Bac matematică M1 mate-info 2018, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul complex z\displaystyle z, știind că 2z‾−z=1−3i\displaystyle 2\overline{z}-z=1-3i, unde z‾\displaystyle \overline{z} este conjugatul lui z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem z=a+bi\displaystyle z=a+bi, cu a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}. Atunci conjugatul este z‾=a−bi\displaystyle \overline{z}=a-bi.
    z=a+bi\displaystyle z=a+bi
  2. Înlocuim în egalitatea 2z‾−z=1−3i\displaystyle 2\overline{z}-z=1-3i și obținem 2(a−bi)−(a+bi)=1−3i\displaystyle 2(a-bi)-(a+bi)=1-3i.
    2(a−bi)−(a+bi)=1−3i\displaystyle 2(a-bi)-(a+bi)=1-3i
  3. Desfacem parantezele: 2a−2bi−a−bi=1−3i\displaystyle 2a-2bi-a-bi=1-3i. Partea reală este 2a−a=a\displaystyle 2a-a=a, iar coeficientul lui i\displaystyle i este −2b−b=−3b\displaystyle -2b-b=-3b.
    a−3bi=1−3i\displaystyle a-3bi=1-3i
  4. Două numere complexe sunt egale dacă părțile reale sunt egale și părțile imaginare sunt egale. Rezultă a=1\displaystyle a=1 și −3b=−3\displaystyle -3b=-3.
    a=1\displaystyle a=1
  5. Din −3b=−3\displaystyle -3b=-3 rezultă b=1\displaystyle b=1. Astfel a=1\displaystyle a=1 și b=1\displaystyle b=1, deci numărul căutat este z=1+i\displaystyle z=1+i.
    z=1+i\displaystyle z=1+i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−mx+1\displaystyle f(x)=x^2-mx+1, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numerele reale m\displaystyle m, știind că vârful parabolei asociate funcției f\displaystyle f se află pe axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Vârful parabolei are coordonatele xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a} și yV=−Δ4a\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}. Aici a=1\displaystyle a=1, b=−m\displaystyle b=-m, c=1\displaystyle c=1.
    yV=−Δ4\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4}
  2. Vârful se află pe axa Ox\displaystyle Ox dacă ordonata lui este zero: yV=0\displaystyle y_V=0. Cum a=1≠0\displaystyle a=1\neq 0, aceasta este echivalent cu Δ=0\displaystyle \Delta=0.
    yV=0⇔Δ=0\displaystyle y_V=0\Leftrightarrow\Delta=0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=(−m)2−4⋅1⋅1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4\cdot 1\cdot 1.
    Δ=m2−4\displaystyle \Delta=m^{2}-4
  4. Punem condiția Δ=0\displaystyle \Delta=0, adică m2−4=0\displaystyle m^{2}-4=0. Rezultă m2=4\displaystyle m^{2}=4, deci m=−2\displaystyle m=-2 sau m=2\displaystyle m=2.
    m2−4=0⇒m=−2 sau m=2\displaystyle m^{2}-4=0\Rightarrow m=-2\text{ sau }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡xlg⁡(x+2)=12\displaystyle \dfrac{\lg x}{\lg(x+2)}=\dfrac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: x>0\displaystyle x>0 și x+2>0\displaystyle x+2>0. Împărțitorul trebuie să fie nenul, deci lg⁡(x+2)≠0\displaystyle \lg(x+2)\neq 0, adică x+2≠1\displaystyle x+2\neq 1, deci x≠−1\displaystyle x\neq -1. Rezultă că x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Înmulțim ecuația cu 2lg⁡(x+2)\displaystyle 2\lg(x+2), care este nenul, adică folosim proporția: 2lg⁡x=lg⁡(x+2)\displaystyle 2\lg x=\lg(x+2).
