Bac matematică M1 mate-info 2016, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle (\sqrt{2}-3)^2+(\sqrt{2}+3)^2=22

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm primul pătrat cu formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , unde $\displaystyle a=\sqrt{2}$ și $\displaystyle b=3$ : $\displaystyle (\sqrt{2}-3)^2=(\sqrt{2})^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot 3+3^2$ .
$\displaystyle (\sqrt{2}-3)^2=2-6\sqrt{2}+9$
Adunăm termenii fără radical: $\displaystyle 2+9=11$ , deci primul pătrat este egal cu $\displaystyle 11-6\sqrt{2}$ .
$\displaystyle (\sqrt{2}-3)^2=11-6\sqrt{2}$
Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , cu aceleași valori $\displaystyle a=\sqrt{2}$ și $\displaystyle b=3$ : $\displaystyle (\sqrt{2}+3)^2=2+6\sqrt{2}+9$ .
$\displaystyle (\sqrt{2}+3)^2=11+6\sqrt{2}$
Adunăm cele două rezultate: $\displaystyle 11-6\sqrt{2}+11+6\sqrt{2}$ . Termenii $\displaystyle -6\sqrt{2}$ și $\displaystyle 6\sqrt{2}$ se reduc, iar $\displaystyle 11+11=22$ .
$\displaystyle (\sqrt{2}-3)^2+(\sqrt{2}+3)^2=11-6\sqrt{2}+11+6\sqrt{2}=22$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Calculați produsul

\displaystyle f(-1)f(0)f(1)

, unde

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(-1)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -1$ în $\displaystyle f(x)=2x+2$ : $\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)+2=0$ .
$\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)+2=0$
Pentru completitudine, calculăm $\displaystyle f(0)=2\cdot 0+2=2$ și $\displaystyle f(1)=2\cdot 1+2=4$ . Nu sunt necesare, deoarece unul dintre factori este deja $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f(0)=2$ , $\displaystyle \quad f(1)=4$
Produsul conține factorul $\displaystyle f(-1)=0$ , deci este nul: $\displaystyle f(-1)f(0)f(1)=0\cdot 2\cdot 4=0$ .
$\displaystyle f(-1)f(0)f(1)=0\cdot 2\cdot 4=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_3\left(x^2-6x+6\right)=\log_3 1

.

Vezi rezolvarea

Stabilim condiția de existență: argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, adică $\displaystyle x^{2}-6x+6>0$ . Logaritmul $\displaystyle \log_3 1$ este definit.
$\displaystyle x^{2}-6x+6>0$
Funcția $\displaystyle \log_3$ este injectivă, deci egalăm argumentele: $\displaystyle x^{2}-6x+6=1$ .
$\displaystyle x^{2}-6x+6=1$
Mutăm $\displaystyle 1$ în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-6x+5=0$ .
$\displaystyle x^{2}-6x+5=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 5=16$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=4$ .
$\displaystyle \Delta=16$
Aflăm rădăcinile: $\displaystyle x=\dfrac{6\pm 4}{2}$ , deci $\displaystyle x_1=1$ și $\displaystyle x_2=5$ .
$\displaystyle x_1=1$ , $\displaystyle \ x_2=5$
Verificăm condiția de existență. Pentru $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle 1-6+6=1>0$ . Pentru $\displaystyle x=5$ : $\displaystyle 25-30+6=1>0$ . Ambele soluții convin.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=5\text{, care verifică ecuația }$ $\displaystyle \text{dată}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele

\displaystyle 5

,

\displaystyle 7

,

\displaystyle 8

și

\displaystyle 9

.

Vezi rezolvarea

Numărul trebuie să fie par. Dintre cifrele $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 7$ , $\displaystyle 8$ și $\displaystyle 9$ , singura cifră pară este $\displaystyle 8$ , deci cifra unităților este obligatoriu $\displaystyle 8$ .
$\displaystyle \text{cifra unităților}=8$
După ce $\displaystyle 8$ este folosit la unități, rămân trei cifre disponibile: $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 7$ și $\displaystyle 9$ . Cifra zecilor poate fi aleasă în $\displaystyle 3$ moduri.
$\displaystyle 3\text{ alegeri pentru zeci}$
Cifrele trebuie să fie distincte, deci pentru cifra sutelor rămân $\displaystyle 2$ cifre disponibile, adică $\displaystyle 2$ alegeri.
$\displaystyle 2\text{ alegeri pentru sute}$
Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru zeci, pentru sute și pentru unități (o singură alegere, cifra $\displaystyle 8$ ). Obținem $\displaystyle 6$ numere, de exemplu $\displaystyle 578$ , $\displaystyle 758$ , $\displaystyle 598$ , $\displaystyle 958$ , $\displaystyle 798$ , $\displaystyle 978$ .
$\displaystyle 3\cdot 2\cdot 1=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-1,0)

și

\displaystyle B(1,2)

. Determinați ecuația dreptei

\displaystyle d

care trece prin punctul

\displaystyle O

și este paralelă cu dreapta

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Panta dreptei care trece prin $\displaystyle A(x_A,y_A)$ și $\displaystyle B(x_B,y_B)$ este $\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Pentru $\displaystyle A(-1,0)$ și $\displaystyle B(1,2)$ obținem $\displaystyle m_{AB}=\dfrac{2-0}{1-(-1)}=\dfrac{2}{2}=1$ .
$\displaystyle m_{AB}=\dfrac{2-0}{1-(-1)}=1$
Deoarece $\displaystyle d\parallel AB$ , dreptele au pante egale, deci $\displaystyle m_d=m_{AB}=1$ .
$\displaystyle m_{AB}=1\text{ și }m_d=m_{AB}\Rightarrow m_d=1$
Dreapta $\displaystyle d$ trece prin $\displaystyle O(0,0)$ și are panta $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle y-0=1\cdot(x-0)$ , adică $\displaystyle y=x$ .
$\displaystyle y=x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=0

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle \dfrac{3\pi}{2}-x=3\pi-\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)$ , deoarece $\displaystyle 3\pi-\dfrac{3\pi}{2}-x=\dfrac{3\pi}{2}-x$ . Ne propunem să exprimăm al doilea sinus prin primul.
$\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\sin\left(3\pi-\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\right)$
Folosim periodicitatea sinusului, cu perioada $\displaystyle 2\pi$ : scădem $\displaystyle 2\pi$ din unghi, deci $\displaystyle 3\pi$ devine $\displaystyle \pi$ .
$\displaystyle \sin\left(3\pi-\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\right)=\sin\left(\pi-\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\right)$
Aplicăm formula de reducere $\displaystyle \sin(\pi-a)=\sin a$ , cu $\displaystyle a=\dfrac{3\pi}{2}+x$ . Obținem că cei doi sinusi sunt egali.
$\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)$
Înlocuim în diferență: cei doi termeni sunt egali, deci diferența este $\displaystyle 0$ , pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=0\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x^2+x\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=1$ în matricea $\displaystyle A(x)$ . Pe prima linie avem $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 1^2+1=2$ , iar a doua linie devine $\displaystyle 0,\ 1,\ 2\cdot 1=2$ , a treia linie rămâne $\displaystyle 0,\ 0,\ 1$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A(1)$ . Matricea este superior triunghiulară (sub diagonala principală avem numai zerouri), deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.
$\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ , $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 0$ și $\displaystyle 2\cdot 0\cdot 0$ , adică $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 0$ . Termenii cu minus sunt $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 0$ , $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 0$ și $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1$ , toți egali cu $\displaystyle 0$ , pentru că fiecare conține un element nul. Obținem $\displaystyle \det(A(1))=1$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \det(A(1))=1+0+0-0-0-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x^2+x\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(x)$ și $\displaystyle A(y)$ și le înmulțim: linie cu coloană.
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1 & x & x^2+x\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & y & y^2+y\\ 0 & 1 & 2y\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Prima linie a produsului: elementul $\displaystyle (1,1)$ este $\displaystyle 1\cdot 1=1$ ; elementul $\displaystyle (1,2)$ este $\displaystyle 1\cdot y+x\cdot 1=y+x$ ; elementul $\displaystyle (1,3)$ este $\displaystyle 1\cdot(y^2+y)+x\cdot 2y+(x^2+x)\cdot 1=y^2+y+2xy+x^2+x$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & y+x & y^2+y+2xy+x^2+x\end{pmatrix}$
A doua linie: $\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0$ , apoi $\displaystyle 1$ , iar elementul $\displaystyle (2,3)$ este $\displaystyle 0\cdot(y^2+y)+1\cdot 2y+2x\cdot 1=2y+2x$ . A treia linie este $\displaystyle (0,0,1)$ .
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1 & y+x & y^2+y+2xy+x^2+x\\ 0 & 1 & 2y+2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
Grupăm termenii din elementul $\displaystyle (1,3)$ : $\displaystyle y^2+2xy+x^2=(x+y)^2$ , iar $\displaystyle y+x=x+y$ . Deci elementul este $\displaystyle (x+y)^2+(x+y)$ .
$\displaystyle y^2+y+2xy+x^2+x=(x+y)^2+(x+y)$
Elementul $\displaystyle (2,3)$ este $\displaystyle 2y+2x=2(x+y)$ . Înlocuind, matricea are forma lui $\displaystyle A(t)$ cu $\displaystyle t=x+y$ , deci este $\displaystyle A(x+y)$ , pentru orice $\displaystyle x,y$ reali.
$\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y & (x+y)^2+(x+y)\\ 0 & 1 & 2(x+y)\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=A(x+y)\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x^2+x\\ 0 & 1 & 2x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a\neq -1

, știind că

\displaystyle A\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right)A\left(\frac{1}{2\cdot 3}\right)\cdot\ldots\cdot A\left(\frac{1}{2016\cdot 2017}\right)=A\left(\frac{a}{a+1}\right)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul a două matrice de forma $\displaystyle A(x)$ și $\displaystyle A(y)$ . Elementul din colțul dreapta-sus este $\displaystyle (y^2+y)+x\cdot 2y+(x^2+x)=(x+y)^2+(x+y)$ , iar elementul din mijlocul ultimei coloane este $\displaystyle 2y+2x$ . Rezultă că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)$ .
$\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)$
Aplicând proprietatea de mai multe ori, produsul celor $\displaystyle 2016$ matrice este $\displaystyle A$ de suma argumentelor.
$\displaystyle A\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right)\cdots A\left(\frac{1}{2016\cdot 2017}\right)=A\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{2016\cdot 2017}\right)$
Fiecare fracție se descompune: $\displaystyle \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ . Suma devine telescopică, iar termenii intermediari se reduc.
$\displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}=1-\frac{1}{2017}$
Calculăm suma: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{2017}=\dfrac{2016}{2017}$ . Deci membrul stâng este $\displaystyle A\left(\dfrac{2016}{2017}\right)$ .
$\displaystyle A\left(\frac{2016}{2017}\right)$
Egalitatea $\displaystyle A\left(\dfrac{2016}{2017}\right)=A\left(\dfrac{a}{a+1}\right)$ înseamnă egalitatea argumentelor, deoarece elementul din poziția $\displaystyle (1,2)$ a matricei $\displaystyle A(x)$ este chiar $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \frac{a}{a+1}=\frac{2016}{2017}$
Înmulțim în cruce: $\displaystyle 2017a=2016(a+1)$ , deci $\displaystyle 2017a=2016a+2016$ , de unde $\displaystyle a=2016$ . Valoarea convine, fiindcă $\displaystyle a\neq -1$ .
$\displaystyle a=2016$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^4+mX^2+2

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

, știind că

\displaystyle f(1)=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în expresia polinomului: $\displaystyle f(1)=1^4+m\cdot 1^2+2$ .
$\displaystyle f(1)=1^4+m\cdot 1^2+2$
Din condiția $\displaystyle f(1)=0$ obținem ecuația $\displaystyle 1^4+m\cdot 1^2+2=0$ .
$\displaystyle 1^4+m\cdot 1^2+2=0$
Cum $\displaystyle 1^4=1$ și $\displaystyle 1^2=1$ , ecuația devine $\displaystyle 1+m+2=0$ , adică $\displaystyle m+3=0$ .
$\displaystyle m+3=0$
Scădem $\displaystyle 3$ din ambii membri și obținem $\displaystyle m=-3$ .
$\displaystyle m=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^4+mX^2+2

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)=0

, pentru orice număr real

\displaystyle m

, unde

\displaystyle x_1,x_2,x_3

și

\displaystyle x_4

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Polinomul $\displaystyle f=X^4+mX^2+2$ are gradul 4 și coeficienții $\displaystyle a_4=1$ , $\displaystyle a_3=0$ , $\displaystyle a_2=m$ , $\displaystyle a_1=0$ , $\displaystyle a_0=2$ , deoarece lipsesc termenii în $\displaystyle X^3$ și în $\displaystyle X$ .
$\displaystyle a_4=1$ , $\displaystyle \ a_3=0$ , $\displaystyle \ a_2=m$ , $\displaystyle \ a_1=0$ , $\displaystyle \ a_0=2$
Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este $\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=-\dfrac{a_3}{a_4}=-\dfrac{0}{1}$ , deci nu depinde de $\displaystyle m$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=-\dfrac{0}{1}=0$
Formula pătratului unei sume cu patru termeni este $\displaystyle (x_1+x_2+x_3+x_4)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2\sum_{i<j}x_ix_j$ , unde suma conține cele șase produse $\displaystyle x_1x_2$ , $\displaystyle x_1x_3$ , $\displaystyle x_1x_4$ , $\displaystyle x_2x_3$ , $\displaystyle x_2x_4$ , $\displaystyle x_3x_4$ . Aceasta este exact expresia din enunț.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)=(x_1+x_2+x_3+x_4)^2$
Cum $\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=0$ , rezultă $\displaystyle (x_1+x_2+x_3+x_4)^2=0^2=0$ . Rezultatul este același pentru orice $\displaystyle m\in\mathbb{R}$ , deci egalitatea din enunț este demonstrată.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_1x_4+2x_2x_3+2x_2x_4+2x_3x_4=(x_1+x_2+x_3+x_4)^2=0\text{, pentru orice număr real }m$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^4+mX^2+2

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=3

, descompuneți polinomul

\displaystyle f

în factori ireductibili în

\displaystyle \mathbb{R}[X]

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=3$ polinomul devine $\displaystyle f=X^4+3X^2+2$ .
$\displaystyle f=X^4+3X^2+2$
Polinomul are doar puteri pare, deci notăm $\displaystyle t=X^2$ și obținem trinomul $\displaystyle t^2+3t+2$ .
$\displaystyle t^2+3t+2$
Căutăm două numere cu suma $\displaystyle 3$ și produsul $\displaystyle 2$ : sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2$ . Deci $\displaystyle t^2+3t+2=(t+1)(t+2)$ .
$\displaystyle t^2+3t+2=(t+1)(t+2)$
Revenind la $\displaystyle t=X^2$ , obținem $\displaystyle f=(X^2+1)(X^2+2)$ .
$\displaystyle f=(X^2+1)(X^2+2)$
Un polinom de gradul al doilea este ireductibil în $\displaystyle \mathbb{R}[X]$ dacă are discriminantul negativ. Pentru $\displaystyle X^2+1$ avem $\displaystyle \Delta=0-4=-4<0$ , iar pentru $\displaystyle X^2+2$ avem $\displaystyle \Delta=0-8=-8<0$ .
$\displaystyle \Delta_1=-4<0\text{, }\Delta_2=-8<0$
Cum $\displaystyle X^2+1$ și $\displaystyle X^2+2$ nu au rădăcini reale, ele sunt ireductibile în $\displaystyle \mathbb{R}[X]$ , deci $\displaystyle f=(X^2+1)(X^2+2)$ este descompunerea în factori ireductibili.
$\displaystyle X^2+1\text{ și }X^2+2\text{ sunt ireductibile în }\mathbb{R}[X]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât, deci aplicăm formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle v=\sqrt{x^2+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x'\cdot\sqrt{x^2+1}-x\cdot\left(\sqrt{x^2+1}\right)'}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^{2}}$
Calculăm derivata radicalului: $\displaystyle \left(\sqrt{w}\right)'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}$ , cu $\displaystyle w=x^2+1$ , deci $\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$ . Mai știm că $\displaystyle x'=1$ și $\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)^{2}=x^2+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-\dfrac{x\cdot 2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$
Simplificăm prin $\displaystyle 2$ fracția din numărător și aducem numărătorul la același numitor $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$ . Folosim $\displaystyle \sqrt{x^2+1}\cdot\sqrt{x^2+1}=x^2+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$
Reducem $\displaystyle x^2$ cu $\displaystyle -x^2$ la numărător, rămâne $\displaystyle 1$ , apoi aducem la o singură fracție înmulțind numitorii. Obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , deoarece $\displaystyle x^2+1>0$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+1-x^2}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=0

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Amintim formula tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle 0$ : $\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$ . Trebuie deci să aflăm $\displaystyle f(0)$ și $\displaystyle f'(0)$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)$
Calculăm $\displaystyle f(0)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ în expresia funcției: $\displaystyle f(0)=\dfrac{0}{\sqrt{0^{2}+1}}=\dfrac{0}{1}=0$ .
$\displaystyle f(0)=\dfrac{0}{\sqrt{0^{2}+1}}=0$
Derivăm funcția $\displaystyle f$ folosind formula derivatei unui cât. Avem $\displaystyle (x)'=1$ și $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ , deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x^{2}+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}$
Aducem la numitor comun în numărător: $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ , deci numărătorul este $\displaystyle \dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$ . Împărțind la $\displaystyle x^{2}+1$ obținem derivata simplificată.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}$
Calculăm $\displaystyle f'(0)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ în derivată: $\displaystyle f'(0)=\dfrac{1}{(0+1)\sqrt{0+1}}=1$ . Astfel $\displaystyle f(0)=0$ și $\displaystyle f'(0)=1$ .
$\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle \ f'(0)=1$
Înlocuim valorile găsite în formula tangentei: $\displaystyle y-0=1\cdot(x-0)$ , adică $\displaystyle y=x$ .
$\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

.

Demonstrați că, pentru orice număr real

\displaystyle a

,

\displaystyle a\in(-1,1)

, ecuația

\displaystyle f(x)=a

are soluție unică.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este definită pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , pentru că $\displaystyle x^2+1>0$ , și este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ ca raport de funcții continue. Calculăm derivata cu formula derivatei unui raport: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$
Aducem numărătorul la același numitor: $\displaystyle \sqrt{x^2+1}-\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ . Deci $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$
Cum $\displaystyle (x^2+1)\sqrt{x^2+1}>0$ , avem $\displaystyle f'(x)>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Rezultă că $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci injectivă.
$\displaystyle f'(x)>0\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }f\text{ este strict crescătoare }$ $\displaystyle \text{pe }\mathbb{R}$
Calculăm limita la $\displaystyle -\infty$ . Pentru $\displaystyle x<0$ avem $\displaystyle \sqrt{x^2}=|x|=-x$ , deci $\displaystyle \sqrt{x^2+1}=-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}$ . Atunci $\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$ , care tinde la $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1$
Calculăm limita la $\displaystyle +\infty$ . Pentru $\displaystyle x>0$ avem $\displaystyle \sqrt{x^2}=x$ , deci $\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$ , care tinde la $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=1$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă și strict crescătoare, cu limitele $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ la capete, deci $\displaystyle f(\mathbb{R})=(-1,1)$ conform proprietății lui Darboux. Pentru $\displaystyle a\in(-1,1)$ există deci cel puțin un $\displaystyle x$ cu $\displaystyle f(x)=a$ , iar din injectivitate acesta este unic. Deci ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție unică.
$\displaystyle \text{pentru orice }a\in(-1,1)\text{ ecuația }f(x)=a\text{ are soluție unică}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(x-1)

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}\,dx=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=e^{x}(x-1)$ în integrala dată.
$\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}\,dx=\int_0^2 e^{x}(x-1)e^{-x}\,dx$
Folosim faptul că $\displaystyle e^{x}\cdot e^{-x}=e^{0}=1$ , deci produsul se reduce la $\displaystyle x-1$ .
$\displaystyle \int_0^2 e^{x}(x-1)e^{-x}\,dx=\int_0^2 (x-1)\,dx$
O primitivă a funcției $\displaystyle x-1$ este $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}-x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_0^2 (x-1)\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)\Big|_0^2$
Calculăm valoarea primitivei în $\displaystyle 2$ și în $\displaystyle 0$ și facem diferența: în $\displaystyle 0$ valoarea este $\displaystyle 0$ , iar în $\displaystyle 2$ este $\displaystyle \dfrac{4}{2}-2$ .
$\displaystyle \left(\frac{2^{2}}{2}-2\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-0\right)=\frac{4}{2}-2=2-2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(x-1)

.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției

\displaystyle f

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=1

și

\displaystyle x=2

are aria egală cu

\displaystyle e

.

Vezi rezolvarea

Aria suprafeței delimitate de grafic, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=2$ este integrala modulului funcției: $\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2 |f(x)|\,dx$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2 |f(x)|\,dx$
Pentru $\displaystyle x\in[1,2]$ avem $\displaystyle x-1\ge 0$ și $\displaystyle e^x>0$ , deci $\displaystyle f(x)\ge 0$ și $\displaystyle |f(x)|=f(x)$ . Rezultă $\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2 (x-1)e^x\,dx$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2 (x-1)e^x\,dx$
Integrăm prin părți: $\displaystyle u=x-1$ , $\displaystyle dv=e^x\,dx$ , deci $\displaystyle du=dx$ , $\displaystyle v=e^x$ . Atunci $\displaystyle \int (x-1)e^x\,dx=(x-1)e^x-\int e^x\,dx=(x-1)e^x-e^x=(x-2)e^x$ . Prin urmare $\displaystyle \mathcal{A}=(x-2)e^x\Big|_1^2$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=(x-2)e^x\Big|_1^2$
Evaluăm la capete: pentru $\displaystyle x=2$ avem $\displaystyle (2-2)e^2=0$ , iar pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle (1-2)e=-e$ . Deci $\displaystyle \mathcal{A}=0-(-e)=e$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle \mathcal{A}=0-(-e)=e$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(x-1)

.

Demonstrați că

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{1}\left(f(x)+e^x\right)dx=0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm suma de sub integrală: $\displaystyle f(x)+e^x=e^x(x-1)+e^x=e^x(x-1+1)=xe^x$ .
$\displaystyle f(x)+e^x=xe^x$
Căutăm o primitivă a lui $\displaystyle xe^x$ . Derivăm $\displaystyle (x-1)e^x$ : $\displaystyle \left((x-1)e^x\right)'=e^x+(x-1)e^x=xe^x$ . Deci $\displaystyle (x-1)e^x$ este o primitivă a lui $\displaystyle xe^x$ .
$\displaystyle \left((x-1)e^x\right)'=xe^x$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_{-n}^{1}xe^x\,dx=(x-1)e^x\Big|_{-n}^{1}=(1-1)e^1-(-n-1)e^{-n}=(n+1)e^{-n}$ .
$\displaystyle \int_{-n}^{1}\left(f(x)+e^x\right)dx=(n+1)e^{-n}$
Scriem $\displaystyle (n+1)e^{-n}=\dfrac{n+1}{e^n}$ . Pentru $\displaystyle n\to+\infty$ avem o nedeterminare $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ ; aplicând regula lui l'Hôpital obținem $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{n+1}{e^n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{e^n}=0$ . Deci limita cerută este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\int_{-n}^{1}\left(f(x)+e^x\right)dx=\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{e^n}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2016, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani