Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați al treilea termen al progresiei geometrice

\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}

, știind că

\displaystyle b_1=2

și

\displaystyle b_2=6

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie geometrică, raportul dintre doi termeni consecutivi este constant și se numește rație. Calculăm rația ca raport dintre $\displaystyle b_2$ și $\displaystyle b_1$ : $\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}$ .
$\displaystyle q=\dfrac{6}{2}$
Efectuăm împărțirea și obținem rația progresiei: $\displaystyle q=\dfrac{6}{2}=3$ .
$\displaystyle q=3$
Folosim formula termenului general al progresiei geometrice, $\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ , pentru $\displaystyle n=3$ : $\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}$ .
$\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}=2\cdot 3^{2}$
Calculăm puterea: $\displaystyle 3^{2}=9$ , apoi înmulțim cu $\displaystyle 2$ . Al treilea termen este $\displaystyle b_3=2\cdot 9=18$ .
$\displaystyle b_3=2\cdot 3^{2}=18$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+7

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=x-7

. Calculați

\displaystyle (f\circ g)(7)

.

Vezi rezolvarea

Compoziția se aplică de la dreapta la stânga: $\displaystyle (f\circ g)(7)=f(g(7))$ . Deci calculăm mai întâi $\displaystyle g(7)$ .
$\displaystyle (f\circ g)(7)=f(g(7))$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 7$ în $\displaystyle g(x)=x-7$ și obținem $\displaystyle g(7)=7-7=0$ .
$\displaystyle g(7)=7-7=0$
Aplicăm $\displaystyle f$ rezultatului: $\displaystyle f(g(7))=f(0)$ . Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ în $\displaystyle f(x)=x+7$ și obținem $\displaystyle f(0)=0+7=7$ . Deci $\displaystyle (f\circ g)(7)=7$ .
$\displaystyle (f\circ g)(7)=f(g(7))=f(0)=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{2x-1}=x-2

.

Vezi rezolvarea

Condițiile de existență: $\displaystyle 2x-1\ge 0$ , iar cum $\displaystyle \sqrt{2x-1}\ge 0$ , trebuie ca $\displaystyle x-2\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge 2$ .
$\displaystyle x\ge 2$
Ridicăm ecuația $\displaystyle \sqrt{2x-1}=x-2$ la pătrat și obținem $\displaystyle 2x-1=(x-2)^2$ .
$\displaystyle 2x-1=(x-2)^2$
Desfacem pătratul: $\displaystyle 2x-1=x^2-4x+4$ . Mutăm termenii în stânga: $\displaystyle x^2-4x+4-2x+1=0$ , deci $\displaystyle x^2-6x+5=0$ .
$\displaystyle 2x-1=(x-2)^2\Leftrightarrow x^2-6x+5=0$
Calculăm $\displaystyle \Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=16$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{6\pm 4}{2}$ , adică $\displaystyle x=1$ sau $\displaystyle x=5$ .
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=5$
Verificăm în ecuația inițială. Pentru $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle \sqrt{2\cdot 1-1}=1$ , iar $\displaystyle 1-2=-1$ , deci $\displaystyle 1\ne -1$ și $\displaystyle x=1$ nu convine (nu verifică $\displaystyle x\ge 2$ ). Pentru $\displaystyle x=5$ : $\displaystyle \sqrt{2\cdot 5-1}=\sqrt{9}=3$ , iar $\displaystyle 5-2=3$ , deci $\displaystyle x=5$ convine.
$\displaystyle x=1\text{, care nu convine, }x=5\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea

\displaystyle n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)>0

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de o cifră formează mulțimea $\displaystyle \{0,1,2,\dots,9\}$ . Ea are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile.
$\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}$
Pentru $\displaystyle n\in\{0,1,2,3,4\}$ unul dintre factorii $\displaystyle n$ , $\displaystyle n-1$ , $\displaystyle n-2$ , $\displaystyle n-3$ , $\displaystyle n-4$ este egal cu 0, deci produsul este $\displaystyle 0$ și inegalitatea strictă nu se verifică.
$\displaystyle n\in\{0,1,2,3,4\}\Rightarrow n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=0$
Pentru $\displaystyle n\in\{5,6,7,8,9\}$ toți factorii $\displaystyle n$ , $\displaystyle n-1$ , $\displaystyle n-2$ , $\displaystyle n-3$ , $\displaystyle n-4$ sunt strict pozitivi, deci produsul este pozitiv. Cazurile favorabile sunt $\displaystyle 5,6,7,8,9$ , adică 5 cazuri.
$\displaystyle 5\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(1,1)

,

\displaystyle B(-1,0)

,

\displaystyle C(3,5)

și

\displaystyle D(5,6)

. Demonstrați că punctele

\displaystyle B

,

\displaystyle D

și mijlocul segmentului

\displaystyle AC

sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AC$ și folosim formulele pentru coordonatele mijlocului: $\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ .
$\displaystyle x_M=\dfrac{1+3}{2}$ , $\displaystyle \quad y_M=\dfrac{1+5}{2}$
Calculăm: $\displaystyle x_M=\dfrac{4}{2}=2$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{6}{2}=3$ , deci $\displaystyle M(2,3)$ .
$\displaystyle M(2,3)$
Panta dreptei $\displaystyle BM$ este $\displaystyle m_{BM}=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}=\dfrac{3-0}{2-(-1)}=\dfrac{3}{3}=1$ .
$\displaystyle M(2,3)\text{ și }m_{BM}=1$
Panta dreptei $\displaystyle BD$ este $\displaystyle m_{BD}=\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\dfrac{6-0}{5-(-1)}=\dfrac{6}{6}=1$ .
$\displaystyle m_{BD}=1$
Dreptele $\displaystyle BM$ și $\displaystyle BD$ au aceeași pantă și trec prin același punct $\displaystyle B$ , deci coincid. Prin urmare $\displaystyle B$ , $\displaystyle D$ și $\displaystyle M$ sunt coliniare.
$\displaystyle m_{BD}=1\text{, deci }m_{BD}=m_{BM}\text{, de unde punctele }B$ , $\displaystyle D\text{ și }M\text{ sunt coliniare}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați

\displaystyle x\in(0,\pi)

, știind că

\displaystyle (\sin x-\cos x)^2=2

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm pătratul diferenței cu formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , unde $\displaystyle a=\sin x$ și $\displaystyle b=\cos x$ .
$\displaystyle \sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=2$
Folosim formula fundamentală $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1$ și formula $\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin 2x$ . Ecuația devine $\displaystyle 1-\sin 2x=2$ .
$\displaystyle 1-\sin 2x=2$
Din $\displaystyle 1-\sin 2x=2$ obținem $\displaystyle -\sin 2x=1$ , deci $\displaystyle \sin 2x=-1$ .
$\displaystyle \sin 2x=-1$
Deoarece $\displaystyle x\in(0,\pi)$ , avem $\displaystyle 2x\in(0,2\pi)$ .
$\displaystyle 2x\in(0,2\pi)$
Pe intervalul $\displaystyle (0,2\pi)$ , singura soluție a ecuației $\displaystyle \sin t=-1$ este $\displaystyle t=\dfrac{3\pi}{2}$ . Deci $\displaystyle 2x=\dfrac{3\pi}{2}$ .
$\displaystyle 2x=\frac{3\pi}{2}$
Împărțim la 2 și obținem $\displaystyle x=\dfrac{3\pi}{4}$ , valoare care aparține intervalului $\displaystyle (0,\pi)$ .
$\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1+2^a&2^a\\-2^a&1-2^a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=0$ în matricea $\displaystyle A(a)$ . Deoarece $\displaystyle 2^{0}=1$ , elementele devin: $\displaystyle 1+1=2$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1-1=0$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}$
Scriem determinantul de ordinul doi al matricei $\displaystyle A(0)$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \det(A(0))=2\cdot 0-1\cdot(-1)$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&1\\-1&0\end{vmatrix}=2\cdot 0-1\cdot(-1)$
Calculăm: $\displaystyle 2\cdot 0=0$ , iar $\displaystyle -1\cdot(-1)=1$ . Rezultă că determinantul este $\displaystyle 1$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \det(A(0))=0+1=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1+2^a&2^a\\-2^a&1-2^a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=I_2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în formula matricei: $\displaystyle 2^{1}=2$ , deci $\displaystyle A(1)$ are elementele $\displaystyle 1+2=3$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle -2$ și $\displaystyle 1-2=-1$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}$
Înlocuim $\displaystyle a=2$ : $\displaystyle 2^{2}=4$ , deci $\displaystyle A(2)$ are elementele $\displaystyle 1+4=5$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle -4$ și $\displaystyle 1-4=-3$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}5&4\\-4&-3\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A(1)\cdot A(2)$ , înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle 3\cdot 5+2\cdot(-4)=7$ , $\displaystyle 3\cdot 4+2\cdot(-3)=6$ , $\displaystyle (-2)\cdot 5+(-1)\cdot(-4)=-6$ , $\displaystyle (-2)\cdot 4+(-1)\cdot(-3)=-5$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}7&6\\-6&-5\end{pmatrix}$
Adunăm $\displaystyle A(1)$ și $\displaystyle A(2)$ element cu element, apoi scădem produsul calculat: $\displaystyle 3+5-7=1$ , $\displaystyle 2+4-6=0$ , $\displaystyle -2-4+6=0$ , $\displaystyle -1-3+5=1$ . Obținem matricea unitate, deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&4\\-4&-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7&6\\-6&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1+2^a&2^a\\-2^a&1-2^a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Se consideră numerele naturale

\displaystyle m

și

\displaystyle n

, astfel încât

\displaystyle A(m)\cdot A(n)=A(m+n)

. Arătați că

\displaystyle m=n=1

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle x=2^{m}$ și $\displaystyle y=2^{n}$ . Atunci $\displaystyle 2^{m+n}=xy$ . Calculăm produsul $\displaystyle A(m)\cdot A(n)$ element cu element, unde $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1+x&x\\-x&1-x\end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1+y&y\\-y&1-y\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle x=2^{m}$ , $\displaystyle \ y=2^{n}$ , $\displaystyle \ 2^{m+n}=xy$
Prima linie: $\displaystyle (1+x)(1+y)+x(-y)=1+x+y+xy-xy=1+x+y$ și $\displaystyle (1+x)y+x(1-y)=y+xy+x-xy=x+y$ .
$\displaystyle 1+x+y$ , $\displaystyle \quad x+y$
A doua linie: $\displaystyle -x(1+y)+(1-x)(-y)=-x-xy-y+xy=-x-y$ și $\displaystyle -xy+(1-x)(1-y)=-xy+1-x-y+xy=1-x-y$ .
$\displaystyle -x-y$ , $\displaystyle \quad 1-x-y$
Revenind la $\displaystyle x=2^m$ și $\displaystyle y=2^n$ , obținem produsul și matricea $\displaystyle A(m+n)$ .
$\displaystyle A(m)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}1+2^m+2^n&2^m+2^n\\-2^m-2^n&1-2^m-2^n\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(m+n)=\begin{pmatrix}1+2^{m+n}&2^{m+n}\\-2^{m+n}&1-2^{m+n}\end{pmatrix}$
Din $\displaystyle A(m)\cdot A(n)=A(m+n)$ , egalând elementele de pe poziția $\displaystyle (1,2)$ , obținem $\displaystyle 2^m+2^n=2^{m+n}$ . Celelalte trei egalități dau aceeași condiție.
$\displaystyle 2^{m+n}=2^m+2^n$
Ecuația devine $\displaystyle xy=x+y$ , deci $\displaystyle xy-x-y+1=1$ . Factorizăm membrul stâng: $\displaystyle (x-1)(y-1)=1$ .
$\displaystyle (2^m-1)(2^n-1)=1$
Cum $\displaystyle m,n\in\mathbb{N}$ , numerele $\displaystyle 2^m-1$ și $\displaystyle 2^n-1$ sunt naturale. Produsul lor este $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle 2^m-1=2^n-1=1$ . Rezultă $\displaystyle 2^m=2^n=2$ , adică $\displaystyle m=n=1$ .
$\displaystyle 2^m-1=2^n-1=1\Rightarrow m=n=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x^2+y^2+x+y

.

Arătați că

\displaystyle (-1)*(-1)=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție, $\displaystyle x*y=x^{2}+y^{2}+x+y$ , și înlocuim $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle (-1)*(-1)=(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)+(-1)$
Calculăm puterile: $\displaystyle (-1)^{2}=1$ , deci fiecare dintre cei doi termeni pătratici este egal cu $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle (-1)^{2}=1$
Înlocuim în sumă și efectuăm calculele: $\displaystyle 1+1-1-1=0$ . Deci $\displaystyle (-1)*(-1)=0$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle (-1)*(-1)=1+1-1-1=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x^2+y^2+x+y

.

Demonstrați că

\displaystyle x*y=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ : $\displaystyle x*y=x^2+y^2+x+y$ .
$\displaystyle x*y=x^2+y^2+x+y$
Vrem să obținem pătrate perfecte. Pentru $\displaystyle x$ avem $\displaystyle x^2+x$ , căruia îi lipsește $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ ca să fie pătrat perfect; la fel pentru $\displaystyle y$ . Adăugăm $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ de două ori, adică $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , și îl scădem la loc, ca valoarea expresiei să rămână aceeași.
$\displaystyle x*y=x^2+x+\frac{1}{4}+y^2+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$
Scriem termenii mijlocii ca dublul produsului cu $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ : $\displaystyle x=2x\cdot\dfrac{1}{2}$ , iar $\displaystyle \dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ . Astfel apar două trinoame care sunt pătrate perfecte.
$\displaystyle x*y=\left(x^2+2x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)+\left(y^2+2y\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)-\frac{1}{2}$
Aplicăm formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ pentru fiecare paranteză, cu $\displaystyle b=\dfrac{1}{2}$ . Obținem egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle x*y=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x^2+y^2+x+y

.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x^2*x^2\le 4

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm legea cu $\displaystyle a=x^2$ : $\displaystyle a*a=a^2+a^2+a+a=2a^2+2a$ . Deci $\displaystyle x^2*x^2=2x^4+2x^2$ .
$\displaystyle x^2*x^2=2x^4+2x^2$
Completăm pătratul: $\displaystyle 2a^2+2a=2\left(a^2+a+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}$ , adică $\displaystyle 2x^4+2x^2=2\left(x^2+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle x^2*x^2=2\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}$
Inegalitatea devine $\displaystyle 2\left(x^2+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}\le 4$ . Adunăm $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ în ambii membri: $\displaystyle 2\left(x^2+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{2}$ . Împărțim la 2.
$\displaystyle \left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{9}{4}$
Deoarece $\displaystyle x^2+\dfrac{1}{2}>0$ , extragem rădăcina pătrată în ambii membri, păstrând sensul inegalității.
$\displaystyle x^2+\frac{1}{2}\le\frac{3}{2}$
Scădem $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ din ambii membri: $\displaystyle x^2\le 1$ , deci $\displaystyle |x|\le 1$ .
$\displaystyle x^2\le 1\Leftrightarrow |x|\le 1$
Mulțimea căutată este intervalul închis dintre $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle x\in[-1,1]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+4x-\frac{1}{2}\ln(x+2)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}

,

\displaystyle x\in(-2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția termen cu termen: $\displaystyle (x^{2})'=2x$ , $\displaystyle (4x)'=4$ , iar $\displaystyle \left(\ln(x+2)\right)'=\dfrac{1}{x+2}$ .
$\displaystyle f'(x)=2x+4-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}$
Grupăm primii doi termeni: $\displaystyle 2x+4=2(x+2)$ . Înmulțim fracția și obținem $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{2(x+2)}$ .
$\displaystyle f'(x)=2(x+2)-\frac{1}{2(x+2)}$
Aducem la numitorul comun $\displaystyle 2(x+2)$ : amplificăm primul termen cu $\displaystyle 2(x+2)$ , deci $\displaystyle 2(x+2)=\dfrac{4(x+2)^{2}}{2(x+2)}$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{4(x+2)^{2}-1}{2(x+2)}$
Scriem numărătorul ca diferență de pătrate: $\displaystyle 4(x+2)^{2}-1=\left(2(x+2)\right)^{2}-1^{2}$ . Aplicăm formula $\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ .
$\displaystyle 4(x+2)^{2}-1=(2(x+2)-1)(2(x+2)+1)$
Efectuăm calculele din paranteze: $\displaystyle 2(x+2)-1=2x+3$ , iar $\displaystyle 2(x+2)+1=2x+5$ . Obținem expresia cerută, pentru $\displaystyle x\in(-2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}\text{, }x\in(-2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+4x-\frac{1}{2}\ln(x+2)

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4x-f(x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ în numărător: $\displaystyle x^{2}+4x-f(x)=x^{2}+4x-\left(x^{2}+4x-\dfrac{1}{2}\ln(x+2)\right)$ .
$\displaystyle x^{2}+4x-f(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x+2)$
Reducem termenii $\displaystyle x^{2}$ și $\displaystyle 4x$ , deci limita devine $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\frac{1}{2}\ln(x+2)}{x}$ , care se scrie ca $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+2)}{2x}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+4x-f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{2}\ln(x+2)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+2)}{2x}$
Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ , atât $\displaystyle \ln(x+2)\to+\infty$ , cât și $\displaystyle 2x\to+\infty$ . Avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deci aplicăm regula lui L'Hospital.
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
Derivăm separat: $\displaystyle \left(\ln(x+2)\right)'=\dfrac{1}{x+2}$ și $\displaystyle (2x)'=2$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x+2)}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x+2}}{2}$
Scriem $\displaystyle \dfrac{\frac{1}{x+2}}{2}=\dfrac{1}{2(x+2)}$ , iar când $\displaystyle x\to+\infty$ numitorul tinde la $\displaystyle +\infty$ , deci fracția tinde la $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x+2}}{2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2(x+2)}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+4x-\frac{1}{2}\ln(x+2)

.

Demonstrați că

\displaystyle x^2+4x+\frac{15}{4}\ge\frac{1}{2}\ln(2x+4)

, pentru orice

\displaystyle x\in(-2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Folosim $\displaystyle \ln(2x+4)=\ln 2+\ln(x+2)$ . Inegalitatea cerută devine $\displaystyle x^2+4x-\frac{1}{2}\ln(x+2)\ge-\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$ , adică $\displaystyle f(x)\ge-\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$ . Vom arăta că aceasta este valoarea minimă a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(x)\ge-\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$
Derivăm funcția: $\displaystyle f'(x)=2x+4-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}$ , pentru $\displaystyle x\in(-2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=2x+4-\frac{1}{2(x+2)}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle f'(x)=\frac{4(x+2)^2-1}{2(x+2)}$ . Numărătorul este o diferență de pătrate: $\displaystyle 4(x+2)^2-1=(2x+4-1)(2x+4+1)=(2x+3)(2x+5)$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$
Pentru $\displaystyle x>-2$ avem $\displaystyle x+2>0$ și $\displaystyle 2x+5>0$ , deci semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este dat de $\displaystyle 2x+3$ . Ecuația $\displaystyle 2x+3=0$ dă $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$ . Rezultă $\displaystyle f'(x)\le 0$ pentru $\displaystyle x\in\left(-2,-\frac{3}{2}\right]$ și $\displaystyle f'(x)\ge 0$ pentru $\displaystyle x\in\left[-\frac{3}{2},+\infty\right)$ .
$\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pe }\left(-2,-\frac{3}{2}\right]\text{, }f'(x)\ge 0\text{ pe }\left[-\frac{3}{2},+\infty\right)$
Deci $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \left(-2,-\frac{3}{2}\right]$ și crescătoare pe $\displaystyle \left[-\frac{3}{2},+\infty\right)$ . Punctul $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$ este punct de minim global al lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }\left(-2,-\frac{3}{2}\right]\text{, crescătoare pe }\left[-\frac{3}{2},+\infty\right)$
Calculăm: $\displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-6-\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}=-\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$ , deoarece $\displaystyle \ln\frac{1}{2}=-\ln 2$ .
$\displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$
Din minimul global, $\displaystyle f(x)\ge f\left(-\frac{3}{2}\right)$ , adică $\displaystyle x^2+4x-\frac{1}{2}\ln(x+2)\ge-\frac{15}{4}+\frac{1}{2}\ln 2$ . Mutăm termenii: $\displaystyle x^2+4x+\frac{15}{4}\ge\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}\ln(x+2)=\frac{1}{2}\ln(2x+4)$ , pentru orice $\displaystyle x\in(-2,+\infty)$ .
$\displaystyle x^2+4x+\frac{15}{4}\ge\frac{1}{2}\ln(2x+4)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1+\frac{2}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^3 (x^2+1)f(x)\,dx=18

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle (x^{2}+1)f(x)$ , înlocuind $\displaystyle f(x)=1+\dfrac{2}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle (x^{2}+1)f(x)=(x^{2}+1)\left(1+\dfrac{2}{x^{2}+1}\right)$
Distribuim înmulțirea și simplificăm fracția cu $\displaystyle x^{2}+1$ : $\displaystyle (x^{2}+1)\cdot 1+(x^{2}+1)\cdot\dfrac{2}{x^{2}+1}$ . Obținem un polinom.
$\displaystyle (x^{2}+1)f(x)=x^{2}+1+2=x^{2}+3$
Înlocuim în integrală: $\displaystyle \int_0^3 (x^{2}+1)f(x)\,dx=\int_0^3 (x^{2}+3)\,dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ , iar a lui $\displaystyle 3$ este $\displaystyle 3x$ .
$\displaystyle \int_0^3(x^{2}+1)f(x)\,dx=\left(\dfrac{x^{3}}{3}+3x\right)\Big|_0^3$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în $\displaystyle 3$ este $\displaystyle \dfrac{27}{3}+9$ , iar în $\displaystyle 0$ este $\displaystyle 0$ . Rezultatul este $\displaystyle 18$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \dfrac{27}{3}+9-0=9+9=18$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1+\frac{2}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^3 xf(x)\,dx=4+\ln 5

.

Vezi rezolvarea

Avem de calculat $\displaystyle \int_1^3 xf(x)\,dx$ , unde $\displaystyle f(x)=1+\dfrac{2}{x^2+1}$ .
$\displaystyle \int_1^3 x\left(1+\frac{2}{x^2+1}\right)dx$
Distribuim pe $\displaystyle x$ în paranteză: $\displaystyle x\cdot 1=x$ și $\displaystyle x\cdot\dfrac{2}{x^2+1}=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .
$\displaystyle \int_1^3 xf(x)\,dx=\int_1^3\left(x+\frac{2x}{x^2+1}\right)dx$
Separăm integrala în două. Prima are primitiva $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ . La a doua, $\displaystyle (x^2+1)'=2x$ , deci $\displaystyle \dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1}$ , cu primitiva $\displaystyle \ln(x^2+1)$ , pentru că $\displaystyle x^2+1>0$ .
$\displaystyle \int_1^3 xf(x)\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_1^3+\ln(x^2+1)\Big|_1^3$
Calculăm $\displaystyle \dfrac{3^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{9-1}{2}$ și $\displaystyle \ln(3^2+1)-\ln(1^2+1)=\ln 10-\ln 2$ .
$\displaystyle \frac{9-1}{2}+\ln 10-\ln 2$
Avem $\displaystyle \dfrac{9-1}{2}=4$ și $\displaystyle \ln 10-\ln 2=\ln\dfrac{10}{2}=\ln 5$ . Deci integrala este egală cu $\displaystyle 4+\ln 5$ .
$\displaystyle \frac{9-1}{2}+\ln 10-\ln 2=4+\ln 5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1+\frac{2}{x^2+1}

.

Demonstrați că

\displaystyle F(x+1)\ge F(x)+1

, pentru orice număr real

\displaystyle x

, unde

\displaystyle F

este o primitivă a lui

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Deoarece $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ și $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , formula Leibniz-Newton pe intervalul cu capetele $\displaystyle x$ și $\displaystyle x+1$ dă $\displaystyle \int_x^{x+1}f(t)\,dt=F(x+1)-F(x)$ .
$\displaystyle F(x+1)-F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt$
Pentru orice $\displaystyle t\in\mathbb{R}$ avem $\displaystyle t^2+1>0$ , deci $\displaystyle \dfrac{2}{t^2+1}>0$ . Atunci $\displaystyle f(t)=1+\dfrac{2}{t^2+1}>1$ .
$\displaystyle f(t)=1+\frac{2}{t^2+1}>1$
Cum $\displaystyle x<x+1$ , integrala păstrează inegalitatea: $\displaystyle \int_x^{x+1}f(t)\,dt\ge\int_x^{x+1}1\,dt$ .
$\displaystyle \int_x^{x+1}f(t)\,dt\ge\int_x^{x+1}1\,dt$
Calculăm $\displaystyle \int_x^{x+1}1\,dt=t\Big|_x^{x+1}=x+1-x=1$ .
$\displaystyle \int_x^{x+1}1\,dt=x+1-x=1$
Din cele de mai sus, $\displaystyle F(x+1)-F(x)\ge 1$ , adică $\displaystyle F(x+1)\ge F(x)+1$ , pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle F(x+1)\ge F(x)+1$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani