Bac matematică M1 mate-info 2023, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=3+i\displaystyle z=3+i. Arătați că z(z−2i)=10\displaystyle z\left(z-2i\right)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia z−2i\displaystyle z-2i, înlocuind z=3+i\displaystyle z=3+i și reducând termenii asemenea (partea imaginară).
    z−2i=(3+i)−2i=3+i−2i=3−i\displaystyle z-2i=(3+i)-2i=3+i-2i=3-i
  2. Se scrie produsul z(z−2i)\displaystyle z(z-2i) înlocuind z=3+i\displaystyle z=3+i și z−2i=3−i\displaystyle z-2i=3-i, obținându-se produsul (3+i)(3−i)\displaystyle (3+i)(3-i).
    z(z−2i)=(3+i)(3−i)\displaystyle z(z-2i)=(3+i)(3-i)
  3. Se recunoaște forma de produs (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}, cu a=3\displaystyle a=3 și b=i\displaystyle b=i, și se aplică formula pentru a obține diferența de pătrate.
    z(z−2i)=(3+i)(3−i)=32−i2\displaystyle z(z-2i)=(3+i)(3-i)=3^2-i^2
  4. Se calculează 32=9\displaystyle 3^{2}=9 și se folosește faptul că i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci −i2=−(−1)=1\displaystyle -i^{2}=-(-1)=1.
    32−i2=9−(−1)=9+1\displaystyle 3^2-i^2=9-(-1)=9+1
  5. Se adună cele două valori obținute, rezultând valoarea finală a expresiei, egală cu 10\displaystyle 10.
    9+1=10\displaystyle 9+1=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x+1\displaystyle f(x)=5x+1. Arătați că f(2x)−2f(x)=−1\displaystyle f(2x)-2f(x)=-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează f(2x)\displaystyle f(2x) înlocuind x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x în formula funcției f(x)=5x+1\displaystyle f(x)=5x+1.
    f(2x)=5(2x)+1=10x+1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle f(2x)=5(2x)+1=10x+1\text{, pentru orice număr real }x
  2. Se calculează 2f(x)\displaystyle 2f(x) înmulțind expresia funcției cu 2\displaystyle 2.
    2f(x)=2(5x+1)=10x+2\displaystyle 2f(x)=2(5x+1)=10x+2
  3. Se scade 2f(x)\displaystyle 2f(x) din f(2x)\displaystyle f(2x) și se simplifică expresia obținută, folosind rezultatele anterioare.
    f(2x)−2f(x)=10x+1−2(5x+1)=10x+1−10x−2=−1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle f(2x)-2f(x)=10x+1-2(5x+1)=10x+1-10x-2=-1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x3−2x+23=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3-2x+2}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie ecuația dată și se observă că radicalul de ordinul 3\displaystyle 3 este definit pentru orice număr real, deci nu sunt necesare condiții de existență suplimentare.
    x3−2x+23=x\displaystyle \sqrt[3]{x^3-2x+2}=x
  2. Se ridică ambii membri ai ecuației la puterea a treia pentru a elimina radicalul.
    (x3−2x+23)3=x3\displaystyle \left(\sqrt[3]{x^3-2x+2}\right)^3=x^3
  3. Se efectuează ridicarea la cub, obținându-se ecuația fără radical, apoi se reduc termenii asemenea (se elimină x3\displaystyle x^{3} din ambii membri).
    x3−2x+2=x3, deci −2x+2=0\displaystyle x^3-2x+2=x^3\text{, deci }-2x+2=0
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se izolează termenul cu x\displaystyle x, apoi se împarte prin coeficientul lui x\displaystyle x.
    −2x=−2⇒x=−2−2\displaystyle -2x=-2\Rightarrow x=\frac{-2}{-2}
  5. Se obține soluția ecuației, care se verifică și în ecuația inițială (se poate confirma prin substituție).
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A\displaystyle A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A\displaystyle A, numărul n+5\displaystyle n+5 să fie multiplu de 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Se definește mulțimea A\displaystyle A a numerelor naturale de două cifre.
    A={10,11,12,…,99}\displaystyle A=\{10,11,12,\ldots,99\}
  2. Se numără elementele mulțimii A\displaystyle A, adică numărul total de cazuri posibile.
    Mulțimea numerelor \displaystyle \text{Mulțimea numerelor }naturale de doua˘ cifre \displaystyle \text{naturale de două cifre }are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile\displaystyle \text{are }90\text{ de elemente, deci sunt }90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se pune condiția ca n+5\displaystyle n+5 să fie multiplu de 10\displaystyle 10 și se transformă în condiție asupra lui n\displaystyle n.
    n+5=10k\displaystyle n+5=10k, k∈N⇒n=10k−5\displaystyle \ k\in\mathbb{N}\Rightarrow n=10k-5
  4. Se determină valorile lui n\displaystyle n de două cifre care satisfac condiția, alegând k\displaystyle k astfel încât n\displaystyle n să fie între 10\displaystyle 10 și 99\displaystyle 99.
    n∈{15,25,35,45,55,65,75,85,95}\displaystyle n\in\{15,25,35,45,55,65,75,85,95\}
  5. Se numără cazurile favorabile obținute.
    Iˆn mulțimea A sunt 9 numere n pentru care n+5 este multiplu de 10, deci sunt 9 cazuri favorabile, de \displaystyle \text{În mulțimea }A\text{ sunt }9\text{ numere }n\text{ pentru care }n+5\text{ este multiplu de }10\text{, deci sunt }9\text{ cazuri favorabile, de }unde p=990=110\displaystyle \text{unde }p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0) și B(5,4)\displaystyle B(5,4). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin punctul O\displaystyle O și este paralelă cu dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula pantei unei drepte determinate de două puncte, aplicată pentru dreapta AB\displaystyle AB.
    mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A(4,0)\displaystyle A(4,0) și B(5,4)\displaystyle B(5,4) în formula pantei.
    mAB=4−05−4=41=4\displaystyle m_{AB}=\dfrac{4-0}{5-4}=\dfrac{4}{1}=4
  3. Se folosește condiția de paralelism dintre două drepte (drepte paralele au pante egale) pentru a obține panta dreptei d\displaystyle d.
    mAB=4 și, cum d∥AB, obținem md=4\displaystyle m_{AB}=4\text{ și, cum }d\parallel AB\text{, obținem }m_d=4
  4. Se scrie ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin O(0,0)\displaystyle O(0,0) și are panta găsită, folosind forma punct-pantă.
    y−0=4(x−0)\displaystyle y-0=4(x-0)
  5. Se simplifică ecuația obținută pentru a scrie forma finală a dreptei d\displaystyle d.
    y−0=4(x−0), adica˘ y=4x\displaystyle y-0=4(x-0)\text{, adică }y=4x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul isoscel ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu aria egală cu 4\displaystyle 4. Arătați că BC=4\displaystyle BC=4.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu a\displaystyle a lungimea catetelor. Cum triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel și dreptunghic în A\displaystyle A, rezultă că cele două catete sunt congruente.
    AB=AC=a\displaystyle AB=AC=a
  2. Ducem înălțimea din vârful A\displaystyle A pe ipotenuza BC\displaystyle BC, notând piciorul înălțimii cu D\displaystyle D. Într-un triunghi isoscel, înălțimea dusă din vârful unghiului de la care pleacă cele două laturi congruente este și mediană, deci D\displaystyle D este mijlocul lui BC\displaystyle BC.
    AD⊥BC\displaystyle AD\perp BC, D∈BC\displaystyle \ D\in BC, BD=DC\displaystyle \ BD=DC
  3. Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din ipotenuză. Cum în cazul nostru înălțimea din A\displaystyle A coincide cu mediana din A\displaystyle A (triunghi isoscel), obținem relația cerută între AD\displaystyle AD și BC\displaystyle BC.
    AD=BC2, unde AD este ıˆna˘lțime ıˆn \displaystyle AD=\frac{BC}{2}\text{, unde }AD\text{ este înălțime în }triunghiul ABC\displaystyle \text{triunghiul }ABC
  4. Scriem formula ariei triunghiului ABC\displaystyle ABC folosind baza BC\displaystyle BC și înălțimea corespunzătoare AD\displaystyle AD, și o egalăm cu valoarea dată, 4\displaystyle 4.
    AABC=AD⋅BC2=4\displaystyle \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AD\cdot BC}{2}=4
  5. Înlocuim AD=BC2\displaystyle AD=\dfrac{BC}{2} în formula ariei, obținând o ecuație doar în funcție de BC\displaystyle BC.
    BC2⋅BC2=4⇒BC24=4\displaystyle \frac{\frac{BC}{2}\cdot BC}{2}=4\Rightarrow \frac{BC^2}{4}=4
  6. Rezolvăm ecuația obținută pentru BC\displaystyle BC, reținând soluția pozitivă, deoarece BC\displaystyle BC este o lungime.
    BC2=16⇒BC=4\displaystyle BC^2=16\Rightarrow BC=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2121−1aaa+1−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & a\\ a & a+1 & -2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a\begin{cases}2x+y+2z=2\\ x-y+az=4\\ ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=8\displaystyle \det(A(0))=8.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea particulară A(0)\displaystyle A(0) și se scrie determinantul acesteia.
    A(0)=(2121−1001−2)⇒det⁡(A(0))=∣2121−1001−2∣=\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix}2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -2\end{vmatrix}=
  2. Se aplică regula lui Sarrus: se rescriu primele două coloane la dreapta determinantului și se calculează produsele de pe cele trei diagonale principale (de la stânga la dreapta) și de pe cele trei diagonale secundare (de la dreapta la stânga).
    det⁡(A(0))=2⋅(−1)⋅(−2)⏟4+1⋅0⋅0⏟0+2⋅1⋅1⏟2−2⋅(−1)⋅0⏟0−1⋅1⋅(−2)⏟−2−2⋅0⋅1⏟0\displaystyle \det(A(0))=\underbrace{2\cdot(-1)\cdot(-2)}_{4}+\underbrace{1\cdot 0\cdot 0}_{0}+\underbrace{2\cdot 1\cdot 1}_{2}-\underbrace{2\cdot(-1)\cdot 0}_{0}-\underbrace{1\cdot 1\cdot(-2)}_{-2}-\underbrace{2\cdot 0\cdot 1}_{0}
  3. Se scriu explicit valorile fiecărui produs (păstrând semnele corespunzătoare diagonalelor principale, respectiv secundare) pentru a obține suma finală de termeni.
    det⁡(A(0))=4+2+0−0−0+2\displaystyle \det(A(0))=4+2+0-0-0+2
  4. Se adună termenii obținuți pentru a calcula valoarea determinantului matricei A(0)\displaystyle A(0).
    =4+2+0−0−0+2=8\displaystyle =4+2+0-0-0+2=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2121−1aaa+1−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & a\\ a & a+1 & -2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a\begin{cases}2x+y+2z=2\\ x-y+az=4\\ ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) și se aplică regula lui Sarrus (sau dezvoltarea după prima linie) pentru calculul acestuia.
    det⁡(A(a))=∣2121−1aaa+1−2∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & a\\ a & a+1 & -2\end{vmatrix}
  2. Se calculează cei trei termeni cu semnul plus din regula lui Sarrus (produsele de pe diagonalele principale).
    2⋅(−1)⋅(−2)+1⋅a⋅a+2⋅1⋅(a+1)=4+a2+2a+2\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot(-2)+1\cdot a\cdot a+2\cdot 1\cdot(a+1)=4+a^2+2a+2
  3. Se calculează cei trei termeni cu semnul minus din regula lui Sarrus (produsele de pe diagonalele secundare).
    2⋅(−1)⋅a+1⋅1⋅(−2)+2⋅a⋅(a+1)=−2a−2+2a2+2a\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot a+1\cdot 1\cdot(-2)+2\cdot a\cdot(a+1)=-2a-2+2a^2+2a
  4. Se face diferența dintre suma termenilor pozitivi și suma termenilor negativi și se reduc termenii asemenea pentru a obține expresia finală a determinantului.
    det⁡(A(a))=(4+a2+2a+2)−(−2a−2+2a2+2a)=−a2+2a+8\displaystyle \det(A(a))=\left(4+a^2+2a+2\right)-\left(-2a-2+2a^2+2a\right)=-a^2+2a+8
  5. Se confirmă expresia determinantului obținută, valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=−a2+2a+8, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=-a^2+2a+8\text{, pentru orice număr real }a
  6. Se pune condiția ca matricea să fie inversabilă, adică determinantul să fie diferit de zero, și se rezolvă ecuația asociată determinantului egal cu zero.
    det⁡(A(a))=0⇔−a2+2a+8=0⇔a2−2a−8=0\displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow -a^2+2a+8=0\Leftrightarrow a^2-2a-8=0
  7. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, factorizând sau folosind formula rădăcinilor.
    a2−2a−8=0⇔(a−4)(a+2)=0⇔a=4 sau a=−2\displaystyle a^2-2a-8=0\Leftrightarrow (a-4)(a+2)=0\Leftrightarrow a=4\text{ sau }a=-2
  8. Se conclude mulțimea valorilor lui a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă, excluzând valorile care anulează determinantul.
    det⁡(A(a))=0⇔a=−2 sau a=4, deci matricea A(a) este inversabila˘ daca˘ și \displaystyle \det(A(a))=0\Leftrightarrow a=-2\text{ sau }a=4\text{, deci matricea }A(a)\text{ este inversabilă dacă și }numai daca˘ a∈R∖{−2,4}\displaystyle \text{numai dacă }a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,4\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2121−1aaa+1−2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & a\\ a & a+1 & -2\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a\begin{cases}2x+y+2z=2\\ x-y+az=4\\ ax+(a+1)y-2z=a\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Pentru a=−2\displaystyle a=-2, arătați că x0z0+y0=−2\displaystyle x_0z_0+y_0=-2, pentru orice soluție (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) a sistemului de ecuații.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=−2\displaystyle a=-2 în sistemul de ecuații, obținându-se un sistem liniar cu coeficienți numerici.
    {2x+y+2z=2x−y−2z=4−2x−y−2z=−2\displaystyle \begin{cases}2x+y+2z=2\\ x-y-2z=4\\ -2x-y-2z=-2\end{cases}
  2. Se observă că a treia ecuație este de fapt opusul primei ecuații, deci sistemul se reduce practic la două ecuații independente cu trei necunoscute.
    −2x−y−2z=−2  ⟺  2x+y+2z=2 (identica˘ cu ecuația 1)\displaystyle -2x-y-2z=-2\iff 2x+y+2z=2\text{ (identică cu ecuația 1)}
  3. Se adună prima și a doua ecuație (rămase independente) pentru a elimina necunoscutele y\displaystyle y și z\displaystyle z.
    (2x+y+2z)+(x−y−2z)=2+4⇒3x=6\displaystyle (2x+y+2z)+(x-y-2z)=2+4\Rightarrow 3x=6
  4. Se determină valoarea lui x\displaystyle x din ecuația obținută.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Se înlocuiește x=2\displaystyle x=2 în prima ecuație pentru a exprima y\displaystyle y în funcție de z\displaystyle z.
    2⋅2+y+2z=2⇒y=−2−2z\displaystyle 2\cdot 2+y+2z=2\Rightarrow y=-2-2z
  6. Se notează z\displaystyle z cu parametrul α\displaystyle \alpha, deoarece z\displaystyle z poate lua orice valoare reală, obținându-se soluția generală a sistemului.
    Pentru a=−2, soluțiile sistemului de \displaystyle \text{Pentru }a=-2\text{, soluțiile sistemului de }ecuații sunt de forma (2,−2−2α,α), cu α∈R\displaystyle \text{ecuații sunt de forma }(2,-2-2\alpha,\alpha)\text{, cu }\alpha\in\mathbb{R}
  7. Se identifică x0=2\displaystyle x_0=2, y0=−2−2α\displaystyle y_0=-2-2\alpha, z0=α\displaystyle z_0=\alpha ca fiind componentele unei soluții oarecare a sistemului, pentru a calcula expresia cerută.
    x0=2\displaystyle x_0=2, y0=−2−2α\displaystyle \ y_0=-2-2\alpha, z0=α\displaystyle \ z_0=\alpha
  8. Se calculează expresia x0z0+y0\displaystyle x_0z_0+y_0 folosind valorile determinate, simplificând termenii care conțin α\displaystyle \alpha.
    x0z0+y0=2α−2−2α=−2, pentru orice soluție (x0,y0,z0) a sistemului de ecuații\displaystyle x_0z_0+y_0=2\alpha-2-2\alpha=-2\text{, pentru orice soluție }(x_0,y_0,z_0)\text{ a sistemului de ecuații}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+(2x−2)(2y−2)\displaystyle x\circ y=xy+\left(2^{x}-2\right)\left(2^{y}-2\right).

Arătați că 2∘3=18\displaystyle 2\circ 3=18.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție pentru x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=3, înlocuind în formula x∘y=xy+(2x−2)(2y−2)\displaystyle x\circ y=xy+(2^{x}-2)(2^{y}-2)
    2∘3=2⋅3+(22−2)(23−2)=\displaystyle 2\circ 3=2\cdot 3+\left(2^2-2\right)\left(2^3-2\right)=
  2. Calculăm valorile puterilor lui 2 implicate: 22\displaystyle 2^{2} și 23\displaystyle 2^{3}
    22=4, 23=8\displaystyle 2^2=4\text{, }2^3=8
  3. Scădem 2 din fiecare putere calculată pentru a obține factorii din paranteze
    22−2=4−2=2, 23−2=8−2=6\displaystyle 2^2-2=4-2=2\text{, }2^3-2=8-2=6
  4. Înmulțim cei doi factori obținuți din paranteze
    (22−2)(23−2)=2⋅6=12\displaystyle \left(2^2-2\right)\left(2^3-2\right)=2\cdot 6=12
  5. Calculăm produsul xy\displaystyle xy pentru x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=3
    2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6
  6. Adunăm cele două rezultate obținute pentru a finaliza calculul legii de compoziție
    =6+12=18\displaystyle =6+12=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+(2x−2)(2y−2)\displaystyle x\circ y=xy+\left(2^{x}-2\right)\left(2^{y}-2\right).

Arătați că e=1\displaystyle e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție și se reamintește condiția ca un element e\displaystyle e să fie element neutru: trebuie ca x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∘y=xy+(2x−2)(2y−2), iar e este element neutru daca˘ x∘e=e∘x=x, pentru orice x∈R\displaystyle x\circ y=xy+\left(2^x-2\right)\left(2^y-2\right)\text{, iar }e\text{ este element neutru dacă }x\circ e=e\circ x=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Se alege candidatul e=1\displaystyle e=1 (deoarece 21−2=0\displaystyle 2^1-2=0, ceea ce anulează al doilea termen) și se calculează x∘1\displaystyle x\circ 1.
    x∘1=x⋅1+(2x−2)(21−2)\displaystyle x\circ 1=x\cdot 1+\left(2^x-2\right)\left(2^1-2\right)
  3. Se calculează 21−2=0\displaystyle 2^1-2=0, astfel încât al doilea termen se anulează, iar expresia se reduce la x\displaystyle x.
    x∘1=x+(2x−2)⋅0=x+0=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ 1=x+\left(2^x-2\right)\cdot 0=x+0=x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se calculează acum 1∘x\displaystyle 1\circ x, folosind aceeași proprietate 21−2=0\displaystyle 2^1-2=0.
    1∘x=1⋅x+(21−2)(2x−2)=x+0⋅(2x−2)\displaystyle 1\circ x=1\cdot x+\left(2^1-2\right)\left(2^x-2\right)=x+0\cdot\left(2^x-2\right)
  5. Se finalizează calculul lui 1∘x\displaystyle 1\circ x și se observă că, întrucât atât x∘1=x\displaystyle x\circ 1=x cât și 1∘x=x\displaystyle 1\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real, elementul e=1\displaystyle e=1 satisface definiția elementului neutru al legii de compoziție.
    1∘x=1⋅x+(21−2)(2x−2)=x+0=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=1 este elementul neutru al \displaystyle 1\circ x=1\cdot x+\left(2^1-2\right)\left(2^x-2\right)=x+0=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=1\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∘”\displaystyle \text{legii de compoziție „}\circ\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+(2x−2)(2y−2)\displaystyle x\circ y=xy+\left(2^{x}-2\right)\left(2^{y}-2\right).

Demonstrați că x∘(−x)≤1\displaystyle x\circ(-x)\le 1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție aplicată perechii (x,−x)\displaystyle (x, -x), folosind definiția x∘y=xy+(2x−2)(2y−2)\displaystyle x\circ y = xy + (2^x-2)(2^y-2).
    x∘(−x)=x⋅(−x)+(2x−2)(2−x−2)\displaystyle x\circ(-x)=x\cdot(-x)+\left(2^x-2\right)\left(2^{-x}-2\right)
  2. Se desface paranteza (2x−2)(2−x−2)\displaystyle (2^x-2)(2^{-x}-2), folosind faptul că 2x⋅2−x=1\displaystyle 2^x\cdot 2^{-x}=1.
    (2x−2)(2−x−2)=2x⋅2−x−2⋅2x−2⋅2−x+4=1−2⋅2x−2⋅2−x+4\displaystyle \left(2^x-2\right)\left(2^{-x}-2\right)=2^x\cdot 2^{-x}-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4=1-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4
  3. Se înlocuiește produsul dezvoltat în expresia lui x∘(−x)\displaystyle x\circ(-x) și se adună termenii constanți (1+4=\displaystyle 1+4= se lasă sub formă explicită pentru a evidenția fiecare termen), obținându-se forma cerută de barem.
    x∘(−x)=−x2+1−2⋅2x−2⋅2−x+4=\displaystyle x\circ(-x)=-x^2+1-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4=
  4. Se scoate factorul comun −2\displaystyle -2 din termenii care conțin puteri ale lui 2\displaystyle 2, regrupând constantele astfel încât să apară expresia 2x−2+12x\displaystyle 2^x-2+\frac{1}{2^x} (folosind 2−x=12x\displaystyle 2^{-x}=\frac{1}{2^x}).
    −x2+1−2⋅2x−2⋅2−x+4=−x2+1−2⋅(2x−2+12x)\displaystyle -x^2+1-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4=-x^2+1-2\cdot\left(2^x-2+\frac{1}{2^x}\right)
  5. Se observă că expresia din paranteză este un pătrat perfect: notând a=2x\displaystyle a=\sqrt{2^x}, avem 2x−2+12x=a2−2a⋅1a+1a2=(2x−12x)2\displaystyle 2^x-2+\frac{1}{2^x}=a^2-2a\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}=\left(\sqrt{2^x}-\frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2.
    2x−2+12x=(2x−12x)2\displaystyle 2^x-2+\frac{1}{2^x}=\left(\sqrt{2^x}-\frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2
  6. Se înlocuiește în expresie și se concluzionează, folosind faptul că −x2≤0\displaystyle -x^2\le 0 și −2(2x−12x)2≤0\displaystyle -2\left(\sqrt{2^x}-\frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2\le 0 pentru orice x\displaystyle x real, deci suma este cel mult 1\displaystyle 1.
    =−x2+1−2⋅(2x−2+12x)=1−x2−2⋅(2x−12x)2≤1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle =-x^2+1-2\cdot\left(2^x-2+\frac{1}{2^x}\right)=1-x^2-2\cdot\left(\sqrt{2^x}-\frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2\le 1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3ln⁡x+3x−1\displaystyle f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1}.

Arătați că f′(x)=x2+2x−15(x−1)(x+3)\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția dată și se observă domeniul de definiție: pentru x>1\displaystyle x>1 avem x+3>0\displaystyle x+3>0 și x−1>0\displaystyle x-1>0, deci logaritmul este bine definit.
    f(x)=x+3ln⁡x+3x−1, x∈(1,+∞)\displaystyle f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1}\text{, }x\in(1,+\infty)
  2. Se folosește proprietatea logaritmului unui raport pentru a scrie funcția ca sumă de logaritmi, ceea ce ușurează derivarea.
    f(x)=x+3(ln⁡(x+3)−ln⁡(x−1))\displaystyle f(x)=x+3\left(\ln(x+3)-\ln(x-1)\right)
  3. Se derivează termen cu termen: derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata fiecărui logaritm se calculează cu regula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}, unde u′=1\displaystyle u'=1 pentru u=x+3\displaystyle u=x+3 și u=x−1\displaystyle u=x-1.
    f′(x)=1+3(ln⁡(x+3)−ln⁡(x−1))′=1+3x+3−3x−1=\displaystyle f'(x)=1+3\left(\ln(x+3)-\ln(x-1)\right)'=1+\frac{3}{x+3}-\frac{3}{x-1}=
  4. Se aduce expresia la un numitor comun, (x+3)(x−1)\displaystyle (x+3)(x-1), scriind fiecare termen cu acest numitor.
    f′(x)=(x+3)(x−1)(x+3)(x−1)+3(x−1)(x+3)(x−1)−3(x+3)(x+3)(x−1)\displaystyle f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)}+\frac{3(x-1)}{(x+3)(x-1)}-\frac{3(x+3)}{(x+3)(x-1)}
  5. Se desfac parantezele din numărător: (x+3)(x−1)=x2+2x−3\displaystyle (x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3, 3(x−1)=3x−3\displaystyle 3(x-1)=3x-3, 3(x+3)=3x+9\displaystyle 3(x+3)=3x+9.
    f′(x)=x2+2x−3+3x−3−3x−9(x+3)(x−1)\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+2x-3+3x-3-3x-9}{(x+3)(x-1)}
  6. Se reduc termenii asemenea din numărător pentru a obține forma finală simplificată a derivatei, valabilă pe tot domeniul de definiție.
    =x2+2x−3+3x−3−3x−9(x+3)(x−1)=x2+2x−15(x+3)(x−1), x∈(1,+∞)\displaystyle =\frac{x^2+2x-3+3x-3-3x-9}{(x+3)(x-1)}=\frac{x^2+2x-15}{(x+3)(x-1)}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3ln⁡x+3x−1\displaystyle f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că funcția este definită pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) și se verifică existența asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty, calculând mai întâi panta m\displaystyle m ca limita raportului f(x)x\displaystyle \frac{f(x)}{x}.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x+3ln⁡x+3x−1x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+3\ln\frac{x+3}{x-1}}{x}
  2. Se descompune fracția în două fracții, separând termenul xx\displaystyle \frac{x}{x} de restul, pentru a obține o formă mai ușor de calculat la limită.
    x+3ln⁡x+3x−1x=xx+3xln⁡x+3x−1=1+3xln⁡x+3x−1\displaystyle \frac{x+3\ln\frac{x+3}{x-1}}{x}=\frac{x}{x}+\frac{3}{x}\ln\frac{x+3}{x-1}=1+\frac{3}{x}\ln\frac{x+3}{x-1}
  3. Se calculează limita expresiei obținute: cum x+3x−1\displaystyle \frac{x+3}{x-1} tinde la 1\displaystyle 1 când x\displaystyle x tinde la infinit, logaritmul tinde la 0\displaystyle 0, iar 3x\displaystyle \frac{3}{x} tinde tot la 0\displaystyle 0, deci întregul produs tinde la 0\displaystyle 0, iar limita raportului f(x)x\displaystyle \frac{f(x)}{x} este 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(1+3xln⁡x+3x−1)=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\ln\frac{x+3}{x-1}\right)=1
  4. Deoarece m=1\displaystyle m=1 este finit și nenul, se continuă calculul ordonatei la origine n\displaystyle n, prin calculul limitei diferenței f(x)−mx=f(x)−x\displaystyle f(x)-mx=f(x)-x.
    n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞(x+3ln⁡x+3x−1−x)=lim⁡x→+∞3ln⁡x+3x−1\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(x+3\ln\frac{x+3}{x-1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}3\ln\frac{x+3}{x-1}
  5. Se calculează limita argumentului logaritmului: raportul x+3x−1\displaystyle \frac{x+3}{x-1} tinde la 1\displaystyle 1 când x\displaystyle x tinde la infinit, deci logaritmul natural al acestui raport tinde la ln⁡(1)=0\displaystyle \ln(1)=0, iar întreaga expresie tinde la 0\displaystyle 0. Astfel n=0\displaystyle n=0, iar dreapta y=x\displaystyle y=x este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞3ln⁡x+3x−1=0, deci dreapta de ecuație y=x este asimptota oblica˘ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}3\ln\frac{x+3}{x-1}=0\text{, deci dreapta de ecuație }y=x\text{ este asimptota oblică }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3ln⁡x+3x−1\displaystyle f(x)=x+3\ln\frac{x+3}{x-1}.

Arătați că ln⁡x+33(x−1)≥1−x3\displaystyle \ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\dfrac{x}{3}, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția sub forma unei sume de logaritmi pentru a calcula mai ușor derivata.
    f(x)=x+3ln⁡(x+3)−3ln⁡(x−1)\displaystyle f(x)=x+3\ln(x+3)-3\ln(x-1)
  2. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regulile de derivare pentru sumă, produs cu constantă și logaritm.
    f′(x)=1+3x+3−3x−1\displaystyle f'(x)=1+\frac{3}{x+3}-\frac{3}{x-1}
  3. Se aduce expresia derivatei la același numitor comun, pentru a putea studia semnul acesteia.
    f′(x)=(x+3)(x−1)+3(x−1)−3(x+3)(x+3)(x−1)=(x+3)(x−1)−12(x+3)(x−1)\displaystyle f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)+3(x-1)-3(x+3)}{(x+3)(x-1)}=\frac{(x+3)(x-1)-12}{(x+3)(x-1)}
  4. Se dezvoltă numărătorul și se aduce la o formă de trinom de gradul al doilea.
    (x+3)(x−1)−12=x2+2x−3−12=x2+2x−15\displaystyle (x+3)(x-1)-12=x^{2}+2x-3-12=x^{2}+2x-15
  5. Se descompune trinomul de gradul al doilea în factori, pentru a determina rădăcinile și semnul acestuia.
    x2+2x−15=(x−3)(x+5)⇒f′(x)=(x−3)(x+5)(x+3)(x−1)\displaystyle x^{2}+2x-15=(x-3)(x+5)\Rightarrow f'(x)=\frac{(x-3)(x+5)}{(x+3)(x-1)}
  6. Se observă că pentru orice x\displaystyle x din domeniul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), factorii (x+5)\displaystyle (x+5), (x+3)\displaystyle (x+3) și (x−1)\displaystyle (x-1) sunt strict pozitivi, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul factorului (x−3)\displaystyle (x-3). Se rezolvă f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilesc intervalele de monotonie, obținând că f\displaystyle f este descrescătoare pe (1,3]\displaystyle (1,3] și crescătoare pe [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty), deci x=3\displaystyle x=3 este punct de minim global.
    f′(x)=0⇒x=3; f′(x)≤0, pentru orice x∈(1,3]⇒f este descresca˘toare pe (1,3] și f′(x)≥0, pentru orice x∈[3,+∞)⇒f este cresca˘toare pe [3,+∞), deci f(x)≥f(3), pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=3\text{; }f'(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(1,3]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(1,3]\text{ și }f'(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[3,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[3,+\infty)\text{, deci }f(x)\ge f(3)\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
  7. Se calculează valoarea minimă f(3)\displaystyle f(3), înlocuind x=3\displaystyle x=3 în expresia funcției.
    f(3)=3+3ln⁡3+33−1=3+3ln⁡62=3+3ln⁡3\displaystyle f(3)=3+3\ln\frac{3+3}{3-1}=3+3\ln\frac{6}{2}=3+3\ln 3
  8. Se scrie inegalitatea f(x)≥f(3)\displaystyle f(x)\ge f(3) explicit, folosind expresia funcției și valoarea minimă găsită, apoi se izolează termenul logaritmic, împărțind prin 3\displaystyle 3, pentru a obține forma cerută a inegalității.
    f(3)=3+3ln⁡3, deci x+3ln⁡x+3x−1≥3+3ln⁡3, pentru orice x∈(1,+∞), de unde obținem ln⁡x+33(x−1)≥1−x3, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle f(3)=3+3\ln 3\text{, deci }x+3\ln\frac{x+3}{x-1}\ge 3+3\ln 3\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\text{, de unde obținem }\ln\frac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\frac{x}{3}\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+2x)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+2x\right)e^{-x}.

Arătați că ∫03f(x)exdx=18\displaystyle \displaystyle\int_0^3 f(x)e^{x}dx=18.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit produsul f(x)ex\displaystyle f(x)e^x, folosind definiția funcției f\displaystyle f.
    f(x)ex=(x2+2x)e−x⋅ex\displaystyle f(x)e^x=\left(x^2+2x\right)e^{-x}\cdot e^x
  2. Se simplifică exponențialele, deoarece e−x⋅ex=e0=1\displaystyle e^{-x}\cdot e^x=e^0=1, obținându-se o expresie polinomială.
    f(x)ex=x2+2x\displaystyle f(x)e^x=x^2+2x
  3. Se rescrie integrala dată folosind simplificarea de mai sus, integrala unei sume fiind egală cu suma integralelor.
    ∫03f(x)exdx=∫03(x2+2x)dx\displaystyle \int_0^3 f(x)e^xdx=\int_0^3\left(x^2+2x\right)dx
  4. Se determină o primitivă a funcției polinomiale x2+2x\displaystyle x^2+2x, folosind formula de primitivare a monoamelor.
    ∫(x2+2x)dx=x33+x2+C\displaystyle \int\left(x^2+2x\right)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind diferența valorilor primitivei în capetele intervalului [0,3]\displaystyle [0,3].
    ∫03f(x)exdx=∫03(x2+2x)dx=(x33+x2)∣03=\displaystyle \int_0^3 f(x)e^xdx=\int_0^3\left(x^2+2x\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Big|_0^3=
  6. Se calculează valoarea primitivei în x=3\displaystyle x=3, obținând 273+9\displaystyle \dfrac{27}{3}+9, iar în x=0\displaystyle x=0 valoarea este 0\displaystyle 0, deci se efectuează scăderea și se obține rezultatul final.
    =273+9=18\displaystyle =\frac{27}{3}+9=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+2x)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+2x\right)e^{-x}.

Arătați că ∫01f(x)x+2dx=e−2e\displaystyle \displaystyle\int_0^1\frac{f(x)}{x+2}dx=\frac{e-2}{e}.
Vezi rezolvarea
  1. Se factorizează f(x)\displaystyle f(x) pentru a simplifica raportul cerut: f(x)=x(x+2)e−x\displaystyle f(x)=x(x+2)e^{-x}, deci pentru x\displaystyle x în [0,1]\displaystyle [0,1] (unde x+2≠0\displaystyle x+2\neq 0) putem simplifica.
    f(x)=x(x+2)e−x\displaystyle f(x)=x(x+2)e^{-x}
  2. Se simplifică raportul f(x)x+2\displaystyle \dfrac{f(x)}{x+2}, obținându-se o expresie mai simplă de integrat.
    f(x)x+2=xe−x\displaystyle \frac{f(x)}{x+2}=xe^{-x}
  3. Se observă că derivata funcției −e−x\displaystyle -e^{-x} este chiar e−x\displaystyle e^{-x}, deci integrandul xe−x\displaystyle xe^{-x} se poate scrie ca x(−e−x)′\displaystyle x\left(-e^{-x}\right)', formă potrivită pentru integrarea prin părți.
    ∫01xe−xdx=∫01x(−e−x)′dx\displaystyle \int_0^1 xe^{-x}dx=\int_0^1 x\left(-e^{-x}\right)'dx
  4. Se aplică formula de integrare prin părți ∫uv′ dx=uv∣01−∫u′v dx\displaystyle \int u v' \, dx = uv\Big|_{0}^{1}-\int u'v\,dx, cu u=x\displaystyle u=x și v′=(−e−x)′\displaystyle v'=\left(-e^{-x}\right)', obținându-se expresia cu limite de integrare.
    ∫01f(x)x+2dx=∫01x(−e−x)′dx=x(−e−x)∣01−e−x∣01=\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x+2}dx=\int_0^1 x\left(-e^{-x}\right)'dx=x\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1-e^{-x}\Big|_0^1=
  5. Se calculează primul termen, x(−e−x)\displaystyle x\left(-e^{-x}\right) evaluat între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: la x=1\displaystyle x=1 se obține −1e\displaystyle -\dfrac{1}{e}, iar la x=0\displaystyle x=0 se obține 0\displaystyle 0.
    x(−e−x)∣01=1⋅(−e−1)−0⋅(−e0)=−1e\displaystyle x\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1=1\cdot\left(-e^{-1}\right)-0\cdot\left(-e^{0}\right)=-\frac{1}{e}
  6. Se calculează al doilea termen, e−x\displaystyle e^{-x} evaluat între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, și se ține cont de semnul minus din fața lui.
    −e−x∣01=−(e−1−e0)=−1e+1\displaystyle -e^{-x}\Big|_0^1=-\left(e^{-1}-e^{0}\right)=-\frac{1}{e}+1
  7. Se însumează cele două rezultate obținute la pașii anteriori și se simplifică pentru a obține valoarea finală a integralei.
    =−1e−1e+1=e−2e\displaystyle =-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+1=\frac{e-2}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2+2x)e−x\displaystyle f(x)=\left(x^2+2x\right)e^{-x}.

Demonstrați că lim⁡x→0(1x2∫0xf(t)dt)=1\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează F(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t)dt și se observă că F(0)=0\displaystyle F(0)=0 (integrala pe interval de lungime nulă). Astfel, la x→0\displaystyle x\to 0, numărătorul F(x)\displaystyle F(x) tinde la 0, iar numitorul x2\displaystyle x^{2} tinde tot la 0, deci avem o nedeterminare de tipul 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    F(0)=∫00f(t)dt=0\displaystyle F(0)=\int_0^0 f(t)dt=0,lim⁡x→0x2=0⇒lim⁡x→0∫0xf(t)dtx2=00\displaystyle \quad \lim_{x\to 0}x^2=0\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x^2}=\frac{0}{0}
  2. Fiind în cazul 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, se aplică regula lui l'Hospital. Numărătorul F(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t)dt se derivează folosind Teorema fundamentală a calculului integral: F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x). Numitorul x2\displaystyle x^{2} se derivează obișnuit: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x.
    lim⁡x→0(1x2∫0xf(t)dt)=lim⁡x→0(∫0xf(t)dt)′(x2)′=\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt\right)=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\int_0^x f(t)dt\right)'}{\left(x^2\right)'}=
  3. Se înlocuiește F′(x)\displaystyle F'(x) cu f(x)\displaystyle f(x) și se obține limita raportului f(x)2x\displaystyle \dfrac{f(x)}{2x}.
    =lim⁡x→0f(x)2x\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2x}
  4. Se scrie explicit f(x)=(x2+2x)e−x=x(x+2)e−x\displaystyle f(x)=(x^{2}+2x)e^{-x}=x(x+2)e^{-x} și, pentru x≠0\displaystyle x\neq 0, se simplifică factorul x\displaystyle x de la numărător cu x\displaystyle x de la numitor.
    f(x)2x=x(x+2)e−x2x=(x+2)e−x2, pentru x≠0\displaystyle \frac{f(x)}{2x}=\frac{x(x+2)e^{-x}}{2x}=\frac{(x+2)e^{-x}}{2}\text{, pentru }x\neq 0
  5. Se calculează limita expresiei simplificate atunci când x→0\displaystyle x\to 0, obținând valoarea finală a limitei.
    =lim⁡x→0(x+2)e−x2=(0+2)e02=22=1\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{(x+2)e^{-x}}{2}=\frac{(0+2)e^{0}}{2}=\frac{2}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.