    2lg⁡x=lg⁡(x+2)\displaystyle 2\lg x=\lg(x+2)
  3. Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: 2lg⁡x=lg⁡x2\displaystyle 2\lg x=\lg x^{2}. Logaritmul fiind injectiv, egalăm argumentele: x2=x+2\displaystyle x^{2}=x+2. Trecem totul în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0.
    x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9. Rădăcinile sunt x=1−32=−1\displaystyle x=\dfrac{1-3}{2}=-1 și x=1+32=2\displaystyle x=\dfrac{1+3}{2}=2.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1,x2=2\displaystyle \quad x_2=2
  5. Verificăm cu condițiile de existență: x=−1∉(0,+∞)\displaystyle x=-1\notin(0,+\infty), deci nu convine. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem lg⁡2lg⁡4=lg⁡22lg⁡2=12\displaystyle \dfrac{\lg 2}{\lg 4}=\dfrac{\lg 2}{2\lg 2}=\dfrac{1}{2}, deci convine. Soluția ecuației este x=2\displaystyle x=2.
    x=−1, care nu convine, x=2, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine, }x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele distincte și impare.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \dots, 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Cifrele impare sunt 1,3,5,7,9\displaystyle 1, 3, 5, 7, 9, deci avem 5\displaystyle 5 cifre impare. Cifra zecilor se poate alege în 5\displaystyle 5 moduri.
    5\displaystyle 5
  3. Cifrele trebuie să fie distincte, deci cifra unităților se alege dintre cele 4\displaystyle 4 cifre impare rămase, adică în 4\displaystyle 4 moduri.
    4\displaystyle 4
  4. Numărul cazurilor favorabile este produsul alegerilor: 5⋅4=20\displaystyle 5\cdot 4=20.
    5⋅4=20\displaystyle 5\cdot 4=20
  5. Aplicăm formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=2090\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{20}{90}. Simplificând prin 10\displaystyle 10 obținem 29\displaystyle \dfrac{2}{9}.
    p=2090=29\displaystyle p=\dfrac{20}{90}=\dfrac{2}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(−5,2)\displaystyle A(-5,2) și dreapta d\displaystyle d de ecuație y=x+1\displaystyle y=x+1. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A\displaystyle A și este perpendiculară pe dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=x+1\displaystyle y=x+1, de forma y=mdx+n\displaystyle y=m_d x+n. Coeficientul lui x\displaystyle x este panta, deci md=1\displaystyle m_d=1.
    md=1\displaystyle m_d=1
  2. Dreapta căutată este perpendiculară pe d\displaystyle d, deci m⋅md=−1\displaystyle m\cdot m_d=-1. Rezultă m⋅1=−1\displaystyle m\cdot 1=-1, adică m=−1\displaystyle m=-1.
    md=1\displaystyle m_d=1, m=−1\displaystyle \ m=-1
  3. Folosim formula y−yA=m(x−xA)\displaystyle y-y_A=m(x-x_A) cu A(−5,2)\displaystyle A(-5,2) și m=−1\displaystyle m=-1. Obținem y−2=−(x−(−5))\displaystyle y-2=-(x-(-5)), adică y−2=−(x+5)\displaystyle y-2=-(x+5).
    y−2=−(x+5)\displaystyle y-2=-(x+5)
  4. Desfacem paranteza: y−2=−x−5\displaystyle y-2=-x-5. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri și obținem y=−x−3\displaystyle y=-x-3.
    y=−x−3\displaystyle y=-x-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(π4+x)−cos⁡(π4−x)=0\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm sinusul sumei cu formula sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b, pentru a=π4\displaystyle a=\dfrac{\pi}{4} și b=x\displaystyle b=x.
    sin⁡(π4+x)=sin⁡π4cos⁡x+cos⁡π4sin⁡x\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin x
  2. Dezvoltăm cosinusul diferenței cu formula cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b, pentru a=π4\displaystyle a=\dfrac{\pi}{4} și b=x\displaystyle b=x.
    cos⁡(π4−x)=cos⁡π4cos⁡x+sin⁡π4sin⁡x\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}\cos x+\sin\dfrac{\pi}{4}\sin x
  3. Scriem diferența cerută folosind cele două dezvoltări.
    sin⁡π4cos⁡x+cos⁡π4sin⁡x−(cos⁡π4cos⁡x+sin⁡π4sin⁡x)\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}\cos x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin x-\left(\cos\dfrac{\pi}{4}\cos x+\sin\dfrac{\pi}{4}\sin x\right)
  4. Înlocuim sin⁡π4=cos⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și dăm factor comun 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    22cos⁡x+22sin⁡x−22cos⁡x−22sin⁡x=22(cos⁡x+sin⁡x−cos⁡x−sin⁡x)\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x-\cos x-\sin x)
  5. Reducem termenii opuși din paranteză, deci expresia este 0\displaystyle 0 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    22(cos⁡x+sin⁡x−cos⁡x−sin⁡x)=0\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x-\cos x-\sin x)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(2m1112m1112m)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}2m&1&1\\1&2m&1\\1&1&2m\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2mx+y+z=−1x+2my+z=0x+y+2mz=1\displaystyle \begin{cases}2mx+y+z=-1\\x+2my+z=0\\x+y+2mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că det⁡(M(0))=2\displaystyle \det(M(0))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea M(m)\displaystyle M(m): elementele de pe diagonala principală devin 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0, iar celelalte rămân 1\displaystyle 1.
    M(0)=(011101110)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei M(0)\displaystyle M(0).
    det⁡(M(0))=∣011101110∣\displaystyle \det(M(0))=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 0⋅0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0=0, 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1 și 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 1⋅0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0, 0⋅1⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1=0 și 1⋅1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0=0.
    det⁡(M(0))=0+1+1−0−0−0\displaystyle \det(M(0))=0+1+1-0-0-0
  4. Efectuăm calculul și obținem valoarea cerută a determinantului: 0+1+1−0−0−0=2\displaystyle 0+1+1-0-0-0=2.
    det⁡(M(0))=2\displaystyle \det(M(0))=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(2m1112m1112m)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}2m&1&1\\1&2m&1\\1&1&2m\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2mx+y+z=−1x+2my+z=0x+y+2mz=1\displaystyle \begin{cases}2mx+y+z=-1\\x+2my+z=0\\x+y+2mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numerele reale m\displaystyle m, știind că det⁡(M(m))=0\displaystyle \det(M(m))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm la prima coloană celelalte două coloane. Pe prima coloană apare peste tot suma 2m+2\displaystyle 2m+2, deci putem da factor comun 2(m+1)\displaystyle 2(m+1).
    det⁡(M(m))=2(m+1)∣11112m1112m∣\displaystyle \det(M(m))=2(m+1)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2m&1\\1&1&2m\end{vmatrix}
  2. Scădem prima linie din a doua și din a treia linie, ca să obținem zerouri pe prima coloană.
    ∣11102m−10002m−1∣\displaystyle \begin{vmatrix}1&1&1\\0&2m-1&0\\0&0&2m-1\end{vmatrix}
  3. Determinantul obținut este triunghiular, deci este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală: 1⋅(2m−1)⋅(2m−1)\displaystyle 1\cdot(2m-1)\cdot(2m-1). Rezultă forma factorizată a lui det⁡(M(m))\displaystyle \det(M(m)), valabilă pentru orice m\displaystyle m real.
    det⁡(M(m))=2(m+1)(2m−1)2\displaystyle \det(M(m))=2(m+1)(2m-1)^2
  4. Egalăm cu zero: 2(m+1)(2m−1)2=0\displaystyle 2(m+1)(2m-1)^2=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci m+1=0\displaystyle m+1=0 sau 2m−1=0\displaystyle 2m-1=0.
    m+1=0 sau 2m−1=0\displaystyle m+1=0\text{ sau }2m-1=0
  5. Rezolvăm cele două ecuații: din m+1=0\displaystyle m+1=0 obținem m=−1\displaystyle m=-1, iar din 2m−1=0\displaystyle 2m-1=0 obținem m=12\displaystyle m=\dfrac{1}{2}.
    m=−1 sau m=12\displaystyle m=-1\text{ sau }m=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(m)=(2m1112m1112m)\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix}2m&1&1\\1&2m&1\\1&1&2m\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2mx+y+z=−1x+2my+z=0x+y+2mz=1\displaystyle \begin{cases}2mx+y+z=-1\\x+2my+z=0\\x+y+2mz=1\end{cases}, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−1\displaystyle m=-1, demonstrați că, dacă (a,b,c)\displaystyle (a,b,c) este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=−1\displaystyle m=-1 în sistem și obținem un sistem cu coeficienți simpli. Fie (a,b,c)\displaystyle (a,b,c) o soluție, deci a,b,c\displaystyle a,b,c verifică cele trei ecuații.
    {−2a+b+c=−1a−2b+c=0a+b−2c=1\displaystyle \begin{cases}-2a+b+c=-1\\a-2b+c=0\\a+b-2c=1\end{cases}
  2. Scădem a doua ecuație din prima. Termenii în c\displaystyle c se reduc, iar rămâne −3a+3b=−1\displaystyle -3a+3b=-1, adică a−b=13\displaystyle a-b=\dfrac{1}{3}.
    (−2a+b+c)−(a−2b+c)=−1−0⇒−3a+3b=−1⇒a−b=13\displaystyle (-2a+b+c)-(a-2b+c)=-1-0\Rightarrow -3a+3b=-1\Rightarrow a-b=\dfrac{1}{3}
  3. Scădem a treia ecuație din a doua. Termenii în a\displaystyle a se reduc, iar rămâne −3b+3c=−1\displaystyle -3b+3c=-1, adică b−c=13\displaystyle b-c=\dfrac{1}{3}.
    (a−2b+c)−(a+b−2c)=0−1⇒−3b+3c=−1⇒b−c=13\displaystyle (a-2b+c)-(a+b-2c)=0-1\Rightarrow -3b+3c=-1\Rightarrow b-c=\dfrac{1}{3}
  4. Adunăm diferențele găsite și obținem a−c=23\displaystyle a-c=\dfrac{2}{3}. Avem acum toate diferențele dintre numerele a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c.
    a−c=(a−b)+(b−c)=13+13=23\displaystyle a-c=(a-b)+(b-c)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}
  5. Diferențele 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, 13\displaystyle \dfrac{1}{3} și 23\displaystyle \dfrac{2}{3} nu sunt numere întregi. Dacă două dintre numerele a,b,c\displaystyle a,b,c ar fi întregi, diferența lor ar fi număr întreg, ceea ce este imposibil. Deci cel mult unul dintre numerele a,b,c\displaystyle a,b,c este întreg.
    a−b∉Z\displaystyle a-b\notin\mathbb{Z}, b−c∉Z\displaystyle \ b-c\notin\mathbb{Z}, a−c∉Z⇒cel mult unul dintre \displaystyle \ a-c\notin\mathbb{Z}\Rightarrow\text{cel mult unul dintre }numerele a\displaystyle \text{numerele }a,b\displaystyle b,c este ıˆntreg\displaystyle c\text{ este întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4xy+3x+3y+32\displaystyle x\ast y=4xy+3x+3y+\dfrac{3}{2}.

Demonstrați că x∗y=4(x+34)(y+34)−34\displaystyle x\ast y=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=4xy+3x+3y+32\displaystyle x\ast y=4xy+3x+3y+\dfrac{3}{2} și descompunem constanta: 32=94−34\displaystyle \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{4}.
    x∗y=4xy+3x+3y+94−34\displaystyle x\ast y=4xy+3x+3y+\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{4}
  2. Grupăm termenii 4xy+3x=4x(y+34)\displaystyle 4xy+3x=4x\left(y+\dfrac{3}{4}\right) și observăm că 3y+94=3(y+34)\displaystyle 3y+\dfrac{9}{4}=3\left(y+\dfrac{3}{4}\right).
    4xy+3x+3y+94=4x(y+34)+3(y+34)\displaystyle 4xy+3x+3y+\dfrac{9}{4}=4x\left(y+\dfrac{3}{4}\right)+3\left(y+\dfrac{3}{4}\right)
  3. Dăm factor comun y+34\displaystyle y+\dfrac{3}{4} și obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    4x(y+34)+3(y+34)−34=4(x+34)(y+34)−34\displaystyle 4x\left(y+\dfrac{3}{4}\right)+3\left(y+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4xy+3x+3y+32\displaystyle x\ast y=4xy+3x+3y+\dfrac{3}{2}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=−12\displaystyle x\ast x\ast x=-\dfrac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție în forma x∗y=4(x+34)(y+34)−34\displaystyle x\ast y=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}. Verificăm prin dezvoltare: 4(xy+3x4+3y4+916)=4xy+3x+3y+94\displaystyle 4\left(xy+\dfrac{3x}{4}+\dfrac{3y}{4}+\dfrac{9}{16}\right)=4xy+3x+3y+\dfrac{9}{4}, iar scăzând 34\displaystyle \dfrac{3}{4} obținem 32\displaystyle \dfrac{3}{2}.
    x∗y=4(x+34)(y+34)−34\displaystyle x\ast y=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma de mai sus și obținem x∗x\displaystyle x\ast x.
    x∗x=4(x+34)2−34\displaystyle x\ast x=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}-\dfrac{3}{4}
  3. Legea este asociativă, deci x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x\ast x\ast x=(x\ast x)\ast x. Aplicăm forma de la început: (x∗x)+34=4(x+34)2\displaystyle (x\ast x)+\dfrac{3}{4}=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}, deci x∗x∗x=4⋅4(x+34)2(x+34)−34\displaystyle x\ast x\ast x=4\cdot 4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}\left(x+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}.
    x∗x∗x=16(x+34)3−34\displaystyle x\ast x\ast x=16\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{3}-\dfrac{3}{4}
  4. Înlocuim în ecuație: 16(x+34)3−34=−12\displaystyle 16\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{3}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{2}. Adunăm 34\displaystyle \dfrac{3}{4} în ambii membri: 16(x+34)3=14\displaystyle 16\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{3}=\dfrac{1}{4}. Împărțim la 16\displaystyle 16.
    (x+34)3=164\displaystyle \left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{3}=\dfrac{1}{64}
  5. Cum 164=(14)3\displaystyle \dfrac{1}{64}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3}, iar funcția cub este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, rezultă x+34=14\displaystyle x+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}. Deci x=14−34\displaystyle x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}.
    x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4xy+3x+3y+32\displaystyle x\ast y=4xy+3x+3y+\dfrac{3}{2}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că f(x)∗f(y)=f(x+y)\displaystyle f(x)\ast f(y)=f(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=aex−34\displaystyle f(x)=ae^x-\dfrac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă mai comodă, prin factorizare: x∗y=4(x+34)(y+34)−34\displaystyle x\ast y=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}. Verificare: 4(x+34)(y+34)=4xy+3x+3y+94\displaystyle 4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right)=4xy+3x+3y+\dfrac{9}{4}, iar 94−34=32\displaystyle \dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}.
    x∗y=4(x+34)(y+34)−34\displaystyle x\ast y=4\left(x+\dfrac{3}{4}\right)\left(y+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y) în legea de compoziție. Observăm că f(x)+34=aex\displaystyle f(x)+\dfrac{3}{4}=ae^x și f(y)+34=aey\displaystyle f(y)+\dfrac{3}{4}=ae^y, deci f(x)∗f(y)=4(aex−34+34)(aey−34+34)−34\displaystyle f(x)\ast f(y)=4\left(ae^x-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\left(ae^y-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}. Egalăm cu f(x+y)\displaystyle f(x+y).
    4(aex−34+34)⋅(aey−34+34)−34=aex+y−34\displaystyle 4\left(ae^x-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\cdot\left(ae^y-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}\right)-\dfrac{3}{4}=ae^{x+y}-\dfrac{3}{4}
  3. Simplificăm: termenii 34\displaystyle \dfrac{3}{4} se reduc în paranteze, iar ex⋅ey=ex+y\displaystyle e^x\cdot e^y=e^{x+y}. Apoi eliminăm −34\displaystyle -\dfrac{3}{4} din ambele părți.
    4a2ex+y=aex+y, pentru orice x\displaystyle 4a^2e^{x+y}=ae^{x+y}\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  4. Împărțim la ex+y\displaystyle e^{x+y}, care este strict pozitiv, și obținem ecuația 4a2=a\displaystyle 4a^2=a, adică a(4a−1)=0\displaystyle a(4a-1)=0. Rezultă a=0\displaystyle a=0 sau a=14\displaystyle a=\dfrac{1}{4}.
    4a2=a, deci a=0 sau a=14\displaystyle 4a^2=a\text{, deci }a=0\text{ sau }a=\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=8x2−ln⁡x\displaystyle f(x)=8x^2-\ln x.

Arătați că f′(x)=(4x−1)(4x+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(4x-1)(4x+1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm separat cei doi termeni ai funcției: (8x2)′=16x\displaystyle (8x^{2})'=16x și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (8x2)′=16x\displaystyle (8x^{2})'=16x,(ln⁡x)′=1x\displaystyle \quad (\ln x)'=\dfrac{1}{x}
  2. Aplicăm derivata diferenței: f′(x)=(8x2)′−(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(8x^{2})'-(\ln x)'.
    f′(x)=16x−1x\displaystyle f'(x)=16x-\dfrac{1}{x}
  3. Aducem la numitor comun x\displaystyle x: scriem 16x=16x2x\displaystyle 16x=\dfrac{16x^{2}}{x}, deci f′(x)=16x2x−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{16x^{2}}{x}-\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=16x2−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{16x^{2}-1}{x}
  4. Observăm că 16x2−1=(4x)2−12\displaystyle 16x^{2}-1=(4x)^{2}-1^{2} este diferență de pătrate, deci se descompune în (4x−1)(4x+1)\displaystyle (4x-1)(4x+1). Astfel obținem forma cerută pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=16x2−1x=(4x−1)(4x+1)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{16x^{2}-1}{x}=\dfrac{(4x-1)(4x+1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=8x2−ln⁡x\displaystyle f(x)=8x^2-\ln x.

Demonstrați că punctul A(23,3)\displaystyle A\left(\dfrac{2}{3},3\right) aparține tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)=8⋅12−ln⁡1\displaystyle f(1)=8\cdot 1^{2}-\ln 1. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem punctul de tangență (1,8)\displaystyle (1,8).
    f(1)=8\displaystyle f(1)=8
  2. Derivăm funcția: f′(x)=(8x2)′−(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(8x^{2}\right)'-(\ln x)', deci f′(x)=16x−1x\displaystyle f'(x)=16x-\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=16x−1x\displaystyle f'(x)=16x-\dfrac{1}{x}
  3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1: f′(1)=16⋅1−11=15\displaystyle f'(1)=16\cdot 1-\dfrac{1}{1}=15. Aceasta este panta tangentei.
    f′(1)=15\displaystyle f'(1)=15
  4. Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1), adică y−8=15(x−1)\displaystyle y-8=15(x-1). Atunci y=15x−15+8\displaystyle y=15x-15+8, deci y=15x−7\displaystyle y=15x-7.
    y=15x−7\displaystyle y=15x-7
  5. Înlocuim abscisa lui A\displaystyle A, x=23\displaystyle x=\dfrac{2}{3}, în ecuația tangentei: 15⋅23−7=10−7=3\displaystyle 15\cdot\dfrac{2}{3}-7=10-7=3. Rezultatul coincide cu ordonata lui A\displaystyle A, deci A\displaystyle A aparține tangentei.
    15⋅23−7=3, deci A∈ tangenta˘\displaystyle 15\cdot\dfrac{2}{3}-7=3\text{, deci }A\in\text{ tangentă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=8x2−ln⁡x\displaystyle f(x)=8x^2-\ln x.

Demonstrați că f(13)<f(17)<f(12)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{3}\right)<f\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)<f\left(\dfrac{1}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): derivata lui 8x2\displaystyle 8x^{2} este 16x\displaystyle 16x, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=16x−1x\displaystyle f'(x)=16x-\dfrac{1}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor, ca să-i studiem semnul.
    f′(x)=16x2−1x=(4x−1)(4x+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{16x^{2}-1}{x}=\dfrac{(4x-1)(4x+1)}{x}
  3. Pentru x>14\displaystyle x>\dfrac{1}{4} avem 4x−1>0\displaystyle 4x-1>0, 4x+1>0\displaystyle 4x+1>0 și x>0\displaystyle x>0, deci fracția este pozitivă. Prin urmare f\displaystyle f este strict crescătoare pe (14,+∞)\displaystyle \left(\dfrac{1}{4},+\infty\right).
    x∈(14,+∞)⇒f′(x)>0\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)\Rightarrow f'(x)>0
  4. Comparăm numerele 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, 17\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{7}} și 12\displaystyle \dfrac{1}{2}. Din 2<7<3\displaystyle 2<\sqrt{7}<3 rezultă 13<17<12\displaystyle \dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{7}}<\dfrac{1}{2}. Cum 4>3\displaystyle 4>3, avem 14<13\displaystyle \dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{3}, deci toate trei numerele sunt în intervalul (14,+∞)\displaystyle \left(\dfrac{1}{4},+\infty\right).
    14<13<17<12\displaystyle \dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{7}}<\dfrac{1}{2}
  5. Deoarece f\displaystyle f este strict crescătoare pe (14,+∞)\displaystyle \left(\dfrac{1}{4},+\infty\right), inegalitățile dintre argumente se păstrează pentru valorile funcției, ceea ce trebuia demonstrat.
    f(13)<f(17)<f(12)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{3}\right)<f\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\right)<f\left(\dfrac{1}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+3}{x+3}.

Arătați că ∫01(x+3)f(x) dx=4\displaystyle \int_0^1 (x+3)f(x)\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa în produsul (x+3)f(x)\displaystyle (x+3)f(x). Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x+3>0\displaystyle x+3>0, deci putem simplifica fracția prin x+3\displaystyle x+3.
    (x+3)f(x)=(x+3)⋅2x+3x+3=2x+3\displaystyle (x+3)f(x)=(x+3)\cdot\dfrac{2x+3}{x+3}=2x+3
  2. Integrala devine ∫01(2x+3) dx\displaystyle \int_0^1(2x+3)\,dx. Aflăm o primitivă: primitiva lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar primitiva lui 3\displaystyle 3 este 3x\displaystyle 3x.
    ∫01(x+3)f(x) dx=∫01(2x+3) dx=(x2+3x)∣01\displaystyle \int_0^1 (x+3)f(x)\,dx=\int_0^1(2x+3)\,dx=\left(x^2+3x\right)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența. Obținem 4\displaystyle 4, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (12+3⋅1)−(02+3⋅0)=1+3−0=4\displaystyle \left(1^2+3\cdot 1\right)-\left(0^2+3\cdot 0\right)=1+3-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+3}{x+3}.

Arătați că ∫01f(x) dx=2−3ln⁡43\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=2-3\ln\dfrac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută: ∫01f(x) dx=∫012x+3x+3 dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\dfrac{2x+3}{x+3}\,dx. Intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] este inclus în (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty), deci funcția este continuă pe el.
    ∫012x+3x+3 dx\displaystyle \int_0^1\dfrac{2x+3}{x+3}\,dx
  2. Separăm fracția: la numărător scriem 2x+3=2(x+3)−3\displaystyle 2x+3=2(x+3)-3. Atunci 2x+3x+3=2(x+3)−3x+3=2−3x+3\displaystyle \dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{2(x+3)-3}{x+3}=2-\dfrac{3}{x+3}.
    2x+3x+3=2−3x+3\displaystyle \dfrac{2x+3}{x+3}=2-\dfrac{3}{x+3}
  3. Înlocuim în integrală și integrăm termen cu termen. Primitiva lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x, iar primitiva lui 1x+3\displaystyle \dfrac{1}{x+3} este ln⁡(x+3)\displaystyle \ln(x+3), deoarece x+3>0\displaystyle x+3>0.
    ∫01(2−3x+3)dx=2x∣01−3ln⁡(x+3)∣01\displaystyle \int_0^1\left(2-\dfrac{3}{x+3}\right)dx=2x\Big|_0^1-3\ln(x+3)\Big|_0^1
  4. Calculăm primul termen cu formula Leibniz-Newton: 2x∣01=2⋅1−2⋅0=2\displaystyle 2x\Big|_0^1=2\cdot 1-2\cdot 0=2.
    2x∣01=2\displaystyle 2x\Big|_0^1=2
  5. Calculăm al doilea termen: 3ln⁡(x+3)∣01=3(ln⁡4−ln⁡3)\displaystyle 3\ln(x+3)\Big|_0^1=3\left(\ln 4-\ln 3\right).
    3ln⁡(x+3)∣01=3(ln⁡4−ln⁡3)\displaystyle 3\ln(x+3)\Big|_0^1=3(\ln 4-\ln 3)
  6. Scădem cei doi termeni și folosim ln⁡4−ln⁡3=ln⁡43\displaystyle \ln 4-\ln 3=\ln\dfrac{4}{3}. Obținem valoarea cerută.
    ∫01f(x) dx=2−3(ln⁡4−ln⁡3)=2−3ln⁡43\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=2-3(\ln 4-\ln 3)=2-3\ln\dfrac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{2x+3}{x+3}.

Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01ex(x+3)n(f(x))n dx\displaystyle I_n=\int_0^1 e^x(x+3)^n(f(x))^n\,dx. Demonstrați că In+2nIn−1=e⋅5n−3n\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=e\cdot 5^n-3^n, pentru orice număr natural n\displaystyle n, n≥1\displaystyle n\ge 1.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm integrandul: (x+3)n(f(x))n=(x+3)n⋅(2x+3)n(x+3)n=(2x+3)n\displaystyle (x+3)^n\left(f(x)\right)^n=(x+3)^n\cdot\dfrac{(2x+3)^n}{(x+3)^n}=(2x+3)^n, deoarece x+3>0\displaystyle x+3>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    In=∫01ex(2x+3)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1 e^x(2x+3)^n\,dx
  2. Pentru integrarea prin părți alegem u=(2x+3)n\displaystyle u=(2x+3)^n și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci u′=2n(2x+3)n−1\displaystyle u'=2n(2x+3)^{n-1} și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u′=2n(2x+3)n−1\displaystyle u'=2n(2x+3)^{n-1},v=ex\displaystyle \quad v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫01uv′ dx=uv∣01−∫01u′v dx\displaystyle \int_0^1 uv'\,dx=uv\Big|_0^1-\int_0^1 u'v\,dx și obținem relația de mai jos.
    In=ex(2x+3)n∣01−2n∫01ex(2x+3)n−1 dx\displaystyle I_n=e^x(2x+3)^n\Big|_0^1-2n\int_0^1 e^x(2x+3)^{n-1}\,dx
  4. Calculăm termenul integrat: la x=1\displaystyle x=1 obținem e⋅5n\displaystyle e\cdot 5^n, iar la x=0\displaystyle x=0 obținem e0⋅3n=3n\displaystyle e^0\cdot 3^n=3^n.
    ex(2x+3)n∣01=e⋅5n−3n\displaystyle e^x(2x+3)^n\Big|_0^1=e\cdot 5^n-3^n
  5. Integrala rămasă este chiar In−1=∫01ex(2x+3)n−1 dx\displaystyle I_{n-1}=\int_0^1 e^x(2x+3)^{n-1}\,dx, conform simplificării de la început, valabilă și pentru n−1\displaystyle n-1.
    In=e⋅5n−3n−2nIn−1\displaystyle I_n=e\cdot 5^n-3^n-2nI_{n-1}
  6. Mutăm termenul 2nIn−1\displaystyle 2nI_{n-1} în membrul stâng și obținem egalitatea cerută, pentru orice n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥1\displaystyle n\ge 1.
    In+2nIn−1=e⋅5n−3n, pentru orice numa˘r \displaystyle I_n+2nI_{n-1}=e\cdot 5^n-3^n\text{, pentru orice număr }natural n, n≥1\displaystyle \text{natural }n\text{, }n\ge 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.