Bac matematică M1 mate-info 2016, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că numerele 24\displaystyle 24, 1020\displaystyle 1020 și a\displaystyle a sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim proprietatea progresiei aritmetice: dacă trei numere sunt termeni consecutivi, termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi. Aici termenul din mijloc este 1020\displaystyle 1020, deci 1020=24+a2\displaystyle 1020=\dfrac{24+a}{2}.
    1020=24+a2\displaystyle 1020=\dfrac{24+a}{2}
  2. Înmulțim egalitatea cu 2\displaystyle 2 și obținem relația dintre 24\displaystyle 24, a\displaystyle a și dublul lui 1020\displaystyle 1020.
    24+a=2⋅1020\displaystyle 24+a=2\cdot 1020
  3. Calculăm 2⋅1020=2040\displaystyle 2\cdot 1020=2040, apoi scădem 24\displaystyle 24 din ambii membri ca să-l izolăm pe a\displaystyle a. Obținem a=2040−24\displaystyle a=2040-24, adică a=2016\displaystyle a=2016.
    a=2040−24=2016\displaystyle a=2040-24=2016
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că parabola asociată funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x+m\displaystyle f(x)=x^2+4x+m este tangentă axei Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Parabola asociată funcției este tangentă axei Ox\displaystyle Ox atunci când ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are o singură soluție reală (rădăcină dublă), adică discriminantul este egal cu zero: Δ=0\displaystyle \Delta=0.
    Δ=0\displaystyle \Delta=0
  2. Identificăm coeficienții funcției de gradul al doilea: a=1\displaystyle a=1, b=4\displaystyle b=4, c=m\displaystyle c=m.
    a=1\displaystyle a=1, b=4\displaystyle \ b=4, c=m\displaystyle \ c=m
  3. Calculăm discriminantul după formula Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac: Δ=42−4⋅1⋅m\displaystyle \Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot m.
    Δ=16−4m\displaystyle \Delta=16-4m
  4. Punem condiția ca discriminantul să fie zero: 16−4m=0\displaystyle 16-4m=0, deci 4m=16\displaystyle 4m=16, de unde m=4\displaystyle m=4. Într-adevăr, pentru m=4\displaystyle m=4 avem f(x)=(x+2)2\displaystyle f(x)=(x+2)^{2}, al cărei grafic atinge axa Ox\displaystyle Ox în punctul (−2,0)\displaystyle (-2,0).
    16−4m=0⇒m=4\displaystyle 16-4m=0\Rightarrow m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (13)2x−3=27\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-3}=27.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza ca putere a lui 3: 13=3−1\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1}.
    13=3−1\displaystyle \dfrac{1}{3}=3^{-1}
  2. Scriem și membrul drept ca putere a lui 3: 27=33\displaystyle 27=3^{3}.
    27=33\displaystyle 27=3^{3}
  3. Înlocuim în ecuație: (3−1)2x−3=33\displaystyle \left(3^{-1}\right)^{2x-3}=3^{3}. Din regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn} obținem 3−(2x−3)=33\displaystyle 3^{-(2x-3)}=3^{3}. Bazele fiind egale, egalăm exponenții: −2x+3=3\displaystyle -2x+3=3.
    (3−1)2x−3=33⇔−2x+3=3\displaystyle \left(3^{-1}\right)^{2x-3}=3^{3}\Leftrightarrow -2x+3=3
  4. Scădem 3 din ambii membri: −2x=0\displaystyle -2x=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,25}\displaystyle A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots,\sqrt{25}\}, acesta să fie număr rațional.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A\displaystyle A are un element pentru fiecare număr natural de la 1\displaystyle 1 la 25\displaystyle 25, deci 25\displaystyle 25 de elemente.
    cazuri posibile=25\displaystyle \text{cazuri posibile}=25
  2. Un număr de forma n\displaystyle \sqrt{n}, cu n\displaystyle n natural, este rațional doar dacă n\displaystyle n este pătrat perfect. Altfel radicalul este irațional.
    n∈Q  ⟺  n pa˘trat perfect\displaystyle \sqrt{n}\in\mathbb{Q}\iff n\text{ pătrat perfect}
  3. Scriem pătratele perfecte de la 1\displaystyle 1 la 25\displaystyle 25: 1,4,9,16,25\displaystyle 1, 4, 9, 16, 25. Numerele raționale din A\displaystyle A sunt 1,4,9,16,25\displaystyle \sqrt{1},\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{16},\sqrt{25}, adică 1,2,3,4,5\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5. Sunt 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    cazuri favorabile=5\displaystyle \text{cazuri favorabile}=5
  4. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=525\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{5}{25}, apoi simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5.
    p=525=15\displaystyle p=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,1)\displaystyle A(0,1), B(−2,−1)\displaystyle B(-2,-1) și C(2,3)\displaystyle C(2,3). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A\displaystyle A și este perpendiculară pe dreapta BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC cu formula mBC=yC−yBxC−xB\displaystyle m_{BC}=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}, folosind B(−2,−1)\displaystyle B(-2,-1) și C(2,3)\displaystyle C(2,3).
    mBC=3−(−1)2−(−2)=44=1\displaystyle m_{BC}=\dfrac{3-(-1)}{2-(-2)}=\dfrac{4}{4}=1
  2. Dreapta căutată d\displaystyle d este perpendiculară pe BC\displaystyle BC, deci md⋅mBC=−1\displaystyle m_d\cdot m_{BC}=-1. Cum mBC=1\displaystyle m_{BC}=1, obținem panta lui d\displaystyle d.
    md⋅1=−1⇒md=−1\displaystyle m_d\cdot 1=-1\Rightarrow m_d=-1
  3. Scriem ecuația dreptei prin A(0,1)\displaystyle A(0,1) cu panta md=−1\displaystyle m_d=-1, folosind y−yA=md(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_d(x-x_A).
    y−1=−1⋅(x−0)\displaystyle y-1=-1\cdot(x-0)
  4. Simplificăm: y−1=−x\displaystyle y-1=-x, deci ecuația dreptei căutate este:
    y=−x+1\displaystyle y=-x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC\displaystyle ABC, în care m(∠A)=45∘\displaystyle m(\angle A)=45^\circ și BC=22\displaystyle BC=2\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre latura BC\displaystyle BC și sinusul unghiului opus A\displaystyle A este egal cu diametrul cercului circumscris, adică 2R\displaystyle 2R.
    BCsin⁡A=2R\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=2R
  2. Aflăm valoarea sinusului: sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡A=sin⁡45∘=22\displaystyle \sin A=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim BC=22\displaystyle BC=2\sqrt{2} și sin⁡A=22\displaystyle \sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} în formulă și îl exprimăm pe R\displaystyle R.
    R=BC2sin⁡A=222⋅22\displaystyle R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}
  4. Simplificăm: la numitor, 2⋅22=2\displaystyle 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, iar 2\displaystyle \sqrt{2} se simplifică cu cel de la numărător.
    R=222=2\displaystyle R=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa21−1111−a)A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & a^2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+a2z=0x−y+z=2x+y−az=−4\begin{cases}x+ay+a^2z=0\\ x-y+z=2\\ x+y-az=-4\end{cases} unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−1\displaystyle \det(A(0))=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Prima linie devine (1, 0, 0)\displaystyle (1,\ 0,\ 0), a doua rămâne (1, −1, 1)\displaystyle (1,\ -1,\ 1), iar a treia devine (1, 1, 0)\displaystyle (1,\ 1,\ 0), pentru că −a=0\displaystyle -a=0.
    A(0)=(1001−11110)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&-1&1\\1&1&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣1001−11110∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0&0\\1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula triunghiului. Produsele pe diagonala principală și pe cele două paralele cu ea sunt: 1⋅(−1)⋅0\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 0, 0⋅1⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1 și 0⋅1⋅1\displaystyle 0\cdot 1\cdot 1. Toate sunt egale cu 0\displaystyle 0.
    1⋅(−1)⋅0+0⋅1⋅1+0⋅1⋅1=0+0+0=0\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 0+0\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1=0+0+0=0
  4. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 0⋅(−1)⋅1\displaystyle 0\cdot(-1)\cdot 1, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 0⋅1⋅0\displaystyle 0\cdot 1\cdot 0. Rezultă 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0.
    0⋅(−1)⋅1+1⋅1⋅1+0⋅1⋅0=0+1+0=1\displaystyle 0\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 0=0+1+0=1
  5. Scădem suma de la diagonala secundară din suma de la diagonala principală: 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1. Deci determinantul este −1\displaystyle -1, ceea ce trebuia arătat.
    0+0+0−0−1−0=−1\displaystyle 0+0+0-0-1-0=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa21−1111−a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & a^2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+a2z=0x−y+z=2x+y−az=−4\displaystyle \begin{cases}x+ay+a^2z=0\\x-y+z=2\\x+y-az=-4\end{cases} unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a\displaystyle a, a≠−1\displaystyle a\neq -1 și a≠13\displaystyle a\neq \frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)), dezvoltându-l după prima linie: det⁡(A(a))=1⋅∣−111−a∣−a⋅∣111−a∣+a2⋅∣1−111∣\displaystyle \det(A(a))=1\cdot\begin{vmatrix}-1&1\\1&-a\end{vmatrix}-a\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&-a\end{vmatrix}+a^{2}\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}.
    det⁡(A(a))=∣−111−a∣−a∣111−a∣+a2∣1−111∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}-1&1\\1&-a\end{vmatrix}-a\begin{vmatrix}1&1\\1&-a\end{vmatrix}+a^{2}\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}
  2. Calculăm cei trei determinanți de ordin 2: ∣−111−a∣=a−1\displaystyle \begin{vmatrix}-1&1\\1&-a\end{vmatrix}=a-1, ∣111−a∣=−a−1\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\1&-a\end{vmatrix}=-a-1 și ∣1−111∣=2\displaystyle \begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2.
    (a−1, −a−1, 2)\displaystyle \left(a-1,\ -a-1,\ 2\right)
  3. Înlocuim: det⁡(A(a))=(a−1)−a(−a−1)+2a2=a−1+a2+a+2a2=3a2+2a−1\displaystyle \det(A(a))=(a-1)-a(-a-1)+2a^{2}=a-1+a^{2}+a+2a^{2}=3a^{2}+2a-1. Descompunem în factori: 3a2+2a−1=(3a−1)(a+1)\displaystyle 3a^{2}+2a-1=(3a-1)(a+1).
    det⁡(A(a))=3a2+2a−1=(3a−1)(a+1)\displaystyle \det(A(a))=3a^{2}+2a-1=(3a-1)(a+1)
  4. Un produs este nul doar dacă un factor este nul. Factorul 3a−1\displaystyle 3a-1 se anulează doar pentru a=13\displaystyle a=\dfrac{1}{3}, iar a+1\displaystyle a+1 doar pentru a=−1\displaystyle a=-1. Pentru a≠−1\displaystyle a\neq -1 și a≠13\displaystyle a\neq \dfrac{1}{3}, ambii factori sunt nenuli, deci det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0 și matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
    a≠−1 și a≠13⇒det⁡(A(a))=(3a−1)(a+1)≠0\displaystyle a\neq -1\text{ și }a\neq \dfrac{1}{3}\Rightarrow \det(A(a))=(3a-1)(a+1)\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa21−1111−a)A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & a^2\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -a\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+ay+a2z=0x−y+z=2x+y−az=−4\begin{cases}x+ay+a^2z=0\\ x-y+z=2\\ x+y-az=-4\end{cases} unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, pentru care sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0), iar x0=y0\displaystyle x_0=y_0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului. Dezvoltăm după prima linie: det⁡A(a)=(a−1)−a(−a−1)+2a2=3a2+2a−1\displaystyle \det A(a)=(a-1)-a(-a-1)+2a^{2}=3a^{2}+2a-1, care se descompune în (3a−1)(a+1)\displaystyle (3a-1)(a+1).
