Bac matematică M1 mate-info 2023, sesiunea I varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a6\displaystyle a_6 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle \left(a_n\right)_{n\geq 1}, cu a1=3\displaystyle a_1=3 și a5=23\displaystyle a_5=23.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula termenului general al unei progresii aritmetice: an=a1+(n−1)r\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r, unde r\displaystyle r este rația.
    an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r
  2. Se aplică formula pentru termenul a5\displaystyle a_{5}, obținând o relație între a5\displaystyle a_{5}, a1\displaystyle a_{1} și r\displaystyle r.
    a5=a1+4r\displaystyle a_5=a_1+4r
  3. Se înlocuiesc valorile date a1=3\displaystyle a_{1}=3 și a5=23\displaystyle a_{5}=23, apoi se izolează diferența a5−a1\displaystyle a_{5}-a_{1}, obținându-se ecuația în r\displaystyle r.
    4r=a5−a1=23−3=20, deci r=5\displaystyle 4r=a_5-a_1=23-3=20\text{, deci }r=5
  4. Se folosește relația de recurență dintre termeni consecutivi, a6=a5+r\displaystyle a_{6}=a_{5}+r, pentru a calcula termenul cerut, înlocuind a5=23\displaystyle a_{5}=23 și r=5\displaystyle r=5.
    a6=a5+r=23+5=28\displaystyle a_6=a_5+r=23+5=28
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8\displaystyle f(x)=x^2-6x+8. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(m,−1)\displaystyle A(m,-1) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția ca punctul A(m,−1)\displaystyle A(m,-1) să aparțină graficului funcției f\displaystyle f, adică ordonata sa să fie egală cu valoarea funcției în abscisa m\displaystyle m: f(m)=−1\displaystyle f(m) = -1.
    f(m)=−1\displaystyle f(m)=-1
  2. Calculăm f(m)\displaystyle f(m) folosind formula funcției, înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m.
    f(m)=m2−6m+8\displaystyle f(m)=m^2-6m+8
  3. Înlocuim expresia lui f(m)\displaystyle f(m) în condiția f(m)=−1\displaystyle f(m) = -1 și obținem ecuația de gradul al doilea.
    m2−6m+8=−1⇔m2−6m+9=0\displaystyle m^2-6m+8=-1\Leftrightarrow m^2-6m+9=0
  4. Observăm că expresia din stânga este un pătrat perfect, deoarece m2−6m+9=(m−3)2\displaystyle m^{2}-6m+9=(m-3)^{2}, deci ecuația devine (m−3)2=0\displaystyle (m-3)^{2}=0.
    (m−3)2=0\displaystyle (m-3)^2=0
  5. Rezolvăm ecuația obținută: (m−3)2=0\displaystyle (m-3)^{2}=0 implică m−3=0\displaystyle m-3=0, deci m=3\displaystyle m=3 (rădăcină dublă).
    m=3\displaystyle m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x−1=9⋅3x+1\displaystyle 3^{2x-1}=9\cdot 3^{x+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că baza 3\displaystyle 3 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este bine definită pe tot R\displaystyle \mathbb{R}; se scrie 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3.
    9=32\displaystyle 9=3^{2}
  2. Se înlocuiește 9\displaystyle 9 cu 32\displaystyle 3^{2} în membrul drept și se folosește regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază pentru a combina exponenții.
    9⋅3x+1=32⋅3x+1=32+x+1=3x+3\displaystyle 9\cdot 3^{x+1}=3^{2}\cdot 3^{x+1}=3^{2+x+1}=3^{x+3}
  3. Ecuația devine o egalitate de puteri cu aceeași bază; se egalează exponenții.
    32x−1=3x+3, de unde obținem 2x−1=x+3\displaystyle 3^{2x-1}=3^{x+3}\text{, de unde obținem }2x-1=x+3
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută, grupând termenii cu x\displaystyle x într-o parte și constantele în cealaltă.
    2x−x=3+1⇒x=4\displaystyle 2x-x=3+1\Rightarrow x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii A\displaystyle A, care au cel mult două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A, care este 5\displaystyle 5, și se stabilește că submulțimile nevide cu cel mult două elemente sunt cele cu exact 1\displaystyle 1 element sau cu exact 2\displaystyle 2 elemente.
    n=5, submulțimile ca˘utate au \displaystyle n=5\text{, submulțimile căutate au }exact 1 sau 2 elemente\displaystyle \text{exact }1\text{ sau }2\text{ elemente}
  2. Numărul submulțimilor cu exact un element este dat de combinări de 5\displaystyle 5 luate câte 1\displaystyle 1, iar numărul submulțimilor cu exact două elemente este dat de combinări de 5\displaystyle 5 luate câte 2\displaystyle 2. Se scrie suma acestor combinări.
