Bac matematică M2 științe ale naturii 2019, sesiunea I varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul b3\displaystyle b_3 al progresiei geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\geq 1}, știind că b1=1\displaystyle b_1=1 și rația q=5\displaystyle q=5.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, fiecare termen se obține din precedentul înmulțind cu rația, deci termenul general este bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}.
    b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}
  2. Înlocuim valorile date: b1=1\displaystyle b_1=1 și q=5\displaystyle q=5, deci b3=1⋅52\displaystyle b_3=1\cdot 5^{2}.
    b3=1⋅52\displaystyle b_3=1\cdot 5^{2}
  3. Calculăm puterea: 52=25\displaystyle 5^{2}=25, iar 1⋅25=25\displaystyle 1\cdot 25=25. Deci b3=25\displaystyle b_3=25.
    b3=25\displaystyle b_3=25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+1\displaystyle f(x)=x^2-x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=4x−5\displaystyle g(x)=4x-5. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem această ecuație: x2−x+1=4x−5\displaystyle x^{2}-x+1=4x-5.
    x2−x+1=4x−5\displaystyle x^{2}-x+1=4x-5
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: −x−4x=−5x\displaystyle -x-4x=-5x și 1+5=6\displaystyle 1+5=6. Obținem ecuația de gradul al doilea x2−5x+6=0\displaystyle x^{2}-5x+6=0.
    x2−5x+6=0\displaystyle x^{2}-5x+6=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=6\displaystyle c=6: Δ=b2−4ac=25−24=1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=25-24=1.
    Δ=25−24=1\displaystyle \Delta=25-24=1
  4. Aplicăm formula soluțiilor: x1,2=5±12\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{2}. Rezultă x1=62=3\displaystyle x_{1}=\dfrac{6}{2}=3 și x2=42=2\displaystyle x_{2}=\dfrac{4}{2}=2. Cele două valori sunt abscisele punctelor de intersecție.
    x=2 sau x=3\displaystyle x=2\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+x=4\displaystyle \sqrt{2x}+x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență: radicalul există dacă 2x≥0\displaystyle 2x\ge 0, deci x≥0\displaystyle x\ge 0. După izolarea radicalului, membrul stâng este pozitiv sau nul, deci și 4−x≥0\displaystyle 4-x\ge 0, adică x≤4\displaystyle x\le 4.
    x∈[0,4]\displaystyle x\in[0,4]
  2. Izolăm radicalul într-un membru al ecuației, mutând pe x\displaystyle x în partea dreaptă.
    2x=4−x\displaystyle \sqrt{2x}=4-x
  3. Ridicăm ambii membri la pătrat și dezvoltăm pătratul diferenței: (4−x)2=16−8x+x2\displaystyle (4-x)^{2}=16-8x+x^{2}.
    2x=16−8x+x2\displaystyle 2x=16-8x+x^{2}
  4. Aducem toți termenii în același membru și obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2−10x+16=0\displaystyle x^{2}-10x+16=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=100−64=36\displaystyle \Delta=100-64=36, deci x=10±62\displaystyle x=\dfrac{10\pm 6}{2}.
    x1=2, x2=8\displaystyle x_{1}=2\text{, }x_{2}=8
  6. Verificăm soluțiile. Pentru x=2\displaystyle x=2: 4+2=4\displaystyle \sqrt{4}+2=4, adevărat, iar 2∈[0,4]\displaystyle 2\in[0,4]. Pentru x=8\displaystyle x=8: 16+8=12≠4\displaystyle \sqrt{16}+8=12\ne 4, iar 8>4\displaystyle 8>4, deci nu convine.
    x=2, care convine, x=8, care nu convine\displaystyle x=2\text{, care convine, }x=8\text{, care nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,49}\displaystyle A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots,\sqrt{49}\}, acesta să fie număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A={1,2,…,49}\displaystyle A=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\ldots,\sqrt{49}\} are câte un element pentru fiecare număr de la 1 la 49, toate distincte.
    cazuri posibile=49\displaystyle \text{cazuri posibile}=49
  2. Un număr n\displaystyle \sqrt{n} este natural exact când n\displaystyle n este pătrat perfect. Pătratele perfecte de la 1 la 49 sunt 12,22,32,42,52,62,72\displaystyle 1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2, adică 1,4,9,16,25,36,49\displaystyle 1,4,9,16,25,36,49.
    n∈{1,4,9,16,25,36,49}\displaystyle n\in\{1,4,9,16,25,36,49\}
  3. Numerele naturale din mulțime sunt 1=1, 4=2,…, 49=7\displaystyle \sqrt{1}=1,\ \sqrt{4}=2,\ldots,\ \sqrt{49}=7, deci avem 7 cazuri favorabile.
    cazuri favorabile=7\displaystyle \text{cazuri favorabile}=7
  4. Aplicăm formula p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}} și simplificăm fracția cu 7.
    p=749=17\displaystyle p=\frac{7}{49}=\frac{1}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(−3,0)\displaystyle B(-3,0) și C(−3,6)\displaystyle C(-3,6). Determinați ecuația medianei din A\displaystyle A a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din A\displaystyle A unește vârful A\displaystyle A cu mijlocul M\displaystyle M al laturii BC\displaystyle BC. Calculăm coordonatele lui M\displaystyle M ca medii aritmetice ale coordonatelor lui B\displaystyle B și C\displaystyle C: xM=−3+(−3)2\displaystyle x_M=\dfrac{-3+(-3)}{2}, yM=0+62\displaystyle y_M=\dfrac{0+6}{2}.
    xM=−3−32=−3\displaystyle x_M=\dfrac{-3-3}{2}=-3,yM=0+62=3\displaystyle \quad y_M=\dfrac{0+6}{2}=3
  2. Obținem mijlocul laturii BC\displaystyle BC: punctul M(−3,3)\displaystyle M(-3,3).
    M(−3,3)\displaystyle M(-3,3)
  3. Scriem ecuația dreptei AM\displaystyle AM. Panta este m=yM−yAxM−xA=3−3−3−2=0\displaystyle m=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\dfrac{3-3}{-3-2}=0, deci dreapta este orizontală, cu ecuația y=yA\displaystyle y=y_A.
    mAM=3−3−3−2=0\displaystyle m_{AM}=\dfrac{3-3}{-3-2}=0
  4. Deoarece dreapta trece prin A(2,3)\displaystyle A(2,3) și are panta 0\displaystyle 0, ecuația medianei este y=3\displaystyle y=3. Se verifică și că M(−3,3)\displaystyle M(-3,3) are ordonata 3\displaystyle 3, deci se află pe dreaptă.
    y=3\displaystyle y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡x(3sin⁡x−cos⁡x)+cos⁡x(sin⁡x+3cos⁡x)=3\displaystyle \sin x(3\sin x-\cos x)+\cos x(\sin x+3\cos x)=3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim fiecare factor în paranteza corespunzătoare: sin⁡x\displaystyle \sin x se înmulțește cu 3sin⁡x−cos⁡x\displaystyle 3\sin x-\cos x, iar cos⁡x\displaystyle \cos x cu sin⁡x+3cos⁡x\displaystyle \sin x+3\cos x.
    3sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x+3cos⁡2x\displaystyle 3\sin^{2}x-\sin x\cos x+\cos x\sin x+3\cos^{2}x
  2. Termenii −sin⁡xcos⁡x\displaystyle -\sin x\cos x și cos⁡xsin⁡x\displaystyle \cos x\sin x sunt opuși, deoarece înmulțirea este comutativă, deci se reduc.
    3sin⁡2x+3cos⁡2x\displaystyle 3\sin^{2}x+3\cos^{2}x
  3. Dăm factor comun 3\displaystyle 3 și aplicăm identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    3(sin⁡2x+cos⁡2x)=3⋅1=3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=3\cdot 1=3\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a4−4a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(−1))=17\displaystyle \det(A(-1))=17.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(−1)\displaystyle A(-1).
    A(−1)=(−14−4−1)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(−1))=(−1)⋅(−1)−(−4)⋅4\displaystyle \det(A(-1))=(-1)\cdot(-1)-(-4)\cdot 4.
    det⁡(A(−1))=∣−14−4−1∣=(−1)⋅(−1)−(−4)⋅4\displaystyle \det(A(-1))=\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)-(-4)\cdot 4
  3. Calculăm produsele: (−1)⋅(−1)=1\displaystyle (-1)\cdot(-1)=1, iar (−4)⋅4=−16\displaystyle (-4)\cdot 4=-16, deci 1−(−16)=1+16\displaystyle 1-(-16)=1+16. Obținem 17\displaystyle 17, ceea ce trebuia arătat.
    1+16=17\displaystyle 1+16=17
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a4−4a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Demonstrați că A(2019−a)+A(2019+a)=2A(2019)\displaystyle A(2019-a)+A(2019+a)=2A(2019), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(2019−a)\displaystyle A(2019-a), înlocuind în definiția lui A(x)\displaystyle A(x) pe x\displaystyle x cu 2019−a\displaystyle 2019-a. Elementele de pe diagonala principală devin 2019−a\displaystyle 2019-a, iar cele de pe diagonala secundară rămân 4\displaystyle 4 și −4\displaystyle -4.
    A(2019−a)=(2019−a4−42019−a)\displaystyle A(2019-a)=\begin{pmatrix} 2019-a & 4 \\ -4 & 2019-a \end{pmatrix}
  2. La fel, scriem matricea A(2019+a)\displaystyle A(2019+a), cu 2019+a\displaystyle 2019+a pe diagonala principală.
    A(2019+a)=(2019+a4−42019+a)\displaystyle A(2019+a)=\begin{pmatrix} 2019+a & 4 \\ -4 & 2019+a \end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element. Pe diagonala principală termenii cu a\displaystyle a se reduc: (2019−a)+(2019+a)=4038\displaystyle (2019-a)+(2019+a)=4038. Pe diagonala secundară obținem 4+4=8\displaystyle 4+4=8 și −4+(−4)=−8\displaystyle -4+(-4)=-8.
    A(2019−a)+A(2019+a)=(40388−84038)\displaystyle A(2019-a)+A(2019+a)=\begin{pmatrix} 4038 & 8 \\ -8 & 4038 \end{pmatrix}
  4. Scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din matrice, adică împărțim fiecare element la 2\displaystyle 2: 4038=2⋅2019\displaystyle 4038=2\cdot 2019 și 8=2⋅4\displaystyle 8=2\cdot 4. Matricea rămasă este chiar A(2019)\displaystyle A(2019).
    (40388−84038)=2(20194−42019)\displaystyle \begin{pmatrix} 4038 & 8 \\ -8 & 4038 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 2019 & 4 \\ -4 & 2019 \end{pmatrix}
  5. Matricea din paranteză este A(2019)\displaystyle A(2019), deci egalitatea cerută este demonstrată, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    2(20194−42019)=2A(2019), pentru orice numa˘r real a\displaystyle 2\begin{pmatrix} 2019 & 4 \\ -4 & 2019 \end{pmatrix}=2A(2019)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a4−4a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați perechile de numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, pentru care A(x)A(y)=2A(−8)\displaystyle A(x)A(y)=2A(-8).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)A(y)\displaystyle A(x)A(y), înmulțind linie cu coloană. Elementul din stânga sus este x⋅y+4⋅(−4)=xy−16\displaystyle x\cdot y+4\cdot(-4)=xy-16.
    xy−16\displaystyle xy-16
  2. Elementul din dreapta sus este x⋅4+4⋅y=4x+4y\displaystyle x\cdot 4+4\cdot y=4x+4y. Elementul din stânga jos este (−4)⋅y+x⋅(−4)\displaystyle (-4)\cdot y+x\cdot(-4)... adică −4x−4y\displaystyle -4x-4y, iar cel din dreapta jos este (−4)⋅4+y⋅x=xy−16\displaystyle (-4)\cdot 4+y\cdot x=xy-16.
    A(x)A(y)=(xy−164x+4y−4x−4yxy−16)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix} xy-16 & 4x+4y \\ -4x-4y & xy-16 \end{pmatrix}
  3. Calculăm membrul drept: A(−8)=(−84−4−8)\displaystyle A(-8)=\begin{pmatrix} -8 & 4 \\ -4 & -8 \end{pmatrix}. Înmulțim fiecare element cu 2\displaystyle 2.
    2A(−8)=(−168−8−16)\displaystyle 2A(-8)=\begin{pmatrix} -16 & 8 \\ -8 & -16 \end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrici. Din diagonală: xy−16=−16\displaystyle xy-16=-16, deci xy=0\displaystyle xy=0. Din elementul din dreapta sus: 4x+4y=8\displaystyle 4x+4y=8, deci x+y=2\displaystyle x+y=2. Elementul din stânga jos dă aceeași condiție.
    xy=0 și x+y=2\displaystyle xy=0\text{ și }x+y=2
  5. Din xy=0\displaystyle xy=0 rezultă x=0\displaystyle x=0 sau y=0\displaystyle y=0. Dacă x=0\displaystyle x=0, din x+y=2\displaystyle x+y=2 rezultă y=2\displaystyle y=2. Dacă y=0\displaystyle y=0, rezultă x=2\displaystyle x=2. Perechile căutate sunt (0,2)\displaystyle (0,2) și (2,0)\displaystyle (2,0).
    x=0\displaystyle x=0, y=2 sau x=2\displaystyle \ y=2\text{ sau }x=2, y=0\displaystyle \ y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(−2,2)\displaystyle G=(-2,2) se definește legea de compoziție x∗y=4x+4y4+xy\displaystyle x*y=\frac{4x+4y}{4+xy}.

Arătați că 0\displaystyle 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția elementului neutru: trebuie să arătăm că 0∈G\displaystyle 0\in G și că x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G. Numărul 0\displaystyle 0 se află în intervalul (−2,2)\displaystyle (-2,2), deci 0∈G\displaystyle 0\in G.
    0∈(−2,2)=G\displaystyle 0\in(-2,2)=G
  2. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în definiția legii, pentru un x∈G\displaystyle x\in G oarecare: x∗0=4x+4⋅04+x⋅0\displaystyle x*0=\dfrac{4x+4\cdot 0}{4+x\cdot 0}.
    x∗0=4x+4⋅04+x⋅0\displaystyle x*0=\frac{4x+4\cdot 0}{4+x\cdot 0}
  3. Simplificăm: termenii cu 0\displaystyle 0 se anulează, iar numitorul rămâne 4≠0\displaystyle 4\neq 0. Fracția devine 4x4=x\displaystyle \dfrac{4x}{4}=x. Deci x∗0=x\displaystyle x*0=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G.
    x∗0=4x4=x, pentru orice x∈G\displaystyle x*0=\frac{4x}{4}=x\text{, pentru orice }x\in G
  4. Verificăm direct și în cealaltă ordine. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=x\displaystyle y=x în definiția legii: 0∗x=4⋅0+4x4+0⋅x\displaystyle 0*x=\dfrac{4\cdot 0+4x}{4+0\cdot x}.
    0∗x=4⋅0+4⋅x4+0⋅x\displaystyle 0*x=\frac{4\cdot 0+4\cdot x}{4+0\cdot x}
  5. Simplificăm la fel: numărătorul este 4x\displaystyle 4x, numitorul este 4\displaystyle 4, deci 0∗x=x\displaystyle 0*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G. Cum x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x∈G\displaystyle x\in G, numărul 0\displaystyle 0 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    0∗x=4x4=x, pentru orice x∈G\displaystyle 0*x=\frac{4x}{4}=x\text{, pentru orice }x\in G
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(−2,2)\displaystyle G=(-2,2) se definește legea de compoziție x∗y=4x+4y4+xy\displaystyle x*y=\frac{4x+4y}{4+xy}.

Determinați x∈G\displaystyle x\in G, pentru care x∗x=85\displaystyle x*x=\frac{8}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem x∗x\displaystyle x*x conform legii, luând y=x\displaystyle y=x: numărătorul devine 4x+4x=8x\displaystyle 4x+4x=8x, iar numitorul 4+x⋅x=4+x2\displaystyle 4+x\cdot x=4+x^{2}.
    x∗x=8x4+x2\displaystyle x*x=\frac{8x}{4+x^{2}}
  2. Punem condiția x∗x=85\displaystyle x*x=\dfrac{8}{5}. Numitorul 4+x2\displaystyle 4+x^{2} este mereu pozitiv, deci ecuația are sens pentru orice x\displaystyle x real.
    8x4+x2=85\displaystyle \frac{8x}{4+x^{2}}=\frac{8}{5}
  3. Înmulțim pe diagonală: 5⋅8x=8(4+x2)\displaystyle 5\cdot 8x=8\left(4+x^{2}\right). Împărțim cu 8\displaystyle 8 și aducem totul în același membru, obținând ecuația de gradul al doilea.
    5x=4+x2⇔x2−5x+4=0\displaystyle 5x=4+x^{2}\Leftrightarrow x^{2}-5x+4=0
  4. Rezolvăm ecuația: discriminantul este Δ=25−16=9\displaystyle \Delta=25-16=9, deci rădăcinile sunt x=5−32\displaystyle x=\dfrac{5-3}{2} și x=5+32\displaystyle x=\dfrac{5+3}{2}.
    x1=1\displaystyle x_{1}=1,x2=4\displaystyle \quad x_{2}=4
  5. Verificăm apartenența la G=(−2,2)\displaystyle G=(-2,2): 1∈(−2,2)\displaystyle 1\in(-2,2), iar 4∉(−2,2)\displaystyle 4\notin(-2,2). Deci singura soluție este x=1\displaystyle x=1.
    x=1, care convine, x=4, care nu convine\displaystyle x=1\text{, care convine, }x=4\text{, care nu convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(−2,2)\displaystyle G=(-2,2) se definește legea de compoziție x∗y=4x+4y4+xy\displaystyle x*y=\frac{4x+4y}{4+xy}.

Se consideră funcția f:(0,+∞)→G\displaystyle f:(0,+\infty)\to G, f(x)=2(x−1)x+1\displaystyle f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}. Demonstrați că f(xy)=f(x)∗f(y)\displaystyle f(xy)=f(x)*f(y), pentru orice x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept f(x)∗f(y)\displaystyle f(x)*f(y) folosind definiția legii: x∗y=4x+4y4+xy\displaystyle x*y=\dfrac{4x+4y}{4+xy}, cu f(x)\displaystyle f(x) în locul lui x\displaystyle x și f(y)\displaystyle f(y) în locul lui y\displaystyle y.
    f(x)∗f(y)=4f(x)+4f(y)4+f(x)f(y)\displaystyle f(x)*f(y)=\dfrac{4f(x)+4f(y)}{4+f(x)f(y)}
  2. Înlocuim f(x)=2(x−1)x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1} și f(y)=2(y−1)y+1\displaystyle f(y)=\dfrac{2(y-1)}{y+1} în expresie.
    f(x)∗f(y)=4⋅2(x−1)x+1+4⋅2(y−1)y+14+2(x−1)x+1⋅2(y−1)y+1\displaystyle f(x)*f(y)=\dfrac{4\cdot\dfrac{2(x-1)}{x+1}+4\cdot\dfrac{2(y-1)}{y+1}}{4+\dfrac{2(x-1)}{x+1}\cdot\dfrac{2(y-1)}{y+1}}
  3. Amplificăm fracția mare cu (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1), care este strict pozitiv. Numărătorul devine 8[(x−1)(y+1)+(y−1)(x+1)]\displaystyle 8\left[(x-1)(y+1)+(y-1)(x+1)\right], iar numitorul 4(x+1)(y+1)+4(x−1)(y−1)\displaystyle 4(x+1)(y+1)+4(x-1)(y-1). Dăm factor comun și dezvoltăm parantezele.
    f(x)∗f(y)=2(xy+x−y−1+xy−x+y−1)xy+x+y+1+xy−x−y+1\displaystyle f(x)*f(y)=\dfrac{2(xy+x-y-1+xy-x+y-1)}{xy+x+y+1+xy-x-y+1}
  4. Reducem termenii asemenea: la numărător xy+x−y−1+xy−x+y−1=2xy−2=2(xy−1)\displaystyle xy+x-y-1+xy-x+y-1=2xy-2=2(xy-1), iar la numitor xy+x+y+1+xy−x−y+1=2xy+2=2(xy+1)\displaystyle xy+x+y+1+xy-x-y+1=2xy+2=2(xy+1).
    f(x)∗f(y)=2⋅2(xy−1)2(xy+1)=4(xy−1)2(xy+1)\displaystyle f(x)*f(y)=\dfrac{2\cdot 2(xy-1)}{2(xy+1)}=\dfrac{4(xy-1)}{2(xy+1)}
  5. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2 și observăm că obținem exact f(xy)=2(xy−1)xy+1\displaystyle f(xy)=\dfrac{2(xy-1)}{xy+1}, deci egalitatea este demonstrată pentru orice x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
    4(xy−1)2(xy+1)=2(xy−1)xy+1=f(xy), pentru orice x\displaystyle \dfrac{4(xy-1)}{2(xy+1)}=\dfrac{2(xy-1)}{xy+1}=f(xy)\text{, pentru orice }x,y∈(0,+∞)\displaystyle y\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1−2x+2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=1-2x+2\ln(x+1).

Arătați că f′(x)=−2xx+1\displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{x+1}, x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (1)′=0\displaystyle (1)'=0, (−2x)′=−2\displaystyle (-2x)'=-2, iar (2ln⁡(x+1))′=2⋅(x+1)′x+1=2x+1\displaystyle \left(2\ln(x+1)\right)'=2\cdot\dfrac{(x+1)'}{x+1}=\dfrac{2}{x+1}.
    (1)′=0\displaystyle (1)'=0, (−2x)′=−2\displaystyle \ (-2x)'=-2, (2ln⁡(x+1))′=2x+1\displaystyle \ \left(2\ln(x+1)\right)'=\dfrac{2}{x+1}
  2. Adunăm derivatele termenilor: f′(x)=0−2+2x+1\displaystyle f'(x)=0-2+\dfrac{2}{x+1}.
    f′(x)=−2+2x+1\displaystyle f'(x)=-2+\dfrac{2}{x+1}
  3. Aducem la numitor comun x+1\displaystyle x+1, amplificând termenul −2\displaystyle -2 cu x+1\displaystyle x+1: −2=−2(x+1)x+1\displaystyle -2=\dfrac{-2(x+1)}{x+1}.
    f′(x)=−2(x+1)+2x+1=−2x−2+2x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2(x+1)+2}{x+1}=\dfrac{-2x-2+2}{x+1}
  4. Reducem termenii opuși de la numărător, −2\displaystyle -2 și +2\displaystyle +2. Obținem forma cerută, pentru x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty), unde x+1>0\displaystyle x+1>0.
    f′(x)=−2xx+1, x∈(−1,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2x}{x+1}\text{, }x\in(-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1−2x+2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=1-2x+2\ln(x+1).

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Formula tangentei în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0 este y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0), adică y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)=1−2⋅0+2ln⁡(0+1)=1−0+2ln⁡1\displaystyle f(0)=1-2\cdot 0+2\ln(0+1)=1-0+2\ln 1. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem f(0)=1\displaystyle f(0)=1.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  3. Derivăm funcția: f′(x)=(1)′−(2x)′+2⋅(x+1)′x+1\displaystyle f'(x)=(1)'-(2x)'+2\cdot\dfrac{(x+1)'}{x+1}, deci f′(x)=−2+2x+1\displaystyle f'(x)=-2+\dfrac{2}{x+1}.
    f′(x)=−2+2x+1\displaystyle f'(x)=-2+\dfrac{2}{x+1}
  4. Calculăm f′(0)=−2+20+1=−2+2=0\displaystyle f'(0)=-2+\dfrac{2}{0+1}=-2+2=0. Am obținut astfel valorile din primul pas de control: f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1, f′(0)=0\displaystyle \ f'(0)=0
  5. Înlocuim în formulă: y−1=0⋅(x−0)\displaystyle y-1=0\cdot(x-0), deci y−1=0\displaystyle y-1=0. Ecuația tangentei este y=1\displaystyle y=1.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=1\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1−2x+2ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=1-2x+2\ln(x+1).

Demonstrați că ln⁡(1+cos⁡x)≤cos⁡x\displaystyle \ln(1+\cos x)\leq\cos x, pentru orice x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty): f′(x)=−2+2x+1\displaystyle f'(x)=-2+\dfrac{2}{x+1}.
    f′(x)=−2+2x+1\displaystyle f'(x)=-2+\dfrac{2}{x+1}
  2. Aducem la același numitor: f′(x)=−2(x+1)+2x+1=−2xx+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2(x+1)+2}{x+1}=\dfrac{-2x}{x+1}.
    f′(x)=−2xx+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2x}{x+1}
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru x∈(−1,0)\displaystyle x\in(-1,0) avem x+1>0\displaystyle x+1>0 și −2x>0\displaystyle -2x>0, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 și f\displaystyle f este crescătoare. Pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem −2x<0\displaystyle -2x<0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 și f\displaystyle f este descrescătoare. Prin urmare f\displaystyle f are maxim în x=0\displaystyle x=0.
    f(x)≤f(0), pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle f(x)\leq f(0)\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)
  4. Calculăm f(0)=1−0+2ln⁡1=1\displaystyle f(0)=1-0+2\ln 1=1. Inegalitatea f(x)≤f(0)\displaystyle f(x)\leq f(0) devine 1−2x+2ln⁡(x+1)≤1\displaystyle 1-2x+2\ln(x+1)\leq 1, adică 2ln⁡(x+1)≤2x\displaystyle 2\ln(x+1)\leq 2x, deci ln⁡(x+1)≤x\displaystyle \ln(x+1)\leq x pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty).
    ln⁡(x+1)≤x, pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle \ln(x+1)\leq x\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)
  5. Pentru x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi) avem cos⁡x∈(−1,1)\displaystyle \cos x\in(-1,1), deci cos⁡x>−1\displaystyle \cos x>-1 și putem înlocui x\displaystyle x cu cos⁡x\displaystyle \cos x în inegalitatea ln⁡(x+1)≤x\displaystyle \ln(x+1)\leq x. Obținem ln⁡(1+cos⁡x)≤cos⁡x\displaystyle \ln(1+\cos x)\leq\cos x, pentru orice x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi), ceea ce trebuia demonstrat.
    cos⁡x>−1, deci ln⁡(1+cos⁡x)≤cos⁡x, pentru orice x∈(0,π)\displaystyle \cos x>-1\text{, deci }\ln(1+\cos x)\leq\cos x\text{, pentru orice }x\in(0,\pi)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3ex\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{e^x}.

Arătați că ∫−11f(x)ex dx=6\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)e^x\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+3ex\displaystyle f(x)=\dfrac{x+3}{e^{x}} în expresia de sub integrală. Cum ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0, se simplifică și obținem f(x)ex=x+3\displaystyle f(x)e^{x}=x+3.
    f(x)ex=x+3ex⋅ex=x+3\displaystyle f(x)e^{x}=\dfrac{x+3}{e^{x}}\cdot e^{x}=x+3
  2. Integrala devine ∫−11(x+3) dx\displaystyle \int_{-1}^{1}(x+3)\,dx. O primitivă a lui x+3\displaystyle x+3 este x22+3x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+3x, pentru că x\displaystyle x are primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar constanta 3\displaystyle 3 are primitiva 3x\displaystyle 3x.
    ∫−11f(x)ex dx=∫−11(x+3) dx=(x22+3x)∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)e^x\,dx=\int_{-1}^{1}(x+3)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)\Big|_{-1}^{1}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în x=1\displaystyle x=1 și în x=−1\displaystyle x=-1 și le scădem. În x=1\displaystyle x=1 obținem 12+3\displaystyle \dfrac{1}{2}+3, iar în x=−1\displaystyle x=-1 obținem 12−3\displaystyle \dfrac{1}{2}-3. Diferența este 12+3−12+3=6\displaystyle \dfrac{1}{2}+3-\dfrac{1}{2}+3=6.
    (12+3)−(12−3)=6\displaystyle \left(\frac{1}{2}+3\right)-\left(\frac{1}{2}-3\right)=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3ex\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{e^x}.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este crescătoare pe intervalul [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=x+3ex, x∈R\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{x+3}{e^x}\text{, }x\in\mathbb{R}
  2. Studiem semnul lui f\displaystyle f pe intervalul [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty). Pentru x≥−3\displaystyle x\geq -3, numărătorul x+3\displaystyle x+3 este mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0.
    x≥−3⇒x+3≥0\displaystyle x\geq -3\Rightarrow x+3\geq 0
  3. Numitorul ex\displaystyle e^x este strict pozitiv pentru orice x\displaystyle x real, deci câtul este mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0.
    ex>0⇒x+3ex≥0\displaystyle e^x>0\Rightarrow \frac{x+3}{e^x}\geq 0
  4. Așadar derivata primitivei F\displaystyle F este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0 pe [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty), fiind nulă doar în x=−3\displaystyle x=-3. Rezultă că F\displaystyle F este crescătoare pe acest interval. Cum F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este crescătoare pe [−3,+∞)\displaystyle [-3,+\infty).
    F′(x)≥0, pentru orice x∈[−3,+∞), deci F este cresca˘toare pe [−3,+∞)\displaystyle F'(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in[-3,+\infty)\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }[-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3ex\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{e^x}.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=n\displaystyle x=n are aria egală cu 4−6e−n\displaystyle 4-6e^{-n}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,n]\displaystyle x\in[0,n] avem x+3>0\displaystyle x+3>0 și ex>0\displaystyle e^{x}>0, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x). Aria este A=∫0nf(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n f(x)\,dx.
    A=∫0n(x+3)e−x dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n (x+3)e^{-x}\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=x+3\displaystyle u=x+3 și dv=e−xdx\displaystyle dv=e^{-x}dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=−e−x\displaystyle v=-e^{-x}.
    ∫(x+3)e−x dx=−(x+3)e−x+∫e−x dx\displaystyle \int (x+3)e^{-x}\,dx=-(x+3)e^{-x}+\int e^{-x}\,dx
  3. Cum ∫e−x dx=−e−x\displaystyle \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}, obținem −(x+3)e−x−e−x=−(x+4)e−x\displaystyle -(x+3)e^{-x}-e^{-x}=-(x+4)e^{-x}.
    ∫(x+3)e−x dx=−(x+4)e−x+C\displaystyle \int (x+3)e^{-x}\,dx=-(x+4)e^{-x}+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: la limita n\displaystyle n avem −(n+4)e−n\displaystyle -(n+4)e^{-n}, iar la limita 0\displaystyle 0 avem −(0+4)e0=−4\displaystyle -(0+4)e^{0}=-4.
    A=−(x+4)e−x∣0n=−(n+4)e−n+4\displaystyle \mathcal{A}=-(x+4)e^{-x}\Big|_0^n=-(n+4)e^{-n}+4
  5. Egalăm cu aria dată: −(n+4)e−n+4=4−6e−n\displaystyle -(n+4)e^{-n}+4=4-6e^{-n}.
    −(n+4)e−n+4=4−6e−n\displaystyle -(n+4)e^{-n}+4=4-6e^{-n}
  6. Reducem 4\displaystyle 4 din ambele părți și înmulțim cu −1\displaystyle -1: (n+4)e−n=6e−n\displaystyle (n+4)e^{-n}=6e^{-n}. Cum e−n≠0\displaystyle e^{-n}\neq 0, împărțim la e−n\displaystyle e^{-n} și obținem n+4=6\displaystyle n+4=6, deci n=2\displaystyle n=2, care este număr natural nenul.
    n+4=6⇒n=2\displaystyle n+4=6\Rightarrow n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.