Bac matematică M1 mate-info 2011, sesiunea I varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2,5)∩Z={2}\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{5})\cap\mathbb{Z}=\{2\}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 1<2<4\displaystyle 1<2<4, iar funcția radical este strict crescătoare pe [0,∞)\displaystyle [0,\infty). Extragem rădăcina pătrată din fiecare membru: 1<2<4\displaystyle \sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}, deci rădical din 2 se află între 1 și 2.
    1<2<2\displaystyle 1<\sqrt{2}<2
  2. Observăm că 4<5<9\displaystyle 4<5<9. Extragem rădăcina pătrată din fiecare membru: 4<5<9\displaystyle \sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}, deci rădical din 5 se află între 2 și 3.
    2<5<3\displaystyle 2<\sqrt{5}<3
  3. Din cele două încadrări rezultă 2<2<5\displaystyle \sqrt{2}<2<\sqrt{5}, deci 2∈(2,5)\displaystyle 2\in(\sqrt{2},\sqrt{5}). Numărul 1\displaystyle 1 nu aparține intervalului, deoarece 1<2\displaystyle 1<\sqrt{2}. Numărul 3\displaystyle 3 nu aparține intervalului, deoarece 5<3\displaystyle \sqrt{5}<3. Cum intervalul este inclus în (1,3)\displaystyle (1,3), el nu mai conține alt număr întreg.
    (2,5)⊂(1,3) și 2∈(2,5)\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{5})\subset(1,3)\text{ și }2\in(\sqrt{2},\sqrt{5})
  4. Singurul număr întreg din interval este 2\displaystyle 2, deci intersecția cu Z\displaystyle \mathbb{Z} este {2}\displaystyle \{2\}.
    (2,5)∩Z={2}\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{5})\cap\mathbb{Z}=\{2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care dreapta x=2\displaystyle x=2 este axa de simetrie a parabolei y=x2+mx+4\displaystyle y=x^2+mx+4.
Vezi rezolvarea
  1. Parabola y=x2+mx+4\displaystyle y=x^{2}+mx+4 are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle b=m, c=4\displaystyle c=4. Axa de simetrie a unei parabole este dreapta verticală care trece prin vârf.
    a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle \ b=m, c=4\displaystyle \ c=4
  2. Axa de simetrie are ecuația x=xV\displaystyle x=x_V, unde xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Deci dreapta x=2\displaystyle x=2 este axă de simetrie dacă abscisa vârfului este 2\displaystyle 2.
    xV=−b2a=2\displaystyle x_V=-\frac{b}{2a}=2
  3. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și b=m\displaystyle b=m în formula abscisei vârfului și obținem −m2=2\displaystyle -\dfrac{m}{2}=2.
    −m2=2\displaystyle -\frac{m}{2}=2
  4. Înmulțim ambii membri cu −2\displaystyle -2 și obținem m=−4\displaystyle m=-4. Este singura valoare a lui m\displaystyle m cu această proprietate.
    m=−4\displaystyle m=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea [0,2π)\displaystyle [0,2\pi) ecuația sin⁡(x−π6)=12\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm t=x−π6\displaystyle t=x-\dfrac{\pi}{6}. Ecuația devine sin⁡t=12\displaystyle \sin t=\dfrac{1}{2}, iar 12=sin⁡π6\displaystyle \dfrac{1}{2}=\sin\dfrac{\pi}{6}.
    sin⁡t=sin⁡π6\displaystyle \sin t=\sin\dfrac{\pi}{6}
  2. Aplicăm formula soluțiilor ecuației sin⁡t=sin⁡a\displaystyle \sin t=\sin a, adică t=(−1)ka+kπ\displaystyle t=(-1)^k a+k\pi cu k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z}, pentru a=π6\displaystyle a=\dfrac{\pi}{6}.
    x−π6∈{(−1)kπ6+kπ∣k∈Z}\displaystyle x-\frac{\pi}{6}\in\left\{(-1)^k\frac{\pi}{6}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}
  3. Îl scoatem pe x\displaystyle x, adunând π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6} în ambii membri.
    x=(−1)kπ6+kπ+π6\displaystyle x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+k\pi+\frac{\pi}{6}, k∈Z\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}
  4. Pentru k\displaystyle k par, k=2m\displaystyle k=2m, semnul este plus și obținem x=π3+2mπ\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}+2m\pi. În [0,2π)\displaystyle [0,2\pi) convine doar m=0\displaystyle m=0, deci x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}.
    x=π3\displaystyle x=\frac{\pi}{3}
  5. Pentru k\displaystyle k impar, k=2m+1\displaystyle k=2m+1, semnul este minus și obținem x=−π6+(2m+1)π+π6=(2m+1)π\displaystyle x=-\dfrac{\pi}{6}+(2m+1)\pi+\dfrac{\pi}{6}=(2m+1)\pi. În [0,2π)\displaystyle [0,2\pi) convine doar m=0\displaystyle m=0, deci x=π\displaystyle x=\pi.
    x=π\displaystyle x=\pi
  6. Soluțiile ecuației în intervalul [0,2π)\displaystyle [0,2\pi) sunt π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} și π\displaystyle \pi.
    x∈{π3,π}\displaystyle x\in\left\{\frac{\pi}{3},\pi\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle n\geq 2, pentru care Cn2+An2=18\displaystyle C_n^2+A_n^2=18.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula aranjamentelor: An2=n!(n−2)!\displaystyle A_n^2=\dfrac{n!}{(n-2)!}, adică produsul primilor doi factori ai lui n!\displaystyle n!.
    An2=n(n−1)\displaystyle A_n^2=n(n-1)
  2. Folosim formula combinărilor: Cn2=An22!=An22\displaystyle C_n^2=\dfrac{A_n^2}{2!}=\dfrac{A_n^2}{2}, deci înlocuim An2\displaystyle A_n^2 cu valoarea găsită.
    Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}
  3. Înlocuim în ecuația Cn2+An2=18\displaystyle C_n^2+A_n^2=18 cele două expresii obținute.
    n(n−1)2+n(n−1)=18\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}+n(n-1)=18
  4. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 și obținem n(n−1)+2n(n−1)=36\displaystyle n(n-1)+2n(n-1)=36, adică 3n(n−1)=36\displaystyle 3n(n-1)=36. Împărțim la 3\displaystyle 3.
    n(n−1)=12\displaystyle n(n-1)=12
  5. Rezolvăm n2−n−12=0\displaystyle n^{2}-n-12=0, adică (n−4)(n+3)=0\displaystyle (n-4)(n+3)=0, deci n=4\displaystyle n=4 sau n=−3\displaystyle n=-3. Cum n≥2\displaystyle n\geq 2, rămâne doar n=4\displaystyle n=4. Verificare: C42=6\displaystyle C_4^2=6, A42=12\displaystyle A_4^2=12 și 6+12=18\displaystyle 6+12=18.
    n(n−1)=12⇒n=4\displaystyle n(n-1)=12\Rightarrow n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} pentru care dreptele d1:ax+y+2011=0\displaystyle d_1: ax+y+2011=0 și d2:x−2y=0\displaystyle d_2: x-2y=0 sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem dreptele în forma generală Ax+By+C=0\displaystyle Ax+By+C=0 și identificăm coeficienți. Pentru d1\displaystyle d_1 avem A1=a\displaystyle A_1=a, B1=1\displaystyle B_1=1, iar pentru d2\displaystyle d_2 avem A2=1\displaystyle A_2=1, B2=−2\displaystyle B_2=-2.
    A1=a\displaystyle A_1=a, B1=1\displaystyle \ B_1=1, A2=1\displaystyle \ A_2=1, B2=−2\displaystyle \ B_2=-2
  2. Două drepte sunt paralele când A1A2=B1B2\displaystyle \dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}. Termenul liber din d1\displaystyle d_1 este 2011\displaystyle 2011, iar din d2\displaystyle d_2 este 0\displaystyle 0, deci dreptele nu coincid. Punem condiția de proporționalitate.
    a1=1−2\displaystyle \frac{a}{1}=\frac{1}{-2}
  3. Din proporție rezultă a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2}. Pentru această valoare dreptele sunt distincte, deoarece termenii liberi diferă, deci sunt paralele.
    a=−12\displaystyle a=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Fie x\displaystyle x un număr real care verifică egalitatea tg⁡x+ctg⁡x=2\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=2. Arătați că sin⁡2x=1\displaystyle \sin 2x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca tg⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x și ctg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x să existe, trebuie ca sin⁡x≠0\displaystyle \sin x\neq 0 și cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0. Scriem tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} și ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, deci egalitatea devine sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=2\displaystyle \dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=2.
    sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=2\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=2
  2. Amplificăm prima fracție cu sin⁡x\displaystyle \sin x și a doua cu cos⁡x\displaystyle \cos x, ca să avem numitorul comun sin⁡x⋅cos⁡x\displaystyle \sin x\cdot\cos x. Obținem sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=2\displaystyle \dfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cdot\cos x}=2.
    sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=2\displaystyle \frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cdot\cos x}=2
  3. Folosim identitatea sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, deci 1sin⁡x⋅cos⁡x=2\displaystyle \dfrac{1}{\sin x\cdot\cos x}=2. Înmulțim cu sin⁡x⋅cos⁡x≠0\displaystyle \sin x\cdot\cos x\neq 0 și obținem relația de mai jos.
    1=2sin⁡x⋅cos⁡x\displaystyle 1=2\sin x\cdot\cos x
  4. Din formula sin⁡2x=2sin⁡x⋅cos⁡x\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cdot\cos x și din relația obținută, rezultă sin⁡2x=1\displaystyle \sin 2x=1.
    sin⁡2x=1\displaystyle \sin 2x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1xx2012x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x^2\\0&1&2x\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.

Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y), oricare ar fi x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y), cu A(y)\displaystyle A(y) obținută prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu y\displaystyle y.
    A(x)⋅A(y)=(1xx2012x001)⋅(1yy2012y001)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&x&x^2\\0&1&2x\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&y&y^2\\0&1&2y\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Prima linie a produsului se obține înmulțind linia (1, x, x2)\displaystyle (1,\ x,\ x^2) cu fiecare coloană a lui A(y)\displaystyle A(y): 1⋅1+x⋅0+x2⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot 0+x^2\cdot 0=1, apoi 1⋅y+x⋅1+x2⋅0=x+y\displaystyle 1\cdot y+x\cdot 1+x^2\cdot 0=x+y, apoi 1⋅y2+x⋅2y+x2⋅1=x2+2xy+y2\displaystyle 1\cdot y^2+x\cdot 2y+x^2\cdot 1=x^2+2xy+y^2.
    (1x+yx2+2xy+y2)=(1x+y(x+y)2)\displaystyle \begin{pmatrix}1&x+y&x^2+2xy+y^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x+y&(x+y)^2\end{pmatrix}
  3. A doua linie a produsului se obține înmulțind linia (0, 1, 2x)\displaystyle (0,\ 1,\ 2x) cu coloanele lui A(y)\displaystyle A(y): 0⋅1+1⋅0+2x⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0+2x\cdot 0=0, apoi 0⋅y+1⋅1+2x⋅0=1\displaystyle 0\cdot y+1\cdot 1+2x\cdot 0=1, apoi 0⋅y2+1⋅2y+2x⋅1=2y+2x\displaystyle 0\cdot y^2+1\cdot 2y+2x\cdot 1=2y+2x.
    (012x+2y)=(012(x+y))\displaystyle \begin{pmatrix}0&1&2x+2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&2(x+y)\end{pmatrix}
  4. A treia linie a produsului se obține înmulțind linia (0, 0, 1)\displaystyle (0,\ 0,\ 1) cu coloanele lui A(y)\displaystyle A(y). Se obține 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0, respectiv 1\displaystyle 1, adică chiar a treia linie a lui A(y)\displaystyle A(y).
    (001)\displaystyle \begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}
  5. Punem cele trei linii împreună și observăm că matricea obținută este A(x+y)\displaystyle A(x+y). Deci A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y), oricare ar fi x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    A(x)⋅A(y)=(1x+y(x+y)2012(x+y)001)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix}1&x+y&(x+y)^2\\0&1&2(x+y)\\0&0&1\end{pmatrix}=A(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1xx2012x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x^2\\0&1&2x\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.

Arătați că (A(x)−A(y))2011=O3\displaystyle (A(x)-A(y))^{2011}=O_3, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm B=A(x)−A(y)\displaystyle B=A(x)-A(y) și scădem matricele element cu element. Elementele de pe diagonală se anulează, iar celelalte devin diferențe.
    B=(0x−yx2−y2002x−2y000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&x-y&x^2-y^2\\0&0&2x-2y\\0&0&0\end{pmatrix}
  2. Scoatem factorul comun la elementul 2x−2y\displaystyle 2x-2y și obținem forma din barem a matricei B\displaystyle B.
    A(x)−A(y)=(0x−yx2−y2002(x−y)000)\displaystyle A(x)-A(y)=\begin{pmatrix}0&x-y&x^2-y^2\\0&0&2(x-y)\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm B2\displaystyle B^2, înmulțind B\displaystyle B cu B\displaystyle B. Pe prima linie, elementul de pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3) este (x−y)⋅2(x−y)\displaystyle (x-y)\cdot 2(x-y), iar celelalte produse dau zero, deoarece prima coloană a lui B\displaystyle B este nulă și linia a treia este nulă.
    (B2)13=0⋅(x2−y2)+(x−y)⋅2(x−y)+(x2−y2)⋅0=2(x−y)2\displaystyle (B^2)_{13}=0\cdot(x^2-y^2)+(x-y)\cdot 2(x-y)+(x^2-y^2)\cdot 0=2(x-y)^2
  4. Toate celelalte elemente ale lui B2\displaystyle B^2 sunt zero, deci rămâne un singur element nenul, în colțul din dreapta sus.
    (A(x)−A(y))2=(002(x−y)2000000)\displaystyle (A(x)-A(y))^2=\begin{pmatrix}0&0&2(x-y)^2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
  5. Calculăm B3=B2⋅B\displaystyle B^3=B^2\cdot B. Singura linie nenulă a lui B2\displaystyle B^2 este prima, cu elementul nenul pe coloana a treia, iar linia a treia a lui B\displaystyle B este nulă, deci toate produsele sunt zero.
    B3=(002(x−y)2000000)⋅(0x−yx2−y2002(x−y)000)=O3\displaystyle B^3=\begin{pmatrix}0&0&2(x-y)^2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&x-y&x^2-y^2\\0&0&2(x-y)\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3
  6. Deoarece 2011=3⋅670+1\displaystyle 2011=3\cdot 670+1, scriem B2011=(B3)670⋅B\displaystyle B^{2011}=(B^3)^{670}\cdot B. Cum B3=O3\displaystyle B^3=O_3, rezultatul este matricea nulă, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    (A(x)−A(y))3=O3⇒(A(x)−A(y))2011=(O3)670⋅(A(x)−A(y))=O3\displaystyle (A(x)-A(y))^3=O_3\Rightarrow(A(x)-A(y))^{2011}=(O_3)^{670}\cdot(A(x)-A(y))=O_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(1xx2012x001)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x^2\\0&1&2x\\0&0&1\end{pmatrix}, unde x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.

Determinați inversa matricei A(x)\displaystyle A(x), unde x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală: det⁡A(x)=1⋅1⋅1=1≠0\displaystyle \det A(x)=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0. Deci matricea A(x)\displaystyle A(x) este inversabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    det⁡A(x)=1≠0, deci A(x) este inversabila˘\displaystyle \det A(x)=1\neq 0\text{, deci }A(x)\text{ este inversabilă}
  2. Folosim relația de la punctul a: A(x)⋅A(y)=A(x+y)\displaystyle A(x)\cdot A(y)=A(x+y). Pentru y=−x\displaystyle y=-x obținem A(x)⋅A(−x)=A(0)\displaystyle A(x)\cdot A(-x)=A(0). Scriem matricea A(−x)\displaystyle A(-x), în care x\displaystyle x este înlocuit cu −x\displaystyle -x.
    A(−x)=(1−xx201−2x001)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}1&-x&x^{2}\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul A(x)⋅A(−x)\displaystyle A(x)\cdot A(-x), linie cu coloană. Pe prima linie: 1\displaystyle 1, apoi −x+x=0\displaystyle -x+x=0, apoi x2−2x2+x2=0\displaystyle x^{2}-2x^{2}+x^{2}=0. Pe a doua linie: 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1, apoi −2x+2x=0\displaystyle -2x+2x=0. A treia linie este 0,0,1\displaystyle 0,0,1.
    A(x)⋅A(−x)=(100010001)=I3\displaystyle A(x)\cdot A(-x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3
  4. Deoarece A(x)⋅A(−x)=I3\displaystyle A(x)\cdot A(-x)=I_3, matricea A(−x)\displaystyle A(-x) este inversa lui A(x)\displaystyle A(x). Deci (A(x))−1=A(−x)\displaystyle \left(A(x)\right)^{-1}=A(-x).
    (A(x))−1=(1−xx201−2x001)=A(−x)\displaystyle (A(x))^{-1}=\begin{pmatrix}1&-x&x^{2}\\0&1&-2x\\0&0&1\end{pmatrix}=A(-x)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră α∈C\displaystyle \alpha\in\mathbb{C} și polinomul f=X3+(1−α)X2+(α−2)iX+α+(α−2)i∈C[X]\displaystyle f=X^3+(1-\alpha)X^2+(\alpha-2)iX+\alpha+(\alpha-2)i\in\mathbb{C}[X].

Arătați că polinomul f\displaystyle f are rădăcina −1\displaystyle -1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului f\displaystyle f: f(−1)=(−1)3+(1−α)(−1)2+(α−2)i⋅(−1)+α+(α−2)i\displaystyle f(-1)=(-1)^3+(1-\alpha)(-1)^2+(\alpha-2)i\cdot(-1)+\alpha+(\alpha-2)i.
    f(−1)=(−1)3+(1−α)(−1)2+(α−2)i⋅(−1)+α+(α−2)i\displaystyle f(-1)=(-1)^3+(1-\alpha)(-1)^2+(\alpha-2)i\cdot(-1)+\alpha+(\alpha-2)i
  2. Calculăm puterile: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1. Obținem f(−1)=−1+1−α−i(α−2)+α+(α−2)i\displaystyle f(-1)=-1+1-\alpha-i(\alpha-2)+\alpha+(\alpha-2)i.
    f(−1)=−1+1−α−i(α−2)+α+(α−2)i\displaystyle f(-1)=-1+1-\alpha-i(\alpha-2)+\alpha+(\alpha-2)i
  3. Reducem termenii opuși: −1+1=0\displaystyle -1+1=0, −α+α=0\displaystyle -\alpha+\alpha=0 și −i(α−2)+(α−2)i=0\displaystyle -i(\alpha-2)+(\alpha-2)i=0. Deci f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, adică −1\displaystyle -1 este rădăcină a polinomului f\displaystyle f.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră α∈C\displaystyle \alpha\in\mathbb{C} și polinomul f=X3+(1−α)X2+(α−2)iX+α+(α−2)i∈C[X]\displaystyle f=X^3+(1-\alpha)X^2+(\alpha-2)iX+\alpha+(\alpha-2)i\in\mathbb{C}[X].

Arătați că, dacă p,q\displaystyle p,q sunt numere complexe și polinomul g=X2+pX+q∈C[X]\displaystyle g=X^2+pX+q\in\mathbb{C}[X] are două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci p\displaystyle p și q\displaystyle q sunt numere reale și p2<4q\displaystyle p^2<4q.
Vezi rezolvarea
  1. Rădăcinile sunt distincte și complex conjugate, deci le scriem x1=u+iv\displaystyle x_1=u+iv și x2=u−iv\displaystyle x_2=u-iv, cu u,v∈R\displaystyle u,v\in\mathbb{R}. Faptul că sunt distincte înseamnă v≠0\displaystyle v\neq 0.
    x1=u+iv\displaystyle x_1=u+iv, x2=u−iv\displaystyle \ x_2=u-iv, u\displaystyle \ u,v∈R\displaystyle v\in\mathbb{R}, v≠0\displaystyle \ v\neq 0
  2. Scriem relațiile lui Viète pentru g=X2+pX+q\displaystyle g=X^2+pX+q: suma rădăcinilor este −p\displaystyle -p, iar produsul este q\displaystyle q.
    x1+x2=−p\displaystyle x_1+x_2=-p, x1x2=q\displaystyle \ x_1x_2=q
  3. Calculăm suma: x1+x2=(u+iv)+(u−iv)=2u\displaystyle x_1+x_2=(u+iv)+(u-iv)=2u. Deci −p=2u\displaystyle -p=2u, adică p=−2u\displaystyle p=-2u.
    p=−2u∈R\displaystyle p=-2u\in\mathbb{R}
  4. Calculăm produsul: x1x2=(u+iv)(u−iv)=u2−i2v2=u2+v2\displaystyle x_1x_2=(u+iv)(u-iv)=u^2-i^2v^2=u^2+v^2. Deci q=u2+v2\displaystyle q=u^2+v^2, număr real.
    q=u2+v2∈R\displaystyle q=u^2+v^2\in\mathbb{R}
  5. Calculăm p2−4q=(−2u)2−4(u2+v2)=4u2−4u2−4v2=−4v2\displaystyle p^2-4q=(-2u)^2-4(u^2+v^2)=4u^2-4u^2-4v^2=-4v^2. Cum v≠0\displaystyle v\neq 0 este real, v2>0\displaystyle v^2>0, deci −4v2<0\displaystyle -4v^2<0.
    p2−4q=−4v2<0\displaystyle p^2-4q=-4v^2<0
  6. Discriminantul este Δ=p2−4q<0\displaystyle \Delta=p^2-4q<0. Deci p,q∈R\displaystyle p,q\in\mathbb{R} și p2<4q\displaystyle p^2<4q.
    p\displaystyle p,q∈R\displaystyle q\in\mathbb{R}, Δ<0⇒p2<4q\displaystyle \ \Delta<0\Rightarrow p^2<4q
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră α∈C\displaystyle \alpha\in\mathbb{C} și polinomul f=X3+(1−α)X2+(α−2)iX+α+(α−2)i∈C[X]\displaystyle f=X^3+(1-\alpha)X^2+(\alpha-2)iX+\alpha+(\alpha-2)i\in\mathbb{C}[X].

Determinați α∈C\displaystyle \alpha\in\mathbb{C} pentru care polinomul f\displaystyle f are două rădăcini distincte, complex conjugate.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f. Înlocuim X=−1\displaystyle X=-1: f(−1)=−1+(1−α)−(α−2)i+α+(α−2)i=0\displaystyle f(-1)=-1+(1-\alpha)-(\alpha-2)i+\alpha+(\alpha-2)i=0. Deci f\displaystyle f se împarte exact la X+1\displaystyle X+1.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0
  2. Căutăm factorizarea f=(X+1)(X2−αX+c)\displaystyle f=(X+1)(X^2-\alpha X+c). După înmulțire obținem X3+(1−α)X2+(c−α)X+c\displaystyle X^3+(1-\alpha)X^2+(c-\alpha)X+c. Termenul liber dă c=α+(α−2)i\displaystyle c=\alpha+(\alpha-2)i, iar coeficientul lui X\displaystyle X dă c−α=(α−2)i\displaystyle c-\alpha=(\alpha-2)i, deci se verifică.
    f=(X+1)(X2−αX+α+(α−2)i)\displaystyle f=(X+1)\left(X^2-\alpha X+\alpha+(\alpha-2)i\right)
  3. Notăm factorul de gradul doi cu h\displaystyle h. Rădăcinile lui f\displaystyle f sunt −1\displaystyle -1 și rădăcinile lui h\displaystyle h.
    h=X2−αX+α+(α−2)i∈C[X]\displaystyle h=X^2-\alpha X+\alpha+(\alpha-2)i\in\mathbb{C}[X]
  4. Două rădăcini distincte, complex conjugate, sunt neapărat nereale, deoarece un număr real este egal cu conjugatul său. Rădăcina −1\displaystyle -1 este reală, deci nu poate face parte din pereche. Prin urmare rădăcinile lui h\displaystyle h sunt z\displaystyle z și z‾\displaystyle \overline{z}, cu z∉R\displaystyle z\notin\mathbb{R}.
    h are ra˘da˘cinile z\displaystyle h \text{ are rădăcinile } z, z‾\displaystyle \ \overline{z}, z∉R\displaystyle \ z\notin\mathbb{R}
  5. Aplicăm relațiile lui Viète pentru h\displaystyle h: z+z‾=α\displaystyle z+\overline{z}=\alpha și z⋅z‾=α+(α−2)i\displaystyle z\cdot\overline{z}=\alpha+(\alpha-2)i. Suma z+z‾=2Re⁡z\displaystyle z+\overline{z}=2\operatorname{Re}z și produsul z⋅z‾=∣z∣2\displaystyle z\cdot\overline{z}=|z|^2 sunt numere reale. Deci α\displaystyle \alpha și α+(α−2)i\displaystyle \alpha+(\alpha-2)i sunt reale.
    α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}, α+(α−2)i∈R\displaystyle \ \alpha+(\alpha-2)i\in\mathbb{R}
  6. Cum α∈R\displaystyle \alpha\in\mathbb{R}, partea imaginară a lui α+(α−2)i\displaystyle \alpha+(\alpha-2)i este α−2\displaystyle \alpha-2 și trebuie să fie 0\displaystyle 0, deci α=2\displaystyle \alpha=2. Verificare: pentru α=2\displaystyle \alpha=2, h=X2−2X+2\displaystyle h=X^2-2X+2 are rădăcinile 1+i\displaystyle 1+i și 1−i\displaystyle 1-i, distincte și complex conjugate, deci valoarea convine.
    α=2\displaystyle \alpha=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1).

Arătați că funcția f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), deoarece pentru x>1\displaystyle x>1 argumentele logaritmilor, x+1\displaystyle x+1 și x−1\displaystyle x-1, sunt strict pozitive. Derivăm termen cu termen, folosind formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}.
    f′(x)=(x+1)′x+1−(x−1)′x−1=1x+1−1x−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)'}{x+1}-\dfrac{(x-1)'}{x-1}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}
  2. Aducem fracțiile la numitor comun (x+1)(x−1)\displaystyle (x+1)(x-1) și scădem numărătorii: (x−1)−(x+1)=−2\displaystyle (x-1)-(x+1)=-2. Numitorul devine (x+1)(x−1)=x2−1\displaystyle (x+1)(x-1)=x^{2}-1.
    f′(x)=(x−1)−(x+1)(x+1)(x−1)=−2x2−1\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{-2}{x^{2}-1}
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem x2>1\displaystyle x^{2}>1, deci numitorul x2−1\displaystyle x^{2}-1 este strict pozitiv. Numărătorul −2\displaystyle -2 este negativ, deci fracția este negativă.
    x2−1>0 și −2<0⇒f′(x)=−2x2−1<0\displaystyle x^{2}-1>0\text{ și }-2<0\Rightarrow f'(x)=\dfrac{-2}{x^{2}-1}<0
  4. Deoarece derivata este strict negativă pe tot intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), funcția f\displaystyle f este strict descrescătoare pe acest interval.
    f′(x)<0 pentru orice x>1⇒f strict descresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{ pentru orice }x>1\Rightarrow f\text{ strict descrescătoare pe }(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1).

Determinați asimptotele graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Asimptotele posibile sunt: verticală în capătul finit x=1\displaystyle x=1 și orizontală sau oblică spre +∞\displaystyle +\infty. Calculăm limitele la capetele intervalului.
    D=(1,+∞)\displaystyle D=(1,+\infty)
  2. Studiem limita pentru x→1\displaystyle x\to1, x>1\displaystyle x>1. Primul termen tinde la ln⁡2\displaystyle \ln 2, iar x−1→0+\displaystyle x-1\to0^{+}, deci ln⁡(x−1)→−∞\displaystyle \ln(x-1)\to-\infty.
    lim⁡x→1+ln⁡(x+1)=ln⁡2\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}\ln(x+1)=\ln 2,lim⁡x→1+ln⁡(x−1)=−∞\displaystyle \quad \lim_{x\to1^{+}}\ln(x-1)=-\infty
  3. Rezultă că lim⁡x→1+f(x)=ln⁡2−(−∞)=+∞\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x)=\ln 2-(-\infty)=+\infty, deci dreapta x=1\displaystyle x=1 este asimptotă verticală.
    lim⁡x→1f(x)=+∞, deci x=1 este asimptota˘ verticala˘\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=+\infty\text{, deci }x=1\text{ este asimptotă verticală}
  4. Funcția f\displaystyle f este diferența a două funcții logaritmice continue pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), deci este continuă pe acest interval. Prin urmare nu există alte asimptote verticale.
    f este continua˘ pe (1,∞)\displaystyle f\text{ este continuă pe }(1,\infty)
  5. Pentru limita la +∞\displaystyle +\infty, folosim proprietatea diferenței de logaritmi: f(x)=ln⁡x+1x−1\displaystyle f(x)=\ln\dfrac{x+1}{x-1}.
    f(x)=ln⁡x+1x−1\displaystyle f(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}
  6. Raportul x+1x−1→1\displaystyle \dfrac{x+1}{x-1}\to1 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deoarece coeficienții dominanți sunt egali. Logaritmul fiind continuu, limita este ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Deci dreapta y=0\displaystyle y=0 este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, iar graficul nu are asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡x+1x−1=0, deci y=0 este asimptota˘ orizontala˘ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x+1}{x-1}=0\text{, deci }y=0\text{ este asimptotă orizontală }spre +∞\displaystyle \text{spre }+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1).

Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul xf(x)\displaystyle x f(x) ca un raport, trecând pe x\displaystyle x la numitor ca x−1\displaystyle x^{-1}: xf(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)x−1\displaystyle x f(x)=\dfrac{\ln(x+1)-\ln(x-1)}{x^{-1}}. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)=ln⁡x+1x−1→ln⁡1=0\displaystyle \ln(x+1)-\ln(x-1)=\ln\dfrac{x+1}{x-1}\to\ln 1=0 și x−1→0\displaystyle x^{-1}\to 0.
    lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)x−1, nedeterminare de forma 00\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+1)-\ln(x-1)}{x^{-1}}\text{, nedeterminare de forma }\frac{0}{0}
  2. Pentru regula lui l'Hospital derivăm separat numărătorul și numitorul. Avem (ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1))′=(x+1)−1−(x−1)−1\displaystyle \left(\ln(x+1)-\ln(x-1)\right)'=(x+1)^{-1}-(x-1)^{-1} și (x−1)′=−x−2\displaystyle \left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}.
    lim⁡x→+∞(x+1)−1−(x−1)−1−x−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)^{-1}-(x-1)^{-1}}{-x^{-2}}
  3. Aducem numărătorul la același numitor: 1x+1−1x−1=(x−1)−(x+1)(x+1)(x−1)=−2x2−1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{-2}{x^{2}-1}.
    1x+1−1x−1=−2x2−1\displaystyle \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=-\frac{2}{x^{2}-1}
  4. Împărțim la −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, adică înmulțim cu −x2\displaystyle -x^{2}. Semnele minus se reduc: −2x2−1−1x2=2x2x2−1\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{x^{2}-1}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}-1}.
    2x2x2−1\displaystyle \frac{2x^{2}}{x^{2}-1}
  5. Calculăm limita: lim⁡x→+∞2x2x2−1=lim⁡x→+∞21−1x2=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}}{x^{2}-1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}=2, deoarece 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0.
    lim⁡x→+∞(x+1)−1−(x−1)−1−x−2=lim⁡x→+∞2x2x2−1=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)^{-1}-(x-1)^{-1}}{-x^{-2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[1,2]→R\displaystyle f:[1,2]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2.

Calculați ∫14f(x)dx\displaystyle \int_1^4 f\left(\sqrt{x}\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x\displaystyle \sqrt{x} în expresia lui f\displaystyle f. Pentru x∈[1,4]\displaystyle x\in[1,4] avem x∈[1,2]\displaystyle \sqrt{x}\in[1,2], deci f(x)\displaystyle f(\sqrt{x}) este definită. Pătratul lui x\displaystyle \sqrt{x} este x\displaystyle x.
    f(x)=x−3x+2\displaystyle f\left(\sqrt{x}\right)=x-3\sqrt{x}+2
  2. Integrăm termen cu termen. Primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, primitiva lui x=x12\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} este 23x32\displaystyle \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}, iar primitiva lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Scriem integrala cu limitele de evaluare.
    ∫14(x−3x+2)dx=(12x2−3⋅23⋅x32+2x)∣14\displaystyle \int_1^4\left(x-3\sqrt{x}+2\right)dx=\left(\frac{1}{2}x^{2}-3\cdot\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+2x\right)\Big|_1^4
  3. Simplificăm primitiva: 3⋅23=2\displaystyle 3\cdot\dfrac{2}{3}=2, deci primitiva devine F(x)=x22−2x32+2x\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-2x^{\frac{3}{2}}+2x.
    F(x)=x22−2x32+2x\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{2}-2x^{\frac{3}{2}}+2x
  4. Calculăm F(4)\displaystyle F(4). Avem 432=8\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}=8, deci F(4)=162−2⋅8+2⋅4\displaystyle F(4)=\dfrac{16}{2}-2\cdot 8+2\cdot 4.
    F(4)=8−16+8=0\displaystyle F(4)=8-16+8=0
  5. Calculăm F(1)=12−2⋅1+2⋅1\displaystyle F(1)=\dfrac{1}{2}-2\cdot 1+2\cdot 1.
    F(1)=12−2+2=12\displaystyle F(1)=\frac{1}{2}-2+2=\frac{1}{2}
  6. Aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala este F(4)−F(1)=0−12\displaystyle F(4)-F(1)=0-\dfrac{1}{2}.
    ∫14f(x)dx=−12\displaystyle \int_1^4 f\left(\sqrt{x}\right)dx=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[1,2]→R\displaystyle f:[1,2]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2.

Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției g:[1;2]→R\displaystyle g:[1;2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)x\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x} și de axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția g\displaystyle g explicit: împărțim fiecare termen al lui f(x)\displaystyle f(x) la x\displaystyle x. Obținem g(x)=x−3+2x\displaystyle g(x)=x-3+\dfrac{2}{x}.
    g(x)=x2−3x+2x=x−3+2x\displaystyle g(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x}=x-3+\frac{2}{x}
  2. Studiem semnul lui f\displaystyle f pe [1,2]\displaystyle [1,2]. Rădăcinile lui f\displaystyle f sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, deci f(x)=(x−1)(x−2)\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2). Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0 și x−2≤0\displaystyle x-2\leq 0, deci f(x)≤0\displaystyle f(x)\leq 0. Cum x>0\displaystyle x>0, rezultă g(x)≤0\displaystyle g(x)\leq 0, deci graficul este sub axa Ox\displaystyle Ox.
    f(x)=(x−1)(x−2)≤0⇒g(x)≤0 pe [1,2]\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)\leq 0\Rightarrow g(x)\leq 0\text{ pe }[1,2]
  3. Aria este integrala modulului lui g\displaystyle g. Deoarece g≤0\displaystyle g\leq 0, avem ∣g(x)∣=−g(x)\displaystyle |g(x)|=-g(x), deci aria este minus integrala lui g\displaystyle g pe [1,2]\displaystyle [1,2].
    A=∫12∣f(x)x∣dx=−∫12f(x)xdx\displaystyle A=\int_1^2\left|\frac{f(x)}{x}\right|dx=-\int_1^2\frac{f(x)}{x}dx
  4. Înlocuim g(x)=x−3+2x\displaystyle g(x)=x-3+\dfrac{2}{x} și separăm integrala în integrale simple, termen cu termen.
    A=−∫12x dx+3∫12dx−∫122x dx\displaystyle A=-\int_1^2 x\,dx+3\int_1^2 dx-\int_1^2\frac{2}{x}\,dx
  5. Calculăm fiecare integrală cu primitivele cunoscute: ∫12x dx=x22∣12=32\displaystyle \displaystyle\int_1^2 x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\Big|_1^2=\dfrac{3}{2}, ∫12dx=x∣12=1\displaystyle \displaystyle\int_1^2 dx=x\Big|_1^2=1, ∫122x dx=2ln⁡x∣12=2ln⁡2\displaystyle \displaystyle\int_1^2\dfrac{2}{x}\,dx=2\ln x\Big|_1^2=2\ln 2.
    ∫12x dx=32\displaystyle \int_1^2 x\,dx=\frac{3}{2},∫12dx=1\displaystyle \quad \int_1^2 dx=1,∫122x dx=2ln⁡2\displaystyle \quad \int_1^2\frac{2}{x}\,dx=2\ln 2
  6. Adunăm rezultatele: A=−32+3⋅1−2ln⁡2=32−2ln⁡2\displaystyle A=-\dfrac{3}{2}+3\cdot 1-2\ln 2=\dfrac{3}{2}-2\ln 2. Aceasta este aria cerută.
    A=−32+3−2ln⁡2=32−2ln⁡2\displaystyle A=-\frac{3}{2}+3-2\ln 2=\frac{3}{2}-2\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[1,2]→R\displaystyle f:[1,2]\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2.

Arătați că (4n+2)∫12fn(x)dx+n∫12fn−1(x)dx=0\displaystyle (4n+2)\int_1^2f^n(x)dx+n\int_1^2f^{n-1}(x)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm In=∫12fn(x)dx\displaystyle I_n=\int_1^2 f^n(x)dx, pentru n≥1\displaystyle n\ge 1. Derivata lui f\displaystyle f este f′(x)=2x−3\displaystyle f'(x)=2x-3, deci 1=12(2x−3)′\displaystyle 1=\dfrac{1}{2}(2x-3)'. Scriem integrala astfel pentru a o integra prin părți.
    In=12∫12(2x−3)′fn(x) dx\displaystyle I_n=\dfrac{1}{2}\int_1^2(2x-3)'f^n(x)\,dx
  2. Integrăm prin părți, cu u=fn(x)\displaystyle u=f^n(x) și v=2x−32\displaystyle v=\dfrac{2x-3}{2}. Derivata lui fn\displaystyle f^n este nfn−1(x)⋅(2x−3)\displaystyle nf^{n-1}(x)\cdot(2x-3).
    In=12(2x−3)fn(x)∣12−12∫12(2x−3)2 nfn−1(x) dx\displaystyle I_n=\dfrac{1}{2}(2x-3)f^n(x)\Big|_1^2-\dfrac{1}{2}\int_1^2(2x-3)^2\,n f^{n-1}(x)\,dx
  3. Calculăm termenul din afara integralei. Avem f(1)=1−3+2=0\displaystyle f(1)=1-3+2=0 și f(2)=4−6+2=0\displaystyle f(2)=4-6+2=0, iar n≥1\displaystyle n\ge 1, deci fn(1)=fn(2)=0\displaystyle f^n(1)=f^n(2)=0 și termenul este zero.
    In=−n2∫12(2x−3)2fn−1(x) dx\displaystyle I_n=-\dfrac{n}{2}\int_1^2(2x-3)^2f^{n-1}(x)\,dx
  4. Exprimăm (2x−3)2\displaystyle (2x-3)^2 cu ajutorul lui f\displaystyle f: (2x−3)2=4x2−12x+9=4(x2−3x+2)+1=4f(x)+1\displaystyle (2x-3)^2=4x^2-12x+9=4(x^2-3x+2)+1=4f(x)+1.
    (2x−3)2=4x2−12x+8+1=4f(x)+1\displaystyle (2x-3)^2=4x^2-12x+8+1=4f(x)+1
  5. Înlocuim (2x−3)2=4f(x)+1\displaystyle (2x-3)^2=4f(x)+1 în integrală.
    In=−n2∫12(4f(x)+1)fn−1(x) dx\displaystyle I_n=-\dfrac{n}{2}\int_1^2\left(4f(x)+1\right)f^{n-1}(x)\,dx
  6. Desfacem paranteza și separăm integrala în două: In=−4n2∫12fn(x)dx−n2∫12fn−1(x)dx\displaystyle I_n=-\dfrac{4n}{2}\int_1^2f^n(x)dx-\dfrac{n}{2}\int_1^2f^{n-1}(x)dx, adică In=−2nIn−n2In−1\displaystyle I_n=-2nI_n-\dfrac{n}{2}I_{n-1}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și trecem toți termenii în membrul stâng, ceea ce dă relația cerută.
    (4n+2)∫12fn(x)dx+n∫12fn−1(x)dx=0\displaystyle (4n+2)\int_1^2f^n(x)dx+n\int_1^2f^{n-1}(x)dx=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.