Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați partea reală a numărului complex z=3+2(1−i)\displaystyle z=3+2(1-i).
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim factorul 2\displaystyle 2 în paranteză: 2(1−i)=2⋅1−2i=2−2i\displaystyle 2(1-i)=2\cdot 1-2i=2-2i.
    z=3+2−2i\displaystyle z=3+2-2i
  2. Reducem termenii reali: 3+2=5\displaystyle 3+2=5. Obținem forma algebrică a lui z\displaystyle z.
    z=5−2i\displaystyle z=5-2i
  3. Numărul z\displaystyle z are forma a+bi\displaystyle a+bi, cu a=5\displaystyle a=5 și b=−2\displaystyle b=-2. Partea reală este a\displaystyle a, deci Re⁡(z)=5\displaystyle \operatorname{Re}(z)=5.
    Re⁡(z)=5\displaystyle \operatorname{Re}(z)=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Arătați că x1+x2+2x1x2=23\displaystyle x_1+x_2+2x_1x_2=23, știind că x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 sunt soluțiile ecuației x2−3x+10=0\displaystyle x^2-3x+10=0.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−3x+10=0\displaystyle x^2-3x+10=0 are forma ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=10\displaystyle c=10. Relațiile lui Viète spun că x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} și x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle \ b=-3, c=10\displaystyle \ c=10
  2. Înlocuim coeficienții: x1+x2=−−31=3\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-3}{1}=3 și x1x2=101=10\displaystyle x_1x_2=\dfrac{10}{1}=10.
    x1+x2=3\displaystyle x_1+x_2=3, x1x2=10\displaystyle \ x_1x_2=10
  3. Înlocuim în expresie: x1+x2+2x1x2=3+2⋅10=3+20=23\displaystyle x_1+x_2+2x_1x_2=3+2\cdot 10=3+20=23, deci egalitatea este demonstrată.
    x1+x2+2x1x2=3+2⋅10=23\displaystyle x_1+x_2+2x_1x_2=3+2\cdot 10=23
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+x+1=1\displaystyle \sqrt{x^2+x+1}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia de sub radical x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 are discriminantul Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Ridicăm ecuația x2+x+1=1\displaystyle \sqrt{x^{2}+x+1}=1 la pătrat.
    x2+x+1=1\displaystyle x^{2}+x+1=1
  2. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem ecuația de gradul al doilea.
    x2+x=0\displaystyle x^{2}+x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+1)=0\displaystyle x(x+1)=0, deci x=0\displaystyle x=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0.
    x(x+1)=0⇒x=0 sau x=−1\displaystyle x(x+1)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=-1
  4. Verificăm: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 0+0+1=1\displaystyle \sqrt{0+0+1}=1, iar pentru x=−1\displaystyle x=-1 avem 1−1+1=1\displaystyle \sqrt{1-1+1}=1. Ambele soluții verifică ecuația.
    x1=−1 și x2=0, care verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=-1\text{ și }x_2=0\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3}\displaystyle \{1,2,3\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul trebuie să fie impar, deci ultima cifră (cifra unităților) trebuie să fie impară. Din mulțimea {1,2,3}\displaystyle \{1,2,3\} cifrele impare sunt 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3, deci avem 2\displaystyle 2 posibilități pentru cifra unităților.
    2 moduri pentru unita˘ți\displaystyle 2\text{ moduri pentru unități}
  2. Cifrele trebuie să fie distincte, iar una dintre cele trei cifre a fost deja folosită pe ultima poziție. Pentru cifra zecilor rămân 2\displaystyle 2 cifre disponibile. Apoi, pentru cifra sutelor rămâne o singură cifră, cea nefolosită încă.
    2 moduri pentru zeci, 1 mod pentru sute\displaystyle 2\text{ moduri pentru zeci, }1\text{ mod pentru sute}
  3. Înmulțim numărul de alegeri pentru fiecare cifră: 2\displaystyle 2 pentru unități, 2\displaystyle 2 pentru zeci și 1\displaystyle 1 pentru sute. Obținem 4\displaystyle 4 numere. De exemplu, pentru unitatea 1\displaystyle 1: 231\displaystyle 231 și 321\displaystyle 321; pentru unitatea 3\displaystyle 3: 123\displaystyle 123 și 213\displaystyle 213.
    2⋅2⋅1=4\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care dreptele de ecuații y=(a−1)x+1\displaystyle y=(a-1)x+1 și y=2x−3\displaystyle y=2x-3 sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Două drepte de forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n sunt paralele când au aceeași pantă m\displaystyle m, adică același coeficient al lui x\displaystyle x. Prima dreaptă are panta a−1\displaystyle a-1, iar a doua dreaptă are panta 2\displaystyle 2.
    m1=a−1 și m2=2\displaystyle m_1=a-1\text{ și }m_2=2
  2. Punem condiția de paralelism: pantele sunt egale, deci a−1=2\displaystyle a-1=2.
    a−1=2\displaystyle a-1=2
  3. Rezolvăm ecuația: adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem a=2+1=3\displaystyle a=2+1=3. Pentru a=3\displaystyle a=3, prima dreaptă este y=2x+1\displaystyle y=2x+1, paralelă cu y=2x−3\displaystyle y=2x-3, iar termenii liberi diferiți arată că dreptele nu coincid.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=3\displaystyle AB=3, AC=4\displaystyle AC=4 și BC=5\displaystyle BC=5.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm dacă triunghiul este dreptunghic, comparând pătratul celei mai mari laturi cu suma pătratelor celorlalte două laturi. Avem BC2=25\displaystyle BC^{2}=25, iar AB2+AC2=9+16=25\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=9+16=25.
    AB2+AC2=9+16=25=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=9+16=25=BC^{2}
  2. Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic, cu ipotenuza BC\displaystyle BC, deci unghiul A\displaystyle A este drept.
    A=π2\displaystyle A=\dfrac{\pi}{2}
  3. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci raza este jumătate din ipotenuză. Ipotenuza este BC=5\displaystyle BC=5, deci R=BC2\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}.
    R=BC2=52\displaystyle R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x11x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Calculați det⁡(A(2))\displaystyle \det(A(2)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2), cu 2\displaystyle 2 pe diagonala principală și 1\displaystyle 1 în rest.
    A(2)=(2112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡(A(2))=∣2112∣=2⋅2−1⋅1\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1
  3. Efectuăm calculele: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, deci diferența este 4−1\displaystyle 4-1.
    4−1=3\displaystyle 4-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x11x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(−x)=I2\displaystyle A(x)\cdot A(-x)=I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−x)\displaystyle A(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în matricea A(x)\displaystyle A(x).
    A(−x)=(−x11−x)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix} -x & 1 \\ 1 & -x \end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricele linie cu coloană. Pe prima linie: x⋅(−x)+1⋅1\displaystyle x\cdot(-x)+1\cdot 1, apoi x⋅1+1⋅(−x)\displaystyle x\cdot 1+1\cdot(-x). Pe a doua linie: 1⋅(−x)+x⋅1\displaystyle 1\cdot(-x)+x\cdot 1, apoi 1⋅1+x⋅(−x)\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot(-x).
    A(x)⋅A(−x)=(−x2+100−x2+1)\displaystyle A(x)\cdot A(-x)=\begin{pmatrix} -x^2+1 & 0 \\ 0 & -x^2+1 \end{pmatrix}
  3. Egalăm produsul cu matricea unitate I2\displaystyle I_2. Elementele de pe diagonala principală trebuie să fie egale cu 1\displaystyle 1, iar cele din afara diagonalei sunt deja 0\displaystyle 0.
    −x2+1=1\displaystyle -x^2+1=1
  4. Rezolvăm ecuația: scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem x2=0\displaystyle x^2=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(x)=(x11x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1)+A(2)+⋯+A(n))=n2(n−1)(n+3)4\displaystyle \det(A(1)+A(2)+\cdots+A(n))=\frac{n^2(n-1)(n+3)}{4} pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele element cu element. Pe diagonala principală apar numerele 1,2,…,n\displaystyle 1, 2, \ldots, n, iar pe diagonala secundară apare de n\displaystyle n ori numărul 1\displaystyle 1.
