Bac matematică M1 mate-info 2010, sesiunea I varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați ((1−i)(i−1))4\displaystyle \big((1-i)(i-1)\big)^4.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că i−1=−(1−i)\displaystyle i-1=-(1-i), deci produsul din paranteză devine (1−i)(i−1)=−(1−i)2\displaystyle (1-i)(i-1)=-(1-i)^{2}.
    (1−i)(i−1)=−(1−i)2\displaystyle (1-i)(i-1)=-(1-i)^{2}
  2. Calculăm (1−i)2=1−2i+i2\displaystyle (1-i)^{2}=1-2i+i^{2} și folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci (1−i)2=1−2i−1\displaystyle (1-i)^{2}=1-2i-1.
    (1−i)2=−2i\displaystyle (1-i)^{2}=-2i
  3. Înlocuim: (1−i)(i−1)=−(−2i)=2i\displaystyle (1-i)(i-1)=-(-2i)=2i. Astfel expresia din enunț devine (2i)4\displaystyle (2i)^{4}.
    ((1−i)(i−1))4=(2i)4\displaystyle \big((1-i)(i-1)\big)^{4}=(2i)^{4}
  4. Ridicăm la puterea a patra separat: (2i)4=24⋅i4\displaystyle (2i)^{4}=2^{4}\cdot i^{4}. Avem 24=16\displaystyle 2^{4}=16 și i4=(i2)2=(−1)2=1\displaystyle i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1, deci rezultatul este 16⋅1\displaystyle 16\cdot 1.
    (2i)4=16⋅1=16\displaystyle (2i)^{4}=16\cdot 1=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că funcția f:(−3,3)→R\displaystyle f:(-3,3)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡3−x3+x\displaystyle f(x)=\ln\frac{3-x}{3+x} este impară.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul (−3,3)\displaystyle (-3,3) este simetric față de origine: dacă x∈(−3,3)\displaystyle x\in(-3,3), atunci și −x∈(−3,3)\displaystyle -x\in(-3,3). Deci are sens să calculăm f(−x)\displaystyle f(-x). Funcția este impară dacă f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x) pentru orice x∈(−3,3)\displaystyle x\in(-3,3).
    x∈(−3,3)⇒−x∈(−3,3)\displaystyle x\in(-3,3)\Rightarrow -x\in(-3,3)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în expresia funcției: la numărător 3−(−x)=3+x\displaystyle 3-(-x)=3+x, iar la numitor 3+(−x)=3−x\displaystyle 3+(-x)=3-x.
    f(−x)=ln⁡3−(−x)3+(−x)=ln⁡3+x3−x\displaystyle f(-x)=\ln\frac{3-(-x)}{3+(-x)}=\ln\frac{3+x}{3-x}
  3. Fracția 3+x3−x\displaystyle \dfrac{3+x}{3-x} este inversa fracției 3−x3+x\displaystyle \dfrac{3-x}{3+x}, deci o scriem ca puterea −1\displaystyle -1 a acesteia.
    ln⁡3+x3−x=ln⁡(3−x3+x)−1\displaystyle \ln\frac{3+x}{3-x}=\ln\left(\frac{3-x}{3+x}\right)^{-1}
  4. Folosim proprietatea ln⁡ak=kln⁡a\displaystyle \ln a^{k}=k\ln a, valabilă pentru a>0\displaystyle a>0. Aici 3−x3+x>0\displaystyle \dfrac{3-x}{3+x}>0 pe (−3,3)\displaystyle (-3,3), deoarece 3−x>0\displaystyle 3-x>0 și 3+x>0\displaystyle 3+x>0. Obținem minus logaritmul fracției inițiale.
    ln⁡(3−x3+x)−1=−ln⁡3−x3+x\displaystyle \ln\left(\frac{3-x}{3+x}\right)^{-1}=-\ln\frac{3-x}{3+x}
  5. Expresia ln⁡3−x3+x\displaystyle \ln\dfrac{3-x}{3+x} este chiar f(x)\displaystyle f(x), deci f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x) pentru orice x∈(−3,3)\displaystyle x\in(-3,3). Prin urmare, funcția f\displaystyle f este impară.
    f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x)=-f(x), ∀x∈(−3,3)\displaystyle \ \forall x\in(-3,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Determinați soluțiile întregi ale inecuației x2+2x−8<0\displaystyle x^2+2x-8<0.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm rădăcinile trinomului x2+2x−8\displaystyle x^2+2x-8 cu formula discriminantului: Δ=22−4⋅1⋅(−8)=36\displaystyle \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36, deci x1,2=−2±62\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-2\pm 6}{2}, adică x1=−4\displaystyle x_1=-4 și x2=2\displaystyle x_2=2.
    x1=−4\displaystyle x_1=-4,x2=2\displaystyle \quad x_2=2
  2. Scriem trinomul factorizat, cu a=1\displaystyle a=1: x2+2x−8=(x−x1)(x−x2)=(x−2)(x+4)\displaystyle x^2+2x-8=(x-x_1)(x-x_2)=(x-2)(x+4).
    x2+2x−8=(x−2)(x+4)\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4)
  3. Inecuația devine (x−2)(x+4)<0\displaystyle (x-2)(x+4)<0. Produsul este negativ când factorii au semne opuse. Coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, deci trinomul este negativ între rădăcini, adică pentru x\displaystyle x între −4\displaystyle -4 și 2\displaystyle 2.
    x∈(−4,2)\displaystyle x\in(-4,2)
  4. Căutăm numerele întregi din intervalul deschis (−4,2)\displaystyle (-4,2). Capetele −4\displaystyle -4 și 2\displaystyle 2 nu fac parte din interval, deoarece inegalitatea este strictă. Rămân −3,−2,−1,0,1\displaystyle -3,-2,-1,0,1.
    (−4;2)∩Z={−3,−2,−1,0,1}\displaystyle (-4;2)\cap\mathbb{Z}=\{-3,-2,-1,0,1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Câte elemente din mulțimea A={1,2,3,…,100}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,100\} sunt divizibile cu 4 sau cu 5?
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm elementele divizibile cu 4\displaystyle 4 din mulțimea A\displaystyle A. Acestea sunt 4,8,…,100\displaystyle 4, 8, \ldots, 100, adică multiplii lui 4\displaystyle 4 până la 100\displaystyle 100, deci numărul lor este [1004]\displaystyle \left[\dfrac{100}{4}\right].
    [1004]=25\displaystyle \left[\dfrac{100}{4}\right]=25
  2. Numărăm elementele divizibile cu 5\displaystyle 5 din mulțimea A\displaystyle A. Acestea sunt 5,10,…,100\displaystyle 5, 10, \ldots, 100, deci numărul lor este [1005]\displaystyle \left[\dfrac{100}{5}\right].
    [1005]=20\displaystyle \left[\dfrac{100}{5}\right]=20
  3. Elementele divizibile cu 4\displaystyle 4 și cu 5\displaystyle 5 sunt divizibile cu [4,5]=20\displaystyle [4,5]=20, deoarece 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5 sunt prime între ele. Acestea sunt 20,40,60,80,100\displaystyle 20, 40, 60, 80, 100, deci numărul lor este [10020]\displaystyle \left[\dfrac{100}{20}\right].
    [10020]=5\displaystyle \left[\dfrac{100}{20}\right]=5
  4. Aplicăm principiul includerii și excluderii: numărul elementelor divizibile cu 4\displaystyle 4 sau cu 5\displaystyle 5 este suma numerelor de la primii doi pași, din care scădem numărul elementelor numărate de două ori, cele divizibile cu ambele numere. Obținem 25+20−5\displaystyle 25+20-5.
    25+20−5=40\displaystyle 25+20-5=40
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul de coordonate xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(1,−2)\displaystyle M(1,-2), N(−3,−1)\displaystyle N(-3,-1) și P(−1,2)\displaystyle P(-1,2). Determinați coordonatele punctului Q\displaystyle Q astfel încât MNPQ\displaystyle MNPQ să fie paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. Paralelogramul MNPQ\displaystyle MNPQ are vârfurile în această ordine, deci laturile MN\displaystyle MN și QP\displaystyle QP sunt opuse, la fel MQ\displaystyle MQ și NP\displaystyle NP. Condiția este ca vectorii MQ→\displaystyle \overrightarrow{MQ} și NP→\displaystyle \overrightarrow{NP} să fie egali. Notăm coordonatele lui Q\displaystyle Q cu (a,b)\displaystyle (a,b).
    Q(a,b)\displaystyle Q(a,b), MQ→=NP→\displaystyle \ \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}
  2. Scriem vectorul MQ→\displaystyle \overrightarrow{MQ}: scădem coordonatele lui M\displaystyle M din cele ale lui Q\displaystyle Q. Apoi scriem vectorul NP→\displaystyle \overrightarrow{NP}: scădem coordonatele lui N\displaystyle N din cele ale lui P\displaystyle P, adică −1−(−3)=2\displaystyle -1-(-3)=2 și 2−(−1)=3\displaystyle 2-(-1)=3.
    MQ→=(a−1)i⃗+(b+2)j⃗\displaystyle \overrightarrow{MQ}=(a-1)\vec{i}+(b+2)\vec{j}, NP→=2i⃗+3j⃗\displaystyle \ \overrightarrow{NP}=2\vec{i}+3\vec{j}
  3. Doi vectori sunt egali dacă au coordonatele respective egale. Egalăm coordonatele pe x\displaystyle x și pe y\displaystyle y.
    MQ→=NP→⇔a−1=2 și b+2=3\displaystyle \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\Leftrightarrow a-1=2\text{ și }b+2=3
  4. Rezolvăm cele două ecuații: a=2+1=3\displaystyle a=2+1=3 și b=3−2=1\displaystyle b=3-2=1. Deci Q\displaystyle Q are coordonatele (3,1)\displaystyle (3,1).
    Q(3,1)\displaystyle Q(3,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Triunghiul ABC\displaystyle ABC are AB=6\displaystyle AB=6, AC=3\displaystyle AC=3 și BC=5\displaystyle BC=5. Calculați lungimea înălțimii [AD]\displaystyle [AD].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm semiperimetrul triunghiului: p=AB+AC+BC2=6+3+52\displaystyle p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{6+3+5}{2}.
    p=7\displaystyle p=7
  2. Calculăm diferențele din formula lui Heron: p−AB=7−6=1\displaystyle p-AB=7-6=1, p−AC=7−3=4\displaystyle p-AC=7-3=4, p−BC=7−5=2\displaystyle p-BC=7-5=2.
    p−AB=1\displaystyle p-AB=1,  p−AC=4\displaystyle \; p-AC=4,  p−BC=2\displaystyle \; p-BC=2
  3. Aplicăm formula lui Heron: AABC=p(p−AB)(p−AC)(p−BC)=7⋅1⋅4⋅2=56\displaystyle A_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{7\cdot 1\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{56}, iar 56=4⋅14=214\displaystyle \sqrt{56}=\sqrt{4\cdot 14}=2\sqrt{14}.
    AABC=214\displaystyle A_{ABC}=2\sqrt{14}
  4. Scriem aria și cu baza BC\displaystyle BC și înălțimea AD\displaystyle AD: AABC=BC⋅AD2\displaystyle A_{ABC}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}. Egalăm cu aria găsită: 5⋅AD2=214\displaystyle \dfrac{5\cdot AD}{2}=2\sqrt{14}.