    C51+C52=\displaystyle C_5^1+C_5^2=
  3. Se calculează valoarea combinării C51\displaystyle C_5^1, care reprezintă numărul submulțimilor cu un singur element.
    C51=5!1!⋅4!=5\displaystyle C_5^1=\dfrac{5!}{1!\cdot4!}=5
  4. Se calculează valoarea combinării C52\displaystyle C_5^2, care reprezintă numărul submulțimilor cu două elemente.
    C52=5!2!⋅3!=5⋅42=10\displaystyle C_5^2=\dfrac{5!}{2!\cdot3!}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10
  5. Se adună cele două rezultate obținute pentru a afla numărul total de submulțimi nevide cu cel mult două elemente.
    =5+10=15\displaystyle =5+10=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(4,4)\displaystyle B(4,4). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C, știind că OA→=BC→\displaystyle \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină coordonatele vectorului OA→\displaystyle \overrightarrow{OA}, scăzând coordonatele punctului O(0,0)\displaystyle O(0,0) din coordonatele lui A(3,1)\displaystyle A(3,1).
    OA→=(3−0)i⃗+(1−0)j⃗=3i⃗+j⃗\displaystyle \overrightarrow{OA}=(3-0)\vec{i}+(1-0)\vec{j}=3\vec{i}+\vec{j}
  2. Se notează C(xC,yC)\displaystyle C(x_C, y_C) și se determină coordonatele vectorului BC→\displaystyle \overrightarrow{BC}, scăzând coordonatele lui B(4,4)\displaystyle B(4,4) din coordonatele lui C\displaystyle C.
    BC→=(xC−4)i⃗+(yC−4)j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=(x_C-4)\vec{i}+(y_C-4)\vec{j}
  3. Se scriu explicit cele două expresii vectoriale, așa cum apar în barem, ca punct de plecare pentru egalarea lor.
    OA→=3i⃗+j⃗, BC→=(xC−4)i⃗+(yC−4)j⃗\displaystyle \overrightarrow{OA}=3\vec{i}+\vec{j}\text{, }\overrightarrow{BC}=(x_C-4)\vec{i}+(y_C-4)\vec{j}
  4. Din egalitatea vectorilor OA→\displaystyle \overrightarrow{OA} și BC→\displaystyle \overrightarrow{BC}, se egalează coeficienții lui i\displaystyle i și, respectiv, ai lui j\displaystyle j, obținând un sistem de două ecuații.
    xC−4=3 și yC−4=1\displaystyle x_C-4=3\text{ și }y_C-4=1
  5. Se rezolvă cele două ecuații simple pentru a afla coordonatele punctului C\displaystyle C.
    xC=7 și yC=5\displaystyle x_C=7\text{ și }y_C=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=6\displaystyle AB=6 și înălțimea AD=3\displaystyle AD=3. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 23\displaystyle 2\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică triunghiul dreptunghic ADB\displaystyle ADB: AD\displaystyle AD este înălțime din A\displaystyle A pe ipotenuza BC\displaystyle BC, deci AD⊥BC\displaystyle AD \perp BC, adică unghiul din D\displaystyle D este drept. În acest triunghi, AB\displaystyle AB este ipotenuză, iar AD\displaystyle AD și BD\displaystyle BD sunt catete.
    △ADB este dreptunghic ıˆn D\displaystyle \triangle ADB\text{ este dreptunghic în }D
  2. Se aplică Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADB\displaystyle ADB pentru a exprima relația dintre AB\displaystyle AB, AD\displaystyle AD și BD\displaystyle BD.
    AB2=AD2+BD2\displaystyle AB^2=AD^2+BD^2
  3. Se înlocuiesc valorile numerice AB=6\displaystyle AB=6 și AD=3\displaystyle AD=3 în relația de mai sus.
    62=32+BD2⇒36=9+BD2\displaystyle 6^2=3^2+BD^2\Rightarrow 36=9+BD^2
  4. Se rezolvă ecuația pentru a afla BD\displaystyle BD, obținând valoarea cerută de barem.
    BD2=27⇒BD=33\displaystyle BD^2=27\Rightarrow BD=3\sqrt{3}
  5. Se folosește relația de metrică din triunghiul dreptunghic ABC (cataeta AB este medie geometrică între ipotenuza BC și proiecția BD a acesteia pe ipotenuză), pentru a determina BC.
    AB2=BD⋅BC\displaystyle AB^2=BD\cdot BC
  6. Se înlocuiesc valorile AB=6\displaystyle AB=6 și BD=33\displaystyle BD=3\sqrt{3} pentru a calcula BC.
    36=33⋅BC⇒BC=3633=123=43\displaystyle 36=3\sqrt{3}\cdot BC\Rightarrow BC=\dfrac{36}{3\sqrt{3}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}
  7. Deoarece triunghiul ABC este dreptunghic în A, BC este ipotenuza, iar raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză. Se calculează R.
    BC=43, deci R=BC2=23\displaystyle BC=4\sqrt{3}\text{, deci }R=\dfrac{BC}{2}=2\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xxx1x1−1−x−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=0\displaystyle \det\left(A(1)\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 în expresia matricei A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține matricea A(1)\displaystyle A(1) și se scrie determinantul de ordin 3 care trebuie calculat.
