Bac matematică M1 mate-info 2024, sesiunea I varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2lg⁡100+lg⁡2+lg⁡5=5\displaystyle 2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 100\displaystyle 100 ca putere a lui 10\displaystyle 10, pentru a calcula lg⁡100\displaystyle \lg 100 folosind proprietatea lg⁡(10n)=n\displaystyle \lg(10^n)=n.
    lg⁡100=lg⁡(102)=2\displaystyle \lg 100 = \lg(10^2) = 2
  2. Calculăm termenul 2⋅lg⁡100\displaystyle 2\cdot\lg 100 folosind rezultatul de mai sus.
    2lg⁡100=2⋅2=4\displaystyle 2\lg 100 = 2\cdot 2 = 4
  3. Folosim proprietatea logaritmilor lg⁡a+lg⁡b=lg⁡(a⋅b)\displaystyle \lg a + \lg b = \lg(a\cdot b) pentru a combina ceilalți doi termeni.
    lg⁡2+lg⁡5=lg⁡(2⋅5)=lg⁡10\displaystyle \lg 2 + \lg 5 = \lg(2\cdot 5) = \lg 10
  4. Înlocuim rezultatele obținute în expresia inițială, obținând forma simplificată cerută de barem.
    2lg⁡100+lg⁡2+lg⁡5=2⋅2+lg⁡10\displaystyle 2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 2\cdot 2 + \lg 10
  5. Calculăm lg⁡10=1\displaystyle \lg 10 = 1 (deoarece 10=101\displaystyle 10 = 10^1) și finalizăm suma numerică, obținând rezultatul final.
    4+1=5\displaystyle 4+1=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−6\displaystyle f(x)=x-6. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)+f(3a)=0\displaystyle f(a)+f(3a)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul a\displaystyle a, înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia f(x)=x−6\displaystyle f(x)=x-6
    f(a)=a−6\displaystyle f(a)=a-6
  2. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul 3a\displaystyle 3a, înlocuind x\displaystyle x cu 3a\displaystyle 3a în expresia f(x)=x−6\displaystyle f(x)=x-6
    f(3a)=3a−6\displaystyle f(3a)=3a-6
  3. Se scrie ecuația f(a)+f(3a)=0\displaystyle f(a)+f(3a)=0 folosind expresiile calculate anterior
    (a−6)+(3a−6)=0\displaystyle (a-6)+(3a-6)=0
  4. Se desface paranteza și se grupează termenii asemenea din ecuație
    a+3a−6−6=0⇒4a−12=0\displaystyle a+3a-6-6=0\Rightarrow 4a-12=0
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a
    4a=12⇒a=3\displaystyle 4a=12\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 53x+2=5x\displaystyle 5^{3x+2}=5^x.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că ecuația are ambii membri scriși ca puteri ale aceleiași baze, 5\displaystyle 5, deci se poate aplica proprietatea de injectivitate a funcției exponențiale f(x)=5x\displaystyle f(x)=5^x.
    53x+2=5x\displaystyle 5^{3x+2}=5^{x}
  2. Deoarece funcția exponențială f(t)=5t\displaystyle f(t)=5^t este injectivă (strict monotonă), din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților.
    3x+2=x\displaystyle 3x+2=x
  3. Se trec termenii care conțin x\displaystyle x într-un membru, iar termenii liberi în celălalt membru.
    3x−x=−2\displaystyle 3x-x=-2
  4. Se reduc termenii asemenea din stânga.
    2x=−2\displaystyle 2x=-2
  5. Se împarte ecuația prin 2\displaystyle 2 pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea A={1,2,4,6,8,9}\displaystyle A=\{1,2,4,6,8,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu elementele mulțimii A\displaystyle A pentru a le analiza.
    A={1,2,4,6,8,9}\displaystyle A=\{1,2,4,6,8,9\}
  2. Se identifică elementele pare din mulțimea A\displaystyle A.
    Numerele pare din A sunt: 2\displaystyle \text{Numerele pare din }A\text{ sunt: }2,4\displaystyle 4,6\displaystyle 6,8\displaystyle 8
  3. Se numără câte elemente pare are mulțimea A\displaystyle A.
    Iˆn mulțimea A sunt 4 numere pare\displaystyle \text{În mulțimea }A\text{ sunt }4\text{ numere pare}
  4. Pentru a determina numărul submulțimilor cu două elemente pare, trebuie să alegem 2\displaystyle 2 elemente din cele 4\displaystyle 4 numere pare, fără a ține cont de ordine, deci folosim combinări.
    Numa˘rul ca˘utat este C42\displaystyle \text{Numărul căutat este }C_4^2
  5. Se scrie formula combinărilor și se calculează valoarea acesteia.
    C42=4!2!⋅2!=6\displaystyle C_4^2=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(3,0)\displaystyle B(3,0). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C pentru care AC→=OB→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală pentru coordonatele unui vector determinat de două puncte, folosind versorii i⃗\displaystyle \vec{i} și j⃗\displaystyle \vec{j}.
    PQ→=(xQ−xP)i⃗+(yQ−yP)j⃗\displaystyle \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P)\vec{i}+(y_Q-y_P)\vec{j}
  2. Se calculează vectorul OB→\displaystyle \overrightarrow{OB} folosind coordonatele punctelor O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(3,0)\displaystyle B(3,0).
    OB→=(3−0)i⃗+(0−0)j⃗=3i⃗\displaystyle \overrightarrow{OB}=(3-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}=3\vec{i}
  3. Se calculează vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} folosind coordonatele punctului A(3,1)\displaystyle A(3,1) și ale punctului necunoscut C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C), apoi se scrie egalitatea celor doi vectori sub formă de componente.
    AC→=(xC−3)i⃗+(yC−1)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(x_C-3)\vec{i}+(y_C-1)\vec{j}, OB→=3i⃗\displaystyle \ \overrightarrow{OB}=3\vec{i}
  4. Se egalează componentele corespunzătoare ale celor doi vectori (coeficientul lui i⃗\displaystyle \vec{i} cu coeficientul lui i⃗\displaystyle \vec{i}, respectiv coeficientul lui j⃗\displaystyle \vec{j} cu coeficientul lui j⃗\displaystyle \vec{j}), obținând un sistem de ecuații.
    xC−3=3 și yC−1=0\displaystyle x_C-3=3\text{ și }y_C-1=0
  5. Se rezolvă sistemul obținut, determinând coordonatele punctului C\displaystyle C.
    xC=6 și yC=1\displaystyle x_C=6\text{ și }y_C=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu aria egală cu 18\displaystyle 18 și B=π4\displaystyle B=\dfrac{\pi}{4}. Arătați că AB=6\displaystyle AB=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie suma unghiurilor triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că este dreptunghic în A\displaystyle A (deci m(A)=90°\displaystyle m(A)=90°) și m(B)=45°\displaystyle m(B)=45°.
    m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘⇒90∘+45∘+m(C^)=180∘\displaystyle m(\widehat{A})+m(\widehat{B})+m(\widehat{C})=180^{\circ}\Rightarrow 90^{\circ}+45^{\circ}+m(\widehat{C})=180^{\circ}
  2. Se determină măsura unghiului C\displaystyle C, rezultând că triunghiul are două unghiuri egale (B\displaystyle B și C\displaystyle C).
    m(C^)=45∘=m(B^)\displaystyle m(\widehat{C})=45^{\circ}=m(\widehat{B})
  3. Deoarece unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt egale, triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel cu vârful în A\displaystyle A, deci laturile opuse acestor unghiuri sunt egale.
    AB=AC\displaystyle AB=AC
  4. Se scrie formula ariei triunghiului dreptunghic în A\displaystyle A, folosind catetele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC.
    AABC=AB⋅AC2\displaystyle A_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}
  5. Se înlocuiește AC=AB\displaystyle AC=AB (din pasul anterior) și valoarea ariei date (18\displaystyle 18), obținând o ecuație în AB\displaystyle AB, care se rezolvă.
    AB⋅AB2=18\displaystyle \dfrac{AB\cdot AB}{2}=18, deci AB2=36\displaystyle \text{ deci }AB^2=36, de unde obținem AB=6\displaystyle \text{ de unde obținem }AB=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(x000x+2x02xx+2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(1))=7\displaystyle \det(M(1))=7.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=1\displaystyle x=1 în matricea M(x)\displaystyle M(x) pentru a obține matricea numerică M(1)\displaystyle M(1).
    M(1)=(100031023)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&1\\0&2&3\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei M(1)\displaystyle M(1) care trebuie calculat.
    det⁡(M(1))=∣100031023∣\displaystyle \det(M(1))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&3&1\\0&2&3\end{vmatrix}
  3. Se aplică regula lui Sarrus (sau regula triunghiului) pentru determinantul de ordin 3\displaystyle 3: se identifică cele 6\displaystyle 6 produse ale elementelor, trei cu semnul plus (diagonala principală și cele două triunghiuri asociate) și trei cu semnul minus (diagonala secundară și triunghiurile corespunzătoare).
    det⁡(M(1))=1⋅3⋅3+0⋅1⋅0+0⋅0⋅2−0⋅3⋅0−1⋅1⋅2−0⋅0⋅3\displaystyle \det(M(1))=1\cdot3\cdot3+0\cdot1\cdot0+0\cdot0\cdot2-0\cdot3\cdot0-1\cdot1\cdot2-0\cdot0\cdot3
  4. Se calculează fiecare produs în parte, obținând valorile numerice ale celor 6\displaystyle 6 termeni.
    det⁡(M(1))=9+0+0−0−2−0\displaystyle \det(M(1))=9+0+0-0-2-0
  5. Se rescriu termenii în ordinea din barem și se efectuează adunările și scăderile pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    9+0+0−0−0−2=7\displaystyle 9+0+0-0-0-2=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(x000x+2x02xx+2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care M(x)⋅M(2)=M(x−1)\displaystyle M(x)\cdot M(2)=M(x-1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm M(2)\displaystyle M(2) înlocuind x=2\displaystyle x=2 în M(x)\displaystyle M(x): x+2=4\displaystyle x+2=4, x=2\displaystyle x=2, 2x=4\displaystyle 2x=4.
    M(2)=(200042044)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&4&2\\0&4&4\end{pmatrix}
  2. Prima linie și prima coloană ale produsului M(x)⋅M(2)\displaystyle M(x)\cdot M(2): elementul din colț este x⋅2=2x\displaystyle x\cdot 2=2x, iar celelalte elemente sunt 0\displaystyle 0.
    2x\displaystyle 2x, 0\displaystyle \ 0, 0\displaystyle \ 0
  3. Calculăm blocul 2×2\displaystyle 2\times 2 din dreapta jos: (x+2)⋅4+x⋅4=8x+8\displaystyle (x+2)\cdot 4+x\cdot 4=8x+8, (x+2)⋅2+x⋅4=6x+4\displaystyle (x+2)\cdot 2+x\cdot 4=6x+4, 2x⋅4+(x+2)⋅4=12x+8\displaystyle 2x\cdot 4+(x+2)\cdot 4=12x+8, 2x⋅2+(x+2)⋅4=8x+8\displaystyle 2x\cdot 2+(x+2)\cdot 4=8x+8.
    (8x+86x+412x+88x+8)\displaystyle \begin{pmatrix}8x+8&6x+4\\12x+8&8x+8\end{pmatrix}
  4. Scriem produsul complet, valabil pentru orice x\displaystyle x real.
    M(x)⋅M(2)=(2x0008x+86x+4012x+88x+8)\displaystyle M(x)\cdot M(2)=\begin{pmatrix}2x&0&0\\0&8x+8&6x+4\\0&12x+8&8x+8\end{pmatrix}
  5. Scriem M(x−1)\displaystyle M(x-1), înlocuind x\displaystyle x cu x−1\displaystyle x-1: x+2\displaystyle x+2 devine x+1\displaystyle x+1, iar 2x\displaystyle 2x devine 2x−2\displaystyle 2x-2.
    M(x−1)=(x−1000x+1x−102x−2x+1)\displaystyle M(x-1)=\begin{pmatrix}x-1&0&0\\0&x+1&x-1\\0&2x-2&x+1\end{pmatrix}
  6. Egalăm elementele corespunzătoare. Din 2x=x−1\displaystyle 2x=x-1 obținem x=−1\displaystyle x=-1. Verificăm pentru x=−1\displaystyle x=-1: 8x+8=0=x+1\displaystyle 8x+8=0=x+1, 6x+4=−2=x−1\displaystyle 6x+4=-2=x-1, 12x+8=−4=2x−2\displaystyle 12x+8=-4=2x-2. Toate egalitățile sunt adevărate.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(x000x+2x02xx+2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care 2det⁡(M(n))≤det⁡(M(2n))\displaystyle 2\det(M(n))\le \det(M(2n)).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează determinantul matricei M(x)\displaystyle M(x) pentru x\displaystyle x real, dezvoltând după prima linie (elementele de pe linia întâi sunt x\displaystyle x, 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0, deci determinantul se reduce la x\displaystyle x înmulțit cu determinantul minorului 2×2\displaystyle 2\times 2 rămas).
    det⁡(M(x))=x⋅det⁡(x+2x2xx+2)=x[(x+2)2−2x⋅x]\displaystyle \det(M(x))=x\cdot\det\begin{pmatrix}x+2 & x\\ 2x & x+2\end{pmatrix}=x\big[(x+2)^2-2x\cdot x\big]
  2. Se dezvoltă și se simplifică expresia obținută pentru determinant, ajungând la forma finală în funcție de x\displaystyle x.
    det⁡(M(x))=x[x2+4x+4−2x2]=x(−x2+4x+4)\displaystyle \det(M(x))=x\big[x^2+4x+4-2x^2\big]=x(-x^2+4x+4)
  3. Se înlocuiește x\displaystyle x cu n\displaystyle n, respectiv cu 2n\displaystyle 2n, pentru a obține expresiile determinanților det⁡(M(n))\displaystyle \det(M(n)) și det⁡(M(2n))\displaystyle \det(M(2n)) în funcție de numărul natural n\displaystyle n.
    det⁡(M(n))=n(−n2+4n+4)\displaystyle \det(M(n))=n(-n^2+4n+4), det⁡(M(2n))=2n(−4n2+8n+4)\displaystyle \ \det(M(2n))=2n(-4n^2+8n+4), pentru orice numa˘r \displaystyle \text{ pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  4. Se scrie condiția cerută de problemă, anume inegalitatea dintre dublul determinantului det⁡(M(n))\displaystyle \det(M(n)) și determinantul det⁡(M(2n))\displaystyle \det(M(2n)), folosind expresiile găsite anterior.
    2det⁡(M(n))≤det⁡(M(2n))  ⟺  2n(−n2+4n+4)≤2n(−4n2+8n+4)\displaystyle 2\det(M(n))\le\det(M(2n))\iff 2n(-n^2+4n+4)\le 2n(-4n^2+8n+4)
  5. Se aduc toți termenii inegalității de o parte și se factorizează expresia obținută.
    2n(−n2+4n+4)−2n(−4n2+8n+4)≤0  ⟺  2n[3n2−4n]≤0  ⟺  2n2(3n−4)≤0  ⟺  n2(3n−4)≤0\displaystyle 2n(-n^2+4n+4)-2n(-4n^2+8n+4)\le 0\iff 2n\big[3n^2-4n\big]\le 0\iff 2n^2(3n-4)\le 0\iff n^2(3n-4)\le 0
  6. Se analizează semnul expresiei: cum n2≥0\displaystyle n^{2}\ge 0 pentru orice n, inegalitatea n2(3n−4)≤0\displaystyle n^{2}(3n-4)\le 0 este echivalentă cu n=0\displaystyle n=0 sau 3n−4≤0\displaystyle 3n-4\le 0, adică n≤43\displaystyle n\le \dfrac{4}{3}. Cum n este număr natural, se rețin valorile care satisfac această condiție.
    2n(−n2+4n+4)≤2n(−4n2+8n+4)\displaystyle 2n(-n^2+4n+4)\le 2n(-4n^2+8n+4), de unde obținem n2(3n−4)≤0 și, cum n este numa˘r natural, \displaystyle \text{ de unde obținem }n^2(3n-4)\le 0\text{ și, cum }n\text{ este număr natural, }obținem n=0 și n=1\displaystyle \text{obținem }n=0\text{ și }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−aX+2a\displaystyle f=X^3-2X^2-aX+2a, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că f(2)=0\displaystyle f(2)=0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la polinomul dat și se stabilește ce trebuie demonstrat: că x=2\displaystyle x=2 este rădăcină a lui f\displaystyle f, pentru orice valoare reală a lui a\displaystyle a, adică f(2)=0\displaystyle f(2)=0.
    f=X3−2X2−aX+2a\displaystyle f=X^3-2X^2-aX+2a, ara˘ta˘m ca˘ f(2)=0 pentru orice a∈R\displaystyle \text{ arătăm că }f(2)=0\text{ pentru orice }a\in\mathbb{R}
  2. Se înlocuiește X\displaystyle X cu valoarea 2\displaystyle 2 în expresia polinomului f\displaystyle f.
    f(2)=23−2⋅22−a⋅2+2a=\displaystyle f(2)=2^3-2\cdot2^2-a\cdot2+2a=
  3. Se calculează separat puterile și produsele numerice: 23\displaystyle 2^{3} este 8\displaystyle 8, iar 2\displaystyle 2 înmulțit cu 22\displaystyle 2^{2} (adică 2\displaystyle 2 înmulțit cu 4\displaystyle 4) este tot 8\displaystyle 8.
    23=8\displaystyle 2^3=8, 2⋅22=2⋅4=8\displaystyle \text{ }2\cdot2^2=2\cdot4=8
  4. Se rescrie expresia lui f(2)\displaystyle f(2) folosind valorile numerice calculate anterior, obținându-se 8−8−2a+2a\displaystyle 8-8-2a+2a.
    f(2)=8−8−2a+2a\displaystyle f(2)=8-8-2a+2a
  5. Se observă că termenii numerici 8\displaystyle 8 și −8\displaystyle -8 se anulează între ei, iar termenii care conțin a\displaystyle a, adică −2a\displaystyle -2a și +2a\displaystyle +2a, se anulează de asemenea între ei, indiferent de valoarea lui a\displaystyle a. Astfel se obține f(2)=0\displaystyle f(2)=0 pentru orice a\displaystyle a real, ceea ce arată că 2\displaystyle 2 este rădăcină a polinomului f\displaystyle f, indiferent de valoarea parametrului a\displaystyle a.
    =8−8−2a+2a=0\displaystyle =8-8-2a+2a=0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−aX+2a\displaystyle f=X^3-2X^2-aX+2a, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=1\displaystyle a=1, arătați că polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul g=X+1\displaystyle g=X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Se consideră cazul particular a=1\displaystyle a=1, deoarece baremul cere divizibilitatea polinomului cu X+1\displaystyle X+1 pentru această valoare a lui a. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în expresia polinomului f=X3−2X2−aX+2a\displaystyle f=X^{3}-2X^{2}-aX+2a.
    f=X3−2X2−1⋅X+2⋅1=X3−2X2−X+2\displaystyle f=X^{3}-2X^{2}-1\cdot X+2\cdot 1=X^{3}-2X^{2}-X+2
  2. Se aplică Teorema lui Bézout: pentru a verifica divizibilitatea lui f cu X+1\displaystyle X+1, se calculează valoarea polinomului f în x=−1\displaystyle x=-1, adică se înlocuiește X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia obținută.
    f=X3−2X2−X+2⇒f(−1)=(−1)3−2(−1)2−(−1)+2=\displaystyle f=X^{3}-2X^{2}-X+2\Rightarrow f(-1)=(-1)^{3}-2(-1)^{2}-(-1)+2=
  3. Se calculează fiecare termen: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^{3}=-1, (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1 deci −2⋅1=−2\displaystyle -2\cdot 1=-2, −(−1)=1\displaystyle -(-1)=1, iar ultimul termen rămâne 2. Se adună toate rezultatele.
    −1−2+1+2=0\displaystyle -1-2+1+2=0
  4. Deoarece f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, conform Teoremei lui Bézout, polinomul f este divizibil cu polinomul g=X+1\displaystyle g=X+1.
    =−1−2+1+2=0\displaystyle =-1-2+1+2=0, deci polinomul f este divizibil cu \displaystyle \text{ deci polinomul }f\text{ este divizibil cu }polinomul g=X+1\displaystyle \text{polinomul }g=X+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−2X2−aX+2a\displaystyle f=X^3-2X^2-aX+2a, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty) pentru care ∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣=8\displaystyle |x_1|+|x_2|+|x_3|=8, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm dacă x=2\displaystyle x=2 este rădăcină a polinomului, calculând f(2)\displaystyle f(2).
    f(2)=23−2⋅22−a⋅2+2a=8−8−2a+2a=0\displaystyle f(2)=2^3-2\cdot2^2-a\cdot2+2a=8-8-2a+2a=0, deci x=2 este ra˘da˘cina˘\displaystyle \text{ deci }x=2\text{ este rădăcină}
  2. Împărțim polinomul f\displaystyle f la (X−2)\displaystyle (X-2), folosind schema lui Horner, pentru a obține câtul.
    1−2−a2a210−a0⇒f=(X−2)(X2−a)\displaystyle \begin{array}{c|cccc}&1&-2&-a&2a\\\hline2&1&0&-a&0\end{array}\Rightarrow f=(X-2)(X^2-a)
  3. Determinăm celelalte două rădăcini din ecuația X2−a=0\displaystyle X^2-a=0 (presupunem a≥0\displaystyle a\ge0 pentru ca acestea să fie reale) și calculăm suma modulelor celor trei rădăcini.
    f=(X−2)(X2−a); x1=2 și ∣x2∣=∣x3∣=a\displaystyle f=(X-2)(X^2-a);\ x_1=2\text{ și }|x_2|=|x_3|=\sqrt{a}, deci ∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣=2+2a\displaystyle \text{ deci }|x_1|+|x_2|+|x_3|=2+2\sqrt{a}
  4. Conform enunțului problemei, suma modulelor rădăcinilor trebuie să fie egală cu 8\displaystyle 8, deci scriem ecuația corespunzătoare.
    2+2a=8\displaystyle 2+2\sqrt{a}=8
  5. Rezolvăm ecuația obținută pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    2+2a=8\displaystyle 2+2\sqrt{a}=8, de unde obținem a=9\displaystyle \text{ de unde obținem }a=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(2x−4)+x2−2x+4\displaystyle f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4.

Arătați că f′(x)=2(x−1)(ex+1)\displaystyle f'(x)=2(x-1)(e^x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică termenii funcției și se aplică regula de derivare a produsului pentru termenul ex(2x−4)\displaystyle e^{x}(2x-4), respectiv regula de derivare a sumei/puterilor pentru restul expresiei.
    f′(x)=(ex)′(2x−4)+ex(2x−4)′+(x2−2x+4)′\displaystyle f'(x)=\left(e^x\right)'(2x-4)+e^x(2x-4)'+\left(x^2-2x+4\right)'
  2. Se calculează derivatele elementare: derivata lui ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}, derivata lui (2x−4)\displaystyle (2x-4) este 2, iar derivata lui (x2−2x+4)\displaystyle (x^{2}-2x+4) este 2x−2\displaystyle 2x-2.
    f′(x)=ex(2x−4)+ex⋅2+(2x−2)\displaystyle f'(x)=e^x(2x-4)+e^x\cdot 2+(2x-2)
  3. Se rescrie expresia obținută sub forma cerută de barem, evidențiind termenii rezultați din derivare.
    f′(x)=ex(2x−4)+2ex+2x−2\displaystyle f'(x)=e^x(2x-4)+2e^x+2x-2
  4. Se factorizează ex\displaystyle e^x din primii doi termeni: ex(2x−4)+2ex=ex(2x−4+2)=ex(2x−2)\displaystyle e^x(2x-4)+2e^x = e^x(2x-4+2) = e^x(2x-2).
    f′(x)=ex(2x−2)+2x−2\displaystyle f'(x)=e^x(2x-2)+2x-2
  5. Se observă că ex(2x−2)=2ex(x−1)\displaystyle e^{x}(2x-2)=2e^{x}(x-1) și 2x−2=2(x−1)\displaystyle 2x-2=2(x-1), astfel se scoate factor comun 2(x−1)\displaystyle 2(x-1) din întreaga expresie, obținând forma finală factorizată a derivatei.
    =ex(2x−2)+2x−2=2(x−1)(ex+1)\displaystyle =e^x(2x-2)+2x-2=2(x-1)(e^x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(2x−4)+x2−2x+4\displaystyle f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4.

Arătați că lim⁡x→0f(x)1−ex=4\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1-e^x}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se verifică forma de nedeterminare: se calculează f(0)\displaystyle f(0) și limita numitorului în x=0\displaystyle x=0.
    f(0)=e0(2⋅0−4)+02−2⋅0+4=1⋅(−4)+4=0\displaystyle f(0)=e^{0}(2\cdot0-4)+0^2-2\cdot0+4=1\cdot(-4)+4=0,lim⁡x→0(1−ex)=1−1=0\displaystyle \quad \lim_{x\to0}(1-e^x)=1-1=0
  2. Cum ambele limite (a numărătorului și a numitorului) sunt 0\displaystyle 0, se obține cazul de nedeterminare 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deci se poate aplica regula lui l'Hôpital.
    lim⁡x→0f(x)=0⇒lim⁡x→0f(x)1−ex=lim⁡x→0f′(x)(1−ex)′\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=0\Rightarrow \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-e^x}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{(1-e^x)'}
  3. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula produsului pentru primul termen.
    f′(x)=ex(2x−4)+ex⋅2+2x−2=ex(2x−2)+2x−2\displaystyle f'(x)=e^x(2x-4)+e^x\cdot2+2x-2=e^x(2x-2)+2x-2
  4. Se factorizează expresia obținută pentru derivată.
    f′(x)=2(x−1)ex+2(x−1)=2(x−1)(ex+1)\displaystyle f'(x)=2(x-1)e^x+2(x-1)=2(x-1)(e^x+1)
  5. Se calculează derivata numitorului.
    (1−ex)′=−ex\displaystyle (1-e^x)'=-e^x
  6. Se înlocuiește derivatele obținute în raportul de limite și se calculează valoarea limitei în x=0\displaystyle x=0.
    =lim⁡x→02(x−1)(ex+1)−ex=2(0−1)(e0+1)−e0=2(−1)(2)−1=4\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{2(x-1)(e^x+1)}{-e^x}=\frac{2(0-1)(e^{0}+1)}{-e^{0}}=\frac{2(-1)(2)}{-1}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(2x−4)+x2−2x+4\displaystyle f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4.

Arătați că ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are exact două soluții.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f, aplicând regula de derivare a produsului pentru termenul ex(2x−4)\displaystyle e^{x}(2x-4).
    f′(x)=ex(2x−4)+ex⋅2+2x−2=ex(2x−2)+2x−2\displaystyle f'(x)=e^{x}(2x-4)+e^{x}\cdot 2+2x-2=e^{x}(2x-2)+2x-2
  2. Se factorizează expresia derivatei, scoțând factor comun (2x−2)\displaystyle (2x-2).
    f′(x)=(2x−2)(ex+1)\displaystyle f'(x)=(2x-2)(e^{x}+1)
  3. Se observă că ex+1>0\displaystyle e^{x}+1>0 pentru orice x real, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat exclusiv de semnul factorului (2x−2)\displaystyle (2x-2), adică de semnul lui (x−1)\displaystyle (x-1).
    ex+1>0\displaystyle e^{x}+1>0, ∀x∈R⇒sgn(f′(x))=sgn(2x−2)\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow \text{sgn}(f'(x))=\text{sgn}(2x-2)
  4. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilește monotonia funcției pe cele două intervale determinate de punctul critic x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=0⇔x=1; pentru orice x∈(−∞,1)\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\text{ pentru orice }x\in(-\infty,1), f′(x)<0\displaystyle \ f'(x)<0, deci f este strict \displaystyle \text{ deci }f\text{ este strict }descresca˘toare pe (−∞,1) și, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle \text{descrescătoare pe }(-\infty,1)\text{ și, pentru orice }x\in(1,+\infty), f′(x)>0\displaystyle \ f'(x)>0, deci f este strict cresca˘toare \displaystyle \text{ deci }f\text{ este strict crescătoare }pe (1,+∞)\displaystyle \text{pe }(1,+\infty)
  5. Se calculează valoarea funcției în punctul de minim x=1\displaystyle x=1, înlocuind în expresia lui f(x)\displaystyle f(x).
    f(1)=e1(2⋅1−4)+12−2⋅1+4=e(−2)+3=3−2e\displaystyle f(1)=e^{1}(2\cdot 1-4)+1^{2}-2\cdot 1+4=e(-2)+3=3-2e
  6. Se observă că 2e>3\displaystyle 2e>3 (deoarece e>1,5\displaystyle e>1,5), deci valoarea f(1)\displaystyle f(1) este negativă, fiind astfel valoarea minimă globală a funcției.
    f(1)=3−2e<0\displaystyle f(1)=3-2e<0, deoarece 2e≈5\displaystyle \text{ deoarece }2e\approx 5,44>3\displaystyle 44>3
  7. Se calculează limita funcției la −∞\displaystyle -\infty: termenul ex(2x−4)\displaystyle e^x(2x-4) tinde la 0\displaystyle 0 (exponențiala domină polinomul), iar x2−2x+4\displaystyle x^2-2x+4 tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→−∞ex(2x−4)=0 și lim⁡x→−∞(x2−2x+4)=+∞⇒lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}(2x-4)=0\text{ și }\lim_{x\to-\infty}(x^{2}-2x+4)=+\infty\Rightarrow \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty
  8. Se calculează limita funcției la +∞\displaystyle +\infty: termenul ex(2x−4)\displaystyle e^x(2x-4) tinde la +∞\displaystyle +\infty (exponențiala domină), acesta fiind termenul dominant.
    lim⁡x→+∞ex(2x−4)=+∞⇒lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{x}(2x-4)=+\infty\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  9. Se sintetizează rezultatele: limitele la infinit, valoarea f(1)\displaystyle f(1) negativă și continuitatea funcției f\displaystyle f (fiind formată din funcții elementare, ex\displaystyle e^x și polinomiale), aplicând proprietatea lui Darboux pe fiecare interval de monotonie pentru a determina numărul de soluții ale ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, f(1)=3−2e<0\displaystyle \ f(1)=3-2e<0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞ și f este continua˘, deci \displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{ și }f\text{ este continuă, deci }ecuația f(x)=0 are exact doua˘ soluții\displaystyle \text{ecuația }f(x)=0\text{ are exact două soluții}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{3x^2+1}.

Arătați că ∫34f(x)(3x2+1) dx=14\displaystyle \displaystyle\int_{3}^{4} f(x)(3x^2+1)\,dx=14.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția dată și expresia care trebuie integrată, conform enunțului problemei.
    f(x)=4x3x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{3x^2+1},I=∫34f(x)(3x2+1) dx\displaystyle \quad I=\int_{3}^{4}f(x)(3x^2+1)\,dx
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în expresia de sub integrală și observăm că factorul (3x2+1)\displaystyle (3x^2+1) se simplifică cu numitorul lui f(x)\displaystyle f(x).
    f(x)(3x2+1)=4x3x2+1⋅(3x2+1)=4x\displaystyle f(x)(3x^2+1)=\dfrac{4x}{3x^2+1}\cdot(3x^2+1)=4x
  3. Rescriem integrala folosind funcția simplificată, obținând o integrală dintr-o funcție polinomială, apoi determinăm o primitivă a acesteia.
    ∫34f(x)(3x2+1)dx=∫344x dx=2x2∣34=\displaystyle \int_{3}^{4}f(x)(3x^2+1)dx=\int_{3}^{4}4x\,dx=2x^2\Big|_3^4=
  4. Evaluăm primitiva 2x2\displaystyle 2x^2 la capetele intervalului, calculând valorile pentru x=4\displaystyle x=4 și x=3\displaystyle x=3.
    2⋅42−2⋅32=2⋅16−2⋅9\displaystyle 2\cdot 4^2-2\cdot 3^2=2\cdot16-2\cdot9
  5. Efectuăm calculele numerice și obținem valoarea finală a integralei.
    =32−18=14\displaystyle =32-18=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{3x^2+1}.

Arătați că ∫01f(x) dx=43ln⁡2\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\frac{4}{3}\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala definită pe care trebuie să o calculăm, folosind expresia funcției date.
    ∫01f(x)dx=∫014x3x2+1dx\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{4x}{3x^2+1}dx
  2. Se observă că derivata numitorului este (3x2+1)′=6x\displaystyle (3x^{2}+1)'=6x, deci numărătorul 4x\displaystyle 4x poate fi scris ca un multiplu al acestei derivate.
    (3x2+1)′=6x⇒4x=23⋅6x\displaystyle (3x^2+1)'=6x\Rightarrow 4x=\frac{2}{3}\cdot 6x
  3. Se scoate factorul constant 23\displaystyle \dfrac{2}{3} și se rescrie integrala sub forma raportului dintre derivata numitorului și numitor, formă tipică pentru integrala logaritmului natural.
    ∫014x3x2+1dx=23∫01(3x2+1)′3x2+1dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{4x}{3x^2+1}dx=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\frac{(3x^2+1)'}{3x^2+1}dx
  4. Se aplică formula de integrare ∫u′udx=ln⁡∣u∣+C\displaystyle \int \dfrac{u'}{u}dx=\ln|u|+C, obținându-se primitiva sub forma logaritmului natural evaluată pe capetele intervalului.
    ∫01f(x)dx=∫014x3x2+1dx=23∫01(3x2+1)′3x2+1dx=23ln⁡(3x2+1)∣01=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{4x}{3x^2+1}dx=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\frac{(3x^2+1)'}{3x^2+1}dx=\frac{2}{3}\ln(3x^2+1)\Big|_0^1=
  5. Se calculează valoarea expresiei 3x2+1\displaystyle 3x^{2}+1 la capetele intervalului: pentru x=1\displaystyle x=1 se obține 3+1=4\displaystyle 3+1=4, iar pentru x=0\displaystyle x=0 se obține 0+1=1\displaystyle 0+1=1.
    3(1)2+1=4 , 3(0)2+1=1\displaystyle 3(1)^2+1=4\text{ , }3(0)^2+1=1
  6. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia primitivei evaluate pe interval, folosind proprietatea ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și scriind ln⁡4\displaystyle \ln 4 ca 2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2 pentru a simplifica rezultatul.
    =23ln⁡4−23ln⁡1=43ln⁡2\displaystyle =\frac{2}{3}\ln4-\frac{2}{3}\ln1=\frac{4}{3}\ln2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{3x^2+1}.

Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=4ln⁡xf(x)\displaystyle g(x)=\dfrac{4\ln x}{f(x)}, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=e\displaystyle x=e este egală cu 3e2+54\displaystyle \dfrac{3e^2+5}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește legătura dintre funcția g\displaystyle g (definită într-o cerință anterioară a problemei, pornind de la f\displaystyle f) și f\displaystyle f, calculând mai întâi expresia 4f(x)\displaystyle \dfrac{4}{f(x)}, pentru a obține forma explicită a lui g\displaystyle g.
    4f(x)=44x3x2+1=3x2+1x⇒g(x)=4ln⁡xf(x)=(3x2+1)ln⁡xx\displaystyle \dfrac{4}{f(x)}=\dfrac{4}{\frac{4x}{3x^2+1}}=\dfrac{3x^2+1}{x}\Rightarrow g(x)=\dfrac{4\ln x}{f(x)}=\dfrac{(3x^2+1)\ln x}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Se studiază semnul lui g(x)\displaystyle g(x) pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e], necesar pentru a scăpa de modul în calculul ariei.
    x∈[1,e]⇒ln⁡x≥0 și 3x2+1x>0⇒g(x)≥0⇒∣g(x)∣=g(x)\displaystyle x\in[1,e]\Rightarrow \ln x\ge0\text{ și }\dfrac{3x^2+1}{x}>0\Rightarrow g(x)\ge0\Rightarrow |g(x)|=g(x)
  3. Se scrie aria cerută ca integrală a lui ∣g∣\displaystyle |g|, se elimină modulul conform semnului stabilit și se descompune fracția 3x2+1x\displaystyle \dfrac{3x^2+1}{x} în 3x+1x\displaystyle 3x+\dfrac{1}{x}.
    A=∫1e∣g(x)∣dx=∫1e(3x+1x)ln⁡x dx=∫1e3xln⁡x dx+∫1eln⁡xxdx\displaystyle \mathcal{A}=\int_{1}^{e}|g(x)|dx=\int_{1}^{e}\left(3x+\frac{1}{x}\right)\ln x\,dx=\int_{1}^{e}3x\ln x\,dx+\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}dx
  4. Se observă că 3x=(3x22)′\displaystyle 3x=\left(\dfrac{3x^2}{2}\right)', pentru a pregăti integrarea prin părți a primului termen, iar al doilea termen, fiind de forma u′⋅u\displaystyle u'\cdot u cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, se integrează direct obținând ln⁡2x2\displaystyle \dfrac{\ln^2x}{2}, evaluat pe [1,e]\displaystyle [1,e].
    g(x)=(3x2+1)ln⁡xx\displaystyle g(x)=\frac{(3x^2+1)\ln x}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty), deci A=∫1e∣g(x)∣dx=∫1e(3x+1x)ln⁡x dx=∫1e(3x22)′ln⁡x dx+ln⁡2x2∣1e=\displaystyle \text{ deci }\mathcal{A}=\int_{1}^{e}|g(x)|dx=\int_{1}^{e}\left(3x+\frac{1}{x}\right)\ln x\,dx=\int_{1}^{e}\left(\frac{3x^2}{2}\right)'\ln x\,dx+\frac{\ln^2x}{2}\Big|_1^e=
  5. Se aplică integrarea prin părți pe termenul rămas: u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=(3x22)′dx\displaystyle dv=\left(\dfrac{3x^2}{2}\right)'dx, deci v=3x22\displaystyle v=\dfrac{3x^2}{2}, du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx, obținându-se o nouă primitivă mai simplă.
    ∫1e(3x22)′ln⁡x dx=(3x22ln⁡x−∫3x22⋅1xdx)∣1e=3(x2ln⁡x2−x24)∣1e\displaystyle \int_{1}^{e}\left(\frac{3x^2}{2}\right)'\ln x\,dx=\left(\frac{3x^2}{2}\ln x-\int\frac{3x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx\right)\Big|_1^e=3\left(\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_1^e
  6. Se evaluează expresiile obținute la capetele intervalului [1,e]\displaystyle [1,e] (folosind ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0) și se adună cu termenul ln⁡2x2∣1e=12\displaystyle \dfrac{\ln^2x}{2}\Big|_1^e=\dfrac{1}{2}, obținând aria finală.
    =3(x2ln⁡x2−x24)∣1e+12=3e24+34+12=3e2+54\displaystyle =3\left(\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_1^e+\frac{1}{2}=\frac{3e^2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3e^2+5}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.