr real nenul.

Arătați că

\displaystyle f(1) = -3

, pentru orice număr real nenul

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Se identifică valoarea particulară $\displaystyle x = 1$ , în care se va evalua polinomul $\displaystyle f$ , pentru a analiza expresia $\displaystyle f(1)$ .
$\displaystyle f(x) = aX^3 + 3X^2 - aX - 6 \Rightarrow \text{ se calculează } f(1)$
Se înlocuiește $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ în expresia polinomului $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(1) = a \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - a \cdot 1 - 6 =$
Se calculează puterile lui $\displaystyle 1$ , care sunt egale cu $\displaystyle 1$ , simplificând expresia obținută.
$\displaystyle = a \cdot 1 + 3 \cdot 1 - a - 6 = a + 3 - a - 6$
Se reduc termenii asemenea: termenii cu $\displaystyle a$ se anulează ( $\displaystyle a - a = 0$ ), iar $\displaystyle 3 - 6 = -3$ , obținându-se valoarea finală, independentă de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle = a + 3 - a - 6 = -3\text{, pentru orice număr real }$ $\displaystyle \text{nenul }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6

, unde

\displaystyle a

este număr real nenul.

Pentru

\displaystyle a = 1

, determinați câtul și restul împărțirii polinomului

\displaystyle f

la polinomul

\displaystyle g = X^2 + 3X - 1

.

Vezi rezolvarea

Se identifică divizorul $\displaystyle g = X^2 + 3X - 1$ și se particularizează polinomul $\displaystyle f$ pentru valoarea $\displaystyle a = 1$ (determinată la un punct anterior al problemei), obținând forma concretă a lui $\displaystyle f$ ce va fi împărțită la $\displaystyle g$ .
$\displaystyle f = X^3 + 3X^2 - X - 6$
Se efectuează împărțirea polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle g$ , comparând gradele: gradul lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle 3$ , iar al lui $\displaystyle g$ este $\displaystyle 2$ , deci câtul va avea gradul $\displaystyle 1$ . Se împarte termenul de grad maxim al lui $\displaystyle f$ la termenul de grad maxim al lui $\displaystyle g$ : $\displaystyle X^3 : X^2 = X$ .
$\displaystyle \text{Primul termen al câtului }$ $\displaystyle \text{este } X$
Se înmulțește câtul parțial $\displaystyle X$ cu divizorul $\displaystyle g$ și se scade rezultatul din $\displaystyle f$ , pentru a obține restul intermediar.
$\displaystyle X\cdot(X^2+3X-1) = X^3+3X^2-X\text{, iar }(X^3+3X^2-X-6)-(X^3+3X^2-X) = -6$
Deoarece restul obținut, $\displaystyle -6$ , are gradul $\displaystyle 0$ , mai mic decât gradul lui $\displaystyle g$ (care este $\displaystyle 2$ ), împărțirea se oprește aici. Se scrie relația de împărțire cu teorema împărțirii cu rest, identificând câtul.
$\displaystyle f = X(X^2 + 3X - 1) - 6\text{ și câtul împărțirii este }X$
Din relația de împărțire obținută se citește direct restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la $\displaystyle g$ .
$\displaystyle \text{Restul este }-6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6

, unde

\displaystyle a

este număr real nenul.

Determinați numărul real nenul

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = 1

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se scrie polinomul sub formă de produs de factori liniari, folosind rădăcinile $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ și coeficientul dominant $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f(X) = a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$
Se calculează valoarea polinomului în $\displaystyle X=-1$ folosind forma factorizată, scoțând factorul comun $\displaystyle (-1)$ din fiecare paranteză.
$\displaystyle f(-1) = a(-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3) = -a(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)$
Se izolează produsul $\displaystyle (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)$ , împărțind ambii membri prin $\displaystyle -a$ (posibil deoarece $\displaystyle a$ este nenul).
$\displaystyle (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = -\frac{f(-1)}{a}\text{, pentru orice număr real }$ $\displaystyle \text{nenul }a$
Se calculează valoarea concretă a lui $\displaystyle f(-1)$ înlocuind $\displaystyle X=-1$ în expresia inițială a polinomului.
$\displaystyle f(-1) = a\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-a\cdot(-1)-6 = -a+3+a-6 = -3$
Se scrie ecuația impusă de condiția din problemă, înlocuind valoarea lui $\displaystyle f(-1)$ obținută, și se rezolvă pentru $\displaystyle a$ .
$\displaystyle -\frac{f(-1)}{a} = 1 \Rightarrow -\frac{-3}{a} = 1 \Rightarrow \frac{3}{a} = 1 \Rightarrow a = 3$
Se conchide valoarea lui $\displaystyle a$ care satisface condiția impusă.
$\displaystyle -\frac{f(-1)}{a} = 1\text{, de unde obținem }a = 3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = 2x + \ln\frac{x}{x+2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x) = \frac{2(x+1)^2}{x(x+2)}

,

\displaystyle x \in (0, +\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția și se identifică cei doi termeni care trebuie derivați: partea liniară $\displaystyle 2x$ și partea logaritmică $\displaystyle \ln\frac{x}{x+2}$ .
$\displaystyle f(x) = 2x + \ln\frac{x}{x+2}$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$
Se derivează termenul $\displaystyle 2x$ , care are derivata $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle (2x)' = 2$
Pentru termenul logaritmic se aplică regula $\displaystyle (\ln u)' = \frac{u'}{u}$ , unde $\displaystyle u=\frac{x}{x+2}$ . Se scrie derivata sub forma produsului dintre $\displaystyle u'$ și inversul lui $\displaystyle u$ .
$\displaystyle \left(\ln\frac{x}{x+2}\right)' = \left(\frac{x}{x+2}\right)' \cdot \frac{x+2}{x}$
Se calculează $\displaystyle u' = \left(\frac{x}{x+2}\right)'$ folosind regula de derivare a câtului: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ , cu $\displaystyle f=x,\ g=x+2$ .
$\displaystyle \left(\frac{x}{x+2}\right)' = \frac{1\cdot(x+2) - x\cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}$
Se înlocuiește $\displaystyle u'$ obținut mai sus în expresia derivatei logaritmului și se simplifică termenul $\displaystyle (x+2)$ care apare atât la numărător cât și la numitor.
$\displaystyle \left(\ln\frac{x}{x+2}\right)' = \frac{2}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x} = \frac{2}{x(x+2)}$
Se adună derivata primului termen cu derivata termenului logaritmic pentru a obține derivata întregii funcții, scriind explicit toți pașii intermediari ceruți de barem.
$\displaystyle f'(x) = 2 + \frac{x+2}{x} \cdot \frac{x+2-x}{(x+2)^2} = 2 + \frac{2}{x(x+2)} =$
Se aduce expresia la același numitor comun $\displaystyle x(x+2)$ , scriind $\displaystyle 2$ ca fracție cu acest numitor.
$\displaystyle f'(x) = \frac{2x(x+2)}{x(x+2)} + \frac{2}{x(x+2)} = \frac{2x^2+4x+2}{x(x+2)}$
Se factorizează numărătorul, observând că $\displaystyle 2x^2+4x+2 = 2(x^2+2x+1) = 2(x+1)^2$ , obținând astfel forma finală a derivatei pe domeniul de definiție.
$\displaystyle = \frac{2x^2 + 4x + 2}{x(x+2)} = \frac{2(x+1)^2}{x(x+2)}$ , $\displaystyle \ x \in (0, +\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = 2x + \ln\frac{x}{x+2}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se identifică tipul de asimptotă căutat: deoarece domeniul este $\displaystyle (0,+\infty)$ , funcția poate avea asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ , de forma $\displaystyle y = mx + n$ , unde $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ se determină cu limitele cunoscute.
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ , $\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)$
Se scrie explicit raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}$ , împărțind fiecare termen al lui $\displaystyle f(x)$ la $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{2x+\ln\frac{x}{x+2}}{x}=2+\frac{1}{x}\ln\frac{x}{x+2}$
Se observă că, atunci când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle +\infty$ , raportul $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ tinde la $\displaystyle 1$ , deci logaritmul acestuia tinde la $\displaystyle 0$ , iar produsul cu $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ (care tinde la $\displaystyle 0$ ) tinde tot la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+2}=1\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x}{x+2}=\ln 1=0\Rightarrow\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\ln\frac{x}{x+2}=0$
Se combină rezultatele anterioare pentru a obține panta asimptotei oblice, $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\ln\frac{x}{x+2}\right)=2$
Se calculează diferența $\displaystyle f(x) - 2x$ , simplificând termenul $\displaystyle 2x$ care se reduce cu cel din $\displaystyle f(x)$ , rămânând doar partea logaritmică.
$\displaystyle f(x)-2x=2x+\ln\frac{x}{x+2}-2x=\ln\frac{x}{x+2}$
Se calculează limita acestei diferențe pentru a obține ordonata la origine $\displaystyle n$ , folosind faptul că $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ tinde la $\displaystyle 1$ , deci logaritmul tinde la $\displaystyle 0$ ; se conclude că dreapta $\displaystyle y=2x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-2x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x}{x+2}=0\text{, deci dreapta de ecuație }y=2x\text{ este asimptota oblică }$ $\displaystyle \text{spre }+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = 2x + \ln\frac{x}{x+2}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este bijectivă.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția și se observă că este derivabilă pe $\displaystyle (0, +\infty)$ , fiind sumă de funcții elementare (o funcție polinomială și o funcție logaritmică compusă), domeniul fiind ales tocmai pentru ca argumentul logaritmului, $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ , să fie strict pozitiv.
$\displaystyle f(x) = 2x + \ln\frac{x}{x+2}$ , $\displaystyle \ x \in (0, +\infty)$
Se calculează derivata lui $\displaystyle f$ , folosind regula de derivare a sumei și derivata logaritmului compus (sau scriind $\displaystyle \ln\left(\dfrac{x}{x+2}\right) = \ln x - \ln(x+2)$ ).
$\displaystyle f'(x) = 2 + \left(\ln x - \ln(x+2)\right)' = 2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}$
Se aduce expresia derivatei la un numitor comun pentru a-i studia semnul.
$\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} \Rightarrow f'(x) = 2 + \frac{2}{x(x+2)}$
Deoarece $\displaystyle x > 0$ , avem $\displaystyle x(x+2) > 0$ , deci fracția $\displaystyle \dfrac{2}{x(x+2)}$ este strict pozitivă, iar suma cu $\displaystyle 2$ este strict pozitivă. Rezultă că $\displaystyle f'(x) > 0$ pentru orice $\displaystyle x$ din domeniu, deci $\displaystyle f$ este strict crescătoare, deci injectivă.
$\displaystyle \text{Pentru orice }x \in (0, +\infty)$ , $\displaystyle \ f'(x) = 2 + \frac{2}{x(x+2)} > 0 \Rightarrow f\text{ este strict crescătoare, }$ $\displaystyle \text{deci }f\text{ este injectivă}$
Se calculează limita funcției la capătul din stânga al domeniului, $\displaystyle x$ tinzând la $\displaystyle 0$ prin valori pozitive. Termenul $\displaystyle 2x$ tinde la $\displaystyle 0$ , iar fracția $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ tinde la $\displaystyle 0$ prin valori pozitive, deci logaritmul ei tinde la $\displaystyle -\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x \to 0, x>0} \frac{x}{x+2} = 0^{+} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \ln\frac{x}{x+2} = -\infty \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = 0 + (-\infty) = -\infty$
Se calculează limita funcției la capătul din dreapta al domeniului, $\displaystyle x$ tinzând la $\displaystyle +\infty$ . Fracția $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ tinde la $\displaystyle 1$ , deci logaritmul ei tinde la $\displaystyle 0$ , iar termenul $\displaystyle 2x$ tinde la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+2} = 1 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \ln\frac{x}{x+2} = 0 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + 0 = +\infty$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle (0, +\infty)$ , fiind sumă de funcții continue (o funcție polinomială și o funcție logaritmică compusă cu o funcție raională care nu se anulează pe domeniu). Folosind cele două limite de la capetele domeniului și continuitatea, prin teorema valorilor intermediare rezultă că $\displaystyle f$ ia toate valorile reale, deci $\displaystyle f$ este surjectivă. Împreună cu injectivitatea stabilită anterior, obținem că $\displaystyle f$ este bijectivă.
$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$ , $\displaystyle \ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\text{ și }f\text{ este continuă, deci }f\text{ este surjectivă, de unde }$ $\displaystyle \text{obținem că }f\text{ este bijectivă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{(x+1)^3}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^3 f(x)(x+1)^3\, dx = 9

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției $\displaystyle f(x)$ și se observă că trebuie calculată integrala produsului dintre $\displaystyle f(x)$ și $\displaystyle (x+1)^3$ pe intervalul $\displaystyle [0,3]$ .
$\displaystyle f(x)(x+1)^3 = \frac{x^2}{(x+1)^3}\cdot (x+1)^3$
Se simplifică factorul $\displaystyle (x+1)^3$ de la numărător cu cel de la numitor, deoarece $\displaystyle x \in (0,3) \subset (-1,+\infty)$ implică $\displaystyle x+1 \neq 0$ .
$\displaystyle f(x)(x+1)^3 = x^2$
Se rescrie integrala inițială folosind simplificarea obținută, transformând-o într-o integrală directă din $\displaystyle x^2$ .
$\displaystyle \int_0^3 f(x)(x+1)^3\, dx = \int_0^3 x^2\, dx$
Se calculează primitiva funcției $\displaystyle x^2$ , folosind formula $\displaystyle \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , și se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [0,3]$ .
$\displaystyle \int_0^3 x^2\, dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3 =$
Se înlocuiesc limitele de integrare $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 0$ în primitivă și se efectuează calculul final.
$\displaystyle \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = 9 - 0 = 9$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{(x+1)^3}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 \sqrt{f(x)(x+1)}\, dx = 1 - \ln 2

.

Vezi rezolvarea

Se calculează expresia de sub radical, înmulțind $\displaystyle f(x)$ cu $\displaystyle (x+1)$ : $\displaystyle f(x)\cdot(x+1) = \frac{x^2}{(x+1)^3}\cdot(x+1) = \frac{x^2}{(x+1)^2}$ .
$\displaystyle f(x)(x+1) = \frac{x^2}{(x+1)^3}\cdot(x+1) = \frac{x^2}{(x+1)^2}$
Se extrage radicalul acestei expresii. Deoarece pe intervalul $\displaystyle [0,1]$ avem $\displaystyle x\ge 0$ și $\displaystyle x+1>0$ , radicalul se simplifică la $\displaystyle \dfrac{x}{x+1}$ .
$\displaystyle \sqrt{f(x)(x+1)} = \sqrt{\frac{x^2}{(x+1)^2}} = \frac{|x|}{|x+1|} = \frac{x}{x+1}$ , $\displaystyle \text{ pentru } x\in[0,1]$
Se scrie integrala definită folosind expresia simplificată obținută mai sus.
$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{f(x)(x+1)}\, dx = \int_0^1 \frac{x}{x+1}\, dx$
Se descompune fracția $\displaystyle \dfrac{x}{x+1}$ scriind numărătorul ca $\displaystyle (x+1)-1$ , pentru a obține o formă ușor de integrat.
$\displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{(x+1)-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$
Se integrează termen cu termen expresia obținută, folosind primitivele cunoscute $\displaystyle \int 1\,dx = x$ și $\displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln(x+1)$ .
$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{f(x)(x+1)}\, dx = \int_0^1 \frac{x}{x+1}\, dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) dx = \left.x\right|_0^1 - \left.\ln(x+1)\right|_0^1 =$
Se evaluează primitivele la capetele intervalului: $\displaystyle x$ ia valorile $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 0$ , iar $\displaystyle \ln(x+1)$ ia valorile $\displaystyle \ln 2$ și $\displaystyle \ln 1 = 0$ .
$\displaystyle = (1-0) - (\ln 2 - \ln 1) = 1 - \ln 2 + \ln 1$
Se simplifică folosind faptul că $\displaystyle \ln 1 = 0$ , obținând rezultatul final al integralei.
$\displaystyle = 1 - 0 - \ln 2 + \ln 1 = 1 - \ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{(x+1)^3}

.

Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției

\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

,

\displaystyle g(x) = \frac{f(e^x)}{e^x}

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x = -1

și

\displaystyle x = 1

este egală cu

\displaystyle \frac{e-1}{2(e+1)}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(e^x)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle e^x$ în expresia funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(e^x) = \dfrac{(e^x)^2}{(e^x+1)^3} = \dfrac{e^{2x}}{(e^x+1)^3}$
Definim funcția $\displaystyle g(x) = \dfrac{f(e^x)}{e^x}$ și simplificăm, obținând expresia lui $\displaystyle g$ , care este definită pe tot $\displaystyle \mathbb{R}$ deoarece $\displaystyle e^x+1>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle g(x) = \dfrac{f(e^x)}{e^x} = \dfrac{e^{2x}}{e^x(e^x+1)^3} = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^3}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Deoarece $\displaystyle g(x) \geq 0$ pentru orice $\displaystyle x$ real (numărătorul și numitorul sunt pozitivi), aria cuprinsă între graficul lui $\displaystyle g$ , axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle x=1$ se exprimă ca integrala definită a lui $\displaystyle g$ pe intervalul $\displaystyle [-1,1]$ .
$\displaystyle \mathcal{A} = \int_{-1}^{1} |g(x)|\, dx = \int_{-1}^{1} \dfrac{e^x}{(e^x+1)^3}\, dx$
Observăm că $\displaystyle (e^x+1)' = e^x$ , deci integrandul are forma $\displaystyle \dfrac{u'}{u^3}$ cu $\displaystyle u=e^x+1$ , a cărui primitivă este $\displaystyle -\dfrac{1}{2u^2}$ .
$\displaystyle \int \dfrac{(e^x+1)'}{(e^x+1)^3}\,dx = -\dfrac{1}{2(e^x+1)^2} + C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [-1,1]$ folosind primitiva găsită anterior.
$\displaystyle \mathcal{A} = \int_{-1}^{1} \dfrac{e^x}{(e^x+1)^3}\,dx = \left. -\dfrac{1}{2(e^x+1)^2} \right|_{-1}^{1}$
Calculăm valorile expresiei la capetele intervalului și simplificăm rezultatul pentru a obține valoarea finală a ariei.
$\displaystyle = -\dfrac{1}{2(e+1)^2} + \dfrac{e^2}{2(e+1)^2} = \dfrac{e^2-1}{2(e+1)^2} = \dfrac{e-1}{2(e+1)}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2025, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani