Bac matematică M2 științe ale naturii 2017, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=4\displaystyle a_1=4 și a2=7\displaystyle a_2=7.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație. Calculăm rația ca diferența dintre al doilea și primul termen: r=a2−a1=7−4\displaystyle r=a_2-a_1=7-4.
    r=7−4=3\displaystyle r=7-4=3
  2. Al treilea termen se obține adunând rația la al doilea termen: a3=a2+r=7+3\displaystyle a_3=a_2+r=7+3.
    a3=7+3=10\displaystyle a_3=7+3=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2−4x+1=0\displaystyle x^2-4x+1=0. Arătați că 4x1x2−(x1+x2)=0\displaystyle 4x_1x_2-(x_1+x_2)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−4x+1=0\displaystyle x^2-4x+1=0 este de gradul al doilea, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=1\displaystyle c=1. Identificăm coeficienții pentru a folosi relațiile lui Viète.
    a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle \ b=-4, c=1\displaystyle \ c=1
  2. Aplicăm relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este x1+x2=−ba=−−41=4\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-4}{1}=4, iar produsul este x1x2=ca=11=1\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{1}=1.
    x1+x2=4\displaystyle x_1+x_2=4, x1x2=1\displaystyle \ x_1x_2=1
  3. Înlocuim suma și produsul în expresia dată: 4x1x2−(x1+x2)=4⋅1−4\displaystyle 4x_1x_2-(x_1+x_2)=4\cdot 1-4.
    4x1x2−(x1+x2)=4⋅1−4\displaystyle 4x_1x_2-(x_1+x_2)=4\cdot 1-4
  4. Calculăm: 4⋅1−4=4−4=0\displaystyle 4\cdot 1-4=4-4=0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    4x1x2−(x1+x2)=0\displaystyle 4x_1x_2-(x_1+x_2)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+1=18\displaystyle 2^{2x+1}=\frac{1}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul 18\displaystyle \dfrac{1}{8} ca putere a lui 2\displaystyle 2: cum 8=23\displaystyle 8=2^{3}, avem 18=2−3\displaystyle \dfrac{1}{8}=2^{-3}.
    18=2−3\displaystyle \frac{1}{8}=2^{-3}
  2. Înlocuim în ecuație: 22x+1=2−3\displaystyle 2^{2x+1}=2^{-3}. Baza 2\displaystyle 2 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă și exponenții trebuie să fie egali.
    22x+1=2−3⇔2x+1=−3\displaystyle 2^{2x+1}=2^{-3}\Leftrightarrow 2x+1=-3
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem 2x=−4\displaystyle 2x=-4, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    2x=−4⇒x=−2\displaystyle 2x=-4\Rightarrow x=-2
  4. Verificare: pentru x=−2\displaystyle x=-2, exponentul este 2⋅(−2)+1=−3\displaystyle 2\cdot(-2)+1=-3, iar 2−3=18\displaystyle 2^{-3}=\dfrac{1}{8}. Soluția ecuației este x=−2\displaystyle x=-2.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 15\displaystyle 15.
Vezi rezolvarea
  1. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99.
    p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}
  2. Numărăm cazurile posibile: de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99 sunt 99−10+1\displaystyle 99-10+1 numere.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Căutăm multiplii lui 15\displaystyle 15 care au două cifre: 15⋅1,15⋅2,…,15⋅6\displaystyle 15\cdot 1, 15\cdot 2, \ldots, 15\cdot 6 dau numere de două cifre, iar 15⋅7=105\displaystyle 15\cdot 7=105 are trei cifre. Deci multiplii sunt 15,30,45,60,75,90\displaystyle 15, 30, 45, 60, 75, 90.
    15\displaystyle 15,30\displaystyle 30,45\displaystyle 45,60\displaystyle 60,75\displaystyle 75,90, deci 6 cazuri favorabile\displaystyle 90\text{, deci }6\text{ cazuri favorabile}
  4. Înlocuim în formula probabilității: 6\displaystyle 6 cazuri favorabile din 90\displaystyle 90 posibile, apoi simplificăm fracția prin 6\displaystyle 6.
    p=690=115\displaystyle p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,1)\displaystyle A(0,1), B(1,1)\displaystyle B(1,1) și C(3,a)\displaystyle C(3,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt coliniare dacă dreptele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC au aceeași pantă. Folosim formula pantei dreptei prin două puncte: m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
    mAB=mAC\displaystyle m_{AB}=m_{AC}
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu A(0,1)\displaystyle A(0,1) și B(1,1)\displaystyle B(1,1): mAB=1−11−0=0\displaystyle m_{AB}=\dfrac{1-1}{1-0}=0. Apoi panta dreptei AC\displaystyle AC cu A(0,1)\displaystyle A(0,1) și C(3,a)\displaystyle C(3,a): mAC=a−13−0=a−13\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-1}{3-0}=\dfrac{a-1}{3}.
    mAB=0\displaystyle m_{AB}=0, mAC=a−13\displaystyle \ m_{AC}=\frac{a-1}{3}
  3. Egalăm pantele: a−13=0\displaystyle \dfrac{a-1}{3}=0. O fracție este nulă când numărătorul este nul, deci a−1=0\displaystyle a-1=0.
    a−13=0⇔a−1=0\displaystyle \frac{a-1}{3}=0\Leftrightarrow a-1=0
  4. Rezolvăm ecuația și obținem a=1\displaystyle a=1. Verificare: pentru a=1\displaystyle a=1, toate cele trei puncte au ordonata 1\displaystyle 1, deci se află pe dreapta y=1\displaystyle y=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=43\displaystyle AB=4\sqrt{3}, AC=4\displaystyle AC=4 și sin⁡C=32\displaystyle \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}. Calculați sin⁡B\displaystyle \sin B.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul ABC\displaystyle ABC: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este același pentru laturile AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, iar latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B.
    ABsin⁡C=ACsin⁡B\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}
  2. Exprimăm sin⁡B\displaystyle \sin B din relația de mai sus: îl scoatem înmulțind cu AC\displaystyle AC și sin⁡C\displaystyle \sin C și împărțind la AB\displaystyle AB.
    sin⁡B=AC⋅sin⁡CAB\displaystyle \sin B=\frac{AC\cdot\sin C}{AB}
  3. Înlocuim datele problemei: AC=4\displaystyle AC=4, sin⁡C=32\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și AB=43\displaystyle AB=4\sqrt{3}.
    sin⁡B=4⋅3243\displaystyle \sin B=\frac{4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}}
  4. Calculăm numărătorul: 4⋅32=23\displaystyle 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}. Apoi simplificăm cu 3\displaystyle \sqrt{3} de la numitor.
    sin⁡B=2343=12\displaystyle \sin B=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(0xx0)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&x\\x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−1\displaystyle \det(A(1))=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în A(x)=(0xx0)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&x\\x&0\end{pmatrix} și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(0110)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1), adică un determinant de ordin 2.
    det⁡(A(1))=∣0110∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 0⋅0−1⋅1=0−1\displaystyle 0\cdot 0-1\cdot 1=0-1. Rezultă det⁡(A(1))=−1\displaystyle \det(A(1))=-1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    det⁡(A(1))=0⋅0−1⋅1=0−1=−1\displaystyle \det(A(1))=0\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(0xx0)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&x\\x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)A(y)=xyI2\displaystyle A(x)A(y)=xyI_2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y) pentru x\displaystyle x și y\displaystyle y numere reale oarecare.
    A(x)A(y)=(0xx0)(0yy0)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}0&x\\x&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&y\\y&0\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1 se obține înmulțind linia 1 din prima matrice cu coloana 1 din a doua: 0⋅0+x⋅y\displaystyle 0\cdot 0+x\cdot y.
    0⋅0+x⋅y=xy\displaystyle 0\cdot 0+x\cdot y=xy
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este 0⋅y+x⋅0\displaystyle 0\cdot y+x\cdot 0.
    0⋅y+x⋅0=0\displaystyle 0\cdot y+x\cdot 0=0
  4. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este x⋅0+0⋅y\displaystyle x\cdot 0+0\cdot y.
    x⋅0+0⋅y=0\displaystyle x\cdot 0+0\cdot y=0
  5. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este x⋅y+0⋅0\displaystyle x\cdot y+0\cdot 0.
    x⋅y+0⋅0=xy\displaystyle x\cdot y+0\cdot 0=xy
  6. Punem cele patru elemente în matricea produs.
    A(x)A(y)=(xy00xy)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}xy&0\\0&xy\end{pmatrix}
  7. Scoatem factorul xy\displaystyle xy în fața matricei și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Calculul nu a folosit nicio valoare particulară, deci egalitatea este valabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    A(x)A(y)=xy(1001)=xyI2, pentru orice numere \displaystyle A(x)A(y)=xy\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=xyI_2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(0xx0)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}0&x\\x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A(3a)A(3a+1)A(3a+2)=A(27)\displaystyle A\left(3^a\right)A\left(3^{a+1}\right)A\left(3^{a+2}\right)=A(27).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul a două matrice de forma A(x)\displaystyle A(x) și A(y)\displaystyle A(y), pentru x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare: A(x)A(y)=(0xx0)(0yy0)=(xy00xy)=xy⋅I2\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}0&x\\x&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&y\\y&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xy&0\\0&xy\end{pmatrix}=xy\cdot I_2.
    A(x)A(y)=xy⋅I2\displaystyle A(x)A(y)=xy\cdot I_2
  2. Înmulțim rezultatul cu a treia matrice A(z)\displaystyle A(z). Deoarece I2⋅A(z)=A(z)\displaystyle I_2\cdot A(z)=A(z), avem A(x)A(y)A(z)=xy⋅A(z)=(0xyzxyz0)=A(xyz)\displaystyle A(x)A(y)A(z)=xy\cdot A(z)=\begin{pmatrix}0&xyz\\xyz&0\end{pmatrix}=A(xyz).
    A(x)A(y)A(z)=A(xyz)\displaystyle A(x)A(y)A(z)=A(xyz)
  3. Aplicăm proprietatea pentru x=3a\displaystyle x=3^{a}, y=3a+1\displaystyle y=3^{a+1}, z=3a+2\displaystyle z=3^{a+2}. Produsul este 3a⋅3a+1⋅3a+2=3a+(a+1)+(a+2)=33a+3\displaystyle 3^{a}\cdot 3^{a+1}\cdot 3^{a+2}=3^{a+(a+1)+(a+2)}=3^{3a+3}, deci A(3a)A(3a+1)A(3a+2)=A(33a+3)\displaystyle A\left(3^a\right)A\left(3^{a+1}\right)A\left(3^{a+2}\right)=A\left(3^{3a+3}\right).
    A(3a)A(3a+1)A(3a+2)=A(33a+3)\displaystyle A\left(3^a\right)A\left(3^{a+1}\right)A\left(3^{a+2}\right)=A\left(3^{3a+3}\right)
  4. Egalăm cu A(27)\displaystyle A(27): A(33a+3)=A(27)\displaystyle A\left(3^{3a+3}\right)=A(27). Matricele sunt egale doar dacă au aceleași elemente, deci 33a+3=27\displaystyle 3^{3a+3}=27. Cum 27=33\displaystyle 27=3^3, obținem 33a+3=33\displaystyle 3^{3a+3}=3^{3}.
    33a+3=33\displaystyle 3^{3a+3}=3^{3}
  5. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci egalăm exponenții: 3a+3=3\displaystyle 3a+3=3. De aici 3a=0\displaystyle 3a=0, deci a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−4\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=1\displaystyle m=1, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=1\displaystyle m=1 polinomul devine f=X3+1⋅X2+2X−4\displaystyle f=X^3+1\cdot X^2+2X-4, adică f=X3+X2+2X−4\displaystyle f=X^3+X^2+2X-4.
    f=X3+X2+2X−4\displaystyle f=X^3+X^2+2X-4
  2. Înlocuim X=1\displaystyle X=1 în fiecare termen: f(1)=13+12+2⋅1−4\displaystyle f(1)=1^3+1^2+2\cdot 1-4.
    f(1)=13+12+2⋅1−4\displaystyle f(1)=1^3+1^2+2\cdot 1-4
  3. Avem 13=1\displaystyle 1^3=1, 12=1\displaystyle 1^2=1 și 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, deci f(1)=1+1+2−4=4−4\displaystyle f(1)=1+1+2-4=4-4. Rezultă f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=1+1+2−4=0\displaystyle f(1)=1+1+2-4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−4\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că, dacă polinomul f\displaystyle f se divide cu X+2\displaystyle X+2, atunci restul împărțirii lui f\displaystyle f la X+3\displaystyle X+3 este egal cu −1\displaystyle -1.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă f\displaystyle f se divide cu X+2\displaystyle X+2, atunci, conform teoremei restului, f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0.
    f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0
  2. Calculăm f(−2)\displaystyle f(-2) în funcție de m\displaystyle m: f(−2)=(−2)3+m⋅(−2)2+2⋅(−2)−4\displaystyle f(-2)=(-2)^3+m\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-4.
    f(−2)=−8+4m−4−4=4m−16\displaystyle f(-2)=-8+4m-4-4=4m-16
  3. Din f(−2)=0\displaystyle f(-2)=0 rezultă 4m−16=0\displaystyle 4m-16=0, deci m=4\displaystyle m=4. Polinomul este f=X3+4X2+2X−4\displaystyle f=X^3+4X^2+2X-4.
    m=4, deci f=X3+4X2+2X−4\displaystyle m=4\text{, deci }f=X^3+4X^2+2X-4
  4. Restul împărțirii lui f\displaystyle f la X+3=X−(−3)\displaystyle X+3=X-(-3) este f(−3)\displaystyle f(-3), conform teoremei restului.
    r=f(−3)\displaystyle r=f(-3)
  5. Calculăm f(−3)\displaystyle f(-3) înlocuind X\displaystyle X cu −3\displaystyle -3 în polinomul cu m=4\displaystyle m=4. Restul este −1\displaystyle -1, deci afirmația este demonstrată.
    f(−3)=−27+36−6−4=−1\displaystyle f(-3)=-27+36-6-4=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−4\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că 1x1+1x2+1x3+x1+x2+x3=12\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+x_1+x_2+x_3=\frac{1}{2}, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3+mX2+2X−4\displaystyle f=X^3+mX^2+2X-4. Suma rădăcinilor este −m\displaystyle -m, suma produselor câte două este 2\displaystyle 2, iar produsul rădăcinilor este −(−4)=4\displaystyle -(-4)=4.
    x1+x2+x3=−m\displaystyle x_1+x_2+x_3=-m, x1x2+x2x3+x3x1=2\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2, x1x2x3=4\displaystyle \ x_1x_2x_3=4
  2. Produsul rădăcinilor este 4≠0\displaystyle 4\neq 0, deci rădăcinile sunt nenule. Aducem fracțiile la același numitor comun x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3.
    1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}
  3. Înlocuim din relațiile lui Viète: numărătorul este 2\displaystyle 2, iar numitorul este 4\displaystyle 4.
    1x1+1x2+1x3=24=12\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
  4. Adăugăm suma rădăcinilor x1+x2+x3=−m\displaystyle x_1+x_2+x_3=-m. Expresia din enunț devine 12−m\displaystyle \dfrac{1}{2}-m, iar egalitatea din enunț dă ecuația 12−m=12\displaystyle \dfrac{1}{2}-m=\dfrac{1}{2}.
    x1x2+x2x3+x3x1x1x2x3+(x1+x2+x3)=12−m=12⇒m=0\displaystyle \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}+(x_1+x_2+x_3)=\frac{1}{2}-m=\frac{1}{2}\Rightarrow m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2017ex\displaystyle f(x)=\frac{x+2017}{e^x}.

Arătați că f′(x)=−(x+2016)ex\displaystyle f'(x)=\frac{-(x+2016)}{e^x}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, numărătorul u(x)=x+2017\displaystyle u(x)=x+2017 și numitorul v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(x+2017)′ex−(x+2017)(ex)′(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+2017)'e^x-(x+2017)(e^x)'}{\left(e^x\right)^2}
  2. Calculăm derivatele: (x+2017)′=1\displaystyle (x+2017)'=1, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    f′(x)=1⋅ex−(x+2017)⋅ex(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot e^x-(x+2017)\cdot e^x}{\left(e^x\right)^2}
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x la numărător.
    f′(x)=ex(1−x−2017)(ex)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^x\left(1-x-2017\right)}{\left(e^x\right)^2}
  4. Reducem termenii din paranteză: 1−x−2017=−x−2016=−(x+2016)\displaystyle 1-x-2017=-x-2016=-(x+2016). Simplificăm fracția prin ex\displaystyle e^x, deoarece (ex)2=ex⋅ex\displaystyle \left(e^x\right)^2=e^x\cdot e^x. Obținem expresia cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=−(x+2016)ex, x∈R\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(x+2016)}{e^x}\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2017ex\displaystyle f(x)=\frac{x+2017}{e^x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0 este y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0). Avem nevoie de f(0)\displaystyle f(0) și de f′(0)\displaystyle f'(0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=x+2017ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+2017}{e^{x}} și obținem f(0)=0+2017e0=20171\displaystyle f(0)=\dfrac{0+2017}{e^{0}}=\dfrac{2017}{1}.
    f(0)=2017\displaystyle f(0)=2017
  3. Derivăm cu formula câtului: f′(x)=(x+2017)′⋅ex−(x+2017)⋅(ex)′(ex)2=ex−(x+2017)exe2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+2017)'\cdot e^{x}-(x+2017)\cdot (e^{x})'}{(e^{x})^{2}}=\dfrac{e^{x}-(x+2017)e^{x}}{e^{2x}}.
    f′(x)=ex−(x+2017)exe2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{e^{x}-(x+2017)e^{x}}{e^{2x}}
  4. Simplificăm prin ex\displaystyle e^{x}: f′(x)=1−x−2017ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-x-2017}{e^{x}}, deci f′(x)=−x−2016ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x-2016}{e^{x}}.
    f′(x)=−x−2016ex\displaystyle f'(x)=\dfrac{-x-2016}{e^{x}}
  5. Înlocuim x=0\displaystyle x=0: f′(0)=−0−2016e0=−2016\displaystyle f'(0)=\dfrac{-0-2016}{e^{0}}=-2016. Deci f(0)=2017\displaystyle f(0)=2017 și f′(0)=−2016\displaystyle f'(0)=-2016.
    f(0)=2017\displaystyle f(0)=2017, f′(0)=−2016\displaystyle \ f'(0)=-2016
  6. Înlocuim în formulă: y−2017=−2016(x−0)\displaystyle y-2017=-2016(x-0), de unde y=−2016x+2017\displaystyle y=-2016x+2017. Aceasta este ecuația tangentei cerute.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=−2016x+2017\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=-2016x+2017
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2017ex\displaystyle f(x)=\frac{x+2017}{e^x}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă pe [−2015,+∞)\displaystyle [-2015,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția sub forma unui produs cu exponențială negativă, ca să derivăm mai ușor: f(x)=(x+2017)e−x\displaystyle f(x)=(x+2017)e^{-x}.
    f(x)=(x+2017)e−x\displaystyle f(x)=(x+2017)e^{-x}
  2. Calculăm prima derivată cu regula de derivare a produsului: f′(x)=1⋅e−x+(x+2017)⋅(−e−x)\displaystyle f'(x)=1\cdot e^{-x}+(x+2017)\cdot\left(-e^{-x}\right). Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x} și obținem f′(x)=e−x(1−x−2017)=−(x+2016)e−x\displaystyle f'(x)=e^{-x}(1-x-2017)=-(x+2016)e^{-x}.
    f′(x)=−x+2016ex\displaystyle f'(x)=-\dfrac{x+2016}{e^{x}}
  3. Calculăm a doua derivată: f′′(x)=−e−x+(−(x+2016))⋅(−e−x)\displaystyle f''(x)=-e^{-x}+\left(-(x+2016)\right)\cdot\left(-e^{-x}\right). Dăm factor comun e−x\displaystyle e^{-x} și obținem f′′(x)=e−x(−1+x+2016)=(x+2015)e−x\displaystyle f''(x)=e^{-x}(-1+x+2016)=(x+2015)e^{-x}.
    f′′(x)=x+2015ex\displaystyle f''(x)=\dfrac{x+2015}{e^{x}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' pe interval. Pentru x≥−2015\displaystyle x\geq -2015 avem x+2015≥0\displaystyle x+2015\geq 0, iar ex>0\displaystyle e^{x}>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci f′′(x)=x+2015ex≥0\displaystyle f''(x)=\dfrac{x+2015}{e^{x}}\geq 0.
    f′′(x)≥0 pentru orice x∈[−2015,+∞)\displaystyle f''(x)\geq 0\text{ pentru orice }x\in[-2015,+\infty)
  5. Deoarece f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\geq 0 pe intervalul [−2015,+∞)\displaystyle [-2015,+\infty), funcția f\displaystyle f este convexă pe acest interval.
    f′′(x)≥0 pentru orice x∈[−2015,+∞), deci f este convexa˘ pe [−2015,+∞)\displaystyle f''(x)\geq 0\text{ pentru orice }x\in[-2015,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă pe }[-2015,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Arătați că ∫011f(x)dx=43\displaystyle \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx=\frac{4}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm inversul funcției f\displaystyle f. Cum f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}, avem 1f(x)=x2+1\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=x^{2}+1.
