Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, sesiunea I varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a1\displaystyle a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, în care a2=8\displaystyle a_2=8 și a3=12\displaystyle a_3=12.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește proprietatea progresiei aritmetice: fiecare termen se obține din precedentul adunând rația constantă r\displaystyle r, deci diferența dintre doi termeni consecutivi este egală cu r\displaystyle r.
    an+1−an=r\displaystyle a_{n+1}-a_n=r, pentru orice n≥1\displaystyle \text{ pentru orice } n\geq 1
  2. Se aplică această proprietate pentru termenii a2\displaystyle a_{2} și a3\displaystyle a_{3}, calculând rația progresiei.
    r=a3−a2=12−8=4\displaystyle r=a_3-a_2=12-8=4
  3. Se folosește relația dintre a1\displaystyle a_{1} și a2\displaystyle a_{2} (a2=a1+r\displaystyle a_{2} = a_{1} + r) pentru a exprima a1\displaystyle a_{1} în funcție de a2\displaystyle a_{2} și r\displaystyle r.
    a2=a1+r⇒a1=a2−r\displaystyle a_2=a_1+r\Rightarrow a_1=a_2-r
  4. Se înlocuiesc valorile cunoscute a2=8\displaystyle a_{2}=8 și r=4\displaystyle r=4 pentru a determina termenul a1\displaystyle a_{1}.
    a1=a2−r=8−4=4\displaystyle a_1=a_2-r=8-4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−2\displaystyle f(x)=3x-2. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(m)=m\displaystyle f(m)=m.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la funcția dată și se scrie expresia lui f\displaystyle f calculată în punctul m\displaystyle m, înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula funcției.
    f(x)=3x−2⇒f(m)=3m−2, pentru orice numa˘r real m\displaystyle f(x)=3x-2\Rightarrow f(m)=3m-2\text{, pentru orice număr real }m
  2. Se pune condiția din enunț, f(m)=m\displaystyle f(m)=m, și se înlocuiește f(m)\displaystyle f(m) cu expresia obținută anterior.
    f(m)=m⇒3m−2=m\displaystyle f(m)=m\Rightarrow 3m-2=m
  3. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se trec termenii cu m într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte.
    3m−m=2⇒2m=2\displaystyle 3m-m=2\Rightarrow 2m=2
  4. Se împarte ecuația prin coeficientul lui m pentru a obține valoarea lui m, obținând astfel soluția finală a ecuației 3m−2=m\displaystyle 3m-2=m.
    3m−2=m, de unde obținem m=1\displaystyle 3m-2=m\text{, de unde obținem }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡6(9−x2)=log⁡65\displaystyle \log_6(9-x^2)=\log_6 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv.
    9−x2>0\displaystyle 9-x^2>0
  2. Folosind injectivitatea funcției logaritmice (log⁡6\displaystyle \log_6 este bijectivă), se elimină logaritmii egalând argumentele, apoi se aduce ecuația la forma de gradul al doilea.
    9−x2=5, de unde obținem x2−4=0\displaystyle 9-x^2=5\text{, de unde obținem }x^2-4=0
  3. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, scriind-o ca diferență de pătrate.
    x2−4=0⇔(x−2)(x+2)=0\displaystyle x^2-4=0\Leftrightarrow(x-2)(x+2)=0
  4. Se determină soluțiile ecuației.
    x=2 sau x=−2\displaystyle x=2\text{ sau }x=-2
  5. Se verifică dacă soluțiile obținute satisfac condiția de existență 9−x2>0\displaystyle 9-x^{2}>0: pentru x=2\displaystyle x=2, 9−4=5>0\displaystyle 9-4=5>0; pentru x=−2\displaystyle x=-2, 9−4=5>0\displaystyle 9-4=5>0, deci ambele convin.
    x=−2 sau x=2, care convin\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={0,1,2,…,9}\displaystyle A=\{0,1,2,\dots,9\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A\displaystyle A, numărul 2n+1\displaystyle \sqrt{2n+1} să aparțină mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină numărul de cazuri posibile, adică numărul de elemente ale mulțimii A.
    A={0,1,2,…,9}, deci ∣A∣=10 cazuri posibile\displaystyle A=\{0,1,2,\dots,9\}\text{, deci }|A|=10\text{ cazuri posibile}
  2. Se scrie condiția pentru cazurile favorabile: expresia 2n+1\displaystyle 2n+1 trebuie să fie pătrat perfect, iar rădăcina sa să aparțină mulțimii A.
