Bac matematică M2 științe ale naturii 2023, sesiunea I varianta 07: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3−4i+i(4−i)=4\displaystyle 3-4i+i(4-i)=4, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la expresia dată și se identifică termenul care trebuie desfăcut prin distributivitate.
    3−4i+i(4−i)\displaystyle 3-4i+i(4-i)
  2. Se distribuie i în paranteză: i⋅4−i⋅i\displaystyle i\cdot 4 - i\cdot i.
    i(4−i)=4i−i2\displaystyle i(4-i)=4i-i^2
  3. Se înlocuiește rezultatul distribuției în expresia inițială, obținându-se forma cerută de barem.
    3−4i+i(4−i)=3−4i+4i−i2\displaystyle 3-4i+i(4-i)=3-4i+4i-i^2
  4. Se grupează termenii care conțin i: −4i+4i\displaystyle -4i+4i se anulează.
    3−4i+4i−i2=3+0−i2=3−i2\displaystyle 3-4i+4i-i^2=3+0-i^2=3-i^2
  5. Se folosește relația dată i2=−1\displaystyle i^2=-1, deci −i2=−(−1)=1\displaystyle -i^2=-(-1)=1.
    3−i2=3−(−1)=3+1\displaystyle 3-i^2=3-(-1)=3+1
  6. Se efectuează adunarea finală, obținându-se rezultatul cerut.
    =3+1=4\displaystyle =3+1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=4−2x\displaystyle f(x)=4-2x. Arătați că (f∘f)(1)=0\displaystyle (f\circ f)(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția funcției compuse: (f∘f)(x)=f(f(x))\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x)), aplicată pentru x=1\displaystyle x=1.
    (f∘f)(1)=f(f(1))\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))
  2. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul x=1\displaystyle x=1, înlocuind în formula f(x)=4−2x\displaystyle f(x)=4-2x.
    f(1)=4−2⋅1=2\displaystyle f(1)=4-2\cdot 1=2
  3. Se calculează valoarea funcției f\displaystyle f în punctul x=2\displaystyle x=2, obținut anterior, înlocuind în formula f(x)=4−2x\displaystyle f(x)=4-2x.
    f(2)=4−2⋅2=0\displaystyle f(2)=4-2\cdot 2=0
  4. Se înlocuiește rezultatul f(1)=2\displaystyle f(1)=2 în expresia (f∘f)(1)=f(f(1))=f(2)\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))=f(2), obținându-se valoarea finală.
    (f∘f)(1)=f(f(1))=f(2)=0\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))=f(2)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2−2x+6)=log⁡56\displaystyle \log_5(x^2-2x+6)=\log_5 6.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a logaritmului: expresia de sub logaritm trebuie să fie strict pozitivă.
    x2−2x+6>0\displaystyle x^2-2x+6>0
  2. Se verifică semnul expresiei calculând discriminantul trinomului de gradul al doilea.
    Δ=(−2)2−4⋅1⋅6=4−24=−20<0\displaystyle \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot6=4-24=-20<0
  3. Cum discriminantul este negativ și coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, expresia x2−2x+6\displaystyle x^2-2x+6 este strict pozitivă pentru orice x\displaystyle x real, deci condiția de existență este îndeplinită întotdeauna.
    x2−2x+6>0\displaystyle x^2-2x+6>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Folosind injectivitatea funcției logaritmice (log⁡5\displaystyle \log_5 este strict crescătoare, deci injectivă), din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor.
    x2−2x+6=6, deci x2−2x=0\displaystyle x^2-2x+6=6\text{, deci }x^2-2x=0
  5. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea prin factorizare, dând factor comun pe x\displaystyle x.
    x(x−2)=0\displaystyle x(x-2)=0
  6. Se determină soluțiile ecuației factorizate, punând fiecare factor egal cu zero.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
  7. Se verifică dacă soluțiile obținute satisfac condiția de existență (întotdeauna adevărată, conform pasului 3), deci ambele soluții sunt valide.
    x=0 sau x=2, care convin\displaystyle x=0\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3\displaystyle 3 și cu 7\displaystyle 7.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90, deci sunt 90\displaystyle 90 de cazuri posibile.
    90 de cazuri posibile\displaystyle 90\text{ de cazuri posibile}
  2. Un număr este divizibil cu 3\displaystyle 3 și cu 7\displaystyle 7 dacă este divizibil cu [3,7]\displaystyle [3,7]. Cum 3\displaystyle 3 și 7\displaystyle 7 sunt prime între ele, [3,7]=3⋅7=21\displaystyle [3,7]=3\cdot 7=21.
    [3,7]=21\displaystyle [3,7]=21
  3. Multiplii lui 21\displaystyle 21 de două cifre sunt 21⋅1=21\displaystyle 21\cdot 1=21, 21⋅2=42\displaystyle 21\cdot 2=42, 21⋅3=63\displaystyle 21\cdot 3=63, 21⋅4=84\displaystyle 21\cdot 4=84. Următorul, 21⋅5=105\displaystyle 21\cdot 5=105, are trei cifre. Deci sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    {21,42,63,84}, adica˘ 4 cazuri favorabile\displaystyle \{21,42,63,84\}\text{, adică }4\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=490\displaystyle p=\dfrac{4}{90}. Simplificăm prin 2\displaystyle 2 și obținem p=245\displaystyle p=\dfrac{2}{45}.
    p=490=245\displaystyle p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2), B(a,0)\displaystyle B(a,0) și C(0,b)\displaystyle C(0,b). Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că punctul A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula coordonatelor mijlocului segmentului BC\displaystyle BC, folosind coordonatele punctelor B(a,0)\displaystyle B(a,0) și C(0,b)\displaystyle C(0,b).
    A(a+02,0+b2)\displaystyle A\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)
  2. Se simplifică expresiile obținute pentru coordonatele mijlocului segmentului BC\displaystyle BC.
    A(a2,b2)\displaystyle A\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)
  3. Se pune condiția ca punctul A\displaystyle A să coincidă cu mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, egalând coordonatele lui A(1,2)\displaystyle A(1,2) cu cele obținute anterior.
    a2=1 și b2=2\displaystyle \frac{a}{2}=1\text{ și }\frac{b}{2}=2
  4. Se rezolvă prima ecuație pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    a=2\displaystyle a=2
  5. Se rezolvă a doua ecuație pentru a determina valoarea lui b\displaystyle b.
    b=4\displaystyle b=4
  6. Se scriu valorile finale obținute pentru a\displaystyle a și b\displaystyle b, confirmând soluția problemei.
    a=2 și b=4\displaystyle a=2\text{ și }b=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AB=AC=10\displaystyle AB=AC=10 și BC=16\displaystyle BC=16. Arătați că AD=6\displaystyle AD=6, unde AD\displaystyle AD este înălțime în triunghiul ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel cu AB=AC=10\displaystyle AB=AC=10, deci înălțimea AD\displaystyle AD din vârful A\displaystyle A este și mediană, ceea ce înseamnă că D\displaystyle D este mijlocul laturii BC\displaystyle BC.
    AB=AC=10⇒AD este și mediana˘, deci BD=DC=BC2\displaystyle AB=AC=10\Rightarrow AD\text{ este și mediană, deci }BD=DC=\frac{BC}{2}
  2. Se calculează lungimea segmentului BD\displaystyle BD folosind faptul că BC=16\displaystyle BC=16 și D\displaystyle D este mijlocul lui BC\displaystyle BC. De asemenea, cum AD\displaystyle AD este înălțime, triunghiul ABD\displaystyle ABD este dreptunghic în D\displaystyle D.
    Triunghiul ABD este dreptunghic ıˆn D și BD=8\displaystyle \text{Triunghiul }ABD\text{ este dreptunghic în }D\text{ și }BD=8
  3. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD, unde AB\displaystyle AB este ipotenuza, iar AD\displaystyle AD și BD\displaystyle BD sunt catete.
    AB2=AD2+BD2⇒AD2=AB2−BD2=102−82\displaystyle AB^2=AD^2+BD^2\Rightarrow AD^2=AB^2-BD^2=10^2-8^2
  4. Se calculează valoarea lui AD\displaystyle AD prin extragerea radicalului.
    AD=100−64=6\displaystyle AD=\sqrt{100-64}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(12−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & -2\end{pmatrix} și B(x)=(x+12x+1x−12x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1 & 2x+1\\ x-1 & 2x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(2))=4\displaystyle \det(B(2))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea B(x)\displaystyle B(x) și se înlocuiește x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în fiecare element.