    1f(x)=x2+1\displaystyle \frac{1}{f(x)}=x^{2}+1
  2. Înlocuim în integrală: ∫011f(x) dx=∫01(x2+1)dx\displaystyle \displaystyle\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx=\int_0^1\left(x^{2}+1\right)dx.
    ∫011f(x) dx=∫01(x2+1)dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx=\int_0^1\left(x^{2}+1\right)dx
  3. Aflăm o primitivă a funcției x2+1\displaystyle x^{2}+1: primitiva lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton, cu limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01(x2+1)dx=(x33+x)∣01\displaystyle \int_0^1\left(x^{2}+1\right)dx=\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile primitivei în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și le scădem: în 1\displaystyle 1 obținem 13+1\displaystyle \dfrac{1}{3}+1, în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Rezultă 13+1=43\displaystyle \dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}, ceea ce trebuia arătat.
    (13+1)−0=43\displaystyle \left(\frac{1}{3}+1\right)-0=\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f, știind că F(1)=π4+1\displaystyle F(1)=\frac{\pi}{4}+1.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm primitivele funcției f\displaystyle f. Știm că (arctg⁡x)′=1x2+1\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}, deci arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x este o primitivă a lui f\displaystyle f. Toate primitivele diferă printr-o constantă reală.
    F(x)=arctg⁡x+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=\operatorname{arctg}x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  2. Folosim condiția dată: înlocuim x=1\displaystyle x=1 în expresia lui F\displaystyle F. Deoarece arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}, obținem F(1)=π4+c\displaystyle F(1)=\dfrac{\pi}{4}+c.
    F(1)=arctg⁡1+c=π4+c\displaystyle F(1)=\operatorname{arctg}1+c=\frac{\pi}{4}+c
  3. Egalăm cu valoarea dată, F(1)=π4+1\displaystyle F(1)=\dfrac{\pi}{4}+1. Rezultă c=1\displaystyle c=1, deci primitiva cerută este F(x)=arctg⁡x+1\displaystyle F(x)=\operatorname{arctg}x+1.
    π4+c=π4+1⇒c=1, deci F(x)=arctg⁡x+1\displaystyle \frac{\pi}{4}+c=\frac{\pi}{4}+1\Rightarrow c=1\text{, deci }F(x)=\operatorname{arctg}x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că ∫0nxf(x)dx=12ln⁡5\displaystyle \int_0^n xf(x)dx=\frac{1}{2}\ln 5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} în integrală: xf(x)=xx2+1\displaystyle xf(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
    ∫0nxf(x) dx=∫0nxx2+1 dx\displaystyle \int_0^n xf(x)\,dx=\int_0^n \frac{x}{x^{2}+1}\,dx
  2. Observăm că (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x, deci o primitivă a lui xx2+1\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}+1} este 12ln⁡(x2+1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right). Verificare: (12ln⁡(x2+1))′=12⋅2xx2+1=xx2+1\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+1}=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
    ∫xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)+C\displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 12ln⁡(n2+1)−12ln⁡(02+1)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(n^{2}+1\right)-\dfrac{1}{2}\ln\left(0^{2}+1\right). Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, rămâne doar primul termen.
    ∫0nxf(x) dx=12ln⁡(x2+1)∣0n=12ln⁡(n2+1)\displaystyle \int_0^n xf(x)\,dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)\Big|_0^n=\frac{1}{2}\ln\left(n^{2}+1\right)
  4. Egalăm cu valoarea din enunț: 12ln⁡(n2+1)=12ln⁡5\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left(n^{2}+1\right)=\dfrac{1}{2}\ln 5. Înmulțind cu 2\displaystyle 2 obținem ln⁡(n2+1)=ln⁡5\displaystyle \ln\left(n^{2}+1\right)=\ln 5.
    ln⁡(n2+1)=ln⁡5\displaystyle \ln\left(n^{2}+1\right)=\ln 5
  5. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, deci n2+1=5\displaystyle n^{2}+1=5, adică n2=4\displaystyle n^{2}=4. Cum n\displaystyle n este număr natural, n≥0\displaystyle n\geq 0, deci n=2\displaystyle n=2.
    n2+1=5, de unde n=2\displaystyle n^{2}+1=5\text{, de unde }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.