    A(1)=(111111−1−1−1)⇒det⁡(A(1))=∣111111−1−1−1∣=\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(1)\right)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix}=
  2. Se aplică regula lui Sarrus (sau dezvoltarea determinantului de ordin 3): se scriu cele șase produse care apar în formulă, folosind elementele matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=1⋅1⋅(−1)+1⋅1⋅(−1)+1⋅1⋅(−1)−[1⋅1⋅(−1)+1⋅1⋅(−1)+1⋅1⋅(−1)]\displaystyle \det\left(A(1)\right)=1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)-\left[1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)\right]
  3. Se efectuează înmulțirile și se scriu semnele corespunzătoare fiecărui produs (primele trei termeni cu semnul '-', ceilalți trei, proveniți din scăderea termenilor negativi, cu semnul '+'), obținând suma finală.
    =−1−1−1+1+1+1=0\displaystyle =-1-1-1+1+1+1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xxx1x1−1−x−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(x)⋅A(y)−A(xy)=(x+y−2)A(0)\displaystyle A(x)\cdot A(y)-A(xy)=(x+y-2)A(0), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y) conform definiției date în enunț, înlocuind x\displaystyle x cu y\displaystyle y unde este cazul.
    A(x)=(xxx1x1−1−x−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix},A(y)=(yyy1y1−1−y−1)\displaystyle \quad A(y)=\begin{pmatrix} y & y & y \\ 1 & y & 1 \\ -1 & -y & -1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y), înmulțind fiecare linie a lui A(x)\displaystyle A(x) cu fiecare coloană a lui A(y)\displaystyle A(y). De exemplu, prima linie a produsului se obține din linia (x,x,x)\displaystyle (x,x,x) înmulțită cu coloanele lui A(y)\displaystyle A(y), obținând xy\displaystyle xy pe fiecare poziție.
    A(x)⋅A(y)=(xyxyxyx+y−1xyx+y−1−(x+y−1)−xy−(x+y−1))\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix} xy & xy & xy \\ x+y-1 & xy & x+y-1 \\ -(x+y-1) & -xy & -(x+y-1) \end{pmatrix}
  3. Scriem matricea A(xy)\displaystyle A(xy), obținută prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu produsul xy\displaystyle xy în definiția lui A\displaystyle A.
    A(xy)=(xyxyxy1xy1−1−xy−1)\displaystyle A(xy)=\begin{pmatrix} xy & xy & xy \\ 1 & xy & 1 \\ -1 & -xy & -1 \end{pmatrix}
  4. Scădem A(xy)\displaystyle A(xy) din A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y), element cu element: prima linie se anulează complet, iar pe liniile 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3 rămân termenii x+y−2\displaystyle x+y-2, respectiv −(x+y−2)\displaystyle -(x+y-2), ceilalți termeni (xy−xy\displaystyle xy - xy) anulându-se.
    A(x)⋅A(y)−A(xy)=(000y+x−20y+x−2−y−x+20−y−x+2)=\displaystyle A(x)\cdot A(y)-A(xy)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ y+x-2 & 0 & y+x-2 \\ -y-x+2 & 0 & -y-x+2 \end{pmatrix}=
  5. Scoatem factorul comun (x+y−2)\displaystyle (x+y-2) de pe fiecare linie nenulă a matricei obținute, rezultând o matrice constantă pe care o recunoaștem ca fiind exact A(0)\displaystyle A(0) (obținută din A(x)\displaystyle A(x) pentru x=0\displaystyle x=0).
    =(y+x−2)(000101−10−1)=(x+y−2)A(0)\displaystyle =(y+x-2)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=(x+y-2)A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(xxx1x1−1−x−1)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A(−1)⋅A(3)⋅A(x)=A(y)\displaystyle A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)=A(y).
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim relația demonstrată la punctul b) al problemei, valabilă pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b: produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) se scrie ca A(ab)\displaystyle A(ab) plus un multiplu de A(0)\displaystyle A(0).
    A(a)⋅A(b)=A(ab)+(a+b−2)A(0)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(ab)+(a+b-2)A(0)
  2. Calculăm explicit matricea A(0)\displaystyle A(0), obținută înlocuind x=0\displaystyle x=0 în A(x)\displaystyle A(x); aceasta va apărea repetat în calcule.
    A(0)=(000101−10−1)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
  3. Aplicăm relația de la punctul b) pentru a=−1\displaystyle a=-1 și b=3\displaystyle b=3, calculând coeficientul lui A(0)\displaystyle A(0).
    A(−1)⋅A(3)=A(−3)+(−1+3−2)A(0)=A(−3)+0⋅A(0)=A(−3)\displaystyle A(-1)\cdot A(3)=A(-3)+(-1+3-2)A(0)=A(-3)+0\cdot A(0)=A(-3)
  4. Înmulțim ambii membri, la dreapta, cu A(x)\displaystyle A(x), pentru a obține produsul complet din enunț sub o formă mai simplă.
    A(−1)⋅A(3)⋅A(x)=A(−3)⋅A(x)\displaystyle A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)=A(-3)\cdot A(x)
  5. Aplicăm din nou relația de la punctul b), de data aceasta pentru a=−3\displaystyle a=-3 și b=x\displaystyle b=x, pentru a dezvolta produsul A(−3)⋅A(x)\displaystyle A(-3)\cdot A(x); combinăm cu pasul anterior pentru a obține lanțul complet de egalități cerut de barem.
    A(−1)⋅A(3)⋅A(x)=A(−3)⋅A(x)=A(−3x)+(−3+x−2)A(0)=A(−3x)+(x−5)A(0)\displaystyle A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)=A(-3)\cdot A(x)=A(-3x)+(-3+x-2)A(0)=A(-3x)+(x-5)A(0)
  6. Scriem explicit, pe elemente, matricea obținută A(−3x)+(x−5)A(0)\displaystyle A(-3x)+(x-5)A(0), folosind formele lui A(−3x)\displaystyle A(-3x) și ale lui A(0)\displaystyle A(0), pentru a o putea compara cu A(y)\displaystyle A(y).
    A(−3x)+(x−5)A(0)=(−3x−3x−3x1+(x−5)−3x1+(x−5)−1−(x−5)3x−1−(x−5))=(−3x−3x−3xx−4−3xx−44−x3x4−x)\displaystyle A(-3x)+(x-5)A(0)=\begin{pmatrix} -3x & -3x & -3x \\ 1+(x-5) & -3x & 1+(x-5) \\ -1-(x-5) & 3x & -1-(x-5) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3x & -3x & -3x \\ x-4 & -3x & x-4 \\ 4-x & 3x & 4-x \end{pmatrix}
  7. Comparăm matricea obținută cu forma generală A(y)\displaystyle A(y) și identificăm elementele corespunzătoare: din elementul de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1), care în A(y)\displaystyle A(y) este 1, obținem ecuația x−4=1\displaystyle x-4=1, deci x=5\displaystyle x=5; apoi din elementul de pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1), care în A(y)\displaystyle A(y) este y\displaystyle y, obținem y=−3x\displaystyle y=-3x.
    A(−3x)+(x−5)A(0)=A(y), de unde x−4=1⇒x=5 și y=−3x=−15\displaystyle A(-3x)+(x-5)A(0)=A(y)\text{, de unde }x-4=1\Rightarrow x=5\text{ și }y=-3x=-15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4+2X3−8X2+3mX+m\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+3mX+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=2\displaystyle m=2, arătați că f(1)=3\displaystyle f(1)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=2\displaystyle m=2 în expresia polinomului: 3m\displaystyle 3m devine 6\displaystyle 6, iar termenul liber m\displaystyle m devine 2\displaystyle 2.
    f=X4+2X3−8X2+6X+2\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+6X+2
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), adică înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în fiecare termen al polinomului.
    f(1)=14+2⋅13−8⋅12+6⋅1+2\displaystyle f(1)=1^4+2\cdot 1^3-8\cdot 1^2+6\cdot 1+2
  3. Orice putere a lui 1\displaystyle 1 este 1\displaystyle 1, deci obținem suma 1+2−8+6+2\displaystyle 1+2-8+6+2, al cărei rezultat este 3\displaystyle 3, adică exact valoarea cerută.
    f(1)=1+2−8+6+2=3\displaystyle f(1)=1+2-8+6+2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4+2X3−8X2+3mX+m\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+3mX+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=0\displaystyle m=0, determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că, pentru valoarea lui m cerută (m=0\displaystyle m=0), termenii care conțin m se anulează, iar polinomul devine
    f=X4+2X3−8X2+3⋅0⋅X+0=X4+2X3−8X2\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+3\cdot 0\cdot X+0=X^4+2X^3-8X^2
  2. Se dă factor comun X2\displaystyle X^2 din expresia obținută
    f=X4+2X3−8X2=X2(X2+2X−8)\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2=X^2\left(X^2+2X-8\right)
  3. Se pune condiția f=0\displaystyle f=0, adică produsul dintre X2\displaystyle X^2 și paranteza rămasă să fie nul, ceea ce înseamnă că cel puțin unul dintre factori este zero
    X2(X2+2X−8)=0⇒X2=0 sau X2+2X−8=0\displaystyle X^2\left(X^2+2X-8\right)=0\Rightarrow X^2=0\text{ sau }X^2+2X-8=0
  4. Se rezolvă prima ecuație, X2=0\displaystyle X^2=0, care are rădăcina dublă zero
    X2=0⇒x1=x2=0\displaystyle X^2=0\Rightarrow x_1=x_2=0
  5. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea X2+2X−8=0\displaystyle X^2+2X-8=0 folosind discriminantul
    Δ=22−4⋅1⋅(−8)=4+32=36\displaystyle \Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36, Δ=6\displaystyle \ \sqrt{\Delta}=6
  6. Se calculează cele două rădăcini ale ecuației de gradul al doilea folosind formula X=−b±Δ2a\displaystyle X=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
    X=−2±62⇒x3=−4\displaystyle X=\dfrac{-2\pm 6}{2}\Rightarrow x_3=-4, x4=2\displaystyle \ x_4=2
  7. Se scriu toate cele patru rădăcini ale polinomului f
    x1=x2=0, x3=−4, x4=2\displaystyle x_1=x_2=0\text{, }x_3=-4\text{, }x_4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X4+2X3−8X2+3mX+m\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+3mX+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul rațional m\displaystyle m pentru care polinomul f\displaystyle f are rădăcina x1=1+3\displaystyle x_1=1+\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la informația din enunț conform căreia x1=1+3\displaystyle x_1=1+\sqrt{3} este rădăcină a polinomului f\displaystyle f (dată inițial în problemă).
    x1=1+3 este ra˘da˘cina˘ a lui f\displaystyle x_1=1+\sqrt{3}\text{ este rădăcină a lui }f
  2. Deoarece polinomul f\displaystyle f are coeficienți raționali (de fapt reali, dar rădăcina dată este irațională de forma a+b3\displaystyle a+b\sqrt{3}), iar x1=1+3\displaystyle x_1=1+\sqrt{3} este rădăcină, conjugata sa x2=1−3\displaystyle x_2=1-\sqrt{3} trebuie să fie de asemenea rădăcină a lui f\displaystyle f.
    x2=1−3 este ra˘da˘cina˘ a lui f\displaystyle x_2=1-\sqrt{3}\text{ este rădăcină a lui }f
  3. Calculăm suma și produsul celor două rădăcini cunoscute, care vor fi folosite în relațiile lui Viète.
    x1+x2=2 și x1x2=(1+3)(1−3)=1−3=−2\displaystyle x_1+x_2=2\text{ și }x_1x_2=(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1-3=-2
  4. Aplicăm prima relație a lui Viète pentru f=X4+2X3−8X2+3mX+m\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+3mX+m: suma tuturor rădăcinilor este egală cu opusul coeficientului lui X3\displaystyle X^3 (coeficientul dominant fiind 1).
    x1+x2+x3+x4=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=-2
  5. Înlocuim x1+x2=2\displaystyle x_1+x_2=2 în relația de mai sus pentru a obține suma celorlalte două rădăcini.
    x3+x4=−2−(x1+x2)=−2−2=−4\displaystyle x_3+x_4=-2-(x_1+x_2)=-2-2=-4
  6. Aplicăm a doua relație a lui Viète: suma produselor perechilor de rădăcini este egală cu coeficientul lui X2\displaystyle X^2, adică −8\displaystyle -8. Scriem această sumă în funcție de x1x2\displaystyle x_1x_2, x1+x2\displaystyle x_1+x_2, x3+x4\displaystyle x_3+x_4 și x3x4\displaystyle x_3x_4.
    x1x2+(x1+x2)(x3+x4)+x3x4=−8\displaystyle x_1x_2+(x_1+x_2)(x_3+x_4)+x_3x_4=-8
  7. Înlocuim valorile cunoscute x1x2=−2\displaystyle x_1x_2=-2, x1+x2=2\displaystyle x_1+x_2=2, x3+x4=−4\displaystyle x_3+x_4=-4 și rezolvăm ecuația pentru a afla x3x4\displaystyle x_3x_4.
    −2+2⋅(−4)+x3x4=−8⇒−10+x3x4=−8⇒x3x4=2\displaystyle -2+2\cdot(-4)+x_3x_4=-8\Rightarrow -10+x_3x_4=-8\Rightarrow x_3x_4=2
  8. Aplicăm relația lui Viète pentru produsul tuturor rădăcinilor: acesta este egal cu termenul liber (deoarece polinomul are gradul 4\displaystyle 4, semnul este pozitiv), adică m\displaystyle m. Cum am obținut x3+x4=−4\displaystyle x_3+x_4=-4 și x3x4=2\displaystyle x_3x_4=2, iar x1x2=−2\displaystyle x_1x_2=-2, calculăm m\displaystyle m.
    x1x2x3x4=m⇒m=(x1x2)(x3x4)=(−2)⋅2=−4\displaystyle x_1x_2x_3x_4=m\Rightarrow m=(x_1x_2)(x_3x_4)=(-2)\cdot 2=-4
  9. Verificăm valoarea obținută folosind și a treia relație a lui Viète (suma produselor de câte trei rădăcini este egală cu opusul coeficientului lui X\displaystyle X, adică −3m\displaystyle -3m), pentru a confirma că m=−4\displaystyle m=-4 este soluție validă.
    x1x2(x3+x4)+x3x4(x1+x2)=(−2)(−4)+2⋅2=12=−3m⇒m=−4, care convine\displaystyle x_1x_2(x_3+x_4)+x_3x_4(x_1+x_2)=(-2)(-4)+2\cdot 2=12=-3m\Rightarrow m=-4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3exx2+x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}.

Arătați că f′(x)=3ex(x2−x)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3e^x\left(x^2-x\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm funcția ca un cât de două funcții derivabile: u(x)=3ex\displaystyle u(x) = 3e^x (numărător) și v(x)=x2+x+1\displaystyle v(x) = x^2+x+1 (numitor), pentru a aplica regula de derivare a câtului.
    f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, u(x)=3ex\displaystyle \ u(x)=3e^x, v(x)=x2+x+1\displaystyle \ v(x)=x^2+x+1
  2. Calculăm derivatele celor două funcții: derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar derivata polinomului x2+x+1\displaystyle x^2+x+1 este 2x+1\displaystyle 2x+1.
    u′(x)=3ex\displaystyle u'(x)=3e^x, v′(x)=2x+1\displaystyle \ v'(x)=2x+1
  3. Aplicăm formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}, înlocuind cu expresiile obținute mai sus.
    f′(x)=3ex(x2+x+1)−3ex(2x+1)(x2+x+1)2=\displaystyle f'(x)=\dfrac{3e^x\left(x^2+x+1\right)-3e^x(2x+1)}{\left(x^2+x+1\right)^2}=
  4. Dăm factor comun 3ex\displaystyle 3e^x la numărător, apoi reducem termenii asemenea din paranteză: x2+x+1−2x−1=x2−x\displaystyle x^2+x+1-2x-1 = x^2-x.
    f′(x)=3ex(x2+x+1−2x−1)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3e^x\left(x^2+x+1-2x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}
  5. Simplificăm expresia din paranteză, obținând forma finală a derivatei.
    f′(x)=3ex(x2−x)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3e^x\left(x^2-x\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3exx2+x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}.

Arătați că lim⁡x→+∞f(2x)f(x)=+∞\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(2x)}{f(x)}=+\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit expresia f(2x)\displaystyle f(2x), înlocuind x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x în formula funcției f\displaystyle f.
    f(2x)=3e2x(2x)2+2x+1=3e2x4x2+2x+1\displaystyle f(2x)=\dfrac{3e^{2x}}{(2x)^2+2x+1}=\dfrac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}
  2. Se scrie explicit expresia f(x)\displaystyle f(x), conform definiției funcției date în enunț.
    f(x)=3exx2+x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3e^{x}}{x^2+x+1}
  3. Se formează raportul f(2x)f(x)\displaystyle \dfrac{f(2x)}{f(x)}, scriind numărătorul și numitorul ca produs de fracții (împărțirea prin fracție se transformă în înmulțire cu inversul).
    lim⁡x→+∞f(2x)f(x)=lim⁡x→+∞3e2x4x2+2x+1⋅x2+x+13ex=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(2x)}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}\cdot\dfrac{x^2+x+1}{3e^x}=
  4. Se simplifică factorul 3\displaystyle 3 de la numărător cu cel de la numitor și se folosește regula e2xex=ex\displaystyle \dfrac{e^{2x}}{e^x}=e^x pentru a simplifica exponențialele.
    =lim⁡x→+∞(ex⋅x2+x+14x2+2x+1)\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\left(e^x\cdot\dfrac{x^2+x+1}{4x^2+2x+1}\right)
  5. Se împart numărătorul și numitorul fracției raționale prin x2\displaystyle x^2, pentru a evidenția comportamentul acesteia când x\displaystyle x tinde la infinit.
    =lim⁡x→+∞(ex⋅1+1x+1x24+2x+1x2)\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\left(e^x\cdot\dfrac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)
  6. Se calculează limita: fracția rațională tinde la 14\displaystyle \dfrac{1}{4} (o constantă finită nenulă), iar ex\displaystyle e^x tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci produsul tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    =+∞\displaystyle =+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3exx2+x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}.

Demonstrați că ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact trei soluții, pentru orice m∈(e,3)\displaystyle m\in(e,3).
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că domeniul funcției este R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece discriminantul trinomului x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 este negativ, deci numitorul este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real.
    x2+x+1>0\displaystyle x^2+x+1>0, ∀x∈R, deci f este definita˘ pe R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{, deci }f\text{ este definită pe }\mathbb{R}
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f folosind regula de derivare a raportului.
    f′(x)=3ex(x2+x+1)−3ex(2x+1)(x2+x+1)2=3ex(x2−x)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3e^x(x^2+x+1)-3e^x(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}=\dfrac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}
  3. Se simplifică expresia derivatei, scoțând factor comun pe x\displaystyle x.
    f′(x)=3ex⋅x(x−1)(x2+x+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3e^x\cdot x(x-1)}{(x^2+x+1)^2}
  4. Se determină semnul derivatei, observând că 3ex>0\displaystyle 3e^{x}>0 și (x2+x+1)2>0\displaystyle (x^{2}+x+1)^{2}>0 pentru orice x\displaystyle x, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul produsului x(x−1)\displaystyle x(x-1). Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0.
    f′(x)=0⇔x=0 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=1
  5. Se studiază semnul lui x(x−1)\displaystyle x(x-1): este pozitiv pentru x<0\displaystyle x<0 sau x>1\displaystyle x>1, și negativ pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1). Se deduce astfel monotonia funcției f\displaystyle f pe cele trei intervale.
    f′(x)=0⇔x=0 sau x=1; f strict cresca˘toare pe (−∞,0), strict descresca˘toare \displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=1\text{; }f\text{ strict crescătoare pe }(-\infty,0)\text{, strict descrescătoare }pe (0,1), strict cresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle \text{pe }(0,1)\text{, strict crescătoare pe }(1,+\infty)
  6. Se calculează limita funcției la −∞\displaystyle -\infty, folosind faptul că ex\displaystyle e^x tinde la 0\displaystyle 0, iar x2+x+1\displaystyle x^2+x+1 tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞3exx2+x+1=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}=0
  7. Se calculează valorile funcției în punctele critice x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1, obținute la studiul monotoniei.
    f(0)=3e00+0+1=3 , f(1)=3e11+1+1=3e3=e\displaystyle f(0)=\dfrac{3e^0}{0+0+1}=3\text{ , }f(1)=\dfrac{3e^1}{1+1+1}=\dfrac{3e}{3}=e
  8. Se calculează limita funcției la +∞\displaystyle +\infty, folosind faptul că exponențiala domină polinomul de gradul 2\displaystyle 2.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3exx2+x+1=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}=+\infty
  9. Se sintetizează rezultatele: limitele la infinit și valorile din punctele de extrem local confirmă comportamentul funcției descris în pasul precedent.
    lim⁡x→−∞f(x)=0, f(0)=3, f(1)=e, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0\text{, }f(0)=3\text{, }f(1)=e\text{, }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  10. Se analizează fiecare interval de monotonie, aplicând proprietatea de continuitate (Teorema valorilor intermediare) pentru a determina câte soluții are ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m, cu m∈(e,3)\displaystyle m\in(e,3): pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) f\displaystyle f crește continuu de la 0\displaystyle 0 la 3\displaystyle 3, deci există exact o soluție pentru m∈(e,3)⊂(0,3)\displaystyle m\in(e,3)\subset(0,3); pe (0,1)\displaystyle (0,1) f\displaystyle f descrește continuu de la 3\displaystyle 3 la e\displaystyle e, deci există exact o soluție pentru orice m∈(e,3)\displaystyle m\in(e,3); pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) f\displaystyle f crește continuu de la e\displaystyle e la +∞\displaystyle +\infty, deci există exact o soluție pentru orice m∈(e,3)\displaystyle m\in(e,3). În total, ecuația are exact trei soluții.
    lim⁡x→−∞f(x)=0, f(0)=3, f(1)=e, lim⁡x→+∞f(x)=+∞, deci ecuația f(x)=m are exact trei soluții, \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0\text{, }f(0)=3\text{, }f(1)=e\text{, }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{, deci ecuația }f(x)=m\text{ are exact trei soluții, }pentru orice m∈(e,3)\displaystyle \text{pentru orice }m\in(e,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6x+ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=6x+\ln(x+1).

Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡(x+1))dx=9\displaystyle \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\ln(x+1)\right)dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f și se identifică integrandul din enunțul complet al problemei, care cere calculul integralei ∫12(f(x)−ln⁡(x+1))dx\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln(x+1))dx, unde f(x)=6x+ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=6x+\ln(x+1).
    f(x)−ln⁡(x+1)=6x+ln⁡(x+1)−ln⁡(x+1)=6x\displaystyle f(x)-\ln(x+1)=6x+\ln(x+1)-\ln(x+1)=6x
  2. Se reduce integrandul, eliminând termenul ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), iar integrala devine integrala funcției 6x\displaystyle 6x pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(f(x)−ln⁡(x+1))dx=∫126x dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\ln(x+1)\right)dx=\int_1^2 6x\,dx
  3. Se calculează primitiva funcției 6x\displaystyle 6x, folosind formula ∫xndx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C pentru n=1\displaystyle n=1.
    ∫6x dx=6⋅x22+C=3x2+C\displaystyle \int 6x\,dx=6\cdot\dfrac{x^2}{2}+C=3x^2+C
  4. Se scrie integrala definită folosind primitiva găsită, evaluată între limitele 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    ∫126x dx=3x2∣12=\displaystyle \int_1^2 6x\,dx=3x^2\Big|_1^2=
  5. Se calculează valorile primitivei la capetele intervalului: 3⋅22=12\displaystyle 3\cdot 2^2=12 și 3⋅12=3\displaystyle 3\cdot 1^2=3.
    3⋅22−3⋅12=12−3\displaystyle 3\cdot 2^2-3\cdot 1^2=12-3
  6. Se efectuează scăderea și se obține rezultatul final al integralei.
    =12−3=9\displaystyle =12-3=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6x+ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=6x+\ln(x+1).

Arătați că ∫0e−1f(x)−6xx+1dx=12\displaystyle \displaystyle\int_0^{e-1}\dfrac{f(x)-6x}{x+1}dx=\dfrac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit expresia f(x)\displaystyle f(x) și se calculează f(x)−6x\displaystyle f(x) - 6x, eliminând termenul liniar.
    f(x)−6x=6x+ln⁡(x+1)−6x=ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)-6x=6x+\ln(x+1)-6x=\ln(x+1)
  2. Se scrie integrala cerută și se înlocuiește f(x)−6x\displaystyle f(x)-6x cu expresia obținută mai sus.
    ∫0e−1f(x)−6xx+1dx=∫0e−1ln⁡(x+1)x+1dx\displaystyle \int_0^{e-1}\dfrac{f(x)-6x}{x+1}dx=\int_0^{e-1}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}dx
  3. Se observă că derivata funcției ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) este exact 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}, deci fracția se poate rescrie ca produs între ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) și derivata sa.
    (ln⁡(x+1))′=1x+1⇒ln⁡(x+1)x+1=ln⁡(x+1)⋅(ln⁡(x+1))′\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1}\Rightarrow \dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\ln(x+1)\cdot\left(\ln(x+1)\right)'
  4. Se rescrie integrala folosind observația anterioară, forma fiind cea din barem.
    ∫0e−1f(x)−6xx+1dx=∫0e−1ln⁡(x+1)(ln⁡(x+1))′dx\displaystyle \int_0^{e-1}\dfrac{f(x)-6x}{x+1}dx=\int_0^{e-1}\ln(x+1)\left(\ln(x+1)\right)'dx
  5. Se recunoaște că integrandul este derivata funcției (ln⁡(x+1))22\displaystyle \dfrac{(\ln(x+1))^2}{2}, deci se determină primitiva corespunzătoare.
    ∫ln⁡(x+1)(ln⁡(x+1))′dx=ln⁡2(x+1)2+C\displaystyle \int \ln(x+1)\left(\ln(x+1)\right)'dx=\dfrac{\ln^2(x+1)}{2}+C
  6. Se aplică Formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva între limitele 0\displaystyle 0 și e−1\displaystyle e-1.
    ∫0e−1ln⁡(x+1)(ln⁡(x+1))′dx=ln⁡2(x+1)2∣0e−1\displaystyle \int_0^{e-1}\ln(x+1)\left(\ln(x+1)\right)'dx=\dfrac{\ln^2(x+1)}{2}\Big|_0^{e-1}
  7. Se calculează valorile la capetele intervalului: pentru x=e−1\displaystyle x=e-1, x+1=e\displaystyle x+1=e, iar pentru x=0\displaystyle x=0, x+1=1\displaystyle x+1=1.
    ln⁡2(e)2−ln⁡2(1)2\displaystyle \dfrac{\ln^2(e)}{2}-\dfrac{\ln^2(1)}{2}
  8. Se folosesc valorile cunoscute ln⁡(e)=1\displaystyle \ln(e)=1 și ln⁡(1)=0\displaystyle \ln(1)=0 pentru a obține rezultatul final al integralei.
    ln⁡2e2−ln⁡212=12\displaystyle \dfrac{\ln^2 e}{2}-\dfrac{\ln^2 1}{2}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=6x+ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=6x+\ln(x+1).

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x2)\displaystyle g(x)=f\left(x^2\right), axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=1\displaystyle x=1 este egală cu aπ+ln⁡2\displaystyle a\pi+\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcția g(x)=f(x2)=6x2+ln⁡(x2+1)\displaystyle g(x)=f(x^2)=6x^2+\ln(x^2+1) și se observă că pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] aceasta este pozitivă (sumă de termeni nenegativi), deci modulul poate fi eliminat.
    g(x)=6x2+ln⁡(x2+1)≥0\displaystyle g(x)=6x^2+\ln\left(x^2+1\right)\geq 0, ∀x∈[0,1]⇒A=∫01g(x) dx=∫01(6x2+ln⁡(x2+1))dx\displaystyle \ \forall x\in[0,1]\Rightarrow \mathcal{A}=\int_0^1 g(x)\,dx=\int_0^1\left(6x^2+\ln\left(x^2+1\right)\right)dx
  2. Se separă integrala în două părți: partea polinomială, care se integrează direct.
    ∫016x2 dx=2x3∣01=2\displaystyle \int_0^1 6x^2\,dx=2x^3\Big|_0^1=2
  3. Se aplică integrarea prin părți pentru termenul logaritmic: se alege u=ln⁡(x2+1)\displaystyle u=\ln(x^2+1), dv=dx\displaystyle dv=dx, deci v=x\displaystyle v=x, du=2xx2+1dx\displaystyle du=\dfrac{2x}{x^2+1}dx.
    ∫01ln⁡(x2+1)dx=xln⁡(x2+1)∣01−∫012x2x2+1dx=ln⁡2−∫012x2x2+1dx\displaystyle \int_0^1 \ln\left(x^2+1\right)dx=x\ln\left(x^2+1\right)\Big|_0^1-\int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}dx=\ln 2-\int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}dx
  4. Se adună rezultatele celor două integrale pentru a obține forma cerută de barem.
    A=2+ln⁡2−∫012x2x2+1dx\displaystyle \mathcal{A}=2+\ln 2-\int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}dx
  5. Se descompune fracția 2x2x2+1\displaystyle \dfrac{2x^2}{x^2+1} pentru a putea integra fiecare termen: se scrie 2x2=2(x2+1)−2\displaystyle 2x^2=2(x^2+1)-2.
    2x2x2+1=2−2x2+1⇒∫012x2x2+1dx=∫01(2−2x2+1)dx=2x∣01−2arctan⁡x∣01\displaystyle \dfrac{2x^2}{x^2+1}=2-\dfrac{2}{x^2+1}\Rightarrow \int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}dx=\int_0^1\left(2-\dfrac{2}{x^2+1}\right)dx=2x\Big|_0^1-2\arctan x\Big|_0^1
  6. Se calculează valorile la capete și se obține valoarea finală a integralei, apoi se identifică ariea cu forma aπ+ln⁡2\displaystyle a\pi+\ln 2 pentru a determina a\displaystyle a.
    A=2+ln⁡2−2x∣01+2arctan⁡x∣01=2+ln⁡2−2+π2=π2+ln⁡2, deci π2+ln⁡2=aπ+ln⁡2, de unde obținem a=12\displaystyle \mathcal{A}=2+\ln 2-2x\Big|_0^1+2\arctan x\Big|_0^1=2+\ln 2-2+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\ln 2\text{, deci }\dfrac{\pi}{2}+\ln 2=a\pi+\ln 2\text{, de unde obținem }a=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.