Bac matematică M2 științe ale naturii 2023, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 4−63+3(23−1)=1\displaystyle 4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată în enunț, care trebuie demonstrată.
    4−63+3(23−1)\displaystyle 4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)
  2. Se desface paranteza, înmulțind 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din interior: 3⋅23=63\displaystyle 3\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3} și 3⋅(−1)=−3\displaystyle 3\cdot(-1)=-3.
    4−63+3(23−1)=4−63+63−3=\displaystyle 4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=4-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-3=
  3. Se reduc termenii asemenea care conțin radical, deoarece −63+63=0\displaystyle -6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=0, rămânând doar termenii numerici.
    −63+63=0⇒4−63+63−3=4−3\displaystyle -6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=0\Rightarrow 4-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-3=4-3
  4. Se efectuează scăderea numerelor rămase, obținând rezultatul final egal cu 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia demonstrat.
    =4−3=1\displaystyle =4-3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−3\displaystyle f(x)=5x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x+3\displaystyle g(x)=2x+3. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul a\displaystyle a, înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia lui f\displaystyle f.
    f(a)=5a−3\displaystyle f(a)=5a-3
  2. Se calculează valoarea funcției g\displaystyle g în punctul a\displaystyle a, înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia lui g\displaystyle g.
    g(a)=2a+3\displaystyle g(a)=2a+3
  3. Se pune condiția din enunț, f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a), și se scrie ecuația liniară rezultată prin egalarea celor două expresii.
    5a−3=2a+3\displaystyle 5a-3=2a+3
  4. Se trec termenii care conțin necunoscuta a\displaystyle a în membrul stâng, iar termenii numerici în membrul drept.
    5a−2a=3+3\displaystyle 5a-2a=3+3
  5. Se reduc termenii asemenea din ambii membri ai ecuației.
    3a=6\displaystyle 3a=6
  6. Se împarte ecuația prin coeficientul lui a\displaystyle a pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+1⋅23=1\displaystyle 2^{2x+1}\cdot 2^{3}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie ecuația inițială dată.
    22x+1⋅23=1\displaystyle 2^{2x+1}\cdot 2^{3}=1
  2. Se aplică regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, am⋅an=am+n\displaystyle a^m \cdot a^n=a^{m+n}, pentru a reduce membrul stâng la o singură putere a lui 2\displaystyle 2.
    22x+1+3=1\displaystyle 2^{2x+1+3}=1
  3. Se adună exponenții din membrul stâng.
    22x+4=1\displaystyle 2^{2x+4}=1
  4. Se scrie numărul 1\displaystyle 1 ca putere a lui 2\displaystyle 2, folosind 20=1\displaystyle 2^0=1, astfel încât ambii membri să fie puteri ale aceleiași baze, apoi se egalează exponenții, obținând o ecuație liniară.
    22x+4=20, de unde obținem 2x+4=0\displaystyle 2^{2x+4}=2^0\text{, de unde obținem }2x+4=0
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se trece termenul liber în membrul drept.
    2x=−4\displaystyle 2x=-4
  6. Se împarte prin 2\displaystyle 2 pentru a obține soluția finală a ecuației.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A={3,4,5,6}\displaystyle A=\{3,4,5,6\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr natural de două cifre distincte format din cifre din mulțimea A\displaystyle A are forma xy‾\displaystyle \overline{xy}, unde x\displaystyle x este cifra zecilor, y\displaystyle y este cifra unităților, iar x,y∈A\displaystyle x, y \in A, x≠y\displaystyle x \neq y.
    xy‾\displaystyle \overline{xy}, x\displaystyle \ x,y∈A={3,4,5,6}\displaystyle y\in A=\{3,4,5,6\}, x≠y\displaystyle \ x\neq y
  2. Cifra zecilor x\displaystyle x poate fi orice element al mulțimii A\displaystyle A, deci sunt 4\displaystyle 4 posibilități de alegere.
    4\displaystyle 4
  3. Cifra unităților y\displaystyle y trebuie să fie diferită de cifra zecilor deja aleasă, deci rămân doar 3\displaystyle 3 cifre disponibile din cele 4\displaystyle 4.
    3\displaystyle 3
  4. Conform principiului multiplicării, numărul total de numere de două cifre distincte se obține înmulțind numărul de opțiuni pentru cifra zecilor cu numărul de opțiuni pentru cifra unităților.
    4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0), B(0,2)\displaystyle B(0,2), C(3,3)\displaystyle C(3,3) și M\displaystyle M, mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Arătați că segmentele MO\displaystyle MO și MC\displaystyle MC au lungimile egale.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină coordonatele punctului M\displaystyle M, mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, folosind formula mijlocului unui segment: coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor.
    M(4+02,0+22)=M(2,1)\displaystyle M\left(\dfrac{4+0}{2},\dfrac{0+2}{2}\right)=M(2,1)
  2. Se aplică formula distanței dintre două puncte pentru a calcula lungimea segmentului MO\displaystyle MO, folosind coordonatele lui M(2,1)\displaystyle M(2,1) și O(0,0)\displaystyle O(0,0).
    MO=(2−0)2+(1−0)2=4+1=5\displaystyle MO=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}
  3. Se aplică formula distanței dintre două puncte pentru a calcula lungimea segmentului MC\displaystyle MC, folosind coordonatele lui M(2,1)\displaystyle M(2,1) și C(3,3)\displaystyle C(3,3), apoi se compară cu MO\displaystyle MO obținut anterior pentru a trage concluzia finală.
    MC=(2−3)2+(1−3)2=1+4=5, deci MO=MC\displaystyle MC=\sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\text{, deci }MO=MC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=2sin⁡xsin⁡2x−cos⁡x\displaystyle E(x)=2\sin x\sin 2x-\cos x, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π6)=0\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia E(π6)\displaystyle E\left(\frac{\pi}{6}\right) înlocuind x\displaystyle x cu π6\displaystyle \frac{\pi}{6}, observând că 2x\displaystyle 2x devine π3\displaystyle \frac{\pi}{3}
    E(π6)=2sin⁡π6sin⁡π3−cos⁡π6\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\sin\dfrac{\pi}{6}\sin\dfrac{\pi}{3}-\cos\dfrac{\pi}{6}
  2. Se calculează valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile π6\displaystyle \frac{\pi}{6} și π3\displaystyle \frac{\pi}{3}
    sin⁡π6=12, sin⁡π3=32, cos⁡π6=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\text{, }\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{, }\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Se înlocuiesc valorile calculate în expresia lui E(π6)\displaystyle E\left(\frac{\pi}{6}\right) și se efectuează calculele
    E(π6)=2⋅12⋅32−32=32−32=0\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(3+a2−2a1−a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se substituie valoarea a=0\displaystyle a=0 în expresiile elementelor matricei A(a)\displaystyle A(a): 3+a\displaystyle 3+a devine 3\displaystyle 3, 2−2a\displaystyle 2-2a devine 2\displaystyle 2, 1−a\displaystyle 1-a devine 1\displaystyle 1, 1+3a\displaystyle 1+3a devine 1\displaystyle 1.
    A(0)=(3+02−2⋅01−01+3⋅0)=(3211)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}3+0&2-2\cdot0\\1-0&1+3\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0) folosind formula determinantului de ordinul 2\displaystyle 2, pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, unde det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc.
    det⁡(A(0))=∣3211∣=3⋅1−2⋅1=\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}3&2\\1&1\end{vmatrix}=3\cdot1-2\cdot1=
  3. Se efectuează înmulțirile din expresia determinantului: 3\displaystyle 3 ori 1\displaystyle 1 este 3\displaystyle 3, iar 2\displaystyle 2 ori 1\displaystyle 1 este 2\displaystyle 2.
    3⋅1−2⋅1=3−2\displaystyle 3\cdot1-2\cdot1=3-2
  4. Se efectuează scăderea finală pentru a obține valoarea determinantului.
    =3−2=1\displaystyle =3-2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(3+a2−2a1−a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(0)⋅(A(a)−A(0))=aI2\displaystyle A(0)\cdot\left(A(a)-A(0)\right)=aI_2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(0)\displaystyle A(0), înlocuind a=0\displaystyle a=0 în expresia lui A(a)\displaystyle A(a): A(0)=(3+02−2⋅01−01+3⋅0)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}3+0&2-2\cdot0\\1-0&1+3\cdot0\end{pmatrix}
    A(0)=(3211)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}
  2. Se calculează diferența A(a)−A(0)\displaystyle A(a)-A(0), scăzând element cu element: (3+a)−3=a, (2−2a)−2=−2a, (1−a)−1=−a, (1+3a)−1=3a\displaystyle (3+a)-3=a,\ (2-2a)-2=-2a,\ (1-a)-1=-a,\ (1+3a)-1=3a
    A(a)−A(0)=(a−2a−a3a)\displaystyle A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}a&-2a\\-a&3a\end{pmatrix}
  3. Se înmulțește matricea A(0)\displaystyle A(0) cu matricea obținută A(a)−A(0)\displaystyle A(a)-A(0), aplicând regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană)
    A(0)⋅(A(a)−A(0))=(3211)⋅(a−2a−a3a)\displaystyle A(0)\cdot\left(A(a)-A(0)\right)=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&-2a\\-a&3a\end{pmatrix}
  4. Se calculează fiecare element al produsului: (3⋅a+2⋅(−a))=a\displaystyle (3\cdot a+2\cdot(-a))=a, (3⋅(−2a)+2⋅3a)=0\displaystyle (3\cdot(-2a)+2\cdot 3a)=0, (1⋅a+1⋅(−a))=0\displaystyle (1\cdot a+1\cdot(-a))=0, (1⋅(−2a)+1⋅3a)=a\displaystyle (1\cdot(-2a)+1\cdot 3a)=a, apoi se scoate factor comun a\displaystyle a, obținând matricea aI2\displaystyle aI_2
    A(0)⋅(A(a)−A(0))=(a00a)=a(1001)=aI2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(0)\cdot\left(A(a)-A(0)\right)=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=aI_2\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(3+a2−2a1−a1+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(a2)−aA(a))≥0\displaystyle \det\left(A(a^2)-aA(a)\right)\ge0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a\displaystyle a cu a2\displaystyle a^{2} în matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține A(a2)\displaystyle A(a^{2}).
    A(a2)=(3+a22−2a21−a21+3a2)\displaystyle A(a^2)=\begin{pmatrix}3+a^2&2-2a^2\\1-a^2&1+3a^2\end{pmatrix}
  2. Se înmulțește matricea A(a)\displaystyle A(a) cu scalarul a\displaystyle a, obținând aA(a)\displaystyle aA(a).
    aA(a)=(3a+a22a−2a2a−a2a+3a2)\displaystyle aA(a)=\begin{pmatrix}3a+a^2&2a-2a^2\\a-a^2&a+3a^2\end{pmatrix}
  3. Se scad cele două matrice, element cu element, pentru a obține A(a2)−aA(a)\displaystyle A(a^{2})-aA(a).
    A(a2)−aA(a)=(3+a2−(3a+a2)2−2a2−(2a−2a2)1−a2−(a−a2)1+3a2−(a+3a2))=(3−3a2−2a1−a1−a)\displaystyle A(a^2)-aA(a)=\begin{pmatrix}3+a^2-(3a+a^2)&2-2a^2-(2a-2a^2)\\1-a^2-(a-a^2)&1+3a^2-(a+3a^2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-3a&2-2a\\1-a&1-a\end{pmatrix}
  4. Se scrie determinantul matricei obținute, folosind formula determinantului unei matrice 2×2\displaystyle 2\times 2, și se observă factorul comun (1−a)\displaystyle (1-a) pe fiecare linie.
    det⁡(A(a2)−aA(a))=(3−3a)(1−a)−(2−2a)(1−a)=3(1−a)(1−a)−2(1−a)(1−a)\displaystyle \det\left(A(a^2)-aA(a)\right)=(3-3a)(1-a)-(2-2a)(1-a)=3(1-a)(1-a)-2(1-a)(1-a)
  5. Se factorizează expresia obținută, obținând (1−a)2\displaystyle (1-a)^{2}, care este un pătrat perfect și deci nenegativ pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a2)−aA(a))=3(1−a)2−2(1−a)2=(1−a)2≥0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det\left(A(a^2)-aA(a)\right)=3(1-a)^2-2(1-a)^2=(1-a)^2\ge0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−4xy+3y2\displaystyle x\circ y=x^2-4xy+3y^2.

Arătați că 0∘2=12\displaystyle 0\circ2=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula legii de compoziție și se identifică valorile care trebuie substituite: x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2.
    x∘y=x2−4xy+3y2\displaystyle x\circ y=x^2-4xy+3y^2, unde x=0\displaystyle \text{ unde }x=0, y=2\displaystyle \ y=2
  2. Se înlocuiesc valorile x=0\displaystyle x=0 și y=2\displaystyle y=2 în formula legii de compoziție.
    0∘2=02−4⋅0⋅2+3⋅22=\displaystyle 0\circ2=0^2-4\cdot0\cdot2+3\cdot2^2=
  3. Se calculează fiecare termen: 0\displaystyle 0 la pătrat este 0\displaystyle 0, produsul 4⋅0⋅2\displaystyle 4\cdot0\cdot2 este 0\displaystyle 0, iar 2\displaystyle 2 la pătrat este 4\displaystyle 4, deci 3⋅4\displaystyle 3\cdot4 este 12\displaystyle 12.
    02=0\displaystyle 0^2=0,4⋅0⋅2=0\displaystyle \quad 4\cdot0\cdot2=0,3⋅22=3⋅4=12\displaystyle \quad 3\cdot2^2=3\cdot4=12
  4. Se adună rezultatele obținute pentru a găsi valoarea finală.
    =0−0+12=12\displaystyle =0-0+12=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−4xy+3y2\displaystyle x\circ y=x^2-4xy+3y^2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (2x)∘x=−1\displaystyle (2x)\circ x=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru valorile x1=2x\displaystyle x_{1}=2x și x2=x\displaystyle x_{2}=x, înlocuind în formula x∘y=x2−4xy+3y2\displaystyle x\circ y=x^{2}-4xy+3y^{2}.
    (2x)∘x=(2x)2−4(2x)(x)+3x2\displaystyle (2x)\circ x=(2x)^2-4(2x)(x)+3x^2
  2. Se efectuează calculele: se ridică la pătrat termenul (2x)\displaystyle (2x), se calculează produsul 4(2x)(x)\displaystyle 4(2x)(x) și se adună termenul 3x2\displaystyle 3x^{2}.
    (2x)∘x=4x2−8x2+3x2\displaystyle (2x)\circ x=4x^2-8x^2+3x^2
  3. Se reduc termenii asemenea, obținându-se forma finală simplificată a expresiei (2x)∘x\displaystyle (2x)\circ x, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (2x)∘x=−x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (2x)\circ x=-x^2\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția din enunț, egalând expresia obținută cu −1\displaystyle -1, și se rezolvă ecuația de gradul al doilea rezultată.
    −x2=−1, de unde obținem x=−1 sau x=1\displaystyle -x^2=-1\text{, de unde obținem }x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−4xy+3y2\displaystyle x\circ y=x^2-4xy+3y^2.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care m∘n=3\displaystyle m\circ n=3.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează m∘n\displaystyle m\circ n folosind definiția legii de compoziție și se grupează termenii pentru a evidenția factori comuni.
    m∘n=m2−4mn+3n2=m2−mn−3mn+3n2\displaystyle m\circ n=m^2-4mn+3n^2=m^2-mn-3mn+3n^2
  2. Se factorizează grupând termenii doi câte doi, obținând produsul (m−n)(m−3n)\displaystyle (m-n)(m-3n), valabil pentru orice numere întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    m∘n=m2−3mn−mn+3n2=(m−n)(m−3n), pentru orice numere \displaystyle m\circ n=m^2-3mn-mn+3n^2=(m-n)(m-3n)\text{, pentru orice numere }ıˆntregi m și n\displaystyle \text{întregi }m\text{ și }n
  3. Se pune condiția m∘n=3\displaystyle m\circ n=3, folosind factorizarea obținută anterior.
    (m−n)(m−3n)=3\displaystyle (m-n)(m-3n)=3
  4. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere întregi cu m<n\displaystyle m<n, diferența m−n\displaystyle m-n este un număr întreg strict negativ, deci trebuie să fie un divizor negativ al lui 3\displaystyle 3.
    m−n∈{−1,−3}, deoarece m−n<0 și (m−n)∣3\displaystyle m-n\in\{-1,-3\}\text{, deoarece }m-n<0\text{ și }(m-n)\mid 3
  5. Se scriu toate descompunerile lui 3\displaystyle 3 ca produs de doi factori întregi, păstrând doar cele în care primul factor este negativ (conform condiției m<n\displaystyle m<n).