    ∑k=1nA(k)=(1+2+⋯+nnn1+2+⋯+n)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}A(k)=\begin{pmatrix} 1+2+\cdots+n & n \\ n & 1+2+\cdots+n \end{pmatrix}
  2. Folosim formula sumei primelor n\displaystyle n numere naturale nenule: 1+2+⋯+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}. Obținem matricea sumă.
    A(1)+A(2)+⋯+A(n)=(n(n+1)2nnn(n+1)2)\displaystyle A(1)+A(2)+\cdots+A(n)=\begin{pmatrix} \frac{n(n+1)}{2} & n \\ n & \frac{n(n+1)}{2} \end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1)+⋯+A(n))=n(n+1)2⋅n(n+1)2−n⋅n=n2(n+1)24−n2\displaystyle \det(A(1)+\cdots+A(n))=\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n\cdot n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}-n^2
  4. Dăm factor comun n2\displaystyle n^2 și aducem la același numitor. Apoi folosim diferența de pătrate: (n+1)2−4=(n+1−2)(n+1+2)=(n−1)(n+3)\displaystyle (n+1)^2-4=(n+1-2)(n+1+2)=(n-1)(n+3).
    n2(n+1)24−n2=n2((n+1)2−4)4=n2(n−1)(n+3)4\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}-n^2=\frac{n^2\left((n+1)^2-4\right)}{4}=\frac{n^2(n-1)(n+3)}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4(x+y−3)−xy\displaystyle x*y=4(x+y-3)-xy.

Calculați 2∗4\displaystyle 2*4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∗y=4(x+y−3)−xy\displaystyle x*y=4(x+y-3)-xy, și înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=4\displaystyle y=4.
    2∗4=4(2+4−3)−2⋅4\displaystyle 2*4=4(2+4-3)-2\cdot 4
  2. Calculăm mai întâi paranteza: 2+4−3=3\displaystyle 2+4-3=3, deci primul termen este 4⋅3\displaystyle 4\cdot 3.
    4⋅3−2⋅4\displaystyle 4\cdot 3-2\cdot 4
  3. Efectuăm înmulțirile: 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12, iar 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8. Apoi scădem și obținem rezultatul final.
    12−8=4\displaystyle 12-8=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4(x+y−3)−xy\displaystyle x*y=4(x+y-3)-xy.

Arătați că x∗y=4−(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-(x-4)(y-4) pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii, x∗y=4(x+y−3)−xy\displaystyle x*y=4(x+y-3)-xy, și desfacem parantezele: înmulțim 4\displaystyle 4 cu fiecare termen din paranteză.
    x∗y=4x+4y−12−xy\displaystyle x*y=4x+4y-12-xy
  2. Scriem −12=4−16\displaystyle -12=4-16, pentru a obține termenul 4\displaystyle 4 din forma cerută, și așezăm termenii astfel încât să apară −xy+4x+4y−16\displaystyle -xy+4x+4y-16.
    x∗y=4−xy+4x+4y−16\displaystyle x*y=4-xy+4x+4y-16
  3. Grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x: −xy+4x=−x(y−4)\displaystyle -xy+4x=-x(y-4). Apoi 4y−16=4(y−4)\displaystyle 4y-16=4(y-4).
    x∗y=4−x(y−4)+4(y−4)\displaystyle x*y=4-x(y-4)+4(y-4)
  4. Dăm factor comun pe y−4\displaystyle y-4 din ultimii doi termeni: −x(y−4)+4(y−4)=−(x−4)(y−4)\displaystyle -x(y-4)+4(y-4)=-(x-4)(y-4). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∗y=4−(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-(x-4)(y-4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4(x+y−3)−xy\displaystyle x*y=4(x+y-3)-xy.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub forma indicată în metodă. Desfacem (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16, deci 4−(x−4)(y−4)=4x+4y−12−xy=4(x+y−3)−xy\displaystyle 4-(x-4)(y-4)=4x+4y-12-xy=4(x+y-3)-xy.
    x∗y=4−(x−4)(y−4)\displaystyle x*y=4-(x-4)(y-4)
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, luând y=x\displaystyle y=x în forma obținută: x∗x=4−(x−4)(x−4)\displaystyle x*x=4-(x-4)(x-4).
    x∗x=4−(x−4)2\displaystyle x*x=4-(x-4)^{2}
  3. Folosim asociativitatea: x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Aplicăm forma legii: x∗x∗x=4−((x∗x)−4)(x−4)\displaystyle x*x*x=4-\left((x*x)-4\right)(x-4). Cum (x∗x)−4=−(x−4)2\displaystyle (x*x)-4=-(x-4)^{2}, obținem x∗x∗x=4+(x−4)2(x−4)\displaystyle x*x*x=4+(x-4)^{2}(x-4).
    x∗x∗x=4+(x−4)3\displaystyle x*x*x=4+(x-4)^{3}
  4. Înlocuim în ecuația x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x: 4+(x−4)3=x\displaystyle 4+(x-4)^{3}=x, adică (x−4)3=x−4\displaystyle (x-4)^{3}=x-4.
    (x−4)3=x−4\displaystyle (x-4)^{3}=x-4
  5. Notăm t=x−4\displaystyle t=x-4. Ecuația devine t3−t=0\displaystyle t^{3}-t=0, adică t(t−1)(t+1)=0\displaystyle t(t-1)(t+1)=0, deci t=0\displaystyle t=0, t=1\displaystyle t=1 sau t=−1\displaystyle t=-1.
    t∈{−1,0,1}\displaystyle t\in\{-1,0,1\}
  6. Revenim la x=t+4\displaystyle x=t+4: x=3\displaystyle x=3, x=4\displaystyle x=4 sau x=5\displaystyle x=5. Toate sunt numere reale, deci sunt soluții ale ecuației.
    x=3 sau x=4 sau x=5\displaystyle x=3\text{ sau }x=4\text{ sau }x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1\displaystyle f(x)=x\ln x-x+1.

Arătați că lim⁡x→ef(x)=1\displaystyle \lim_{x\to e}f(x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)=xln⁡x−x+1\displaystyle f(x)=x\ln x-x+1, deci scriem limita ca limită a acestei expresii când x→e\displaystyle x\to e.
    lim⁡x→ef(x)=lim⁡x→e(xln⁡x−x+1)\displaystyle \lim_{x\to e}f(x)=\lim_{x\to e}(x\ln x-x+1)
  2. Funcția f\displaystyle f este continuă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fiind obținută din funcții elementare continue (produs, diferență și logaritm). Cum e∈(0,+∞)\displaystyle e\in(0,+\infty), limita în e\displaystyle e este egală cu valoarea funcției în e\displaystyle e, adică înlocuim x\displaystyle x cu e\displaystyle e.
    lim⁡x→ef(x)=f(e)=eln⁡e−e+1\displaystyle \lim_{x\to e}f(x)=f(e)=e\ln e-e+1
  3. Folosim ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci eln⁡e=e⋅1=e\displaystyle e\ln e=e\cdot 1=e. Atunci e−e+1=1\displaystyle e-e+1=1, iar limita cerută este 1\displaystyle 1.
    eln⁡e−e+1=e−e+1=1\displaystyle e\ln e-e+1=e-e+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1\displaystyle f(x)=x\ln x-x+1.

Arătați că f′(x)=ln⁡x\displaystyle f'(x)=\ln x, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=xln⁡x−x+1\displaystyle f(x)=x\ln x-x+1 termen cu termen: f′(x)=(xln⁡x)′−(x)′+(1)′\displaystyle f'(x)=(x\ln x)'-(x)'+(1)'.
    f′(x)=(xln⁡x)′−(x)′+(1)′\displaystyle f'(x)=(x\ln x)'-(x)'+(1)'
  2. Pentru primul termen aplicăm regula de derivare a produsului (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', cu u=x\displaystyle u=x și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x. Avem (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci (xln⁡x)′=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle (x\ln x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}.
    (xln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x\displaystyle (x\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}
  3. Avem (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (1)′=0\displaystyle (1)'=0. Înlocuind în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x), obținem f′(x)=ln⁡x+x⋅1x−1\displaystyle f'(x)=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}-1.
    f′(x)=ln⁡x+x⋅1x−1\displaystyle f'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}-1
  4. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡x\displaystyle f'(x)=\ln x+1-1=\ln x, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡x\displaystyle f'(x)=\ln x+1-1=\ln x, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1\displaystyle f(x)=x\ln x-x+1.

Arătați că f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f folosind derivata produsului pentru xln⁡x\displaystyle x\ln x: (xln⁡x)′=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle (x\ln x)'=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1. Derivata lui −x\displaystyle -x este −1\displaystyle -1, iar constanta 1\displaystyle 1 dispare.
    f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡x\displaystyle f'(x)=\ln x+1-1=\ln x
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Avem ln⁡x=0\displaystyle \ln x=0, deci singura soluție este x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=0⇔ln⁡x=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow \ln x=0\Leftrightarrow x=1,f′(1)=0\displaystyle \quad f'(1)=0
  3. Studiem semnul derivatei. Funcția ln⁡x\displaystyle \ln x este negativă pe (0,1)\displaystyle (0,1) și pozitivă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), deci f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1] și strict crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)<0 pentru x∈(0,1) și f′(x)>0 pentru x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{ pentru }x\in(0,1)\text{ și }f'(x)>0\text{ pentru }x\in(1,+\infty)
  4. Calculăm valoarea funcției în punctul de minim x=1\displaystyle x=1: f(1)=1⋅ln⁡1−1+1\displaystyle f(1)=1\cdot\ln 1-1+1.
    f(1)=1⋅0−1+1=0\displaystyle f(1)=1\cdot 0-1+1=0
  5. Deoarece f\displaystyle f scade pe (0,1]\displaystyle (0,1] și crește pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), punctul x=1\displaystyle x=1 este punct de minim global. Deci f(x)≥f(1)=0\displaystyle f(x)\ge f(1)=0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(x)≥f(1)⇒f(x)≥0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)\ge f(1)\Rightarrow f(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+8x+15\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}.

Arătați că ∫02014(x+3)(x+5)f(x) dx=2014\displaystyle \int_0^{2014}(x+3)(x+5)f(x)\,dx=2014.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm produsul: (x+3)(x+5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15\displaystyle (x+3)(x+5)=x^{2}+5x+3x+15=x^{2}+8x+15. Acesta este chiar numitorul funcției f\displaystyle f.
    (x+3)(x+5)=x2+8x+15\displaystyle (x+3)(x+5)=x^{2}+8x+15
  2. Pe intervalul [0,2014]⊂(−3,+∞)\displaystyle [0,2014]\subset(-3,+\infty) avem x2+8x+15≠0\displaystyle x^{2}+8x+15\neq 0, deci (x+3)(x+5)f(x)=(x2+8x+15)⋅1x2+8x+15=1\displaystyle (x+3)(x+5)f(x)=(x^{2}+8x+15)\cdot\dfrac{1}{x^{2}+8x+15}=1. Integrala devine integrala constantei 1.
    ∫02014(x+3)(x+5)f(x) dx=∫020141 dx\displaystyle \int_0^{2014}(x+3)(x+5)f(x)\,dx=\int_0^{2014}1\,dx
  3. O primitivă a funcției 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫020141 dx=x∣02014=2014−0\displaystyle \int_0^{2014}1\,dx=x\Big|_0^{2014}=2014-0.
    x∣02014=2014−0=2014\displaystyle x\Big|_0^{2014}=2014-0=2014
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+8x+15\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}.

Arătați că ∫−11f(x)⋅f′(x) dx=−1144\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\cdot f'(x)\,dx=-\frac{1}{144}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (12f2(x))′=12⋅2f(x)f′(x)=f(x)f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2f(x)f'(x)=f(x)f'(x). Deci 12f2\displaystyle \dfrac{1}{2}f^{2} este o primitivă a lui f⋅f′\displaystyle f\cdot f' pe (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty).
    (12f2(x))′=f(x)f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=f(x)f'(x)
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton, deoarece −1,1∈(−3,+∞)\displaystyle -1,1\in(-3,+\infty): ∫−11f(x)f′(x) dx=12f2(x)∣−11=12(f2(1)−f2(−1))\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\Big|_{-1}^{1}=\dfrac{1}{2}\left(f^{2}(1)-f^{2}(-1)\right).
    ∫−11f(x)f′(x) dx=12(f2(1)−f2(−1))\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\left(f^{2}(1)-f^{2}(-1)\right)
  3. Calculăm f(1)=11+8+15=124\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{1+8+15}=\dfrac{1}{24} și f(−1)=11−8+15=18\displaystyle f(-1)=\dfrac{1}{1-8+15}=\dfrac{1}{8}.
    f(1)=124\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{24},f(−1)=18\displaystyle \quad f(-1)=\dfrac{1}{8}
  4. Ridicăm la pătrat: f2(1)=1576\displaystyle f^{2}(1)=\dfrac{1}{576} și f2(−1)=164\displaystyle f^{2}(-1)=\dfrac{1}{64}.
    f2(1)=1576\displaystyle f^{2}(1)=\dfrac{1}{576},f2(−1)=164\displaystyle \quad f^{2}(-1)=\dfrac{1}{64}
  5. Înlocuim: 12(1576−164)=12(1576−9576)=12⋅(−8576)=−4576=−1144\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{576}-\dfrac{1}{64}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{576}-\dfrac{9}{576}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{8}{576}\right)=-\dfrac{4}{576}=-\dfrac{1}{144}.
    ∫−11f(x)f′(x) dx=12(1576−164)=−1144\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{576}-\dfrac{1}{64}\right)=-\dfrac{1}{144}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x2+8x+15\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+8x+15}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=a\displaystyle x=a, are aria egală cu 12ln⁡109\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{10}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Studiem semnul funcției pe intervalul de integrare. Pentru x>−3\displaystyle x>-3 avem x+3>0\displaystyle x+3>0 și x+5>0\displaystyle x+5>0, deci x2+8x+15=(x+3)(x+5)>0\displaystyle x^2+8x+15=(x+3)(x+5)>0. Rezultă că f(x)>0\displaystyle f(x)>0, deci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    f(x)>0⇒A=∫0af(x) dx\displaystyle f(x)>0\Rightarrow \mathcal{A}=\int_0^a f(x)\,dx
  2. Scriem aria ca integrală și completăm pătratul la numitor: x2+8x+15=(x+4)2−1\displaystyle x^2+8x+15=(x+4)^2-1.
    A=∫0a1(x+4)2−1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^a\frac{1}{(x+4)^2-1}\,dx
  3. Descompunem în fracții simple: 1(x+3)(x+5)=12(1x+3−1x+5)\displaystyle \dfrac{1}{(x+3)(x+5)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+5}\right).
    1(x+3)(x+5)=12(1x+3−1x+5)\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x+5)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+5}\right)
  4. Integrăm termen cu termen: o primitivă este 12(ln⁡(x+3)−ln⁡(x+5))=12ln⁡x+3x+5\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\ln(x+3)-\ln(x+5)\right)=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x+3}{x+5}. Aplicăm formula Leibniz-Newton între 0\displaystyle 0 și a\displaystyle a.
    A=12ln⁡x+3x+5∣0a=12ln⁡a+3a+5−12ln⁡35\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{2}\ln\frac{x+3}{x+5}\Big|_0^a=\frac{1}{2}\ln\frac{a+3}{a+5}-\frac{1}{2}\ln\frac{3}{5}
  5. Grupăm logaritmii: diferența a doi logaritmi este logaritmul câtului, iar împărțirea la 35\displaystyle \dfrac{3}{5} înseamnă înmulțire cu 53\displaystyle \dfrac{5}{3}.
    A=12ln⁡5(a+3)3(a+5)\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{2}\ln\frac{5(a+3)}{3(a+5)}
  6. Egalăm aria cu valoarea dată: 12ln⁡5(a+3)3(a+5)=12ln⁡109\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{5(a+3)}{3(a+5)}=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{10}{9}. Deoarece logaritmul este injectiv, egalăm argumentele.
    5(a+3)3(a+5)=109\displaystyle \frac{5(a+3)}{3(a+5)}=\frac{10}{9}
  7. Rezolvăm ecuația: 45(a+3)=30(a+5)\displaystyle 45(a+3)=30(a+5), adică 45a+135=30a+150\displaystyle 45a+135=30a+150, deci 15a=15\displaystyle 15a=15. Valoarea convine, pentru că a>0\displaystyle a>0.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.