    B(2)=(2+12⋅2+12−12⋅2−1)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}2+1 & 2\cdot2+1\\ 2-1 & 2\cdot2-1\end{pmatrix}
  2. Se efectuează calculele numerice din fiecare element al matricei.
    B(2)=(3513)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}3 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  3. Se scrie determinantul matricei B(2)\displaystyle B(2) folosind formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2 (produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară) și se calculează produsele.
    det⁡(B(2))=∣3513∣=3⋅3−5⋅1=\displaystyle \det(B(2))=\begin{vmatrix}3 & 5\\ 1 & 3\end{vmatrix}=3\cdot3-5\cdot1=
  4. Se efectuează scăderea finală pentru a obține valoarea determinantului.
    =9−5=4\displaystyle =9-5=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(12−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & -2\end{pmatrix} și B(x)=(x+12x+1x−12x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1 & 2x+1\\ x-1 & 2x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care B(0)⋅B(1)=aA\displaystyle B(0)\cdot B(1)=aA.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în B(x)\displaystyle B(x): elementele devin 0+1\displaystyle 0+1, 2⋅0+1\displaystyle 2\cdot 0+1, 0−1\displaystyle 0-1, 2⋅0−1\displaystyle 2\cdot 0-1.
    B(0)=(11−1−1)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în B(x)\displaystyle B(x): elementele devin 1+1\displaystyle 1+1, 2⋅1+1\displaystyle 2\cdot 1+1, 1−1\displaystyle 1-1, 2⋅1−1\displaystyle 2\cdot 1-1.
    B(1)=(2301)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim linie cu coloană: 1⋅2+1⋅0=2\displaystyle 1\cdot 2+1\cdot 0=2, 1⋅3+1⋅1=4\displaystyle 1\cdot 3+1\cdot 1=4, −1⋅2+(−1)⋅0=−2\displaystyle -1\cdot 2+(-1)\cdot 0=-2, −1⋅3+(−1)⋅1=−4\displaystyle -1\cdot 3+(-1)\cdot 1=-4. Scoatem factor comun 2\displaystyle 2 și obținem 2A\displaystyle 2A.
    B(0)⋅B(1)=(24−2−4)=2(12−1−2)=2A\displaystyle B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}2 & 4\\ -2 & -4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & -2\end{pmatrix}=2A
  4. Din B(0)⋅B(1)=aA\displaystyle B(0)\cdot B(1)=aA și B(0)⋅B(1)=2A\displaystyle B(0)\cdot B(1)=2A rezultă aA=2A\displaystyle aA=2A, iar cum A\displaystyle A nu este matricea nulă, avem a=2\displaystyle a=2.
    aA=2A, de unde obținem a=2\displaystyle aA=2A\text{, de unde obținem }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}, A=(12−1−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -1 & -2\end{pmatrix} și B(x)=(x+12x+1x−12x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1 & 2x+1\\ x-1 & 2x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=A⋅(B(0)−3I2)\displaystyle A\cdot B(x)=A\cdot(B(0)-3I_2).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x), înmulțind matricea A\displaystyle A cu matricea B(x)\displaystyle B(x) conform regulii de înmulțire a matricelor.
    A⋅B(x)=(1⋅(x+1)+2⋅(x−1)1⋅(2x+1)+2⋅(2x−1)−1⋅(x+1)−2⋅(x−1)−1⋅(2x+1)−2⋅(2x−1))=(3x−16x−1−3x+1−6x+1)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}1\cdot(x+1)+2\cdot(x-1) & 1\cdot(2x+1)+2\cdot(2x-1)\\ -1\cdot(x+1)-2\cdot(x-1) & -1\cdot(2x+1)-2\cdot(2x-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-1 & 6x-1\\ -3x+1 & -6x+1\end{pmatrix}
  2. Se calculează matricea B(0)\displaystyle B(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în expresia lui B(x)\displaystyle B(x).