    (m−n,m−3n)∈{(−1,−3),(−3,−1)}\displaystyle (m-n,m-3n)\in\{(-1,-3),(-3,-1)\}
  6. Cazul 1: m−n=−1\displaystyle m-n=-1 și m−3n=−3\displaystyle m-3n=-3. Se scade prima ecuație din a doua pentru a elimina m\displaystyle m și se obține n\displaystyle n, apoi m\displaystyle m.
    (m−n)−(m−3n)=2n⇒−1−(−3)=2n⇒n=1⇒m=n−1=0\displaystyle (m-n)-(m-3n)=2n\Rightarrow -1-(-3)=2n\Rightarrow n=1\Rightarrow m=n-1=0
  7. Cazul 2: m−n=−3\displaystyle m-n=-3 și m−3n=−1\displaystyle m-3n=-1. Se scade prima ecuație din a doua pentru a elimina m\displaystyle m și se obține n\displaystyle n, apoi m\displaystyle m.
    (m−n)−(m−3n)=2n⇒−3−(−1)=2n⇒n=−1⇒m=n−3=−4\displaystyle (m-n)-(m-3n)=2n\Rightarrow -3-(-1)=2n\Rightarrow n=-1\Rightarrow m=n-3=-4
  8. Se centralizează soluțiile obținute în cele două cazuri, verificând condiția m<n\displaystyle m<n; se obțin perechile de numere întregi care satisfac ecuația m∘n=3\displaystyle m\circ n=3.
    (m−n)(m−3n)=3 și, cum m și n sunt numere ıˆntregi cu m<n, obținem perechile (−4,−1) și (0,1)\displaystyle (m-n)(m-3n)=3\text{ și, cum }m\text{ și }n\text{ sunt numere întregi cu }m<n\text{, obținem perechile }(-4,-1)\text{ și }(0,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5+4x−4x2\displaystyle f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}.

Arătați că f′(x)=4(2−x)x3\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(2-x)}{x^3}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția ca sumă între o constantă și un cât, pentru a aplica regulile de derivare: derivata sumei este suma derivatelor, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(5+4x−4x2)′=0+(4x−4x2)′\displaystyle f'(x)=\left(5+\dfrac{4x-4}{x^2}\right)'=0+\left(\dfrac{4x-4}{x^2}\right)'
  2. Se identifică funcțiile u(x)=4x−4\displaystyle u(x)=4x-4 și v(x)=x2\displaystyle v(x)=x^{2}, se calculează derivatele acestora, care vor fi folosite în formula de derivare a câtului.
    u(x)=4x−4\displaystyle u(x)=4x-4, u′(x)=4;v(x)=x2\displaystyle \ u'(x)=4;\quad v(x)=x^2, v′(x)=2x\displaystyle \ v'(x)=2x
  3. Se aplică formula de derivare a câtului, (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, înlocuind expresiile lui u\displaystyle u, u′\displaystyle u', v\displaystyle v, v′\displaystyle v'.
    f′(x)=4x2−(4x−4)⋅2xx4=\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^2-(4x-4)\cdot2x}{x^4}=
  4. Se desface paranteza de la numărător, calculând produsul (4x−4)⋅2x\displaystyle (4x-4)\cdot 2x, pentru a putea reduce termenii asemenea.
    (4x−4)⋅2x=8x2−8x ⇒ f′(x)=4x2−8x2+8xx4\displaystyle (4x-4)\cdot2x=8x^2-8x\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{4x^2-8x^2+8x}{x^4}
  5. Se reduc termenii asemenea la numărător și se dă factor comun 4x\displaystyle 4x, obținând forma factorizată a numărătorului.
    4x2−8x2+8x=−4x2+8x=4x(2−x)\displaystyle 4x^2-8x^2+8x=-4x^2+8x=4x(2-x)
  6. Se simplifică fracția prin x\displaystyle x (deoarece x>0\displaystyle x>0, deci x≠0\displaystyle x\neq 0), obținând forma finală a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x din domeniul de definiție.
    =4x(2−x)x4=4(2−x)x3, x∈(0,+∞)\displaystyle =\dfrac{4x(2-x)}{x^4}=\dfrac{4(2-x)}{x^3}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5+4x−4x2\displaystyle f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția dată și observăm domeniul de definiție, pentru a studia comportarea ei când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    f(x)=5+4x−4x2\displaystyle f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2},x∈(0,+∞)\displaystyle \quad x\in(0,+\infty)
  2. Descompunem fracția în două fracții mai simple, împărțind fiecare termen al numărătorului la x2\displaystyle x^{2}, pentru a putea calcula limita termen cu termen.
    4x−4x2=4xx2−4x2=4x−4x2\displaystyle \dfrac{4x-4}{x^2}=\dfrac{4x}{x^2}-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{4}{x}-\dfrac{4}{x^2}
  3. Calculăm separat limitele celor două fracții obținute, când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞4x=0 și lim⁡x→+∞4x2=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0\text{ și }\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x^2}=0
  4. Înlocuim rezultatele obținute în expresia funcției și calculăm limita totală a funcției f\displaystyle f când x\displaystyle x tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(5+4x−4x2)=lim⁡x→+∞(5+4x−4x2)=5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(5+\dfrac{4x-4}{x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(5+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)=5
  5. Deoarece limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 5\displaystyle 5, conform definiției, dreapta orizontală de ecuație y=5\displaystyle y=5 este asimptotă orizontală la graficul funcției f\displaystyle f, spre +∞\displaystyle +\infty.
    Dreapta de ecuație y=5 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=5\text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5+4x−4x2\displaystyle f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}.

Demonstrați că ∣f(x)−f(y)∣≤1\displaystyle |f(x)-f(y)|\le1, pentru orice x,y∈[1,+∞)\displaystyle x,y\in[1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se rescrie funcția ca sumă de fracții simple, pentru a putea deriva mai ușor.
    f(x)=5+4x−4x2=5+4x−4x2\displaystyle f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}=5+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4}{x^2}
  2. Se derivează termen cu termen, folosind regula de derivare a funcțiilor de forma x−n\displaystyle x^{-n}.
    f′(x)=−4x2+8x3\displaystyle f'(x)=-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{8}{x^3}
  3. Se aduce expresia derivatei la același numitor și se scoate factor comun, pentru a analiza semnul.
    f′(x)=−4x+8x3=4(2−x)x3\displaystyle f'(x)=\dfrac{-4x+8}{x^3}=\dfrac{4(2-x)}{x^3}
  4. Deoarece x>0\displaystyle x>0, numitorul x3\displaystyle x^{3} este mereu pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul factorului (2−x)\displaystyle (2-x). Se rezolvă f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilesc intervalele de monotonie.
    f′(x)=0⇔x=2; pentru orice x∈[1,2]\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=2\text{; pentru orice }x\in[1,2],f′(x)≥0⇒f este cresca˘toare pe [1,2] și pentru orice x∈[2,+∞)\displaystyle f'(x)\ge0\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[1,2]\text{ și pentru orice }x\in[2,+\infty),f′(x)≤0⇒f este descresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle f'(x)\le0\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[2,+\infty)
  5. Se calculează valoarea funcției în capătul din stânga al intervalului, x=1\displaystyle x=1.
    f(1)=5+4⋅1−412=5+0=5\displaystyle f(1)=5+\dfrac{4\cdot1-4}{1^2}=5+0=5
  6. Se calculează valoarea funcției în punctul critic x=2\displaystyle x=2, care este punct de maxim conform monotoniei stabilite.
    f(2)=5+4⋅2−422=5+44=5+1=6\displaystyle f(2)=5+\dfrac{4\cdot2-4}{2^2}=5+\dfrac{4}{4}=5+1=6
  7. Se calculează limita funcției la +∞\displaystyle +\infty, pentru a determina comportamentul asimptotic pe intervalul [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty).
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(5+4x−4x2)=5+0−0=5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(5+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)=5+0-0=5
  8. Cum f\displaystyle f este crescătoare pe [1,2]\displaystyle [1,2] de la 5\displaystyle 5 la 6\displaystyle 6, apoi descrescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty) de la 6\displaystyle 6 spre 5\displaystyle 5 (fără a atinge din nou 5\displaystyle 5), rezultă că valoarea minimă a lui f\displaystyle f pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) este 5\displaystyle 5, iar valoarea maximă este 6\displaystyle 6. Astfel, pentru orice două valori f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y), diferența lor în modul este cel mult egală cu diferența dintre maxim și minim.
    f(1)=5\displaystyle f(1)=5, f(2)=6 și lim⁡x→+∞f(x)=5, deci 5≤f(x)≤6, pentru orice x∈[1,+∞), de unde obținem ∣f(x)−f(y)∣≤1, pentru orice x\displaystyle \ f(2)=6\text{ și }\lim_{x\to+\infty}f(x)=5\text{, deci }5\le f(x)\le6\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)\text{, de unde obținem }|f(x)-f(y)|\le1\text{, pentru orice }x,y∈[1,+∞)\displaystyle y\in[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4ln⁡x\displaystyle f(x)=3x^2+4\ln x.

Arătați că ∫12(f(x)−4ln⁡x)dx=7\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}\left(f(x)-4\ln x\right)dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia de integrat, pornind de la funcția dată, și se observă că termenul 4ln⁡x\displaystyle 4\ln x se reduce cu cel din f(x)\displaystyle f(x).
    f(x)−4ln⁡x=3x2+4ln⁡x−4ln⁡x=3x2\displaystyle f(x)-4\ln x = 3x^2+4\ln x-4\ln x = 3x^2
  2. Se înlocuiește integrandul simplificat în integrala definită pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] și se calculează o primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^{2}.
    ∫12(f(x)−4ln⁡x)dx=∫123x2dx=x3∣12=\displaystyle \int_{1}^{2}\left(f(x)-4\ln x\right)dx=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\Big|_{1}^{2}=
  3. Se evaluează primitiva x3\displaystyle x^{3} la capetele intervalului, obținând valorile 23\displaystyle 2^{3} și 13\displaystyle 1^{3}.
    23−13\displaystyle 2^3-1^3
  4. Se efectuează scăderea numerică pentru a obține rezultatul final al integralei.
    =8−1=7\displaystyle =8-1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4ln⁡x\displaystyle f(x)=3x^2+4\ln x.

Arătați că ∫1ex(f(x)−3x2)dx=e2+1\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{e}x\left(f(x)-3x^2\right)dx=e^2+1.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia f(x)−3x2\displaystyle f(x) - 3x^{2}, folosind definiția funcției date.
    f(x)−3x2=3x2+4ln⁡x−3x2=4ln⁡x\displaystyle f(x)-3x^2=3x^2+4\ln x-3x^2=4\ln x
  2. Se înmulțește cu x\displaystyle x și se scrie integrala cerută în forma simplificată.
    ∫1ex(f(x)−3x2)dx=∫1ex⋅4ln⁡x dx=∫1e4xln⁡x dx\displaystyle \int_{1}^{e}x\left(f(x)-3x^2\right)dx=\int_{1}^{e}x\cdot 4\ln x\,dx=\int_{1}^{e}4x\ln x\,dx
  3. Se observă că 4x\displaystyle 4x este derivata funcției 2x2\displaystyle 2x^{2}, pentru a putea aplica integrarea prin părți.
    (2x2)′=4x  ⇒  ∫1e4xln⁡x dx=∫1e(2x2)′ln⁡x dx\displaystyle \left(2x^2\right)'=4x\;\Rightarrow\;\int_{1}^{e}4x\ln x\,dx=\int_{1}^{e}\left(2x^2\right)'\ln x\,dx
  4. Se aplică formula de integrare prin părți: notăm u′=(2x2)′\displaystyle u'=(2x^{2})', deci u=2x2\displaystyle u=2x^{2}, și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x, cu v′=1x\displaystyle v'=\dfrac{1}{x}.
    ∫1e(2x2)′ln⁡x dx=2x2ln⁡x∣1e−∫1e2x2⋅1x dx\displaystyle \int_{1}^{e}\left(2x^2\right)'\ln x\,dx=2x^2\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}2x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx
  5. Se simplifică integrala rămasă: 2x2⋅1x=2x\displaystyle 2x^{2} \cdot \dfrac{1}{x} = 2x, iar primitiva acesteia este x2\displaystyle x^{2}.
    ∫1e2x dx=x2∣1e  ⇒  ∫1ex(f(x)−3x2)dx=2x2ln⁡x∣1e−x2∣1e\displaystyle \int_{1}^{e}2x\,dx=x^2\Big|_{1}^{e}\;\Rightarrow\;\int_{1}^{e}x\left(f(x)-3x^2\right)dx=2x^2\ln x\Big|_{1}^{e}-x^2\Big|_{1}^{e}
  6. Se evaluează cele două expresii la capetele intervalului [1,e]\displaystyle [1, e], folosind ln⁡e=1\displaystyle \ln e = 1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1 = 0.
    2x2ln⁡x∣1e=2e2⋅1−2⋅12⋅0=2e2 și x2∣1e=e2−1\displaystyle 2x^2\ln x\Big|_{1}^{e}=2e^2\cdot 1-2\cdot 1^2\cdot 0=2e^2\text{ și }x^2\Big|_{1}^{e}=e^2-1
  7. Se calculează diferența finală, obținând valoarea integralei.
    =2e2−0−e2+1=e2+1\displaystyle =2e^2-0-e^2+1=e^2+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+4ln⁡x\displaystyle f(x)=3x^2+4\ln x.

Demonstrați că ∫1ef(x)F′′(x)dx=(3e−1)(3e+5)2\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)F''(x)dx=\dfrac{(3e-1)(3e+5)}{2}, pentru orice primitivă F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f, folosind formulele de derivare pentru x2\displaystyle x^{2} și ln⁡x\displaystyle \ln x.
    f′(x)=6x+4x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=6x+\dfrac{4}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
  2. Se folosește faptul că F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f, adică F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), și se derivează această relație pentru a obține legătura dintre F′′\displaystyle F'' și f′\displaystyle f'.
    F′(x)=f(x)⇒F′′(x)=f′(x), x∈(0,+∞)\displaystyle F'(x)=f(x)\Rightarrow F''(x)=f'(x)\text{, }x\in(0,+\infty)
  3. Se înlocuiește F′′(x)\displaystyle F''(x) cu f′(x)\displaystyle f'(x) în integrala dată, obținând un produs de forma f(x)⋅f′(x)\displaystyle f(x)\cdot f'(x).
    ∫1ef(x)F′′(x)dx=∫1ef(x)f′(x)dx\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)F''(x)dx=\int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)f'(x)dx
  4. Se observă că expresia f(x)f′(x)\displaystyle f(x)f'(x) este derivata funcției f2(x)2\displaystyle \dfrac{f^{2}(x)}{2}, deci integrala se poate calcula direct printr-o primitivă imediată.
    (f2(x)2)′=f(x)f′(x)⇒∫1ef(x)f′(x)dx=f2(x)2∣1e\displaystyle \left(\dfrac{f^2(x)}{2}\right)'=f(x)f'(x)\Rightarrow \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)f'(x)dx=\dfrac{f^2(x)}{2}\Big|_{1}^{\sqrt{e}}
  5. Se calculează valorile funcției f\displaystyle f în capetele intervalului de integrare, x=1\displaystyle x=1 și x=e\displaystyle x=\sqrt{e}.
    f(1)=3⋅12+4ln⁡1=3, f(e)=3e+4ln⁡e=3e+4⋅12=3e+2\displaystyle f(1)=3\cdot1^2+4\ln 1=3\text{, }\quad f(\sqrt{e})=3e+4\ln\sqrt{e}=3e+4\cdot\dfrac{1}{2}=3e+2
  6. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia f2(x)2\displaystyle \dfrac{f^{2}(x)}{2} evaluată la capete și se simplifică rezultatul, factorizându-l.
    ∫1ef(x)F′′(x)dx=∫1ef(x)f′(x)dx=f2(x)2∣1e=(3e+2)2−322=(3e−1)(3e+5)2\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)F''(x)dx=\int_{1}^{\sqrt{e}}f(x)f'(x)dx=\dfrac{f^2(x)}{2}\Big|_{1}^{\sqrt{e}}=\dfrac{(3e+2)^2-3^2}{2}=\dfrac{(3e-1)(3e+5)}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.