Bac matematică M1 mate-info 2021, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1+i)2−2(1+i)+2=0\displaystyle (1+i)^2-2(1+i)+2=0, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=1\displaystyle a=1 și b=i\displaystyle b=i.
    (1+i)2=1+2i+i2\displaystyle (1+i)^2=1+2i+i^2
  2. Desfacem paranteza din termenul al doilea, înmulțind cu −2\displaystyle -2.
    −2(1+i)=−2−2i\displaystyle -2(1+i)=-2-2i
  3. Înlocuim cele două rezultate în expresia inițială și păstrăm termenul +2\displaystyle +2.
    (1+i)2−2(1+i)+2=1+2i+i2−2−2i+2\displaystyle (1+i)^2-2(1+i)+2=1+2i+i^2-2-2i+2
  4. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și grupăm separat termenii cu i\displaystyle i și termenii reali. Termenii 2i\displaystyle 2i și −2i\displaystyle -2i se reduc.
    1+2i−1−2−2i+2=(1−1−2+2)+(2i−2i)\displaystyle 1+2i-1-2-2i+2=(1-1-2+2)+(2i-2i)
  5. Calculăm partea reală: 1−1−2+2=0\displaystyle 1-1-2+2=0, iar partea cu i\displaystyle i dispare. Deci expresia este egală cu 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    1−1=0\displaystyle 1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax−5\displaystyle f(x)=x^2+ax-5, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul M(1,2)\displaystyle M(1,2) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul M(1,2)\displaystyle M(1,2) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(1)=2\displaystyle f(1)=2. Deci condiția este f(1)=2\displaystyle f(1)=2.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției: f(1)=12+a⋅1−5\displaystyle f(1)=1^{2}+a\cdot 1-5, adică 1+a−5\displaystyle 1+a-5. Egalăm cu 2\displaystyle 2.
    1+a−5=2\displaystyle 1+a-5=2
  3. Reducem termenii asemenea: a−4=2\displaystyle a-4=2. Adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri și obținem a=6\displaystyle a=6.
    a−4=2⇒a=6\displaystyle a-4=2\Rightarrow a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+1)=log⁡4x+log⁡4(x+1)\displaystyle \log_4\left(x^2+1\right)=\log_4 x+\log_4(x+1).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență a logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Avem x>0\displaystyle x>0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci x>0\displaystyle x>0, iar x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x∈(0,∞)\displaystyle x\in(0,\infty)
  2. Transformăm suma de logaritmi din membrul drept într-un singur logaritm, folosind log⁡4a+log⁡4b=log⁡4(ab)\displaystyle \log_4 a+\log_4 b=\log_4(ab) pentru a,b>0\displaystyle a,b>0.
    log⁡4(x2+1)=log⁡4(x(x+1))\displaystyle \log_4\left(x^2+1\right)=\log_4\left(x(x+1)\right)
  3. Funcția log⁡4\displaystyle \log_4 este injectivă, deci egalăm argumentele: x2+1=x(x+1)\displaystyle x^{2}+1=x(x+1), adică x2+1=x2+x\displaystyle x^{2}+1=x^{2}+x.
    x2+1=x2+x\displaystyle x^2+1=x^2+x
  4. Reducem termenii x2\displaystyle x^{2} din ambii membri și obținem ecuația 1=x\displaystyle 1=x.
    x=1\displaystyle x=1
  5. Verificăm condiția de existență: 1>0\displaystyle 1>0, deci soluția convine. Verificare: log⁡42=log⁡41+log⁡42=0+log⁡42\displaystyle \log_4 2=\log_4 1+\log_4 2=0+\log_4 2.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 2\displaystyle 2 și cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Un număr divizibil cu 2\displaystyle 2 și cu 5\displaystyle 5 este divizibil cu 10\displaystyle 10, deoarece 2\displaystyle 2 și 5\displaystyle 5 sunt prime între ele. Deci numărul trebuie să aibă ultima cifră 0\displaystyle 0.
    10∣n\displaystyle 10 \mid n
  3. Numerele de două cifre divizibile cu 10\displaystyle 10 sunt 10,20,…,90\displaystyle 10, 20, \ldots, 90, adică 9\displaystyle 9 numere. Acesta este numărul cazurilor favorabile.
    9\displaystyle 9
  4. Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: p=990\displaystyle p=\dfrac{9}{90}, care se simplifică prin 9\displaystyle 9 la 110\displaystyle \dfrac{1}{10}.
    p=990=110\displaystyle p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(3,4)\displaystyle M(3,4), N(0,1)\displaystyle N(0,1) și P(3,0)\displaystyle P(3,0). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin punctul P\displaystyle P și este paralelă cu dreapta MN\displaystyle MN.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei MN\displaystyle MN cu formula mMN=yM−yNxM−xN\displaystyle m_{MN}=\dfrac{y_M-y_N}{x_M-x_N}, folosind M(3,4)\displaystyle M(3,4) și N(0,1)\displaystyle N(0,1).
    mMN=4−13−0=33=1\displaystyle m_{MN}=\dfrac{4-1}{3-0}=\dfrac{3}{3}=1
  2. Dreptele paralele au pante egale, deci d∥MN\displaystyle d\parallel MN implică md=mMN\displaystyle m_d=m_{MN}.
    mMN=1, md=1\displaystyle m_{MN}=1\text{, }m_d=1
  3. Scriem ecuația dreptei prin P(3,0)\displaystyle P(3,0) cu panta md=1\displaystyle m_d=1, folosind y−yP=md(x−xP)\displaystyle y-y_P=m_d(x-x_P).
    y−0=1⋅(x−3)\displaystyle y-0=1\cdot(x-3)
  4. Simplificăm și obținem ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y−yP=md(x−xP), adica˘ y=x−3\displaystyle y-y_P=m_d(x-x_P)\text{, adică }y=x-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în C\displaystyle C. Arătați că tg⁡B=1tg⁡A\displaystyle \operatorname{tg}B=\frac{1}{\operatorname{tg}A}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în C\displaystyle C, deci ipotenuza este AB\displaystyle AB, iar catetele sunt AC\displaystyle AC și BC\displaystyle BC. Pentru unghiul A\displaystyle A, cateta opusă este BC\displaystyle BC, iar cateta alăturată este AC\displaystyle AC.
    ipotenuza AB, catetele AC și BC\displaystyle \text{ipotenuza }AB\text{, catetele }AC\text{ și }BC
  2. Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată. Pentru unghiul A\displaystyle A obținem tg⁡A=BCAC\displaystyle \operatorname{tg}A=\dfrac{BC}{AC}.
    tg⁡A=BCAC\displaystyle \operatorname{tg}A=\frac{BC}{AC}
  3. Pentru unghiul B\displaystyle B, cateta opusă este AC\displaystyle AC, iar cateta alăturată este BC\displaystyle BC. Deci tg⁡B=ACBC\displaystyle \operatorname{tg}B=\dfrac{AC}{BC}.
    tg⁡B=ACBC\displaystyle \operatorname{tg}B=\frac{AC}{BC}
  4. Fracția ACBC\displaystyle \dfrac{AC}{BC} este inversa fracției BCAC\displaystyle \dfrac{BC}{AC}, adică inversa lui tg⁡A\displaystyle \operatorname{tg}A. Rezultă că tg⁡B=1tg⁡A\displaystyle \operatorname{tg}B=\dfrac{1}{\operatorname{tg}A}.
    tg⁡B=ACBC=1BCAC=1tg⁡A\displaystyle \operatorname{tg}B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\frac{BC}{AC}}=\frac{1}{\operatorname{tg}A}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+20−a0203a02−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&0&-a\\0&2&0\\3a&0&2-3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=8\displaystyle \det(A(0))=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în fiecare element al matricei A(a)\displaystyle A(a): a+2\displaystyle a+2 devine 2\displaystyle 2, −a\displaystyle -a devine 0\displaystyle 0, 3a\displaystyle 3a devine 0\displaystyle 0, iar 2−3a\displaystyle 2-3a devine 2\displaystyle 2.
    A(0)=(200020002)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), care este un determinant de ordin 3\displaystyle 3 cu elemente nenule doar pe diagonala principală.
    det⁡(A(0))=∣200020002∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Singurul produs nenul este 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2, iar toți ceilalți termeni conțin cel puțin un zero.
    2⋅2⋅2+0+0−0−0−0\displaystyle 2\cdot2\cdot2+0+0-0-0-0
  4. Calculăm suma și obținem valoarea determinantului, adică 8\displaystyle 8, ceea ce trebuia arătat.
    8+0+0−0−0−0=8⇒det⁡(A(0))=8\displaystyle 8+0+0-0-0-0=8\Rightarrow\det(A(0))=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+20−a0203a02−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&0&-a\\0&2&0\\3a&0&2-3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea B∈M3(R)\displaystyle B\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), știind că aB=A(a)−2I3\displaystyle aB=A(a)-2I_3, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea 2I3\displaystyle 2I_3, adică matricea cu 2\displaystyle 2 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    2I3=(200020002)\displaystyle 2I_3=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}
  2. Scădem matricele element cu element: a+2−2=a\displaystyle a+2-2=a, 2−2=0\displaystyle 2-2=0, 2−3a−2=−3a\displaystyle 2-3a-2=-3a, iar celelalte elemente rămân neschimbate.
    A(a)−2I3=(a+20−a0203a02−3a)−(200020002)=(a0−a0003a0−3a)\displaystyle A(a)-2I_3=\begin{pmatrix}a+2&0&-a\\0&2&0\\3a&0&2-3a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0&-a\\0&0&0\\3a&0&-3a\end{pmatrix}
  3. Scoatem factor comun pe a\displaystyle a din fiecare element al matricei obținute.
    A(a)−2I3=a(10−100030−3)\displaystyle A(a)-2I_3=a\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}
  4. Din egalitatea aB=A(a)−2I3\displaystyle aB=A(a)-2I_3, valabilă pentru orice a\displaystyle a real, rezultă că aB=a(10−100030−3)\displaystyle aB=a\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}. Luând de exemplu a=1\displaystyle a=1 (sau simplificând cu a≠0\displaystyle a\neq 0), obținem matricea B\displaystyle B.
    B=(10−100030−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\3&0&-3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+20−a0203a02−3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2&0&-a\\0&2&0\\3a&0&2-3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care det⁡(A(n)⋅A(−n))>0\displaystyle \det(A(n)\cdot A(-n))>0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(n)\displaystyle A(n) și A(−n)\displaystyle A(-n), înlocuind pe a\displaystyle a cu n\displaystyle n, respectiv cu −n\displaystyle -n, în matricea dată.
    A(n)=(n+20−n0203n02−3n)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}n+2&0&-n\\0&2&0\\3n&0&2-3n\end{pmatrix},A(−n)=(2−n0n020−3n02+3n)\displaystyle \quad A(-n)=\begin{pmatrix}2-n&0&n\\0&2&0\\-3n&0&2+3n\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului, linie cu coloană. Elementele din linia 2 și coloana 2 se obțin ușor, iar cele de pe pozițiile cu zerouri rămân zero. Avem (n+2)(2−n)+(−n)(−3n)=4+2n2\displaystyle (n+2)(2-n)+(-n)(-3n)=4+2n^{2}, (n+2)n+(−n)(2+3n)=−2n2\displaystyle (n+2)n+(-n)(2+3n)=-2n^{2}, 3n(2−n)+(2−3n)(−3n)=6n2\displaystyle 3n(2-n)+(2-3n)(-3n)=6n^{2}, 3n⋅n+(2−3n)(2+3n)=4−6n2\displaystyle 3n\cdot n+(2-3n)(2+3n)=4-6n^{2} și 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4.
    (n+2)(2−n)+3n2=4+2n2\displaystyle (n+2)(2-n)+3n^{2}=4+2n^{2},n(n+2)−n(2+3n)=−2n2\displaystyle \quad n(n+2)-n(2+3n)=-2n^{2},3n(2−n)−3n(2−3n)=6n2\displaystyle \quad 3n(2-n)-3n(2-3n)=6n^{2},3n2+4−9n2=4−6n2\displaystyle \quad 3n^{2}+4-9n^{2}=4-6n^{2}
  3. Scriem matricea produs cu elementele calculate.
    A(n)⋅A(−n)=(4+2n20−2n20406n204−6n2)\displaystyle A(n)\cdot A(-n)=\begin{pmatrix}4+2n^{2}&0&-2n^{2}\\0&4&0\\6n^{2}&0&4-6n^{2}\end{pmatrix}
  4. Dezvoltăm determinantul după linia 2, unde singurul element nenul este 4\displaystyle 4, pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2), cu semn plus. Rămâne minorul format din liniile și coloanele 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3. Efectuăm calculele: (4+2n2)(4−6n2)=16−16n2−12n4\displaystyle (4+2n^{2})(4-6n^{2})=16-16n^{2}-12n^{4}, iar −(−2n2)⋅6n2\displaystyle -(-2n^{2})\cdot 6n^{2} se scade cu semn schimbat, adică se adaugă 12n4\displaystyle 12n^{4}.
    det⁡(A(n)⋅A(−n))=4[(4+2n2)(4−6n2)+12n4]=4(16−16n2)=64(1−n2)\displaystyle \det(A(n)\cdot A(-n))=4\left[(4+2n^{2})(4-6n^{2})+12n^{4}\right]=4\left(16-16n^{2}\right)=64\left(1-n^{2}\right)
  5. Impunem condiția ca determinantul să fie strict pozitiv. Cum 64>0\displaystyle 64>0, rămâne 1−n2>0\displaystyle 1-n^{2}>0, adică n2<1\displaystyle n^{2}<1. Singurul număr natural cu această proprietate este 0\displaystyle 0.
    64(1−n2)>0⇒n2<1, deci n=0\displaystyle 64\left(1-n^{2}\right)>0\Rightarrow n^{2}<1\text{, deci }n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=12(x+y+∣x−y∣)\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\left(x+y+|x-y|\right).

Arătați că 2∗0=2\displaystyle 2*0=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=12(x+y+∣x−y∣)\displaystyle x*y=\dfrac{1}{2}\left(x+y+|x-y|\right) și înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=0\displaystyle y=0.
    2∗0=12(2+0+∣2−0∣)\displaystyle 2*0=\frac{1}{2}\left(2+0+|2-0|\right)
  2. Calculăm 2+0=2\displaystyle 2+0=2 și ∣2−0∣=∣2∣=2\displaystyle |2-0|=|2|=2, deoarece 2>0\displaystyle 2>0.
    12(2+2)\displaystyle \frac{1}{2}\left(2+2\right)
  3. Adunăm în paranteză: 2+2=4\displaystyle 2+2=4, apoi 12⋅4=2\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 4=2. Deci 2∗0=2\displaystyle 2*0=2.
    12⋅4=2\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=12(x+y+∣x−y∣)\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\left(x+y+|x-y|\right).

Demonstrați că, dacă a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale astfel încât a≤b\displaystyle a\le b, atunci a∗b=b\displaystyle a*b=b.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția legii avem a∗b=12(a+b+∣a−b∣)\displaystyle a*b=\dfrac{1}{2}\left(a+b+|a-b|\right). Trebuie să eliminăm modulul.
    a∗b=12(a+b+∣a−b∣)\displaystyle a*b=\dfrac{1}{2}\left(a+b+|a-b|\right)
  2. Din a≤b\displaystyle a\le b rezultă a−b≤0\displaystyle a-b\le 0, deci modulul este opusul expresiei din interior: ∣a−b∣=−(a−b)=b−a\displaystyle |a-b|=-(a-b)=b-a.
    ∣a−b∣=b−a\displaystyle |a-b|=b-a
  3. Înlocuim ∣a−b∣\displaystyle |a-b| cu b−a\displaystyle b-a în definiție: a∗b=12(a+b+b−a)\displaystyle a*b=\dfrac{1}{2}\left(a+b+b-a\right).
    a∗b=12(a+b+b−a)\displaystyle a*b=\dfrac{1}{2}\left(a+b+b-a\right)
  4. Termenii a\displaystyle a și −a\displaystyle -a se anulează, iar b+b=2b\displaystyle b+b=2b. Atunci a∗b=12⋅2b=b\displaystyle a*b=\dfrac{1}{2}\cdot 2b=b, ceea ce trebuia demonstrat.
    a∗b=12⋅2b=b\displaystyle a*b=\dfrac{1}{2}\cdot 2b=b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=12(x+y+∣x−y∣)\displaystyle x*y=\frac{1}{2}\left(x+y+|x-y|\right).

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (2x)∗(x2+1)∗(−2x)=10\displaystyle (2x)*\left(x^2+1\right)*(-2x)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∗y\displaystyle x*y este maximul dintre x\displaystyle x și y\displaystyle y: dacă x≥y\displaystyle x\ge y, atunci ∣x−y∣=x−y\displaystyle |x-y|=x-y și x∗y=12(x+y+x−y)=x\displaystyle x*y=\frac{1}{2}(x+y+x-y)=x, iar dacă x<y\displaystyle x<y, atunci ∣x−y∣=y−x\displaystyle |x-y|=y-x și x∗y=y\displaystyle x*y=y. Deci x∗y=max⁡(x,y)\displaystyle x*y=\max(x,y).
    x∗y=max⁡(x,y)\displaystyle x*y=\max(x,y)
  2. Comparăm numerele: x2+1−2x=(x−1)2≥0\displaystyle x^2+1-2x=(x-1)^2\ge 0 și x2+1+2x=(x+1)2≥0\displaystyle x^2+1+2x=(x+1)^2\ge 0. Deci x2+1≥2x\displaystyle x^2+1\ge 2x și x2+1≥−2x\displaystyle x^2+1\ge -2x.
    x2+1≥2x și x2+1≥−2x\displaystyle x^2+1\ge 2x\text{ și }x^2+1\ge -2x
  3. Legea este asociativă, deci calculăm întâi (2x)∗(x2+1)\displaystyle (2x)*\left(x^2+1\right). Cum x2+1≥2x\displaystyle x^2+1\ge 2x, rezultatul este x2+1\displaystyle x^2+1. Apoi (x2+1)∗(−2x)=x2+1\displaystyle \left(x^2+1\right)*(-2x)=x^2+1, deoarece x2+1≥−2x\displaystyle x^2+1\ge -2x. Expresia dată este egală cu x2+1\displaystyle x^2+1.
    ((2x)∗(x2+1))∗(−2x)=(x2+1)∗(−2x)=x2+1\displaystyle \left((2x)*\left(x^2+1\right)\right)*(-2x)=\left(x^2+1\right)*(-2x)=x^2+1
  4. Ecuația devine x2+1=10\displaystyle x^2+1=10, adică x2=9\displaystyle x^2=9, deci x=−3\displaystyle x=-3 sau x=3\displaystyle x=3.
    x2+1=10⇒x=−3 sau x=3\displaystyle x^2+1=10\Rightarrow x=-3\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−x2+3\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+3}.

Arătați că f′(x)=x2+3−xx2+3\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este f(x)=x−x2+3\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^{2}+3}, deci derivăm termen cu termen. Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1.
    (x)′=1\displaystyle (x)'=1
  2. Pentru radical folosim formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}. Aici u=x2+3\displaystyle u=x^{2}+3, iar u′=2x\displaystyle u'=2x.
    (x2+3)′=2x2x2+3\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+3}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+3}}
  3. Scădem cele două derivate și obținem expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=1−2x2x2+3\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+3}}
  4. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    f′(x)=1−xx2+3\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}
  5. Aducem la numitor comun, scriind 1=x2+3x2+3\displaystyle 1=\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{\sqrt{x^{2}+3}}. Expresia x2+3\displaystyle x^{2}+3 este strict pozitivă, deci radicalul este nenul pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Obținem forma cerută.
    f′(x)=x2+3−xx2+3, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-x}{\sqrt{x^{2}+3}}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−x2+3\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+3}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty există dacă limita lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) este finită. Înlocuind direct, obținem o nedeterminare de forma ∞−∞\displaystyle \infty-\infty.
    lim⁡x→+∞(x−x2+3)  : nedeterminare ∞−∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+3}\right)\;\text{: nedeterminare }\infty-\infty
  2. Amplificăm cu conjugata expresiei, adică cu x+x2+3\displaystyle x+\sqrt{x^{2}+3}, care este nenulă pentru x>0\displaystyle x>0.
    x−x2+3=(x−x2+3)(x+x2+3)x+x2+3\displaystyle x-\sqrt{x^{2}+3}=\frac{\left(x-\sqrt{x^{2}+3}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+3}\right)}{x+\sqrt{x^{2}+3}}
  3. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} la numărător și obținem x2−(x2+3)\displaystyle x^{2}-\left(x^{2}+3\right).
    x2−(x2+3)x+x2+3\displaystyle \frac{x^{2}-\left(x^{2}+3\right)}{x+\sqrt{x^{2}+3}}
  4. Simplificăm numărătorul: x2−x2−3=−3\displaystyle x^{2}-x^{2}-3=-3. Numărătorul este constant, iar numitorul x+x2+3\displaystyle x+\sqrt{x^{2}+3} tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞−3x+x2+3=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-3}{x+\sqrt{x^{2}+3}}=0
  5. Deoarece lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 este finită, graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−x2+3\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+3}.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a\displaystyle a pentru care ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are soluție.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind diferența a două funcții continue. Calculăm derivata: f′(x)=1−xx2+3\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}.
    f′(x)=1−xx2+3=x2+3−xx2+3\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}-x}{\sqrt{x^{2}+3}}
  2. Numitorul x2+3\displaystyle \sqrt{x^{2}+3} este pozitiv. Pentru numărător avem x2+3>x2=∣x∣≥x\displaystyle \sqrt{x^{2}+3}>\sqrt{x^{2}}=|x|\ge x, deci x2+3−x>0\displaystyle \sqrt{x^{2}+3}-x>0. Rezultă f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f\displaystyle f este strict crescătoare.
    f′(x)>0, pentru orice numa˘r real x, deci f este strict cresca˘toare\displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }f\text{ este strict crescătoare}
  3. Limita la −∞\displaystyle -\infty: x→−∞\displaystyle x\to-\infty și −x2+3→−∞\displaystyle -\sqrt{x^{2}+3}\to-\infty, deci suma tinde la −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
  4. Limita la +∞\displaystyle +\infty: avem nedeterminarea ∞−∞\displaystyle \infty-\infty. Amplificăm cu conjugata x+x2+3\displaystyle x+\sqrt{x^{2}+3}. La numărător obținem x2−(x2+3)=−3\displaystyle x^{2}-(x^{2}+3)=-3. Numitorul tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci limita este 0\displaystyle 0.
    f(x)=−3x+x2+3→0, deci lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle f(x)=\dfrac{-3}{x+\sqrt{x^{2}+3}}\to0\text{, deci }\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
  5. Funcția f\displaystyle f este continuă și strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, cu limitele −∞\displaystyle -\infty la −∞\displaystyle -\infty și 0\displaystyle 0 la +∞\displaystyle +\infty. Deci mulțimea valorilor ei este (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0). Ecuația f(x)=a\displaystyle f(x)=a are soluție exact când a∈(−∞,0)\displaystyle a\in(-\infty,0).
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞, lim⁡x→+∞f(x)=0, deci a∈(−∞,0)\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\text{, }\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\text{, deci }a\in(-\infty,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+x+3\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+x+3}.

Arătați că ∫02(x2+x+3)f(x) dx=2\displaystyle \int_0^2\left(x^2+x+3\right)f(x)\,dx=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx2+x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+x+3} în integrală.
    ∫02(x2+x+3)⋅xx2+x+3 dx\displaystyle \int_0^2\left(x^{2}+x+3\right)\cdot\frac{x}{x^{2}+x+3}\,dx
  2. Trinomul x2+x+3\displaystyle x^{2}+x+3 are Δ=1−12=−11<0\displaystyle \Delta=1-12=-11<0, deci este strict pozitiv pe R\displaystyle \mathbb{R} și putem simplifica cu el. Rămâne de integrat funcția x\displaystyle x.
    ∫02(x2+x+3)xx2+x+3 dx=∫02x dx\displaystyle \int_0^2\left(x^{2}+x+3\right)\frac{x}{x^{2}+x+3}\,dx=\int_0^2 x\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2].
    ∫02x dx=x22∣02\displaystyle \int_0^2 x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_0^2
  4. Calculăm 222−022=42−0\displaystyle \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}-0, deci integrala este egală cu 2\displaystyle 2, ceea ce trebuia arătat.
    42=2\displaystyle \frac{4}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+x+3\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+x+3}.

Arătați că ∫12g(x) dx=ln⁡95\displaystyle \int_1^2 g(x)\,dx=\ln\frac{9}{5}, unde g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=2x+1x⋅f(x)\displaystyle g(x)=\frac{2x+1}{x}\cdot f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx2+x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+x+3} în expresia lui g\displaystyle g: g(x)=2x+1x⋅xx2+x+3\displaystyle g(x)=\dfrac{2x+1}{x}\cdot\dfrac{x}{x^{2}+x+3}.
    g(x)=2x+1x⋅xx2+x+3\displaystyle g(x)=\frac{2x+1}{x}\cdot\frac{x}{x^{2}+x+3}
  2. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci simplificăm prin x\displaystyle x și obținem g(x)=2x+1x2+x+3\displaystyle g(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+3}. Atunci ∫12g(x) dx=∫122x+1x2+x+3 dx\displaystyle \int_1^2 g(x)\,dx=\int_1^2\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+3}\,dx.
    ∫12g(x) dx=∫122x+1x2+x+3 dx\displaystyle \int_1^2 g(x)\,dx=\int_1^2\frac{2x+1}{x^{2}+x+3}\,dx
  3. Calculăm (x2+x+3)′=2x+1\displaystyle \left(x^{2}+x+3\right)'=2x+1, adică exact numărătorul. Deci integrala are forma ∫u′(x)u(x) dx\displaystyle \int \dfrac{u'(x)}{u(x)}\,dx cu u(x)=x2+x+3\displaystyle u(x)=x^{2}+x+3.
    ∫122x+1x2+x+3 dx=∫12(x2+x+3)′x2+x+3 dx\displaystyle \int_1^2\frac{2x+1}{x^{2}+x+3}\,dx=\int_1^2\frac{\left(x^{2}+x+3\right)'}{x^{2}+x+3}\,dx
  4. O primitivă a lui u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡∣u∣\displaystyle \ln|u|. Numitorul x2+x+3\displaystyle x^{2}+x+3 este pozitiv (discriminantul 1−12<0\displaystyle 1-12<0), deci primitiva este ln⁡(x2+x+3)\displaystyle \ln\left(x^{2}+x+3\right). Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ln⁡(x2+x+3)∣12\displaystyle \ln\left(x^{2}+x+3\right)\Big|_1^2
  5. Pentru x=2\displaystyle x=2: 22+2+3=9\displaystyle 2^{2}+2+3=9. Pentru x=1\displaystyle x=1: 1+1+3=5\displaystyle 1+1+3=5. Deci integrala este ln⁡9−ln⁡5=ln⁡95\displaystyle \ln 9-\ln 5=\ln\dfrac{9}{5}.
    ln⁡9−ln⁡5=ln⁡95\displaystyle \ln 9-\ln 5=\ln\frac{9}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+x+3\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+x+3}.

Se consideră numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, cu 0≤a<b\displaystyle 0\le a<b. Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫abfn(x) dx\displaystyle I_n=\int_a^b f^n(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 numitorul x2+x+3\displaystyle x^2+x+3 este pozitiv, iar numărătorul x\displaystyle x este pozitiv sau zero, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 pe intervalul [a,b]⊂[0,+∞)\displaystyle [a,b]\subset[0,+\infty).
    f(x)≥0, pentru x∈[a,b]\displaystyle f(x)\ge 0\text{, pentru }x\in[a,b]
  2. Arătăm că f(x)≤12\displaystyle f(x)\le\dfrac{1}{2}. Inegalitatea xx2+x+3≤12\displaystyle \dfrac{x}{x^2+x+3}\le\dfrac{1}{2} este echivalentă, cu numitorul pozitiv, cu 2x≤x2+x+3\displaystyle 2x\le x^2+x+3, adică x2−x+3≥0\displaystyle x^2-x+3\ge 0. Aceasta este adevărată pentru orice x\displaystyle x real, deoarece discriminantul este 1−12=−11<0\displaystyle 1-12=-11<0 și coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv.
    x2−x+3≥0 ⇒ xx2+x+3≤12\displaystyle x^2-x+3\ge 0\ \Rightarrow\ \frac{x}{x^2+x+3}\le\frac{1}{2}
  3. Din 0≤f(x)≤12\displaystyle 0\le f(x)\le\dfrac{1}{2} ridicăm la puterea n\displaystyle n (toți termenii sunt nenegativi, deci inegalitățile se păstrează) și obținem 0≤fn(x)≤(12)n\displaystyle 0\le f^n(x)\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n pentru x∈[a,b]\displaystyle x\in[a,b].
    0≤xx2+x+3≤12, deci 0≤fn(x)≤(12)n\displaystyle 0\le\frac{x}{x^2+x+3}\le\frac{1}{2}\text{, deci }0\le f^n(x)\le\left(\frac{1}{2}\right)^n
  4. Integrăm inegalitatea pe intervalul [a,b]\displaystyle [a,b], cu a<b\displaystyle a<b, folosind monotonia integralei. Integrala constantei (12)n\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^n este (12)n(b−a)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^n(b-a).
    0≤∫abfn(x) dx≤∫ab(12)ndx=(12)n(b−a)\displaystyle 0\le\int_a^b f^n(x)\,dx\le\int_a^b\left(\frac{1}{2}\right)^n dx=\left(\frac{1}{2}\right)^n(b-a)
  5. Deoarece 0<12<1\displaystyle 0<\dfrac{1}{2}<1, șirul (12)n\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^n tinde la 0\displaystyle 0, deci și (12)n(b−a)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^n(b-a) tinde la 0\displaystyle 0, căci b−a\displaystyle b-a este o constantă. Cum 0≤In≤(12)n(b−a)\displaystyle 0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n(b-a), din criteriul cleștelui rezultă că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0.
    0≤In≤(12)n(b−a), lim⁡n→+∞(12)n=0, deci lim⁡n→+∞In=0\displaystyle 0\le I_n\le\left(\frac{1}{2}\right)^n(b-a)\text{, }\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.