Bac matematică M2 științe ale naturii 2022, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a1\displaystyle a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}, știind că a2=6\displaystyle a_2=6 și a3=12\displaystyle a_3=12.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, rația este diferența dintre doi termeni consecutivi. Calculăm rația ca diferența dintre al treilea și al doilea termen: r=a3−a2\displaystyle r=a_3-a_2.
    r=a3−a2=12−6\displaystyle r=a_3-a_2=12-6
  2. Efectuăm scăderea și obținem rația progresiei: r=12−6=6\displaystyle r=12-6=6.
    r=6\displaystyle r=6
  3. Deoarece a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r, primul termen este a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r.
    a1=a2−r=6−6\displaystyle a_1=a_2-r=6-6
  4. Efectuăm calculul: a1=6−6=0\displaystyle a_1=6-6=0. Verificare: termenii 0,6,12\displaystyle 0, 6, 12 sunt consecutivi, cu rația 6\displaystyle 6.
    a1=0\displaystyle a_1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)+f(2a)=2\displaystyle f(a)+f(2a)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5 pe x\displaystyle x cu a\displaystyle a, respectiv cu 2a\displaystyle 2a: f(a)=a−5\displaystyle f(a)=a-5 și f(2a)=2a−5\displaystyle f(2a)=2a-5.
    f(a)=a−5\displaystyle f(a)=a-5,f(2a)=2a−5\displaystyle \quad f(2a)=2a-5
  2. Ecuația f(a)+f(2a)=2\displaystyle f(a)+f(2a)=2 devine a−5+2a−5=2\displaystyle a-5+2a-5=2.
    a−5+2a−5=2\displaystyle a-5+2a-5=2
  3. Reducem termenii asemenea: 3a−10=2\displaystyle 3a-10=2. Adunăm 10\displaystyle 10 în ambii membri și obținem 3a=12\displaystyle 3a=12.
    3a−10=2⇔3a=12\displaystyle 3a-10=2\Leftrightarrow 3a=12
  4. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle 3: a=123=4\displaystyle a=\dfrac{12}{3}=4.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x⋅15=25\displaystyle 5^x\cdot\frac{1}{5}=25.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația este 5x⋅15=25\displaystyle 5^{x}\cdot\dfrac{1}{5}=25. Scriem 15=5−1\displaystyle \dfrac{1}{5}=5^{-1}.
    5x⋅5−1=25\displaystyle 5^{x}\cdot 5^{-1}=25
  2. Folosim am⋅an=am+n\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, deci membrul stâng devine 5x−1\displaystyle 5^{x-1}. Scriem și 25=52\displaystyle 25=5^{2}.
    5x−1=52\displaystyle 5^{x-1}=5^{2}
  3. Deoarece baza 5\displaystyle 5 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților.
    5x−1=52, deci x−1=2\displaystyle 5^{x-1}=5^{2}\text{, deci }x-1=2
  4. Din x−1=2\displaystyle x-1=2 obținem x=2+1\displaystyle x=2+1, deci x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 16\displaystyle 16.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90, deci avem 90\displaystyle 90 de cazuri posibile.
    90\displaystyle 90
  2. Căutăm multiplii lui 16\displaystyle 16 care au două cifre. Cel mai mic este 16⋅1=16\displaystyle 16\cdot 1=16, iar cel mai mare este 16⋅6=96\displaystyle 16\cdot 6=96, deoarece 16⋅7=112\displaystyle 16\cdot 7=112 are trei cifre.
    16 și 96\displaystyle 16\text{ și }96
  3. Multiplii lui 16\displaystyle 16 cu două cifre sunt 16,32,48,64,80,96\displaystyle 16, 32, 48, 64, 80, 96, deci sunt 6\displaystyle 6 cazuri favorabile.
    {16,32,48,64,80,96}\displaystyle \{16,32,48,64,80,96\}
  4. Aplicăm formula probabilității, cazuri favorabile împărțite la cazuri posibile, apoi simplificăm fracția prin 6\displaystyle 6: p=690=115\displaystyle p=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}.
    115\displaystyle \frac{1}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,2)\displaystyle A(3,2) și B(1,4)\displaystyle B(1,4). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C, astfel încât punctul A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C). Deoarece A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, coordonatele lui A\displaystyle A sunt semisumele coordonatelor lui B\displaystyle B și C\displaystyle C.
    A(xB+xC2,yB+yC2)\displaystyle A\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)
  2. Înlocuim B(1,4)\displaystyle B(1,4) și obținem coordonatele lui A\displaystyle A în funcție de xC\displaystyle x_C și yC\displaystyle y_C.
    A(1+xC2,4+yC2)\displaystyle A\left(\frac{1+x_C}{2},\frac{4+y_C}{2}\right)
  3. Egalăm abscisa lui A\displaystyle A, care este 3\displaystyle 3, cu semisuma absciselor: 1+xC2=3\displaystyle \dfrac{1+x_C}{2}=3, deci 1+xC=6\displaystyle 1+x_C=6.
    xC=5\displaystyle x_C=5
  4. Egalăm ordonata lui A\displaystyle A, care este 2\displaystyle 2, cu semisuma ordonatelor: 4+yC2=2\displaystyle \dfrac{4+y_C}{2}=2, deci 4+yC=4\displaystyle 4+y_C=4. Rezultă yC=0\displaystyle y_C=0, adică punctul C(5,0)\displaystyle C(5,0).
    yC=0, deci C(5,0)\displaystyle y_C=0\text{, deci }C(5,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+sin⁡3x2−cos⁡x2\displaystyle E(x)=\sin x+\sin\frac{3x}{2}-\cos\frac{x}{2}, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π3)=1\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} în expresia E(x)\displaystyle E(x).
    E(π3)=sin⁡π3+sin⁡3⋅π32−cos⁡π32\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{3\cdot\frac{\pi}{3}}{2}-\cos\frac{\frac{\pi}{3}}{2}
  2. Simplificăm argumentele: 3⋅π32=π2\displaystyle \dfrac{3\cdot\frac{\pi}{3}}{2}=\dfrac{\pi}{2}, iar π32=π6\displaystyle \dfrac{\frac{\pi}{3}}{2}=\dfrac{\pi}{6}.
    E(π3)=sin⁡π3+sin⁡π2−cos⁡π6\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{6}
  3. Folosim valorile cunoscute: sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π2=1\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1 și cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡π3=32\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π2=1\displaystyle \ \sin\frac{\pi}{2}=1, cos⁡π6=32\displaystyle \ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Înlocuim valorile în expresie; termenii 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2} se reduc, deci rămâne 1\displaystyle 1.
    E(π3)=32+1−32=1\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x3−x2−xx)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordinul doi: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle b=-1, c=−1\displaystyle c=-1, d=1\displaystyle d=1: det⁡A=1⋅1−(−1)⋅(−1)\displaystyle \det A=1\cdot 1-(-1)\cdot(-1).
    det⁡A=∣1−1−11∣=1⋅1−(−1)⋅(−1)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-1\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1=1, iar (−1)⋅(−1)=1\displaystyle (-1)\cdot(-1)=1. Rămâne diferența 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
    1−1=0\displaystyle 1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x3−x2−xx)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(x)−B(0)=xA\displaystyle B(x)-B(0)=xA, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în B(x)=(x3−x2−xx)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix} și obținem matricea B(0)\displaystyle B(0).
    B(0)=(0320)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0&3\\2&0\end{pmatrix}
  2. Scădem matricele element cu element: B(x)−B(0)=(x−03−x−32−x−2x−0)\displaystyle B(x)-B(0)=\begin{pmatrix}x-0&3-x-3\\2-x-2&x-0\end{pmatrix}.
    B(x)−B(0)=(x−03−x−32−x−2x−0)\displaystyle B(x)-B(0)=\begin{pmatrix}x-0&3-x-3\\2-x-2&x-0\end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele din fiecare element: 3−x−3=−x\displaystyle 3-x-3=-x și 2−x−2=−x\displaystyle 2-x-2=-x.
    B(x)−B(0)=(x−x−xx)\displaystyle B(x)-B(0)=\begin{pmatrix}x&-x\\-x&x\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul x\displaystyle x din toate elementele matricei: (x−x−xx)=x(1−1−11)\displaystyle \begin{pmatrix}x&-x\\-x&x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}, iar ultima matrice este chiar A\displaystyle A. Deci egalitatea are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x(1−1−11)=xA, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=xA\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−1−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x3−x2−xx)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că matricea C(a)=B(a)⋅B(1)−B(a+1)\displaystyle C(a)=B(a)\cdot B(1)-B(a+1) este inversabilă, pentru orice număr întreg a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea B(1)\displaystyle B(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în B(x)\displaystyle B(x).
