Bac matematică M1 mate-info 2017, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=2+i\displaystyle z=2+i. Arătați că z+z‾+zz‾=9\displaystyle z+\overline{z}+z\overline{z}=9, unde z‾\displaystyle \overline{z} este conjugatul lui z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem conjugatul lui z\displaystyle z: pentru z=2+i\displaystyle z=2+i, conjugatul are aceeași parte reală și partea imaginară cu semn schimbat, deci z‾=2−i\displaystyle \overline{z}=2-i.
    z‾=2−i\displaystyle \overline{z}=2-i
  2. Înlocuim z\displaystyle z și z‾\displaystyle \overline{z} în expresia z+z‾+zz‾\displaystyle z+\overline{z}+z\overline{z}.
    z+z‾+zz‾=2+i+2−i+(2+i)(2−i)\displaystyle z+\overline{z}+z\overline{z}=2+i+2-i+(2+i)(2-i)
  3. Calculăm suma z+z‾\displaystyle z+\overline{z}: termenii cu i\displaystyle i se reduc, deci 2+i+2−i=4\displaystyle 2+i+2-i=4.
    z+z‾=4\displaystyle z+\overline{z}=4
  4. Calculăm produsul cu formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}, unde a=2\displaystyle a=2 și b=i\displaystyle b=i: (2+i)(2−i)=4−i2\displaystyle (2+i)(2-i)=4-i^{2}.
    (2+i)(2−i)=4−i2\displaystyle (2+i)(2-i)=4-i^{2}
  5. Folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci 4−i2=5\displaystyle 4-i^{2}=5. Adunând cu suma 4\displaystyle 4 obținem 4+4−i2=4+4+1=9\displaystyle 4+4-i^{2}=4+4+1=9, adică egalitatea cerută.
    4+4−i2=9\displaystyle 4+4-i^{2}=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(1,m)\displaystyle A(1,m) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x−3\displaystyle f(x)=x^2+2x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct (a,b)\displaystyle (a,b) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=b\displaystyle f(a)=b. Pentru punctul A(1,m)\displaystyle A(1,m) condiția este f(1)=m\displaystyle f(1)=m.
    f(1)=m\displaystyle f(1)=m
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=x2+2x−3\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3 și egalăm cu m\displaystyle m.
    12+2⋅1−3=m\displaystyle 1^{2}+2\cdot 1-3=m
  3. Calculăm: 1+2−3=0\displaystyle 1+2-3=0, deci m=0\displaystyle m=0.
    m=0\displaystyle m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (1−log⁡2x)(2−log⁡2x)=0\displaystyle (1-\log_2 x)(2-\log_2 x)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Logaritmul log⁡2x\displaystyle \log_2 x are sens doar pentru x>0\displaystyle x>0, deci condiția de existență este x>0\displaystyle x>0.
    x>0\displaystyle x>0
  2. Un produs este egal cu zero când cel puțin un factor este zero, deci (1−log⁡2x)(2−log⁡2x)=0\displaystyle (1-\log_2 x)(2-\log_2 x)=0 conduce la două ecuații.
    1−log⁡2x=0 sau 2−log⁡2x=0\displaystyle 1-\log_2 x=0\text{ sau }2-\log_2 x=0
  3. Din 1−log⁡2x=0\displaystyle 1-\log_2 x=0 rezultă log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=1, deci x=21\displaystyle x=2^{1}.
    x=2\displaystyle x=2
  4. Din 2−log⁡2x=0\displaystyle 2-\log_2 x=0 rezultă log⁡2x=2\displaystyle \log_2 x=2, deci x=22\displaystyle x=2^{2}.
    x=4\displaystyle x=4
  5. Ambele valori sunt strict pozitive, deci verifică condiția x>0\displaystyle x>0. Soluțiile ecuației sunt x=2\displaystyle x=2 și x=4\displaystyle x=4.
    x=2 sau x=4, care convin\displaystyle x=2\text{ sau }x=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci sunt 99−10+1\displaystyle 99-10+1 numere. Alternativ, cifra zecilor are 9\displaystyle 9 variante (1,2,…,9\displaystyle 1,2,\dots,9), iar cifra unităților 10\displaystyle 10 variante (0,1,…,9\displaystyle 0,1,\dots,9), deci 9⋅10\displaystyle 9\cdot 10 numere.
    nr. cazuri posibile=90\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=90
  2. Numărăm cazurile favorabile: numărul are forma ab‾\displaystyle \overline{ab} cu a<b\displaystyle a<b, unde a∈{1,…,9}\displaystyle a\in\{1,\dots,9\} și b∈{0,…,9}\displaystyle b\in\{0,\dots,9\}. Fixăm cifra zecilor a\displaystyle a și numărăm cifrele b\displaystyle b mai mari decât a\displaystyle a.
    a=1:8\displaystyle a=1:8, a=2:7\displaystyle \ a=2:7, a=3:6\displaystyle \ a=3:6, a=4:5\displaystyle \ a=4:5, a=5:4\displaystyle \ a=5:4, a=6:3\displaystyle \ a=6:3, a=7:2\displaystyle \ a=7:2, a=8:1\displaystyle \ a=8:1, a=9:0\displaystyle \ a=9:0
  3. Adunăm numerele de posibilități pentru fiecare cifră a zecilor: 8+7+6+5+4+3+2+1+0\displaystyle 8+7+6+5+4+3+2+1+0.
    8+7+6+5+4+3+2+1+0=36\displaystyle 8+7+6+5+4+3+2+1+0=36
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}, apoi simplificăm fracția prin 18\displaystyle 18.
    p=3690=25\displaystyle p=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1), B(3,3)\displaystyle B(3,3) și C(0,2)\displaystyle C(0,2). Determinați lungimea medianei din C\displaystyle C a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din C\displaystyle C unește vârful C\displaystyle C cu mijlocul M\displaystyle M al laturii opuse AB\displaystyle AB. Coordonatele lui M\displaystyle M sunt mediile aritmetice ale coordonatelor lui A\displaystyle A și B\displaystyle B: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=3+32\displaystyle x_M=\dfrac{3+3}{2}, yM=1+32\displaystyle \ y_M=\dfrac{1+3}{2}
  2. Efectuăm calculele: xM=62=3\displaystyle x_M=\dfrac{6}{2}=3 și yM=42=2\displaystyle y_M=\dfrac{4}{2}=2. Deci mijlocul laturii AB\displaystyle AB este punctul M(3,2)\displaystyle M(3,2).
    M(3,2)\displaystyle M(3,2)
  3. Lungimea medianei este distanța CM\displaystyle CM. Folosim formula CM=(xM−xC)2+(yM−yC)2\displaystyle CM=\sqrt{(x_M-x_C)^{2}+(y_M-y_C)^{2}}, cu C(0,2)\displaystyle C(0,2) și M(3,2)\displaystyle M(3,2).
    CM=(3−0)2+(2−2)2=9+0\displaystyle CM=\sqrt{(3-0)^{2}+(2-2)^{2}}=\sqrt{9+0}
  4. Calculăm: CM=9=3\displaystyle CM=\sqrt{9}=3. Verificare: C\displaystyle C și M\displaystyle M au aceeași ordonată, deci distanța este diferența absciselor, 3−0=3\displaystyle 3-0=3.
    CM=3\displaystyle CM=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (1+tg⁡2x)cos⁡2x−(1+ctg⁡2x)sin⁡2x=0\displaystyle (1+\operatorname{tg}^2 x)\cos^2 x-(1+\operatorname{ctg}^2 x)\sin^2 x=0, pentru orice x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) avem sin⁡x≠0\displaystyle \sin x\neq 0 și cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0, deci tg⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x și ctg⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x sunt definite. Scriem tangenta și cotangenta cu sinus și cosinus: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} și ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
    tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\displaystyle \quad \operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}
  2. Înlocuim în expresia dată tg⁡2x\displaystyle \operatorname{tg}^2 x și ctg⁡2x\displaystyle \operatorname{ctg}^2 x cu fracțiile de mai sus.
