Bac matematică M2 științe ale naturii 2012, sesiunea I rezervă varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Ordonați crescător numerele 12\displaystyle \sqrt{12}, 22\displaystyle 2\sqrt{2} și 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul 3\displaystyle 3 sub formă de radical: 3=9\displaystyle 3=\sqrt{9}, deoarece 32=9\displaystyle 3^{2}=9. Astfel putem compara numerele după ce se află sub radical.
    3=9\displaystyle 3=\sqrt{9}
  2. Comparăm 12\displaystyle \sqrt{12} cu 3\displaystyle 3. Cum 12>9\displaystyle 12>9 și radicalul este funcție crescătoare, obținem 12>9\displaystyle \sqrt{12}>\sqrt{9}, adică 12>3\displaystyle \sqrt{12}>3.
    12>3\displaystyle \sqrt{12}>3
  3. Introducem factorul 2\displaystyle 2 sub radical: 22=22⋅2=4⋅2=8\displaystyle 2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}.
    22=8\displaystyle 2\sqrt{2}=\sqrt{8}
  4. Comparăm 8\displaystyle \sqrt{8} cu 9\displaystyle \sqrt{9}. Cum 8<9\displaystyle 8<9, rezultă 8<9\displaystyle \sqrt{8}<\sqrt{9}, adică 22<3\displaystyle 2\sqrt{2}<3.
    22<3\displaystyle 2\sqrt{2}<3
  5. Combinăm inegalitățile 22<3\displaystyle 2\sqrt{2}<3 și 3<12\displaystyle 3<\sqrt{12}. Ordinea crescătoare este 22, 3, 12\displaystyle 2\sqrt{2},\ 3,\ \sqrt{12}.
    22<3<12\displaystyle 2\sqrt{2}<3<\sqrt{12}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Rezolvați sistemul de ecuații {x+y=5xy=6\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că știm suma și produsul numerelor x\displaystyle x și y\displaystyle y. Din relațiile lui Viète, x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt rădăcinile ecuației t2−St+P=0\displaystyle t^{2}-St+P=0, unde S=x+y=5\displaystyle S=x+y=5 și P=xy=6\displaystyle P=xy=6.
    S=5\displaystyle S=5, P=6\displaystyle \ P=6
  2. Scriem ecuația de gradul al doilea cu rădăcinile x\displaystyle x și y\displaystyle y, înlocuind S\displaystyle S și P\displaystyle P.
    t2−5t+6=0\displaystyle t^{2}-5t+6=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației: Δ=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1\displaystyle \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  4. Aflăm rădăcinile cu formula t1,2=5±12\displaystyle t_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}, deci t1=5−12=2\displaystyle t_1=\dfrac{5-1}{2}=2 și t2=5+12=3\displaystyle t_2=\dfrac{5+1}{2}=3.
    t1=2\displaystyle t_1=2, t2=3\displaystyle \ t_2=3
  5. Perechea (x,y)\displaystyle (x,y) este formată din cele două rădăcini, în orice ordine, deoarece sistemul este simetric în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Verificare: 2+3=5\displaystyle 2+3=5 și 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Obținem două soluții.
    S={(2,3),(3,2)}\displaystyle S=\{(2,3),(3,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=log⁡2(x+1)\displaystyle f(x)=\log_2(x+1) și g:R→(−1,+∞)\displaystyle g:\mathbb{R}\to(-1,+\infty), g(x)=2x−1\displaystyle g(x)=2^x-1. Calculați f(g(1))\displaystyle f(g(1)).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm g(1)\displaystyle g(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în g(x)=2x−1\displaystyle g(x)=2^x-1: g(1)=21−1=2−1\displaystyle g(1)=2^{1}-1=2-1.
    g(1)=21−1=1\displaystyle g(1)=2^{1}-1=1
  2. Folosim valoarea obținută: f(g(1))=f(1)\displaystyle f(g(1))=f(1). Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=log⁡2(x+1)\displaystyle f(x)=\log_2(x+1), deci f(1)=log⁡2(1+1)=log⁡22\displaystyle f(1)=\log_2(1+1)=\log_2 2.
    f(1)=log⁡2(1+1)=log⁡22\displaystyle f(1)=\log_2(1+1)=\log_2 2
  3. Deoarece 21=2\displaystyle 2^{1}=2, avem log⁡22=1\displaystyle \log_2 2=1. Așadar f(g(1))=1\displaystyle f(g(1))=1.
    f(g(1))=f(1)=log⁡22=1\displaystyle f(g(1))=f(1)=\log_2 2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi este egal cu 10\displaystyle 10. Determinați numărul elementelor mulțimii.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul elementelor mulțimii. Numărul submulțimilor cu două elemente este numărul de combinări de n\displaystyle n luate câte 2\displaystyle 2, deci obținem ecuația din enunț, cu n≥2\displaystyle n\geq 2, n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}.
    Cn2=10\displaystyle C_n^2=10
  2. Scriem combinările cu formula Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}, deci ecuația devine n(n−1)2=10\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=10.
    n(n−1)2=10\displaystyle \dfrac{n(n-1)}{2}=10
  3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem n2−n=20\displaystyle n^{2}-n=20, adică ecuația de gradul al doilea n2−n−20=0\displaystyle n^{2}-n-20=0.
    n2−n−20=0\displaystyle n^{2}-n-20=0
  4. Discriminantul este Δ=1+80=81\displaystyle \Delta=1+80=81, deci n=1±92\displaystyle n=\dfrac{1\pm 9}{2}, adică n=5\displaystyle n=5 sau n=−4\displaystyle n=-4. Cum n\displaystyle n este număr natural, n≥2\displaystyle n\geq 2, rămâne doar n=5\displaystyle n=5. Verificare: C52=5⋅42=10\displaystyle C_5^2=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10.
    n=5\displaystyle n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(5,1)\displaystyle A(5,1), B(3,5)\displaystyle B(3,5). Calculați lungimea medianei din vârful O\displaystyle O în triunghiul OAB\displaystyle OAB.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful O\displaystyle O unește vârful O\displaystyle O cu mijlocul M\displaystyle M al laturii opuse AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(5,1)\displaystyle A(5,1) și B(3,5)\displaystyle B(3,5): xM=5+32=4\displaystyle x_M=\dfrac{5+3}{2}=4 și yM=1+52=3\displaystyle y_M=\dfrac{1+5}{2}=3. Deci mijlocul este M(4,3)\displaystyle M(4,3).
    M(4,3)\displaystyle M(4,3)
  3. Lungimea medianei este distanța OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-x_O)^{2}+(y_M-y_O)^{2}}, adică OM=42+32=16+9=25\displaystyle OM=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}.
    OM=42+32=25\displaystyle OM=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}
  4. Cum 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, lungimea medianei din O\displaystyle O este OM=5\displaystyle OM=5.
    OM=5\displaystyle OM=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul MNP\displaystyle MNP cu MP=6\displaystyle MP=6, sin⁡N=35\displaystyle \sin N=\frac{3}{5} și sin⁡P=45\displaystyle \sin P=\frac{4}{5}. Calculați lungimea laturii (MN)\displaystyle (MN).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema sinusurilor în triunghiul MNP\displaystyle MNP: latura MN\displaystyle MN se află în fața unghiului P\displaystyle P, iar latura MP\displaystyle MP se află în fața unghiului N\displaystyle N. Obținem MNsin⁡P=MPsin⁡N\displaystyle \dfrac{MN}{\sin P}=\dfrac{MP}{\sin N}.
    MNsin⁡P=MPsin⁡N\displaystyle \dfrac{MN}{\sin P}=\dfrac{MP}{\sin N}
  2. Înlocuim datele din enunț: MP=6\displaystyle MP=6, sin⁡N=35\displaystyle \sin N=\dfrac{3}{5}, sin⁡P=45\displaystyle \sin P=\dfrac{4}{5}.
    MN45=635\displaystyle \dfrac{MN}{\frac{4}{5}}=\dfrac{6}{\frac{3}{5}}
  3. Calculăm raportul din membrul drept: 635=6⋅53=10\displaystyle \dfrac{6}{\frac{3}{5}}=6\cdot\dfrac{5}{3}=10.
    MN45=10\displaystyle \dfrac{MN}{\frac{4}{5}}=10
  4. Îl scoatem pe MN\displaystyle MN: MN=10⋅45=8\displaystyle MN=10\cdot\dfrac{4}{5}=8.
    MN=8\displaystyle MN=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {mx−2y+z=12x−my−3z=3x−y+2z=4\begin{cases} mx-2y+z=1 \\ 2x-my-3z=3 \\ x-y+2z=4 \end{cases} unde m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Arătați că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei sistemului este egală cu 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea sistemului, formată din coeficienții necunoscutelor x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z din cele trei ecuații, în această ordine.
    A=(m−212−m−31−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & -2 & 1 \\ 2 & -m & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
  2. Citim elementele de pe diagonala principală: a11=m\displaystyle a_{11}=m, a22=−m\displaystyle a_{22}=-m, a33=2\displaystyle a_{33}=2. Le adunăm.
    m+(−m)+2\displaystyle m+(-m)+2
  3. Termenii m\displaystyle m și −m\displaystyle -m se reduc, deci suma este egală cu 2\displaystyle 2, independent de valoarea lui m\displaystyle m.
    m−m+2=2\displaystyle m-m+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {mx−2y+z=12x−my−3z=3x−y+2z=4\begin{cases} mx-2y+z=1 \\ 2x-my-3z=3 \\ x-y+2z=4 \end{cases} unde m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care matricea sistemului are determinantul diferit de zero.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea sistemului, formată din coeficienții necunoscutelor x,y,z\displaystyle x, y, z din cele trei ecuații.
    A=(m−212−m−31−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix} m & -2 & 1 \\ 2 & -m & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie: fiecare element al liniei se înmulțește cu minorul lui, cu semnele +,−,+\displaystyle +,-,+.
    det⁡A=m∣−m−3−12∣+2∣2−312∣+1∣2−m1−1∣\displaystyle \det A=m\begin{vmatrix}-m&-3\\-1&2\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&-3\\1&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}2&-m\\1&-1\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei trei determinanți de ordin 2\displaystyle 2: primul este −2m−3\displaystyle -2m-3, al doilea este 4+3=7\displaystyle 4+3=7, iar al treilea este −2+m\displaystyle -2+m.
    det⁡A=m(−2m−3)+2⋅7+(m−2)\displaystyle \det A=m(-2m-3)+2\cdot 7+(m-2)
  4. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: −2m2−3m+14+m−2\displaystyle -2m^{2}-3m+14+m-2. Obținem expresia determinantului în funcție de m\displaystyle m.
    det⁡A=−2m2−2m+12\displaystyle \det A=-2m^{2}-2m+12
  5. Determinantul este nul când −2m2−2m+12=0\displaystyle -2m^{2}-2m+12=0. Împărțim ecuația cu −2\displaystyle -2 și obținem m2+m−6=0\displaystyle m^{2}+m-6=0, cu Δ=1+24=25\displaystyle \Delta=1+24=25, deci m=−1±52\displaystyle m=\dfrac{-1\pm 5}{2}.
    m=2 sau m=−3\displaystyle m=2\text{ sau }m=-3
  6. Determinantul este diferit de zero exact când m\displaystyle m nu este una dintre rădăcinile găsite. Deci m\displaystyle m poate fi orice număr real, în afară de −3\displaystyle -3 și 2\displaystyle 2.