    B(0)=(0+12⋅0+10−12⋅0−1)=(11−1−1)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0+1 & 2\cdot 0+1\\ 0-1 & 2\cdot 0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}
  3. Se calculează matricea 3I2\displaystyle 3I_2 și apoi diferența B(0)−3I2\displaystyle B(0)-3I_2.
    3I2=(3003), deci B(0)−3I2=(1−31−0−1−0−1−3)=(−21−1−4)\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}\text{, deci }B(0)-3I_2=\begin{pmatrix}1-3 & 1-0\\ -1-0 & -1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\ -1 & -4\end{pmatrix}
  4. Se calculează produsul A⋅(B(0)−3I2)\displaystyle A\cdot (B(0)-3I_2), înmulțind matricea A\displaystyle A cu matricea obținută la pasul anterior.
    A⋅(B(0)−3I2)=(1⋅(−2)+2⋅(−1)1⋅1+2⋅(−4)−1⋅(−2)−2⋅(−1)−1⋅1−2⋅(−4))=(−4−747)\displaystyle A\cdot(B(0)-3I_2)=\begin{pmatrix}1\cdot(-2)+2\cdot(-1) & 1\cdot 1+2\cdot(-4)\\ -1\cdot(-2)-2\cdot(-1) & -1\cdot 1-2\cdot(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -7\\ 4 & 7\end{pmatrix}
  5. Se scrie ecuația matriceală A⋅B(x)=A⋅(B(0)−3I2)\displaystyle A\cdot B(x)=A\cdot (B(0)-3I_2) folosind rezultatele calculate anterior, obținând egalitatea a două matrice.
    (3x−16x−1−3x+1−6x+1)=(−4−747)\displaystyle \begin{pmatrix}3x-1 & 6x-1\\ -3x+1 & -6x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -7\\ 4 & 7\end{pmatrix}
  6. Se egalează elementele corespunzătoare ale celor două matrice, obținând un sistem de ecuații, toate conducând la aceeași valoare a lui x\displaystyle x.
    3x−1=−4, 6x−1=−7, −3x+1=4, −6x+1=7, toate echivalente cu x=−1\displaystyle 3x-1=-4\text{, }6x-1=-7\text{, }-3x+1=4\text{, }-6x+1=7\text{, toate echivalente cu }x=-1
  7. Se verifică faptul că toate cele patru ecuații obținute conduc la aceeași soluție, deci soluția finală este x=−1\displaystyle x=-1.
    (3x−16x−1−3x+1−6x+1)=(−4−747), de unde obținem x=−1\displaystyle \begin{pmatrix}3x-1 & 6x-1\\ -3x+1 & -6x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -7\\ 4 & 7\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+mX−3\displaystyle f=X^3+2X^2+mX-3, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=0\displaystyle m=0, arătați că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la polinomul dat, în care coeficientul m\displaystyle m este necunoscut.
    f=X3+2X2+mX−3\displaystyle f=X^3+2X^2+mX-3
  2. Se înlocuiește m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0 în expresia polinomului, obținând forma particulară a acestuia.
    f=X3+2X2+0⋅X−3=X3+2X2−3\displaystyle f=X^3+2X^2+0\cdot X-3=X^3+2X^2-3
  3. Se calculează valoarea polinomului obținut în x=1\displaystyle x=1, înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în fiecare termen.
    f=X3+2X2−3⇒f(1)=13+2⋅12−3=\displaystyle f=X^3+2X^2-3\Rightarrow f(1)=1^3+2\cdot1^2-3=
  4. Se efectuează calculele: se ridică la putere, se înmulțește și se adună/scade termenii pentru a obține rezultatul final.
    =1+2−3=0\displaystyle =1+2-3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+mX−3\displaystyle f=X^3+2X^2+mX-3, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care polinomul f\displaystyle f este divizibil cu polinomul X+1\displaystyle X+1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția de divizibilitate: polinomul f\displaystyle f este divizibil cu X+1\displaystyle X+1 dacă și numai dacă f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, conform teoremei restului.
    f divizibil cu X+1  ⟺  f(−1)=0\displaystyle f\text{ divizibil cu }X+1\iff f(-1)=0
  2. Se calculează valoarea polinomului f\displaystyle f în x=−1\displaystyle x=-1, înlocuind X=−1\displaystyle X=-1 în expresia lui f\displaystyle f.
    f(−1)=(−1)3+2(−1)2+m(−1)−3\displaystyle f(-1)=(-1)^3+2(-1)^2+m(-1)-3
  3. Se efectuează calculele: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^{3}=-1, (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1, deci 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, iar m⋅(−1)=−m\displaystyle m\cdot(-1)=-m. Se adună constantele −1+2−3=−2\displaystyle -1+2-3=-2.
    f(−1)=−1+2−m−3=−m−2\displaystyle f(-1)=-1+2-m-3=-m-2
  4. Se pune condiția ca f(−1)\displaystyle f(-1) să fie egal cu 0\displaystyle 0, conform teoremei restului.
    −m−2=0\displaystyle -m-2=0
  5. Se rezolvă ecuația obținută pentru m\displaystyle m: se izolează m\displaystyle m și se schimbă semnul.
    −m−2=0, de unde obținem m=−2\displaystyle -m-2=0\text{, de unde obținem }m=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+2X2+mX−3\displaystyle f=X^3+2X^2+mX-3, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care (1−x1)(1−x2)(1−x3)=x1x2x3\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1x_2x_3, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile polinomului f\displaystyle f, deci putem scrie f(X)=(X−x1)(X−x2)(X−x3)\displaystyle f(X)=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3).
    f(X)=(X−x1)(X−x2)(X−x3)\displaystyle f(X)=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)
  2. Calculăm valoarea polinomului în X=1\displaystyle X=1, înlocuind direct în expresia lui f\displaystyle f.
    f(1)=13+2⋅12+m⋅1−3=m\displaystyle f(1)=1^3+2\cdot1^2+m\cdot1-3=m
  3. Pe de altă parte, din scrierea lui f\displaystyle f ca produs de factori liniari, f(1)\displaystyle f(1) se poate exprima ca produsul (1−x1)(1−x2)(1−x3)\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3). Comparând cu rezultatul de la pasul anterior, obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice m\displaystyle m real.
    (1−x1)(1−x2)(1−x3)=f(1)=m, pentru orice numa˘r real m\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=f(1)=m\text{, pentru orice număr real }m
  4. Aplicăm relațiile lui Viète pentru polinomul f=X3+2X2+mX−3\displaystyle f=X^3+2X^2+mX-3: produsul rădăcinilor este dat de raportul dintre termenul liber și coeficientul dominant, cu semn schimbat.
    x1x2x3=−−31=3\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{-3}{1}=3
  5. Conform condiției din enunț, produsul (1−x1)(1−x2)(1−x3)\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3) trebuie să fie egal cu produsul rădăcinilor x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3. Folosind rezultatele obținute la pașii anteriori, m=(1−x1)(1−x2)(1−x3)=x1x2x3=3\displaystyle m=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1x_2x_3=3, deci obținem valoarea căutată a lui m\displaystyle m.
    x1x2x3=3, deci m=3\displaystyle x_1x_2x_3=3\text{, deci }m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=3x2x2+x−2\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}.

Arătați că f′(x)=3x(x−4)(x2+x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile care se derivează prin regula câtului: numărătorul u(x)=3x2\displaystyle u(x)=3x^{2} și numitorul v(x)=x2+x−2\displaystyle v(x)=x^{2}+x-2, apoi se calculează derivatele lor.
    u(x)=3x2\displaystyle u(x)=3x^2, u′(x)=6x;v(x)=x2+x−2\displaystyle \ u'(x)=6x;\quad v(x)=x^2+x-2, v′(x)=2x+1\displaystyle \ v'(x)=2x+1
  2. Se aplică formula de derivare a câtului: f′(x)=u′v−uv′v2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, înlocuind expresiile găsite anterior.
    f′(x)=6x(x2+x−2)−3x2(2x+1)(x2+x−2)2=\displaystyle f'(x)=\frac{6x(x^2+x-2)-3x^2(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}=
  3. Se dezvoltă parantezele din numărător, calculând separat cei doi termeni ai diferenței.
    6x(x2+x−2)=6x3+6x2−12x, 3x2(2x+1)=6x3+3x2\displaystyle 6x(x^2+x-2)=6x^3+6x^2-12x\text{, }\quad 3x^2(2x+1)=6x^3+3x^2
  4. Se scad cei doi termeni obținuți, reducând monoamele asemenea din numărător.
    6x3+6x2−12x−(6x3+3x2)=3x2−12x\displaystyle 6x^3+6x^2-12x-\left(6x^3+3x^2\right)=3x^2-12x
  5. Se scrie forma numărătorului obținut și se dă factor comun x, obținând forma finală simplificată a derivatei, valabilă pe domeniul de definiție al funcției.
    =3x2−12x(x2+x−2)2=3x(x−4)(x2+x−2)2, x∈(1,+∞)\displaystyle =\frac{3x^2-12x}{(x^2+x-2)^2}=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=3x2x2+x−2\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a determina asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty a graficului funcției f\displaystyle f, se calculează limita funcției atunci când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Dacă această limită este finită, dreapta orizontală corespunzătoare este asimptotă.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3x2x2+x−2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2+x-2}
  2. Se observă că atât numărătorul, cât și numitorul sunt polinoame de gradul 2\displaystyle 2, deci pentru calculul limitei la infinit se împarte fiecare termen al fracției la x2\displaystyle x^2 (puterea cea mai mare de x\displaystyle x ce apare).
    3x2x2+x−2=31+1x−2x2\displaystyle \frac{3x^2}{x^2+x-2}=\frac{3}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}
  3. Se trece la limită: cum x→+∞\displaystyle x\to+\infty, termenii 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și 2x2\displaystyle \dfrac{2}{x^2} tind către 0\displaystyle 0, deci limita se calculează direct.
    lim⁡x→+∞31+1x−2x2=31+0−0=3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{3}{1+0-0}=3
  4. Deoarece limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită și egală cu 3\displaystyle 3, conform criteriului de existență a asimptotei orizontale, dreapta y=3\displaystyle y=3 este asimptotă orizontală a graficului funcției f\displaystyle f spre +∞\displaystyle +\infty.
    Dreapta de ecuație y=3 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=3\text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=3x2x2+x−2\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}.

Demonstrați că f(x)+f(x2)≥173\displaystyle f(x)+f(x^2)\geq \dfrac{17}{3}, pentru orice x∈(1,2]\displaystyle x\in(1,2].
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se observă domeniul de definiție, factorizând numitorul.
    f(x)=3x2x2+x−2=3x2(x−1)(x+2)\displaystyle f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}=\dfrac{3x^2}{(x-1)(x+2)}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
  2. Se calculează derivata funcției folosind regula de derivare a câtului.
    f′(x)=6x(x2+x−2)−3x2(2x+1)(x2+x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x(x^2+x-2)-3x^2(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}
  3. Se simplifică numărătorul derivatei.
    f′(x)=6x3+6x2−12x−6x3−3x2(x2+x−2)2=3x2−12x(x2+x−2)2=3x(x−4)(x2+x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x^3+6x^2-12x-6x^3-3x^2}{(x^2+x-2)^2}=\dfrac{3x^2-12x}{(x^2+x-2)^2}=\dfrac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}
  4. Se analizează semnul derivatei pe intervalul (1,4]\displaystyle (1,4]: numărătorul 3x(x−4)\displaystyle 3x(x-4) este negativ sau nul, iar numitorul (x2+x−2)2\displaystyle (x^2+x-2)^2 este strict pozitiv pentru x>1\displaystyle x>1, deci derivata este negativă sau nulă pe acest interval, ceea ce arată că funcția este descrescătoare.
    f′(x)≤0, pentru orice x∈(1,4]⇒f este descresca˘toare pe (1,4]\displaystyle f'(x)\leq0\text{, pentru orice }x\in(1,4]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(1,4]
  5. Se calculează valorile particulare f(2)\displaystyle f(2) și f(4)\displaystyle f(4), necesare pentru a folosi monotonia funcției.
    f(2)=3⋅44+2−2=124=3 și f(4)=3⋅1616+4−2=4818=83\displaystyle f(2)=\dfrac{3\cdot4}{4+2-2}=\dfrac{12}{4}=3\text{ și }f(4)=\dfrac{3\cdot16}{16+4-2}=\dfrac{48}{18}=\dfrac{8}{3}
  6. Pentru x\displaystyle x în intervalul (1,2]\displaystyle (1,2], observăm că x2\displaystyle x^2 aparține intervalului (1,4]\displaystyle (1,4]. Folosind faptul că f\displaystyle f este descrescătoare pe (1,4]\displaystyle (1,4], deducem că f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\geq f(2) și f(x2)≥f(4)\displaystyle f(x^2)\geq f(4), iar prin înlocuirea valorilor calculate obținem inegalitatea cerută pentru suma f(x)+f(x2)\displaystyle f(x)+f(x^2).
    1<x≤2⇒1<x2≤4, deci f(x)≥f(2) și f(x2)≥f(4) și, cum f(2)=3 și f(4)=83, obținem f(x)+f(x2)≥173, pentru orice x∈(1,2]\displaystyle 1<x\leq2\Rightarrow 1<x^2\leq4\text{, deci }f(x)\geq f(2)\text{ și }f(x^2)\geq f(4)\text{ și, cum }f(2)=3\text{ și }f(4)=\frac{8}{3}\text{, obținem }f(x)+f(x^2)\geq\frac{17}{3}\text{, pentru orice }x\in(1,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=x(x-1)^2.

Arătați că ∫37f(x)(x−1)2 dx=20\displaystyle \displaystyle\int_{3}^{7}\frac{f(x)}{(x-1)^2}\,dx=20.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f și se calculează raportul de sub integrală, folosind f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=x(x-1)^{2}.
    f(x)(x−1)2=x(x−1)2(x−1)2\displaystyle \frac{f(x)}{(x-1)^2}=\frac{x(x-1)^2}{(x-1)^2}
  2. Se simplifică fracția prin (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2}, valabil pentru x≠1\displaystyle x\neq 1 (condiție îndeplinită pe intervalul [3,7]\displaystyle [3,7]).
    f(x)(x−1)2=x\displaystyle \frac{f(x)}{(x-1)^2}=x
  3. Se înlocuiește în integrală și se calculează o primitivă a funcției x\displaystyle x, obținând integrala nedefinită x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, apoi se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul [3,7]\displaystyle [3,7].
    ∫37f(x)(x−1)2dx=∫37x dx=x22∣37=\displaystyle \int_{3}^{7}\frac{f(x)}{(x-1)^2}dx=\int_{3}^{7}x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_{3}^{7}=
  4. Se calculează valorile primitivei la capetele intervalului: pentru x=7\displaystyle x=7 se obține 492\displaystyle \dfrac{49}{2}, iar pentru x=3\displaystyle x=3 se obține 92\displaystyle \dfrac{9}{2}.
    722−322=492−92\displaystyle \frac{7^2}{2}-\frac{3^2}{2}=\frac{49}{2}-\frac{9}{2}
  5. Se efectuează scăderea fracțiilor și se obține rezultatul final al integralei.
    492−92=20\displaystyle \frac{49}{2}-\frac{9}{2}=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=x(x-1)^2.

Arătați că ∫23xf(x) dx=12\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{3}\frac{x}{f(x)}\,dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit funcția f(x)\displaystyle f(x) și se simplifică fracția de sub integrală: xf(x)=xx(x−1)2=1(x−1)2\displaystyle \dfrac{x}{f(x)} = \dfrac{x}{x(x-1)^2} = \dfrac{1}{(x-1)^2}, pentru x\displaystyle x diferit de 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1 (condiții îndeplinite pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3]).
    xf(x)=xx(x−1)2=1(x−1)2\displaystyle \frac{x}{f(x)}=\frac{x}{x(x-1)^2}=\frac{1}{(x-1)^2}
  2. Se observă că (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1, deci putem scrie integrandul ca (x−1)′(x−1)2\displaystyle \dfrac{(x-1)'}{(x-1)^2}, care este derivata funcției −1x−1\displaystyle -\dfrac{1}{x-1}. Se calculează integrala folosind formula Leibniz-Newton, adică antiderivata evaluată între limitele 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3.
    ∫23xf(x)dx=∫23(x−1)′(x−1)2dx=−1x−1∣23=\displaystyle \int_{2}^{3}\frac{x}{f(x)}dx=\int_{2}^{3}\frac{(x-1)'}{(x-1)^2}dx=-\frac{1}{x-1}\Big|_{2}^{3}=
  3. Se înlocuiesc limitele de integrare în antiderivata găsită și se efectuează calculele.
    −13−1−(−12−1)=−12+1\displaystyle -\frac{1}{3-1}-\left(-\frac{1}{2-1}\right)=-\frac{1}{2}+1
  4. Se simplifică expresia obținută pentru a ajunge la valoarea finală a integralei.
    =−12+1=12\displaystyle =-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=x(x-1)^2.

Arătați că ∫01xf(ex)ex dx=e2−54\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x f(e^x)}{e^x}\,dx=\frac{e^2-5}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează explicit f(ex)\displaystyle f(e^{x}) folosind definiția funcției f(x)=x(x−1)2\displaystyle f(x)=x(x-1)^{2}, înlocuind x\displaystyle x cu ex\displaystyle e^{x}.
    f(ex)=ex(ex−1)2\displaystyle f(e^x)=e^x(e^x-1)^2
  2. Se simplifică raportul f(ex)ex\displaystyle \dfrac{f(e^{x})}{e^{x}}, eliminând factorul ex\displaystyle e^{x}, apoi se înmulțește cu x\displaystyle x pentru a obține expresia de sub integrală.
    xf(ex)ex=x(ex−1)2\displaystyle \frac{xf(e^x)}{e^x}=x(e^x-1)^2
  3. Se dezvoltă pătratul (ex−1)2\displaystyle (e^x-1)^2 și se scrie integrala sub forma echivalentă folosind o primitivă cunoscută pentru e2x−2ex\displaystyle e^{2x}-2e^x, plus termenul provenit din constanta 1, care conduce la x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}.
    ∫01xf(ex)exdx=∫01x(ex−1)2dx=∫01x(e2x2−2ex)′dx+x22∣01=\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{xf(e^x)}{e^x}dx=\int_{0}^{1}x(e^x-1)^2dx=\int_{0}^{1}x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)'dx+\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1}=
  4. Se aplică formula de integrare prin părți pentru ∫x⋅(e2x2−2ex)′dx\displaystyle \int x \cdot (\dfrac{e^{2x}}{2}-2e^x)'dx, obținând termenul x(e2x2−2ex)\displaystyle x(\dfrac{e^{2x}}{2}-2e^x) evaluat pe [0,1]\displaystyle [0,1] minus integrala primitivei e2x4−2ex\displaystyle \dfrac{e^{2x}}{4}-2e^x evaluată pe același interval.
    =x(e2x2−2ex)∣01−(e2x4−2ex)∣01+12\displaystyle =x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)\Big|_{0}^{1}-\left(\frac{e^{2x}}{4}-2e^x\right)\Big|_{0}^{1}+\frac{1}{2}
  5. Se evaluează fiecare termen la capetele intervalului [0,1]\displaystyle [0,1]: x(e2x2−2ex)\displaystyle x(\dfrac{e^{2x}}{2}-2e^x) devine e22−2e\displaystyle \dfrac{e^2}{2}-2e la x=1\displaystyle x=1 și 0\displaystyle 0 la x=0\displaystyle x=0; e2x4−2ex\displaystyle \dfrac{e^{2x}}{4}-2e^x devine e24−2e\displaystyle \dfrac{e^2}{4}-2e la x=1\displaystyle x=1 și 14−2\displaystyle \dfrac{1}{4}-2 la x=0\displaystyle x=0. Se adună și termenul 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, obținând rezultatul final simplificat.
    =x(e2x2−2ex)∣01−(e2x4−2ex)∣01+12=e2−54\displaystyle =x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)\Big|_{0}^{1}-\left(\frac{e^{2x}}{4}-2e^x\right)\Big|_{0}^{1}+\frac{1}{2}=\frac{e^2-5}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.