Bac matematică M1 mate-info 2013, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul a=3(3−2i)+2(5+3i)\displaystyle a=3(3-2i)+2(5+3i) este real.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim factorul 3\displaystyle 3 în prima paranteză: înmulțim 3\displaystyle 3 cu 3\displaystyle 3 și cu −2i\displaystyle -2i, deci 3(3−2i)=3⋅3−3⋅2i\displaystyle 3(3-2i)=3\cdot 3-3\cdot 2i.
    3(3−2i)=9−6i\displaystyle 3(3-2i)=9-6i
  2. Distribuim factorul 2\displaystyle 2 în a doua paranteză: înmulțim 2\displaystyle 2 cu 5\displaystyle 5 și cu 3i\displaystyle 3i, deci 2(5+3i)=2⋅5+2⋅3i\displaystyle 2(5+3i)=2\cdot 5+2\cdot 3i.
    2(5+3i)=10+6i\displaystyle 2(5+3i)=10+6i
  3. Adunăm cele două rezultate: a=(9−6i)+(10+6i)\displaystyle a=(9-6i)+(10+6i). Adunăm separat părțile reale, 9+10=19\displaystyle 9+10=19, și părțile imaginare, −6i+6i=0\displaystyle -6i+6i=0. Rămâne doar partea reală, deci numărul este real.
    a=(9+10)+(−6+6)i=19∈R\displaystyle a=(9+10)+(-6+6)i=19\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−1\displaystyle f(x)=4x-1. Calculați f(1)+f(2)+…+f(10)\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare termen al sumei folosind formula funcției: f(k)=4k−1\displaystyle f(k)=4k-1, pentru k\displaystyle k de la 1\displaystyle 1 la 10\displaystyle 10.
    f(1)+f(2)+…+f(10)=(4⋅1−1)+(4⋅2−1)+…+(4⋅10−1)\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10)=(4\cdot 1-1)+(4\cdot 2-1)+\ldots+(4\cdot 10-1)
  2. Grupăm termenii cu 4k\displaystyle 4k, iar termenul −1\displaystyle -1 apare de zece ori, deci scoatem 4\displaystyle 4 factor comun și obținem −10\displaystyle -10.
    f(1)+f(2)+…+f(10)=4⋅(1+2+…+10)−10\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10)=4\cdot(1+2+\ldots+10)-10
  3. Calculăm suma primelor zece numere naturale nenule cu formula lui Gauss, n(n+1)2\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}, pentru n=10\displaystyle n=10.
    1+2+…+10=10⋅112=55\displaystyle 1+2+\ldots+10=\dfrac{10\cdot 11}{2}=55
  4. Înlocuim suma 55\displaystyle 55 în expresia obținută și efectuăm calculele: 4⋅55=220\displaystyle 4\cdot 55=220, iar 220−10=210\displaystyle 220-10=210.
    4⋅55−10=220−10=210\displaystyle 4\cdot 55-10=220-10=210
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x)=log⁡2(1+x)\displaystyle \log_2(2x)=\log_2(1+x).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din 2x>0\displaystyle 2x>0 rezultă x>0\displaystyle x>0, iar din 1+x>0\displaystyle 1+x>0 rezultă x>−1\displaystyle x>-1. Deci x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Funcția logaritmică de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor. Obținem ecuația 2x=1+x\displaystyle 2x=1+x.
    2x=1+x\displaystyle 2x=1+x
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: scădem x\displaystyle x din ambii membri și obținem 2x−x=1\displaystyle 2x-x=1, adică x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Verificăm soluția: 1>0\displaystyle 1>0, deci convine. Într-adevăr, log⁡2(2⋅1)=log⁡22\displaystyle \log_2(2\cdot 1)=\log_2 2 și log⁡2(1+1)=log⁡22\displaystyle \log_2(1+1)=\log_2 2. Soluția ecuației este x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\% prețul unui produs este 2200\displaystyle 2200 de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul produsului înainte de scumpire, în lei. După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\% prețul crește cu 10%\displaystyle 10\% din x\displaystyle x, deci prețul nou este x+10%⋅x\displaystyle x+10\%\cdot x, iar acesta este egal cu 2200\displaystyle 2200.
    x+10%⋅x=2200\displaystyle x+10\%\cdot x=2200
  2. Scriem 10%\displaystyle 10\% ca fracție zecimală, adică 0,1\displaystyle 0{,}1, și dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(1+0,1)=1,1⋅x\displaystyle x(1+0{,}1)=1{,}1\cdot x.
    1,1⋅x=2200\displaystyle 1{,}1\cdot x=2200
  3. Împărțim ecuația la 1,1\displaystyle 1{,}1 și obținem prețul inițial: x=22001,1=2000\displaystyle x=\dfrac{2200}{1{,}1}=2000. Prețul înainte de scumpire a fost 2000\displaystyle 2000 de lei.
    2000 de lei\displaystyle 2000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗=i⃗+4j⃗\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+4\vec{j} și v⃗=2i⃗+(a+1)j⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+(a+1)\vec{j} sunt coliniari.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem coordonatele vectorilor: u⃗\displaystyle \vec{u} are coordonatele (1,4)\displaystyle (1,4), iar v⃗\displaystyle \vec{v} are coordonatele (2,a+1)\displaystyle (2,a+1).
    u⃗(1,4)\displaystyle \vec{u}(1,4), v⃗(2,a+1)\displaystyle \ \vec{v}(2,a+1)
  2. Doi vectori sunt coliniari dacă coordonatele lor sunt proporționale. Egalăm rapoartele coordonatelor corespunzătoare: 21=a+14\displaystyle \dfrac{2}{1}=\dfrac{a+1}{4}.
    21=a+14\displaystyle \frac{2}{1}=\frac{a+1}{4}
  3. Înmulțim ambii membri cu 4\displaystyle 4 și obținem a+1=8\displaystyle a+1=8.
    a+1=8\displaystyle a+1=8
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem a=7\displaystyle a=7.
    a=7\displaystyle a=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), știind că 3sin⁡x+cos⁡xsin⁡x=4\displaystyle \frac{3\sin x+\cos x}{\sin x}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right) avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci numitorul este nenul și putem înmulți egalitatea cu sin⁡x\displaystyle \sin x.
    sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0
  2. Eliminăm numitorul: înmulțim ambii membri cu sin⁡x\displaystyle \sin x și obținem 3sin⁡x+cos⁡x=4sin⁡x\displaystyle 3\sin x+\cos x=4\sin x.
    3sin⁡x+cos⁡x=4sin⁡x\displaystyle 3\sin x+\cos x=4\sin x
  3. Scădem 3sin⁡x\displaystyle 3\sin x din ambii membri și obținem sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x.
    sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x
  4. Cum cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0 pe intervalul dat, împărțim la cos⁡x\displaystyle \cos x și obținem tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg} x=1.
    tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg} x=1
  5. Pe intervalul (0,π2)\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right) tangenta este egală cu 1 doar pentru x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}.
    x=π4\displaystyle x=\frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣111aa21bb21∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&a^2&1\\b&b^2&1\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că D(2,3)=2\displaystyle D(2,3)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 și b=3\displaystyle b=3 în determinant: a doua linie devine (2, 4, 1)\displaystyle (2,\ 4,\ 1), iar a treia linie devine (3, 9, 1)\displaystyle (3,\ 9,\ 1).
    D(2,3)=∣111241391∣\displaystyle D(2,3)=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\3&9&1\end{vmatrix}
  2. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Mai întâi adunăm produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: 1⋅4⋅1\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1, 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3 și 1⋅2⋅9\displaystyle 1\cdot 2\cdot 9.
    1⋅4⋅1+1⋅1⋅3+1⋅2⋅9=4+3+18=25\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1+1\cdot 1\cdot 3+1\cdot 2\cdot 9=4+3+18=25
  3. Apoi calculăm produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: 1⋅4⋅3\displaystyle 1\cdot 4\cdot 3, 1⋅1⋅9\displaystyle 1\cdot 1\cdot 9 și 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1.
    1⋅4⋅3+1⋅1⋅9+1⋅2⋅1=12+9+2=23\displaystyle 1\cdot 4\cdot 3+1\cdot 1\cdot 9+1\cdot 2\cdot 1=12+9+2=23
  4. Determinantul este diferența dintre primele produse și celelalte: 25−23\displaystyle 25-23, deci D(2,3)=2\displaystyle D(2,3)=2, ceea ce trebuia arătat.
    D(2,3)=25−23=2\displaystyle D(2,3)=25-23=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣111aa21bb21∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&a^2&1\\b&b^2&1\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Verificați dacă D(a,b)=(a−1)(b−1)(b−a)\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem ultima coloană din prima și din a doua coloană: C1→C1−C3\displaystyle C_1\to C_1-C_3, C2→C2−C3\displaystyle C_2\to C_2-C_3. Valoarea determinantului nu se schimbă. Pe prima linie obținem 1−1=0\displaystyle 1-1=0, 1−1=0\displaystyle 1-1=0 și 1\displaystyle 1.
    D(a,b)=∣001a−1a2−11b−1b2−11∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}0&0&1\\a-1&a^2-1&1\\b-1&b^2-1&1\end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie. Singurul element nenul este 1\displaystyle 1, aflat pe linia 1\displaystyle 1, coloana 3\displaystyle 3, cu semnul plus, deoarece 1+3\displaystyle 1+3 este par. Rămâne minorul de ordin 2 format din primele două coloane și ultimele două linii.
    D(a,b)=∣a−1a2−1b−1b2−1∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}a-1&a^2-1\\b-1&b^2-1\end{vmatrix}
  3. Descompunem diferențele de pătrate: a2−1=(a−1)(a+1)\displaystyle a^2-1=(a-1)(a+1) și b2−1=(b−1)(b+1)\displaystyle b^2-1=(b-1)(b+1). Scoatem factorul a−1\displaystyle a-1 de pe prima linie și factorul b−1\displaystyle b-1 de pe a doua linie.
    D(a,b)=(a−1)(b−1)∣1a+11b+1∣\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)\begin{vmatrix}1&a+1\\1&b+1\end{vmatrix}
  4. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 1⋅(b+1)−1⋅(a+1)\displaystyle 1\cdot(b+1)-1\cdot(a+1).
    ∣1a+11b+1∣=(b+1)−(a+1)=b−a\displaystyle \begin{vmatrix}1&a+1\\1&b+1\end{vmatrix}=(b+1)-(a+1)=b-a
  5. Înlocuim valoarea determinantului de ordin 2 în expresia obținută. Rezultă că egalitatea din enunț este adevărată pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    D(a,b)=(a−1)(b−1)(b−a)\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră determinantul D(a,b)=∣111aa21bb21∣\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&a^2&1\\b&b^2&1\end{vmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele Pn(n,n2)\displaystyle P_n(n,n^2), unde n\displaystyle n este un număr natural nenul. Determinați numărul natural n\displaystyle n, n≥3\displaystyle n\ge 3, pentru care aria triunghiului P1P2Pn\displaystyle P_1P_2P_n este egală cu 1\displaystyle 1.
Vezi rezolvarea
  1. Aria triunghiului este A=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|\Delta\right|, unde Δ\displaystyle \Delta este determinantul coordonatelor vârfurilor, completat cu coloana de 1\displaystyle 1. Avem P1(1,1)\displaystyle P_1(1,1), P2(2,4)\displaystyle P_2(2,4), Pn(n,n2)\displaystyle P_n(n,n^2).
    A=12∣Δ∣\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|\Delta\right|
  2. Scriem determinantul pentru P1\displaystyle P_1, P2\displaystyle P_2, Pn\displaystyle P_n, pe linii: (1,1,1)\displaystyle (1,1,1), (2,22,1)\displaystyle (2,2^2,1), (n,n2,1)\displaystyle (n,n^2,1).
    Δ=∣111241nn21∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&4&1\\n&n^2&1\end{vmatrix}
  3. Dezvoltăm după prima linie: Δ=(4−n2)−(2−n)+(2n2−4n)\displaystyle \Delta=(4-n^2)-(2-n)+(2n^2-4n). Gruparea termenilor dă Δ=(2−n)(2+n)−(2−n)−2n(2−n)=(2−n)(2+n−1−2n)=(2−n)(1−n)\displaystyle \Delta=(2-n)(2+n)-(2-n)-2n(2-n)=(2-n)(2+n-1-2n)=(2-n)(1-n).
    Δ=(n−1)(n−2)\displaystyle \Delta=(n-1)(n-2)
  4. Deoarece n≥3\displaystyle n\ge 3, avem (n−1)(n−2)>0\displaystyle (n-1)(n-2)>0, deci ∣Δ∣=(n−1)(n−2)\displaystyle \left|\Delta\right|=(n-1)(n-2) și aria este jumătate din acest produs.
    A=(n−1)(n−2)2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}
  5. Condiția A=1\displaystyle \mathcal{A}=1 devine (n−1)(n−2)=2\displaystyle (n-1)(n-2)=2. Desfacem parantezele: n2−3n+2=2\displaystyle n^2-3n+2=2, deci n(n−3)=0\displaystyle n(n-3)=0. Soluțiile sunt n=0\displaystyle n=0 și n=3\displaystyle n=3, iar condiția n≥3\displaystyle n\ge 3 păstrează doar n=3\displaystyle n=3.
    A=1⇔(n−1)(n−2)=2⇔n=3\displaystyle \mathcal{A}=1\Leftrightarrow(n-1)(n-2)=2\Leftrightarrow n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3−4X2+3X−m\displaystyle f=X^3-4X^2+3X-m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=4\displaystyle m=4, arătați că f(4)=8\displaystyle f(4)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=4\displaystyle m=4 în f=X3−4X2+3X−m\displaystyle f=X^3-4X^2+3X-m și obținem polinomul f\displaystyle f.
    f=X3−4X2+3X−4\displaystyle f=X^3-4X^2+3X-4
  2. Calculăm f(4)\displaystyle f(4), înlocuind X\displaystyle X cu 4\displaystyle 4 în expresia polinomului.
    f(4)=43−4⋅42+3⋅4−4\displaystyle f(4)=4^3-4\cdot4^2+3\cdot4-4
  3. Efectuăm puterile și înmulțirile: 43=64\displaystyle 4^3=64, 4⋅42=64\displaystyle 4\cdot4^2=64, iar 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot4=12.
    f(4)=64−64+12−4\displaystyle f(4)=64-64+12-4
  4. Reducem termenii: 64−64=0\displaystyle 64-64=0, iar 12−4=8\displaystyle 12-4=8. Deci f(4)=8\displaystyle f(4)=8, ceea ce trebuia arătat.
    f(4)=8\displaystyle f(4)=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3−4X2+3X−m\displaystyle f=X^3-4X^2+3X-m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care rădăcinile polinomului f\displaystyle f verifică relația x1+x2=x3\displaystyle x_1+x_2=x_3.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul este f=X3−4X2+3X−m\displaystyle f=X^3-4X^2+3X-m. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−−41\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-4}{1}.
    x1+x2+x3=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=4
  2. Din condiția x1+x2=x3\displaystyle x_1+x_2=x_3, înlocuim în suma rădăcinilor: x3+x3=4\displaystyle x_3+x_3=4, deci 2x3=4\displaystyle 2x_3=4.
    2x3=4\displaystyle 2x_3=4
  3. Împărțind la 2\displaystyle 2, obținem valoarea rădăcinii x3\displaystyle x_3.
    x3=2\displaystyle x_3=2
  4. Cum x3=2\displaystyle x_3=2 este rădăcină a lui f\displaystyle f, avem f(2)=0\displaystyle f(2)=0, adică 23−4⋅22+3⋅2−m=0\displaystyle 2^3-4\cdot 2^2+3\cdot 2-m=0.
    8−16+6−m=0\displaystyle 8-16+6-m=0
  5. Calculăm 8−16+6=−2\displaystyle 8-16+6=-2, deci −2−m=0\displaystyle -2-m=0, de unde se obține valoarea lui m\displaystyle m.
    m=−2\displaystyle m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3−4X2+3X−m\displaystyle f=X^3-4X^2+3X-m, unde m\displaystyle m este număr real.

Dacă x13+x23+x33=7(x1+x2+x3)\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=7(x_1+x_2+x_3), arătați că f\displaystyle f se divide cu X−3\displaystyle X-3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3−4X2+3X−m\displaystyle f=X^3-4X^2+3X-m: suma rădăcinilor, suma produselor a câte două rădăcini și produsul rădăcinilor.
    x1+x2+x3=4\displaystyle x_1+x_2+x_3=4,x1x2+x1x3+x2x3=3\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3,x1x2x3=m\displaystyle \quad x_1x_2x_3=m
  2. Folosim identitatea x13+x23+x33=S3−3SP+3x1x2x3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=S^3-3SP+3x_1x_2x_3, unde S=x1+x2+x3\displaystyle S=x_1+x_2+x_3 și P=x1x2+x1x3+x2x3\displaystyle P=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3.
    x13+x23+x33=S3−3SP+3x1x2x3\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=S^3-3SP+3x_1x_2x_3
  3. Înlocuim S=4\displaystyle S=4, P=3\displaystyle P=3 și x1x2x3=m\displaystyle x_1x_2x_3=m: 43−3⋅4⋅3+3m=64−36+3m\displaystyle 4^3-3\cdot 4\cdot 3+3m=64-36+3m.
    x13+x23+x33=3m+28\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=3m+28
  4. Din ipoteză, x13+x23+x33=7(x1+x2+x3)=7⋅4=28\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=7(x_1+x_2+x_3)=7\cdot 4=28. Deci 3m+28=28\displaystyle 3m+28=28, de unde m=0\displaystyle m=0.
    3m+28=28⇒m=0\displaystyle 3m+28=28\Rightarrow m=0
  5. Pentru m=0\displaystyle m=0 avem f=X3−4X2+3X\displaystyle f=X^3-4X^2+3X. Calculăm f(3)=27−36+9=0\displaystyle f(3)=27-36+9=0. Conform teoremei lui Bézout, f\displaystyle f se divide cu X−3\displaystyle X-3.
    f(3)=27−36+9=0, deci f se divide cu X−3\displaystyle f(3)=27-36+9=0\text{, deci }f\text{ se divide cu }X-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x+x22\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=cos⁡x+x22\displaystyle f(x)=\cos x+\dfrac{x^{2}}{2} este o sumă de doi termeni, deci derivata ei este suma derivatelor celor doi termeni.
    f′(x)=(cos⁡x)′+(x22)′\displaystyle f'(x)=(\cos x)'+\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'
  2. Folosim formula de derivare pentru cosinus: (cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)'=-\sin x.
    (cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)'=-\sin x
  3. Scoatem constanta 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fața derivatei și folosim (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1} pentru n=2\displaystyle n=2: (x22)′=12⋅2x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2x.
    (x22)′=2⋅x2=x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=2\cdot\dfrac{x}{2}=x
  4. Adunăm cele două derivate: f′(x)=−sin⁡x+x\displaystyle f'(x)=-\sin x+x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−sin⁡x+2⋅x2=x−sin⁡x\displaystyle f'(x)=-\sin x+2\cdot\dfrac{x}{2}=x-\sin x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x+x22\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), adică y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)=cos⁡0+022=1+0=1\displaystyle f(0)=\cos 0+\dfrac{0^{2}}{2}=1+0=1.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  3. Derivăm funcția: f′(x)=(cos⁡x)′+(x22)′=−sin⁡x+x\displaystyle f'(x)=(\cos x)'+\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=-\sin x+x.
    f′(x)=−sin⁡x+x\displaystyle f'(x)=-\sin x+x
  4. Calculăm f′(0)=−sin⁡0+0=0\displaystyle f'(0)=-\sin 0+0=0. Așadar f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−1=0⋅(x−0)\displaystyle y-1=0\cdot(x-0), deci y−1=0\displaystyle y-1=0.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=cos⁡x+x22\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}.

Demonstrați că f(x)≥1\displaystyle f(x)\ge 1, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f: derivata lui cos⁡x\displaystyle \cos x este −sin⁡x\displaystyle -\sin x, iar derivata lui x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} este x\displaystyle x.
    f′(x)=−sin⁡x+x\displaystyle f'(x)=-\sin x+x
  2. Calculăm a doua derivată: derivata lui −sin⁡x\displaystyle -\sin x este −cos⁡x\displaystyle -\cos x, iar derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1. Cum cos⁡x≤1\displaystyle \cos x\le 1, rezultă că f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\ge 0 pentru orice x\displaystyle x real.
    f′′(x)=−cos⁡x+1≥0\displaystyle f''(x)=-\cos x+1\ge 0
  3. Deoarece f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\ge 0, funcția f′\displaystyle f' este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}. Calculăm valoarea ei în 0\displaystyle 0: f′(0)=−sin⁡0+0=0\displaystyle f'(0)=-\sin 0+0=0.
    f′ cresca˘toare\displaystyle f'\text{ crescătoare},f′(0)=0\displaystyle \quad f'(0)=0
  4. Din monotonia lui f′\displaystyle f' și din f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 obținem semnul ei: pentru x≤0\displaystyle x\le 0 avem f′(x)≤f′(0)=0\displaystyle f'(x)\le f'(0)=0, iar pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 avem f′(x)≥f′(0)=0\displaystyle f'(x)\ge f'(0)=0. Deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] și crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f′(x)≤0 pentru x∈(−∞,0] și f′(x)≥0 pentru x∈[0,+∞)\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pentru }x\in(-\infty,0]\text{ și }f'(x)\ge 0\text{ pentru }x\in[0,+\infty)
  5. Calculăm f(0)=cos⁡0+022=1\displaystyle f(0)=\cos 0+\dfrac{0^{2}}{2}=1. Cum f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] și crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), valoarea f(0)\displaystyle f(0) este minimul funcției, deci f(x)≥f(0)=1\displaystyle f(x)\ge f(0)=1 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f(x)≥f(0)⇒f(x)≥1\displaystyle f(x)\ge f(0)\Rightarrow f(x)\ge 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^x\,dx.

Calculați I1\displaystyle I_1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 obținem integrala I1=∫01xex dx\displaystyle I_1=\int_0^1 xe^x\,dx.
    I1=∫01xex dx\displaystyle I_1=\int_0^1 xe^x\,dx
  2. Folosim integrarea prin părți, ∫01u v′ dx=uv∣01−∫01u′ v dx\displaystyle \int_0^1 u\,v'\,dx=uv\Big|_0^1-\int_0^1 u'\,v\,dx. Alegem u=x\displaystyle u=x și v′=ex\displaystyle v'=e^x, deci u′=1\displaystyle u'=1 și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x\displaystyle u=x,v′=ex\displaystyle \quad v'=e^x,u′=1\displaystyle \quad u'=1,v=ex\displaystyle \quad v=e^x
  3. Aplicând formula, obținem I1=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle I_1=xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx.
    I1=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle I_1=xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  4. Calculăm xex∣01=1⋅e1−0⋅e0=e\displaystyle xe^x\Big|_0^1=1\cdot e^1-0\cdot e^0=e.
    xex∣01=e\displaystyle xe^x\Big|_0^1=e
  5. Avem ∫01ex dx=ex∣01=e−1\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=e-1.
    ∫01ex dx=e−1\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e-1
  6. Prin urmare I1=e−(e−1)=1\displaystyle I_1=e-(e-1)=1.
    I1=e−(e−1)=1\displaystyle I_1=e-(e-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^x\,dx.

Arătați că In+1+(n+1)In=e\displaystyle I_{n+1}+(n+1)I_n=e, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiție, In+1=∫01xn+1ex dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^x\,dx.
    In+1=∫01xn+1ex dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^x\,dx
  2. Integrăm prin părți, derivând puterea lui x\displaystyle x. Alegem u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1} și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=(n+1)xn dx\displaystyle du=(n+1)x^{n}\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=xn+1\displaystyle u=x^{n+1}, dv=ex dx⇒du=(n+1)xn dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\Rightarrow du=(n+1)x^{n}\,dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=uv\Big|_0^1-\int_0^1 v\,du și obținem rezultatul de mai jos.
    In+1=xn+1ex∣01−(n+1)∫01xnex dx\displaystyle I_{n+1}=x^{n+1}e^x\Big|_0^1-(n+1)\int_0^1 x^ne^x\,dx
  4. Calculăm termenul integrat: xn+1ex∣01=1n+1⋅e1−0n+1⋅e0=e−0\displaystyle x^{n+1}e^x\Big|_0^1=1^{n+1}\cdot e^1-0^{n+1}\cdot e^0=e-0.
    xn+1ex∣01=e\displaystyle x^{n+1}e^x\Big|_0^1=e
  5. Integrala rămasă este ∫01xnex dx=In\displaystyle \int_0^1 x^ne^x\,dx=I_n, deci In+1=e−(n+1)In\displaystyle I_{n+1}=e-(n+1)I_n.
    In+1=e−(n+1)In\displaystyle I_{n+1}=e-(n+1)I_n
  6. Mutăm termenul (n+1)In\displaystyle (n+1)I_n în membrul stâng și obținem egalitatea cerută, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    In+1+(n+1)In=e\displaystyle I_{n+1}+(n+1)I_n=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^x\,dx.

Arătați că 1≤(n+1)In≤e\displaystyle 1\le(n+1)I_n\le e, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] funcția exponențială este crescătoare, deci ex\displaystyle e^x este cuprins între e0=1\displaystyle e^0=1 și e1=e\displaystyle e^1=e.
    1≤ex≤e\displaystyle 1\le e^x\le e, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] și n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^* avem xn≥0\displaystyle x^n\ge0. Înmulțim inegalitatea precedentă cu xn\displaystyle x^n, ceea ce nu schimbă sensul inegalităților.
    xn≤xnex≤xne\displaystyle x^n\le x^ne^x\le x^ne, ∀x∈[0,1]\displaystyle \ \forall x\in[0,1]
  3. Integrăm inegalitatea pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1]. Integrala păstrează inegalitățile, iar constanta e\displaystyle e iese în fața integralei. Integrala din mijloc este chiar In\displaystyle I_n.
    ∫01xn dx≤In≤e∫01xn dx\displaystyle \int_0^1 x^n\,dx\le I_n\le e\int_0^1 x^n\,dx
  4. Calculăm integrala lui xn\displaystyle x^n pe [0,1]\displaystyle [0,1], folosind primitiva xn+1n+1\displaystyle \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
    ∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1\displaystyle \int_0^1 x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_0^1=\dfrac{1}{n+1}
  5. Înlocuim în dubla inegalitate valoarea 1n+1\displaystyle \dfrac{1}{n+1} și înmulțim cu n+1>0\displaystyle n+1>0. Obținem inegalitatea cerută.
    1n+1≤In≤en+1⇒1≤(n+1)In≤e\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\le I_n\le\dfrac{e}{n+1}\Rightarrow 1\le(n+1)I_n\le e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.