    (1+sin⁡2xcos⁡2x)cos⁡2x−(1+cos⁡2xsin⁡2x)sin⁡2x\displaystyle \left(1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)\cos^2 x-\left(1+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\right)\sin^2 x
  3. Distribuim factorul cos⁡2x\displaystyle \cos^2 x în prima paranteză și factorul sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x în a doua. Fracțiile se simplifică: sin⁡2xcos⁡2x⋅cos⁡2x=sin⁡2x\displaystyle \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\cdot\cos^2 x=\sin^2 x, iar cos⁡2xsin⁡2x⋅sin⁡2x=cos⁡2x\displaystyle \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot\sin^2 x=\cos^2 x.
    cos⁡2x+sin⁡2x−(sin⁡2x+cos⁡2x)\displaystyle \cos^2 x+\sin^2 x-(\sin^2 x+\cos^2 x)
  4. Cele două sume sunt egale (adunarea este comutativă), deci diferența lor este 0\displaystyle 0. Același rezultat se obține și folosind identitatea sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1: 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Egalitatea are loc pentru orice x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
    cos⁡2x+sin⁡2x−(sin⁡2x+cos⁡2x)=0, pentru orice x∈(0,π2)\displaystyle \cos^2 x+\sin^2 x-(\sin^2 x+\cos^2 x)=0\text{, pentru orice }x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11212a−2−13)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&a\\-2&-1&3\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+2z=0x+2y+az=0−2x−y+3z=0\displaystyle \begin{cases}x+y+2z=0\\x+2y+az=0\\-2x-y+3z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(9))=0\displaystyle \det(A(9))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=9\displaystyle a=9 în matrice și scriem determinantul matricei A(9)\displaystyle A(9).
    det⁡(A(9))=∣112129−2−13∣\displaystyle \det(A(9))=\begin{vmatrix}1&1&2\\1&2&9\\-2&-1&3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 1⋅2⋅3\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3, 1⋅9⋅(−2)\displaystyle 1\cdot 9\cdot(-2) și 2⋅1⋅(−1)\displaystyle 2\cdot 1\cdot(-1).
    6+(−18)+(−2)=−14\displaystyle 6+(-18)+(-2)=-14
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 2⋅2⋅(−2)\displaystyle 2\cdot 2\cdot(-2), 1⋅9⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 9\cdot(-1) și 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3.
    (−8)+(−9)+3=−14\displaystyle (-8)+(-9)+3=-14
  4. Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală și obținem valoarea determinantului: −14−(−14)=0\displaystyle -14-(-14)=0.
    det⁡(A(9))=6+(−2)+(−18)−(−8)−(−9)−3=−14+14=0\displaystyle \det(A(9))=6+(-2)+(-18)-(-8)-(-9)-3=-14+14=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11212a−2−13)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&a\\-2&-1&3\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+2z=0x+2y+az=0−2x−y+3z=0\displaystyle \begin{cases}x+y+2z=0\\x+2y+az=0\\-2x-y+3z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a pentru care sistemul are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul este omogen, cu 3 ecuații și 3 necunoscute. Are întotdeauna soluția nulă (0,0,0)\displaystyle (0,0,0), deci are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul: det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0.
