Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Se consideră o progresie aritmetică

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

cu

\displaystyle a_1=2

și rația

\displaystyle r=3

. Calculați

\displaystyle a_3

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula termenului general al unei progresii aritmetice: $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r$ .
$\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r$
Pentru $\displaystyle n=3$ obținem $\displaystyle a_3=a_1+2r$ . Înlocuim $\displaystyle a_1=2$ și $\displaystyle r=3$ .
$\displaystyle a_3=a_1+2r=2+2\cdot 3$
Calculăm: $\displaystyle 2\cdot 3=6$ , iar $\displaystyle 2+6=8$ . Deci $\displaystyle a_3=8$ .
$\displaystyle a_3=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+1

. Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle f(x^2)=9

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim în expresia funcției argumentul $\displaystyle x^{2}$ : $\displaystyle f(x^{2})=2x^{2}+1$ .
$\displaystyle f(x^{2})=2x^{2}+1$
Punem condiția $\displaystyle f(x^{2})=9$ și obținem ecuația $\displaystyle 2x^{2}+1=9$ .
$\displaystyle 2x^{2}+1=9$
Scădem $\displaystyle 1$ din ambii membri: $\displaystyle 2x^{2}=8$ . Apoi împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle x^{2}=4$ .
$\displaystyle 2x^{2}+1=9\Leftrightarrow x^{2}=4$
Ecuația $\displaystyle x^{2}=4$ are două soluții reale, $\displaystyle x=\pm 2$ . Ambele convin, deoarece $\displaystyle x$ poate fi orice număr real.
$\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{2x+2}-3^{2x}=8

.

Vezi rezolvarea

Scriem puterea $\displaystyle 3^{2x+2}$ ca produs: $\displaystyle 3^{2x+2}=3^{2x}\cdot 3^{2}$ .
$\displaystyle 3^{2x+2}=3^{2x}\cdot 3^{2}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle 3^{2x}$ în membrul stâng: $\displaystyle 3^{2x}\left(3^{2}-1\right)=8$ , iar $\displaystyle 3^{2}-1=8$ , deci ecuația devine $\displaystyle 3^{2x}\cdot 8=8$ .
$\displaystyle 3^{2x}\left(3^{2}-1\right)=8\Leftrightarrow 8\cdot 3^{2x}=8$
Împărțim ecuația la $\displaystyle 8$ și obținem $\displaystyle 3^{2x}=1$ .
$\displaystyle 3^{2x}=1$
Scriem $\displaystyle 1=3^{0}$ , deci $\displaystyle 3^{2x}=3^{0}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 3$ este injectivă, deci $\displaystyle 2x=0$ , de unde $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

, acesta să fie divizor al lui

\displaystyle 100

.

Vezi rezolvarea

Numărăm cazurile posibile: mulțimea $\displaystyle A$ are $\displaystyle 9$ elemente, deci putem alege oricare dintre cele $\displaystyle 9$ numere.
$\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9$
Aflăm divizorii lui $\displaystyle 100$ : $\displaystyle 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100$ .
$\displaystyle D_{100}=\{1,2,4,5,10,20,25,50,100\}$
Dintre aceștia păstrăm doar numerele care aparțin mulțimii $\displaystyle A$ , adică $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ și $\displaystyle 5$ . Sunt $\displaystyle 4$ cazuri favorabile.
$\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=4$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, $\displaystyle p=\dfrac{4}{9}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră un punct

\displaystyle P

în planul paralelogramului

\displaystyle ABCD

. Arătați că

\displaystyle \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle O$ intersecția diagonalelor $\displaystyle AC$ și $\displaystyle BD$ ale paralelogramului. Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc, deci $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle AC$ și mijlocul lui $\displaystyle BD$ .
$\displaystyle O=\text{mijlocul lui }AC=\text{mijlocul lui }BD$
Scriem vectorii $\displaystyle \overrightarrow{PA}$ și $\displaystyle \overrightarrow{PC}$ prin $\displaystyle \overrightarrow{PO}$ , folosind relația lui Chasles: $\displaystyle \overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}$ și $\displaystyle \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}$ , $\displaystyle \quad \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}$
Adunăm cele două relații: $\displaystyle \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$ . Cum $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle AC$ , avem $\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ . Rezultă $\displaystyle \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}\right)$
Procedăm la fel cu diagonala $\displaystyle BD$ : $\displaystyle \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}$ și $\displaystyle \overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OD}$ . Cum $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle BD$ , avem $\displaystyle \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$ , deci $\displaystyle \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PO}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\right)$
Ambele sume sunt egale cu $\displaystyle 2\overrightarrow{PO}$ , deci sunt egale între ele.
$\displaystyle \overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}\right)\text{, deci }\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula pentru sinusul diferenței: $\displaystyle \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{4}\cos x$ .
$\displaystyle \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}\cos x$
Scriem formula pentru cosinusul sumei: $\displaystyle \cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin x\sin\dfrac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{4}-\sin x\sin\frac{\pi}{4}$
Adunăm cele două dezvoltări și obținem expresia care trebuie calculată în continuare.
$\displaystyle \sin x\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}\cos x+\cos x\cos\frac{\pi}{4}-\sin x\sin\frac{\pi}{4}$
Folosim valorile $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și le înlocuim în expresie.
$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$
Reducem termenii opuși: termenii cu $\displaystyle \sin x$ se anulează între ei, la fel și cei cu $\displaystyle \cos x$ . Deci suma este $\displaystyle 0$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=0\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}12+a & a\\ 1+a & 3+a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=36

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=0$ în matricea $\displaystyle A(a)$ : pe prima linie obținem $\displaystyle 12+0=12$ și $\displaystyle 0$ , iar pe a doua linie $\displaystyle 1+0=1$ și $\displaystyle 3+0=3$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}12 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}$
Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det(A(0))=12\cdot 3-0\cdot 1$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}12 & 0\\ 1 & 3\end{vmatrix}=12\cdot 3-0\cdot 1$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 12\cdot 3=36$ și $\displaystyle 0\cdot 1=0$ , deci $\displaystyle \det(A(0))=36-0=36$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \det(A(0))=36-0=36$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}12+a & a\\ 1+a & 3+a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \det\left(A(a)-(12+a)I_2\right)=0

, unde

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle (12+a)I_2$ , adică matricea unitate înmulțită cu numărul $\displaystyle 12+a$ . Are $\displaystyle 12+a$ pe diagonala principală și zero în rest.
$\displaystyle (12+a)I_2=\begin{pmatrix}12+a & 0\\ 0 & 12+a\end{pmatrix}$
Scădem această matrice din $\displaystyle A(a)$ , element cu element. Pe diagonală: $\displaystyle 12+a-(12+a)=0$ și $\displaystyle 3+a-(12+a)=-9$ . Elementele din afara diagonalei rămân neschimbate.
$\displaystyle A(a)-(12+a)I_2=\begin{pmatrix}0 & a\\ 1+a & -9\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul matricei de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Primul produs este $\displaystyle 0\cdot(-9)=0$ , iar al doilea este $\displaystyle a(1+a)$ .
$\displaystyle \det\left(A(a)-(12+a)I_2\right)=0\cdot(-9)-a(1+a)=-a(1+a)$
Punem condiția ca determinantul să fie egal cu $\displaystyle 0$ . Înmulțind cu $\displaystyle -1$ , obținem ecuația $\displaystyle a(1+a)=0$ .
$\displaystyle -a(1+a)=0\Leftrightarrow a(1+a)=0$
Un produs este zero când cel puțin un factor este zero: $\displaystyle a=0$ sau $\displaystyle 1+a=0$ , adică $\displaystyle a=-1$ . Deci numerele căutate sunt $\displaystyle 0$ și $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle a=0\text{ sau }a=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}12+a & a\\ 1+a & 3+a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Se consideră matricea

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

cu proprietatea

\displaystyle X\cdot X=A(0)

. Arătați că cel puțin un element al matricei

\displaystyle X

este număr irațional.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A(0)$ : înlocuim $\displaystyle a=0$ în matricea dată.
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}12 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}$
Scriem $\displaystyle X=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ cu $\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}$ și calculăm produsul $\displaystyle X\cdot X$ înmulțind liniile cu coloanele.
$\displaystyle X\cdot X=\begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd\\ ca+dc & bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d)\\ c(a+d) & d^2+bc\end{pmatrix}$
Din $\displaystyle X\cdot X=A(0)$ , egalând element cu element, obținem un sistem de patru ecuații.
$\displaystyle \begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d)\\ c(a+d) & d^2+bc\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 & 0\\ 1 & 3\end{pmatrix}$
Din ecuația $\displaystyle c(a+d)=1$ rezultă $\displaystyle a+d\neq 0$ , căci un produs egal cu $\displaystyle 1$ nu are factori nuli. Atunci din $\displaystyle b(a+d)=0$ rezultă $\displaystyle b=0$ .
$\displaystyle c(a+d)=1\Rightarrow a+d\neq 0\text{, deci }b=0$
Înlocuim $\displaystyle b=0$ în ecuația $\displaystyle d^2+bc=3$ și obținem $\displaystyle d^2=3$ .
$\displaystyle d^2+0\cdot c=3\Rightarrow d^2=3$
Din $\displaystyle d^2=3$ rezultă $\displaystyle d=\pm\sqrt{3}$ , iar $\displaystyle \sqrt{3}$ este număr irațional. Deci cel puțin un element al matricei $\displaystyle X$ , anume $\displaystyle d$ , este irațional.
$\displaystyle d=\pm\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}\text{, deci }d\text{ este număr irațional}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x+\sqrt[3]{y}-2

.

Arătați că

\displaystyle 1\circ 1=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: $\displaystyle x\circ y=x+\sqrt[3]{y}-2$ . Pentru $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=1$ înlocuim ambele valori în definiție.
$\displaystyle 1\circ 1=1+\sqrt[3]{1}-2$
Calculăm radicalul: $\displaystyle \sqrt[3]{1}=1$ , deoarece $\displaystyle 1^{3}=1$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{1}=1$
Înlocuim radicalul cu $\displaystyle 1$ și efectuăm calculul: $\displaystyle 1+1-2=0$ . Deci $\displaystyle 1\circ 1=0$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 1\circ 1=1+1-2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x+\sqrt[3]{y}-2

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle x\circ a=x

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Scriem condiția din enunț folosind definiția legii: $\displaystyle x\circ a=x+\sqrt[3]{a}-2$ , iar aceasta trebuie să fie egală cu $\displaystyle x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x+\sqrt[3]{a}-2=x\text{, pentru orice număr real }x$
Reducem termenul $\displaystyle x$ din ambii membri. Rămâne o egalitate care nu mai depinde de $\displaystyle x$ , deci condiția pentru orice $\displaystyle x$ se reduce la o ecuație în $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{a}-2=0$
Izolăm radicalul: $\displaystyle \sqrt[3]{a}=2$ . Ridicăm la puterea a treia; funcția rădăcină cubică este bijectivă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci obținem o singură soluție. Răspuns: $\displaystyle a=8$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{a}=2\Leftrightarrow a=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x+\sqrt[3]{y}-2

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x\circ x^6=4

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția $\displaystyle x\circ y=x+\sqrt[3]{y}-2$ cu $\displaystyle y=x^6$ și obținem ecuația $\displaystyle x+\sqrt[3]{x^{6}}-2=4$ .
$\displaystyle x+\sqrt[3]{x^{6}}-2=4$
Scriem $\displaystyle x^{6}=\left(x^{2}\right)^{3}$ , deci $\displaystyle \sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}$
Ecuația devine $\displaystyle x+x^{2}-2=4$ , adică $\displaystyle x^{2}+x-6=0$ .
$\displaystyle x^{2}+x-6=0$
Avem $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=1$ , $\displaystyle c=-6$ , deci $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1+24=25$ .
$\displaystyle \Delta=25$
Atunci $\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 5}{2}$ , deci $\displaystyle x=-3$ sau $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=-3\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)

