Bac matematică M2 științe ale naturii 2014, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=2+i\displaystyle z=2+i. Calculați z2\displaystyle z^2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem z2=(2+i)2\displaystyle z^2=(2+i)^2 și folosim formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=2\displaystyle a=2 și b=i\displaystyle b=i.
    z2=(2+i)2=22+2⋅2⋅i+i2\displaystyle z^2=(2+i)^2=2^2+2\cdot 2\cdot i+i^2
  2. Calculăm 22=4\displaystyle 2^2=4 și 2⋅2⋅i=4i\displaystyle 2\cdot 2\cdot i=4i, deci obținem expresia de mai jos.
    z2=4+4i+i2\displaystyle z^2=4+4i+i^2
  3. Înlocuim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și adunăm părțile reale: 4−1=3\displaystyle 4-1=3.
    z2=4+4i−1=3+4i\displaystyle z^2=4+4i-1=3+4i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m știind că punctul M(m,1)\displaystyle M(m,1) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Un punct aparține graficului unei funcții dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa punctului. Pentru punctul M(m,1)\displaystyle M(m,1) cu abscisa m\displaystyle m și ordonata 1\displaystyle 1, condiția este f(m)=1\displaystyle f(m)=1.
    f(m)=1\displaystyle f(m)=1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula funcției: f(m)=m−3\displaystyle f(m)=m-3. Condiția devine ecuația m−3=1\displaystyle m-3=1.
    m−3=1\displaystyle m-3=1
  3. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri ai ecuației și obținem m=1+3=4\displaystyle m=1+3=4. Deci m=4\displaystyle m=4.
    m−3=1⇔m=4\displaystyle m-3=1\Leftrightarrow m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x−3)=2\displaystyle \log_3(x-3)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x−3>0\displaystyle x-3>0, adică x>3\displaystyle x>3.
    x∈(3,+∞)\displaystyle x\in(3,+\infty)
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡3a=2\displaystyle \log_3 a=2 exact când a=32=9\displaystyle a=3^{2}=9. Deci x−3=9\displaystyle x-3=9.
    x−3=32=9\displaystyle x-3=3^{2}=9
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri și obținem x=9+3=12\displaystyle x=9+3=12.
    x=12\displaystyle x=12
  4. Verificăm soluția: 12>3\displaystyle 12>3, deci condiția de existență este îndeplinită. Într-adevăr, log⁡3(12−3)=log⁡39=2\displaystyle \log_3(12-3)=\log_3 9=2. Soluția convine.
    x=12 care verifica˘ ecuația\displaystyle x=12\text{ care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu număr impar de elemente ale mulțimii A={1,2,3,4}\displaystyle A=\{1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A\displaystyle A are 4\displaystyle 4 elemente, deci o submulțime poate avea 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 sau 4\displaystyle 4 elemente. Număr impar de elemente înseamnă 1\displaystyle 1 sau 3\displaystyle 3 elemente.
    k∈{1,3}\displaystyle k\in\{1,3\}
  2. Numărul submulțimilor cu k\displaystyle k elemente este C4k\displaystyle C_4^k. Adunăm numărul submulțimilor cu 1\displaystyle 1 element și al celor cu 3\displaystyle 3 elemente.
    C41+C43\displaystyle C_4^1+C_4^3
  3. Calculăm: C41=4\displaystyle C_4^1=4, iar C43=4!3!⋅1!=4\displaystyle C_4^3=\dfrac{4!}{3!\cdot 1!}=4. Suma este 4+4=8\displaystyle 4+4=8.
    C41+C43=4+4=8\displaystyle C_4^1+C_4^3=4+4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În dreptunghiul ABCD\displaystyle ABCD se notează cu M\displaystyle M mijlocul laturii AD\displaystyle AD. Arătați că MB→+MC→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AB}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm regula triunghiului pentru vectorul MB→\displaystyle \overrightarrow{MB}: de la M\displaystyle M la B\displaystyle B trecem prin A\displaystyle A.
    MB→=MA→+AB→\displaystyle \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}
  2. Aplicăm regula triunghiului și pentru MC→\displaystyle \overrightarrow{MC}: de la M\displaystyle M la C\displaystyle C trecem prin D\displaystyle D.
    MC→=MD→+DC→\displaystyle \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}
  3. Adunăm cele două egalități și grupăm termenii: MB→+MC→=(MA→+MD→)+(AB→+DC→)\displaystyle \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).
    MB→+MC→=(MA→+MD→)+(AB→+DC→)\displaystyle \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)
  4. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul lui AD\displaystyle AD, vectorii MA→\displaystyle \overrightarrow{MA} și MD→\displaystyle \overrightarrow{MD} au aceeași lungime și sensuri opuse, deci suma lor este vectorul nul.
    MA→+MD→=0→\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}
  5. ABCD\displaystyle ABCD este dreptunghi, deci paralelogram, iar laturile opuse AB\displaystyle AB și DC\displaystyle DC dau vectori egali.
    DC→=AB→\displaystyle \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}
  6. Înlocuim în suma obținută: MB→+MC→=0→+AB→+AB→\displaystyle \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}, deci relația cerută este adevărată.
    MB→+MC→=2AB→\displaystyle \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AB}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A. Arătați că sin⁡B⋅cos⁡C+sin⁡C⋅cos⁡B=1\displaystyle \sin B\cdot\cos C+\sin C\cdot\cos B=1.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt ascuțite, iar suma lor este de 90∘\displaystyle 90^\circ: B+C=90∘\displaystyle B+C=90^\circ.
    B+C=90∘\displaystyle B+C=90^\circ
  2. Din B+C=90∘\displaystyle B+C=90^\circ obținem C=90∘−B\displaystyle C=90^\circ-B, deci unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt complementare.
    C=90∘−B\displaystyle C=90^\circ-B
  3. Pentru unghiuri complementare, cosinusul unuia este egal cu sinusul celuilalt: cos⁡C=cos⁡(90∘−B)=sin⁡B\displaystyle \cos C=\cos(90^\circ-B)=\sin B și sin⁡C=sin⁡(90∘−B)=cos⁡B\displaystyle \sin C=\sin(90^\circ-B)=\cos B.
    cos⁡C=sin⁡B\displaystyle \cos C=\sin B, sin⁡C=cos⁡B\displaystyle \ \sin C=\cos B
  4. Înlocuim în expresia din enunț: sin⁡B⋅cos⁡C+sin⁡C⋅cos⁡B=sin⁡B⋅sin⁡B+cos⁡B⋅cos⁡B=sin⁡2B+cos⁡2B\displaystyle \sin B\cdot\cos C+\sin C\cdot\cos B=\sin B\cdot\sin B+\cos B\cdot\cos B=\sin^2 B+\cos^2 B.
    sin⁡B⋅cos⁡C+sin⁡C⋅cos⁡B=sin⁡2B+cos⁡2B\displaystyle \sin B\cdot\cos C+\sin C\cdot\cos B=\sin^2 B+\cos^2 B
  5. Aplicăm identitatea fundamentală a trigonometriei, sin⁡2B+cos⁡2B=1\displaystyle \sin^2 B+\cos^2 B=1. Deci sin⁡B⋅cos⁡C+sin⁡C⋅cos⁡B=1\displaystyle \sin B\cdot\cos C+\sin C\cdot\cos B=1, ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡B⋅cos⁡C+sin⁡C⋅cos⁡B=sin⁡2B+cos⁡2B=1\displaystyle \sin B\cdot\cos C+\sin C\cdot\cos B=\sin^2 B+\cos^2 B=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(020141−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2014\\1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formula determinantului de ordinul doi: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=0\displaystyle a=0, b=2014\displaystyle b=2014, c=1\displaystyle c=1, d=−1\displaystyle d=-1, și înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣020141−1∣=0⋅(−1)−1⋅2014\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0&2014\\1&-1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)-1\cdot 2014
  3. Calculăm produsele: 0⋅(−1)=0\displaystyle 0\cdot(-1)=0, iar 1⋅2014=2014\displaystyle 1\cdot 2014=2014. Rămâne 0−2014\displaystyle 0-2014, deci determinantul este −2014\displaystyle -2014.
    det⁡A=0−2014=−2014\displaystyle \det A=0-2014=-2014
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(020141−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2014\\1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A+A⋅A=2014I2\displaystyle A+A\cdot A=2014I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A cu matricea dată, pe care îl calculăm înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    A⋅A=(020141−1)⋅(020141−1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&2014\\1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&2014\\1&-1\end{pmatrix}
  2. Prima linie a produsului: 0⋅0+2014⋅1=2014\displaystyle 0\cdot0+2014\cdot1=2014 și 0⋅2014+2014⋅(−1)=−2014\displaystyle 0\cdot2014+2014\cdot(-1)=-2014.
    (2014−2014)\displaystyle \begin{pmatrix}2014&-2014\end{pmatrix}
  3. A doua linie a produsului: 1⋅0+(−1)⋅1=−1\displaystyle 1\cdot0+(-1)\cdot1=-1 și 1⋅2014+(−1)⋅(−1)=2015\displaystyle 1\cdot2014+(-1)\cdot(-1)=2015. Obținem astfel matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(2014−2014−12015)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2014&-2014\\-1&2015\end{pmatrix}
  4. Adunăm A\displaystyle A și A⋅A\displaystyle A\cdot A element cu element.
    A+A⋅A=(0+20142014−20141−1−1+2015)\displaystyle A+A\cdot A=\begin{pmatrix}0+2014&2014-2014\\1-1&-1+2015\end{pmatrix}
  5. Efectuăm calculele și observăm că rezultatul este 2014I2\displaystyle 2014I_2, ceea ce trebuia arătat.
    A+A⋅A=(2014002014)=2014I2\displaystyle A+A\cdot A=\begin{pmatrix}2014&0\\0&2014\end{pmatrix}=2014I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(020141−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2014\\1&-1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația matriceală A⋅X=2014I2\displaystyle A\cdot X=2014I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A, ca să vedem dacă A\displaystyle A este inversabilă. Avem det⁡A=0⋅(−1)−2014⋅1=−2014\displaystyle \det A=0\cdot(-1)-2014\cdot 1=-2014, nenul, deci A\displaystyle A este inversabilă.
    det⁡A=−2014≠0\displaystyle \det A=-2014\neq 0
  2. Determinăm matricea adjunctă. Transpusa este AT=(012014−1)\displaystyle A^{T}=\begin{pmatrix}0&1\\2014&-1\end{pmatrix}. Înlocuim fiecare element cu complementul său algebric. La ordin 2, interschimbăm elementele de pe diagonala principală și schimbăm semnul celor de pe diagonala secundară.
    A∗=(−1−2014−10)\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}-1&-2014\\-1&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm inversa cu formula A−1=1det⁡AA∗\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}A^{*}. Împărțirea la −2014\displaystyle -2014 schimbă semnele elementelor adjunctei.
    A−1=1−2014(−1−2014−10)=12014(1201410)\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{-2014}\begin{pmatrix}-1&-2014\\-1&0\end{pmatrix}=\frac{1}{2014}\begin{pmatrix}1&2014\\1&0\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația A⋅X=2014I2\displaystyle A\cdot X=2014I_2 la stânga cu A−1\displaystyle A^{-1}. Cum A−1A=I2\displaystyle A^{-1}A=I_2, rezultă X=2014A−1\displaystyle X=2014A^{-1}.
    A−1⋅A⋅X=2014A−1I2  ⇒  X=2014A−1\displaystyle A^{-1}\cdot A\cdot X=2014A^{-1}I_2\;\Rightarrow\; X=2014A^{-1}
  5. Înlocuim inversa calculată. Factorul 2014\displaystyle 2014 se simplifică cu fracția 12014\displaystyle \dfrac{1}{2014}. Verificare: A⋅X=(2014002014)=2014I2\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}2014&0\\0&2014\end{pmatrix}=2014I_2.
    X=2014⋅12014(1201410)=(1201410)\displaystyle X=2014\cdot\frac{1}{2014}\begin{pmatrix}1&2014\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2014\\1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−6X2+mX−6\displaystyle f=X^3-6X^2+mX-6, unde m\displaystyle m este număr real.

Calculați f(0)\displaystyle f(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului f=X3−6X2+mX−6\displaystyle f=X^3-6X^2+mX-6.
    f(0)=03−6⋅02+m⋅0−6\displaystyle f(0)=0^3-6\cdot0^2+m\cdot0-6
  2. Calculăm puterile și produsele: 03=0\displaystyle 0^3=0, 6⋅02=0\displaystyle 6\cdot0^2=0, iar m⋅0=0\displaystyle m\cdot0=0, oricare ar fi m\displaystyle m. Rămâne doar termenul liber.
    f(0)=0−0+0−6\displaystyle f(0)=0-0+0-6
  3. Rezultatul final: valoarea polinomului în 0\displaystyle 0 este termenul liber și nu depinde de m\displaystyle m.
    f(0)=−6\displaystyle f(0)=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−6X2+mX−6\displaystyle f=X^3-6X^2+mX-6, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că 1x1x2+1x1x3+1x2x3=1\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_1x_3}+\frac{1}{x_2x_3}=1 știind că x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul f=X3−6X2+mX−6\displaystyle f=X^3-6X^2+mX-6. Suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−−61\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-6}{1}, adică 6\displaystyle 6.
    x1+x2+x3=6\displaystyle x_1+x_2+x_3=6
  2. Produsul rădăcinilor este x1x2x3=−−61\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{-6}{1}, deci 6\displaystyle 6.
    x1+x2+x3=6\displaystyle x_1+x_2+x_3=6, x1x2x3=6\displaystyle \ x_1x_2x_3=6
  3. Aducem fracțiile la numitorul comun x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3. Prima fracție se amplifică cu x3\displaystyle x_3, a doua cu x2\displaystyle x_2, a treia cu x1\displaystyle x_1.
    1x1x2+1x1x3+1x2x3=x3+x2+x1x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_1x_3}+\frac{1}{x_2x_3}=\frac{x_3+x_2+x_1}{x_1x_2x_3}
  4. Înlocuim suma și produsul rădăcinilor cu valorile din relațiile lui Viète: x1+x2+x3x1x2x3=66=1\displaystyle \dfrac{x_1+x_2+x_3}{x_1x_2x_3}=\dfrac{6}{6}=1. Egalitatea cerută este demonstrată.
    x1+x2+x3x1x2x3=66=1\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{6}{6}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−6X2+mX−6\displaystyle f=X^3-6X^2+mX-6, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m știind că rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt trei numere întregi consecutive.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm rădăcinile ca trei numere întregi consecutive: x1=k−1\displaystyle x_1=k-1, x2=k\displaystyle x_2=k, x3=k+1\displaystyle x_3=k+1, cu k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z}.
    x1=k−1\displaystyle x_1=k-1, x2=k\displaystyle \ x_2=k, x3=k+1\displaystyle \ x_3=k+1, k∈Z\displaystyle \ k\in\mathbb{Z}
  2. Prima relație Viète pentru f=X3−6X2+mX−6\displaystyle f=X^3-6X^2+mX-6 este x1+x2+x3=−−61=6\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-6}{1}=6.
    x1+x2+x3=6\displaystyle x_1+x_2+x_3=6
  3. Calculăm suma: (k−1)+k+(k+1)=3k\displaystyle (k-1)+k+(k+1)=3k. Din 3k=6\displaystyle 3k=6 obținem k=2\displaystyle k=2.
    3k=6⇒k=2\displaystyle 3k=6\Rightarrow k=2
  4. Înlocuind k=2\displaystyle k=2, rădăcinile sunt x1=1\displaystyle x_1=1, x2=2\displaystyle x_2=2, x3=3\displaystyle x_3=3.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=2\displaystyle \ x_2=2, x3=3\displaystyle \ x_3=3
  5. A doua relație Viète este x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m.
    x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m
  6. Înlocuim rădăcinile: m=1⋅2+1⋅3+2⋅3=2+3+6=11\displaystyle m=1\cdot2+1\cdot3+2\cdot3=2+3+6=11.
    m=1⋅2+1⋅3+2⋅3=11\displaystyle m=1\cdot2+1\cdot3+2\cdot3=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=(1−x)(1+x)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport de două funcții derivabile pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1 nu se anulează niciodată. Aplicăm formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=x^{2}+1.
    f′(x)=x′(x2+1)−x(x2+1)′(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x'(x^{2}+1)-x(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: x′=1\displaystyle x'=1 și (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x. Le înlocuim în fracție.
    f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}
  3. Efectuăm calculele de la numărător: x2+1−2x2=1−x2\displaystyle x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}.
    f′(x)=1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
  4. Descompunem numărătorul ca diferență de pătrate: 1−x2=(1−x)(1+x)\displaystyle 1-x^{2}=(1-x)(1+x). Obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=(1−x)(1+x)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{(x^{2}+1)^{2}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1 este y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)=112+1=12\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{1^{2}+1}=\dfrac{1}{2}.
    f(1)=12\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}
  3. Folosind formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} cu u=x\displaystyle u=x și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1, obținem f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
    f′(x)=x2+1−2x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: f′(x)=1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
    f′(x)=1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
  5. Avem f′(1)=1−12(12+1)2=04=0\displaystyle f'(1)=\dfrac{1-1^{2}}{(1^{2}+1)^{2}}=\dfrac{0}{4}=0.
    f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0
  6. Din y−12=0⋅(x−1)\displaystyle y-\dfrac{1}{2}=0\cdot(x-1) rezultă y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}.
    f(1)=12\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0, y=12\displaystyle \ y=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Determinați punctele de extrem ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0. Calculăm derivata cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=x\displaystyle u=x și v=x2+1\displaystyle v=x^{2}+1.
    f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}
  2. Reducem termenii asemenea de la numărător: x2+1−2x2=1−x2\displaystyle x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}.
    f′(x)=1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
  3. Anulăm derivata. Numitorul este mereu pozitiv, deci f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 când numărătorul este zero: 1−x2=0\displaystyle 1-x^{2}=0, adică x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    f′(x)=0⇔x=1 sau x=−1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=-1
  4. Semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul numărătorului 1−x2\displaystyle 1-x^{2}, deoarece numitorul este pozitiv. Expresia 1−x2\displaystyle 1-x^{2} este negativă pentru ∣x∣>1\displaystyle |x|>1 și pozitivă pentru ∣x∣<1\displaystyle |x|<1. Deci f′\displaystyle f' are semnele: minus pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1), plus pe (−1,1)\displaystyle (-1,1), minus pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)<0 pentru x∈(−∞,−1)\displaystyle f'(x)<0\text{ pentru }x\in(-\infty,-1), f′(x)>0 pentru x∈(−1,1)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pentru }x\in(-1,1), f′(x)<0 pentru x∈(1,+∞)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pentru }x\in(1,+\infty)
  5. În x=−1\displaystyle x=-1 derivata trece de la minus la plus, deci f\displaystyle f descrește apoi crește: x=−1\displaystyle x=-1 este punct de minim, cu f(−1)=−12\displaystyle f(-1)=-\dfrac{1}{2}. În x=1\displaystyle x=1 derivata trece de la plus la minus, deci x=1\displaystyle x=1 este punct de maxim, cu f(1)=12\displaystyle f(1)=\dfrac{1}{2}.
    x=−1 și x=1\displaystyle x=-1\text{ și }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1+1x+2+1x+3\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}.

Arătați că ∫01(f(x)−1x+2−1x+3)dx=ln⁡2\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)dx=\ln2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x+1+1x+2+1x+3\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+3} în integrand. Termenii 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2} și 1x+3\displaystyle \dfrac{1}{x+3} se reduc, deci rămâne doar 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}.
    f(x)−1x+2−1x+3=1x+1\displaystyle f(x)-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x+1}
  2. Integrala cerută devine integrala funcției rămase pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫011x+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x+1}\,dx
  3. O primitivă a funcției 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty) este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ln⁡(x+1)∣01=ln⁡2−ln⁡1\displaystyle \ln(x+1)\Big|_0^1=\ln2-\ln1
  4. Deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln1=0, obținem ln⁡2\displaystyle \ln2, adică exact ce trebuia demonstrat.
    ln⁡(x+1)∣01=ln⁡2\displaystyle \ln(x+1)\Big|_0^1=\ln2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1+1x+2+1x+3\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}.

Arătați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este concavă pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe intervalul (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Atunci F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈(−1,+∞)\displaystyle x\in(-1,+\infty). Funcția f\displaystyle f este derivabilă, deci F\displaystyle F este de două ori derivabilă, iar F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x).
    F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x)
  2. Derivăm fiecare termen, folosind (1x+a)′=−1(x+a)2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x+a}\right)'=-\dfrac{1}{(x+a)^{2}} pentru a∈{1,2,3}\displaystyle a\in\{1,2,3\}. Obținem f′(x)\displaystyle f'(x) ca sumă de trei fracții negative.
    F′′(x)=f′(x)=−1(x+1)2−1(x+2)2−1(x+3)2\displaystyle F''(x)=f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x+3)^2}
  3. Pentru x>−1\displaystyle x>-1 avem x+1>0\displaystyle x+1>0, x+2>0\displaystyle x+2>0 și x+3>0\displaystyle x+3>0, deci 1(x+1)2>0\displaystyle \dfrac{1}{(x+1)^2}>0, 1(x+2)2>0\displaystyle \dfrac{1}{(x+2)^2}>0, 1(x+3)2>0\displaystyle \dfrac{1}{(x+3)^2}>0. Fiecare termen din f′(x)\displaystyle f'(x) este strict negativ, deci și suma lor este strict negativă.
    F′′(x)<0 pentru orice x∈(−1,+∞), deci F este concava˘\displaystyle F''(x)<0\text{ pentru orice }x\in(-1,+\infty)\text{, deci }F\text{ este concavă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x+1+1x+2+1x+3\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=n\displaystyle x=n, are aria mai mare sau egală cu ln⁡4\displaystyle \ln4, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 avem x+1>0\displaystyle x+1>0, x+2>0\displaystyle x+2>0, x+3>0\displaystyle x+3>0, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x). Aria este A=∫0n∣f(x)∣ dx=∫0nf(x) dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n |f(x)|\,dx=\int_0^n f(x)\,dx.
    A=∫0n(1x+1+1x+2+1x+3)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^n\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}\right)dx
  2. O primitivă a lui 1x+a\displaystyle \dfrac{1}{x+a} este ln⁡(x+a)\displaystyle \ln(x+a), pentru x+a>0\displaystyle x+a>0. Deci ln⁡(x+1)+ln⁡(x+2)+ln⁡(x+3)=ln⁡((x+1)(x+2)(x+3))\displaystyle \ln(x+1)+\ln(x+2)+\ln(x+3)=\ln\left((x+1)(x+2)(x+3)\right).
    A=ln⁡((x+1)(x+2)(x+3))∣0n\displaystyle \mathcal{A}=\ln\left((x+1)(x+2)(x+3)\right)\Big|_0^n
  3. Calculăm A=ln⁡((n+1)(n+2)(n+3))−ln⁡(1⋅2⋅3)=ln⁡((n+1)(n+2)(n+3))−ln⁡6\displaystyle \mathcal{A}=\ln\left((n+1)(n+2)(n+3)\right)-\ln\left(1\cdot 2\cdot 3\right)=\ln\left((n+1)(n+2)(n+3)\right)-\ln 6, apoi folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}.
    A=ln⁡(n+1)(n+2)(n+3)6\displaystyle \mathcal{A}=\ln\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}
  4. Pentru n≥1\displaystyle n\ge 1 avem n+1≥2\displaystyle n+1\ge 2, n+2≥3\displaystyle n+2\ge 3, n+3≥4\displaystyle n+3\ge 4, toți pozitivi, deci (n+1)(n+2)(n+3)≥2⋅3⋅4=24\displaystyle (n+1)(n+2)(n+3)\ge 2\cdot 3\cdot 4=24.
    (n+1)(n+2)(n+3)≥24\displaystyle (n+1)(n+2)(n+3)\ge 24
  5. Din (n+1)(n+2)(n+3)6≥246=4\displaystyle \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\ge \dfrac{24}{6}=4 și faptul că funcția ln⁡\displaystyle \ln este crescătoare, obținem A≥ln⁡4\displaystyle \mathcal{A}\ge \ln 4, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    A=ln⁡(n+1)(n+2)(n+3)6≥ln⁡4\displaystyle \mathcal{A}=\ln\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}\ge\ln 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.