    det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0
  2. Calculăm determinantul dezvoltând după prima linie.
    det⁡(A(a))=1⋅∣2a−13∣−1⋅∣1a−23∣+2⋅∣12−2−1∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}2&a\\-1&3\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&a\\-2&3\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}1&2\\-2&-1\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei trei determinanți de ordin doi: 2⋅3−a⋅(−1)=6+a\displaystyle 2\cdot 3-a\cdot(-1)=6+a, apoi 1⋅3−a⋅(−2)=3+2a\displaystyle 1\cdot 3-a\cdot(-2)=3+2a, apoi 1⋅(−1)−2⋅(−2)=3\displaystyle 1\cdot(-1)-2\cdot(-2)=3.
    det⁡(A(a))=(6+a)−(3+2a)+2⋅3\displaystyle \det(A(a))=(6+a)-(3+2a)+2\cdot 3
  4. Reducem termenii asemenea: 6+a−3−2a+6=9−a\displaystyle 6+a-3-2a+6=9-a.
    det⁡(A(a))=9−a\displaystyle \det(A(a))=9-a
  5. Cerem ca determinantul să fie nenul: 9−a≠0\displaystyle 9-a\neq 0, adică a≠9\displaystyle a\neq 9. Deci sistemul are soluție unică pentru orice a\displaystyle a real diferit de 9\displaystyle 9.
    a∈R∖{9}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{9\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(11212a−2−13)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&a\\-2&-1&3\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+y+2z=0x+2y+az=0−2x−y+3z=0\displaystyle \begin{cases}x+y+2z=0\\x+2y+az=0\\-2x-y+3z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că, dacă sistemul are soluția (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0), cu x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 numere reale nenule, atunci −x0+y0+z0=11(x0+y0+z0)\displaystyle -x_0+y_0+z_0=11(x_0+y_0+z_0).
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul este omogen. Dacă are o soluție cu toate componentele nenule, atunci are soluții nenule, deci det⁡A(a)=0\displaystyle \det A(a)=0. Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima linie: det⁡A(a)=1⋅(6+a)−1⋅(3+2a)+2⋅3\displaystyle \det A(a)=1\cdot(6+a)-1\cdot(3+2a)+2\cdot 3.
    det⁡A(a)=(6+a)−(3+2a)+6=9−a\displaystyle \det A(a)=(6+a)-(3+2a)+6=9-a
  2. Din 9−a=0\displaystyle 9-a=0 obținem valoarea parametrului.
    a=9\displaystyle a=9
  3. Pentru a=9\displaystyle a=9 scădem prima ecuație din a doua: (x+2y+9z)−(x+y+2z)=0\displaystyle (x+2y+9z)-(x+y+2z)=0, adică y+7z=0\displaystyle y+7z=0. Notăm z=α\displaystyle z=\alpha.
    y=−7α\displaystyle y=-7\alpha,z=α\displaystyle \quad z=\alpha
  4. Din prima ecuație, x=−y−2z=7α−2α=5α\displaystyle x=-y-2z=7\alpha-2\alpha=5\alpha. Verificăm a treia ecuație: −2⋅5α−(−7α)+3α=−10α+7α+3α=0\displaystyle -2\cdot 5\alpha-(-7\alpha)+3\alpha=-10\alpha+7\alpha+3\alpha=0, deci este satisfăcută. Soluția generală este cea de mai jos, iar soluția din enunț are α≠0\displaystyle \alpha\neq 0.
    a=9 și (x,y,z)=(5α,−7α,α)\displaystyle a=9\text{ și }(x,y,z)=(5\alpha,-7\alpha,\alpha), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  5. Avem x0=5α\displaystyle x_0=5\alpha, y0=−7α\displaystyle y_0=-7\alpha, z0=α\displaystyle z_0=\alpha. Atunci −x0+y0+z0=−5α−7α+α=−11α\displaystyle -x_0+y_0+z_0=-5\alpha-7\alpha+\alpha=-11\alpha, iar x0+y0+z0=5α−7α+α=−α\displaystyle x_0+y_0+z_0=5\alpha-7\alpha+\alpha=-\alpha, deci 11(x0+y0+z0)=−11α\displaystyle 11(x_0+y_0+z_0)=-11\alpha. Cei doi membri sunt egali.
