Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați produsul primilor trei termeni ai progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, știind că b2=4\displaystyle b_2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rația cu q\displaystyle q. Atunci b2=b1q\displaystyle b_2=b_1q și b3=b1q2\displaystyle b_3=b_1q^{2}. Produsul termenilor extremi este b1b3=b1⋅b1q2=(b1q)2\displaystyle b_1b_3=b_1\cdot b_1q^{2}=(b_1q)^{2}, deci pătratul termenului din mijloc.
    b1b3=b22\displaystyle b_1b_3=b_2^{2}
  2. Produsul primilor trei termeni este b1b2b3=(b1b3)⋅b2\displaystyle b_1b_2b_3=(b_1b_3)\cdot b_2. Înlocuim b1b3=b22\displaystyle b_1b_3=b_2^{2} și obținem b1b2b3=b22⋅b2=b23\displaystyle b_1b_2b_3=b_2^{2}\cdot b_2=b_2^{3}.
    b1b2b3=b23\displaystyle b_1b_2b_3=b_2^{3}
  3. Cum b2=4\displaystyle b_2=4, rezultă b1b2b3=43=4⋅4⋅4=64\displaystyle b_1b_2b_3=4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64.
    b1b2b3=43=64\displaystyle b_1b_2b_3=4^{3}=64
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f,g:R→R\displaystyle f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)2\displaystyle f(x)=(x-1)^2 și g(x)=2018−x\displaystyle g(x)=2018-x. Calculați g(f(1))\displaystyle g(f(1)).
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea g(f(1))\displaystyle g(f(1)) se calculează din interior spre exterior: mai întâi valoarea lui f\displaystyle f în 1\displaystyle 1, apoi se aplică g\displaystyle g acestui rezultat.
    g(f(1))=g(f(1))\displaystyle g(f(1))=g\left(f(1)\right)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=(x−1)2\displaystyle f(x)=(x-1)^2: f(1)=(1−1)2=02=0\displaystyle f(1)=(1-1)^2=0^2=0.
    f(1)=(1−1)2=0\displaystyle f(1)=(1-1)^2=0
  3. Deci g(f(1))=g(0)\displaystyle g(f(1))=g(0). Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în g(x)=2018−x\displaystyle g(x)=2018-x și obținem 2018−0=2018\displaystyle 2018-0=2018.
    g(f(1))=g(0)=2018−0=2018\displaystyle g(f(1))=g(0)=2018-0=2018
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 25x=5x2\displaystyle 25^x=5^{x^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza 25\displaystyle 25 ca putere a lui 5\displaystyle 5: 25=52\displaystyle 25=5^{2}, deci 25x=(52)x=52x\displaystyle 25^{x}=\left(5^{2}\right)^{x}=5^{2x}.
    25x=52x\displaystyle 25^{x}=5^{2x}
  2. Înlocuim în ecuație: 52x=5x2\displaystyle 5^{2x}=5^{x^{2}}. Funcția exponențială de bază 5\displaystyle 5 este injectivă, deci egalăm exponenții: 2x=x2\displaystyle 2x=x^{2}, adică x2−2x=0\displaystyle x^{2}-2x=0.
    52x=5x2⇔x2−2x=0\displaystyle 5^{2x}=5^{x^{2}}\Leftrightarrow x^{2}-2x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x−2)=0\displaystyle x(x-2)=0. Un produs este nul când unul dintre factori este nul: x=0\displaystyle x=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0.
    x(x−2)=0\displaystyle x(x-2)=0
  4. Din x=0\displaystyle x=0 și x−2=0\displaystyle x-2=0 obținem soluțiile x=0\displaystyle x=0 și x=2\displaystyle x=2, ambele numere reale.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1\displaystyle 99-10+1, adică numărul cazurilor posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Numerele de două cifre cu cifra zecilor egală cu 9\displaystyle 9 sunt 90,91,…,99\displaystyle 90, 91, \ldots, 99. Ele sunt în număr de 10\displaystyle 10, deci avem 10\displaystyle 10 cazuri favorabile.
    10\displaystyle 10
  3. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Simplificăm fracția cu 10\displaystyle 10.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1090=19\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație (a−1)x−a2y−a2=0\displaystyle (a-1)x-a^2y-a^2=0, unde a\displaystyle a este număr real nenul. Determinați numărul real nenul a\displaystyle a, știind că dreapta d\displaystyle d este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem ecuația dreptei sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, izolând termenul cu y\displaystyle y. Din (a−1)x−a2y−a2=0\displaystyle (a-1)x-a^2y-a^2=0 obținem a2y=(a−1)x−a2\displaystyle a^2y=(a-1)x-a^2.
    a2y=(a−1)x−a2\displaystyle a^{2}y=(a-1)x-a^{2}
  2. Deoarece a≠0\displaystyle a\neq 0, putem împărți cu a2\displaystyle a^2: y=a−1a2x−1\displaystyle y=\dfrac{a-1}{a^{2}}x-1. Panta dreptei d\displaystyle d este coeficientul lui x\displaystyle x.
    md=a−1a2\displaystyle m_d=\dfrac{a-1}{a^{2}}
  3. O dreaptă este paralelă cu axa Ox\displaystyle Ox dacă și numai dacă panta ei este zero. Punem condiția md=0\displaystyle m_d=0.
    a−1a2=0\displaystyle \dfrac{a-1}{a^{2}}=0
  4. O fracție cu numitorul nenul este zero când numărătorul este zero, deci a−1=0\displaystyle a-1=0. Rezultă a=1\displaystyle a=1, valoare nenulă, deci convine.
    a−1a2=0, deci a=1\displaystyle \dfrac{a-1}{a^{2}}=0\text{, deci }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că tg⁡x+ctg⁡x=52\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=\frac{5}{2}, știind că sin⁡x=15\displaystyle \sin x=\frac{1}{\sqrt{5}} și x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Cum sin⁡x=15\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, avem sin⁡2x=15\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1}{5}.
    cos⁡2x=1−15=45\displaystyle \cos^{2}x=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}
  2. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci luăm rădăcina pozitivă din 45\displaystyle \dfrac{4}{5}.
    cos⁡x=25\displaystyle \cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}
  3. Scriem tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} și ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\displaystyle \operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x} și aducem la același numitor. Numărătorul devine sin⁡2x+cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x, care este egal cu 1\displaystyle 1.
    tg⁡x+ctg⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}
  4. Calculăm sin⁡xcos⁡x=15⋅25=25\displaystyle \sin x\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2}{5}.
    sin⁡xcos⁡x=25\displaystyle \sin x\cos x=\frac{2}{5}
  5. Înlocuim în fracția obținută: 125=52\displaystyle \dfrac{1}{\frac{2}{5}}=\dfrac{5}{2}, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    tg⁡x+ctg⁡x=125=52\displaystyle \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=\frac{1}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x+2x1−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+2&x\\1&-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−7\displaystyle \det(A(1))=-7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): x+2\displaystyle x+2 devine 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar x\displaystyle x devine 1\displaystyle 1. Celelalte elemente nu depind de x\displaystyle x.
    A(1)=(311−2)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}3&1\\1&-2\end{pmatrix}
  2. Pentru o matrice de ordinul doi, det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc. Aici a=3\displaystyle a=3, b=1\displaystyle b=1, c=1\displaystyle c=1, d=−2\displaystyle d=-2.
    det⁡(A(1))=∣311−2∣=3⋅(−2)−1⋅1\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}3&1\\1&-2\end{vmatrix}=3\cdot(-2)-1\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−2)=−6\displaystyle 3\cdot(-2)=-6 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1. Apoi −6−1=−7\displaystyle -6-1=-7, deci det⁡(A(1))=−7\displaystyle \det(A(1))=-7, așa cum trebuia arătat.
    −6−1=−7\displaystyle -6-1=-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x+2x1−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+2&x\\1&-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că xA(y)−yA(x)=(x−y)A(0)\displaystyle xA(y)-yA(x)=(x-y)A(0), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția lui A\displaystyle A avem A(y)=(y+2y1−2)\displaystyle A(y)=\begin{pmatrix}y+2&y\\1&-2\end{pmatrix} și A(x)=(x+2x1−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+2&x\\1&-2\end{pmatrix}. Membrul stâng este xA(y)−yA(x)\displaystyle xA(y)-yA(x).
    xA(y)−yA(x)=x(y+2y1−2)−y(x+2x1−2)\displaystyle xA(y)-yA(x)=x\begin{pmatrix}y+2&y\\1&-2\end{pmatrix}-y\begin{pmatrix}x+2&x\\1&-2\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al primei matrice cu x\displaystyle x și fiecare element al celei de-a doua cu y\displaystyle y, apoi scădem matricele element cu element.
    (xy+2x−yx−2yxy−yxx−y−2x+2y)\displaystyle \begin{pmatrix}xy+2x-yx-2y&xy-yx\\x-y&-2x+2y\end{pmatrix}
  3. Reducem termenii asemenea: xy−yx=0\displaystyle xy-yx=0, deci elementul din dreapta sus este 0\displaystyle 0. Apoi 2x−2y=2(x−y)\displaystyle 2x-2y=2(x-y) și −2x+2y=−2(x−y)\displaystyle -2x+2y=-2(x-y).
    (2(x−y)0x−y−2(x−y))\displaystyle \begin{pmatrix}2(x-y)&0\\x-y&-2(x-y)\end{pmatrix}
  4. Scoatem factor comun scalarul x−y\displaystyle x-y în fața matricei. Matricea rămasă este chiar A(0)=(0+201−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0+2&0\\1&-2\end{pmatrix}, deci egalitatea este demonstrată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    (2(x−y)0x−y−2(x−y))=(x−y)(201−2)=(x−y)A(0)\displaystyle \begin{pmatrix}2(x-y)&0\\x-y&-2(x-y)\end{pmatrix}=(x-y)\begin{pmatrix}2&0\\1&-2\end{pmatrix}=(x-y)A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x+2x1−2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x+2&x\\1&-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că (aA(−1)+A(a))A(0)=(a2+7)I2\displaystyle (aA(-1)+A(a))A(0)=(a^2+7)I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(−1)\displaystyle A(-1) și A(0)\displaystyle A(0), înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 și, respectiv, cu 0\displaystyle 0 în A(x)\displaystyle A(x).
    A(−1)=(1−11−2) și A(0)=(201−2)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-2\end{pmatrix}\text{ și }A(0)=\begin{pmatrix}2&0\\1&-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm suma aA(−1)+A(a)\displaystyle aA(-1)+A(a), adunând element cu element, și dăm factor comun a+1\displaystyle a+1.
    aA(−1)+A(a)=(2a+20a+1−2a−2)=(a+1)(201−2)=(a+1)A(0)\displaystyle aA(-1)+A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&0\\a+1&-2a-2\end{pmatrix}=(a+1)\begin{pmatrix}2&0\\1&-2\end{pmatrix}=(a+1)A(0)
  3. Calculăm produsul A(0)A(0)\displaystyle A(0)A(0), linie cu coloană.
    A(0)A(0)=(402−24)=4I2\displaystyle A(0)A(0)=\begin{pmatrix}4&0\\2-2&4\end{pmatrix}=4I_2
  4. Înlocuim în membrul stâng al ecuației: (aA(−1)+A(a))A(0)=(a+1)A(0)A(0)=4(a+1)I2\displaystyle (aA(-1)+A(a))A(0)=(a+1)A(0)A(0)=4(a+1)I_2.
    (aA(−1)+A(a))A(0)=(a+1)A(0)A(0)=4(a+1)I2\displaystyle (aA(-1)+A(a))A(0)=(a+1)A(0)A(0)=4(a+1)I_2
  5. Egalăm cu membrul drept (a2+7)I2\displaystyle (a^2+7)I_2. Cum matricele sunt multipli ai lui I2\displaystyle I_2, rămâne ecuația 4(a+1)=a2+7\displaystyle 4(a+1)=a^2+7, adică a2−4a+3=0\displaystyle a^2-4a+3=0.
    4(a+1)=a2+7⇔a2−4a+3=0\displaystyle 4(a+1)=a^2+7\Leftrightarrow a^2-4a+3=0
  6. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: discriminantul este 16−12=4\displaystyle 16-12=4, deci a=4±22\displaystyle a=\dfrac{4\pm 2}{2}. Obținem a=1\displaystyle a=1 sau a=3\displaystyle a=3.
    a=1 sau a=3\displaystyle a=1\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=4X3−6X+m\displaystyle f=4X^3-6X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=2\displaystyle m=2, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=2\displaystyle m=2 polinomul devine f=4X3−6X+2\displaystyle f=4X^3-6X+2.
    f=4X3−6X+2\displaystyle f=4X^{3}-6X+2
  2. Înlocuim X=1\displaystyle X=1 în expresia lui f\displaystyle f: f(1)=4⋅13−6⋅1+2\displaystyle f(1)=4\cdot 1^3-6\cdot 1+2.
    f(1)=4⋅13−6⋅1+2\displaystyle f(1)=4\cdot 1^{3}-6\cdot 1+2
  3. Avem 13=1\displaystyle 1^3=1, deci f(1)=4−6+2=0\displaystyle f(1)=4-6+2=0. Prin urmare f(1)=0\displaystyle f(1)=0, ceea ce trebuia arătat.
    f(1)=4−6+2=0\displaystyle f(1)=4-6+2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=4X3−6X+m\displaystyle f=4X^3-6X+m, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că, oricare ar fi numărul real m\displaystyle m, polinomul f\displaystyle f nu se divide cu polinomul X2+X+1\displaystyle X^2+X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim polinomul f=4X3−6X+m\displaystyle f=4X^3-6X+m la X2+X+1\displaystyle X^2+X+1. Primul termen al câtului este 4X3:X2=4X\displaystyle 4X^3:X^2=4X. Scădem din f\displaystyle f produsul 4X⋅(X2+X+1)=4X3+4X2+4X\displaystyle 4X\cdot(X^2+X+1)=4X^3+4X^2+4X.
    f−4X(X2+X+1)=−4X2−10X+m\displaystyle f-4X(X^2+X+1)=-4X^2-10X+m
  2. Al doilea termen al câtului este −4X2:X2=−4\displaystyle -4X^2:X^2=-4. Scădem produsul −4⋅(X2+X+1)=−4X2−4X−4\displaystyle -4\cdot(X^2+X+1)=-4X^2-4X-4.
    (−4X2−10X+m)−(−4X2−4X−4)=−6X+m+4\displaystyle (-4X^2-10X+m)-(-4X^2-4X-4)=-6X+m+4
  3. Restul −6X+m+4\displaystyle -6X+m+4 are gradul 1\displaystyle 1, mai mic decât gradul lui X2+X+1\displaystyle X^2+X+1, deci împărțirea se oprește. Câtul este 4X−4\displaystyle 4X-4, iar restul este −6X+m+4\displaystyle -6X+m+4.
    f=(X2+X+1)(4X−4)+(−6X+m+4)\displaystyle f=(X^2+X+1)(4X-4)+(-6X+m+4)
  4. Polinomul f\displaystyle f se divide cu X2+X+1\displaystyle X^2+X+1 doar dacă restul este polinomul nul. Coeficientul lui X\displaystyle X din rest este −6≠0\displaystyle -6\neq 0, pentru orice m\displaystyle m real. Deci restul nu este polinomul nul, iar f\displaystyle f nu se divide cu X2+X+1\displaystyle X^2+X+1, oricare ar fi m\displaystyle m.
    −6X+m+4≠0 pentru orice m∈R\displaystyle -6X+m+4\neq 0\text{ pentru orice }m\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=4X3−6X+m\displaystyle f=4X^3-6X+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real nenul m\displaystyle m, știind că (1x1+1x2+1x3)2=1x1⋅1x2⋅1x3\displaystyle \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2=\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}\cdot\frac{1}{x_3}, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=4X3+0⋅X2−6X+m\displaystyle f=4X^3+0\cdot X^2-6X+m are coeficienții a=4\displaystyle a=4, b=0\displaystyle b=0, c=−6\displaystyle c=-6, d=m\displaystyle d=m. Scriem relațiile lui Viète pentru rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1, x_2, x_3.
    {x1+x2+x3=0x1x2+x1x3+x2x3=cax1x2x3=−da\displaystyle \begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}\\x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\end{cases}
  2. Înlocuim coeficienții și obținem suma produselor a câte două rădăcini și produsul rădăcinilor.
    {x1x2+x1x3+x2x3=−32x1x2x3=−m4\displaystyle \begin{cases}x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-\frac{3}{2}\\x_1x_2x_3=-\frac{m}{4}\end{cases}
  3. Aducem fracțiile la numitor comun. Cum m≠0\displaystyle m\neq 0, produsul rădăcinilor este nenul, deci rădăcinile sunt nenule și inversele există. Apoi înlocuim valorile din Viète: 1x1+1x2+1x3=x1x2+x2x3+x3x1x1x2x3=−32−m4\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\dfrac{-\frac{3}{2}}{-\frac{m}{4}}.
    1x1+1x2+1x3=−32−m4=6m\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{m}{4}}=\frac{6}{m}
  4. Calculăm membrul drept al egalității: produsul inverselor este inversul produsului rădăcinilor, adică 1x1⋅1x2⋅1x3=1x1x2x3=1−m4\displaystyle \dfrac{1}{x_1}\cdot\dfrac{1}{x_2}\cdot\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{1}{x_1x_2x_3}=\dfrac{1}{-\frac{m}{4}}.
    1x1⋅1x2⋅1x3=−4m\displaystyle \frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}\cdot\frac{1}{x_3}=-\frac{4}{m}
  5. Înlocuim în egalitatea din enunț și obținem o ecuație în m\displaystyle m.
    (6m)2=−4m  ⟺  36m2=−4m\displaystyle \left(\frac{6}{m}\right)^2=-\frac{4}{m}\iff\frac{36}{m^2}=-\frac{4}{m}
  6. Cum m≠0\displaystyle m\neq 0, înmulțim ecuația cu m2\displaystyle m^2 și obținem 36=−4m\displaystyle 36=-4m. Împărțim la −4\displaystyle -4 și găsim valoarea lui m\displaystyle m, care este nenulă, deci convine.
    36=−4m⇒m=−9\displaystyle 36=-4m\Rightarrow m=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1−ln⁡xx−1x\displaystyle f(x)=1-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}.

Arătați că f′(x)=ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=1−ln⁡xx−1x\displaystyle f(x)=1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{1}{x} termen cu termen: (1)′=0\displaystyle (1)'=0, iar pentru ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{x} folosim regula câtului, iar pentru 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} formula (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=0−(ln⁡xx)′−(1x)′\displaystyle f'(x)=0-\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'-\left(\dfrac{1}{x}\right)'
  2. Aplicăm regula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, v=x\displaystyle v=x, deci u′=1x\displaystyle u'=\dfrac{1}{x} și v′=1\displaystyle v'=1.
    (ln⁡xx)′=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2\displaystyle \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}
  3. Înlocuim în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și folosim (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=0−1x⋅x−ln⁡xx2−(−1x2)\displaystyle f'(x)=0-\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}-\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)
  4. Simplificăm: 1x⋅x=1\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot x=1, iar −(−1x2)=+1x2\displaystyle -\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=+\dfrac{1}{x^{2}}. Aducem la același numitor x2\displaystyle x^{2}.
    f′(x)=−1−ln⁡xx2+1x2=−1−ln⁡x−1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{1-\ln x-1}{x^{2}}
  5. Reducem 1−1=0\displaystyle 1-1=0 la numărător, deci minusul din față schimbă semnul lui −ln⁡x\displaystyle -\ln x, și obținem rezultatul cerut pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=−−ln⁡xx2=ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{\ln x}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1−ln⁡xx−1x\displaystyle f(x)=1-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Formula tangentei la graficul lui f\displaystyle f în punctul de abscisă 1\displaystyle 1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Avem nevoie de f(1)\displaystyle f(1) și de f′(1)\displaystyle f'(1). Calculăm întâi f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și folosind că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    f(1)=1−ln⁡11−11=1−0−1=0\displaystyle f(1)=1-\dfrac{\ln 1}{1}-\dfrac{1}{1}=1-0-1=0
  2. Derivăm funcția. Pentru fracția ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{x} folosim formula de derivare a câtului: (ln⁡xx)′=1x⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2\displaystyle \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}. Derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}, iar derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0. Semnele minus din f\displaystyle f se combină, iar termenii 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} se reduc.
    f′(x)=−1−ln⁡xx2+1x2=ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{\ln x}{x^{2}}
  3. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia derivatei. Astfel avem ambele valori cerute de pasul de control: f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f′(1)=ln⁡112=0\displaystyle f'(1)=\dfrac{\ln 1}{1^{2}}=0,f(1)=0\displaystyle \quad f(1)=0
  4. Înlocuim valorile f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0 în formula tangentei. Rezultă y=0\displaystyle y=0, deci tangenta este axa Ox\displaystyle Ox.
    y−0=0⋅(x−1), adica˘ y=0\displaystyle y-0=0\cdot(x-1)\text{, adică }y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1−ln⁡xx−1x\displaystyle f(x)=1-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}.

Demonstrați că ln⁡x2x≤1−1x\displaystyle \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}\le 1-\frac{1}{\sqrt{x}}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui ln⁡xx\displaystyle \dfrac{\ln x}{x} este 1−ln⁡xx2\displaystyle \dfrac{1-\ln x}{x^{2}}, iar derivata lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=−1−ln⁡xx2+1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}
  2. Reducem termenii: −1+1=0\displaystyle -1+1=0, iar rămâne ln⁡x\displaystyle \ln x la numărător. Deci f′(x)=ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}.
    f′(x)=ln⁡xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}
  3. Studiem semnul derivatei. Cum x2>0\displaystyle x^{2}>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui ln⁡x\displaystyle \ln x. Pe (0,1]\displaystyle (0,1] avem ln⁡x≤0\displaystyle \ln x\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) avem ln⁡x≥0\displaystyle \ln x\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, ∀x∈(0,1] și f′(x)≥0\displaystyle \ \forall x\in(0,1]\text{ și }f'(x)\ge 0, ∀x∈[1,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[1,+\infty)
  4. Deducem că f\displaystyle f are minim în x=1\displaystyle x=1. Calculăm f(1)=1−ln⁡11−11=1−0−1=0\displaystyle f(1)=1-\dfrac{\ln 1}{1}-\dfrac{1}{1}=1-0-1=0, deci f(x)≥f(1)=0\displaystyle f(x)\ge f(1)=0 pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    f(x)≥f(1)=0\displaystyle f(x)\ge f(1)=0, ∀x>0\displaystyle \ \forall x>0
  5. Cum x>0\displaystyle \sqrt{x}>0 pentru x>0\displaystyle x>0, putem înlocui x\displaystyle x cu x\displaystyle \sqrt{x} în inegalitatea f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0.
    f(x)=1−ln⁡xx−1x≥0\displaystyle f(\sqrt{x})=1-\dfrac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge 0
  6. Folosim ln⁡x=12ln⁡x\displaystyle \ln\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x. Obținem 1−ln⁡x2x−1x≥0\displaystyle 1-\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge 0. Mutăm termenul cu logaritm în partea dreaptă și obținem inegalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    ln⁡x2x≤1−1x\displaystyle \dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}\le 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1x+1\displaystyle f(x)=3x^2+\frac{1}{x+1}.

Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=22\displaystyle \int_0^2(x+1)f(x)\,dx=22.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim funcția cu x+1\displaystyle x+1: (x+1)f(x)=(x+1)(3x2+1x+1)\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\left(3x^{2}+\dfrac{1}{x+1}\right). Distribuim: primul termen devine 3x2(x+1)\displaystyle 3x^{2}(x+1), iar la al doilea se simplifică x+1\displaystyle x+1 cu numitorul, deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
    (x+1)f(x)=3x3+3x2+1\displaystyle (x+1)f(x)=3x^{3}+3x^{2}+1
  2. Înlocuim în integrală: ∫02(x+1)f(x) dx=∫02(3x3+3x2+1) dx\displaystyle \int_0^2(x+1)f(x)\,dx=\int_0^2(3x^{3}+3x^{2}+1)\,dx. Folosim ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, deci primitiva lui 3x3\displaystyle 3x^{3} este 3x44\displaystyle \dfrac{3x^{4}}{4}, a lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este x3\displaystyle x^{3}, iar a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    ∫02(x+1)f(x) dx=(3x44+x3+x)∣02\displaystyle \int_0^2(x+1)f(x)\,dx=\left(\frac{3x^{4}}{4}+x^{3}+x\right)\Big|_0^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În x=2\displaystyle x=2: 3⋅244=484=12\displaystyle \dfrac{3\cdot 2^{4}}{4}=\dfrac{48}{4}=12, 23=8\displaystyle 2^{3}=8 și 2\displaystyle 2. În x=0\displaystyle x=0 primitiva are valoarea 0\displaystyle 0.
    3⋅164+8+2−0=12+8+2\displaystyle \frac{3\cdot 16}{4}+8+2-0=12+8+2
  4. Adunăm: 12+8+2=22\displaystyle 12+8+2=22, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    12+8+2=22\displaystyle 12+8+2=22
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1x+1\displaystyle f(x)=3x^2+\frac{1}{x+1}.

Calculați ∫01(f(x)−1x+1)ex3dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)e^{x^3}dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) în integrand: f(x)−1x+1=3x2+1x+1−1x+1\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x+1}=3x^{2}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}.
    f(x)−1x+1=3x2\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x+1}=3x^{2}
  2. Termenii 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} se reduc, deci integrala devine ∫013x2ex3dx\displaystyle \int_0^1 3x^{2}e^{x^{3}}dx.
    ∫013x2ex3dx\displaystyle \int_0^1 3x^{2}e^{x^{3}}dx
  3. Observăm că (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, deci (ex3)′=3x2ex3\displaystyle \left(e^{x^{3}}\right)'=3x^{2}e^{x^{3}}. Prin urmare, ex3\displaystyle e^{x^{3}} este o primitivă a integrandului și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫013x2ex3dx=ex3∣01\displaystyle \int_0^1 3x^{2}e^{x^{3}}dx=e^{x^{3}}\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile primitivei în capetele intervalului: e13−e03=e−e0=e−1\displaystyle e^{1^{3}}-e^{0^{3}}=e-e^{0}=e-1.
    e−1\displaystyle e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2+1x+1\displaystyle f(x)=3x^2+\frac{1}{x+1}.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−3x2\displaystyle g(x)=f(x)-3x^2 este egal cu πn\displaystyle \frac{\pi}{n}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm g(x)=f(x)−3x2=3x2+1x+1−3x2\displaystyle g(x)=f(x)-3x^2=3x^2+\dfrac{1}{x+1}-3x^2, deci termenul 3x2\displaystyle 3x^2 se reduce.
    g(x)=1x+1\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x+1}
  2. Volumul corpului de rotație este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx. Înlocuim g(x)=1x+1\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x+1} și obținem integrala de mai jos.
    V=π∫011(x+1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\dfrac{1}{(x+1)^2}\,dx
  3. O primitivă a funcției 1(x+1)2\displaystyle \dfrac{1}{(x+1)^2} este −1x+1\displaystyle -\dfrac{1}{x+1}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=−πx+1∣01=−π2+π\displaystyle V=-\dfrac{\pi}{x+1}\Big|_0^1=-\dfrac{\pi}{2}+\pi.
    V=−πx+1∣01=−π2+π=π2\displaystyle V=-\dfrac{\pi}{x+1}\Big|_0^1=-\dfrac{\pi}{2}+\pi=\dfrac{\pi}{2}
  4. Din condiția din enunț, πn=π2\displaystyle \dfrac{\pi}{n}=\dfrac{\pi}{2}. Simplificăm cu π\displaystyle \pi și rezultă n=2\displaystyle n=2, număr natural nenul.
    πn=π2⇔n=2\displaystyle \dfrac{\pi}{n}=\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.