    m∈R∖{−3,2}\displaystyle m\in\mathbb{R}\setminus\{-3,2\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații {mx−2y+z=12x−my−3z=3x−y+2z=4\begin{cases} mx-2y+z=1 \\ 2x-my-3z=3 \\ x-y+2z=4 \end{cases} unde m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Pentru m=1\displaystyle m=1, arătați că y12=x1⋅z1\displaystyle y_1^2=x_1\cdot z_1, unde (x1,y1,z1)\displaystyle (x_1,y_1,z_1) este soluția sistemului.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=1\displaystyle m=1 sistemul devine {x−2y+z=12x−y−3z=3x−y+2z=4\displaystyle \begin{cases} x-2y+z=1 \\ 2x-y-3z=3 \\ x-y+2z=4 \end{cases}. Scădem prima ecuație din a treia ca să eliminăm x\displaystyle x: (x−y+2z)−(x−2y+z)=4−1\displaystyle (x-y+2z)-(x-2y+z)=4-1, adică y+z=3\displaystyle y+z=3.
    y+z=3\displaystyle y+z=3
  2. Scădem din a doua ecuație dublul celei de-a treia: (2x−y−3z)−2(x−y+2z)=3−8\displaystyle (2x-y-3z)-2(x-y+2z)=3-8, adică y−7z=−5\displaystyle y-7z=-5.
    y−7z=−5\displaystyle y-7z=-5
  3. Din y+z=3\displaystyle y+z=3 avem y=3−z\displaystyle y=3-z. Înlocuim în y−7z=−5\displaystyle y-7z=-5 și obținem 3−8z=−5\displaystyle 3-8z=-5, deci z=1\displaystyle z=1 și y=2\displaystyle y=2.
    z=1\displaystyle z=1, y=2\displaystyle \ y=2
  4. Din a treia ecuație, x=4+y−2z=4+2−2=4\displaystyle x=4+y-2z=4+2-2=4. Soluția sistemului este (4,2,1)\displaystyle (4,2,1). Verificăm în prima ecuație: 4−4+1=1\displaystyle 4-4+1=1.
    x1=4\displaystyle x_1=4, y1=2\displaystyle \ y_1=2, z1=1\displaystyle \ z_1=1
  5. Calculăm y12=22=4\displaystyle y_1^2=2^2=4 și x1⋅z1=4⋅1=4\displaystyle x_1\cdot z_1=4\cdot 1=4. Cele două valori sunt egale, deci y12=x1⋅z1\displaystyle y_1^2=x_1\cdot z_1.
    y12=4=x1⋅z1\displaystyle y_1^2=4=x_1\cdot z_1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1, unde m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Pentru m=0\displaystyle m=0, calculați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la X−1\displaystyle X-1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru m=0\displaystyle m=0, polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1 devine f=X3+0⋅X2+0⋅X+1\displaystyle f=X^3+0\cdot X^2+0\cdot X+1, adică f=X3+1\displaystyle f=X^3+1.
    f=X3+1\displaystyle f=X^3+1
  2. Conform teoremei restului, restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−1\displaystyle X-1 este f(1)\displaystyle f(1). Calculăm f(1)=13+1\displaystyle f(1)=1^3+1.
    f(1)=13+1=1+1\displaystyle f(1)=1^3+1=1+1
  3. Obținem f(1)=2\displaystyle f(1)=2, deci restul împărțirii lui f\displaystyle f la X−1\displaystyle X-1 este 2\displaystyle 2.
    f(1)=2\displaystyle f(1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1, unde m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Arătați că polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Un polinom f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1 exact atunci când −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, adică f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0 (teorema lui Bézout). Deci trebuie să calculăm f(−1)\displaystyle f(-1).
    X+1∣f  ⟺  f(−1)=0\displaystyle X+1\mid f \iff f(-1)=0
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1, iar (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1.
    f(−1)=(−1)3+m⋅(−1)2+m⋅(−1)+1=−1+m−m+1\displaystyle f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)+1=-1+m-m+1
  3. Reducem termenii: m\displaystyle m și −m\displaystyle -m se anulează, iar −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1 se anulează. Rezultatul nu depinde de m\displaystyle m.
    f(−1)=−1+m−m+1=0\displaystyle f(-1)=-1+m-m+1=0
  4. Deoarece f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0 pentru orice număr real m\displaystyle m, numărul −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, deci f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1 pentru orice m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.
    X+1∣f\displaystyle X+1\mid f, ∀m∈R\displaystyle \ \forall m\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1, unde m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care polinomul f\displaystyle f are trei rădăcini reale.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f: calculăm f(−1)=−1+m−m+1=0\displaystyle f(-1)=-1+m-m+1=0.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0
  2. Deoarece −1\displaystyle -1 este rădăcină, f\displaystyle f se împarte exact la X+1\displaystyle X+1. Grupăm termenii: X3+1=(X+1)(X2−X+1)\displaystyle X^3+1=(X+1)(X^2-X+1) și mX2+mX=mX(X+1)\displaystyle mX^2+mX=mX(X+1). Scoatem X+1\displaystyle X+1 factor comun.
    f=(X+1)(X2+(m−1)X+1)\displaystyle f=(X+1)\left(X^{2}+(m-1)X+1\right)
  3. Polinomul f\displaystyle f are rădăcina reală −1\displaystyle -1. Pentru ca f\displaystyle f să aibă trei rădăcini reale, trebuie ca factorul de gradul al doilea să aibă două rădăcini reale, adică discriminantul său să fie nenegativ. Calculăm discriminantul lui X2+(m−1)X+1\displaystyle X^2+(m-1)X+1.
    Δ=(m−1)2−4=m2−2m−3\displaystyle \Delta=(m-1)^{2}-4=m^{2}-2m-3
  4. Impunem condiția Δ≥0\displaystyle \Delta\ge 0.
    m2−2m−3≥0\displaystyle m^{2}-2m-3\ge 0
  5. Rădăcinile ecuației m2−2m−3=0\displaystyle m^2-2m-3=0 sunt −1\displaystyle -1 și 3\displaystyle 3, deoarece m2−2m−3=(m+1)(m−3)\displaystyle m^2-2m-3=(m+1)(m-3). Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci este nenegativ în afara intervalului dintre rădăcini, inclusiv în rădăcini.
    (m+1)(m−3)≥0\displaystyle (m+1)(m-3)\ge 0
  6. Concluzie: valorile lui m\displaystyle m pentru care f\displaystyle f are trei rădăcini reale sunt cele din reuniunea de intervale.
    m∈(−∞,−1]∪[3,+∞)\displaystyle m\in(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−1x2+2\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+2}.

Arătați că f′(x)=10x(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{10x}{(x^2+2)^2}, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+2\displaystyle x^2+2 nu se anulează niciodată. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u(x)=2x2−1\displaystyle u(x)=2x^2-1 și v(x)=x2+2\displaystyle v(x)=x^2+2.
    f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=(2x2−1)′=4x\displaystyle u'(x)=\left(2x^2-1\right)'=4x și v′(x)=(x2+2)′=2x\displaystyle v'(x)=\left(x^2+2\right)'=2x.
    u′(x)=4x\displaystyle u'(x)=4x,v′(x)=2x\displaystyle \quad v'(x)=2x
  3. Înlocuim u\displaystyle u, v\displaystyle v, u′\displaystyle u' și v′\displaystyle v' în formula câtului.
    f′(x)=4x(x2+2)−2x(2x2−1)(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x(x^2+2)-2x(2x^2-1)}{(x^2+2)^2}
  4. Desfacem parantezele la numărător: 4x(x2+2)=4x3+8x\displaystyle 4x(x^2+2)=4x^3+8x și 2x(2x2−1)=4x3−2x\displaystyle 2x(2x^2-1)=4x^3-2x.
    f′(x)=4x3+8x−(4x3−2x)(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^3+8x-\left(4x^3-2x\right)}{(x^2+2)^2}
  5. Reducem termenii asemenea: 4x3\displaystyle 4x^3 se reduce cu −4x3\displaystyle -4x^3, iar 8x+2x=10x\displaystyle 8x+2x=10x. Obținem rezultatul cerut, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=10x(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{10x}{(x^2+2)^2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−1x2+2\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă această limită există și este finită. Calculăm deci limita lui f(x)\displaystyle f(x) când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    L=lim⁡x→+∞2x2−1x2+2\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}-1}{x^{2}+2}
  2. Limita este de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Dăm factor comun pe x2\displaystyle x^{2} la numărător și la numitor.
    lim⁡x→+∞x2(2−1x2)x2(1+2x2)=lim⁡x→+∞2−1x21+2x2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{2}{x^{2}}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2-\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{2}{x^{2}}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} și 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^{2}} tind la 0\displaystyle 0. Rămâne 2−01+0=2\displaystyle \dfrac{2-0}{1+0}=2.
    lim⁡x→+∞f(x)=2−01+0=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{2-0}{1+0}=2
  4. Limita este finită și egală cu 2\displaystyle 2, deci graficul funcției f\displaystyle f admite asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta de ecuație y=2\displaystyle y=2.
    y=2\displaystyle y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−1x2+2\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+2}.

Demonstrați că −12≤f(x)≤13\displaystyle -\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{3}, pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1].
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind un raport de funcții polinomiale cu numitorul x2+2>0\displaystyle x^{2}+2>0. Aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} cu u=2x2−1\displaystyle u=2x^{2}-1 și v=x2+2\displaystyle v=x^{2}+2.
    f′(x)=4x(x2+2)−(2x2−1)⋅2x(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x(x^{2}+2)-(2x^{2}-1)\cdot 2x}{(x^{2}+2)^{2}}
  2. Desfacem parantezele la numărător: 4x3+8x−4x3+2x=10x\displaystyle 4x^{3}+8x-4x^{3}+2x=10x. Rezultă:
    f′(x)=10x(x2+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{10x}{(x^{2}+2)^{2}}
  3. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 10x≥0\displaystyle 10x\ge 0 și (x2+2)2>0\displaystyle (x^{2}+2)^{2}>0. Deci derivata este pozitivă sau nulă, iar f\displaystyle f este crescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    f′(x)≥0 pentru orice x∈[0,1]\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in[0,1]
  4. Calculăm valorile funcției în capetele intervalului: f(0)=2⋅0−10+2\displaystyle f(0)=\dfrac{2\cdot 0-1}{0+2} și f(1)=2⋅1−11+2\displaystyle f(1)=\dfrac{2\cdot 1-1}{1+2}.
    f(0)=−12\displaystyle f(0)=-\dfrac{1}{2},f(1)=13\displaystyle \quad f(1)=\dfrac{1}{3}
  5. Cum f\displaystyle f este crescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1], pentru orice x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem f(0)≤f(x)≤f(1)\displaystyle f(0)\le f(x)\le f(1). Înlocuind valorile calculate, obținem inegalitatea cerută.
    f(0)≤f(x)≤f(1)⇒−12≤f(x)≤13\displaystyle f(0)\le f(x)\le f(1)\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\le f(x)\le\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnx+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx.

Calculați I1\displaystyle I_1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem I1=∫01xx+1 dx\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx.
    I1=∫01xx+1 dx\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx
  2. La numărător adunăm și scădem 1\displaystyle 1: x=(x+1)−1\displaystyle x=(x+1)-1, deci xx+1=(x+1)−1x+1\displaystyle \frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}.
    xx+1=(x+1)−1x+1\displaystyle \frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}
  3. Separăm fracția și simplificăm prima parte: xx+1=1−1x+1\displaystyle \frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. Deci integrala devine o diferență de integrale simple.
    I1=∫01(1−1x+1)dx\displaystyle I_1=\int_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx
  4. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 1x+1\displaystyle \frac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Deci o primitivă a funcției este x−ln⁡(x+1)\displaystyle x-\ln(x+1).
    ∫(1−1x+1)dx=x−ln⁡(x+1)\displaystyle \int\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=x-\ln(x+1)
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (x−ln⁡(x+1))∣01=(1−ln⁡2)−(0−ln⁡1)\displaystyle \left(x-\ln(x+1)\right)\Big|_0^1=(1-\ln 2)-(0-\ln 1). Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem 1−ln⁡2\displaystyle 1-\ln 2.
    I1=(x−ln⁡(x+1))∣01=1−ln⁡2\displaystyle I_1=\left(x-\ln(x+1)\right)\Big|_0^1=1-\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnx+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx.

Arătați că In+In+1=1n+1\displaystyle I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}, pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma In+In+1\displaystyle I_n+I_{n+1} folosind definiția: In=∫01xnx+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx și In+1=∫01xn+1x+1 dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}\,dx.
    In+In+1=∫01xnx+1 dx+∫01xn+1x+1 dx\displaystyle I_n+I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx+\int_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}\,dx
  2. Integralele au aceleași limite de integrare, deci folosim liniaritatea integralei și adunăm funcțiile de sub integrală.
    In+In+1=∫01(xnx+1+xn+1x+1)dx\displaystyle I_n+I_{n+1}=\int_0^1\left(\frac{x^n}{x+1}+\frac{x^{n+1}}{x+1}\right)dx
  3. Fracțiile au același numitor x+1\displaystyle x+1, deci le adunăm, apoi dăm factor comun xn\displaystyle x^n la numărător, deoarece xn+1=xn⋅x\displaystyle x^{n+1}=x^n\cdot x.
    xn+xn+1x+1=xn(1+x)x+1\displaystyle \frac{x^n+x^{n+1}}{x+1}=\frac{x^n(1+x)}{x+1}
  4. Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci putem simplifica fracția prin x+1\displaystyle x+1.
    xn(x+1)x+1=xn\displaystyle \frac{x^n(x+1)}{x+1}=x^n
  5. Integrăm puterea: o primitivă a lui xn\displaystyle x^n este xn+1n+1\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}. Aplicăm formula Leibniz-Newton; la limita 0\displaystyle 0 valoarea este 0\displaystyle 0, deoarece n+1>0\displaystyle n+1>0. Obținem, deci, In+In+1=1n+1\displaystyle I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}, pentru orice n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
    In+In+1=∫01xn dx=xn+1n+1∣01=1n+1\displaystyle I_n+I_{n+1}=\int_0^1 x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\Bigg|_0^1=\frac{1}{n+1}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01xnx+1 dx\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+1}\,dx.

Demonstrați că 14026≤I2012≤12013\displaystyle \frac{1}{4026}\le I_{2012}\le\frac{1}{2013}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le 1, deci 1≤x+1≤2\displaystyle 1\le x+1\le 2.
    1≤x+1≤2\displaystyle 1\le x+1\le 2
  2. Cum numerele sunt pozitive, inversând obținem 12≤1x+1≤1\displaystyle \dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{x+1}\le 1. Înmulțim cu x2012≥0\displaystyle x^{2012}\ge 0, iar sensul inegalităților se păstrează.
    x20122≤x2012x+1≤x20121\displaystyle \frac{x^{2012}}{2}\le\frac{x^{2012}}{x+1}\le\frac{x^{2012}}{1}
  3. Integrăm pe [0,1]\displaystyle [0,1]; integrala păstrează inegalitățile, iar în mijloc apare I2012\displaystyle I_{2012}.
    ∫01x20122dx≤∫01x2012x+1dx≤∫01x2012dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^{2012}}{2}dx\le\int_0^1\frac{x^{2012}}{x+1}dx\le\int_0^1 x^{2012}dx
  4. Calculăm integrala din dreapta: ∫01x2012dx=x20132013∣01\displaystyle \int_0^1 x^{2012}dx=\dfrac{x^{2013}}{2013}\Big|_0^1.
    ∫01x2012dx=12013\displaystyle \int_0^1 x^{2012}dx=\frac{1}{2013}
  5. Integrala din stânga este jumătate din cea precedentă: 12∫01x2012dx=12⋅12013\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^1 x^{2012}dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2013}.
    ∫01x20122dx=14026\displaystyle \int_0^1\frac{x^{2012}}{2}dx=\frac{1}{4026}
  6. Înlocuind valorile calculate în inegalitatea dublă, obținem inegalitatea cerută.
    14026≤I2012≤12013\displaystyle \frac{1}{4026}\le I_{2012}\le\frac{1}{2013}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.