    B(1)=(1211)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(a)⋅B(1)\displaystyle B(a)\cdot B(1), înmulțind liniile lui B(a)\displaystyle B(a) cu coloanele lui B(1)\displaystyle B(1): a+(3−a)=3\displaystyle a+(3-a)=3, 2a+3−a=a+3\displaystyle 2a+3-a=a+3, (2−a)+a=2\displaystyle (2-a)+a=2, 2(2−a)+a=4−a\displaystyle 2(2-a)+a=4-a.
    B(a)⋅B(1)=(3a+324−a)\displaystyle B(a)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}3&a+3\\2&4-a\end{pmatrix}
  3. Scriem B(a+1)=(a+12−a1−aa+1)\displaystyle B(a+1)=\begin{pmatrix}a+1&2-a\\1-a&a+1\end{pmatrix} și scădem element cu element din produsul calculat: 3−(a+1)=2−a\displaystyle 3-(a+1)=2-a, (a+3)−(2−a)=2a+1\displaystyle (a+3)-(2-a)=2a+1, 2−(1−a)=a+1\displaystyle 2-(1-a)=a+1, (4−a)−(a+1)=3−2a\displaystyle (4-a)-(a+1)=3-2a.
    C(a)=(2−a2a+1a+13−2a)\displaystyle C(a)=\begin{pmatrix}2-a&2a+1\\a+1&3-2a\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: det⁡(C(a))=(2−a)(3−2a)−(2a+1)(a+1)\displaystyle \det(C(a))=(2-a)(3-2a)-(2a+1)(a+1). Desfacem parantezele: (2a2−7a+6)−(2a2+3a+1)\displaystyle (2a^{2}-7a+6)-(2a^{2}+3a+1). Termenii în a2\displaystyle a^{2} se reduc.
    det⁡(C(a))=2a2−7a+6−2a2−3a−1=−10a+5\displaystyle \det(C(a))=2a^{2}-7a+6-2a^{2}-3a-1=-10a+5
  5. Matricea C(a)\displaystyle C(a) este inversabilă exact când det⁡(C(a))≠0\displaystyle \det(C(a))\neq 0. Din −10a+5=0\displaystyle -10a+5=0 obținem a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}, care nu este număr întreg. Deci pentru orice a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z} avem det⁡(C(a))≠0\displaystyle \det(C(a))\neq 0, adică C(a)\displaystyle C(a) este inversabilă.
    −10a+5=0⇒a=12∉Z, deci C(a) este inversabila˘\displaystyle -10a+5=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\text{, deci }C(a)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(2x−1)(2y−1)+1\displaystyle x\ast y=(2x-1)(2y-1)+1.

Arătați că 1∗2=4\displaystyle 1\ast2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție, x∗y=(2x−1)(2y−1)+1\displaystyle x\ast y=(2x-1)(2y-1)+1, și înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=(2⋅1−1)(2⋅2−1)+1\displaystyle 1\ast2=(2\cdot1-1)(2\cdot2-1)+1
  2. Calculăm parantezele: 2⋅1−1=1\displaystyle 2\cdot1-1=1 și 2⋅2−1=3\displaystyle 2\cdot2-1=3.
    (2⋅1−1)(2⋅2−1)+1=1⋅3+1\displaystyle (2\cdot1-1)(2\cdot2-1)+1=1\cdot3+1
  3. Efectuăm înmulțirea și adunarea: 1⋅3+1=3+1=4\displaystyle 1\cdot3+1=3+1=4. Deci 1∗2=4\displaystyle 1\ast2=4.
    1⋅3+1=4\displaystyle 1\cdot3+1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(2x−1)(2y−1)+1\displaystyle x\ast y=(2x-1)(2y-1)+1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=2\displaystyle x\ast x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în legea de compoziție: x∗x=(2x−1)(2x−1)+1=(2x−1)2+1\displaystyle x\ast x=(2x-1)(2x-1)+1=(2x-1)^{2}+1.
    x∗x=(2x−1)2+1\displaystyle x\ast x=(2x-1)^{2}+1
  2. Dezvoltăm pătratul: (2x−1)2=4x2−4x+1\displaystyle (2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1, apoi adunăm 1\displaystyle 1.
    x∗x=4x2−4x+2, pentru orice x∈R\displaystyle x\ast x=4x^{2}-4x+2\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Punem condiția x∗x=2\displaystyle x\ast x=2 și obținem ecuația 4x2−4x+2=2\displaystyle 4x^{2}-4x+2=2.
    4x2−4x+2=2\displaystyle 4x^{2}-4x+2=2
  4. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri și obținem o ecuație de gradul al doilea fără termen liber.
    4x2−4x=0\displaystyle 4x^{2}-4x=0
  5. Dăm factor comun pe 4x\displaystyle 4x: 4x(x−1)=0\displaystyle 4x(x-1)=0.
    4x(x−1)=0\displaystyle 4x(x-1)=0
  6. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−1=0\displaystyle x-1=0, adică x=1\displaystyle x=1. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(2x−1)(2y−1)+1\displaystyle x\ast y=(2x-1)(2y-1)+1.

Determinați numărul întreg nenul m\displaystyle m pentru care m∗(1+1m)=1\displaystyle m\ast\left(1+\frac{1}{m}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii pentru x=m\displaystyle x=m și y=1+1m\displaystyle y=1+\dfrac{1}{m}. Calculăm 2y−1=2(1+1m)−1=1+2m\displaystyle 2y-1=2\left(1+\dfrac{1}{m}\right)-1=1+\dfrac{2}{m}.
    2y−1=1+2m\displaystyle 2y-1=1+\frac{2}{m}
  2. Înlocuim în definiția legii și obținem expresia lui m∗(1+1m)\displaystyle m\ast\left(1+\dfrac{1}{m}\right), pentru orice m\displaystyle m întreg nenul.
    m∗(1+1m)=(2m−1)(1+2m)+1\displaystyle m\ast\left(1+\frac{1}{m}\right)=(2m-1)\left(1+\frac{2}{m}\right)+1
  3. Egalăm cu 1\displaystyle 1 și scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: rămâne un produs egal cu zero.
    (2m−1)(1+2m)=0\displaystyle (2m-1)\left(1+\frac{2}{m}\right)=0
  4. Un produs este zero dacă un factor este zero. Din 2m−1=0\displaystyle 2m-1=0 rezultă m=12\displaystyle m=\dfrac{1}{2}, care nu este întreg. Din 1+2m=0\displaystyle 1+\dfrac{2}{m}=0 rezultă m=−2\displaystyle m=-2, care este întreg și nenul, deci convine.
    m=12 nu convine; m=−2 convine\displaystyle m=\frac{1}{2}\text{ nu convine; }m=-2\text{ convine}
  5. Singura soluție întreagă nenulă este m=−2\displaystyle m=-2.
    m=−2\displaystyle m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+1+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+1+\ln x.

Arătați că f′(x)=4x2+1x\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2+1}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=2x2+1+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^{2}+1+\ln x este o sumă de termeni, deci derivata ei este suma derivatelor termenilor.
    f′(x)=(2x2)′+1′+(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(2x^{2})'+1'+(\ln x)'
  2. Calculăm fiecare derivată: (2x2)′=2⋅2x=4x\displaystyle (2x^{2})'=2\cdot 2x=4x, derivata constantei este 1′=0\displaystyle 1'=0, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (2x2)′=4x\displaystyle (2x^{2})'=4x,1′=0\displaystyle \quad 1'=0,(ln⁡x)′=1x\displaystyle \quad (\ln x)'=\frac{1}{x}
  3. Adunăm cele trei derivate: f′(x)=4x+0+1x\displaystyle f'(x)=4x+0+\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=4x+1x\displaystyle f'(x)=4x+\frac{1}{x}
  4. Aducem la același numitor, x\displaystyle x, amplificând termenul 4x\displaystyle 4x cu x\displaystyle x: 4x=4x2x\displaystyle 4x=\dfrac{4x^{2}}{x}. Obținem rezultatul cerut pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    4x+1x=4x2+1x, x∈(0,+∞)\displaystyle 4x+\frac{1}{x}=\frac{4x^{2}+1}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+1+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+1+\ln x.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)−ln⁡xx2+x+4=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)−ln⁡x=2x2+1+ln⁡x−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=2x^{2}+1+\ln x-\ln x, deci termenul ln⁡x\displaystyle \ln x se reduce.
    f(x)−ln⁡x=2x2+1\displaystyle f(x)-\ln x=2x^{2}+1
  2. Limita devine lim⁡x→+∞2x2+1x2+x+4\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}+x+4}, o limită de forma infinit supra infinit.
    lim⁡x→+∞2x2+1x2+x+4\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}+1}{x^{2}+x+4}
  3. Dăm factor comun x2\displaystyle x^{2} la numărător: 2x2+1=x2(2+1x2)\displaystyle 2x^{2}+1=x^{2}\left(2+\dfrac{1}{x^{2}}\right), și la numitor: x2+x+4=x2(1+1x+4x2)\displaystyle x^{2}+x+4=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right).
    lim⁡x→+∞2x2+1x2+x+4=lim⁡x→+∞x2(2+1x2)x2(1+1x+4x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}+1}{x^{2}+x+4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}\left(2+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}\right)}
  4. Simplificăm prin x2≠0\displaystyle x^{2}\neq 0 și obținem o fracție în care x apare doar la numitorii unor fracții mici.
    lim⁡x→+∞2+1x21+1x+4x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}
  5. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 și 4x2→0\displaystyle \dfrac{4}{x^{2}}\to 0, deci limita este 2+01+0+0=2\displaystyle \dfrac{2+0}{1+0+0}=2.
    lim⁡x→+∞2+1x21+1x+4x2=2+01+0+0=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^{2}}}=\frac{2+0}{1+0+0}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+1+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2+1+\ln x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este bijectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fiind suma dintre o funcție polinomială și logaritm. Calculăm derivata: (2x2)′=4x\displaystyle (2x^{2})'=4x, (1)′=0\displaystyle (1)'=0, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=4x+1x\displaystyle f'(x)=4x+\dfrac{1}{x}
  2. Pentru orice x>0\displaystyle x>0, atât 4x\displaystyle 4x cât și 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} sunt pozitive, deci derivata este strict pozitivă. Prin urmare f\displaystyle f este strict crescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), iar o funcție strict monotonă este injectivă.
    f′(x)>0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒f strict cresca˘toare, deci \displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict crescătoare, deci }injectiva˘\displaystyle \text{injectivă}
  3. Calculăm limita la 0\displaystyle 0 din dreapta. Termenul 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1 tinde la 1\displaystyle 1, iar ln⁡x\displaystyle \ln x tinde la −∞\displaystyle -\infty, deci suma tinde la −∞\displaystyle -\infty.
    lim⁡x→0f(x)=1+(−∞)=−∞\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=1+(-\infty)=-\infty
  4. Calculăm limita la +∞\displaystyle +\infty. Termenul 2x2+1\displaystyle 2x^{2}+1 tinde la +∞\displaystyle +\infty, iar ln⁡x\displaystyle \ln x tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci suma tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  5. Funcția f\displaystyle f este continuă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fiind derivabilă. Fiind continuă și având limitele −∞\displaystyle -\infty și +∞\displaystyle +\infty la capetele domeniului, ea ia orice valoare reală (proprietatea lui Darboux), deci f((0,+∞))=R\displaystyle f((0,+\infty))=\mathbb{R} și f\displaystyle f este surjectivă. Fiind și injectivă, f\displaystyle f este bijectivă.
    lim⁡x→0f(x)=−∞ și lim⁡x→+∞f(x)=+∞, deci f este surjectiva˘, de unde f este bijectiva˘\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=-\infty\text{ și }\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{, deci }f\text{ este surjectivă, de unde }f\text{ este bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(ex+2x2)\displaystyle f(x)=x\left(e^x+2x^2\right).

Arătați că ∫04f(x)ex+2x2 dx=8\displaystyle \int_0^4\frac{f(x)}{e^x+2x^2}\,dx=8.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa: f(x)=x(ex+2x2)\displaystyle f(x)=x\left(e^x+2x^2\right).
    ∫04x(ex+2x2)ex+2x2 dx\displaystyle \int_0^4\frac{x\left(e^x+2x^2\right)}{e^x+2x^2}\,dx
  2. Numitorul ex+2x2\displaystyle e^x+2x^2 este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci se poate simplifica cu factorul identic din numărător. Rămâne integrala funcției x\displaystyle x.