    2n+1∈A  ⟺  2n+1=k2\displaystyle \sqrt{2n+1}\in A\iff 2n+1=k^2, k∈A\displaystyle \ k\in A
  3. Se calculează valorile lui 2n+1\displaystyle 2n+1 pentru fiecare n din A, pentru a vedea care sunt pătrate perfecte.
    n=0\displaystyle n=0,1\displaystyle 1,…\displaystyle \dots,9⇒2n+1∈{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}\displaystyle 9\Rightarrow 2n+1\in\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\}
  4. Se identifică valorile din acest șir care sunt pătrate perfecte ale unor numere din A (adică 0,1,...,9\displaystyle 0,1,...,9).
    {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}∩{k2∣k∈A}={1,9}\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\}\cap\{k^2\mid k\in A\}=\{1,9\}
  5. Se determină valorile lui n pentru care 2n+1\displaystyle 2n+1 este pătrat perfect: n=0\displaystyle n=0 dă 2n+1=1=12\displaystyle 2n+1=1=1^{2}, iar n=4\displaystyle n=4 dă 2n+1=9=32\displaystyle 2n+1=9=3^{2}.
    n=0⇒2⋅0+1=1∈A;n=4⇒2⋅4+1=3∈A\displaystyle n=0\Rightarrow \sqrt{2\cdot0+1}=1\in A;\quad n=4\Rightarrow \sqrt{2\cdot4+1}=3\in A
  6. Se verifică faptul că pentru restul valorilor lui n, expresia 2n+1\displaystyle 2n+1 nu este pătrat perfect, deci 2n+1\displaystyle \sqrt{2n+1} nu aparține mulțimii A.
    pentru celelalte valori \displaystyle \text{pentru celelalte valori }ale lui n\displaystyle \text{ale lui }n, 2n+1∉A\displaystyle \ \sqrt{2n+1}\notin A
  7. Se numără cazurile favorabile identificate (n=0\displaystyle n=0 și n=4\displaystyle n=4) și se calculează probabilitatea ca raport dintre cazurile favorabile și cele posibile.
    sunt 2 cazuri favorabile, de \displaystyle \text{sunt }2\text{ cazuri favorabile, de }unde obținem p=210=15\displaystyle \text{unde obținem }p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,0)\displaystyle A(1,0), B(4,4)\displaystyle B(4,4) și C(5,2)\displaystyle C(5,2). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în C\displaystyle C.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală pentru panta unei drepte determinate de două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_{1},y_{1}) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_{2},y_{2})
    mMN=y2−y1x2−x1\displaystyle m_{MN}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. Se calculează panta dreptei AC folosind coordonatele punctelor A(1,0)\displaystyle A(1,0) și C(5,2)\displaystyle C(5,2)
    mAC=2−05−1=24=12\displaystyle m_{AC}=\dfrac{2-0}{5-1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
  3. Se calculează panta dreptei BC folosind coordonatele punctelor B(4,4)\displaystyle B(4,4) și C(5,2)\displaystyle C(5,2)
    mBC=2−45−4=−21=−2\displaystyle m_{BC}=\dfrac{2-4}{5-4}=\dfrac{-2}{1}=-2
  4. Se calculează produsul pantelor mAC\displaystyle m_{AC} și mBC\displaystyle m_{BC} și se verifică dacă este egal cu −1\displaystyle -1, condiție de perpendicularitate a dreptelor AC și BC
    mAC⋅mBC=12⋅(−2)=−1\displaystyle m_{AC}\cdot m_{BC}=\dfrac{1}{2}\cdot(-2)=-1
  5. Deoarece produsul pantelor este −1\displaystyle -1, dreptele AC și BC sunt perpendiculare, deci unghiul din C este de 90°\displaystyle 90°, adică triunghiul ABC este dreptunghic în C
    mBC=−2⇒mAC⋅mBC=−1, deci triunghiul ABC este dreptunghic ıˆn C\displaystyle m_{BC}=-2\Rightarrow m_{AC}\cdot m_{BC}=-1\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic în }C
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră expresia E(x)=2sin⁡x⋅cos⁡x2+(sin⁡3x4)2\displaystyle E(x)=2\sin x\cdot\cos\dfrac{x}{2}+\left(\sin\dfrac{3x}{4}\right)^2. Arătați că E(π3)=2\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică unghiurile care apar în expresie prin înlocuirea lui x cu π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}: x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}, x2=π6\displaystyle \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{6}, 3x4=π4\displaystyle \dfrac{3x}{4}=\dfrac{\pi}{4}.
    x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}, x2=π6\displaystyle \ \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{6}, 3x4=π4\displaystyle \ \dfrac{3x}{4}=\dfrac{\pi}{4}
  2. Se calculează valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile obținute.
    sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}, cos⁡π6=32\displaystyle \ \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡π4=22\displaystyle \ \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}
  3. Se înlocuiesc valorile obținute în expresia E(x)\displaystyle E(x) pentru x=π3\displaystyle x=\dfrac{\pi}{3}, scriind expresia înainte de simplificare.
    E(π3)=2⋅32⋅32+(22)2\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2
  4. Se efectuează calculele: se ridică la pătrat termenul cu sinusul, se simplifică produsele și se adună fracțiile obținute, ajungând la rezultatul final.
    E(π3)=2⋅32⋅32+24=2\displaystyle E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{2}{4}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1004)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} și B(a)=(aa+1a−34a−1)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(B(1))=7\displaystyle \det(B(1))=7.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea B(a)\displaystyle B(a) și se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în fiecare element al matricei.
    B(a)=(aa+1a−34a−1)⇒B(1)=(11+11−34⋅1−1)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}\Rightarrow B(1)=\begin{pmatrix}1&1+1\\1-3&4\cdot1-1\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele numerice din fiecare element pentru a obține matricea B(1)\displaystyle B(1) simplificată.
    B(1)=(12−23)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei B(1)\displaystyle B(1) folosind formula pentru determinantul unei matrice 2×2\displaystyle 2\times 2 și se aplică formula de calcul: pentru o matrice de forma (x,y;z,t)\displaystyle (x,y;z,t), det⁡=x⋅t−y⋅z\displaystyle \det = x\cdot t - y\cdot z.
    det⁡(B(1))=∣12−23∣=1⋅3−2⋅(−2)=\displaystyle \det(B(1))=\begin{vmatrix}1&2\\-2&3\end{vmatrix}=1\cdot3-2\cdot(-2)=
  4. Se efectuează înmulțirile: 1\displaystyle 1 înmulțit cu 3\displaystyle 3 dă 3\displaystyle 3, iar 2\displaystyle 2 înmulțit cu −2\displaystyle -2 dă −4\displaystyle -4, deci scăderea devine 3−(−4)\displaystyle 3-(-4).
    1⋅3−2⋅(−2)=3−(−4)=3+4\displaystyle 1\cdot3-2\cdot(-2)=3-(-4)=3+4
  5. Se adună cele două numere pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =3+4=7\displaystyle =3+4=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1004)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} și B(a)=(aa+1a−34a−1)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că B(2)−B(0)⋅B(1)=4A\displaystyle B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea B(0)\displaystyle B(0) înlocuind a=0\displaystyle a=0 în expresia lui B(a)\displaystyle B(a): B(a)=(aa+1a−34a−1)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}.
    B(0)=(01−3−1)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm matricea B(1)\displaystyle B(1) înlocuind a=1\displaystyle a=1 în expresia lui B(a)\displaystyle B(a).
    B(1)=(12−23)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricele B(0)\displaystyle B(0) și B(1)\displaystyle B(1) folosind regula de înmulțire a matricelor 2×2\displaystyle 2\times 2: fiecare element al produsului este suma produselor dintre elementele liniei corespunzătoare din B(0)\displaystyle B(0) și coloanei corespunzătoare din B(1)\displaystyle B(1).
    B(0)⋅B(1)=(0⋅1+1⋅(−2)0⋅2+1⋅3−3⋅1+(−1)⋅(−2)−3⋅2+(−1)⋅3)\displaystyle B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot(-2)&0\cdot2+1\cdot3\\-3\cdot1+(-1)\cdot(-2)&-3\cdot2+(-1)\cdot3\end{pmatrix}
  4. Efectuăm calculele din produsul matricial și obținem forma finală a lui B(0)⋅B(1)\displaystyle B(0)\cdot B(1), confirmând rezultatele cerute de barem.
    B(0)=(01−3−1)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-1\end{pmatrix}, B(0)⋅B(1)=(−23−1−9)\displaystyle \ B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}-2&3\\-1&-9\end{pmatrix}
  5. Calculăm matricea B(2)\displaystyle B(2) înlocuind a=2\displaystyle a=2 în expresia lui B(a)\displaystyle B(a).
    B(2)=(23−17)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&7\end{pmatrix}
  6. Scădem din B(2)\displaystyle B(2) produsul B(0)⋅B(1)\displaystyle B(0)\cdot B(1), element cu element, pentru a verifica egalitatea cerută.
    B(2)−B(0)⋅B(1)=(2−(−2)3−3−1−(−1)7−(−9))\displaystyle B(2)-B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}2-(-2)&3-3\\-1-(-1)&7-(-9)\end{pmatrix}
  7. Finalizăm calculul și comparăm rezultatul obținut cu 4A\displaystyle 4A, unde A=(1004)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}, demonstrând egalitatea cerută.
    B(2)−B(0)⋅B(1)=(40016)=4A\displaystyle B(2)-B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}4&0\\0&16\end{pmatrix}=4A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1004)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix} și B(a)=(aa+1a−34a−1)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care matricea C(a)=B(a)−aA\displaystyle C(a)=B(a)-aA nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci C(a)\displaystyle C(a) nu este inversabilă exact când det⁡(C(a))=0\displaystyle \det(C(a))=0.
    det⁡(C(a))=0\displaystyle \det(C(a))=0
  2. Calculăm aA\displaystyle aA, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu a\displaystyle a.
    aA=(a004a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a&0\\0&4a\end{pmatrix}
  3. Scădem aA\displaystyle aA din B(a)\displaystyle B(a), element cu element: a−a=0\displaystyle a-a=0, a+1−0=a+1\displaystyle a+1-0=a+1, a−3−0=a−3\displaystyle a-3-0=a-3, 4a−1−4a=−1\displaystyle 4a-1-4a=-1.
    C(a)=(0a+1a−3−1)\displaystyle C(a)=\begin{pmatrix}0&a+1\\a-3&-1\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Primul produs este 0⋅(−1)=0\displaystyle 0\cdot(-1)=0.
    det⁡(C(a))=0⋅(−1)−(a+1)(a−3)=−(a−3)(a+1)\displaystyle \det(C(a))=0\cdot(-1)-(a+1)(a-3)=-(a-3)(a+1), ∀a∈R\displaystyle \ \forall a\in\mathbb{R}
  5. Punem condiția ca determinantul să fie zero: −(a−3)(a+1)=0\displaystyle -(a-3)(a+1)=0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci a−3=0\displaystyle a-3=0 sau a+1=0\displaystyle a+1=0.
    −(a−3)(a+1)=0⇒a−3=0 sau a+1=0\displaystyle -(a-3)(a+1)=0\Rightarrow a-3=0\text{ sau }a+1=0
  6. Rezolvăm cele două ecuații de gradul întâi și obținem valorile lui a\displaystyle a pentru care C(a)\displaystyle C(a) nu este inversabilă.
    a=−1 sau a=3\displaystyle a=-1\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−3y+6\displaystyle x*y=xy-2x-3y+6.

Arătați că 2∗2=0\displaystyle 2*2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție date: pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale, x∗y=xy−2x−3y+6\displaystyle x*y = xy - 2x - 3y + 6.
    x∗y=xy−2x−3y+6\displaystyle x*y=xy-2x-3y+6
  2. Se înlocuiesc x=2\displaystyle x=2 și y=2\displaystyle y=2 în definiția legii de compoziție, obținându-se expresia numerică ce trebuie calculată.
    2∗2=2⋅2−2⋅2−3⋅2+6=\displaystyle 2*2=2\cdot2-2\cdot2-3\cdot2+6=
  3. Se efectuează înmulțirile din expresia obținută.
    2⋅2−2⋅2−3⋅2+6=4−4−6+6\displaystyle 2\cdot2-2\cdot2-3\cdot2+6=4-4-6+6
  4. Se adună și se scad termenii rezultați pentru a obține valoarea finală a expresiei.
    =4−4−6+6=0\displaystyle =4-4-6+6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−3y+6\displaystyle x*y=xy-2x-3y+6.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗6=x\displaystyle x*6=x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=xy−2x−3y+6\displaystyle x*y=xy-2x-3y+6
  2. Se înlocuiește y=6\displaystyle y=6 în definiția legii de compoziție pentru a obține expresia x∗6\displaystyle x*6.
    x∗6=x⋅6−2x−3⋅6+6\displaystyle x*6=x\cdot6-2x-3\cdot6+6
  3. Se efectuează calculele: se înmulțește și se reduc termenii asemenea.
    x∗6=6x−2x−18+6\displaystyle x*6=6x-2x-18+6
  4. Se grupează termenii cu x\displaystyle x, respectiv termenii constanți, obținând forma finală a expresiei x∗6\displaystyle x*6, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∗6=4x−12, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*6=4x-12\text{, pentru orice număr real }x
  5. Se pune condiția din problemă, și anume x∗6=x\displaystyle x*6=x, obținându-se ecuația liniară în x\displaystyle x.
    4x−12=x\displaystyle 4x-12=x
  6. Se rezolvă ecuația: se trece x\displaystyle x în stânga, se reduc termenii asemenea și se împarte prin coeficientul lui x\displaystyle x pentru a obține soluția.
    4x−12=x, de unde obținem x=4\displaystyle 4x-12=x\text{, de unde obținem }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−3y+6\displaystyle x*y=xy-2x-3y+6.

Determinați mulțimea numerelor reale x\displaystyle x pentru care x∗(2∗x)≥2\displaystyle x*(2*x)\geq 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 2∗x\displaystyle 2*x folosind definiția legii de compoziție, înlocuind x cu 2 și y cu x.
    2∗x=2⋅x−2⋅2−3⋅x+6=−x+2=2−x\displaystyle 2*x=2\cdot x-2\cdot2-3\cdot x+6=-x+2=2-x
  2. Calculăm x∗(2∗x)\displaystyle x*(2*x), adică x∗(2−x)\displaystyle x*(2-x), aplicând din nou definiția legii de compoziție cu y=2−x\displaystyle y=2-x.
    x∗(2−x)=x(2−x)−2x−3(2−x)+6=2x−x2−2x−6+3x+6=−x2+3x\displaystyle x*(2-x)=x(2-x)-2x-3(2-x)+6=2x-x^2-2x-6+3x+6=-x^2+3x
  3. Concluzia calculului: pentru orice număr real x, expresia x∗(2∗x)\displaystyle x*(2*x) este egală cu −x2+3x\displaystyle -x^{2}+3x.
    2∗x=2−x\displaystyle 2*x=2-x, x∗(2∗x)=−x2+3x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \ x*(2*x)=-x^2+3x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Punem condiția din enunț ca x∗(2∗x)\displaystyle x*(2*x) să fie cel puțin 2, folosind expresia calculată anterior.
    x∗(2∗x)≥2⇔−x2+3x≥2\displaystyle x*(2*x)\geq2\Leftrightarrow -x^2+3x\geq2
  5. Trecem toți termenii într-o parte pentru a obține o inecuație de gradul al doilea în forma standard.
    −x2+3x−2≥0⇔x2−3x+2≤0\displaystyle -x^2+3x-2\geq0\Leftrightarrow x^2-3x+2\leq0
  6. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea asociată pentru a găsi rădăcinile, folosind formula cu discriminant.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=1\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1, x1,2=3±12⇒x1=1\displaystyle \ x_{1,2}=\dfrac{3\pm1}{2}\Rightarrow x_1=1, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  7. Deoarece coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, expresia x2−3x+2\displaystyle x^{2}-3x+2 este negativă sau nulă între rădăcini, deci soluția inecuației este intervalul dintre acestea.
    x2−3x+2≤0, cu ra˘da˘cinile x1=1\displaystyle x^2-3x+2\leq0\text{, cu rădăcinile }x_1=1, x2=2, de unde obținem x∈[1,2]\displaystyle \ x_2=2\text{, de unde obținem }x\in[1,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xx2+x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}.

Arătați că f′(x)=2(4−x2)(x2+x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile u și v din scrierea f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, precum și derivatele lor, pentru a aplica formula de derivare a câtului.
    u(x)=2x\displaystyle u(x)=2x, v(x)=x2+x+4\displaystyle \ v(x)=x^2+x+4, u′(x)=2\displaystyle \ u'(x)=2, v′(x)=2x+1\displaystyle \ v'(x)=2x+1
  2. Se aplică formula de derivare a câtului, f′=u′v−uv′v2\displaystyle f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, înlocuind expresiile stabilite anterior.
    f′(x)=2(x2+x+4)−2x(2x+1)(x2+x+4)2=\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x^2+x+4)-2x(2x+1)}{(x^2+x+4)^2}=
  3. Se efectuează calculele din numărător: se desfac parantezele și se reduc termenii asemenea.
    2(x2+x+4)−2x(2x+1)=2x2+2x+8−4x2−2x=8−2x2\displaystyle 2(x^2+x+4)-2x(2x+1)=2x^2+2x+8-4x^2-2x=8-2x^2
  4. Se scrie forma finală a derivatei, dând factor comun pe 2 la numărător și precizând domeniul de valabilitate.
    =8−2x2(x2+x+4)2=2(4−x2)(x2+x+4)2\displaystyle =\dfrac{8-2x^2}{(x^2+x+4)^2}=\dfrac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xx2+x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie limita funcției la +∞\displaystyle +\infty, pornind de la expresia dată a lui f(x)\displaystyle f(x).
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2xx2+x+4\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x^2+x+4}
  2. Se factorizează x\displaystyle x din numărător și x2\displaystyle x^2 din numitor, pentru a putea calcula limita raportului.
    2xx2+x+4=x⋅2x2(1+1x+4x2)=2x(1+1x+4x2)\displaystyle \dfrac{2x}{x^2+x+4}=\dfrac{x\cdot 2}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)}=\dfrac{2}{x\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)}
  3. Se observă că, pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, termenii 1x\displaystyle \frac{1}{x} și 4x2\displaystyle \frac{4}{x^2} tind către 0\displaystyle 0, deci paranteza tinde către 1\displaystyle 1, iar factorul x\displaystyle x tinde către +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞(1+1x+4x2)=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)=1,lim⁡x→+∞x=+∞\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}x=+\infty
  4. Se calculează limita expresiei simplificate, obținând valoarea limitei funcției la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2xx2+x+4=lim⁡x→+∞2x(1+1x+4x2)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x^2+x+4}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}=0
  5. Deoarece limita este finită (egală cu 0\displaystyle 0), rezultă că dreapta corespunzătoare este asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
    Dreapta de ecuație y=0 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=0\text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2xx2+x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}.

Arătați că f(x)−f(4−x)≤1\displaystyle f(x)-f(4-x)\leq 1, pentru orice x∈[4,+∞)\displaystyle x\in[4,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata funcției f\displaystyle f folosind regula de derivare a câtului.
    f′(x)=2(x2+x+4)−2x(2x+1)(x2+x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x^2+x+4)-2x(2x+1)}{(x^2+x+4)^2}
  2. Se simplifică expresia obținută la numărător.
    f′(x)=2x2+2x+8−4x2−2x(x2+x+4)2=−2x2+8(x2+x+4)2=−2(x2−4)(x2+x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2+2x+8-4x^2-2x}{(x^2+x+4)^2}=\dfrac{-2x^2+8}{(x^2+x+4)^2}=\dfrac{-2(x^2-4)}{(x^2+x+4)^2}
  3. Se observă că numitorul este întotdeauna strict pozitiv, deoarece discriminantul trinomului x2+x+4\displaystyle x^{2}+x+4 este negativ.
    x2+x+4>0\displaystyle x^2+x+4>0, ∀x∈R (deoarece Δ=1−16=−15<0)\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{ (deoarece }\Delta=1-16=-15<0\text{)}
  4. Se determină semnul derivatei, echivalent cu semnul expresiei −2(x−2)(x+2)\displaystyle -2(x-2)(x+2), și se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0.
    f′(x)=−2(x−2)(x+2)(x2+x+4)2, deci f′(x)=0⇒x=−2 sau x=2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2(x-2)(x+2)}{(x^2+x+4)^2}\text{, deci }f'(x)=0\Rightarrow x=-2\text{ sau }x=2
  5. Se analizează semnul derivatei pe fiecare interval determinat de rădăcinile −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2 și se stabilește monotonia funcției f\displaystyle f pe fiecare interval.
    f′(x)=0⇒x=−2 sau x=2; pentru orice x∈(−∞,−2]\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=-2\text{ sau }x=2\text{; pentru orice }x\in(-\infty,-2], f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (−∞,−2]; pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle \ f'(x)\leq0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,-2]\text{; pentru orice }x\in[-2,2], f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [−2,2]; pentru orice x∈[2,+∞)\displaystyle \ f'(x)\geq0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[-2,2]\text{; pentru orice }x\in[2,+\infty), f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [2,+∞)\displaystyle \ f'(x)\leq0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[2,+\infty)
  6. Se calculează valorile particulare ale funcției în punctele −2\displaystyle -2 și 4\displaystyle 4, care vor fi folosite în inegalitate.
    f(−2)=2⋅(−2)4−2+4=−46=−23 și f(4)=2⋅416+4+4=824=13\displaystyle f(-2)=\dfrac{2\cdot(-2)}{4-2+4}=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}\text{ și }f(4)=\dfrac{2\cdot4}{16+4+4}=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}
  7. Se observă că pentru x∈[4,+∞)\displaystyle x \in [4,+\infty), avem x∈[2,+∞)\displaystyle x \in [2,+\infty) și 4−x∈(−∞,0]\displaystyle 4-x \in (-\infty,0], acesta din urmă fiind inclus în (−∞,−2]∪[−2,2]\displaystyle (-\infty,-2] \cup [-2,2].
    x∈[4,+∞)⇒x∈[2,+∞) și 4−x∈(−∞,0]⊂(−∞,2]\displaystyle x\in[4,+\infty)\Rightarrow x\in[2,+\infty)\text{ și }4-x\in(-\infty,0]\subset(-\infty,2]
  8. Folosind faptul că f\displaystyle f este descrescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty) și x≥4\displaystyle x\geq 4, se obține majorarea lui f(x)\displaystyle f(x).
    x≥4, f descresca˘toare pe [2,+∞)⇒f(x)≤f(4)=13\displaystyle x\geq4\text{, }f\text{ descrescătoare pe }[2,+\infty)\Rightarrow f(x)\leq f(4)=\dfrac{1}{3}
  9. Folosind monotonia lui f\displaystyle f pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2] și pe [−2,2]\displaystyle [-2,2], se obține că pentru orice t≤2\displaystyle t\leq 2, f(t)≥f(−2)\displaystyle f(t)\geq f(-2); cum 4−x≤0<2\displaystyle 4-x\leq 0<2, rezultă minorarea lui f(4−x)\displaystyle f(4-x).
    ∀t≤2\displaystyle \forall t\leq2, f(t)≥f(−2)⇒f(4−x)≥f(−2)=−23, pentru orice x∈[4,+∞)\displaystyle \ f(t)\geq f(-2)\Rightarrow f(4-x)\geq f(-2)=-\dfrac{2}{3}\text{, pentru orice }x\in[4,+\infty)
  10. Se combină cele două inegalități obținute (majorarea lui f(x)\displaystyle f(x) și minorarea lui f(4−x)\displaystyle f(4-x)) pentru a demonstra inegalitatea cerută.
    x∈[4,+∞)⇒4−x∈(−∞,0], deci f(x)≤f(4) și f(4−x)≥f(−2) și, cum f(−2)=−23 și f(4)=13, obținem f(x)−f(4−x)≤1, pentru orice x∈[4,+∞)\displaystyle x\in[4,+\infty)\Rightarrow 4-x\in(-\infty,0]\text{, deci }f(x)\leq f(4)\text{ și }f(4-x)\geq f(-2)\text{ și, cum }f(-2)=-\dfrac{2}{3}\text{ și }f(4)=\dfrac{1}{3}\text{, obținem }f(x)-f(4-x)\leq1\text{, pentru orice }x\in[4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}.

Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=8\displaystyle \displaystyle\int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=8.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f(x)\displaystyle f(x) și se calculează produsul (x+1)f(x)\displaystyle (x+1)f(x), simplificând factorul (x+1)\displaystyle (x+1) de la numărător cu cel de la numitor.
    (x+1)f(x)=(x+1)⋅x+3x+1=x+3\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{x+3}{x+1}=x+3
  2. Se înlocuiește produsul simplificat în integrala definită, obținându-se o integrală de la o funcție polinomială.
    ∫02(x+1)f(x) dx=∫02(x+3) dx\displaystyle \int_0^2(x+1)f(x)\,dx=\int_0^2(x+3)\,dx
  3. Se determină o primitivă a funcției x+3\displaystyle x+3, folosind formulele uzuale de integrare: primitiva lui x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar primitiva constantei 3 este 3x\displaystyle 3x.
    ∫(x+3) dx=x22+3x+C\displaystyle \int(x+3)\,dx=\dfrac{x^2}{2}+3x+C
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, scriind integrala definită ca diferența valorilor primitivei în capetele intervalului [0,2]\displaystyle [0,2].
    ∫02(x+1)f(x) dx=∫02(x+3) dx=(x22+3x)∣02=\displaystyle \int_0^2(x+1)f(x)\,dx=\int_0^2(x+3)\,dx=\left(\dfrac{x^2}{2}+3x\right)\Big|_0^2=
  5. Se calculează valoarea primitivei în x=2\displaystyle x=2 și în x=0\displaystyle x=0, apoi se face diferența pentru a obține rezultatul final al integralei.
    (222+3⋅2)−(022+3⋅0)=2+6=8\displaystyle \left(\dfrac{2^2}{2}+3\cdot2\right)-\left(\dfrac{0^2}{2}+3\cdot0\right)=2+6=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}.

Arătați că ∫01f(x) dx=1+2ln⁡2\displaystyle \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=1+2\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se efectuează împărțirea numărătorului la numitor pentru a descompune fracția: x+3=(x+1)⋅1+2\displaystyle x+3 = (x+1)\cdot 1 + 2, deci f(x)\displaystyle f(x) se scrie ca sumă a unui polinom și a unei fracții mai simple.
    f(x)=x+3x+1=(x+1)+2x+1=1+2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}=\dfrac{(x+1)+2}{x+1}=1+\dfrac{2}{x+1}
  2. Se determină o primitivă a funcției f, folosind faptul că primitiva lui 1 este x, iar primitiva lui 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1} este 2ln⁡(x+1)\displaystyle 2\ln(x+1) (deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe domeniul de definiție).
    F(x)=x+2ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=x+2\ln(x+1)
  3. Se scrie integrala definită cerută, se înlocuiește f(x)\displaystyle f(x) cu forma descompusă și se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva găsită între limitele de integrare 0 și 1.
    ∫01f(x) dx=∫01x+3x+1 dx=∫01(1+2x+1)dx=x∣01+2ln⁡(x+1)∣01=\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\dfrac{x+3}{x+1}\,dx=\int_0^1\left(1+\dfrac{2}{x+1}\right)dx=x\Big|_0^1+2\ln(x+1)\Big|_0^1=
  4. Se calculează valorile expresiei la capetele intervalului: x se evaluează la 1 și 0, iar termenul logaritmic se evaluează la 2 și 1, ținând cont că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținând astfel rezultatul final al integralei.
    =1+2ln⁡2−2ln⁡1=1+2ln⁡2\displaystyle =1+2\ln2-2\ln1=1+2\ln2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+3x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫12(x2−1)exf(x) dx=e(e+a)\displaystyle \displaystyle\int_1^2 (x^2-1)e^x f(x)\,dx=e(e+a).
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la integrala dată în enunț, unde se cere determinarea numărului real a\displaystyle a astfel încât ∫12(x2−1)exf(x) dx=e(e+a)\displaystyle \int_1^2(x^2-1)e^xf(x)\,dx=e(e+a). Se scrie explicit produsul (x2−1)f(x)\displaystyle (x^2-1)f(x) folosind expresia lui f\displaystyle f.
    (x2−1)f(x)=(x2−1)⋅x+3x+1\displaystyle (x^2-1)f(x)=(x^2-1)\cdot\dfrac{x+3}{x+1}
  2. Se observă că x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1), deci factorul (x+1)\displaystyle (x+1) de la numărător se simplifică cu cel de la numitor (posibil deoarece x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty), deci x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0).
    (x2−1)f(x)=(x−1)(x+1)⋅x+3x+1=(x−1)(x+3)\displaystyle (x^2-1)f(x)=(x-1)(x+1)\cdot\dfrac{x+3}{x+1}=(x-1)(x+3)
  3. Se efectuează produsul (x−1)(x+3)\displaystyle (x-1)(x+3), obținând forma polinomială simplă.
    (x−1)(x+3)=x2+2x−3\displaystyle (x-1)(x+3)=x^2+2x-3
  4. Se rescrie integrala inițială folosind expresia simplificată, obținând o integrală de forma polinom înmulțit cu exponențială.
    ∫12(x2−1)exf(x) dx=∫12(x2+2x−3)ex dx\displaystyle \int_1^2(x^2-1)e^xf(x)\,dx=\int_1^2(x^2+2x-3)e^x\,dx
  5. Se caută o primitivă de forma F(x)=(x2+bx+c)ex\displaystyle F(x)=(x^2+bx+c)e^x astfel încât F′(x)=(x2+2x−3)ex\displaystyle F'(x)=(x^2+2x-3)e^x. Se derivează F\displaystyle F folosind regula produsului.
    F′(x)=(2x+b)ex+(x2+bx+c)ex=(x2+(b+2)x+(b+c))ex\displaystyle F'(x)=(2x+b)e^x+(x^2+bx+c)e^x=(x^2+(b+2)x+(b+c))e^x
  6. Se identifică coeficienții prin egalarea cu x2+2x−3\displaystyle x^2+2x-3: din b+2=2\displaystyle b+2=2 rezultă b=0\displaystyle b=0, iar din b+c=−3\displaystyle b+c=-3 rezultă c=−3\displaystyle c=-3. Astfel primitiva căutată este (x2−3)ex\displaystyle (x^2-3)e^x, care se verifică prin derivare.
    F(x)=(x2−3)ex\displaystyle F(x)=(x^2-3)e^x, deoarece F′(x)=(x2+2x−3)ex\displaystyle \text{ deoarece }F'(x)=(x^2+2x-3)e^x
  7. Se aplică formula Leibniz-Newton pentru calculul integralei definite, folosind primitiva găsită, evaluată la capetele intervalului [1,2]\displaystyle [1,2].
    ∫12(x2+2x−3)ex dx=(x2−3)ex∣12=(4−3)e2−(1−3)e1\displaystyle \int_1^2(x^2+2x-3)e^x\,dx=(x^2-3)e^x\Big|_1^2=(4-3)e^2-(1-3)e^1
  8. Se calculează valorile numerice: la x=2\displaystyle x=2 obținem 1⋅e2=e2\displaystyle 1\cdot e^2=e^2, iar la x=1\displaystyle x=1 obținem −2e\displaystyle -2e, deci diferența este e2−(−2e)=e2+2e\displaystyle e^2-(-2e)=e^2+2e. Acesta este rezultatul integralei, corespunzător pasului de control 1 din barem.
    ∫12(x2−1)exf(x) dx=∫12(x2+2x−3)ex dx=(x2−3)ex∣12=e2+2e\displaystyle \int_1^2(x^2-1)e^xf(x)\,dx=\int_1^2(x^2+2x-3)e^x\,dx=(x^2-3)e^x\Big|_1^2=e^2+2e
  9. Se folosește egalitatea din enunț e(e+a)=e2+2e\displaystyle e(e+a)=e^2+2e (rezultată din condiția impusă integralei) și se rezolvă pentru a\displaystyle a: se desface paranteza, se simplifică e2\displaystyle e^2 din ambii membri, apoi se împarte prin e≠0\displaystyle e\neq 0.
    e(e+a)=e2+2e, de unde obținem a=2\displaystyle e(e+a)=e^2+2e\text{, de unde obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.