    det⁡A(a)=3a2+2a−1=(3a−1)(a+1)\displaystyle \det A(a)=3a^{2}+2a-1=(3a-1)(a+1)
  2. Sistemul are soluție unică exact când determinantul este nenul, deci a≠13\displaystyle a\neq \dfrac{1}{3} și a≠−1\displaystyle a\neq -1.
    a∈R∖{−1,13}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1,\dfrac{1}{3}\right\}
  3. Aplicăm regula lui Cramer. Pentru x0\displaystyle x_0 înlocuim prima coloană cu termenii liberi (0,2,−4)\displaystyle (0,2,-4) și obținem Δx=−4a\displaystyle \Delta_x=-4a. Pentru y0\displaystyle y_0 înlocuim a doua coloană și obținem Δy=−6a2−2a+4=−2(3a−2)(a+1)\displaystyle \Delta_y=-6a^{2}-2a+4=-2(3a-2)(a+1). Împărțim la det⁡A(a)=(3a−1)(a+1)\displaystyle \det A(a)=(3a-1)(a+1) și simplificăm cu a+1\displaystyle a+1 în cazul lui y0\displaystyle y_0.
    x0=−4a(3a−1)(a+1)\displaystyle x_0=\dfrac{-4a}{(3a-1)(a+1)}, y0=2(2−3a)3a−1\displaystyle \ y_0=\dfrac{2(2-3a)}{3a-1}
  4. Punem condiția x0=y0\displaystyle x_0=y_0 și înmulțim cu (3a−1)(a+1)\displaystyle (3a-1)(a+1), care este nenul: −4a=2(2−3a)(a+1)\displaystyle -4a=2(2-3a)(a+1).
    −4a=2(2−3a)(a+1)=−6a2−2a+4\displaystyle -4a=2(2-3a)(a+1)=-6a^{2}-2a+4
  5. Aducem totul într-o parte și împărțim la 2: 3a2−a−2=0\displaystyle 3a^{2}-a-2=0. Discriminantul este Δ=1+24=25\displaystyle \Delta=1+24=25, deci a=1±56\displaystyle a=\dfrac{1\pm5}{6}. Ambele valori sunt diferite de 13\displaystyle \dfrac{1}{3} și de −1\displaystyle -1, deci convin.
    3a2−a−2=0\displaystyle 3a^{2}-a-2=0, a=−23 sau a=1\displaystyle \ a=-\dfrac{2}{3}\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−xy+2x+2y−2\displaystyle x\ast y=-xy+2x+2y-2.

Arătați că x∗y=2−(x−2)(y−2)\displaystyle x\ast y=2-(x-2)(y-2), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=−xy+2x+2y−2\displaystyle x\ast y=-xy+2x+2y-2 și scriem termenul liber −2\displaystyle -2 ca −4+2\displaystyle -4+2, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=−xy+2x+2y−4+2\displaystyle x\ast y=-xy+2x+2y-4+2
  2. Grupăm termenii: −xy+2x\displaystyle -xy+2x și 2y−4\displaystyle 2y-4, iar termenul 2\displaystyle 2 rămâne separat.
    x∗y=(−xy+2x)+(2y−4)+2\displaystyle x\ast y=(-xy+2x)+(2y-4)+2
  3. Dăm factor comun: din primul grup −x\displaystyle -x, iar din al doilea grup 2\displaystyle 2. În ambele grupuri apare factorul y−2\displaystyle y-2.
    x∗y=−x(y−2)+2(y−2)+2\displaystyle x\ast y=-x(y-2)+2(y-2)+2
  4. Dăm factor comun pe y−2\displaystyle y-2: rămâne −x+2=−(x−2)\displaystyle -x+2=-(x-2). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(y−2)(−x+2)+2=2−(x−2)(y−2)\displaystyle x\ast y=(y-2)(-x+2)+2=2-(x-2)(y-2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−xy+2x+2y−2\displaystyle x\ast y=-xy+2x+2y-2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, pentru care x∗x=1\displaystyle x\ast x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție într-o formă mai convenabilă. Observăm că (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, deci −xy+2x+2y−2=2−(xy−2x−2y+4)=2−(x−2)(y−2)\displaystyle -xy+2x+2y-2=2-(xy-2x-2y+4)=2-(x-2)(y-2).
    x∗y=2−(x−2)(y−2)\displaystyle x\ast y=2-(x-2)(y-2)
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma obținută și aflăm x∗x\displaystyle x\ast x.
    x∗x=2−(x−2)2\displaystyle x\ast x=2-(x-2)^2
  3. Punem condiția x∗x=1\displaystyle x\ast x=1, adică 2−(x−2)2=1\displaystyle 2-(x-2)^2=1, de unde (x−2)2=2−1\displaystyle (x-2)^2=2-1.
    (x−2)2=1\displaystyle (x-2)^2=1
  4. Din (x−2)2=1\displaystyle (x-2)^2=1 rezultă x−2=1\displaystyle x-2=1 sau x−2=−1\displaystyle x-2=-1, adică x=3\displaystyle x=3 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=−xy+2x+2y−2\displaystyle x\ast y=-xy+2x+2y-2.

Demonstrați că, dacă m\displaystyle m, n\displaystyle n și p\displaystyle p sunt numere întregi astfel încât m∗n∗p=2\displaystyle m\ast n\ast p=2, atunci produsul numerelor m\displaystyle m, n\displaystyle n și p\displaystyle p este divizibil cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție în formă factorizată. Observăm că (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, deci −xy+2x+2y−2=2−(x−2)(y−2)\displaystyle -xy+2x+2y-2=2-(x-2)(y-2).
    x∗y=2−(x−2)(y−2)\displaystyle x\ast y=2-(x-2)(y-2)
  2. Din forma factorizată rezultă x∗y−2=−(x−2)(y−2)\displaystyle x\ast y-2=-(x-2)(y-2). Aplicăm această relație pentru (m∗n)∗p\displaystyle (m\ast n)\ast p: avem m∗n−2=−(m−2)(n−2)\displaystyle m\ast n-2=-(m-2)(n-2), iar (m∗n)∗p−2=−(m∗n−2)(p−2)\displaystyle (m\ast n)\ast p-2=-(m\ast n-2)(p-2). Cele două semne minus se reduc.
    m∗n∗p=2+(m−2)(n−2)(p−2)\displaystyle m\ast n\ast p=2+(m-2)(n-2)(p-2)
  3. Din ipoteză, m∗n∗p=2\displaystyle m\ast n\ast p=2. Înlocuim în relația obținută: 2+(m−2)(n−2)(p−2)=2\displaystyle 2+(m-2)(n-2)(p-2)=2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri.
    (m−2)(n−2)(p−2)=0\displaystyle (m-2)(n-2)(p-2)=0
  4. Un produs de numere reale este zero doar dacă unul dintre factori este zero. Deci m−2=0\displaystyle m-2=0 sau n−2=0\displaystyle n-2=0 sau p−2=0\displaystyle p-2=0, adică unul dintre numere este egal cu 2\displaystyle 2. Atunci produsul mnp\displaystyle mnp are factorul 2\displaystyle 2, iar ceilalți doi factori sunt numere întregi, deci mnp\displaystyle mnp este divizibil cu 2\displaystyle 2.
    m=2 sau n=2 sau p=2 ⇒ 2∣mnp\displaystyle m=2\text{ sau }n=2\text{ sau }p=2\ \Rightarrow\ 2\mid mnp
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+ln⁡x+1\displaystyle f(x)=e^x+\ln x+1.

Arătați că f′(x)=ex+1x\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=ex+ln⁡x+1\displaystyle f(x)=e^x+\ln x+1 este o sumă de trei termeni, deci o derivăm termen cu termen: derivata sumei este suma derivatelor.
    f′(x)=(ex)′+(ln⁡x)′+1′\displaystyle f'(x)=(e^x)'+(\ln x)'+1'
  2. Folosim derivatele funcțiilor elementare: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0, deci 1′=0\displaystyle 1'=0.
    (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle \ (\ln x)'=\frac{1}{x}, 1′=0\displaystyle \ 1'=0
  3. Înlocuim aceste derivate în suma de la început și eliminăm termenul nul. Se obține exact egalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=ex+1x+0=ex+1x\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1}{x}+0=e^x+\frac{1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+ln⁡x+1\displaystyle f(x)=e^x+\ln x+1.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Trebuie deci să calculăm f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1): înlocuim x=1\displaystyle x=1 și folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Obținem f(1)=e1+ln⁡1+1=e+0+1\displaystyle f(1)=e^1+\ln 1+1=e+0+1.
    f(1)=e+1\displaystyle f(1)=e+1
  3. Derivăm funcția: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (1)′=0\displaystyle (1)'=0. Deci f′(x)=ex+1x\displaystyle f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x}, pentru x>0\displaystyle x>0.
    f′(x)=ex+1x\displaystyle f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1): f′(1)=e1+11=e+1\displaystyle f'(1)=e^1+\dfrac{1}{1}=e+1. Astfel, f(1)=e+1\displaystyle f(1)=e+1 și f′(1)=e+1\displaystyle f'(1)=e+1.
    f(1)=e+1\displaystyle f(1)=e+1, f′(1)=e+1\displaystyle \ f'(1)=e+1
  5. Înlocuim valorile în formula tangentei: y−(e+1)=(e+1)(x−1)\displaystyle y-(e+1)=(e+1)(x-1).
    y−(e+1)=(e+1)(x−1)\displaystyle y-(e+1)=(e+1)(x-1)
  6. Desfacem parantezele: y=(e+1)x−(e+1)+(e+1)\displaystyle y=(e+1)x-(e+1)+(e+1). Reducem termenii și obținem ecuația tangentei: y=(e+1)x\displaystyle y=(e+1)x.
    y=(e+1)x\displaystyle y=(e+1)x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex+ln⁡x+1\displaystyle f(x)=e^x+\ln x+1.

Demonstrați că ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are soluție unică în intervalul (0,1)\displaystyle (0,1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=ex+ln⁡x+1\displaystyle f(x)=e^x+\ln x+1 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): f′(x)=ex+1x\displaystyle f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=ex+1x\displaystyle f'(x)=e^{x}+\dfrac{1}{x}
  2. Pentru orice x>0\displaystyle x>0 avem ex>0\displaystyle e^x>0 și 1x>0\displaystyle \dfrac{1}{x}>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Prin urmare f\displaystyle f este strict crescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)>0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)>0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
  3. Funcția f\displaystyle f este continuă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fiind suma dintre ex\displaystyle e^x, ln⁡x\displaystyle \ln x și constanta 1\displaystyle 1, funcții continue pe acest interval.
    f continua˘ pe (0,+∞)\displaystyle f\text{ continuă pe }(0,+\infty)
  4. Calculăm limita la capătul din stânga: lim⁡x→0, x>0ex=1\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}e^x=1 și lim⁡x→0, x>0ln⁡x=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}\ln x=-\infty, deci lim⁡x→0, x>0f(x)=1−∞+1=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=1-\infty+1=-\infty.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=-\infty
  5. Calculăm f(1)=e1+ln⁡1+1=e+0+1=e+1\displaystyle f(1)=e^1+\ln 1+1=e+0+1=e+1, deci f(1)>0\displaystyle f(1)>0.
    f(1)=e+1>0\displaystyle f(1)=e+1>0
  6. Deoarece f\displaystyle f este continuă pe (0,1]\displaystyle (0,1], lim⁡x→0, x>0f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=-\infty și f(1)>0\displaystyle f(1)>0, ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0 are cel puțin o soluție în (0,1)\displaystyle (0,1). Cum f\displaystyle f este strict crescătoare, soluția este unică.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=-\infty, f(1)>0 ⇒ f(x)=0 are soluție unica˘ ıˆn (0,1)\displaystyle \ f(1)>0\ \Rightarrow\ f(x)=0\text{ are soluție unică în }(0,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xn+1x+3 dx.I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+3}\,dx.

Arătați că I0=1+3ln⁡34\displaystyle I_0=1+3\ln\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=0\displaystyle n=0 avem I0=∫01xx+3 dx\displaystyle I_0=\int_0^1\frac{x}{x+3}\,dx.
    I0=∫01xx+3 dx\displaystyle I_0=\int_0^1\frac{x}{x+3}\,dx
  2. La numărător scriem x=(x+3)−3\displaystyle x=(x+3)-3, deci xx+3=(x+3)−3x+3=1−3x+3\displaystyle \frac{x}{x+3}=\frac{(x+3)-3}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}.
    xx+3=1−3x+3\displaystyle \frac{x}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}
  3. Înlocuim în integrală. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 3x+3\displaystyle \frac{3}{x+3} este 3ln⁡(x+3)\displaystyle 3\ln(x+3), deoarece x+3>0\displaystyle x+3>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    I0=∫01(1−3x+3)dx=(x−3ln⁡(x+3))∣01\displaystyle I_0=\int_0^1\left(1-\frac{3}{x+3}\right)dx=\left(x-3\ln(x+3)\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm primitiva în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența: (1−3ln⁡4)−(0−3ln⁡3)\displaystyle (1-3\ln 4)-(0-3\ln 3).
    (1−3ln⁡4)−(0−3ln⁡3)=1−3ln⁡4+3ln⁡3\displaystyle (1-3\ln 4)-(0-3\ln 3)=1-3\ln 4+3\ln 3
  5. Grupăm termenii cu logaritmi: −3ln⁡4+3ln⁡3=3(ln⁡3−ln⁡4)=3ln⁡34\displaystyle -3\ln 4+3\ln 3=3(\ln 3-\ln 4)=3\ln\frac{3}{4}. Deci I0=1+3ln⁡34\displaystyle I_0=1+3\ln\frac{3}{4}.
    I0=1−3ln⁡4+3ln⁡3=1+3ln⁡34\displaystyle I_0=1-3\ln 4+3\ln 3=1+3\ln\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xn+1x+3 dx.I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+3}\,dx.

Demonstrați că In+1+3In=1n+2\displaystyle I_{n+1}+3I_n=\frac{1}{n+2}, pentru orice număr natural n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim n\displaystyle n cu n+1\displaystyle n+1 în definiție și obținem In+1=∫01xn+2x+3 dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\dfrac{x^{n+2}}{x+3}\,dx, iar In=∫01xn+1x+3 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\dfrac{x^{n+1}}{x+3}\,dx.
    In+1=∫01xn+2x+3 dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^{n+2}}{x+3}\,dx
  2. Integralele au aceleași limite și același numitor, deci le reunim: In+1+3In=∫01xn+2+3xn+1x+3 dx\displaystyle I_{n+1}+3I_n=\int_0^1\dfrac{x^{n+2}+3x^{n+1}}{x+3}\,dx.
    In+1+3In=∫01xn+2+3xn+1x+3 dx\displaystyle I_{n+1}+3I_n=\int_0^1\frac{x^{n+2}+3x^{n+1}}{x+3}\,dx
  3. La numărător dăm factor comun xn+1\displaystyle x^{n+1}: xn+2+3xn+1=xn+1(x+3)\displaystyle x^{n+2}+3x^{n+1}=x^{n+1}(x+3). Cum x+3≠0\displaystyle x+3\neq 0 pe [0,1]\displaystyle [0,1], simplificăm fracția cu x+3\displaystyle x+3.
    ∫01xn+1(x+3)x+3 dx=∫01xn+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^{n+1}(x+3)}{x+3}\,dx=\int_0^1 x^{n+1}\,dx
  4. O primitivă a lui xn+1\displaystyle x^{n+1} este xn+2n+2\displaystyle \dfrac{x^{n+2}}{n+2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: xn+2n+2∣01=1n+2n+2−0n+2n+2\displaystyle \dfrac{x^{n+2}}{n+2}\Big|_0^1=\dfrac{1^{n+2}}{n+2}-\dfrac{0^{n+2}}{n+2}.
    xn+2n+2∣01=1n+2−0=1n+2\displaystyle \frac{x^{n+2}}{n+2}\Big|_0^1=\frac{1}{n+2}-0=\frac{1}{n+2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xn+1x+3 dx.I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+3}\,dx.

Arătați că lim⁡n→+∞nIn=14\displaystyle \lim_{n\to+\infty}nI_n=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n≥1\displaystyle n\ge 1 avem nxn+1=(xn)′⋅x2\displaystyle n x^{n+1}=(x^n)'\cdot x^2, deci nIn\displaystyle nI_n se scrie ca integrală din (xn)′\displaystyle (x^n)' înmulțit cu funcția g(x)=x2x+3\displaystyle g(x)=\dfrac{x^{2}}{x+3}.
    nIn=∫01(xn)′ x2x+3 dx\displaystyle nI_n=\int_0^1 (x^n)'\,\frac{x^2}{x+3}\,dx
  2. Calculăm g′(x)=2x(x+3)−x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2\displaystyle g'(x)=\dfrac{2x(x+3)-x^2}{(x+3)^2}=\dfrac{x^2+6x}{(x+3)^2}. Cum x2+6x=(x+3)2−9\displaystyle x^2+6x=(x+3)^2-9, obținem derivata de mai jos.
    g′(x)=1−9(x+3)2\displaystyle g'(x)=1-\frac{9}{(x+3)^2}
  3. Integrăm prin părți: nIn=xn g(x)∣01−∫01xng′(x) dx\displaystyle nI_n=\left.x^n\,g(x)\right|_0^1-\int_0^1 x^n g'(x)\,dx. Cum g(1)=14\displaystyle g(1)=\dfrac{1}{4} și g(0)=0\displaystyle g(0)=0, termenul tabelar este 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    nIn=14−∫01xn(1−9(x+3)2)dx\displaystyle nI_n=\frac{1}{4}-\int_0^1x^n\left(1-\frac{9}{(x+3)^2}\right)dx
  4. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem (x+3)2≥9\displaystyle (x+3)^2\ge 9, deci 0<9(x+3)2≤1\displaystyle 0<\dfrac{9}{(x+3)^2}\le 1. Rezultă 0≤1−9(x+3)2≤1\displaystyle 0\le 1-\dfrac{9}{(x+3)^2}\le 1. Înmulțim cu xn≥0\displaystyle x^n\ge 0 și integrăm.
    0≤∫01xn(1−9(x+3)2)dx≤∫01xndx\displaystyle 0\le\int_0^1x^n\left(1-\frac{9}{(x+3)^2}\right)dx\le\int_0^1x^ndx
  5. Avem ∫01xndx=1n+1\displaystyle \int_0^1x^ndx=\dfrac{1}{n+1}. Notăm cu Rn\displaystyle R_n integrala rest, deci 0≤Rn≤1n+1\displaystyle 0\le R_n\le\dfrac{1}{n+1}. Cum 1n+1→0\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\to 0, din criteriul cleștelui Rn→0\displaystyle R_n\to 0. Din nIn=14−Rn\displaystyle nI_n=\dfrac{1}{4}-R_n rezultă limita.
    0≤Rn≤1n+1⇒lim⁡n→+∞nIn=14\displaystyle 0\le R_n\le\frac{1}{n+1}\Rightarrow\lim_{n\to+\infty}nI_n=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.