,

\displaystyle x\in(1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția $\displaystyle f(x)=x^{2}-2\sqrt{x^{2}-1}$ termen cu termen, iar constanta $\displaystyle 2$ iese în fața derivatei.
$\displaystyle f'(x)=\left(x^{2}\right)'-2\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)'$
Avem $\displaystyle \left(x^{2}\right)'=2x$ . Pentru radical folosim formula $\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ , cu $\displaystyle u=x^{2}-1$ și $\displaystyle u'=2x$ .
$\displaystyle f'(x)=2x-2\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}$
Simplificăm cu $\displaystyle 2$ în fracție: $\displaystyle 2\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ .
$\displaystyle f'(x)=2x-\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle 2x$ și obținem forma cerută, pentru $\displaystyle x\in(1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\right)\text{, }x\in(1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-f(x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^{2}-2\sqrt{x^{2}-1}$ în numărător: $\displaystyle x^{2}-f(x)=x^{2}-x^{2}+2\sqrt{x^{2}-1}$ , deci $\displaystyle x^{2}$ se reduce.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}-f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt{x^{2}-1}}{x}$
Sub radical scoatem factor comun $\displaystyle x^{2}$ : $\displaystyle x^{2}-1=x^{2}\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)$ . Cum $\displaystyle x>1$ , avem $\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x$ , deci $\displaystyle \sqrt{x^{2}-1}=x\sqrt{1-\dfrac{1}{x^{2}}}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2\sqrt{x^{2}-1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$
Simplificăm prin $\displaystyle x$ și obținem $\displaystyle 2\sqrt{1-\dfrac{1}{x^{2}}}$ . Când $\displaystyle x\to+\infty$ , $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0$ , deci radicalul tinde la $\displaystyle \sqrt{1}=1$ .
$\displaystyle 2\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}=2\sqrt{1-0}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}

.

Demonstrați că axa

\displaystyle Ox

este tangentă la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la grafic într-un punct de abscisă $\displaystyle a$ dacă $\displaystyle f(a)=0$ și $\displaystyle f'(a)=0$ . Căutăm mai întâi punctele în care graficul intersectează axa $\displaystyle Ox$ , adică rezolvăm $\displaystyle f(x)=0$ pe intervalul $\displaystyle (1,+\infty)$ .
$\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x^{2}-2\sqrt{x^{2}-1}=0$
Izolăm radicalul. Ambii membri sunt pozitivi ( $\displaystyle x>1$ ), deci putem ridica la pătrat fără a introduce soluții false.
$\displaystyle x^{2}=2\sqrt{x^{2}-1}\Leftrightarrow x^{4}=4\left(x^{2}-1\right)$
Aducem ecuația la forma unui pătrat perfect: $\displaystyle x^{4}-4x^{2}+4=\left(x^{2}-2\right)^{2}$ . Rezultă $\displaystyle x^{2}=2$ , iar din $\displaystyle x>1$ obținem $\displaystyle x=\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \left(x^{2}-2\right)^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}=2\text{ și, cum }x>1\text{, }x=\sqrt{2}$
Graficul intersectează axa $\displaystyle Ox$ într-un singur punct, $\displaystyle A\left(\sqrt{2},0\right)$ . Calculăm acum derivata funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle (1,+\infty)$ , folosind $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}-1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ .
$\displaystyle f'(x)=2x-2\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$
Calculăm derivata în $\displaystyle x=\sqrt{2}$ . Avem $\displaystyle \sqrt{2-1}=1$ , deci $\displaystyle f'\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{1}=0$ .
$\displaystyle f'\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0$
Deoarece $\displaystyle f\left(\sqrt{2}\right)=0$ și $\displaystyle f'\left(\sqrt{2}\right)=0$ , tangenta la grafic în punctul $\displaystyle A$ are panta $\displaystyle 0$ și trece prin $\displaystyle A$ , deci este dreapta $\displaystyle y=0$ . Așadar axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle A\left(\sqrt{2},0\right)\text{; }f'\left(\sqrt{2}\right)=0\text{, deci axa }Ox\text{ este tangentă la graficul }$ $\displaystyle \text{funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2x+2}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1\left(x^2+2x+2\right)f(x)\,dx=\frac{1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia ei în integrală. Observăm că $\displaystyle x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , deci fracția este bine definită și se poate simplifica.
$\displaystyle \int_0^1\left(x^2+2x+2\right)f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^2+2x+2\right)\cdot\frac{x}{x^2+2x+2}\,dx$
Simplificăm factorul $\displaystyle x^2+2x+2$ din numărătorul și numitorul integrandului, deci rămâne doar $\displaystyle x$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(x^2+2x+2\right)\frac{x}{x^2+2x+2}\,dx=\int_0^1 x\,dx$
Calculăm integrala lui $\displaystyle x$ cu primitiva $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ , apoi aplicăm formula Leibniz-Newton între limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2x+2}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^2\left(f(x)+\frac{1}{x^2+2x+2}\right)dx=\frac{1}{2}\ln 5

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia ei și adunăm cele două fracții, care au același numitor $\displaystyle x^{2}+2x+2$ .
$\displaystyle f(x)+\frac{1}{x^{2}+2x+2}=\frac{x+1}{x^{2}+2x+2}$
Observăm că derivata numitorului este $\displaystyle \left(x^{2}+2x+2\right)'=2x+2$ , adică de două ori numărătorul $\displaystyle x+1$ . Scriem $\displaystyle x+1=\dfrac{1}{2}\left(x^{2}+2x+2\right)'$ și scoatem constanta în fața integralei.
$\displaystyle \int_0^2\frac{x+1}{x^{2}+2x+2}\,dx=\frac{1}{2}\int_0^2\frac{\left(x^{2}+2x+2\right)'}{x^{2}+2x+2}\,dx$
Integrala unei fracții cu derivata numitorului la numărător este logaritmul numitorului. Numitorul $\displaystyle x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1$ este strict pozitiv, deci scriem logaritmul fără modul.
$\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+2x+2\right)\Big|_0^2$
Calculăm valorile numitorului la capete: pentru $\displaystyle x=2$ obținem $\displaystyle 4+4+2=10$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ obținem $\displaystyle 2$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim diferența de logaritmi.
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\ln 10-\ln 2\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{10}{2}=\frac{1}{2}\ln 5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2x+2}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e\left(\frac{1}{f(x)}-2\right)\ln x\,dx=\frac{e^2+5}{4}

.

Vezi rezolvarea

Inversul funcției este $\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{x^{2}+2x+2}{x}=x+2+\dfrac{2}{x}$ .
$\displaystyle \frac{1}{f(x)}=x+2+\frac{2}{x}$
Scădem $\displaystyle 2$ : $\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}-2=x+\dfrac{2}{x}$ . Integrala devine $\displaystyle \displaystyle\int_1^e\left(x+\dfrac{2}{x}\right)\ln x\,dx$ .
$\displaystyle \int_1^e\left(x+\frac{2}{x}\right)\ln x\,dx$
Separăm în două integrale și scriem $\displaystyle x=\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'$ și $\displaystyle \dfrac{1}{x}=(\ln x)'$ .
$\displaystyle \int_1^e\left(\frac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx+2\int_1^e(\ln x)'\ln x\,dx$
Prima integrală se face prin părți: $\displaystyle \displaystyle\int_1^e\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'\ln x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$ . A doua este de forma $\displaystyle u'u$ , deci $\displaystyle 2\displaystyle\int_1^e(\ln x)'\ln x\,dx=2\cdot\dfrac{1}{2}\ln^{2}x\Big|_1^e$ .
$\displaystyle \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx+\ln^2 x\Big|_1^e$
Calculăm termenii: $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}}{2}$ , $\displaystyle \displaystyle\int_1^e\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^{2}}{4}\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}}{4}-\dfrac{1}{4}$ și $\displaystyle \ln^{2}x\Big|_1^e=\ln^{2}e-\ln^{2}1=1$ .
$\displaystyle \frac{e^2}{2}-\left(\frac{e^2}{4}-\frac{1}{4}\right)+1$
Adunăm: $\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{e^{2}+5}{4}$ .
$\displaystyle \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}+1=\frac{e^2+5}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2020, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani