Bac matematică M1 mate-info 2019, sesiunea I rezervă varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, știind că b1=1\displaystyle b_1=1 și b2=3\displaystyle b_2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi este rația q\displaystyle q. Calculăm rația ca raport între b2\displaystyle b_2 și b1\displaystyle b_1: q=b2b1=31\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{3}{1}.
    q=3\displaystyle q=3
  2. Al treilea termen se obține înmulțind al doilea termen cu rația: b3=b2⋅q=3⋅3\displaystyle b_3=b_2\cdot q=3\cdot 3.
    b3=9\displaystyle b_3=9
  3. Adunăm primii trei termeni: b1+b2+b3=1+3+9\displaystyle b_1+b_2+b_3=1+3+9.
    b1+b2+b3=1+3+9=13\displaystyle b_1+b_2+b_3=1+3+9=13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2+mx+7=0\displaystyle x^2+mx+7=0, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care 2x1+2x2+3x1x2=1\displaystyle 2x_1+2x_2+3x_1x_2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ecuația x2+mx+7=0\displaystyle x^2+mx+7=0 avem a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle b=m, c=7\displaystyle c=7. Din relațiile lui Viète, x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} și x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2=−m\displaystyle x_1+x_2=-m, x1x2=7\displaystyle \ x_1x_2=7
  2. În condiția 2x1+2x2+3x1x2=1\displaystyle 2x_1+2x_2+3x_1x_2=1 dăm factor comun pe 2 la primii doi termeni, ca să apară suma soluțiilor.
    2(x1+x2)+3x1x2=1\displaystyle 2(x_1+x_2)+3x_1x_2=1
  3. Înlocuim x1+x2=−m\displaystyle x_1+x_2=-m și x1x2=7\displaystyle x_1x_2=7 și calculăm: 2⋅(−m)+3⋅7=1\displaystyle 2\cdot(-m)+3\cdot 7=1.
    −2m+21=1\displaystyle -2m+21=1
  4. Din −2m+21=1\displaystyle -2m+21=1 obținem −2m=−20\displaystyle -2m=-20, deci m=10\displaystyle m=10.
    m=10\displaystyle m=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−2)+log⁡2(x+2)=5\displaystyle \log_2(x-2)+\log_2(x+2)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică x−2>0\displaystyle x-2>0 și x+2>0\displaystyle x+2>0. Rezultă x>2\displaystyle x>2.
    x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty)
  2. Folosim proprietatea sumei de logaritmi în aceeași bază: log⁡2a+log⁡2b=log⁡2(ab)\displaystyle \log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab). Ecuația devine log⁡2[(x−2)(x+2)]=5\displaystyle \log_2\left[(x-2)(x+2)\right]=5.
    log⁡2[(x−2)(x+2)]=5\displaystyle \log_2\left[(x-2)(x+2)\right]=5
  3. Trecem la forma exponențială: (x−2)(x+2)=25=32\displaystyle (x-2)(x+2)=2^5=32. Aplicăm formula diferenței de pătrate și obținem x2−4=32\displaystyle x^2-4=32, deci x2−36=0\displaystyle x^2-36=0.
    (x−2)(x+2)=25⇒x2−36=0\displaystyle (x-2)(x+2)=2^5\Rightarrow x^2-36=0
  4. Rezolvăm ecuația x2=36\displaystyle x^2=36, deci x=−6\displaystyle x=-6 sau x=6\displaystyle x=6.
    x=−6 sau x=6\displaystyle x=-6\text{ sau }x=6
  5. Verificăm condiția x>2\displaystyle x>2. Valoarea x=−6\displaystyle x=-6 nu o respectă, deci nu convine. Valoarea x=6\displaystyle x=6 o respectă, deci convine. Soluția ecuației este x=6\displaystyle x=6.
    x=−6, care nu convine, x=6, care convine\displaystyle x=-6\text{, care nu convine, }x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de trei cifre are cifra sutelor, cifra zecilor și cifra unităților. Cifrele se aleg succesiv din mulțimea {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\} și trebuie să fie distincte, deci aplicăm regula produsului. Pentru cifra sutelor putem alege oricare dintre cele 5 elemente ale mulțimii, deci avem 5\displaystyle 5 posibilități.
    5\displaystyle 5
  2. Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra sutelor, deci din cele 5\displaystyle 5 elemente rămân 4\displaystyle 4 posibilități.
    4\displaystyle 4
  3. Cifra unităților trebuie să fie diferită de cele două cifre alese deja, deci rămân 5−2=3\displaystyle 5-2=3 posibilități.
    3\displaystyle 3
  4. Conform regulii produsului, numărul total de numere se obține înmulțind numărul de posibilități de la fiecare alegere: 5⋅4⋅3=60\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60. Se pot forma 60\displaystyle 60 de numere.
    5⋅4⋅3=60\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,6)\displaystyle A(2,6) și B(6,2)\displaystyle B(6,2). Determinați coordonatele punctului M\displaystyle M, știind că AM→=MB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}.
Vezi rezolvarea
  1. Egalitatea AM→=MB→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB} înseamnă că A\displaystyle A, M\displaystyle M, B\displaystyle B sunt coliniare, iar segmentele AM\displaystyle AM și MB\displaystyle MB au aceeași lungime și același sens. Deci M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
    M este mijlocul segmentului AB\displaystyle M\text{ este mijlocul segmentului }AB
  2. Scriem formulele mijlocului: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  3. Înlocuim coordonatele lui A(2,6)\displaystyle A(2,6) și B(6,2)\displaystyle B(6,2): xM=2+62=4\displaystyle x_M=\dfrac{2+6}{2}=4 și yM=6+22=4\displaystyle y_M=\dfrac{6+2}{2}=4. Deci M(4,4)\displaystyle M(4,4).
    xM=2+62=4\displaystyle x_M=\dfrac{2+6}{2}=4, yM=6+22=4\displaystyle \ y_M=\dfrac{6+2}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=33\displaystyle AB=3\sqrt{3}, AC=4\displaystyle AC=4 și A=2π3\displaystyle A=\frac{2\pi}{3}. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ariei unui triunghi în funcție de două laturi și sinusul unghiului dintre ele: AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}, cu A=2π3\displaystyle A=\dfrac{2\pi}{3}.
    AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡2π32\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin\frac{2\pi}{3}}{2}
  2. Calculăm sinusul unghiului: sin⁡2π3=sin⁡(π−π3)=sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡2π3=32\displaystyle \sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Înlocuim în formulă AB=33\displaystyle AB=3\sqrt{3}, AC=4\displaystyle AC=4 și sin⁡2π3=32\displaystyle \sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    AΔABC=33⋅4⋅322\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}\cdot 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}
  4. Folosim 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. Numărătorul este 3⋅4⋅3⋅12=18\displaystyle 3\cdot 4\cdot 3\cdot\dfrac{1}{2}=18, iar apoi împărțim la 2\displaystyle 2: aria este 12⋅34=364=9\displaystyle \dfrac{12\cdot 3}{4}=\dfrac{36}{4}=9.
    AΔABC=12⋅34=9\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{12\cdot 3}{4}=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a111−a−111a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=1 \\ x-ay-z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(01110−1110)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(0))=∣01110−1110∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}
  3. Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea. Produsele pozitive sunt 0⋅0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0\cdot 0=0, 1⋅(−1)⋅1=−1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1=-1 și 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1. Produsele scăzute sunt 1⋅0⋅1=0\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0, 0⋅(−1)⋅1=0\displaystyle 0\cdot(-1)\cdot 1=0 și 1⋅1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 1\cdot 0=0.
    det⁡(A(0))=0+(−1)+1−0−0−0\displaystyle \det(A(0))=0+(-1)+1-0-0-0
  4. Efectuăm calculul: −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1 se reduc, iar restul termenilor sunt zero. Deci determinantul este 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a111−a−111a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=1 \\ x-ay-z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(a))=a(1−a)(1+a)\displaystyle \det(A(a))=a(1-a)(1+a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Mai întâi scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a).
    det⁡(A(a))=∣a111−a−111a∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}
  2. Adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: a⋅(−a)⋅a\displaystyle a\cdot(-a)\cdot a, 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    a⋅(−a)⋅a+1⋅(−1)⋅1+1⋅1⋅1=−a3−1+1=−a3\displaystyle a\cdot(-a)\cdot a+1\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1=-a^{3}-1+1=-a^{3}
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅(−a)⋅1\displaystyle 1\cdot(-a)\cdot 1, a⋅(−1)⋅1\displaystyle a\cdot(-1)\cdot 1 și 1⋅1⋅a\displaystyle 1\cdot 1\cdot a. Acestea se scad din suma precedentă.
    1⋅(−a)⋅1+a⋅(−1)⋅1+1⋅1⋅a=−a−a+a=−a\displaystyle 1\cdot(-a)\cdot 1+a\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot a=-a-a+a=-a
  4. Scădem a doua sumă din prima și obținem valoarea determinantului.
    det⁡(A(a))=−a3−(−a)=−a3+a\displaystyle \det(A(a))=-a^{3}-(-a)=-a^{3}+a
  5. Dăm factor comun pe a\displaystyle a.
    −a3+a=a(1−a2)\displaystyle -a^{3}+a=a(1-a^{2})
  6. Descompunem diferența de pătrate 1−a2=(1−a)(1+a)\displaystyle 1-a^{2}=(1-a)(1+a). Egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a, deci am demonstrat cerința.
    det⁡(A(a))=a(1−a2)=a(1−a)(1+a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=a(1-a^{2})=a(1-a)(1+a)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a111−a−111a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y+z=1x−ay−z=1x+y+az=2\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=1 \\ x-ay-z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Pentru a=0\displaystyle a=0, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) cu x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 numere întregi.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a=0\displaystyle a=0 înlocuim în fiecare ecuație: prima devine y+z=1\displaystyle y+z=1, a doua x−z=1\displaystyle x-z=1 (termenul −ay\displaystyle -ay dispare), a treia x+y=2\displaystyle x+y=2.
    {y+z=1x−z=1x+y=2\displaystyle \begin{cases} y+z=1 \\ x-z=1 \\ x+y=2 \end{cases}
  2. Pentru a=0\displaystyle a=0, coeficientul lui y\displaystyle y din a doua ecuație, −a\displaystyle -a, devine zero, deci a doua ecuație x−ay−z=1\displaystyle x-ay-z=1 se reduce la x−z=1\displaystyle x-z=1, fără y\displaystyle y.
    {y+z=1x−z=1x+y=2\displaystyle \begin{cases} y+z=1 \\ x-z=1 \\ x+y=2 \end{cases}
  3. Notăm z=α\displaystyle z=\alpha, cu α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}. Din x−z=1\displaystyle x-z=1 obținem x=1+α\displaystyle x=1+\alpha, iar din y+z=1\displaystyle y+z=1 obținem y=1−α\displaystyle y=1-\alpha. Verificăm a treia ecuație: x+y=(1+α)+(1−α)=2\displaystyle x+y=(1+\alpha)+(1-\alpha)=2.
    (x,y,z)=(1+α, 1−α, α)\displaystyle (x,y,z)=(1+\alpha,\,1-\alpha,\,\alpha), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  4. Pentru orice α∈Z\displaystyle \alpha\in\mathbb{Z}, numerele 1+α\displaystyle 1+\alpha, 1−α\displaystyle 1-\alpha și α\displaystyle \alpha sunt întregi. Cum există o infinitate de numere întregi α\displaystyle \alpha, sistemul are o infinitate de soluții cu componentele întregi.
    x0=1+α\displaystyle x_0=1+\alpha, y0=1−α\displaystyle \ y_0=1-\alpha, z0=α sunt ıˆntregi\displaystyle \ z_0=\alpha\text{ sunt întregi}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−2019)(y−2019)+2019\displaystyle x*y=(x-2019)(y-2019)+2019.

Arătați că x∗2019=2019\displaystyle x*2019=2019, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este dată de x∗y=(x−2019)(y−2019)+2019\displaystyle x*y=(x-2019)(y-2019)+2019. Vrem să calculăm x∗2019\displaystyle x*2019, deci vom lua y=2019\displaystyle y=2019.
    x∗y=(x−2019)(y−2019)+2019\displaystyle x*y=(x-2019)(y-2019)+2019
  2. Înlocuim y=2019\displaystyle y=2019 în definiție și obținem x∗2019=(x−2019)(2019−2019)+2019\displaystyle x*2019=(x-2019)(2019-2019)+2019.
    x∗2019=(x−2019)(2019−2019)+2019\displaystyle x*2019=(x-2019)(2019-2019)+2019
  3. Al doilea factor este 2019−2019=0\displaystyle 2019-2019=0, deci produsul (x−2019)⋅0\displaystyle (x-2019)\cdot 0 este egal cu 0\displaystyle 0, oricare ar fi x\displaystyle x real.
    (x−2019)⋅0=0\displaystyle (x-2019)\cdot 0=0
  4. Rămâne 0+2019=2019\displaystyle 0+2019=2019, deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗2019=0+2019=2019, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*2019=0+2019=2019\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−2019)(y−2019)+2019\displaystyle x*y=(x-2019)(y-2019)+2019.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, știind că (x∗x)∗x=x\displaystyle (x*x)*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se scrie simplu dacă notăm t=x−2019\displaystyle t=x-2019. Atunci a∗b=(a−2019)(b−2019)+2019\displaystyle a*b=(a-2019)(b-2019)+2019.
    t=x−2019\displaystyle t=x-2019
  2. Pentru y=x\displaystyle y=x obținem x∗x=(x−2019)(x−2019)+2019\displaystyle x*x=(x-2019)(x-2019)+2019.
    x∗x=(x−2019)2+2019\displaystyle x*x=(x-2019)^2+2019
  3. În (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x avem (x∗x)−2019=(x−2019)2\displaystyle (x*x)-2019=(x-2019)^2 și x−2019\displaystyle x-2019. Deci (x∗x)∗x=(x−2019)2(x−2019)+2019\displaystyle (x*x)*x=(x-2019)^2(x-2019)+2019.
    (x∗x)∗x=(x−2019)3+2019\displaystyle (x*x)*x=(x-2019)^3+2019
  4. Ecuația (x∗x)∗x=x\displaystyle (x*x)*x=x devine (x−2019)3+2019=x\displaystyle (x-2019)^3+2019=x.
    (x−2019)3+2019=x\displaystyle (x-2019)^3+2019=x
  5. Mutăm x\displaystyle x în stânga și 2019\displaystyle 2019 rămâne cu el: (x−2019)3−(x−2019)=0\displaystyle (x-2019)^3-(x-2019)=0, pentru că 2019−x=−(x−2019)\displaystyle 2019-x=-(x-2019).
    (x−2019)3−(x−2019)=0\displaystyle (x-2019)^3-(x-2019)=0
  6. Dăm factor comun pe x−2019\displaystyle x-2019 și obținem (x−2019)((x−2019)2−1)=0\displaystyle (x-2019)\left((x-2019)^2-1\right)=0.
    (x−2019)((x−2019)2−1)=0\displaystyle (x-2019)\left((x-2019)^2-1\right)=0
  7. Produsul este zero dacă x−2019=0\displaystyle x-2019=0, adică x=2019\displaystyle x=2019, sau (x−2019)2=1\displaystyle (x-2019)^2=1, adică x−2019=±1\displaystyle x-2019=\pm 1, deci x=2020\displaystyle x=2020 sau x=2018\displaystyle x=2018.
    x=2018 sau x=2019 sau x=2020\displaystyle x=2018\text{ sau }x=2019\text{ sau }x=2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−2019)(y−2019)+2019\displaystyle x*y=(x-2019)(y-2019)+2019.

Determinați perechile de numere întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care m∗n=2020\displaystyle m*n=2020.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii: m∗n=(m−2019)(n−2019)+2019\displaystyle m*n=(m-2019)(n-2019)+2019, deci condiția m∗n=2020\displaystyle m*n=2020 devine o ecuație în m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    (m−2019)(n−2019)+2019=2020\displaystyle (m-2019)(n-2019)+2019=2020
  2. Scădem 2019\displaystyle 2019 din ambii membri ai ecuației și obținem un produs de doi factori egal cu 1\displaystyle 1.
    (m−2019)(n−2019)=1\displaystyle (m-2019)(n-2019)=1
  3. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, m−2019\displaystyle m-2019 și n−2019\displaystyle n-2019 sunt numere întregi cu produsul 1\displaystyle 1. Divizorii întregi ai lui 1\displaystyle 1 sunt doar 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1, iar produsul fiind pozitiv, factorii sunt egali.
    m−2019=n−2019=1 sau m−2019=n−2019=−1\displaystyle m-2019=n-2019=1\text{ sau }m-2019=n-2019=-1
  4. Dacă m−2019=1\displaystyle m-2019=1 și n−2019=1\displaystyle n-2019=1, atunci m=2020\displaystyle m=2020 și n=2020\displaystyle n=2020. Dacă m−2019=−1\displaystyle m-2019=-1 și n−2019=−1\displaystyle n-2019=-1, atunci m=2018\displaystyle m=2018 și n=2018\displaystyle n=2018. Verificare: în ambele cazuri produsul factorilor este 1\displaystyle 1.
    m=2018\displaystyle m=2018, n=2018 sau m=2020\displaystyle \ n=2018\text{ sau }m=2020, n=2020\displaystyle \ n=2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\ln x.

Arătați că f′(x)=x−22x\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Folosim (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=12x−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}
  2. Amplificăm prima fracție cu x\displaystyle \sqrt{x}, ca să obținem numitorul 2x\displaystyle 2x, deoarece x⋅x=x\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x.
    12x=x2x⋅x=x2x\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{2x}
  3. Amplificăm și a doua fracție cu 2\displaystyle 2, ca să ajungem la același numitor 2x\displaystyle 2x, apoi scădem fracțiile. Se obține expresia cerută.
    f′(x)=x2x−22x=x−22x\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2x}-\dfrac{2}{2x}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f, în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=1−ln⁡1=1−0\displaystyle f(1)=\sqrt{1}-\ln 1=1-0.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  3. Derivăm funcția: (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci f′(x)=12x−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=12x−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=121−11=12−1\displaystyle f'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}-\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{2}-1.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1, f′(1)=−12\displaystyle \ f'(1)=-\dfrac{1}{2}
  5. Înlocuim valorile în formula tangentei: y−1=−12(x−1)\displaystyle y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1). Desfacem parantezele: y=−12x+12+1\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}+1, deci y=−12x+32\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}.
    y=−12x+32\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\ln x.

Demonstrați că x−ln⁡x4≥2\displaystyle \sqrt{x}-\ln\frac{x}{4}\ge 2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim ln⁡x4=ln⁡x−ln⁡4\displaystyle \ln\dfrac{x}{4}=\ln x-\ln 4. Atunci inegalitatea x−ln⁡x4≥2\displaystyle \sqrt{x}-\ln\dfrac{x}{4}\ge 2 devine x−ln⁡x+ln⁡4≥2\displaystyle \sqrt{x}-\ln x+\ln 4\ge 2, adică f(x)≥2−ln⁡4\displaystyle f(x)\ge 2-\ln 4. Vom arăta că 2−ln⁡4\displaystyle 2-\ln 4 este valoarea minimă a lui f\displaystyle f.
    f(x)≥2−ln⁡4\displaystyle f(x)\ge 2-\ln 4
  2. Derivăm funcția f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\ln x pentru x>0\displaystyle x>0: f′(x)=12x−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}. Aducem la același numitor: f′(x)=x−22x\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}.
    f′(x)=12x−1x=x−22x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{2x}
  3. Cum 2x>0\displaystyle 2x>0, ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 este echivalentă cu x−2=0\displaystyle \sqrt{x}-2=0, deci x=2\displaystyle \sqrt{x}=2, adică x=4\displaystyle x=4.
    f′(x)=0⇔x=4\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=4
  4. Semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x−2\displaystyle \sqrt{x}-2, deoarece 2x>0\displaystyle 2x>0. Pentru x∈(0,4]\displaystyle x\in(0,4] avem x≤2\displaystyle \sqrt{x}\le 2, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,4]\displaystyle (0,4]. Pentru x∈[4,+∞)\displaystyle x\in[4,+\infty) avem x≥2\displaystyle \sqrt{x}\ge 2, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [4,+∞)\displaystyle [4,+\infty).
    f descresca˘toare pe (0,4], cresca˘toare pe [4,+∞)\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(0,4]\text{, crescătoare pe }[4,+\infty)
  5. Din monotonie, x=4\displaystyle x=4 este punct de minim al lui f\displaystyle f. Calculăm f(4)=4−ln⁡4=2−ln⁡4\displaystyle f(4)=\sqrt{4}-\ln 4=2-\ln 4. Deci f(x)≥2−ln⁡4\displaystyle f(x)\ge 2-\ln 4, adică x−ln⁡x≥2−ln⁡4\displaystyle \sqrt{x}-\ln x\ge 2-\ln 4, de unde x−ln⁡x+ln⁡4≥2\displaystyle \sqrt{x}-\ln x+\ln 4\ge 2, adică x−ln⁡x4≥2\displaystyle \sqrt{x}-\ln\dfrac{x}{4}\ge 2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(4)=2−ln⁡4, deci x−ln⁡x4≥2, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(4)=2-\ln 4\text{, deci }\sqrt{x}-\ln\frac{x}{4}\ge 2\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x2+9\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+9}.

Arătați că ∫01(x2+9)f(x) dx=13\displaystyle \int_0^1 (x^2+9)f(x)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2x2+9\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+9} în produsul din integrală: (x2+9)f(x)=(x2+9)⋅x2x2+9\displaystyle (x^{2}+9)f(x)=(x^{2}+9)\cdot\dfrac{x^{2}}{x^{2}+9}.
    (x2+9)f(x)=(x2+9)⋅x2x2+9\displaystyle (x^{2}+9)f(x)=(x^{2}+9)\cdot\dfrac{x^{2}}{x^{2}+9}
  2. Factorul x2+9\displaystyle x^{2}+9 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci este nenul și se simplifică. Rămâne (x2+9)f(x)=x2\displaystyle (x^{2}+9)f(x)=x^{2}, deci integrala devine ∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx.
    ∫01(x2+9)f(x) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+9)f(x)\,dx=\int_0^1 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, deci calculăm ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1.
    ∫01x2 dx=x33∣01\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 133−033=13−0=13\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}. Așadar ∫01(x2+9)f(x) dx=13\displaystyle \int_0^1 (x^{2}+9)f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}, ceea ce trebuia arătat.
    13−0=13\displaystyle \dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x2+9\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+9}.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f are un singur punct de inflexiune.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f. Atunci F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)=x2x2+9\displaystyle F'(x)=f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+9}. Prin urmare F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x).
    F′(x)=f(x)=x2x2+9\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+9}, F′′(x)=f′(x)\displaystyle \ F''(x)=f'(x)
  2. Derivăm f\displaystyle f cu formula câtului: f′(x)=2x(x2+9)−x2⋅2x(x2+9)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\left(x^{2}+9\right)-x^{2}\cdot 2x}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}. La numărător, 2x3+18x−2x3=18x\displaystyle 2x^{3}+18x-2x^{3}=18x.
    F′′(x)=f′(x)=2x(x2+9)−x2⋅2x(x2+9)2=18x(x2+9)2\displaystyle F''(x)=f'(x)=\frac{2x(x^{2}+9)-x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{18x}{(x^{2}+9)^{2}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Numitorul (x2+9)2\displaystyle \left(x^{2}+9\right)^{2} este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci F′′(x)=0\displaystyle F''(x)=0 exact când 18x=0\displaystyle 18x=0.
    F′′(x)=0⇔x=0\displaystyle F''(x)=0\Leftrightarrow x=0
  4. Numitorul este pozitiv, deci semnul lui F′′(x)\displaystyle F''(x) este semnul lui 18x\displaystyle 18x. Pentru x<0\displaystyle x<0 avem F′′(x)<0\displaystyle F''(x)<0, deci F\displaystyle F este concavă pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0), iar pentru x>0\displaystyle x>0 avem F′′(x)>0\displaystyle F''(x)>0, deci F\displaystyle F este convexă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    x∈(−∞,0)⇒F′′(x)<0 și x∈(0,+∞)⇒F′′(x)>0\displaystyle x\in(-\infty,0)\Rightarrow F''(x)<0\text{ și }x\in(0,+\infty)\Rightarrow F''(x)>0
  5. Funcția F\displaystyle F este continuă în 0\displaystyle 0 și trece de la concavă la convexă în x=0\displaystyle x=0, iar F′′\displaystyle F'' nu se anulează în alt punct. Deci F\displaystyle F are un singur punct de inflexiune, x=0\displaystyle x=0. Cum F\displaystyle F a fost o primitivă oarecare, concluzia este valabilă pentru orice primitivă a lui f\displaystyle f.
    x∈(−∞,0)⇒F′′(x)<0 și x∈(0,+∞)⇒F′′(x)>0, deci F are un singur punct de \displaystyle x\in(-\infty,0)\Rightarrow F''(x)<0\text{ și }x\in(0,+\infty)\Rightarrow F''(x)>0\text{, deci }F\text{ are un singur punct de }inflexiune, x=0\displaystyle \text{inflexiune, }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2x2+9\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+9}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră In=∫01x2nf(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x^{2n}f(x)\,dx. Arătați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Arătăm că funcția f\displaystyle f ia valori între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Numitorul x2+9\displaystyle x^{2}+9 este strict pozitiv, iar numărătorul x2\displaystyle x^{2} este pozitiv sau zero, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0. Pe de altă parte, x2<x2+9\displaystyle x^{2}<x^{2}+9, deci f(x)=x2x2+9<1\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+9}<1.
    0≤f(x)≤1\displaystyle 0\le f(x)\le 1, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x2n≥0\displaystyle x^{2n}\ge 0. Înmulțim inegalitatea 0≤f(x)≤1\displaystyle 0\le f(x)\le 1 cu x2n\displaystyle x^{2n} și obținem încadrarea integrandului.
    0≤x2nf(x)≤x2n\displaystyle 0\le x^{2n}f(x)\le x^{2n}
  3. Integrăm inegalitatea pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1], folosind monotonia integralei.
    0≤In≤∫01x2n dx\displaystyle 0\le I_n\le \int_0^1 x^{2n}\,dx
  4. Calculăm integrala din membrul drept: o primitivă a lui x2n\displaystyle x^{2n} este x2n+12n+1\displaystyle \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}. Apoi evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01x2n dx=x2n+12n+1∣01=12n+1\displaystyle \int_0^1 x^{2n}\,dx=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\Big|_0^1=\frac{1}{2n+1}
  5. Am obținut încadrarea 0≤In≤12n+1\displaystyle 0\le I_n\le \dfrac{1}{2n+1}. Cum lim⁡n→+∞12n+1=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2n+1}=0, din criteriul cleștelui rezultă că limita lui In\displaystyle I_n este 0\displaystyle 0.
    0≤In≤12n+1 și lim⁡n→+∞12n+1=0⇒lim⁡n→+∞In=0\displaystyle 0\le I_n\le\frac{1}{2n+1}\text{ și }\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2n+1}=0\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.