    −x0+y0+z0=−5α+(−7α)+α=−11α=11(5α+(−7α)+α)=11(x0+y0+z0)\displaystyle -x_0+y_0+z_0=-5\alpha+(-7\alpha)+\alpha=-11\alpha=11(5\alpha+(-7\alpha)+\alpha)=11(x_0+y_0+z_0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+7x+7y+42\displaystyle x\circ y=xy+7x+7y+42.

Arătați că x∘y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x\circ y=(x+7)(y+7)-7, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy+7x+7y+42\displaystyle x\circ y=xy+7x+7y+42.
    x∘y=xy+7x+7y+42\displaystyle x\circ y=xy+7x+7y+42
  2. Scriem termenul liber 42\displaystyle 42 ca 49−7\displaystyle 49-7, pentru a obține 49=7⋅7\displaystyle 49=7\cdot 7, necesar produsului (x+7)(y+7)\displaystyle (x+7)(y+7).
    x∘y=xy+7x+7y+49−7\displaystyle x\circ y=xy+7x+7y+49-7
  3. Grupăm xy+7x=x(y+7)\displaystyle xy+7x=x(y+7) și 7y+49=7(y+7)\displaystyle 7y+49=7(y+7).
    x∘y=x(y+7)+7(y+7)−7\displaystyle x\circ y=x(y+7)+7(y+7)-7
  4. Scoatem factorul comun y+7\displaystyle y+7 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x+7)(y+7)−7, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x+7)(y+7)-7\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+7x+7y+42\displaystyle x\circ y=xy+7x+7y+42.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, știind că x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Grupăm termenii: xy+7x+7y+42=(xy+7x+7y+49)−7\displaystyle xy+7x+7y+42=(xy+7x+7y+49)-7, iar xy+7x+7y+49=(x+7)(y+7)\displaystyle xy+7x+7y+49=(x+7)(y+7). Deci x∘y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x\circ y=(x+7)(y+7)-7.
    x∘y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x\circ y=(x+7)(y+7)-7
  2. Pentru y=x\displaystyle y=x obținem x∘x=(x+7)2−7\displaystyle x\circ x=(x+7)^2-7. Condiția x∘x=x\displaystyle x\circ x=x devine (x+7)2−7=x\displaystyle (x+7)^2-7=x.
    x∘x=(x+7)2−7, deci (x+7)2−7=x\displaystyle x\circ x=(x+7)^2-7\text{, deci }(x+7)^2-7=x
  3. Desfacem pătratul: x2+14x+49−7=x\displaystyle x^2+14x+49-7=x. Mutăm x\displaystyle x în stânga: x2+13x+42=0\displaystyle x^2+13x+42=0.
    x2+13x+42=0\displaystyle x^2+13x+42=0
  4. Căutăm două numere cu suma 13\displaystyle 13 și produsul 42\displaystyle 42: acestea sunt 6\displaystyle 6 și 7\displaystyle 7. Deci x2+13x+42=(x+7)(x+6)\displaystyle x^2+13x+42=(x+7)(x+6).
    (x+7)(x+6)=0\displaystyle (x+7)(x+6)=0
  5. Produsul este nul dacă x+7=0\displaystyle x+7=0 sau x+6=0\displaystyle x+6=0. Rezultă x=−7\displaystyle x=-7 sau x=−6\displaystyle x=-6.
    (x+7)(x+6)=0⇔x=−7 sau x=−6\displaystyle (x+7)(x+6)=0\Leftrightarrow x=-7\text{ sau }x=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+7x+7y+42\displaystyle x\circ y=xy+7x+7y+42.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că 2017a∘(−6)=1\displaystyle 2017^a\circ(-6)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub forma factorizată. Avem (x+7)(y+7)=xy+7x+7y+49\displaystyle (x+7)(y+7)=xy+7x+7y+49, deci x∘y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x\circ y=(x+7)(y+7)-7.
    x∘y=(x+7)(y+7)−7\displaystyle x\circ y=(x+7)(y+7)-7
  2. Înlocuim x=2017a\displaystyle x=2017^a și y=−6\displaystyle y=-6 în egalitatea 2017a∘(−6)=1\displaystyle 2017^a\circ(-6)=1. Obținem (2017a+7)(−6+7)−7=1\displaystyle (2017^a+7)(-6+7)-7=1, iar −6+7=1\displaystyle -6+7=1.
    (2017a+7)(−6+7)−7=1\displaystyle (2017^a+7)(-6+7)-7=1
  3. Simplificăm: (2017a+7)⋅1−7=1\displaystyle (2017^a+7)\cdot 1-7=1, adică 2017a+7−7=1\displaystyle 2017^a+7-7=1.
    2017a+7−7=1\displaystyle 2017^a+7-7=1
  4. Reducem termenii 7\displaystyle 7 și −7\displaystyle -7 și obținem ecuația exponențială 2017a=1\displaystyle 2017^a=1.
    2017a=1\displaystyle 2017^a=1
  5. Scriem 1=20170\displaystyle 1=2017^0, deci 2017a=20170\displaystyle 2017^a=2017^0. Funcția exponențială de bază 2017\displaystyle 2017 este injectivă, deci a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x1−x\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{1-x}.

Arătați că f′(x)=1−x+xln⁡xx(1−x)2\displaystyle f'(x)=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât, deci folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Alegem u(x)=ln⁡x\displaystyle u(x)=\ln x și v(x)=1−x\displaystyle v(x)=1-x.
    u(x)=ln⁡x\displaystyle u(x)=\ln x,v(x)=1−x\displaystyle \quad v(x)=1-x
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=1x\displaystyle u'(x)=\dfrac{1}{x} și v′(x)=−1\displaystyle v'(x)=-1.
    u′(x)=1x\displaystyle u'(x)=\frac{1}{x},v′(x)=−1\displaystyle \quad v'(x)=-1
  3. Înlocuim în formulă: f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
    f′(x)=1x⋅(1−x)−ln⁡x⋅(−1)(1−x)2\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot(1-x)-\ln x\cdot(-1)}{(1-x)^2}
  4. Simplificăm numărătorul: −ln⁡x⋅(−1)=ln⁡x\displaystyle -\ln x\cdot(-1)=\ln x, deci numărătorul este 1−xx+ln⁡x\displaystyle \dfrac{1-x}{x}+\ln x.
    f′(x)=1−xx+ln⁡x(1−x)2\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1-x}{x}+\ln x}{(1-x)^2}
  5. Aducem numărătorul la numitorul x\displaystyle x: 1−xx+ln⁡x=1−x+xln⁡xx\displaystyle \dfrac{1-x}{x}+\ln x=\dfrac{1-x+x\ln x}{x}. Împărțirea la (1−x)2\displaystyle (1-x)^2 duce numitorul la x(1−x)2\displaystyle x(1-x)^2, deci se obține formula cerută pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=1−x+xln⁡xx(1−x)2, x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x1−x\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{1-x}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita este finită. Scriem limita funcției f\displaystyle f la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡x1−x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{1-x}
  2. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numărătorul ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty, iar numitorul 1−x→−∞\displaystyle 1-x\to-\infty. Avem nedeterminarea ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci aplicăm regula lui L'Hôpital: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (1−x)′=−1\displaystyle (1-x)'=-1.
    lim⁡x→+∞(ln⁡x)′(1−x)′=lim⁡x→+∞1x−1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)'}{(1-x)'}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{-1}
  3. Simplificăm fracția: 1x−1=−1x\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x}}{-1}=-\dfrac{1}{x}, care tinde la 0\displaystyle 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Deci limita funcției este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞(−1x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0
  4. Limita fiind finită și egală cu 0\displaystyle 0, graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡x1−x\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{1-x}.

Demonstrați că xln⁡x>x−1\displaystyle x\ln x>x-1, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a demonstra inegalitatea, o aducem la forma g(x)>0\displaystyle g(x)>0. Definim funcția auxiliară g:(1,+∞)→R\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=xln⁡x−x+1\displaystyle g(x)=x\ln x-x+1. Inegalitatea xln⁡x>x−1\displaystyle x\ln x>x-1 este echivalentă cu g(x)>0\displaystyle g(x)>0.
    g(x)=xln⁡x−x+1\displaystyle g(x)=x\ln x-x+1
  2. Calculăm derivata lui g\displaystyle g folosind regula de derivare a produsului pentru xln⁡x\displaystyle x\ln x. Avem (xln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle (x\ln x)'=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1, iar (−x+1)′=−1\displaystyle (-x+1)'=-1.
    g′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡x\displaystyle g'(x)=\ln x+1-1=\ln x
  3. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem ln⁡x>0\displaystyle \ln x>0, deci g′(x)>0\displaystyle g'(x)>0 pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty). Rezultă că g\displaystyle g este strict crescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    g′(x)=ln⁡x>0, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle g'(x)=\ln x>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
  4. Calculăm limita lui g\displaystyle g în 1\displaystyle 1. Funcția xln⁡x\displaystyle x\ln x este continuă în 1\displaystyle 1, deci lim⁡x→1xln⁡x=1⋅ln⁡1=0\displaystyle \lim_{x\to1}x\ln x=1\cdot\ln 1=0. Atunci lim⁡x→1g(x)=0−1+1=0\displaystyle \lim_{x\to1}g(x)=0-1+1=0.
    lim⁡x→1g(x)=0\displaystyle \lim_{x\to1}g(x)=0
  5. Funcția g\displaystyle g este strict crescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) și are limita 0\displaystyle 0 în 1\displaystyle 1, deci pentru orice x>1\displaystyle x>1 avem g(x)>0\displaystyle g(x)>0. Asta înseamnă xln⁡x−x+1>0\displaystyle x\ln x-x+1>0, adică xln⁡x>x−1\displaystyle x\ln x>x-1, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    g(x)>0, deci xln⁡x>x−1, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle g(x)>0\text{, deci }x\ln x>x-1\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+3x2\displaystyle f(x)=e^x+3x^2.

Arătați că ∫01(f(x)−3x2)dx=e−1\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx=e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Din enunț, f(x)=ex+3x2\displaystyle f(x)=e^x+3x^2. Înlocuim în integrală: ∫01(f(x)−3x2)dx=∫01(ex+3x2−3x2)dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx=\int_0^1\left(e^x+3x^2-3x^2\right)dx.
    ∫01(ex+3x2−3x2)dx\displaystyle \int_0^1\left(e^x+3x^2-3x^2\right)dx
  2. Termenii 3x2\displaystyle 3x^2 și −3x2\displaystyle -3x^2 se reduc, deci integrala devine ∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx.
    ∫01(ex+3x2−3x2)dx=∫01ex dx\displaystyle \int_0^1\left(e^x+3x^2-3x^2\right)dx=\int_0^1 e^x\,dx
  3. O primitivă a funcției ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01ex dx=ex∣01=e1−e0\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=e^1-e^0.
    ex∣01=e1−e0\displaystyle e^x\Big|_0^1=e^1-e^0
  4. Cum e1=e\displaystyle e^1=e și e0=1\displaystyle e^0=1, obținem ex∣01=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e-1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    ∫01(f(x)−3x2)dx=e−1\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-3x^2\right)dx=e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+3x2\displaystyle f(x)=e^x+3x^2.

Arătați că ∫01xf(x)dx=74\displaystyle \int_0^1 x f(x)dx=\frac{7}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=ex+3x2\displaystyle f(x)=e^x+3x^2 în integrală și înmulțim cu x\displaystyle x: xf(x)=xex+3x3\displaystyle x f(x)=xe^x+3x^3. Separăm integrala în două integrale.
    ∫01xf(x) dx=∫01xex dx+∫013x3 dx\displaystyle \int_0^1 x f(x)\,dx=\int_0^1 xe^x\,dx+\int_0^1 3x^3\,dx
  2. Calculăm ∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx prin părți. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x+C
  3. Pentru al doilea termen folosim ∫x3 dx=x44\displaystyle \int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}. Astfel, integrala inițială se scrie ca suma celor două primitive evaluate între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01xf(x) dx=(x−1)ex∣01+3x44∣01\displaystyle \int_0^1 x f(x)\,dx=(x-1)e^x\Big|_0^1+\frac{3x^4}{4}\Big|_0^1
  4. Evaluăm prima primitivă: (x−1)ex∣01=(1−1)e1−(0−1)e0=0+1=1\displaystyle (x-1)e^x\Big|_0^1=(1-1)e^1-(0-1)e^0=0+1=1.
    (x−1)ex∣01=0−(−1)⋅e0=1\displaystyle (x-1)e^x\Big|_0^1=0-(-1)\cdot e^0=1
  5. Evaluăm a doua primitivă: 3x44∣01=34−0=34\displaystyle \dfrac{3x^4}{4}\Big|_0^1=\dfrac{3}{4}-0=\dfrac{3}{4}.
    3x44∣01=34\displaystyle \frac{3x^4}{4}\Big|_0^1=\frac{3}{4}
  6. Adunăm cele două rezultate: 1+34=74\displaystyle 1+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    1⋅e0+34=74\displaystyle 1\cdot e^0+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+3x2\displaystyle f(x)=e^x+3x^2.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−ex\displaystyle g(x)=f(x)-e^x, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=n\displaystyle x=n are aria egală cu n2−n+1\displaystyle n^2-n+1.
Vezi rezolvarea
  1. Avem g(x)=f(x)−ex=ex+3x2−ex\displaystyle g(x)=f(x)-e^x=e^x+3x^2-e^x, deci g(x)=3x2\displaystyle g(x)=3x^2.
    g(x)=3x2\displaystyle g(x)=3x^2
  2. Aria este A=∫0n∣g(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n |g(x)|\,dx. Cum 3x2≥0\displaystyle 3x^2\ge 0 pentru orice x\displaystyle x, avem ∣g(x)∣=3x2\displaystyle |g(x)|=3x^2.
    A=∫0n3x2 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n 3x^2\,dx
  3. O primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^2 este x3\displaystyle x^3, deci ∫0n3x2 dx=x3∣0n=n3−03\displaystyle \int_0^n 3x^2\,dx=x^3\Big|_0^n=n^3-0^3.
    A=n3\displaystyle \mathcal{A}=n^3
  4. Din condiția A=n2−n+1\displaystyle \mathcal{A}=n^2-n+1 obținem n3=n2−n+1\displaystyle n^3=n^2-n+1, adică n3−n2+n−1=0\displaystyle n^3-n^2+n-1=0.
    n3−n2+n−1=0\displaystyle n^3-n^2+n-1=0
  5. Grupăm termenii: n2(n−1)+(n−1)=0\displaystyle n^2(n-1)+(n-1)=0, deci (n−1)(n2+1)=0\displaystyle (n-1)(n^2+1)=0.
    (n−1)(n2+1)=0\displaystyle (n-1)(n^2+1)=0
  6. Cum n2+1>0\displaystyle n^2+1>0 pentru orice n\displaystyle n, rămâne n−1=0\displaystyle n-1=0, deci n=1\displaystyle n=1, care este număr natural nenul.
    n=1\displaystyle n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.