Bac matematică M2 științe ale naturii 2010, sesiunea I rezervă varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră o progresie aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1} în care a3=5\displaystyle a_3=5 și a5=11\displaystyle a_5=11. Calculați suma primilor șapte termeni ai progresiei.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r pentru a3\displaystyle a_3 și a5\displaystyle a_5. Din condițiile date obținem sistemul de mai jos.
    {a1+2r=5a1+4r=11\displaystyle \begin{cases} a_1+2r=5 \\ a_1+4r=11 \end{cases}
  2. Scădem prima ecuație din a doua: (a1+4r)−(a1+2r)=11−5\displaystyle (a_1+4r)-(a_1+2r)=11-5, deci 2r=6\displaystyle 2r=6.
    r=3\displaystyle r=3
  3. Din a1+2r=5\displaystyle a_1+2r=5 cu r=3\displaystyle r=3 obținem a1+6=5\displaystyle a_1+6=5, deci a1=−1\displaystyle a_1=-1.
    a1=−1\displaystyle a_1=-1, r=3\displaystyle \ r=3
  4. Avem a7=a1+6r=−1+6⋅3=−1+18\displaystyle a_7=a_1+6r=-1+6\cdot 3=-1+18.
    a7=17\displaystyle a_7=17
  5. Folosim formula Sn=n(a1+an)2\displaystyle S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}, deci S7=7⋅(−1+17)2=7⋅162=7⋅8\displaystyle S_7=\dfrac{7\cdot(-1+17)}{2}=\dfrac{7\cdot 16}{2}=7\cdot 8.
    S7=56\displaystyle S_7=56
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f,g:R→R\displaystyle f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1, g(x)=x+3\displaystyle g(x)=x+3. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci egalăm expresiile celor două funcții: f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    2x−1=x+3\displaystyle 2x-1=x+3
  2. Trecem termenii cu x\displaystyle x în membrul stâng și numerele în membrul drept: 2x−x=3+1\displaystyle 2x-x=3+1.
    2x−x=3+1\displaystyle 2x-x=3+1
  3. Reducem termenii și obținem abscisa punctului de intersecție: x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=4\displaystyle x=4 în expresia lui g\displaystyle g: g(4)=4+3=7\displaystyle g(4)=4+3=7. Verificare cu f\displaystyle f: f(4)=2⋅4−1=7\displaystyle f(4)=2\cdot 4-1=7.
    x=4 și y=7\displaystyle x=4\text{ și }y=7
  5. Punctul de intersecție are coordonatele (4,7)\displaystyle (4,7).
    A(4,7)\displaystyle A(4,7)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−13=2\displaystyle \sqrt[3]{x^2-1}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Ridicăm ambii membri ai ecuației x2−13=2\displaystyle \sqrt[3]{x^{2}-1}=2 la puterea a treia.
    (x2−13)3=23\displaystyle \left(\sqrt[3]{x^{2}-1}\right)^{3}=2^{3}
  2. Deoarece (a3)3=a\displaystyle \left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}=a și 23=8\displaystyle 2^{3}=8, obținem ecuația de gradul al doilea x2−1=8\displaystyle x^{2}-1=8.
    x2−1=8\displaystyle x^{2}-1=8
  3. Mutăm −1\displaystyle -1 în membrul drept și obținem x2=8+1\displaystyle x^{2}=8+1.
    x2=9\displaystyle x^{2}=9
  4. Din x2=9\displaystyle x^{2}=9 rezultă x=±3\displaystyle x=\pm 3. Verificare: pentru x=3\displaystyle x=3 și x=−3\displaystyle x=-3 avem x2−1=8\displaystyle x^{2}-1=8, iar 83=2\displaystyle \sqrt[3]{8}=2, deci ambele valori convin.
    x=±3\displaystyle x=\pm 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați a⋅b\displaystyle a\cdot b știind că a+b=150\displaystyle a+b=150 și numărul a\displaystyle a reprezintă 25%\displaystyle 25\% din numărul b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Traducem condiția că a\displaystyle a reprezintă 25%\displaystyle 25\% din b\displaystyle b într-o egalitate. Procentul 25%\displaystyle 25\% este 25100=14\displaystyle \dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}, deci a=b4\displaystyle a=\dfrac{b}{4}.
    a=b4\displaystyle a=\dfrac{b}{4}
  2. Înlocuim a\displaystyle a în suma dată: a+b=150\displaystyle a+b=150 devine b4+b=150\displaystyle \dfrac{b}{4}+b=150.
    b4+b=150\displaystyle \dfrac{b}{4}+b=150
  3. Aducem la același numitor: b4+4b4=5b4\displaystyle \dfrac{b}{4}+\dfrac{4b}{4}=\dfrac{5b}{4}. Din 5b4=150\displaystyle \dfrac{5b}{4}=150 rezultă b=150⋅45=120\displaystyle b=\dfrac{150\cdot 4}{5}=120.
    b=120\displaystyle b=120
  4. Aflăm a\displaystyle a din relația a=b4\displaystyle a=\dfrac{b}{4}: a=1204=30\displaystyle a=\dfrac{120}{4}=30. Verificăm: 30+120=150\displaystyle 30+120=150.
    a=30\displaystyle a=30
  5. Calculăm produsul: a⋅b=30⋅120=3600\displaystyle a\cdot b=30\cdot 120=3600.
    a⋅b=3600\displaystyle a\cdot b=3600
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} pentru care punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(4,5)\displaystyle B(4,5) și C(m+1,m2)\displaystyle C(m+1,m^2) sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei AB\displaystyle AB cu formula dreptei prin două puncte, pentru A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(4,5)\displaystyle B(4,5): x−xAxB−xA=y−yAyB−yA\displaystyle \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}.
    x−24−2=y−35−3\displaystyle \dfrac{x-2}{4-2}=\dfrac{y-3}{5-3}
  2. Numitorii sunt amândoi egali cu 2\displaystyle 2, deci x−2=y−3\displaystyle x-2=y-3. Mutăm toți termenii într-o parte și obținem ecuația dreptei.
    AB: x−y+1=0\displaystyle AB:\ x-y+1=0
  3. Punctele sunt coliniare dacă C∈AB\displaystyle C\in AB, adică coordonatele lui C(m+1,m2)\displaystyle C(m+1,m^2) verifică ecuația dreptei. Înlocuim x=m+1\displaystyle x=m+1 și y=m2\displaystyle y=m^2.
    (m+1)−m2+1=0\displaystyle (m+1)-m^2+1=0
  4. Reducem termenii: −m2+m+2=0\displaystyle -m^2+m+2=0. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și obținem ecuația de gradul al doilea.
    m2−m−2=0\displaystyle m^2-m-2=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=9. Rădăcinile sunt m=1±32\displaystyle m=\dfrac{1\pm3}{2}, adică m=1−32=−1\displaystyle m=\dfrac{1-3}{2}=-1 și m=1+32=2\displaystyle m=\dfrac{1+3}{2}=2.
    m=−1 sau m=2\displaystyle m=-1\text{ sau }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡x\displaystyle \cos x, știind că sin⁡x=13\displaystyle \sin x=\frac{1}{3} și x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2} x+\cos^{2} x=1.
    sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2} x+\cos^{2} x=1
  2. Înlocuim sin⁡x=13\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{3} și obținem (13)2+cos⁡2x=1\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\cos^{2} x=1, adică 19+cos⁡2x=1\displaystyle \dfrac{1}{9}+\cos^{2} x=1.
    19+cos⁡2x=1\displaystyle \frac{1}{9}+\cos^{2} x=1
  3. Izolăm cos⁡2x\displaystyle \cos^{2} x: cos⁡2x=1−19=89\displaystyle \cos^{2} x=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}.
    cos⁡2x=89\displaystyle \cos^{2} x=\frac{8}{9}
  4. Extragem radicalul: cos⁡x=±89=±83=±223\displaystyle \cos x=\pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\pm\dfrac{\sqrt{8}}{3}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
    cos⁡x=±223\displaystyle \cos x=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}
  5. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x\displaystyle x este în cadranul I, avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0. Păstrăm doar valoarea pozitivă.
    cos⁡x=223\displaystyle \cos x=\frac{2\sqrt{2}}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} se consideră matricea A=(m1011111m)\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {mx+y=−1x+y+z=3x+y+mz=0\displaystyle \begin{cases} mx+y=-1 \\ x+y+z=3 \\ x+y+mz=0 \end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}. Calculați determinantul matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A și îl calculăm cu regula lui Sarrus: det⁡(A)=∣m1011111m∣\displaystyle \det(A)=\begin{vmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix}.
    det⁡(A)=∣m1011111m∣\displaystyle \det(A)=\begin{vmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix}
  2. Adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32=m⋅1⋅m+1⋅1⋅1+0⋅1⋅1\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}=m\cdot 1\cdot m+1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 1\cdot 1.
    m2+1\displaystyle m^{2}+1
  3. Calculăm produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei, care se scad: a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33=0⋅1⋅1+m⋅1⋅1+1⋅1⋅m\displaystyle a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}=0\cdot 1\cdot 1+m\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot m.
    2m\displaystyle 2m
  4. Scădem suma celui de-al doilea grup din suma primului grup: (m2+1)−2m\displaystyle (m^{2}+1)-2m.
    det⁡(A)=m2+1−2m\displaystyle \det(A)=m^{2}+1-2m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} se consideră matricea A=(m1011111m)\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {mx+y=−1x+y+z=3x+y+mz=0\displaystyle \begin{cases} mx+y=-1 \\ x+y+z=3 \\ x+y+mz=0 \end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.

Rezolvați sistemul pentru m=0\displaystyle m=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în fiecare ecuație a sistemului. Prima ecuație devine y=−1\displaystyle y=-1, a doua rămâne x+y+z=3\displaystyle x+y+z=3, iar a treia devine x+y=0\displaystyle x+y=0.
    {y=−1x+y+z=3x+y=0\displaystyle \begin{cases} y=-1 \\ x+y+z=3 \\ x+y=0 \end{cases}
  2. Din prima ecuație avem y=−1\displaystyle y=-1. Înlocuim această valoare în a treia ecuație: x+(−1)=0\displaystyle x+(-1)=0, deci x=1\displaystyle x=1.
    y=−1\displaystyle y=-1,x=1\displaystyle \quad x=1
  3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=−1\displaystyle y=-1 în a doua ecuație: 1+(−1)+z=3\displaystyle 1+(-1)+z=3, deci z=3\displaystyle z=3. Soluția sistemului este x=1\displaystyle x=1, y=−1\displaystyle y=-1, z=3\displaystyle z=3.
    {x=1y=−1z=3\displaystyle \begin{cases} x=1 \\ y=-1 \\ z=3 \end{cases}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R} se consideră matricea A=(m1011111m)\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {mx+y=−1x+y+z=3x+y+mz=0\displaystyle \begin{cases} mx+y=-1 \\ x+y+z=3 \\ x+y+mz=0 \end{cases}, unde x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}.

Verificați dacă sistemul este incompatibil pentru m=1\displaystyle m=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în fiecare ecuație: prima devine x+y=−1\displaystyle x+y=-1, iar a treia devine x+y+z=0\displaystyle x+y+z=0. Sistemul devine:
    {x+y=−1x+y+z=3x+y+z=0\displaystyle \begin{cases} x+y=-1 \\ x+y+z=3 \\ x+y+z=0 \end{cases}
  2. Ultimele două ecuații au aceeași parte stângă x+y+z\displaystyle x+y+z, dar părți drepte diferite. Scădem a treia ecuație din a doua: (x+y+z)−(x+y+z)=3−0\displaystyle (x+y+z)-(x+y+z)=3-0.
    (x+y+z)−(x+y+z)=3−0\displaystyle (x+y+z)-(x+y+z)=3-0
  3. Obținem o egalitate falsă, deci nu există x,y,z\displaystyle x,y,z care să verifice simultan ecuațiile. Sistemul este incompatibil pentru m=1\displaystyle m=1.
    0=3⇒ sistem incompatibil\displaystyle 0=3\Rightarrow\text{ sistem incompatibil}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.

Demonstrați că legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm mai întâi membrul stâng, aplicând definiția legii cu primul factor x∗y\displaystyle x*y și al doilea factor z\displaystyle z.
    (x∗y)∗z=(x∗y−4)(z−4)+4\displaystyle (x*y)*z=(x*y-4)(z-4)+4
  2. Înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu expresia sa din definiție, adică (x−4)(y−4)+4\displaystyle (x-4)(y-4)+4.
    (x∗y)∗z=((x−4)(y−4)+4−4)(z−4)+4\displaystyle (x*y)*z=\big((x-4)(y-4)+4-4\big)(z-4)+4
  3. În prima paranteză, +4\displaystyle +4 și −4\displaystyle -4 se reduc, deci rămâne produsul (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4). Membrul stâng devine un produs de trei factori plus 4\displaystyle 4.
    (x∗y)∗z=(x−4)(y−4)(z−4)+4\displaystyle (x*y)*z=(x-4)(y-4)(z-4)+4
  4. Calculăm acum membrul drept, x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z), aplicând definiția cu primul factor x\displaystyle x și al doilea factor y∗z\displaystyle y*z, apoi înlocuim y∗z\displaystyle y*z cu (y−4)(z−4)+4\displaystyle (y-4)(z-4)+4. Din nou +4\displaystyle +4 și −4\displaystyle -4 se reduc în paranteza a doua.
    x∗(y∗z)=(x−4)(y∗z−4)+4=(x−4)((y−4)(z−4)+4−4)+4\displaystyle x*(y*z)=(x-4)(y*z-4)+4=(x-4)\big((y-4)(z-4)+4-4\big)+4
  5. După reducere, membrul drept este (x−4)(y−4)(z−4)+4\displaystyle (x-4)(y-4)(z-4)+4, adică exact același rezultat ca la membrul stâng. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z) pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, adică legea este asociativă.
    x∗(y∗z)=(x−4)(y−4)(z−4)+4=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=(x-4)(y-4)(z-4)+4=(x*y)*z, ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.

Demonstrați că x∗y∈(4,+∞)\displaystyle x*y\in(4,+\infty), oricare ar fi x,y∈(4,+∞)\displaystyle x,y\in(4,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie x,y∈(4,+∞)\displaystyle x,y\in(4,+\infty), deci x>4\displaystyle x>4 și y>4\displaystyle y>4. Scădem 4\displaystyle 4 din fiecare inegalitate și obținem că x−4\displaystyle x-4 și y−4\displaystyle y-4 sunt pozitive.
    x−4>0 și y−4>0\displaystyle x-4>0\text{ și }y-4>0
  2. Produsul a două numere pozitive este pozitiv, deci (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4) este strict pozitiv.
    (x−4)(y−4)>0\displaystyle (x-4)(y-4)>0
  3. Scriem definiția legii de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4 și adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri ai inegalității de la pasul anterior. Obținem că x∗y>4\displaystyle x*y>4, oricare ar fi x,y∈(4,+∞)\displaystyle x,y\in(4,+\infty), deci x∗y∈(4,+∞)\displaystyle x*y\in(4,+\infty).
    x∗y=(x−4)(y−4)+4>4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4>4, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈(4,+∞) ⇒ x∗y∈(4,+∞)\displaystyle y\in(4,+\infty)\ \Rightarrow\ x*y\in(4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.

Calculați 1∗2∗3∗…∗2010\displaystyle 1*2*3*\ldots*2010.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea are forma x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4, deci numărul 4\displaystyle 4 este special. Calculăm x∗4\displaystyle x*4, înlocuind y\displaystyle y cu 4\displaystyle 4.
    x∗4=(x−4)(4−4)+4\displaystyle x*4=(x-4)(4-4)+4
  2. Cum 4−4=0\displaystyle 4-4=0, produsul se anulează și rămâne 4\displaystyle 4. Legea este comutativă, deoarece produsul (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4) nu depinde de ordinea factorilor, deci și 4∗x=4\displaystyle 4*x=4. Așadar 4\displaystyle 4 este element absorbant.
    x∗4=4∗x=4\displaystyle x*4=4*x=4, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Legea este asociativă, deci putem grupa termenii după cum vrem fără a schimba rezultatul. Numărul 4\displaystyle 4 apare în șirul 1,2,3,…,2010\displaystyle 1,2,3,\ldots,2010, așa că îl izolăm între două grupuri de termeni.
    1∗2∗3∗…∗2010=(1∗2∗3)∗4∗(5∗…∗2010)\displaystyle 1*2*3*\ldots*2010=(1*2*3)*4*(5*\ldots*2010)
  4. Notăm a=1∗2∗3\displaystyle a=1*2*3 și b=5∗…∗2010\displaystyle b=5*\ldots*2010, numere reale. Folosim faptul că 4\displaystyle 4 este absorbant: a∗4=4\displaystyle a*4=4, apoi 4∗b=4\displaystyle 4*b=4.
    a∗4∗b=(a∗4)∗b=4∗b=4\displaystyle a*4*b=(a*4)*b=4*b=4
  5. Prin urmare, valoarea întregii expresii este 4\displaystyle 4.
    1∗2∗3∗…∗2010=4\displaystyle 1*2*3*\ldots*2010=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=x^2+\frac{2}{x}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=x^{2}+\dfrac{2}{x} este o sumă de doi termeni, deci f′(x)=(x2)′+(2x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}\right)'+\left(\dfrac{2}{x}\right)'.
    f′(x)=(x2)′+(2x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}\right)'+\left(\dfrac{2}{x}\right)'
  2. Scriem 2x=2⋅x−1\displaystyle \dfrac{2}{x}=2\cdot x^{-1}, ca să putem folosi formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=n\cdot x^{n-1}.
    2x=2⋅x−1\displaystyle \dfrac{2}{x}=2\cdot x^{-1}
  3. Pentru primul termen, (x2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x. Pentru al doilea, (2x−1)′=2⋅(−1)⋅x−2=−2x2\displaystyle \left(2x^{-1}\right)'=2\cdot(-1)\cdot x^{-2}=-\dfrac{2}{x^{2}}.
    (x2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x,(2x)′=−2x2\displaystyle \quad \left(\dfrac{2}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}}
  4. Înlocuim în f′(x)=(x2)′+(2x)′\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}\right)'+\left(\dfrac{2}{x}\right)' și obținem f′(x)=2x−2x2\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2}{x^{2}}, pentru x∈R∗\displaystyle x\in\mathbb{R}^*.
    f′(x)=2x−2x2\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2}{x^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=x^2+\frac{2}{x}.

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul A(2,5)\displaystyle A(2,5).
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=2\displaystyle x_0=2 este y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2).
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  2. Calculăm f(2)=22+22=4+1=5\displaystyle f(2)=2^{2}+\dfrac{2}{2}=4+1=5, deci punctul A(2,5)\displaystyle A(2,5) se află pe graficul funcției.
    f(2)=5\displaystyle f(2)=5
  3. Derivăm funcția: f′(x)=(x2)′+2(1x)′=2x−2x2\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}\right)'+2\left(\dfrac{1}{x}\right)'=2x-\dfrac{2}{x^{2}}.
    f′(x)=2x−2x2\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2}{x^{2}}
  4. Calculăm f′(2)=2⋅2−222=4−12=72\displaystyle f'(2)=2\cdot 2-\dfrac{2}{2^{2}}=4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}. Așadar f(2)=5\displaystyle f(2)=5 și f′(2)=72\displaystyle f'(2)=\dfrac{7}{2}.
    f(2)=5 și f′(2)=72\displaystyle f(2)=5\text{ și }f'(2)=\dfrac{7}{2}
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−5=72(x−2)\displaystyle y-5=\dfrac{7}{2}(x-2).
    y−5=72(x−2)\displaystyle y-5=\dfrac{7}{2}(x-2)
  6. Desfacem parantezele: y−5=72x−7\displaystyle y-5=\dfrac{7}{2}x-7. Adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri și obținem ecuația tangentei.
    y=72x−2\displaystyle y=\dfrac{7}{2}x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=x^2+\frac{2}{x}.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe R∗\displaystyle \mathbb{R}^*, deci singurul punct în care ar putea exista asimptotă verticală este x=0\displaystyle x=0, unde funcția nu este definită. Verificăm limitele laterale în acest punct.
    x=0 este punctul de verificat\displaystyle x=0\text{ este punctul de verificat}
  2. Când x→0\displaystyle x\to 0, termenul x2\displaystyle x^{2} tinde la 0\displaystyle 0, iar în fracția 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} numărătorul este pozitiv și numitorul tinde la 0\displaystyle 0. Pentru x<0\displaystyle x<0, fracția tinde la −∞\displaystyle -\infty, deci suma tinde la −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→0x<0(x2+2x)=0+(−∞)=−∞\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\left(x^2+\frac{2}{x}\right)=0+(-\infty)=-\infty
  3. Analog, pentru x>0\displaystyle x>0 fracția 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci și limita la dreapta este infinită. Este suficient ca o limită laterală în 0\displaystyle 0 să fie infinită pentru a avea asimptotă verticală.
    lim⁡x→0x>0(x2+2x)=+∞\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\left(x^2+\frac{2}{x}\right)=+\infty
  4. Deoarece limitele laterale în 0\displaystyle 0 sunt infinite, dreapta x=0\displaystyle x=0 este asimptotă verticală la graficul funcției f\displaystyle f.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f,g:(0,+∞)→R\displaystyle f,g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} și g(x)=2x(ln⁡x−2)\displaystyle g(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2).

Demonstrați că funcția g\displaystyle g este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca g\displaystyle g să fie primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie să fie derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și g′(x)=f(x)\displaystyle g'(x)=f(x). Funcția g\displaystyle g este produsul dintre 2x\displaystyle 2\sqrt{x} și ln⁡x−2\displaystyle \ln x-2, ambele derivabile pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci g\displaystyle g este derivabilă pe acest interval.
    g derivabila˘ pe (0,+∞)\displaystyle g\text{ derivabilă pe }(0,+\infty)
  2. Aplicăm regula de derivare a produsului (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', cu u=2x\displaystyle u=2\sqrt{x} și v=ln⁡x−2\displaystyle v=\ln x-2.
    g′(x)=(2x)′(ln⁡x−2)+2x(ln⁡x−2)′\displaystyle g'(x)=\left(2\sqrt{x}\right)'(\ln x-2)+2\sqrt{x}\left(\ln x-2\right)'
  3. Calculăm derivatele componentelor: (2x)′=2⋅12x\displaystyle \left(2\sqrt{x}\right)'=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}} și (ln⁡x−2)′=1x\displaystyle (\ln x-2)'=\dfrac{1}{x}. Înlocuim în formula produsului.
    g′(x)=22x(ln⁡x−2)+2x⋅1x\displaystyle g'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}(\ln x-2)+2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}
  4. Simplificăm: primul termen devine ln⁡x−2x\displaystyle \dfrac{\ln x-2}{\sqrt{x}}. Al doilea termen: 2xx=2xx⋅x=2x\displaystyle \dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}.
    g′(x)=ln⁡x−2x+2x\displaystyle g'(x)=\frac{\ln x-2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}
  5. Adunăm fracțiile cu același numitor: −2\displaystyle -2 și +2\displaystyle +2 se reduc, rămâne ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}, adică exact f(x)\displaystyle f(x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci g\displaystyle g este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    g′(x)=ln⁡x−2+2x=ln⁡xx=f(x)\displaystyle g'(x)=\frac{\ln x-2+2}{\sqrt{x}}=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=f(x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f,g:(0,+∞)→R\displaystyle f,g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} și g(x)=2x(ln⁡x−2)\displaystyle g(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2).

Calculați ∫14f(x) dx\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Din cerința anterioară știm că g\displaystyle g este o primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Verificăm rapid derivând g\displaystyle g cu regula produsului: (2x)′=1x\displaystyle (2\sqrt{x})'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, iar (ln⁡x−2)′=1x\displaystyle (\ln x-2)'=\dfrac{1}{x}. Rezultă g′(x)=ln⁡x−2x+2xx=ln⁡xx=f(x)\displaystyle g'(x)=\dfrac{\ln x-2}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=f(x).
    g′(x)=ln⁡x−2x+2x=ln⁡xx=f(x)\displaystyle g'(x)=\dfrac{\ln x-2}{\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=f(x)
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫14f(x) dx=g(x)∣14=g(4)−g(1)\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx=g(x)\Big|_1^4=g(4)-g(1).
    ∫14f(x) dx=g(x)∣14=g(4)−g(1)\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx=g(x)\Big|_1^4=g(4)-g(1)
  3. Înlocuim expresia lui g\displaystyle g și obținem că integrala este egală cu 2x(ln⁡x−2)∣14\displaystyle 2\sqrt{x}(\ln x-2)\Big|_1^4.
    2x(ln⁡x−2)∣14=24(ln⁡4−2)−21(ln⁡1−2)\displaystyle 2\sqrt{x}(\ln x-2)\Big|_1^4=2\sqrt{4}(\ln 4-2)-2\sqrt{1}(\ln 1-2)
  4. Calculăm g(4)\displaystyle g(4): 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, iar ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=2\ln 2. Obținem g(4)=4(2ln⁡2−2)=8ln⁡2−8\displaystyle g(4)=4(2\ln 2-2)=8\ln 2-8.
    g(4)=4(2ln⁡2−2)=8ln⁡2−8\displaystyle g(4)=4(2\ln 2-2)=8\ln 2-8
  5. Calculăm g(1)\displaystyle g(1): 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1, iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. Obținem g(1)=2(0−2)=−4\displaystyle g(1)=2(0-2)=-4.
    g(1)=2⋅1⋅(0−2)=−4\displaystyle g(1)=2\cdot 1\cdot(0-2)=-4
  6. Scădem: g(4)−g(1)=8ln⁡2−8−(−4)=8ln⁡2−8+4\displaystyle g(4)-g(1)=8\ln 2-8-(-4)=8\ln 2-8+4. Deci integrala este 8ln⁡2−4\displaystyle 8\ln 2-4.
    ∫14f(x) dx=8ln⁡2−4\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx=8\ln 2-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f,g:(0,+∞)→R\displaystyle f,g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} și g(x)=2x(ln⁡x−2)\displaystyle g(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2).

Calculați ∫1e22g(x)⋅f(x) dx\displaystyle \int_1^{e^2} 2^{g(x)}\cdot f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției g(x)=2x(ln⁡x−2)\displaystyle g(x)=2\sqrt{x}(\ln x-2) cu regula produsului: (2x)′=1x\displaystyle \left(2\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x}} și (ln⁡x−2)′=1x\displaystyle (\ln x-2)'=\dfrac{1}{x}.
    g′(x)=ln⁡x−2x+2x⋅1x\displaystyle g'(x)=\frac{\ln x-2}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}
  2. Observăm că 2x⋅1x=2x\displaystyle 2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}, deci −2\displaystyle -2 se reduce cu +2\displaystyle +2 la numărător și rămâne g′(x)=f(x)\displaystyle g'(x)=f(x).
    g′(x)=ln⁡x−2+2x=ln⁡xx=f(x)\displaystyle g'(x)=\frac{\ln x-2+2}{\sqrt{x}}=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=f(x)
  3. Integrala devine ∫1e22g(x)g′(x) dx\displaystyle \int_1^{e^2}2^{g(x)}g'(x)\,dx. Cum (2g(x)ln⁡2)′=2g(x)g′(x)\displaystyle \left(\dfrac{2^{g(x)}}{\ln 2}\right)'=2^{g(x)}g'(x), o primitivă este 2g(x)ln⁡2\displaystyle \dfrac{2^{g(x)}}{\ln 2}.
    ∫1e22g(x)f(x) dx=2g(x)ln⁡2∣1e2=2g(e2)−2g(1)ln⁡2\displaystyle \int_1^{e^2}2^{g(x)}f(x)\,dx=\frac{2^{g(x)}}{\ln 2}\Big|_1^{e^2}=\frac{2^{g(e^2)}-2^{g(1)}}{\ln 2}
  4. Calculăm g\displaystyle g în capetele intervalului. Pentru x=e2\displaystyle x=e^2: x=e\displaystyle \sqrt{x}=e și ln⁡x=2\displaystyle \ln x=2, deci g(e2)=2e(2−2)=0\displaystyle g(e^2)=2e(2-2)=0. Pentru x=1\displaystyle x=1: g(1)=2⋅1⋅(0−2)=−4\displaystyle g(1)=2\cdot 1\cdot(0-2)=-4.
    g(e2)=0\displaystyle g(e^2)=0,g(1)=−4\displaystyle \quad g(1)=-4
  5. Înlocuim în formulă: 20=1\displaystyle 2^0=1 și 2−4=116\displaystyle 2^{-4}=\dfrac{1}{16}, deci diferența de la numărător este 1−116=1516\displaystyle 1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}.
    1−116ln⁡2=1516ln⁡2\displaystyle \frac{1-\frac{1}{16}}{\ln 2}=\frac{15}{16\ln 2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.