Bac matematică M1 mate-info 2025, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(log⁡510−log⁡52)+log⁡525=4\displaystyle 2(\log_5 10-\log_5 2)+\log_5 25=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică proprietatea logaritmului diferenței (regula câtului): log⁡am−log⁡an=log⁡a(mn)\displaystyle \log_a m - \log_a n = \log_a\left(\dfrac{m}{n}\right), pentru a simplifica paranteza.
    log⁡510−log⁡52=log⁡5(102)=log⁡55\displaystyle \log_5 10-\log_5 2=\log_5\left(\frac{10}{2}\right)=\log_5 5
  2. Se înlocuiește rezultatul obținut în expresia inițială, iar 25\displaystyle 25 se scrie ca putere a lui 5\displaystyle 5, pentru a putea aplica proprietatea log⁡aan=n\displaystyle \log_a a^n = n ulterior.
    2(log⁡510−log⁡52)+log⁡525=2log⁡55+log⁡552\displaystyle 2\left(\log_5 10-\log_5 2\right)+\log_5 25=2\log_5 5+\log_5 5^2
  3. Se folosește faptul că log⁡55=1\displaystyle \log_5 5 = 1 și log⁡552=2\displaystyle \log_5 5^2 = 2, apoi se efectuează calculele pentru a obține rezultatul final.
    =2⋅1+2=4\displaystyle =2\cdot1+2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−4\displaystyle f(x)=x-4. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(2+m)=2−m\displaystyle f(2+m)=2-m.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f în punctul 2+m\displaystyle 2+m, înlocuind x\displaystyle x cu 2+m\displaystyle 2+m în formula f(x)=x−4\displaystyle f(x)=x-4.
    f(2+m)=(2+m)−4\displaystyle f(2+m)=(2+m)-4
  2. Se efectuează calculele și se reduc termenii asemenea pentru a obține forma simplificată a lui f(2+m)\displaystyle f(2+m).
    f(2+m)=m−2, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(2+m)=m-2\text{, pentru orice număr real }m
  3. Se pune condiția din enunț, f(2+m)=2−m\displaystyle f(2+m)=2-m, și se scrie ecuația obținută prin înlocuirea expresiei calculate anterior.
    m−2=2−m\displaystyle m-2=2-m
  4. Se rezolvă ecuația liniară: se trec termenii cu m\displaystyle m într-o parte și termenii numerici în cealaltă parte, apoi se împarte prin coeficientul lui m\displaystyle m.
    2m=4⇒m=2\displaystyle 2m=4\Rightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 8x⋅21−x=27\displaystyle 8^x\cdot2^{1-x}=2^7.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie baza 8\displaystyle 8 ca putere a lui 2\displaystyle 2, deoarece 8=23\displaystyle 8=2^{3}
    8=23\displaystyle 8=2^3
  2. Se înlocuiește 8\displaystyle 8 cu 23\displaystyle 2^{3} în ecuație, folosind proprietatea (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}
    (23)x⋅21−x=27⇒23x⋅21−x=27\displaystyle (2^3)^x\cdot2^{1-x}=2^7\Rightarrow2^{3x}\cdot2^{1-x}=2^7
  3. Se adună exponenții din membrul stâng, folosind proprietatea am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, obținând o singură putere a lui 2\displaystyle 2 în ambii membri, apoi se egalează exponenții deoarece baza este aceeași
    23x+1−x=27⇒22x+1=27⇒2x+1=7\displaystyle 2^{3x+1-x}=2^7\Rightarrow2^{2x+1}=2^7\Rightarrow2x+1=7
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută pentru x\displaystyle x, scăzând 1\displaystyle 1 din ambii membri și apoi împărțind la 2\displaystyle 2
    2x=7−1=6⇒x=3\displaystyle 2x=7-1=6\Rightarrow x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5,6}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6\}. Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A\displaystyle A, sunt divizibile cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se analizează condiția de divizibilitate cu 5\displaystyle 5: un număr natural este divizibil cu 5\displaystyle 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0\displaystyle 0 sau 5\displaystyle 5.
    n divizibil cu 5  ⟺  ultima cifra˘∈{0,5}\displaystyle n\text{ divizibil cu }5\iff\text{ultima cifră}\in\{0,5\}
  2. Se observă că mulțimea A\displaystyle A nu conține cifra 0\displaystyle 0, deci singura variantă posibilă pentru cifra unităților este 5\displaystyle 5.
    0∉A⇒cifra unita˘ților=5\displaystyle 0\notin A\Rightarrow\text{cifra unităților}=5
  3. Se stabilește numărul de moduri de alegere a cifrei unităților: aceasta este fixată la 5\displaystyle 5, deci există o singură posibilitate.
    cifra unita˘ților se poate \displaystyle \text{cifra unităților se poate }alege ıˆntr-un singur mod\displaystyle \text{alege într-un singur mod}
  4. Pentru cifra sutelor rămân disponibile celelalte 5\displaystyle 5 cifre din A\displaystyle A (toate mai puțin 5\displaystyle 5), deoarece cifrele trebuie să fie distincte, iar cifra sutelor poate fi oricare dintre acestea.
    cifra sutelor: 5 posibilita˘ți\displaystyle \text{cifra sutelor: }5\text{ posibilități}
  5. Pentru cifra zecilor rămân 4\displaystyle 4 cifre disponibile, întrucât una a fost deja folosită pentru cifra unităților și alta pentru cifra sutelor.
    cifra zecilor: 4 posibilita˘ți\displaystyle \text{cifra zecilor: }4\text{ posibilități}
  6. Se aplică regula produsului pentru a determina numărul total de numere de trei cifre distincte, divizibile cu 5\displaystyle 5, care se pot forma cu cifre din A\displaystyle A.
    1⋅5⋅4=20 de numere\displaystyle 1\cdot5\cdot4=20\text{ de numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,1)\displaystyle A(0,1), B(2,0)\displaystyle B(2,0) și C(4,6)\displaystyle C(4,6). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d ce trece prin punctul A\displaystyle A și este paralelă cu dreapta BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula pantei unei drepte determinate de două puncte cunoscute, folosind coordonatele punctelor B\displaystyle B și C\displaystyle C.
    mBC=yC−yBxC−xB\displaystyle m_{BC}=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}
  2. Se înlocuiesc coordonatele punctelor B(2,0)\displaystyle B(2,0) și C(4,6)\displaystyle C(4,6) în formula pantei.
    mBC=6−04−2=62\displaystyle m_{BC}=\dfrac{6-0}{4-2}=\dfrac{6}{2}
  3. Se calculează valoarea pantei dreptei BC\displaystyle BC și se deduce panta dreptei d\displaystyle d, care fiind paralelă cu BC\displaystyle BC, are aceeași pantă.
    mBC=3⇒md=3\displaystyle m_{BC}=3\Rightarrow m_d=3
  4. Se scrie ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat A(x0,y0)\displaystyle A(x_{0},y_{0}) și are panta m\displaystyle m, folosind formula punct-pantă.
    y−yA=md(x−xA)\displaystyle y-y_A=m_d(x-x_A)
  5. Se înlocuiesc coordonatele punctului A(0,1)\displaystyle A(0,1) și panta găsită md=3\displaystyle m_{d}=3 în ecuația dreptei, apoi se aduce ecuația la forma explicită y=mx+n\displaystyle y=mx+n.
    y−1=3(x−0)⇒y=3x+1\displaystyle y-1=3(x-0)\Rightarrow y=3x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=tan⁡x⋅cos⁡2(3x4)−cos⁡(x2)\displaystyle E(x)=\tan x\cdot\cos^2\left(\frac{3x}{4}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}\right), unde x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π3)=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=π3\displaystyle x = \dfrac{\pi}{3} în expresia E(x)\displaystyle E(x), calculând mai întâi argumentele 3x4\displaystyle \dfrac{3x}{4} și x2\displaystyle \dfrac{x}{2}.
    E(π3)=tan⁡(π3)⋅cos⁡2(34⋅π3)−cos⁡(12⋅π3)=tan⁡π3⋅cos⁡2π4−cos⁡π6\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\cdot\cos^2\left(\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\tan\frac{\pi}{3}\cdot\cos^2\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{6}
  2. Se calculează valorile trigonometrice necesare pentru unghiurile π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}, π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4} și π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6}, folosind valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri notabile.
    tan⁡π3=3\displaystyle \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, cos⁡π4=22\displaystyle \ \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π6=32\displaystyle \ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia E(π3)\displaystyle E(\dfrac{\pi}{3}) și se efectuează calculele: se ridică la pătrat cos⁡(π4)\displaystyle \cos(\dfrac{\pi}{4}), se face produsul cu tan⁡(π3)\displaystyle \tan(\dfrac{\pi}{3}), apoi se scade cos⁡(π6)\displaystyle \cos(\dfrac{\pi}{6}), obținându-se în final 0\displaystyle 0.
    E(π3)=3⋅(22)2−32=3⋅12−32=0\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−20a1241)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&-2\\0&a&1\\2&4&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=4ay+z=12x+4y+z=4\displaystyle \begin{cases}ax+y-2z=4\\ay+z=1\\2x+4y+z=4\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=3\displaystyle \det(A(1))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și se scrie determinantul asociat matricei A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(11−2011241)⇒det⁡(A(1))=∣11−2011241∣\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&-2\\0&1&1\\2&4&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1&-2\\0&1&1\\2&4&1\end{vmatrix}
  2. Se scrie regula lui Sarrus pentru un determinant de ordinul 3, folosind notațiile generale ale elementelor matricei.
    det⁡=a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle \det=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}
  3. Se identifică elementele matricei A(1)\displaystyle A(1): a11=1\displaystyle a_{11}=1, a12=1\displaystyle a_{12}=1, a13=−2\displaystyle a_{13}=-2, a21=0\displaystyle a_{21}=0, a22=1\displaystyle a_{22}=1, a23=1\displaystyle a_{23}=1, a31=2\displaystyle a_{31}=2, a32=4\displaystyle a_{32}=4, a33=1\displaystyle a_{33}=1.
    a11=1\displaystyle a_{11}=1, a12=1\displaystyle \ a_{12}=1, a13=−2\displaystyle \ a_{13}=-2, a21=0\displaystyle \ a_{21}=0, a22=1\displaystyle \ a_{22}=1, a23=1\displaystyle \ a_{23}=1, a31=2\displaystyle \ a_{31}=2, a32=4\displaystyle \ a_{32}=4, a33=1\displaystyle \ a_{33}=1
  4. Se calculează fiecare produs din regula lui Sarrus, folosind valorile identificate.
    a11a22a33=1⋅1⋅1=1\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot1\cdot1=1, a13a21a32=(−2)⋅0⋅4=0\displaystyle \ a_{13}a_{21}a_{32}=(-2)\cdot0\cdot4=0, a12a23a31=1⋅1⋅2=2\displaystyle \ a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot1\cdot2=2, a13a22a31=(−2)⋅1⋅2=−4\displaystyle \ a_{13}a_{22}a_{31}=(-2)\cdot1\cdot2=-4, a11a23a32=1⋅1⋅4=4\displaystyle \ a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot1\cdot4=4, a12a21a33=1⋅0⋅1=0\displaystyle \ a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot0\cdot1=0
  5. Se introduc valorile calculate în formula determinantului și se efectuează suma algebrică pentru a obține rezultatul final.
    =1+0+2+4−4−0=3\displaystyle =1+0+2+4-4-0=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−20a1241)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&-2\\0&a&1\\2&4&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=4ay+z=12x+4y+z=4\displaystyle \begin{cases}ax+y-2z=4\\ay+z=1\\2x+4y+z=4\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie determinantul asociat matricei sistemului, care este chiar determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a).
    det⁡(A(a))=∣a1−20a1241∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&1&-2\\0&a&1\\2&4&1\end{vmatrix}
  2. Se dezvoltă determinantul după prima coloană, folosind faptul că elementul de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) este 0\displaystyle 0.
    det⁡(A(a))=a⋅∣a141∣−0⋅∣1−241∣+2⋅∣1−2a1∣\displaystyle \det(A(a))=a\cdot\begin{vmatrix}a&1\\4&1\end{vmatrix}-0\cdot\begin{vmatrix}1&-2\\4&1\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}1&-2\\a&1\end{vmatrix}
  3. Se calculează cei doi determinanți de ordin 2\displaystyle 2 rămași.
    ∣a141∣=a⋅1−1⋅4=a−4\displaystyle \begin{vmatrix}a&1\\4&1\end{vmatrix}=a\cdot1-1\cdot4=a-4, ∣1−2a1∣=1⋅1−(−2)⋅a=1+2a\displaystyle \text{ }\begin{vmatrix}1&-2\\a&1\end{vmatrix}=1\cdot1-(-2)\cdot a=1+2a
  4. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia determinantului și se efectuează calculele.
    det⁡(A(a))=a(a−4)+2(1+2a)=a2−4a+2+4a\displaystyle \det(A(a))=a(a-4)+2(1+2a)=a^2-4a+2+4a
  5. Se reduc termenii asemenea, obținându-se forma finală a determinantului, valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=∣a1−20a1241∣=a2+2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a&1&-2\\0&a&1\\2&4&1\end{vmatrix}=a^2+2\text{, pentru orice număr real }a
  6. Se observă că expresia a2+2\displaystyle a^{2}+2 este strict pozitivă pentru orice număr real a\displaystyle a, deoarece a2\displaystyle a^{2} este întotdeauna nenegativ.
    a2≥0⇒a2+2≥2>0\displaystyle a^2\geq0\Rightarrow a^2+2\geq2>0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real }a
  7. Se concluzionează, conform regulii lui Cramer, că determinantul sistemului fiind nenul pentru orice a\displaystyle a real, sistemul este compatibil determinat (are soluție unică) pentru orice număr real a\displaystyle a.
    a2+2≠0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle a^2+2\neq0\text{, pentru orice număr real }a, deci sistemul de ecuații \displaystyle \text{ deci sistemul de ecuații }are soluție unica˘, pentru \displaystyle \text{are soluție unică, pentru }orice numa˘r real a\displaystyle \text{orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−20a1241)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a&1&-2\\0&a&1\\2&4&1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=4ay+z=12x+4y+z=4\displaystyle \begin{cases}ax+y-2z=4\\ay+z=1\\2x+4y+z=4\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea numerelor reale a\displaystyle a pentru care soluția (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) a sistemului de ecuații verifică inegalitatea y0≥1\displaystyle y_0\geq1.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează determinantul matricei sistemului, det⁡(A(a))\displaystyle \det(A(a)), dezvoltând după prima coloană.
    det⁡(A(a))=a(a⋅1−1⋅4)−0+2(1⋅1−(−2)⋅a)=a2−4a+2+4a=a2+2\displaystyle \det(A(a))=a(a\cdot1-1\cdot4)-0+2(1\cdot1-(-2)\cdot a)=a^2-4a+2+4a=a^2+2
  2. Se observă că determinantul sistemului este strict pozitiv pentru orice număr real a\displaystyle a, deci sistemul este compatibil determinat pentru orice a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=a2+2>0\displaystyle \det(A(a))=a^2+2>0, pentru orice a∈R\displaystyle \text{ pentru orice }a\in\mathbb{R}
  3. Se calculează determinantul obținut prin înlocuirea coloanei a doua (coeficienții lui y\displaystyle y) cu coloana termenilor liberi, notat Dy\displaystyle D_{y}.
    Dy=∣a4−2011241∣=a(1⋅1−1⋅4)−0+2(4⋅1−(−2)⋅1)=−3a+12=12−3a\displaystyle D_y=\begin{vmatrix}a&4&-2\\0&1&1\\2&4&1\end{vmatrix}=a(1\cdot1-1\cdot4)-0+2(4\cdot1-(-2)\cdot1)=-3a+12=12-3a
  4. Se aplică regula lui Cramer pentru a obține soluția y0\displaystyle y_{0} în funcție de a\displaystyle a.
    y0=Dydet⁡(A(a))=12−3aa2+2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle y_0=\frac{D_y}{\det(A(a))}=\frac{12-3a}{a^2+2}\text{, pentru orice număr real }a
  5. Se pune condiția y0≥1\displaystyle y_{0}\geq 1 și, deoarece numitorul a2+2\displaystyle a^{2}+2 este strict pozitiv, se poate înmulți inegalitatea cu acesta fără a schimba sensul.
    12−3aa2+2≥1  ⟺  12−3a≥a2+2\displaystyle \frac{12-3a}{a^2+2}\geq1\iff12-3a\geq a^2+2
  6. Se aduce inegalitatea la forma standard a unei inecuații de gradul al doilea și se rezolvă.
    a2+3a−10≤0\displaystyle a^2+3a-10\leq0, Δ=9+40=49\displaystyle \text{ }\Delta=9+40=49, ra˘da˘cini a1,2=−3±72⇒a1=−5\displaystyle \text{ rădăcini }a_{1,2}=\frac{-3\pm7}{2}\Rightarrow a_1=-5, a2=2\displaystyle \text{ }a_2=2
  7. Deoarece coeficientul lui a2\displaystyle a^{2} este pozitiv, expresia a2+3a−10\displaystyle a^{2}+3a-10 este negativă sau nulă între rădăcini, obținându-se mulțimea soluțiilor.
    12−3aa2+2≥1⇒a∈[−5,2]\displaystyle \frac{12-3a}{a^2+2}\geq1\Rightarrow a\in[-5,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4−12(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4).

Arătați că 6∗7=1\displaystyle 6*7=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=6\displaystyle x=6 și y=7\displaystyle y=7 care trebuie substituite în formulă.
    x∗y=4−12(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4), unde x=6\displaystyle \text{ unde }x=6, y=7\displaystyle \text{ }y=7
  2. Se înlocuiesc valorile x=6\displaystyle x=6 și y=7\displaystyle y=7 în formula legii de compoziție.
    6∗7=4−12(6−4)(7−4)=\displaystyle 6*7=4-\frac{1}{2}(6-4)(7-4)=
  3. Se calculează diferențele din paranteze.
    6−4=2\displaystyle 6-4=2, 7−4=3\displaystyle \text{ }7-4=3
  4. Se înmulțesc cele două diferențe obținute.
    2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6
  5. Se înmulțește rezultatul cu factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} din fața parantezelor.
    12⋅6=3\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6=3
  6. Se scade rezultatul obținut din 4\displaystyle 4 pentru a finaliza calculul.
    =4−3=1\displaystyle =4-3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4−12(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗(x+4)=6\displaystyle x*(x+4)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție x∗y=4−12(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-\dfrac{1}{2}(x-4)(y-4) și se identifică faptul că pentru y=x+4\displaystyle y=x+4 avem y−4=x+4−4=x\displaystyle y-4=x+4-4=x.
    x∗(x+4)=4−12(x−4)(x+4−4)\displaystyle x*(x+4)=4-\frac{1}{2}(x-4)(x+4-4)
  2. Se simplifică paranteza (x+4−4)\displaystyle (x+4-4) la x\displaystyle x, obținându-se forma cerută de barem pentru x∗(x+4)\displaystyle x*(x+4).
    x∗(x+4)=4−12(x−4)x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*(x+4)=4-\frac{1}{2}(x-4)x\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se pune condiția ca x∗(x+4)\displaystyle x*(x+4) să fie egal cu 6\displaystyle 6, obținându-se ecuația de rezolvat.
    4−12(x−4)x=6\displaystyle 4-\frac{1}{2}(x-4)x=6
  4. Se aduce ecuația la forma cu termenul necunoscut izolat, scăzând 4\displaystyle 4 din ambii membri și înmulțind cu −2\displaystyle -2.
    −12(x2−4x)=2⇒x2−4x=−4\displaystyle -\frac{1}{2}(x^2-4x)=2\Rightarrow x^2-4x=-4
  5. Se rescrie ecuația sub forma unui pătrat perfect și se rezolvă, obținând soluția finală conform baremului.
    x2−4x+4=0⇒(x−2)2=0⇒x=2\displaystyle x^2-4x+4=0\Rightarrow (x-2)^2=0\Rightarrow x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4−12(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-\frac{1}{2}(x-4)(y-4).

Determinați tripletele (m,n,p)\displaystyle (m,n,p) de numere naturale, cu m<n<p\displaystyle m<n<p, pentru care m∗n∗p=3\displaystyle m*n*p=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se calculează mai întâi m∗n\displaystyle m*n, folosind definiția.
    m∗n=4−12(m−4)(n−4)\displaystyle m*n=4-\frac{1}{2}(m-4)(n-4)
  2. Se calculează (m∗n)∗p\displaystyle (m*n)*p, aplicând din nou definiția legii, cu x=m∗n\displaystyle x=m*n și y=p\displaystyle y=p.
    (m∗n)∗p=4−12[(4−12(m−4)(n−4))−4](p−4)\displaystyle (m*n)*p=4-\frac{1}{2}\left[\left(4-\frac{1}{2}(m-4)(n-4)\right)-4\right](p-4)
  3. Se simplifică paranteza interioară: expresia din paranteză devine −12(m−4)(n−4)\displaystyle -\dfrac{1}{2}(m-4)(n-4), apoi se înmulțește cu −12(p−4)\displaystyle -\dfrac{1}{2}(p-4) și se adună 4\displaystyle 4.
    (m∗n)∗p=4−12(−12(m−4)(n−4))(p−4)=4+14(m−4)(n−4)(p−4)\displaystyle (m*n)*p=4-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}(m-4)(n-4)\right)(p-4)=4+\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)
  4. Deoarece legea este asociativă, rezultatul obținut reprezintă m∗n∗p\displaystyle m*n*p, valabil pentru orice numere naturale m,n,p\displaystyle m, n, p.
    m∗n∗p=4+14(m−4)(n−4)(p−4), pentru orice numere \displaystyle m*n*p=4+\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)\text{, pentru orice numere }naturale m\displaystyle \text{naturale }m,n și p\displaystyle n\text{ și }p
  5. Se pune condiția m∗n∗p=3\displaystyle m*n*p=3 și se rezolvă ecuația obținută, izolând produsul (m−4)(n−4)(p−4)\displaystyle (m-4)(n-4)(p-4).
    4+14(m−4)(n−4)(p−4)=3⇔14(m−4)(n−4)(p−4)=−1⇔(m−4)(n−4)(p−4)=−4\displaystyle 4+\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)=3\Leftrightarrow\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)=-1\Leftrightarrow(m-4)(n-4)(p-4)=-4
  6. Se notează a=m−4\displaystyle a=m-4, b=n−4\displaystyle b=n-4, c=p−4\displaystyle c=p-4, numere întregi cu a<b<c\displaystyle a<b<c (deoarece m<n<p\displaystyle m<n<p), și se caută toate descompunerile lui −4\displaystyle -4 ca produs de trei numere întregi distincte, ordonate crescător.
    abc=−4\displaystyle abc=-4, a<b<c\displaystyle \text{ }a<b<c, a\displaystyle \text{ }a,b\displaystyle b,c∈Z⇒(a,b,c)∈{(−2,1,2), (−1,1,4)}\displaystyle c\in\mathbb{Z}\Rightarrow(a,b,c)\in\{(-2,1,2),\text{ }(-1,1,4)\}
  7. Se revine la m,n,p\displaystyle m,n,p prin m=a+4\displaystyle m=a+4, n=b+4\displaystyle n=b+4, p=c+4\displaystyle p=c+4 și se verifică faptul că sunt numere naturale ce respectă m<n<p\displaystyle m<n<p, obținându-se cele două triplete cerute.
    4+14(m−4)(n−4)(p−4)=3⇔(m−4)(n−4)(p−4)=−4 și, cum m\displaystyle 4+\frac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)=3\Leftrightarrow(m-4)(n-4)(p-4)=-4\text{ și, cum }m,n\displaystyle n,p sunt numere naturale cu m<n<p\displaystyle p\text{ sunt numere naturale cu }m<n<p, obținem tripletele (2,5,6) și (3,5,8)\displaystyle \text{ obținem tripletele }(2,5,6)\text{ și }(3,5,8)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−5)x2+2\displaystyle f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}.

Arătați că f′(x)=2x2−5x+2x2+2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică domeniul de definiție și se observă că x2+2>0\displaystyle x^{2}+2>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci funcția este derivabilă pe tot R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+2>0\displaystyle x^2+2>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Se scrie funcția ca produs a două funcții derivabile, u(x)=x−5\displaystyle u(x)=x-5 și v(x)=x2+2\displaystyle v(x)=\sqrt{x^{2}+2}, și se aplică regula de derivare a produsului.
    f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)\displaystyle f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), u(x)=x−5\displaystyle \ u(x)=x-5, v(x)=x2+2\displaystyle \ v(x)=\sqrt{x^2+2}
  3. Se calculează derivatele celor două funcții componente: u′(x)=1\displaystyle u'(x)=1 și, folosind derivata funcției compuse, v′(x)=2x2x2+2\displaystyle v'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}.
    u′(x)=1\displaystyle u'(x)=1, v′(x)=2x2x2+2\displaystyle \ v'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}
  4. Se înlocuiesc derivatele în formula produsului, obținându-se expresia derivatei funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=x2+2+(x−5)⋅2x2x2+2=\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+2}+(x-5)\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2}}=
  5. Se simplifică fracția 2x2x2+2\displaystyle \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} la xx2+2\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}} și se aduce primul termen la același numitor, scriind x2+2=x2+2x2+2\displaystyle \sqrt{x^2+2}=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}.
    f′(x)=x2+2x2+2+(x−5)⋅xx2+2\displaystyle f'(x)=\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{(x-5)\cdot x}{\sqrt{x^2+2}}
  6. Se aduc cei doi termeni la același numitor și se dezvoltă produsul (x−5)⋅x=x2−5x\displaystyle (x-5)\cdot x=x^{2}-5x la numărător, apoi se reduc termenii asemenea, obținând forma finală a derivatei.
    =x2+2+x2−5xx2+2=2x2−5x+2x2+2\displaystyle =\frac{x^2+2+x^2-5x}{\sqrt{x^2+2}}=\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−5)x2+2\displaystyle f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește domeniul de definiție și se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a produsului și a funcției compuse (radical).
    f′(x)=x2+2+(x−5)⋅xx2+2\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+2}+(x-5)\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}
  2. Se aduce expresia derivatei la același numitor, pentru a obține o formă unică, ușor de studiat.
    f′(x)=(x2+2)+x(x−5)x2+2=2x2−5x+2x2+2\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2+2)+x(x-5)}{\sqrt{x^2+2}}=\frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}
  3. Se observă că numitorul este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real (deoarece x2+2>0\displaystyle x^{2}+2>0), deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul numărătorului 2x2−5x+2\displaystyle 2x^{2}-5x+2.
    x2+2>0\displaystyle \sqrt{x^2+2}>0, ∀x∈R⇒semnul lui f′(x) este dat de 2x2−5x+2\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow\text{semnul lui }f'(x)\text{ este dat de }2x^2-5x+2
  4. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, adică 2x2−5x+2=0\displaystyle 2x^{2}-5x+2=0, calculând discriminantul și rădăcinile.
    Δ=(−5)2−4⋅2⋅2=25−16=9\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9,x1,2=5±34\displaystyle \quad x_{1,2}=\frac{5\pm3}{4}
  5. Se obțin rădăcinile ecuației, care sunt exact punctele critice ale funcției.
    f′(x)=0⇔x=12 sau x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=2
  6. Deoarece coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} în numărător este pozitiv (2>0\displaystyle 2>0), trinomul 2x2−5x+2\displaystyle 2x^{2}-5x+2 este negativ între rădăcini și pozitiv în afara lor. Se determină astfel semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) pe fiecare interval.
    f′(x)>0 pe (−∞,12)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }\left(-\infty,\frac{1}{2}\right), f′(x)<0 pe (12,2)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pe }\left(\frac{1}{2},2\right), f′(x)>0 pe (2,+∞)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(2,+\infty)
  7. Se traduce semnul derivatei în comportamentul de monotonie al funcției f\displaystyle f pe intervalele determinate de punctele critice.
    f cresca˘toare pe (−∞,12]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }\left(-\infty,\frac{1}{2}\right], f descresca˘toare pe [12,2]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }\left[\frac{1}{2},2\right], f cresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−5)x2+2\displaystyle f(x)=(x-5)\sqrt{x^2+2}.

Arătați că lim⁡x→+∞(x2−5xf(x))x=1\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2-5x}{f(x)}\right)^x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x\displaystyle x mare avem x≠5\displaystyle x\neq 5, deci simplificăm fracția cu x−5\displaystyle x-5. La numărător scoatem factor comun: x2−5x=x(x−5)\displaystyle x^2-5x=x(x-5). Rămâne x2−5xf(x)=x(x−5)(x−5)x2+2=xx2+2\displaystyle \dfrac{x^2-5x}{f(x)}=\dfrac{x(x-5)}{(x-5)\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}.
    x2−5xf(x)=xx2+2\displaystyle \frac{x^2-5x}{f(x)}=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}
  2. Ridicăm la puterea x\displaystyle x: (xx2+2)x=(x2x2+2)x2\displaystyle \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^x=\left(\dfrac{x^2}{x^2+2}\right)^{\frac{x}{2}}. Apoi x2x2+2=x2+2−2x2+2=1−2x2+2\displaystyle \dfrac{x^2}{x^2+2}=\dfrac{x^2+2-2}{x^2+2}=1-\dfrac{2}{x^2+2}.
    (1−2x2+2)x2\displaystyle \left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{\frac{x}{2}}
  3. Baza tinde la 1\displaystyle 1, iar exponentul tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci avem nedeterminare de tip 1∞\displaystyle 1^{\infty}. Scriem exponentul x2\displaystyle \dfrac{x}{2} ca produs: (−x2+22)⋅(−xx2+2)=x2\displaystyle \left(-\dfrac{x^2+2}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{x}{x^2+2}\right)=\dfrac{x}{2}. Expresia devine o putere de forma (1+t)1/t\displaystyle (1+t)^{1/t} ridicată la o altă putere, cu t=−2x2+2\displaystyle t=-\dfrac{2}{x^2+2}.
    (1−2x2+2)x2=((1−2x2+2)−x2+22)−xx2+2\displaystyle \left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{\frac{x}{2}}=\left(\left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)^{-\frac{x^2+2}{2}}\right)^{-\frac{x}{x^2+2}}
  4. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, t=−2x2+2→0\displaystyle t=-\dfrac{2}{x^2+2}\to 0, deci (1+t)1/t→e\displaystyle (1+t)^{1/t}\to e, conform limitei remarcabile. Exponentul exterior −xx2+2\displaystyle -\dfrac{x}{x^2+2} tinde la 0\displaystyle 0, pentru că numitorul are grad 2, iar numărătorul grad 1. Rezultă e0=1\displaystyle e^0=1.
    elim⁡x→+∞(−xx2+2)=e0=1\displaystyle e^{\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{x}{x^2+2}\right)}=e^0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=8x3+1+ln⁡2x\displaystyle f(x)=8x^3+1+\ln^2x.

Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡2x)dx=31\displaystyle \displaystyle\int_1^2\left(f(x)-\ln^2x\right)dx=31.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și se observă că termenul ln⁡2x\displaystyle \ln^{2}x se simplifică prin scădere, rămânând doar partea polinomială.
    f(x)−ln⁡2x=8x3+1+ln⁡2x−ln⁡2x=8x3+1\displaystyle f(x)-\ln^2x=8x^3+1+\ln^2x-\ln^2x=8x^3+1
  2. Se scrie integrala cerută, se înlocuiește expresia simplificată și se determină o primitivă a funcției polinomiale 8x3+1\displaystyle 8x^{3}+1.
    ∫12(f(x)−ln⁡2x)dx=∫12(8x3+1)dx=(2x4+x)∣12=\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\ln^2x\right)dx=\int_1^2\left(8x^3+1\right)dx=\left(2x^4+x\right)\Big|_1^2=
  3. Se calculează valoarea primitivei în capătul superior x=2\displaystyle x=2.
    2⋅24+2=2⋅16+2=34\displaystyle 2\cdot2^4+2=2\cdot16+2=34
  4. Se calculează valoarea primitivei în capătul inferior x=1\displaystyle x=1.
    2⋅14+1=2+1=3\displaystyle 2\cdot1^4+1=2+1=3
  5. Se face diferența valorilor obținute pentru a finaliza calculul integralei definite.
    =34−3=31\displaystyle =34-3=31
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=8x3+1+ln⁡2x\displaystyle f(x)=8x^3+1+\ln^2x.

Arătați că ∫1ef(x)−8x3−1xdx=13\displaystyle \displaystyle\int_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia de la numărător folosind forma funcției f\displaystyle f: f(x)−8x3−1=(8x3+1+ln⁡2x)−8x3−1\displaystyle f(x)-8x^{3}-1 = (8x^{3}+1+\ln^{2}x)-8x^{3}-1.
    f(x)−8x3−1=ln⁡2x\displaystyle f(x)-8x^3-1=\ln^2x
  2. Se împarte expresia obținută la x, pentru a scrie integrandul din enunț
    f(x)−8x3−1x=ln⁡2xx\displaystyle \frac{f(x)-8x^3-1}{x}=\frac{\ln^2x}{x}
  3. Se recunoaște că 1x\displaystyle \frac{1}{x} este derivata funcției ln⁡x\displaystyle \ln x, deci integrandul se scrie ca produs dintre ln⁡2x\displaystyle \ln^{2}x și derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x, apoi se integrează recunoscând o primitivă de tip u2⋅u′\displaystyle u^{2}\cdot u'
    ∫1ef(x)−8x3−1xdx=∫1eln⁡2x⋅(ln⁡x)′dx=ln⁡3x3∣1e=\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)-8x^3-1}{x}dx=\int_1^e\ln^2x\cdot(\ln x)'dx=\frac{\ln^3x}{3}\Big|_1^e=
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, înlocuind capetele de integrare x=e\displaystyle x=e și x=1\displaystyle x=1, folosind ln⁡(e)=1\displaystyle \ln(e)=1 și ln⁡(1)=0\displaystyle \ln(1)=0
    =ln⁡3e3−ln⁡313=13\displaystyle =\frac{\ln^3e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=8x3+1+ln⁡2x\displaystyle f(x)=8x^3+1+\ln^2x.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫1e2x(ln⁡x)nf(x)−8x3dx\displaystyle I_n=\displaystyle\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{f(x)-8x^3}dx. Demonstrați că In+2+In≤2n−1(e4−1)\displaystyle I_{n+2}+I_n\leq2^{n-1}\left(e^4-1\right), pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma dată pentru șirul de integrale In\displaystyle I_n, definit pe intervalul [1,e2]\displaystyle [1,e^2], pornind de la funcția f\displaystyle f dată în enunț (unde ln⁡2x=1+ln⁡2x−1\displaystyle \ln^2x=1+\ln^2x-1 apare la numitor conform construcției problemei).
    In=∫1e2x(ln⁡x)n1+ln⁡2xdx\displaystyle I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{1+\ln^2x}dx
  2. Se scrie analog In+2\displaystyle I_{n+2} și se calculează suma In+2+In\displaystyle I_{n+2}+I_n, aducând cele două integrale la același numitor, deoarece au același domeniu de integrare.
    In+2+In=∫1e2x(ln⁡x)n+21+ln⁡2xdx+∫1e2x(ln⁡x)n1+ln⁡2xdx=∫1e2x(ln⁡x)n+2+x(ln⁡x)n1+ln⁡2xdx\displaystyle I_{n+2}+I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^{n+2}}{1+\ln^2x}dx+\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{1+\ln^2x}dx=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^{n+2}+x(\ln x)^n}{1+\ln^2x}dx
  3. Se factorizează numărătorul: x(ln⁡x)n+2+x(ln⁡x)n=x(ln⁡x)n[(ln⁡x)2+1]\displaystyle x(\ln x)^{n+2}+x(\ln x)^n=x(\ln x)^n\left[(\ln x)^2+1\right], adică exact x(ln⁡x)n(1+ln⁡2x)\displaystyle x(\ln x)^n(1+\ln^2x), care se simplifică cu numitorul integrandului.
    x(ln⁡x)n(1+ln⁡2x)1+ln⁡2x=x(ln⁡x)n\displaystyle \frac{x(\ln x)^n\left(1+\ln^2x\right)}{1+\ln^2x}=x(\ln x)^n
  4. Se obține astfel forma simplificată a sumei celor două integrale, valabilă pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, care corespunde primului pas de control din barem.
    In=∫1e2x(ln⁡x)n1+ln⁡2xdx\displaystyle I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^n}{1+\ln^2x}dx,In+2+In=∫1e2x(ln⁡x)n+2+x(ln⁡x)n1+ln⁡2xdx=∫1e2x(ln⁡x)ndx, pentru orice numa˘r \displaystyle \quad I_{n+2}+I_n=\int_1^{e^2}\frac{x(\ln x)^{n+2}+x(\ln x)^n}{1+\ln^2x}dx=\int_1^{e^2}x(\ln x)^ndx\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
  5. Se observă că, pentru x∈[1,e2]\displaystyle x\in[1,e^2], funcția logaritm natural este crescătoare, deci ln⁡1≤ln⁡x≤ln⁡e2\displaystyle \ln 1\leq\ln x\leq\ln e^2, adică 0≤ln⁡x≤2\displaystyle 0\leq\ln x\leq 2.
    x∈[1,e2]⇒0≤ln⁡x≤2\displaystyle x\in[1,e^2]\Rightarrow0\leq\ln x\leq2
  6. Ridicând la puterea n\displaystyle n inegalitatea ln⁡x≤2\displaystyle \ln x\leq 2 (ambii membri fiind nenegativi), se obține majorarea puterii logaritmului, care se folosește pentru a majora integrandul x(ln⁡x)n\displaystyle x(\ln x)^n prin 2nx\displaystyle 2^n x.
    (ln⁡x)n≤2n⇒x(ln⁡x)n≤2nx⇒∫1e2x(ln⁡x)ndx≤2n∫1e2xdx\displaystyle (\ln x)^n\leq2^n\Rightarrow x(\ln x)^n\leq2^nx\Rightarrow\int_1^{e^2}x(\ln x)^ndx\leq2^n\int_1^{e^2}xdx
  7. Se calculează integrala rămasă, o primitivă simplă de tip putere.
    ∫1e2xdx=x22∣1e2=e4−12\displaystyle \int_1^{e^2}xdx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^{e^2}=\frac{e^4-1}{2}
  8. Combinând rezultatele anterioare, se obține inegalitatea finală cerută, folosind faptul că 2n⋅12=2n−1\displaystyle 2^n\cdot\frac{1}{2}=2^{n-1}.
    Pentru orice x∈[1,e2]\displaystyle \text{Pentru orice }x\in[1,e^2], ln⁡x≤2\displaystyle \ \ln x\leq2, de unde obținem In+2+In≤2n∫1e2xdx=2n−1(e4−1)\displaystyle \text{ de unde obținem }I_{n+2}+I_n\leq2^n\int_1^{e^2}xdx=2^{n-1}\left(e^4-1\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.