Bac matematică M1 mate-info 2014, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}

, știind că

\displaystyle a_1=6

și

\displaystyle a_2=12

.

Vezi rezolvarea

Aflăm rația progresiei aritmetice ca diferența dintre doi termeni consecutivi: $\displaystyle r=a_2-a_1=12-6$ .
$\displaystyle r=6$
Al treilea termen se obține adunând rația la al doilea termen: $\displaystyle a_3=a_2+r=12+6$ .
$\displaystyle a_3=18$
Adunăm primii trei termeni: $\displaystyle a_1+a_2+a_3=6+12+18$ . Suma este $\displaystyle 36$ .
$\displaystyle a_1+a_2+a_3=36$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle (3^x-1)(3^x-3)=0

.

Vezi rezolvarea

Un produs de doi factori este nul atunci când cel puțin unul dintre factori este nul. Deci $\displaystyle 3^{x}-1=0$ sau $\displaystyle 3^{x}-3=0$ .
$\displaystyle 3^{x}-1=0\text{ sau }3^{x}-3=0$
Trecem termenii liberi în membrul drept în fiecare ecuație și obținem $\displaystyle 3^{x}=1$ sau $\displaystyle 3^{x}=3$ .
$\displaystyle 3^{x}=1\text{ sau }3^{x}=3$
Scriem membrul drept ca putere a lui $\displaystyle 3$ : $\displaystyle 1=3^{0}$ și $\displaystyle 3=3^{1}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 3$ este injectivă, deci egalăm exponenții: $\displaystyle 3^{x}=3^{0}$ sau $\displaystyle 3^{x}=3^{1}$ .
$\displaystyle 3^{x}=3^{0}\text{ sau }3^{x}=3^{1}$
Din egalitatea exponenților obținem $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x=1$ . Ambele valori sunt numere reale, deci sunt soluțiile ecuației.
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să conțină cifra

\displaystyle 1

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt cele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ . Numărăm câte sunt: $\displaystyle 99-10+1=90$ . Acesta este numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 90$
Numărăm numerele de două cifre care au cifra $\displaystyle 1$ pe poziția zecilor: $\displaystyle 10, 11, 12, \ldots, 19$ . Sunt $\displaystyle 10$ astfel de numere.
$\displaystyle 10$
Numărăm numerele care au cifra $\displaystyle 1$ pe poziția unităților: $\displaystyle 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91$ . Prima cifră nu poate fi $\displaystyle 0$ și nici $\displaystyle 1$ , ca să nu numărăm de două ori numărul $\displaystyle 11$ . Sunt $\displaystyle 8$ astfel de numere.
$\displaystyle 8$
Adunăm cele două grupe și obținem numărul cazurilor favorabile: $\displaystyle 10+8=18$ .
$\displaystyle 18$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{18}{90}$ . Simplificăm fracția prin $\displaystyle 18$ și obținem $\displaystyle \dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle p=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră triunghiul echilateral

\displaystyle ABC

cu

\displaystyle AB=2

. Calculați lungimea vectorului

\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

.

Vezi rezolvarea

Folosim regula triunghiului pentru adunarea vectorilor: dacă sfârșitul primului vector coincide cu începutul celui de-al doilea, suma lor este vectorul cu originea în $\displaystyle A$ și extremitatea în $\displaystyle C$ . Deci $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
Lungimea vectorului $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ este egală cu lungimea vectorului $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ , adică cu lungimea segmentului $\displaystyle AC$ , care este o latură a triunghiului $\displaystyle ABC$ .
$\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$
Triunghiul $\displaystyle ABC$ este echilateral, deci toate laturile sunt egale cu $\displaystyle AB=2$ . Rezultă $\displaystyle AC=2$ , deci lungimea vectorului cerut este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle AC=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați aria triunghiului isoscel

\displaystyle ABC

știind că

\displaystyle A=\frac{\pi}{2}

și

\displaystyle AC=4

.

Vezi rezolvarea

Unghiul $\displaystyle A=\dfrac{\pi}{2}$ , deci triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , iar $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ sunt catetele.
$\displaystyle \angle A=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow AB\perp AC$
Triunghiul este isoscel și unghiul drept este în $\displaystyle A$ , deci laturile egale sunt catetele (ipotenuza $\displaystyle BC$ este mai lungă decât orice catetă). Atunci $\displaystyle AB=AC=4$ .
$\displaystyle AB=AC=4$
Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: $\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}$ . Înlocuim $\displaystyle AB=4$ și $\displaystyle AC=4$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{4\cdot 4}{2}$
Calculăm: $\displaystyle 4\cdot 4=16$ , iar $\displaystyle \dfrac{16}{2}=8$ . Aria triunghiului este 8.
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{4\cdot 4}{2}=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&a\\a&2&2\\a&a&2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=8

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=0$ în matricea $\displaystyle A(a)$ și scriem determinantul matricei $\displaystyle A(0)$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&0&0\\0&2&2\\0&0&2\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
$\displaystyle 2\cdot2\cdot2+0\cdot2\cdot0+0\cdot0\cdot2-0\cdot2\cdot0-0\cdot2\cdot2-2\cdot0\cdot0$
Calculăm produsele: doar produsul de pe diagonala principală este nenul, celelalte conțin factorul $\displaystyle 0$ . Obținem valoarea determinantului.
$\displaystyle 8+0+0-0-0-0=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&a\\a&2&2\\a&a&2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \det(A(a))=0

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm determinantul după prima linie. Minorii sunt determinanți de ordin $\displaystyle 2$ , iar semnele alternează: plus, minus, plus.
$\displaystyle \det(A(a))=2\begin{vmatrix}2&2\\a&2\end{vmatrix}-a\begin{vmatrix}a&2\\a&2\end{vmatrix}+a\begin{vmatrix}a&2\\a&a\end{vmatrix}$
Calculăm cei trei minori. Al doilea minor are două linii egale, deci este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \begin{vmatrix}2&2\\a&2\end{vmatrix}=4-2a$ , $\displaystyle \quad \begin{vmatrix}a&2\\a&2\end{vmatrix}=0$ , $\displaystyle \quad \begin{vmatrix}a&2\\a&a\end{vmatrix}=a^{2}-2a$
Înlocuim minorii și desfacem parantezele, obținând un polinom de gradul $\displaystyle 3$ în $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \det(A(a))=2(4-2a)-0+a(a^{2}-2a)=a^{3}-2a^{2}-4a+8$
Factorizăm prin grupare: dăm factor comun $\displaystyle a^{2}$ din primii doi termeni și $\displaystyle -4$ din ultimii doi, apoi dăm factor comun $\displaystyle a-2$ și folosim diferența de pătrate $\displaystyle a^{2}-4=(a-2)(a+2)$ .
$\displaystyle a^{2}(a-2)-4(a-2)=(a-2)(a^{2}-4)=(a-2)^{2}(a+2)$
Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Din $\displaystyle (a-2)^{2}=0$ obținem $\displaystyle a=2$ , iar din $\displaystyle a+2=0$ obținem $\displaystyle a=-2$ .
$\displaystyle (a-2)^{2}(a+2)=0\Leftrightarrow a=-2\text{ sau }a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2&a&a\\a&2&2\\a&a&2\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați matricea

\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

știind că

\displaystyle A(1)\cdot X=\begin{pmatrix}4\\5\\4\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în matricea din enunțul comun și obținem matricea $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&2\\1&1&2\end{pmatrix}$
Înmulțim $\displaystyle A(1)\cdot X$ , înmulțind fiecare linie a lui $\displaystyle A(1)$ cu coloana $\displaystyle X$ , apoi egalăm cu $\displaystyle \begin{pmatrix}4\\5\\4\end{pmatrix}$ . Obținem un sistem de trei ecuații.
$\displaystyle \begin{cases}2x+y+z=4\\x+2y+2z=5\\x+y+2z=4\end{cases}$
Scădem ecuația a treia din a doua: $\displaystyle (x+2y+2z)-(x+y+2z)=5-4$ . Rămâne doar $\displaystyle y$ .
$\displaystyle y=1$
Înlocuim $\displaystyle y=1$ în prima și în a treia ecuație. Din prima: $\displaystyle 2x+z=3$ . Din a treia: $\displaystyle x+2z=3$ .
$\displaystyle \begin{cases}2x+z=3\\x+2z=3\end{cases}$
Scădem a doua ecuație din prima: $\displaystyle x-z=0$ , deci $\displaystyle x=z$ . Înlocuim în $\displaystyle 2x+z=3$ și obținem $\displaystyle 3x=3$ , deci $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle z=1$ .
$\displaystyle x=1$ , $\displaystyle \ z=1$
Verificăm în prima ecuație: $\displaystyle 2\cdot 1+1+1=4$ , adevărat. Deci matricea căutată este:
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră

\displaystyle x_1,x_2,x_3

rădăcinile polinomului

\displaystyle f=X^3-2X^2+3X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Calculați

\displaystyle f(1)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în expresia polinomului $\displaystyle f=X^3-2X^2+3X+m$ .
$\displaystyle f(1)=1^3-2\cdot 1^2+3\cdot 1+m$
Calculăm puterile: $\displaystyle 1^3=1$ și $\displaystyle 1^2=1$ , deci expresia devine $\displaystyle 1-2+3+m$ .
$\displaystyle f(1)=1-2+3+m$
Reducem numerele: $\displaystyle 1-2+3=2$ , deci $\displaystyle f(1)=m+2$ .
$\displaystyle f(1)=m+2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră

\displaystyle x_1,x_2,x_3

rădăcinile polinomului

\displaystyle f=X^3-2X^2+3X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2

.

Vezi rezolvarea

Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul $\displaystyle f=X^3-2X^2+3X+m$ . Suma rădăcinilor este $\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-2}{1}$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=2$
Suma produselor rădăcinilor două câte două este $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{3}{1}$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=2$ , $\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$
Din identitatea $\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ obținem suma pătratelor.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$
Înlocuim $\displaystyle x_1+x_2+x_3=2$ și $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$ , apoi calculăm: $\displaystyle 2^2-2\cdot 3=4-6$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot 3=4-6=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră

\displaystyle x_1,x_2,x_3

rădăcinile polinomului

\displaystyle f=X^3-2X^2+3X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

știind că

\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=8

.

Vezi rezolvarea

Din relațiile lui Viète pentru $\displaystyle f=X^3-2X^2+3X+m$ obținem $\displaystyle x_1+x_2+x_3=2$ și $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=2$ , $\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$
Folosim identitatea $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ , deci suma pătratelor este $\displaystyle 2^2-2\cdot 3$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot 3=-2$
Deoarece $\displaystyle x_i$ este rădăcină, avem $\displaystyle x_i^3-2x_i^2+3x_i+m=0$ pentru $\displaystyle i=1,2,3$ . Adunând cele trei egalități obținem relația de mai jos, unde $\displaystyle m$ apare de trei ori, deci $\displaystyle 3m$ .
$\displaystyle (x_1^3+x_2^3+x_3^3)-2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+3(x_1+x_2+x_3)+3m=0$
Înlocuim $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2$ și $\displaystyle x_1+x_2+x_3=2$ : $\displaystyle (x_1^3+x_2^3+x_3^3)-2\cdot(-2)+3\cdot 2+3m=0$ , adică $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+10+3m=0$ .
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3m-10$
Din $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=8$ rezultă $\displaystyle -3m-10=8$ , deci $\displaystyle -3m=18$ și $\displaystyle m=-6$ . Verificare: $\displaystyle -3\cdot(-6)-10=8$ .
$\displaystyle -3m-10=8\Rightarrow m=-6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ este un cât de două funcții derivabile pe $\displaystyle (0,+\infty)$ . Folosim regula de derivare a câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=\ln x$ și $\displaystyle v=x$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$ , $\displaystyle \ u=\ln x$ , $\displaystyle \ v=x$
Înlocuind în formulă, obținem $\displaystyle f'(x)=\dfrac{(\ln x)'\cdot x-\ln x\cdot x'}{x^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(\ln x)'\cdot x-\ln x\cdot x'}{x^{2}}$
Știm că $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle x'=1$ . Atunci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}$
Simplificăm: $\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot x=1$ , deci numărătorul este $\displaystyle 1-\ln x$ . Rezultă $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ , pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}

.

Determinați ecuația asimptotei spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ are asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ dacă limita $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)$ este finită. Scriem limita: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$
Limita are forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deoarece $\displaystyle \ln x\to+\infty$ și $\displaystyle x\to+\infty$ . Aplicăm regula lui L'Hospital: $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle (x)'=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}$
Cum $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$ , obținem că limita funcției $\displaystyle f$ la $\displaystyle +\infty$ este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$
Deoarece limita la $\displaystyle +\infty$ este finită și egală cu $\displaystyle 0$ , graficul funcției $\displaystyle f$ are asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ de ecuație $\displaystyle y=0$ .
$\displaystyle y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}

.

Arătați că

\displaystyle f(x)\le\frac{1}{e}

pentru orice

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția $\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ folosind formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=\ln x$ și $\displaystyle v=x$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}$
Simplificăm numărătorul, deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot x=1$ , și obținem expresia derivatei pentru $\displaystyle x>0$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$
Rezolvăm $\displaystyle f'(x)=0$ . Cum $\displaystyle x^{2}>0$ , trebuie ca $\displaystyle 1-\ln x=0$ , deci $\displaystyle \ln x=1$ , adică $\displaystyle x=e$ . Așadar $\displaystyle f'(e)=0$ .
$\displaystyle f'(e)=0$
Numitorul $\displaystyle x^{2}$ este pozitiv, deci semnul lui $\displaystyle f'$ este dat de $\displaystyle 1-\ln x$ . Funcția $\displaystyle \ln$ este crescătoare: pentru $\displaystyle x\in(0,e)$ avem $\displaystyle \ln x<1$ , deci $\displaystyle f'(x)>0$ ; pentru $\displaystyle x\in(e,+\infty)$ avem $\displaystyle \ln x>1$ , deci $\displaystyle f'(x)<0$ .
$\displaystyle f'(x)>0\text{ pentru }x\in(0,e)\text{ și }f'(x)<0\text{ pentru }x\in(e,+\infty)$
Deducem că $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (0,e]$ și descrescătoare pe $\displaystyle [e,+\infty)$ , deci are maxim global în $\displaystyle x=e$ . Valoarea maximă este $\displaystyle f(e)=\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac{1}{e}$ .
$\displaystyle f(e)=\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac{1}{e}$
Cum $\displaystyle f$ atinge maximul în $\displaystyle e$ , avem $\displaystyle f(x)\le f(e)$ pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ , deci $\displaystyle f(x)\le\dfrac{1}{e}$ .
$\displaystyle f(x)\le f(e)\Rightarrow f(x)\le\dfrac{1}{e}\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+x+1

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{11}{6}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia ei: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (x^2+x+1)\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (x^2+x+1)\,dx$
Primitiva fiecărui termen se află cu formula $\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : pentru $\displaystyle x^2$ obținem $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ , pentru $\displaystyle x$ obținem $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ , iar pentru $\displaystyle 1$ obținem $\displaystyle x$ . Deci $\displaystyle F(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x$
Aplicăm formula Leibniz-Newton, $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)$ , adică $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)\,dx=\left(\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^1$ .
$\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_0^1$
Pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle F(1)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1$ , iar $\displaystyle F(0)=0$ . Aducem la numitorul $\displaystyle 6$ : $\displaystyle \dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{6}{6}=\dfrac{11}{6}$ . Deci integrala este $\displaystyle \dfrac{11}{6}$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{6}{6}=\frac{11}{6}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+x+1

.

Pentru fiecare număr natural nenul

\displaystyle n

se consideră

\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{f(x)}\,dx

. Arătați că

\displaystyle I_{n+1}\le I_n

pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Scriem cele două integrale, pentru $\displaystyle n+1$ și pentru $\displaystyle n$ , cu $\displaystyle f(x)=x^2+x+1$ la numitor.
$\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x^2+x+1}\,dx$ , $\displaystyle \quad I_n=\int_0^1\frac{x^{n}}{x^2+x+1}\,dx$
Facem diferența, folosind liniaritatea integralei (aceleași limite și același numitor), apoi dăm factor comun $\displaystyle x^n$ la numărător.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}-x^{n}}{x^2+x+1}\,dx=\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{x^2+x+1}\,dx$
Studiem semnul fiecărui factor pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ . Puterea $\displaystyle x^n$ este nenegativă, $\displaystyle x-1$ este negativ sau zero, iar numitorul este strict pozitiv, deoarece discriminantul este $\displaystyle 1-4=-3<0$ și coeficientul lui $\displaystyle x^2$ este pozitiv (sau, direct, toți termenii sunt pozitivi sau nuli și $\displaystyle 1>0$ ).
$\displaystyle x^n\ge 0$ , $\displaystyle \quad x-1\le 0$ , $\displaystyle \quad x^2+x+1>0\ \text{ pentru }x\in[0,1]$
Rezultă că funcția de sub integrală este negativă sau zero pe $\displaystyle [0,1]$ , deoarece numărătorul este produsul dintre un factor nenegativ și unul nepozitiv, iar numitorul este pozitiv.
$\displaystyle \frac{x^n(x-1)}{x^2+x+1}\le 0$ , $\displaystyle \quad \forall x\in[0,1]$
Integrala unei funcții continue și negative sau nule pe $\displaystyle [0,1]$ este negativă sau nulă, deci diferența $\displaystyle I_{n+1}-I_n$ este nepozitivă. Așadar $\displaystyle I_{n+1}\le I_n$ pentru orice $\displaystyle n$ natural nenul.
$\displaystyle I_{n+1}-I_n\le 0\ \Rightarrow\ I_{n+1}\le I_n$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+x+1

.

Determinați numărul real pozitiv

\displaystyle a

știind că

\displaystyle \int_0^a\frac{2x+1}{f(x)}\,dx=\ln 3

.

Vezi rezolvarea

Observăm că numărătorul $\displaystyle 2x+1$ este derivata numitorului $\displaystyle f(x)=x^2+x+1$ , deoarece $\displaystyle (x^2+x+1)'=2x+1$ . Deci integrala este de forma $\displaystyle \dfrac{u'}{u}$ .
$\displaystyle (x^{2}+x+1)'=2x+1$
Primitiva lui $\displaystyle \dfrac{u'}{u}$ este $\displaystyle \ln u$ . Cum $\displaystyle x^2+x+1>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real (discriminantul este $\displaystyle -3<0$ ), nu avem nevoie de modul: $\displaystyle \displaystyle\int\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx=\ln(x^2+x+1)$ .
$\displaystyle \int\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx=\ln(x^{2}+x+1)+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton cu limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle a$ . Pentru $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle \ln(0+0+1)=\ln 1=0$ , deci integrala este $\displaystyle \ln(a^2+a+1)-0$ .
$\displaystyle \int_0^a\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx=\ln(x^{2}+x+1)\Big|_0^a=\ln(a^{2}+a+1)$
Egalăm rezultatul cu $\displaystyle \ln 3$ : $\displaystyle \ln(a^2+a+1)=\ln 3$ . Logaritmul este funcție injectivă, deci argumentele sunt egale.
$\displaystyle a^{2}+a+1=3$
Aducem ecuația la forma $\displaystyle a^2+a-2=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=1+8=9$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 3}{2}$ , adică $\displaystyle a=1$ sau $\displaystyle a=-2$ . Cum $\displaystyle a$ trebuie să fie pozitiv, rămâne $\displaystyle a=1$ .
$\displaystyle a^{2}+a-2=0\Rightarrow a=1\text{ sau }a=-2\text{; cum }a>0\text{, }a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2014, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani