Bac matematică M1 mate-info 2026, sesiunea I varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=3−i\displaystyle z = 3 - i. Arătați că z(z+2i)=10\displaystyle z(z+2i) = 10.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică numărul complex z\displaystyle z și se calculează z+2i\displaystyle z+2i, adunând partea imaginară cu 2i\displaystyle 2i
    z+2i=(3−i)+2i=3+i\displaystyle z+2i=(3-i)+2i=3+i
  2. Se scrie produsul z(z+2i)\displaystyle z(z+2i) folosind expresiile lui z\displaystyle z și z+2i\displaystyle z+2i, ca produs de conjugate
    z(z+2i)=(3−i)(3+i)\displaystyle z(z+2i)=(3-i)(3+i)
  3. Se aplică formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2 pentru a calcula produsul
    (3−i)(3+i)=32−i2=9−i2\displaystyle (3-i)(3+i)=3^2-i^2=9-i^2
  4. Se înlocuiește i2=−1\displaystyle i^2=-1 și se calculează rezultatul final
    9−i2=9−(−1)=10\displaystyle 9-i^2=9-(-1)=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−4\displaystyle f(x) = 3x - 4. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)+f(−2a)=a\displaystyle f(a) + f(-2a) = a.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valorile funcției f\displaystyle f în punctele a\displaystyle a și −2a\displaystyle -2a, înlocuind în formula f(x)=3x−4\displaystyle f(x)=3x-4.
    f(a)=3a−4\displaystyle f(a) = 3a-4,f(−2a)=3(−2a)−4=−6a−4\displaystyle \quad f(-2a) = 3(-2a)-4 = -6a-4
  2. Se scrie ecuația dată în enunț, înlocuind expresiile obținute pentru f(a)\displaystyle f(a) și f(−2a)\displaystyle f(-2a).
    (3a−4)+(−6a−4)=a\displaystyle (3a-4)+(-6a-4)=a
  3. Se reduc termenii asemenea din membrul stâng al ecuației.
    −3a−8=a\displaystyle -3a-8=a
  4. Se trec toți termenii care conțin a\displaystyle a într-un singur membru, apoi se rezolvă ecuația liniară obținută.
    −3a−a=8⇒−4a=8⇒a=−2\displaystyle -3a-a=8 \Rightarrow -4a=8 \Rightarrow a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+7=2x+1\displaystyle \sqrt{x^2+7} = 2\sqrt{x+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență ale radicalilor: expresia de sub primul radical este întotdeauna nenegativă, iar pentru al doilea radical este necesar ca x+1≥0\displaystyle x+1\geq 0.
    x2+7≥0 (adeva˘rat pentru orice x∈R), x+1≥0⇒x≥−1\displaystyle x^2+7\geq 0\text{ (adevărat pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{)}\text{, }x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1
  2. Deoarece ambii membri ai ecuației sunt nenegativi pe domeniul stabilit, ecuația se poate ridica la pătrat.
    (x2+7)2=(2x+1)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+7}\right)^2=\left(2\sqrt{x+1}\right)^2
  3. Se calculează pătratele celor doi membri și se obține ecuația echivalentă, care se aduce la forma unei ecuații de gradul al doilea.
    x2+7=4(x+1)⇒x2−4x+3=0\displaystyle x^2+7 = 4(x+1) \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0
  4. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
    Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 3 = 16-12=4
  5. Se aplică formula soluțiilor ecuației de gradul al doilea folosind discriminantul calculat.
    x1,2=4±42=4±22\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}
  6. Se obțin cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea.
    x1=4−22=1, x2=4+22=3\displaystyle x_1=\dfrac{4-2}{2}=1\text{, }x_2=\dfrac{4+2}{2}=3
  7. Se verifică dacă soluțiile obținute satisfac condiția de existență x≥−1\displaystyle x\geq-1, stabilită la începutul rezolvării.
    x1=1≥−1 (convine), x2=3≥−1 (convine)\displaystyle x_1=1\geq -1\text{ (convine)}\text{, }x_2=3\geq -1\text{ (convine)}
  8. Ambele soluții verifică ecuația inițială, deci soluțiile ecuației date sunt x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3.
    x=1 sau x=3\displaystyle x = 1 \text{ sau } x = 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,2,3,5,7}\displaystyle A = \{1, 2, 3, 5, 7\}. Determinați câte dintre submulțimile mulțimii A\displaystyle A au exact trei elemente și conțin numărul 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem mulțimea A și observăm că avem nevoie de submulțimi cu exact 3 elemente care conțin obligatoriu numărul 5.
    A={1,2,3,5,7}\displaystyle A=\{1,2,3,5,7\}, ∣A∣=5\displaystyle \ |A|=5
  2. Deoarece elementul 5 trebuie să apară în fiecare submulțime căutată, îl fixăm și rămâne să alegem restul de 2 elemente (pentru a completa cele 3 elemente) din mulțimea rămasă, obținută eliminând pe 5 din A.
    A∖{5}={1,2,3,7}\displaystyle A\setminus\{5\}=\{1,2,3,7\}, ∣A∖{5}∣=4\displaystyle \ |A\setminus\{5\}|=4
  3. Numărul submulțimilor cu 3 elemente ale lui A care conțin pe 5 este egal cu numărul modurilor de a alege 2 elemente din cele 4 rămase, adică o combinare de 4\displaystyle 4 luate câte 2\displaystyle 2.
    Numa˘rul ca˘utat=(42) submulțimi ale lui A∖{5}\displaystyle \text{Numărul căutat} = \binom{4}{2} \text{ submulțimi ale lui } A\setminus\{5\}
  4. Scriem formula combinărilor și calculăm valoarea acesteia folosind definiția cu factoriale.
    (42)=4!2!⋅(4−2)!=4⋅3⋅2!2!⋅2!=4⋅32\displaystyle \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!\cdot(4-2)!}=\dfrac{4\cdot3\cdot2!}{2!\cdot2!}=\dfrac{4\cdot3}{2}
  5. Efectuăm calculul final și obținem numărul submulțimilor căutate.
    (42)=6\displaystyle \binom{4}{2} = 6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,6)\displaystyle A(3,6), B(4,1)\displaystyle B(4,1) și C(5,a)\displaystyle C(5,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care dreptele OA\displaystyle OA și BC\displaystyle BC sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula pantei unei drepte determinate de două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): mMN=y2−y1x2−x1\displaystyle m_{MN} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
    mMN=y2−y1x2−x1\displaystyle m_{MN} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. Calculăm panta dreptei OA\displaystyle OA, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(3,6)\displaystyle A(3,6).
    mOA=6−03−0=2\displaystyle m_{OA} = \frac{6-0}{3-0} = 2
  3. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC, unde B(4,1)\displaystyle B(4,1) și C(5,a)\displaystyle C(5,a).
    mBC=a−15−4=a−1\displaystyle m_{BC} = \frac{a-1}{5-4} = a-1
  4. Punem condiția de paralelism OA∥BC\displaystyle OA \parallel BC, adică pantele să fie egale, și rezolvăm ecuația obținută pentru a\displaystyle a.
    mOA=mBC⇒2=a−1⇒a=3\displaystyle m_{OA} = m_{BC} \Rightarrow 2 = a-1 \Rightarrow a = 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=(1+tg2x)sin⁡x2+cos⁡3x\displaystyle E(x) = (1+\text{tg}^2 x)\sin\dfrac{x}{2} + \cos 3x, unde x∈(0,π2)\displaystyle x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π3)=1\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină valorile unghiurilor implicate în expresie pentru x=π3\displaystyle x=\frac{\pi}{3}: x2=π6\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6} și 3x=π\displaystyle 3x=\pi.
    x=π3⇒x2=π6\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}\Rightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{6},3x=π\displaystyle \quad 3x=\pi
  2. Se calculează valorile trigonometrice necesare: tangenta lui π3\displaystyle \frac{\pi}{3}, sinusul lui π6\displaystyle \frac{\pi}{6} și cosinusul lui π\displaystyle \pi.
    tgπ3=3\displaystyle \text{tg}\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3},sin⁡π6=12\displaystyle \quad \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2},cos⁡π=−1\displaystyle \quad \cos\pi = -1
  3. Se calculează termenul 1+tg⁡2(π3)\displaystyle 1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{3}\right), ridicând la pătrat valoarea tangentei și adunând 1.
    1+(tgπ3)2=1+(3)2=1+3=4\displaystyle 1+\left(\text{tg}\dfrac{\pi}{3}\right)^2 = 1+(\sqrt{3})^2 = 1+3 = 4
  4. Se înlocuiesc toate valorile calculate în expresia E(x)\displaystyle E(x) pentru x=π3\displaystyle x=\frac{\pi}{3} și se efectuează calculele pentru a obține rezultatul final.
    E(π3)=(1+(3)2)⋅12+(−1)=4⋅12−1=1\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(1+(\sqrt{3})^2\right)\cdot\dfrac{1}{2} + (-1) = 4\cdot\dfrac{1}{2} - 1 = 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aaa3a021)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0\displaystyle \begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=2\displaystyle \det(A(1)) = 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea A(1)\displaystyle A(1), apoi se scrie determinantul asociat acesteia.
    A(1)=(111131021)⇒det⁡(A(1))=∣111131021∣\displaystyle A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}
  2. Se aplică regula lui Sarrus pentru calculul determinantului de ordin 3: se rescriu primele două coloane lângă determinant și se calculează produsele diagonalelor principale (cu semnul +\displaystyle +) și ale diagonalelor secundare (cu semnul −\displaystyle -).
    det⁡(A(1))=(1⋅3⋅1+1⋅1⋅0+1⋅1⋅2)−(1⋅3⋅0+2⋅1⋅1+1⋅1⋅1)\displaystyle \det(A(1)) = (1\cdot3\cdot1 + 1\cdot1\cdot0 + 1\cdot1\cdot2) - (1\cdot3\cdot0 + 2\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1)
  3. Se calculează fiecare produs în parte pentru diagonalele principale și secundare.
    det⁡(A(1))=(3+0+2)−(0+2+1)=5−3\displaystyle \det(A(1)) = (3+0+2) - (0+2+1) = 5 - 3
  4. Se efectuează scăderea finală, obținând valoarea determinantului, exprimată și sub forma sumei termenilor din regula lui Sarrus.
    det⁡(A(1))=3+2+0−0−2−1=2\displaystyle \det(A(1)) = 3+2+0-0-2-1 = 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aaa3a021)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0\displaystyle \begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, sistemul de ecuații are soluție unică.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea sistemului și se identifică elementele necesare pentru calculul determinantului: linia 1: 1,a,a\displaystyle 1, a, a; linia 2: a,3,a\displaystyle a, 3, a; linia 3: 0,2,1\displaystyle 0, 2, 1.
    A(a)=(1aaa3a021)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
  2. Se dezvoltă determinantul după prima linie (regula lui Sarrus sau dezvoltarea Laplace), calculând mai întâi minorii asociați elementelor 1,a,a\displaystyle 1, a, a.
    det⁡(A(a))=1⋅∣3a21∣−a⋅∣aa01∣+a⋅∣a302∣\displaystyle \det(A(a)) = 1\cdot\begin{vmatrix} 3 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - a\cdot\begin{vmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + a\cdot\begin{vmatrix} a & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}
  3. Se calculează fiecare determinant de ordin 2 în parte.
    ∣3a21∣=3−2a\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-2a,∣aa01∣=a\displaystyle \quad \begin{vmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = a,∣a302∣=2a\displaystyle \quad \begin{vmatrix} a & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2a
  4. Se înlocuiesc rezultatele obținute în expresia determinantului și se reduc termenii asemenea pentru a obține forma finală a determinantului în funcție de a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=1⋅(3−2a)−a⋅a+a⋅2a=3−2a−a2+2a2\displaystyle \det(A(a)) = 1\cdot(3-2a) - a\cdot a + a\cdot 2a = 3-2a-a^2+2a^2
  5. Se ordonează termenii pentru a obține forma finală a determinantului ca polinom de gradul al doilea în a\displaystyle a, conform primului pas de control din barem.
    det⁡(A(a))=a2−2a+3\displaystyle \det(A(a)) = a^2 - 2a + 3
  6. Pentru a arăta că determinantul este nenul oricare ar fi a\displaystyle a real, se scrie trinomul de gradul al doilea sub forma unui pătrat perfect plus o constantă, folosind formarea pătratului perfect din primii doi termeni.
    a2−2a+3=(a2−2a+1)+2=(a−1)2+2\displaystyle a^2-2a+3 = (a^2-2a+1)+2 = (a-1)^2+2
  7. Deoarece (a−1)2≥0\displaystyle (a-1)^{2} \geq 0 pentru orice a\displaystyle a real, iar adăugarea constantei 2 face suma strict pozitivă, rezultă că determinantul sistemului nu se anulează pentru niciun a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=(a−1)2+2≠0\displaystyle \det(A(a)) = (a-1)^2 + 2 \neq 0,  ∀a∈R\displaystyle \; \forall a \in \mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aaa3a021)\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 3 & a \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații liniare {x+ay+az=1ax+3y+az=02y+z=0\displaystyle \begin{cases} x + ay + az = 1 \\ ax + 3y + az = 0 \\ 2y + z = 0 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural nenul a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații are soluția (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0, y_0, z_0), cu z0=nx0\displaystyle z_0 = n x_0, unde n\displaystyle n este număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează determinantul sistemului (determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a)) prin dezvoltare după prima linie.
    det⁡(A(a))=1⋅(3−2a)−a⋅a+a⋅2a=a2−2a+3\displaystyle \det(A(a)) = 1\cdot(3-2a) - a\cdot a + a\cdot 2a = a^2-2a+3
  2. Se observă că determinantul sistemului este întotdeauna nenul (discriminantul trinomului este negativ), deci sistemul are soluție unică pentru orice a\displaystyle a real, și se calculează determinantul necunoscutei x\displaystyle x prin regula lui Cramer, înlocuind prima coloană cu coloana termenilor liberi.
    Δ=a2−2a+3>0\displaystyle \Delta = a^2-2a+3 > 0, Δx=det⁡(1aa03a021)=3−2a\displaystyle \ \Delta_x = \det\begin{pmatrix}1 & a & a\\ 0 & 3 & a\\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} = 3-2a
  3. Se obține soluția x0\displaystyle x_0 prin regula lui Cramer.
    x0=3−2aa2−2a+3\displaystyle x_0 = \dfrac{3-2a}{a^2-2a+3}
  4. Se calculează determinantul necunoscutei z\displaystyle z, înlocuind a treia coloană cu coloana termenilor liberi, și se obține soluția z0\displaystyle z_0.
    Δz=det⁡(1a1a30020)=2a⇒z0=2aa2−2a+3\displaystyle \Delta_z = \det\begin{pmatrix}1 & a & 1\\ a & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix} = 2a \Rightarrow z_0 = \dfrac{2a}{a^2-2a+3}
  5. Se impune condiția din enunț, z0=n⋅x0\displaystyle z_0 = n \cdot x_0, cu a,n\displaystyle a, n numere naturale, a≠0\displaystyle a\neq 0, și se simplifică fracțiile (numitorii fiind egali și nenuli).
    2aa2−2a+3=n⋅3−2aa2−2a+3⇒2a=n(3−2a)\displaystyle \dfrac{2a}{a^2-2a+3} = n\cdot\dfrac{3-2a}{a^2-2a+3} \Rightarrow 2a = n(3-2a), a\displaystyle \ a,n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, a≠0\displaystyle \ a\neq 0
  6. Se analizează ecuația obținută: cum a\displaystyle a și n\displaystyle n sunt numere naturale, iar a≠0\displaystyle a\neq 0, membrul stâng 2a\displaystyle 2a este strict pozitiv, deci și membrul drept n(3−2a)\displaystyle n(3-2a) trebuie să fie strict pozitiv; cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, singura posibilitate este ca factorul (3−2a)\displaystyle (3-2a) să fie strict pozitiv (dacă ar fi negativ sau nul, produsul n(3−2a)\displaystyle n(3-2a) nu ar putea fi pozitiv pentru n\displaystyle n natural).
    n(3−2a)=2a>0⇒3−2a>0\displaystyle n(3-2a) = 2a > 0 \Rightarrow 3-2a > 0
  7. Din 3−2a>0\displaystyle 3-2a>0 rezultă a<32\displaystyle a<\dfrac{3}{2}; cum a\displaystyle a este număr natural nenul, singura valoare posibilă este a=1\displaystyle a=1 (se verifică: pentru a=1\displaystyle a=1 se obține n=2\displaystyle n=2, număr natural, deci condiția este satisfăcută).
    3−2a>0⇒a∈N∗\displaystyle 3-2a>0 \Rightarrow a\in\mathbb{N}^*, a<32⇒a=1\displaystyle \ a<\dfrac{3}{2} \Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=23(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y = \dfrac{2}{3}(x-3)(y-3)+3.

Arătați că 0∗2=5\displaystyle 0*2 = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție și se identifică valorile x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2 care trebuie înlocuite în formulă.
    x∗y=23(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\dfrac{2}{3}(x-3)(y-3)+3, pentru x=0\displaystyle \text{ pentru }x=0, y=2\displaystyle \text{ }y=2
  2. Se înlocuiesc x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2 direct în formula legii de compoziție.
    0∗2=23(0−3)(2−3)+3\displaystyle 0*2 = \dfrac{2}{3}(0-3)(2-3)+3
  3. Se calculează parantezele: 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3 și 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1.
    0∗2=23⋅(−3)⋅(−1)+3\displaystyle 0*2=\dfrac{2}{3}\cdot(-3)\cdot(-1)+3
  4. Se înmulțesc cele două paranteze: (−3)⋅(−1)=3\displaystyle (-3)\cdot(-1)=3.
    0∗2=23⋅3+3\displaystyle 0*2=\dfrac{2}{3}\cdot 3+3
  5. Se simplifică fracția: (23)⋅3=2\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot 3=2.
    0∗2=2+3\displaystyle 0*2=2+3
  6. Se efectuează adunarea finală pentru a obține rezultatul.
    0∗2=2+3=5\displaystyle 0*2 = 2+3 = 5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=23(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y = \dfrac{2}{3}(x-3)(y-3)+3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗3x2=5x\displaystyle x * \dfrac{3x}{2} = 5x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru elementele x\displaystyle x și 3x2\displaystyle \dfrac{3x}{2}, înlocuind y\displaystyle y cu 3x2\displaystyle \dfrac{3x}{2} în formula x∗y=23(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y = \dfrac{2}{3}(x-3)(y-3)+3.
    x∗3x2=23(x−3)(3x2−3)+3\displaystyle x*\dfrac{3x}{2} = \dfrac{2}{3}(x-3)\left(\dfrac{3x}{2}-3\right)+3
  2. Se aduce paranteza (3x2−3)\displaystyle \left(\dfrac{3x}{2} - 3\right) la forma 3(x−2)2\displaystyle \dfrac{3(x-2)}{2}, pentru a putea simplifica ulterior cu factorul 23\displaystyle \dfrac{2}{3} din fața produsului.
    3x2−3=3x−62=3(x−2)2\displaystyle \dfrac{3x}{2}-3 = \dfrac{3x-6}{2} = \dfrac{3(x-2)}{2}
  3. Se înlocuiește expresia obținută în relația de la pasul 1 și se simplifică factorul 23⋅32=1\displaystyle \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=1.
    x∗3x2=23⋅32⋅(x−3)(x−2)+3=(x−3)(x−2)+3\displaystyle x*\dfrac{3x}{2} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot(x-3)(x-2)+3 = (x-3)(x-2)+3
  4. Se efectuează produsul (x−3)(x−2)\displaystyle (x-3)(x-2) și se adună 3\displaystyle 3, obținându-se forma finală a expresiei lui x∗(3x2)\displaystyle x*\left(\dfrac{3x}{2}\right), valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗3x2=x2−5x+6+3=x2−5x+9\displaystyle x*\dfrac{3x}{2} = x^2-5x+6+3 = x^2-5x+9, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  5. Se pune condiția ca x∗(3x2)\displaystyle x*\left(\dfrac{3x}{2}\right) să fie egal cu 5x\displaystyle 5x, obținându-se ecuația de gradul al doilea în x\displaystyle x.
    x2−5x+9=5x\displaystyle x^2-5x+9 = 5x
  6. Se trec toți termenii într-o singură parte a ecuației, obținându-se forma canonică a ecuației de gradul doi.
    x2−10x+9=0\displaystyle x^2-10x+9=0
  7. Se calculează discriminantul ecuației de gradul doi.
    Δ=(−10)2−4⋅1⋅9=100−36=64\displaystyle \Delta = (-10)^2-4\cdot1\cdot9 = 100-36=64
  8. Se calculează rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, obținând soluțiile finale ale problemei.
    x=10±82⇒x=1 sau x=9\displaystyle x = \dfrac{10\pm 8}{2} \Rightarrow x=1\text{ sau }x=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=23(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y = \dfrac{2}{3}(x-3)(y-3)+3.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∗m∗n=−1\displaystyle m*m*n = -1.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește definiția legii de compoziție date.
    x∗y=23(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=\dfrac{2}{3}(x-3)(y-3)+3
  2. Se calculează m∗m\displaystyle m*m, înlocuind x=y=m\displaystyle x=y=m în definiție.
    m∗m=23(m−3)(m−3)+3=23(m−3)2+3\displaystyle m*m=\dfrac{2}{3}(m-3)(m-3)+3=\dfrac{2}{3}(m-3)^2+3
  3. Se calculează (m∗m)∗n\displaystyle (m*m)*n folosind definiția legii, unde primul argument este rezultatul m∗m\displaystyle m*m obținut anterior.
    (m∗m)∗n=23[(m∗m)−3](n−3)+3=23[23(m−3)2+3−3](n−3)+3\displaystyle (m*m)*n=\dfrac{2}{3}\big[(m*m)-3\big](n-3)+3=\dfrac{2}{3}\left[\dfrac{2}{3}(m-3)^2+3-3\right](n-3)+3
  4. Se simplifică expresia obținută, rezultând forma finală a lui m∗m∗n\displaystyle m*m*n.
    m∗m=23(m−3)2+3\displaystyle m*m=\dfrac{2}{3}(m-3)^2+3,m∗m∗n=49(m−3)2(n−3)+3\displaystyle \quad m*m*n=\dfrac{4}{9}(m-3)^2(n-3)+3
  5. Se pune condiția din enunț, m∗m∗n=−1\displaystyle m*m*n=-1, obținându-se o ecuație în m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    49(m−3)2(n−3)+3=−1\displaystyle \dfrac{4}{9}(m-3)^2(n-3)+3=-1
  6. Se rezolvă ecuația, izolând termenul cu produsul (m−3)2(n−3)\displaystyle (m-3)^2(n-3).
    49(m−3)2(n−3)=−4⇒(m−3)2(n−3)=−9\displaystyle \dfrac{4}{9}(m-3)^2(n-3)=-4\Rightarrow (m-3)^2(n-3)=-9
  7. Se analizează soluțiile posibile: (m−3)2\displaystyle (m-3)^2 este un pătrat perfect care divide 9\displaystyle 9, iar n−3\displaystyle n-3 trebuie să fie negativ pentru ca produsul să fie −9\displaystyle -9. Se testează cazurile (m−3)2=1\displaystyle (m-3)^2=1 sau (m−3)2=9\displaystyle (m-3)^2=9, verificând ca m,n\displaystyle m,n să fie numere naturale.
    (m−3)2=1⇒n−3=−9⇒n=−6 (nu convine);(m−3)2=9⇒n−3=−1⇒n=2\displaystyle (m-3)^2=1\Rightarrow n-3=-9\Rightarrow n=-6\text{ (nu convine)};\quad (m-3)^2=9\Rightarrow n-3=-1\Rightarrow n=2, m∈{0,6}\displaystyle \ m\in\{0,6\}
  8. Se scriu soluțiile finale, verificând că m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale.
    49(m−3)2(n−3)+3=−1⇒(m−3)2(n−3)=−9⇒(m,n)∈{(0,2),(6,2)}\displaystyle \dfrac{4}{9}(m-3)^2(n-3)+3 = -1 \Rightarrow (m-3)^2(n-3) = -9 \Rightarrow (m,n) \in \{(0,2),(6,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−4xx2+5\displaystyle f(x) = \dfrac{x^3-4x}{x^2+5}.

Arătați că f′(x)=(x2−1)(x2+20)(x2+5)2\displaystyle f'(x) = \dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}, x∈R\displaystyle x \in \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile de la numărător și numitor, u(x)=x3−4x\displaystyle u(x)=x^3-4x și v(x)=x2+5\displaystyle v(x)=x^2+5, și se calculează derivatele acestora.
    u(x)=x3−4x\displaystyle u(x)=x^3-4x, u′(x)=3x2−4;v(x)=x2+5\displaystyle \ u'(x)=3x^2-4;\quad v(x)=x^2+5, v′(x)=2x\displaystyle \ v'(x)=2x
  2. Se aplică formula de derivare a câtului, f′=u′v−uv′v2\displaystyle f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, înlocuind expresiile găsite mai sus.
    f′(x)=(3x2−4)(x2+5)−(x3−4x)⋅2x(x2+5)2\displaystyle f'(x) = \dfrac{(3x^2-4)(x^2+5) - (x^3-4x)\cdot 2x}{(x^2+5)^2}
  3. Se dezvoltă primul produs de la numărător.
    (3x2−4)(x2+5)=3x4+15x2−4x2−20=3x4+11x2−20\displaystyle (3x^2-4)(x^2+5) = 3x^4+15x^2-4x^2-20 = 3x^4+11x^2-20
  4. Se dezvoltă al doilea produs de la numărător.
    (x3−4x)⋅2x=2x4−8x2\displaystyle (x^3-4x)\cdot 2x = 2x^4-8x^2
  5. Se scad cele două expresii obținute pentru a simplifica numărătorul.
    3x4+11x2−20−(2x4−8x2)=x4+19x2−20\displaystyle 3x^4+11x^2-20-(2x^4-8x^2) = x^4+19x^2-20
  6. Se scrie forma derivatei cu numărătorul simplificat, apoi se factorizează numărătorul, observând că x4+19x2−20\displaystyle x^4+19x^2-20 se descompune ca produs de doi factori de gradul al doilea în x2\displaystyle x^2.
    f′(x)=x4+19x2−20(x2+5)2=(x2−1)(x2+20)(x2+5)2\displaystyle f'(x) = \dfrac{x^4+19x^2-20}{(x^2+5)^2} = \dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2},  x∈R\displaystyle \; x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−4xx2+5\displaystyle f(x) = \dfrac{x^3-4x}{x^2+5}.

Arătați că dreapta de ecuație y=x\displaystyle y = x este asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că gradul numărătorului (3)\displaystyle (3) este cu o unitate mai mare decât gradul numitorului (2)\displaystyle (2), deci funcția poate avea asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty. Pentru a verifica, se calculează limita diferenței f(x)−x\displaystyle f(x)-x.
    grad(x3−4x)=3=grad(x2+5)+1\displaystyle \text{grad}(x^3-4x)=3=\text{grad}(x^2+5)+1
  2. Se scrie expresia limitei care trebuie calculată pentru a verifica dacă dreapta y=x\displaystyle y=x este asimptotă oblică.
    lim⁡x→+∞(f(x)−x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)
  3. Se aduce diferența f(x)−x\displaystyle f(x)-x la același numitor, scriind x\displaystyle x sub forma x(x2+5)x2+5\displaystyle \dfrac{x(x^2+5)}{x^2+5}.
    f(x)−x=x3−4xx2+5−x=x3−4x−x(x2+5)x2+5\displaystyle f(x)-x=\dfrac{x^3-4x}{x^2+5}-x=\dfrac{x^3-4x-x(x^2+5)}{x^2+5}
  4. Se dezvoltă și se reduc termenii asemenea la numărător.
    x3−4x−x3−5x=−9x⇒f(x)−x=−9xx2+5\displaystyle x^3-4x-x^3-5x=-9x\Rightarrow f(x)-x=\dfrac{-9x}{x^2+5}
  5. Se calculează limita expresiei obținute la +∞\displaystyle +\infty, împărțind numărătorul și numitorul la puterea cea mai mare a lui x\displaystyle x (sau observând că gradul numitorului este mai mare), obținându-se 0\displaystyle 0. Astfel, dreapta y=x\displaystyle y=x este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞−9xx2+5=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-9x}{x^2+5} = 0, deci y=x este asimptota˘ oblica˘ \displaystyle \text{ deci } y=x \text{ este asimptotă oblică }spre +∞\displaystyle \text{spre } +\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−4xx2+5\displaystyle f(x) = \dfrac{x^3-4x}{x^2+5}.

Determinați mulțimea numerelor reale m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x) = m are exact trei soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică cerința problemei: se cere determinarea valorilor parametrului real m\displaystyle m pentru care ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are trei soluții reale distincte, folosind studiul monotoniei și al limitelor funcției f\displaystyle f.
    Se cere mulțimea \displaystyle \text{Se cere mulțimea }valorilor lui m pentru care f(x)=m are trei soluții reale \displaystyle \text{valorilor lui } m \text{ pentru care } f(x)=m \text{ are trei soluții reale }distincte.\displaystyle \text{distincte.}
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f folosind regula de derivare a câtului, cu f(x)=x3−4xx2+5\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{3}-4x}{x^{2}+5}.
    f′(x)=(3x2−4)(x2+5)−(x3−4x)⋅2x(x2+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(3x^2-4)(x^2+5)-(x^3-4x)\cdot 2x}{(x^2+5)^2}
  3. Se dezvoltă numărătorul și se simplifică expresia obținută.
    (3x2−4)(x2+5)−2x(x3−4x)=3x4+11x2−20−2x4+8x2=x4+19x2−20\displaystyle (3x^2-4)(x^2+5)-2x(x^3-4x)=3x^4+11x^2-20-2x^4+8x^2=x^4+19x^2-20
  4. Se factorizează numărătorul obținut, notând y=x2\displaystyle y=x^{2} și rezolvând ecuația de gradul al doilea în y\displaystyle y.
    x4+19x2−20=(x2−1)(x2+20)⇒f′(x)=(x2−1)(x2+20)(x2+5)2\displaystyle x^4+19x^2-20=(x^2-1)(x^2+20)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+5)^2}
  5. Se observă că factorii x2+20>0\displaystyle x^{2}+20>0 și (x2+5)2>0\displaystyle (x^{2}+5)^{2}>0 pentru orice x\displaystyle x real, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat exclusiv de semnul lui x2−1\displaystyle x^{2}-1. Se rezolvă f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilește semnul derivatei pe fiecare interval, obținând monotonia funcției.
    f′(x)=0⇒x=−1 sau x=1;  f cresca˘toare pe (−∞,−1)\displaystyle f'(x)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ sau } x=1; \; f \text{ crescătoare pe } (-\infty,-1), descresca˘toare pe (−1,1)\displaystyle \text{ descrescătoare pe } (-1,1), cresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle \text{ crescătoare pe } (1,+\infty)
  6. Se calculează valorile extreme locale ale funcției, adică valorile lui f\displaystyle f în punctele critice x=−1\displaystyle x=-1 și x=1\displaystyle x=1.
    f(−1)=(−1)3−4(−1)(−1)2+5=−1+46=12;f(1)=13−4⋅112+5=−36=−12\displaystyle f(-1)=\dfrac{(-1)^3-4(-1)}{(-1)^2+5}=\dfrac{-1+4}{6}=\dfrac{1}{2}; \quad f(1)=\dfrac{1^3-4\cdot1}{1^2+5}=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2}
  7. Se calculează limitele funcției la −∞\displaystyle -\infty și la +∞\displaystyle +\infty, folosind faptul că gradul numărătorului este mai mare decât cel al numitorului.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞x3x2=lim⁡x→−∞x=−∞;lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=\lim_{x\to-\infty}x=-\infty; \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  8. Se întocmește tabelul de variație: f\displaystyle f crește de la −∞\displaystyle -\infty la maximul local f(−1)=12\displaystyle f(-1)=\dfrac{1}{2}, apoi descrește de la 12\displaystyle \dfrac{1}{2} la minimul local f(1)=−12\displaystyle f(1)=-\dfrac{1}{2}, apoi crește din nou de la −12\displaystyle -\dfrac{1}{2} la +∞\displaystyle +\infty. Prin proprietatea funcțiilor continue (Darboux), pe fiecare ramură monotonă f\displaystyle f ia toate valorile intermediare o singură dată, deci ecuația f(x)=m\displaystyle f(x)=m are exact trei soluții reale distincte atunci când dreapta orizontală y=m\displaystyle y=m intersectează graficul de trei ori, adică atunci când m\displaystyle m este strict cuprins între minimul local și maximul local.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,f(−1)=12\displaystyle f(-1)=\dfrac{1}{2},f(1)=−12\displaystyle f(1)=-\dfrac{1}{2},lim⁡x→+∞f(x)=+∞⇒m∈(−12,12)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \Rightarrow m\in\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4xln⁡x\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2-4}{x\ln x}.

Arătați că ∫23f(x) xln⁡x dx=73\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\, x\ln x\, dx = \dfrac{7}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se observă că, înmulțind cu xln⁡x\displaystyle x \ln x, factorul xln⁡x\displaystyle x \ln x de la numitor se simplifică cu cel de la numărător.
    f(x)⋅xln⁡x=x2−4xln⁡x⋅xln⁡x=x2−4\displaystyle f(x)\cdot x\ln x = \dfrac{x^2-4}{x\ln x}\cdot x\ln x = x^2-4
  2. Se scrie integrala definită cerută și se înlocuiește produsul f(x)⋅xln⁡x\displaystyle f(x)\cdot x\ln x cu forma simplificată x2−4\displaystyle x^2-4, apoi se determină o primitivă a funcției x2−4\displaystyle x^2-4.
    ∫23f(x) xln⁡x dx=∫23(x2−4) dx=(x33−4x)∣23\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)\,x\ln x\,dx = \int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx = \left(\dfrac{x^3}{3}-4x\right)\Big|_2^3
  3. Se calculează valoarea primitivei în capătul superior x=3\displaystyle x=3.
    333−4⋅3=9−12=−3\displaystyle \dfrac{3^3}{3}-4\cdot 3 = 9-12 = -3
  4. Se calculează valoarea primitivei în capătul inferior x=2\displaystyle x=2.
    233−4⋅2=83−8=−163\displaystyle \dfrac{2^3}{3}-4\cdot 2 = \dfrac{8}{3}-8 = -\dfrac{16}{3}
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, scăzând valoarea din x=2\displaystyle x=2 din valoarea din x=3\displaystyle x=3, și se obține rezultatul final al integralei.
    −3−(−163)=−3+163=73\displaystyle -3-\left(-\dfrac{16}{3}\right) = -3+\dfrac{16}{3} = \dfrac{7}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4xln⁡x\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2-4}{x\ln x}.

Arătați că ∫ee2f(x)x2−4 dx=ln⁡2\displaystyle \displaystyle\int_{e}^{e^2} \dfrac{f(x)}{x^2-4}\, dx = \ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la integrala care trebuie calculată, folosind expresia lui f(x)\displaystyle f(x) dată în enunț.
    ∫ee2f(x)x2−4dx=∫ee2x2−4xln⁡xx2−4dx\displaystyle \int_{e}^{e^2}\dfrac{f(x)}{x^2-4}dx=\int_{e}^{e^2}\dfrac{\dfrac{x^2-4}{x\ln x}}{x^2-4}dx
  2. Se simplifică fracția, factorul (x2−4)\displaystyle (x^{2}-4) de la numărător și numitor reducându-se, deoarece x>1\displaystyle x>1 implică x2−4\displaystyle x^{2}-4 nu este identic nul pe interval și simplificarea este permisă algebric.
    f(x)x2−4=1xln⁡x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^2-4}=\dfrac{1}{x\ln x}
  3. Se observă că derivata funcției ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, deci integrandul se poate scrie ca produsul dintre 1ln⁡x\displaystyle \dfrac{1}{\ln x} și (ln⁡x)′\displaystyle (\ln x)', formă recunoscută drept derivata compunerii ln⁡(ln⁡x)\displaystyle \ln(\ln x).
    1xln⁡x=1ln⁡x⋅(ln⁡x)′=(ln⁡(ln⁡x))′\displaystyle \dfrac{1}{x\ln x}=\dfrac{1}{\ln x}\cdot(\ln x)'=\big(\ln(\ln x)\big)'
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, integrala fiind egală cu diferența primitivei ln⁡(ln⁡x)\displaystyle \ln(\ln x) calculate la capetele intervalului.
    ∫ee2f(x)x2−4dx=∫ee21xln⁡xdx=∫ee21ln⁡x(ln⁡x)′dx=ln⁡(ln⁡x)∣ee2\displaystyle \int_{e}^{e^2}\dfrac{f(x)}{x^2-4}dx=\int_{e}^{e^2}\dfrac{1}{x\ln x}dx=\int_{e}^{e^2}\dfrac{1}{\ln x}(\ln x)'dx=\ln(\ln x)\Big|_e^{e^2}
  5. Se calculează valorile funcției ln⁡(ln⁡x)\displaystyle \ln(\ln x) la capetele intervalului: pentru x=e2\displaystyle x=e^{2} avem ln⁡x=2\displaystyle \ln x=2, deci ln⁡(ln⁡x)=ln⁡2\displaystyle \ln(\ln x)=\ln 2; pentru x=e\displaystyle x=e avem ln⁡x=1\displaystyle \ln x=1, deci ln⁡(ln⁡x)=ln⁡1\displaystyle \ln(\ln x)=\ln 1.
    ln⁡(ln⁡e2)−ln⁡(ln⁡e)=ln⁡2−ln⁡1\displaystyle \ln(\ln e^2)-\ln(\ln e)=\ln 2-\ln 1
  6. Se simplifică rezultatul, știind că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1 = 0, obținându-se valoarea finală a integralei.
    ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \ln 2-\ln 1=\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4xln⁡x\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2-4}{x\ln x}.

Arătați că lim⁡x→21F2(x)∫2x(t−2)F(t) dt=ln⁡24\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{F^2(x)}\int_{2}^{x}(t-2)F(t)\,dt = \dfrac{\ln 2}{4}, unde F:(1,+∞)→R\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R} este primitiva funcției f\displaystyle f pentru care F(2)=0\displaystyle F(2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se consideră F o primitivă a funcției f pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) astfel încât F(2)=0\displaystyle F(2)=0. Se cere calculul limitei de tip 00\displaystyle \dfrac{0}{0} de forma unui raport dintre o integrală și pătratul lui F.
    lim⁡x→2∫2x(t−2)F(t)dtF2(x)\displaystyle \lim_{x\to2}\dfrac{\int_2^x(t-2)F(t)dt}{F^2(x)}, unde F′(x)=f(x)\displaystyle \text{ unde } F'(x)=f(x),F(2)=0\displaystyle F(2)=0
  2. Se observă că pentru x=2\displaystyle x=2 numărătorul (integrala de la 2 la 2) este 0, iar numitorul F2(2)=02=0\displaystyle F^{2}(2)=0^{2}=0, deci avem un caz de nedeterminare 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, ceea ce permite aplicarea regulii lui L'Hôpital.
    ∫22(t−2)F(t)dt=0 și F2(2)=0⇒00\displaystyle \int_2^2(t-2)F(t)dt=0\text{ și } F^2(2)=0 \Rightarrow \dfrac{0}{0}
  3. Se derivează numărătorul folosind teorema fundamentală de calcul integral: derivata funcției G(x)=∫2x(t−2)F(t)dt\displaystyle G(x)=\int_{2}^{x}(t-2)F(t)dt este chiar (x−2)F(x)\displaystyle (x-2)F(x).
    G′(x)=(∫2x(t−2)F(t)dt)′=(x−2)F(x)\displaystyle G'(x)=\left(\int_2^x(t-2)F(t)dt\right)'=(x-2)F(x)
  4. Se derivează numitorul H(x)=F2(x)\displaystyle H(x)=F^{2}(x), folosind regula de derivare a funcției compuse și faptul că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x).
    H′(x)=(F2(x))′=2F(x)F′(x)=2F(x)f(x)\displaystyle H'(x)=(F^2(x))'=2F(x)F'(x)=2F(x)f(x)
  5. Se aplică regula lui L'Hôpital, înlocuind raportul cu raportul derivatelor obținute la pașii anteriori.
    lim⁡x→2∫2x(t−2)F(t)dtF2(x)=lim⁡x→2(x−2)F(x)2F(x)f(x)\displaystyle \lim_{x\to2}\dfrac{\int_2^x(t-2)F(t)dt}{F^2(x)} = \lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)F(x)}{2F(x)f(x)}
  6. Deoarece în vecinătatea lui x=2\displaystyle x=2 (cu excepția eventuală a punctului x=2\displaystyle x=2) F(x)≠0\displaystyle F(x)\neq 0, se simplifică fracția prin F(x)\displaystyle F(x), obținând o nouă limită mai simplă.
    lim⁡x→2(x−2)F(x)2F(x)f(x)=lim⁡x→2x−22f(x)\displaystyle \lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)F(x)}{2F(x)f(x)} = \lim_{x\to2}\dfrac{x-2}{2f(x)}
  7. Se înlocuiește f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa, se simplifică factorul comun (x−2)\displaystyle (x-2) de la numărător cu (x−2)\displaystyle (x-2) din descompunerea x2−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2), apoi se calculează limita prin înlocuirea lui x=2\displaystyle x=2.
    lim⁡x→2x−22f(x)=lim⁡x→2x−22⋅x2−4xln⁡x=lim⁡x→2xln⁡x2(x+2)=2ln⁡28=ln⁡24\displaystyle \lim_{x\to2}\dfrac{x-2}{2f(x)}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-2}{2\cdot\dfrac{x^2-4}{x\ln x}}=\lim_{x\to2}\dfrac{x\ln x}{2(x+2)} = \dfrac{2\ln 2}{8} = \dfrac{\ln 2}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.