    ∫04f(x)ex+2x2 dx=∫04x dx\displaystyle \int_0^4\frac{f(x)}{e^x+2x^2}\,dx=\int_0^4 x\,dx
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, deci evaluăm această primitivă între 0\displaystyle 0 și 4\displaystyle 4.
    ∫04x dx=x22∣04\displaystyle \int_0^4 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^4
  4. Înlocuim limitele: 422−022=162−0\displaystyle \dfrac{4^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=\dfrac{16}{2}-0, deci integrala este egală cu 8\displaystyle 8.
    162−0=8\displaystyle \frac{16}{2}-0=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(ex+2x2)\displaystyle f(x)=x\left(e^x+2x^2\right).

Arătați că ∫01(f(x)−2x3)dx=1\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-2x^3\right)dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm f(x)=x(ex+2x2)=xex+2x3\displaystyle f(x)=x\left(e^x+2x^2\right)=xe^x+2x^3.
    f(x)=xex+2x3\displaystyle f(x)=xe^x+2x^3
  2. Atunci f(x)−2x3=xex\displaystyle f(x)-2x^3=xe^x, deci ∫01(f(x)−2x3)dx=∫01xex dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-2x^3\right)dx=\int_0^1 xe^x\,dx.
    ∫01(f(x)−2x3)dx=∫01xex dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-2x^3\right)dx=\int_0^1 xe^x\,dx
  3. Aplicăm integrarea prin părți: u=x\displaystyle u=x, dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Folosim ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.
    ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  4. Integrala ∫01ex dx=ex∣01\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1, iar xex∣01=1⋅e1−0⋅e0=e\displaystyle xe^x\Big|_0^1=1\cdot e^1-0\cdot e^0=e.
    ∫01xex dx=e−ex∣01\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=e-e^x\Big|_0^1
  5. Evaluăm ex∣01=e−1\displaystyle e^x\Big|_0^1=e-1, deci obținem e−(e−1)=e−e+1=1\displaystyle e-(e-1)=e-e+1=1, ceea ce trebuia demonstrat.
    e−e+1=1\displaystyle e-e+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(ex+2x2)\displaystyle f(x)=x\left(e^x+2x^2\right).

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫121x⋅f(x2)dx=e4−e2+a\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx=\frac{e^4-e}{2}+a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în f(x)=x(ex+2x2)\displaystyle f(x)=x\left(e^x+2x^2\right).
    f(x2)=x2(ex2+2x4)\displaystyle f\left(x^{2}\right)=x^{2}\left(e^{x^{2}}+2x^{4}\right)
  2. Înmulțim cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și simplificăm un factor x\displaystyle x.
    1x⋅f(x2)=x ex2+2x5\displaystyle \frac{1}{x}\cdot f\left(x^{2}\right)=x\,e^{x^{2}}+2x^{5}
  3. Separăm integrala în două și folosim x=12(x2)′\displaystyle x=\dfrac{1}{2}\left(x^{2}\right)', deoarece (x2)′=2x\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x.
    12∫12(x2)′ex2dx+∫122x5dx\displaystyle \frac{1}{2}\int_1^2\left(x^2\right)'e^{x^2}dx+\int_1^2 2x^5dx
  4. Primitiva primei integrale este 12ex2\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{x^{2}}, deoarece (ex2)′=(x2)′ex2\displaystyle \left(e^{x^{2}}\right)'=\left(x^{2}\right)'e^{x^{2}}. Primitiva lui 2x5\displaystyle 2x^5 este x63\displaystyle \dfrac{x^{6}}{3}.
    12ex2∣12+x63∣12\displaystyle \frac{1}{2}e^{x^2}\Big|_1^2+\frac{x^6}{3}\Big|_1^2
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Prima parte: e4−e2\displaystyle \dfrac{e^4-e}{2}. A doua parte: 26−13=633=21\displaystyle \dfrac{2^6-1}{3}=\dfrac{63}{3}=21.
    e4−e2+21\displaystyle \frac{e^4-e}{2}+21
  6. Din e4−e2+21=e4−e2+a\displaystyle \dfrac{e^4-e}{2}+21=\dfrac{e^4-e}{2}+a rezultă a=21\displaystyle a=21.
    a=21\displaystyle a=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.