    5⋅AD2=214\displaystyle \dfrac{5\cdot AD}{2}=2\sqrt{14}
  5. Rezolvăm ecuația în AD\displaystyle AD: 5⋅AD=414\displaystyle 5\cdot AD=4\sqrt{14}, deci AD=4145\displaystyle AD=\dfrac{4\sqrt{14}}{5}.
    AD=4145\displaystyle AD=\dfrac{4\sqrt{14}}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Fie sistemul {x−2y−8z=−653x+y−3z=22x+y+z=28\displaystyle \begin{cases}x-2y-8z=-65\\3x+y-3z=22\\x+y+z=28\end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} și matricea asociată sistemului A=(1−2−831−3111)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2&-8\\3&1&-3\\1&1&1\end{pmatrix}.

Arătați că rangul matricei A\displaystyle A este egal cu 2.
Vezi rezolvarea
  1. Rangul este 2\displaystyle 2 dacă determinantul matricei de ordinul 3\displaystyle 3 este zero (deci rangul este mai mic decât 3\displaystyle 3) și există un minor de ordinul 2\displaystyle 2 nenul. Calculăm mai întâi determinantul prin regula lui Sarrus.
    det⁡(A)=∣1−2−831−3111∣\displaystyle \det(A)=\begin{vmatrix}1&-2&-8\\3&1&-3\\1&1&1\end{vmatrix}
  2. Suma produselor pe diagonala principală și pe paralelele ei este 1⋅1⋅1+(−2)⋅(−3)⋅1+(−8)⋅3⋅1\displaystyle 1\cdot1\cdot1+(-2)\cdot(-3)\cdot1+(-8)\cdot3\cdot1. Suma produselor pe diagonala secundară și pe paralelele ei este (−8)⋅1⋅1+1⋅(−3)⋅1+(−2)⋅3⋅1\displaystyle (-8)\cdot1\cdot1+1\cdot(-3)\cdot1+(-2)\cdot3\cdot1.
    1+6−24=−17 și −8−3−6=−17\displaystyle 1+6-24=-17\text{ și }-8-3-6=-17
  3. Scădem cele două sume: determinantul este nul, deci rangul matricei este cel mult 2\displaystyle 2.
    det⁡(A)=−17−(−17)=0\displaystyle \det(A)=-17-(-17)=0
  4. Alegem minorul de ordinul 2\displaystyle 2 format din primele două linii și primele două coloane și îl calculăm. Este nenul, deci rangul este cel puțin 2\displaystyle 2. Cum det⁡(A)=0\displaystyle \det(A)=0, rangul este exact 2\displaystyle 2.
    ∣1−231∣=1⋅1−(−2)⋅3=7≠0, deci rang⁡(A)=2\displaystyle \begin{vmatrix}1&-2\\3&1\end{vmatrix}=1\cdot1-(-2)\cdot3=7\neq0\text{, deci }\operatorname{rang}(A)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Fie sistemul {x−2y−8z=−653x+y−3z=22x+y+z=28\displaystyle \begin{cases}x-2y-8z=-65\\3x+y-3z=22\\x+y+z=28\end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} și matricea asociată sistemului A=(1−2−831−3111)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2&-8\\3&1&-3\\1&1&1\end{pmatrix}.

Rezolvați sistemul în R×R×R\displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului: det⁡A=1⋅(1+3)+2⋅(3+3)−8⋅(3−1)\displaystyle \det A=1\cdot(1+3)+2\cdot(3+3)-8\cdot(3-1). Dacă este zero, sistemul nu are soluție unică.
    det⁡A=4+12−16=0\displaystyle \det A=4+12-16=0
  2. Minorul format din liniile 2 și 3 și coloanele 1 și 2 este nenul, deci rangul matricei A\displaystyle A este 2\displaystyle 2.
    ∣3111∣=2≠0⇒rang⁡A=2\displaystyle \begin{vmatrix}3&1\\1&1\end{vmatrix}=2\neq 0\Rightarrow \operatorname{rang}A=2
  3. Verificăm compatibilitatea: prima ecuație este combinație liniară a celorlalte două, inclusiv la termenii liberi, adică 32⋅22−72⋅28=−65\displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot 22-\dfrac{7}{2}\cdot 28=-65. Deci rangul matricei extinse este tot 2\displaystyle 2, iar sistemul este compatibil nedeterminat.
    L1=32L2−72L3 ⇒ sistem compatibil \displaystyle L_1=\tfrac{3}{2}L_2-\tfrac{7}{2}L_3\ \Rightarrow\ \text{sistem compatibil }nedeterminat\displaystyle \text{nedeterminat}
  4. Rangul fiind 2\displaystyle 2, luăm z=α\displaystyle z=\alpha ca necunoscută secundară și păstrăm ecuațiile a doua și a treia, cu minorul principal nenul. Obținem sistemul în x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    {3x+y=22+3αx+y=28−α\displaystyle \begin{cases}3x+y=22+3\alpha\\ x+y=28-\alpha\end{cases}
  5. Scădem a doua ecuație din prima: 2x=22+3α−28+α\displaystyle 2x=22+3\alpha-28+\alpha, deci aflăm x\displaystyle x.
    2x=4α−6⇒x=2α−3\displaystyle 2x=4\alpha-6\Rightarrow x=2\alpha-3
  6. Înlocuim x\displaystyle x în ecuația x+y=28−α\displaystyle x+y=28-\alpha și aflăm y\displaystyle y. Soluția depinde de parametrul real α\displaystyle \alpha.
    y=28−α−(2α−3)=31−3α\displaystyle y=28-\alpha-(2\alpha-3)=31-3\alpha,x=2α−3\displaystyle \quad x=2\alpha-3, y=31−3α\displaystyle \ y=31-3\alpha, z=α\displaystyle \ z=\alpha, α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Fie sistemul {x−2y−8z=−653x+y−3z=22x+y+z=28\displaystyle \begin{cases}x-2y-8z=-65\\3x+y-3z=22\\x+y+z=28\end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} și matricea asociată sistemului A=(1−2−831−3111)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2&-8\\3&1&-3\\1&1&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulțimea N×N×N\displaystyle \mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\mathbb{N}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A, ca să vedem dacă sistemul are soluție unică. Dezvoltăm după prima linie: 1⋅4+2⋅6−8⋅2\displaystyle 1\cdot 4+2\cdot 6-8\cdot 2. Rezultatul este 0\displaystyle 0, deci sistemul nu are soluție unică și trebuie să îi găsim soluția generală, cu un parametru.
    det⁡A=4+12−16=0\displaystyle \det A=4+12-16=0
  2. Notăm z=α\displaystyle z=\alpha. Din a treia ecuație, x+y=28−α\displaystyle x+y=28-\alpha. Din a doua ecuație, 3x+y=22+3α\displaystyle 3x+y=22+3\alpha. Scădem prima relație din a doua și obținem 2x=4α−6\displaystyle 2x=4\alpha-6, deci x=2α−3\displaystyle x=2\alpha-3. Apoi y=28−α−x=31−3α\displaystyle y=28-\alpha-x=31-3\alpha. Verificăm în prima ecuație: 2α−3−2(31−3α)−8α=−65\displaystyle 2\alpha-3-2(31-3\alpha)-8\alpha=-65, deci soluția generală este corectă.
    (x,y,z)=(2α−3, 31−3α, α)\displaystyle (x,y,z)=(2\alpha-3,\ 31-3\alpha,\ \alpha), α∈R\displaystyle \ \alpha\in\mathbb{R}
  3. Soluția este în N×N×N\displaystyle \mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\mathbb{N} dacă toate cele trei componente sunt numere naturale. Impunem mai întâi ca ele să fie nenegative.
    x=2α−3≥0\displaystyle x=2\alpha-3\ge 0, y=31−3α≥0\displaystyle \ y=31-3\alpha\ge 0, z=α≥0\displaystyle \ z=\alpha\ge 0
  4. Rezolvăm inegalitățile. Din 2α−3≥0\displaystyle 2\alpha-3\ge 0 obținem α≥32\displaystyle \alpha\ge\dfrac{3}{2}. Din 31−3α≥0\displaystyle 31-3\alpha\ge 0 obținem α≤313\displaystyle \alpha\le\dfrac{31}{3}. Condiția α≥0\displaystyle \alpha\ge 0 este inclusă în prima.
    32≤α≤313\displaystyle \frac{3}{2}\le\alpha\le\frac{31}{3}
  5. Deoarece z=α\displaystyle z=\alpha și trebuie să fie număr natural, α\displaystyle \alpha este număr natural. Avem 32=1,5\displaystyle \dfrac{3}{2}=1{,}5 și 313≈10,33\displaystyle \dfrac{31}{3}\approx 10{,}33, deci α\displaystyle \alpha ia valorile întregi de la 2\displaystyle 2 la 10\displaystyle 10. Pentru aceste valori, x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt tot întregi, deci naturale.
    α∈{2,3,4,…,10}\displaystyle \alpha\in\{2,3,4,\ldots,10\}
  6. Fiecare valoare a lui α\displaystyle \alpha dă o soluție distinctă. Numărăm valorile de la 2\displaystyle 2 la 10\displaystyle 10: sunt 10−2+1=9\displaystyle 10-2+1=9. Sistemul are 9\displaystyle 9 soluții în N×N×N\displaystyle \mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\mathbb{N}.
    9\displaystyle 9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Fie mulțimea de matrice A={(ab−ba) | a,b∈Z5}\displaystyle A=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b\in\mathbb{Z}_5\right\}.

Determinați numărul elementelor mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice din mulțimea A\displaystyle A este determinată în mod unic de perechea (a,b)\displaystyle (a,b), cu a,b∈Z5\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_5. Matricea are pe diagonala principală de două ori elementul a\displaystyle a, iar b\displaystyle b și opusul lui −b\displaystyle -b apar pe cealaltă diagonală.
    M=(ab−ba)↔(a,b)∈Z5×Z5\displaystyle M=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\leftrightarrow(a,b)\in\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_5
  2. Perechi diferite dau matrice diferite, deoarece a\displaystyle a este elementul din colțul stânga sus, iar b\displaystyle b este elementul din colțul dreapta sus. Deci numărul matricelor este egal cu numărul perechilor (a,b)\displaystyle (a,b).
    ∣A∣=∣Z5×Z5∣\displaystyle |A|=|\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_5|
  3. Mulțimea Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 are 5\displaystyle 5 elemente: 0^,1^,2^,3^,4^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}. Pentru a\displaystyle a avem 5\displaystyle 5 posibilități și, independent, pentru b\displaystyle b avem tot 5\displaystyle 5 posibilități.
    card Z5=5\displaystyle \text{card }\mathbb{Z}_5=5
  4. Înmulțim numărul de alegeri pentru a\displaystyle a cu numărul de alegeri pentru b\displaystyle b. Mulțimea A\displaystyle A are 25\displaystyle 25 de elemente.
    ∣A∣=5⋅5=25\displaystyle |A|=5\cdot5=25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Fie mulțimea de matrice A={(ab−ba) | a,b∈Z5}\displaystyle A=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b\in\mathbb{Z}_5\right\}.

Arătați că există o matrice nenulă M∈A\displaystyle M\in A astfel încât (3^1^−1^3^)⋅M=(0^0^0^0^)\displaystyle \begin{pmatrix}\hat{3}&\hat{1}\\-\hat{1}&\hat{3}\end{pmatrix}\cdot M=\begin{pmatrix}\hat{0}&\hat{0}\\\hat{0}&\hat{0}\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm produsul dintre matricea dată și matricea M=(ab−ba)\displaystyle M=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix} cu a,b∈Z5\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}_5, folosind regula linie pe coloană: (3^1^−1^3^)⋅(ab−ba)=(3^a−b3^b+a−a−3^b−b+3^a)\displaystyle \begin{pmatrix}\hat{3}&\hat{1}\\-\hat{1}&\hat{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat{3}a-b&\hat{3}b+a\\-a-\hat{3}b&-b+\hat{3}a\end{pmatrix}.
    (3^a−b3^b+a−a−3^b−b+3^a)\displaystyle \begin{pmatrix}\hat{3}a-b&\hat{3}b+a\\-a-\hat{3}b&-b+\hat{3}a\end{pmatrix}
  2. Impunem ca produsul să fie matricea nulă, deci toate elementele sunt 0^\displaystyle \hat{0}. Din 3^a−b=0^\displaystyle \hat{3}a-b=\hat{0} și −b+3^a=0^\displaystyle -b+\hat{3}a=\hat{0} obținem 3^a=b\displaystyle \hat{3}a=b. Din 3^b+a=0^\displaystyle \hat{3}b+a=\hat{0} și −a−3^b=0^\displaystyle -a-\hat{3}b=\hat{0} obținem 3^b=−a\displaystyle \hat{3}b=-a.
    3^a=b și 3^b=−a\displaystyle \hat{3}a=b\text{ și }\hat{3}b=-a
  3. Verificăm că cele două condiții sunt compatibile. Din b=3^a\displaystyle b=\hat{3}a rezultă 3^b=9^a=4^a\displaystyle \hat{3}b=\hat{9}a=\hat{4}a, iar în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 avem 4^=−1^\displaystyle \hat{4}=-\hat{1}, deci 3^b=−a\displaystyle \hat{3}b=-a. A doua condiție decurge din prima, deci rămâne doar b=3^a\displaystyle b=\hat{3}a.
    b=3^a\displaystyle b=\hat{3}a
  4. Alegem a=1^\displaystyle a=\hat{1}, deci b=3^⋅1^=3^\displaystyle b=\hat{3}\cdot\hat{1}=\hat{3}. Matricea obținută este nenulă, deoarece a=1^≠0^\displaystyle a=\hat{1}\neq\hat{0}.
    a=1^\displaystyle a=\hat{1}, b=3^\displaystyle \ b=\hat{3}
  5. Obținem M=(1^3^−3^1^)∈A\displaystyle M=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{3}\\-\hat{3}&\hat{1}\end{pmatrix}\in A, nenulă. Verificăm: 3^⋅1^−3^=0^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{1}-\hat{3}=\hat{0}, 3^⋅3^+1^=10^=0^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}+\hat{1}=\hat{10}=\hat{0}, −1^−9^=−10^=0^\displaystyle -\hat{1}-\hat{9}=-\hat{10}=\hat{0}, −3^+3^=0^\displaystyle -\hat{3}+\hat{3}=\hat{0}. Deci produsul este matricea nulă, iar matricea M\displaystyle M convine.
    M=(1^3^−3^1^)\displaystyle M=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{3}\\-\hat{3}&\hat{1}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Fie mulțimea de matrice A={(ab−ba) | a,b∈Z5}\displaystyle A=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b\in\mathbb{Z}_5\right\}.

Rezolvați în mulțimea A\displaystyle A ecuația X2=I2\displaystyle X^2=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Luăm X=(xy−yx)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix} cu x,y∈Z5\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}_5 și calculăm X2=X⋅X\displaystyle X^2=X\cdot X.
    X2=(x2−y22xy−2xyx2−y2)\displaystyle X^2=\begin{pmatrix}x^2-y^2&2xy\\-2xy&x^2-y^2\end{pmatrix}
  2. Egalăm X2=I2\displaystyle X^2=I_2. Rezultă x2−y2=1^\displaystyle x^2-y^2=\hat{1} și 2xy=0^\displaystyle 2xy=\hat{0}. Cum 2\displaystyle 2 este inversabil în Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 (inversul lui 2^\displaystyle \hat{2} este 3^\displaystyle \hat{3}), obținem xy=0^\displaystyle xy=\hat{0}.
    x2−y2=1^ și xy=0^\displaystyle x^2-y^2=\hat{1}\text{ și }xy=\hat{0}
  3. Deoarece Z5\displaystyle \mathbb{Z}_5 este corp, din xy=0^\displaystyle xy=\hat{0} rezultă x=0^\displaystyle x=\hat{0} sau y=0^\displaystyle y=\hat{0}. Tratăm cele două cazuri.
    x=0^ sau y=0^\displaystyle x=\hat{0}\text{ sau }y=\hat{0}
  4. Cazul x=0^\displaystyle x=\hat{0}: ecuația x2−y2=1^\displaystyle x^2-y^2=\hat{1} devine −y2=1^\displaystyle -y^2=\hat{1}, deci y2=−1^=4^\displaystyle y^2=-\hat{1}=\hat{4}. Verificăm: 2^2=4^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4} și 3^2=9^=4^\displaystyle \hat{3}^2=\hat{9}=\hat{4}, iar 0^2=0^\displaystyle \hat{0}^2=\hat{0}, 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}, 4^2=16^=1^\displaystyle \hat{4}^2=\hat{16}=\hat{1} nu convin.
    x=0^⇒y2=4^⇒y∈{2^;3^}\displaystyle x=\hat{0}\Rightarrow y^2=\hat{4}\Rightarrow y\in\{\hat{2};\hat{3}\}
  5. Cazul y=0^\displaystyle y=\hat{0}: ecuația devine x2=1^\displaystyle x^2=\hat{1}. Cum 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1} și 4^2=16^=1^\displaystyle \hat{4}^2=\hat{16}=\hat{1}, iar 0^2\displaystyle \hat{0}^2, 2^2\displaystyle \hat{2}^2, 3^2\displaystyle \hat{3}^2 nu dau 1^\displaystyle \hat{1}, obținem x∈{1^;4^}\displaystyle x\in\{\hat{1};\hat{4}\}.
    y=0^⇒x2=1^⇒x∈{1^;4^}\displaystyle y=\hat{0}\Rightarrow x^2=\hat{1}\Rightarrow x\in\{\hat{1};\hat{4}\}
  6. Scriem matricele corespunzătoare perechilor (x,y)\displaystyle (x,y): (0^,2^)\displaystyle (\hat{0},\hat{2}), (0^,3^)\displaystyle (\hat{0},\hat{3}), (1^,0^)\displaystyle (\hat{1},\hat{0}), (4^,0^)\displaystyle (\hat{4},\hat{0}). Acestea sunt soluțiile ecuației în A\displaystyle A.
    X∈{(0^2^−2^0^),(0^3^−3^0^),(1^0^0^1^),(4^0^0^4^)}\displaystyle X\in\left\{\begin{pmatrix}\hat{0}&\hat{2}\\-\hat{2}&\hat{0}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\hat{0}&\hat{3}\\-\hat{3}&\hat{0}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{0}\\\hat{0}&\hat{1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\hat{4}&\hat{0}\\\hat{0}&\hat{4}\end{pmatrix}\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=arctg⁡xx+1\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}\frac{x}{x+1}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, deci calculăm lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x). Dacă limita este finită, ea dă ecuația asimptotei orizontale.
    lim⁡x→+∞arctg⁡xx+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{x+1}
  2. Calculăm limita argumentului lui arctg⁡\displaystyle \operatorname{arctg}. Împărțim numărătorul și numitorul la x\displaystyle x:
    lim⁡x→+∞xx+1=lim⁡x→+∞11+1x=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}=1
  3. Funcția arctg⁡\displaystyle \operatorname{arctg} este continuă, deci putem trece limita în interiorul ei. Obținem arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}.
    lim⁡x→+∞f(x)=arctg⁡1=π4\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}
  4. Limita este finită, deci graficul lui f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=π4\displaystyle y=\dfrac{\pi}{4}.
    y=π4\displaystyle y=\dfrac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=arctg⁡xx+1\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}\frac{x}{x+1}.

Studiați monotonia funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este R∖{−1}\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-1\}. Notăm u(x)=xx+1\displaystyle u(x)=\dfrac{x}{x+1}, deci f(x)=arctg⁡u(x)\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}u(x) și f′(x)=u′(x)1+u2(x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1+u^{2}(x)}.
    f′(x)=u′(x)1+u2(x)\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)}{1+u^{2}(x)},u(x)=xx+1\displaystyle \quad u(x)=\dfrac{x}{x+1}
  2. Calculăm u′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2\displaystyle u'(x)=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}.
    u′(x)=1(x+1)2\displaystyle u'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}
  3. Avem 1+u2(x)=1+x2(x+1)2=(x+1)2+x2(x+1)2=2x2+2x+1(x+1)2\displaystyle 1+u^{2}(x)=1+\dfrac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{(x+1)^{2}+x^{2}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+2x+1}{(x+1)^{2}}.
    1+u2(x)=2x2+2x+1(x+1)2\displaystyle 1+u^{2}(x)=\dfrac{2x^{2}+2x+1}{(x+1)^{2}}
  4. Atunci f′(x)=1(x+1)2⋅(x+1)22x2+2x+1=12x2+2x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\cdot\dfrac{(x+1)^{2}}{2x^{2}+2x+1}=\dfrac{1}{2x^{2}+2x+1}, pentru x∈R∖{−1}\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
    f′(x)=12x2+2x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2x^{2}+2x+1}
  5. Trinomul 2x2+2x+1\displaystyle 2x^{2}+2x+1 are Δ=22−4⋅2⋅1=−4<0\displaystyle \Delta=2^{2}-4\cdot 2\cdot 1=-4<0 și coeficientul dominant 2>0\displaystyle 2>0, deci este pozitiv pentru orice x\displaystyle x real.
    Δ=−4<0⇒2x2+2x+1>0\displaystyle \Delta=-4<0\Rightarrow 2x^{2}+2x+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  6. Cum numărătorul este 1>0\displaystyle 1>0 și numitorul este pozitiv, rezultă f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R∖{−1}\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
    2x2+2x+1>0 pentru orice x real, deci f′(x)>0\displaystyle 2x^2+2x+1>0\text{ pentru orice }x\text{ real, deci }f'(x)>0, ∀x∈R∖{−1}\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}
  7. Domeniul este (−∞,−1)∪(−1,+∞)\displaystyle (-\infty,-1)\cup(-1,+\infty) și f′>0\displaystyle f'>0 pe fiecare interval, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe fiecare dintre ele (nu pe întreg domeniul, deoarece −1\displaystyle -1 lipsește).
    f strict cresca˘toare pe (−∞,−1) și pe (−1,+∞)\displaystyle f\text{ strict crescătoare pe }(-\infty,-1)\text{ și pe }(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=arctg⁡xx+1\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}\frac{x}{x+1}.

Determinați punctele de inflexiune ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm u(x)=xx+1\displaystyle u(x)=\dfrac{x}{x+1} și calculăm u′(x)\displaystyle u'(x) cu formula derivatei unui raport, pentru x≠−1\displaystyle x\neq -1.
    u′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2\displaystyle u'(x)=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}
  2. Aplicăm formula (arctg⁡u)′=u′1+u2\displaystyle \left(\operatorname{arctg}u\right)'=\dfrac{u'}{1+u^{2}}, apoi amplificăm cu (x+1)2\displaystyle (x+1)^{2} și simplificăm.
    f′(x)=1(x+1)21+x2(x+1)2=1(x+1)2+x2=12x2+2x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{1}{(x+1)^{2}}}{1+\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}+x^{2}}=\dfrac{1}{2x^{2}+2x+1}
  3. Derivăm încă o dată, scriind f′(x)=(2x2+2x+1)−1\displaystyle f'(x)=\left(2x^{2}+2x+1\right)^{-1}. Derivata lui 2x2+2x+1\displaystyle 2x^{2}+2x+1 este 4x+2=2(2x+1)\displaystyle 4x+2=2(2x+1).
    f′′(x)=−4x+2(2x2+2x+1)2=−2(2x+1)(2x2+2x+1)2\displaystyle f''(x)=-\dfrac{4x+2}{(2x^{2}+2x+1)^{2}}=\dfrac{-2(2x+1)}{(2x^{2}+2x+1)^{2}}, x≠−1\displaystyle \ x\neq -1
  4. Numitorul este strict pozitiv, deoarece trinomul 2x2+2x+1\displaystyle 2x^{2}+2x+1 are Δ=4−8=−4<0\displaystyle \Delta=4-8=-4<0 și coeficientul dominant pozitiv. Deci f′′(x)=0\displaystyle f''(x)=0 doar când numărătorul se anulează: −2(2x+1)=0\displaystyle -2(2x+1)=0.
    f′′(x)=0⇔2x+1=0⇔x=−12\displaystyle f''(x)=0\Leftrightarrow 2x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}
  5. Semnul lui f′′\displaystyle f'' este dat de −2(2x+1)\displaystyle -2(2x+1), deoarece numitorul este pozitiv. Pentru x<−12\displaystyle x<-\dfrac{1}{2}, x≠−1\displaystyle x\neq -1, avem f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0, deci f\displaystyle f este convexă. Pentru x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2} avem f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0, deci f\displaystyle f este concavă. Semnul se schimbă în x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}, care aparține domeniului.
    f′′>0 pe (−∞,−1)∪(−1,−12)\displaystyle f''>0\text{ pe }(-\infty,-1)\cup\left(-1,-\tfrac{1}{2}\right),f′′<0 pe (−12,∞)\displaystyle \quad f''<0\text{ pe }\left(-\tfrac{1}{2},\infty\right)
  6. Funcția este continuă și derivabilă în −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}, iar f′′\displaystyle f'' își schimbă semnul acolo, deci x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2} este punct de inflexiune. Ordonata punctului este f(−12)=arctg⁡(−1)=−π4\displaystyle f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\operatorname{arctg}(-1)=-\dfrac{\pi}{4}.
    x=−12 (punctul (−12,−π4))\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}\ \left(\text{punctul }\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\pi}{4}\right)\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Fie șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1}, In=∫nn+12x−1x dx\displaystyle I_n=\int_n^{n+1}\frac{2x-1}{x}\,dx.

Arătați că șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} este strict crescător.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim numărătorul la x\displaystyle x: 2x−1x=2−1x\displaystyle \dfrac{2x-1}{x}=2-\dfrac{1}{x}, deci In=∫nn+1(2−1x)dx\displaystyle I_n=\int_n^{n+1}\left(2-\dfrac{1}{x}\right)dx.
    In=∫nn+1(2−1x)dx\displaystyle I_n=\int_n^{n+1}\left(2-\frac{1}{x}\right)dx
  2. O primitivă a funcției este 2x−ln⁡x\displaystyle 2x-\ln x, iar pentru x>0\displaystyle x>0 aplicăm formula Leibniz-Newton: In=(2x−ln⁡x)∣nn+1=2(n+1)−ln⁡(n+1)−2n+ln⁡n\displaystyle I_n=(2x-\ln x)\Big|_n^{n+1}=2(n+1)-\ln(n+1)-2n+\ln n.
    In=2(n+1)−ln⁡(n+1)−2n+ln⁡n\displaystyle I_n=2(n+1)-\ln(n+1)-2n+\ln n
  3. Reducem 2n\displaystyle 2n și grupăm logaritmii: ln⁡n−ln⁡(n+1)=−ln⁡n+1n\displaystyle \ln n-\ln(n+1)=-\ln\dfrac{n+1}{n}.
    In=2−ln⁡n+1n\displaystyle I_n=2-\ln\frac{n+1}{n}
  4. Înlocuim n\displaystyle n cu n+1\displaystyle n+1: In+1=2−ln⁡n+2n+1\displaystyle I_{n+1}=2-\ln\dfrac{n+2}{n+1}. Atunci In+1−In=2−ln⁡n+2n+1−2+ln⁡n+1n\displaystyle I_{n+1}-I_n=2-\ln\dfrac{n+2}{n+1}-2+\ln\dfrac{n+1}{n}.
    In+1−In=ln⁡n+1n−ln⁡n+2n+1\displaystyle I_{n+1}-I_n=\ln\frac{n+1}{n}-\ln\frac{n+2}{n+1}
  5. Folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}: In+1−In=ln⁡(n+1n⋅n+1n+2)\displaystyle I_{n+1}-I_n=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\cdot\dfrac{n+1}{n+2}\right).
    In+1−In=ln⁡(n+1)2n(n+2)\displaystyle I_{n+1}-I_n=\ln\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}
  6. Numărătorul este n2+2n+1\displaystyle n^2+2n+1, iar numitorul n2+2n\displaystyle n^2+2n, deci argumentul este 1+1n2+2n>1\displaystyle 1+\dfrac{1}{n^2+2n}>1 pentru orice n≥1\displaystyle n\ge1. Deci logaritmul este pozitiv, adică In+1>In\displaystyle I_{n+1}>I_n, iar șirul (In)\displaystyle (I_n) este strict crescător.
    In+1−In=ln⁡n2+2n+1n2+2n=ln⁡(1+1n2+2n)>0\displaystyle I_{n+1}-I_n=\ln\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}=\ln\left(1+\frac{1}{n^2+2n}\right)>0, ∀n∈N∗\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Fie șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1}, In=∫nn+12x−1x dx\displaystyle I_n=\int_n^{n+1}\frac{2x-1}{x}\,dx.

Arătați că șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1} este mărginit.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm fracția de sub integrală: 2x−1x=2−1x\displaystyle \dfrac{2x-1}{x}=2-\dfrac{1}{x}.
    2x−1x=2−1x\displaystyle \frac{2x-1}{x}=2-\frac{1}{x}
  2. Calculăm integrala cu primitiva 2x−ln⁡x\displaystyle 2x-\ln x (pentru x>0\displaystyle x>0) și formula Leibniz-Newton: In=(2x−ln⁡x)∣nn+1\displaystyle I_n=\left(2x-\ln x\right)\Big|_n^{n+1}.
    In=2(n+1)−ln⁡(n+1)−2n+ln⁡n\displaystyle I_n=2(n+1)-\ln(n+1)-2n+\ln n
  3. Reducem termenii și grupăm logaritmii: In=2−(ln⁡(n+1)−ln⁡n)=2−ln⁡n+1n\displaystyle I_n=2-\left(\ln(n+1)-\ln n\right)=2-\ln\dfrac{n+1}{n}.
    In=2−ln⁡n+1n\displaystyle I_n=2-\ln\frac{n+1}{n}
  4. Mărginim raportul: n+1n=1+1n>1\displaystyle \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}>1, iar pentru n≥1\displaystyle n\ge1 avem 1n≤1\displaystyle \dfrac{1}{n}\le1, deci n+1n≤2<e\displaystyle \dfrac{n+1}{n}\le2<e. Funcția ln⁡\displaystyle \ln fiind strict crescătoare, rezultă ln⁡1<ln⁡n+1n<ln⁡e\displaystyle \ln 1<\ln\dfrac{n+1}{n}<\ln e.
    1<n+1n≤2<e⇒0<ln⁡n+1n<1\displaystyle 1<\frac{n+1}{n}\le2<e\Rightarrow0<\ln\frac{n+1}{n}<1
  5. Din 0<ln⁡n+1n<1\displaystyle 0<\ln\dfrac{n+1}{n}<1 rezultă, înmulțind cu −1\displaystyle -1, că −1<−ln⁡n+1n<0\displaystyle -1<-\ln\dfrac{n+1}{n}<0. Adunăm 2\displaystyle 2 la fiecare membru.
    1<2−ln⁡n+1n<2\displaystyle 1<2-\ln\frac{n+1}{n}<2
  6. Cum In=2−ln⁡n+1n\displaystyle I_n=2-\ln\dfrac{n+1}{n}, obținem că șirul este mărginit, având marginile 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    1<In<2\displaystyle 1<I_n<2, ∀n∈N∗\displaystyle \ \forall n\in\mathbb{N}^*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Fie șirul (In)n≥1\displaystyle (I_n)_{n\ge1}, In=∫nn+12x−1x dx\displaystyle I_n=\int_n^{n+1}\frac{2x-1}{x}\,dx.

Calculați lim⁡n→+∞n(2−In)\displaystyle \lim_{n\to+\infty}n(2-I_n).
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim numărătorul la x\displaystyle x: 2x−1x=2−1x\displaystyle \dfrac{2x-1}{x}=2-\dfrac{1}{x}.
    2x−1x=2−1x\displaystyle \frac{2x-1}{x}=2-\frac{1}{x}
  2. O primitivă a funcției este 2x−ln⁡x\displaystyle 2x-\ln x, deci In=(2x−ln⁡x)∣nn+1=2(n+1)−ln⁡(n+1)−2n+ln⁡n\displaystyle I_n=\left(2x-\ln x\right)\Big|_n^{n+1}=2(n+1)-\ln(n+1)-2n+\ln n.
    In=2−ln⁡n+1n\displaystyle I_n=2-\ln\frac{n+1}{n}
  3. Avem 2−In=ln⁡n+1n\displaystyle 2-I_n=\ln\dfrac{n+1}{n}, deci n(2−In)=nln⁡n+1n\displaystyle n(2-I_n)=n\ln\dfrac{n+1}{n}.
    lim⁡n→∞n(2−In)=lim⁡n→∞nln⁡n+1n\displaystyle \lim_{n\to\infty}n(2-I_n)=\lim_{n\to\infty}n\ln\frac{n+1}{n}
  4. Cum n+1n=1+1n\displaystyle \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}, iar nln⁡a=ln⁡an\displaystyle n\ln a=\ln a^{n}, obținem nln⁡n+1n=ln⁡(1+1n)n\displaystyle n\ln\dfrac{n+1}{n}=\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}.
    nln⁡n+1n=ln⁡(1+1n)n\displaystyle n\ln\frac{n+1}{n}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
  5. Deoarece (1+1n)n→e\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e și ln⁡\displaystyle \ln este continuă, limita este ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1.
    lim⁡n→∞ln⁡(1+1n)n=ln⁡e=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\ln e=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.