Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, sesiunea I rezervă varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle b_4

al progresiei geometrice

\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}

, știind că

\displaystyle b_5=6

și

\displaystyle b_6=18

.

Vezi rezolvarea

Într-o progresie geometrică, pătratul unui termen este produsul termenilor vecini. Pentru $\displaystyle b_4, b_5, b_6$ avem $\displaystyle b_5^{2}=b_4\cdot b_6$ .
$\displaystyle b_5^{2}=b_4\cdot b_6$
Înlocuim $\displaystyle b_5=6$ și $\displaystyle b_6=18$ în relație: $\displaystyle 6^{2}=b_4\cdot 18$ , adică $\displaystyle 36=18b_4$ .
$\displaystyle 36=18b_4$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 18$ : $\displaystyle b_4=\dfrac{36}{18}=2$ . Verificare: rația este $\displaystyle q=\dfrac{18}{6}=3$ , iar $\displaystyle b_4=\dfrac{6}{3}=2$ .
$\displaystyle b_4=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+x-4

. Determinați numerele reale

\displaystyle m

, știind că

\displaystyle f(m)=m

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle m$ în expresia funcției: $\displaystyle f(m)=m^2+m-4$ .
$\displaystyle f(m)=m^{2}+m-4$
Din condiția $\displaystyle f(m)=m$ obținem ecuația $\displaystyle m^2+m-4=m$ .
$\displaystyle m^{2}+m-4=m$
Scădem $\displaystyle m$ din ambii membri; termenii $\displaystyle m$ se reduc și rămâne $\displaystyle m^2-4=0$ .
$\displaystyle m^{2}+m-4=m\Leftrightarrow m^{2}-4=0$
Ecuația se scrie $\displaystyle m^2=4$ , adică $\displaystyle (m-2)(m+2)=0$ , de unde $\displaystyle m=-2$ sau $\displaystyle m=2$ .
$\displaystyle m=-2\text{ sau }m=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 100\cdot 10^{2x}=10^{3x}

.

Vezi rezolvarea

Scriem numărul $\displaystyle 100$ ca putere a lui $\displaystyle 10$ : $\displaystyle 100=10^{2}$ .
$\displaystyle 100=10^{2}$
Înlocuim în ecuație și folosim regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, adică adunăm exponenții: $\displaystyle 10^{2}\cdot 10^{2x}=10^{2x+2}$ . Ecuația devine $\displaystyle 10^{2x+2}=10^{3x}$ .
$\displaystyle 10^{2x+2}=10^{3x}$
Funcția exponențială de bază $\displaystyle 10$ este injectivă, deci două puteri ale lui $\displaystyle 10$ sunt egale doar dacă exponenții sunt egali: $\displaystyle 10^{2x+2}=10^{3x}\Leftrightarrow 2x+2=3x$ .
$\displaystyle 2x+2=3x$
Rezolvăm ecuația de gradul întâi: mutăm termenul $\displaystyle 2x$ în membrul drept și obținem $\displaystyle 2=3x-2x$ , deci $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea

\displaystyle \{0,1,2,3,4\}

.

Vezi rezolvarea

Scriem numărul de două cifre sub forma $\displaystyle \overline{ab}$ , cu $\displaystyle a$ cifra zecilor și $\displaystyle b$ cifra unităților. Cifrele provin din mulțimea $\displaystyle \{0,1,2,3,4\}$ și se pot repeta. Numărul este de două cifre, deci cifra zecilor trebuie să fie diferită de $\displaystyle 0$ : $\displaystyle a\neq 0$ .
$\displaystyle \overline{ab}$ , $\displaystyle \ a\in\{1,2,3,4\}$ , $\displaystyle \ b\in\{0,1,2,3,4\}$
Numărul este par dacă și numai dacă ultima cifră este pară. Cifrele pare din mulțime sunt $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 4$ , deci cifra unităților se poate alege în $\displaystyle 3$ moduri.
$\displaystyle b\in\{0,2,4\}\Rightarrow 3\text{ moduri}$
Cifra zecilor trebuie să fie nenulă, deci poate fi $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ sau $\displaystyle 4$ . Rezultă $\displaystyle 4$ moduri de alegere, independent de cifra unităților.
$\displaystyle a\in\{1,2,3,4\}\Rightarrow 4\text{ moduri}$
Aplicăm regula produsului: numărul total de numere este produsul dintre numărul de alegeri pentru cifra unităților și numărul de alegeri pentru cifra zecilor. Se pot forma $\displaystyle 12$ numere.
$\displaystyle 3\cdot 4=12\text{ numere}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-4,0)

,

\displaystyle B(4,0)

și

\displaystyle C(0,4)

. Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Centrul cercului circumscris este punctul egal depărtat de cele trei vârfuri. Observăm că vârfurile sunt pe axe, la distanță $\displaystyle 4$ de origine, deci calculăm distanțele de la originea $\displaystyle O(0,0)$ la $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ .
$\displaystyle O(0,0)$
Calculăm distanța de la $\displaystyle O$ la $\displaystyle A$ cu formula distanței dintre două puncte: $\displaystyle OA=\sqrt{(-4-0)^{2}+(0-0)^{2}}$ .
$\displaystyle OA=\sqrt{16+0}=4$
Calculăm la fel $\displaystyle OB=\sqrt{4^{2}+0^{2}}$ și $\displaystyle OC=\sqrt{0^{2}+4^{2}}$ . Obținem trei distanțe egale.
$\displaystyle OA=4$ , $\displaystyle \ OB=4$ , $\displaystyle \ OC=4$
Deoarece originea este egal depărtată de $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ , ea este centrul cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ , iar raza cercului este $\displaystyle 4$ . Deci centrul are coordonatele:
$\displaystyle x=0$ , $\displaystyle \ y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sin 2x=1

, știind că

\displaystyle \operatorname{tg} x=1

și

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Căutăm în intervalul $\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ unghiul pentru care tangenta este $\displaystyle 1$ . Știm că $\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1$ , iar pe acest interval funcția tangentă este strict crescătoare, deci soluția este unică.
$\displaystyle \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$
Deoarece $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle \operatorname{tg}x=1$ , obținem $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$
Înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ în $\displaystyle \sin 2x$ . Dublul lui $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ este $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ .
$\displaystyle \sin 2x=\sin\frac{2\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{2}$
Cum $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{2}=1$ , obținem $\displaystyle \sin 2x=1$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle \sin 2x=\sin\frac{2\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{2}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & 3 \\ -1 & x-2 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(0))=-1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ în matricea $\displaystyle A(x)$ : elementele devin $\displaystyle 0+2=2$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 0-2=-2$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$
Scriem determinantul de ordinul doi ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$ .
$\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2&3\\-1&-2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(-1)\cdot 3$
Calculăm produsele: $\displaystyle 2\cdot(-2)=-4$ , iar $\displaystyle (-1)\cdot 3=-3$ , deci scăderea lui $\displaystyle -3$ înseamnă adunarea lui $\displaystyle 3$ . Obținem $\displaystyle -4+3=-1$ , adică exact valoarea cerută.
$\displaystyle -4+3=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & 3 \\ -1 & x-2 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle x

pentru care matricea

\displaystyle A(x)

este inversabilă.

Vezi rezolvarea

O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Calculăm deci $\displaystyle \det(A(x))$ .
$\displaystyle A(x)\text{ inversabilă}\iff \det(A(x))\neq 0$
Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \det(A(x))=(x+2)(x-2)-3\cdot(-1)$ .
$\displaystyle \det(A(x))=(x+2)(x-2)-3\cdot(-1)$
Aplicăm formula diferenței de pătrate: $\displaystyle (x+2)(x-2)=x^{2}-4$ . Apoi $\displaystyle -3\cdot(-1)=3$ , deci obținem $\displaystyle x^{2}-4+3=x^{2}-1$ .
$\displaystyle \det(A(x))=x^{2}-4+3=x^{2}-1$
Impunem condiția de inversabilitate: $\displaystyle x^{2}-1\neq 0$ . Rezolvăm ecuația $\displaystyle x^{2}-1=0$ , care se scrie $\displaystyle (x-1)(x+1)=0$ , deci $\displaystyle x=1$ sau $\displaystyle x=-1$ . Acestea sunt valorile pentru care matricea nu este inversabilă.
$\displaystyle x^{2}-1=0\iff x=-1\text{ sau }x=1$
Matricea este inversabilă pentru toate valorile reale ale lui $\displaystyle x$ , mai puțin $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & 3 \\ -1 & x-2 \end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Se consideră numerele reale

\displaystyle a

,

\displaystyle b

și

\displaystyle c

, astfel încât

\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(c)

. Demonstrați că

\displaystyle a^2+b^2+2c=3

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A(a)\cdot A(b)$ , înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix} a+2 & 3 \\ -1 & a-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b+2 & 3 \\ -1 & b-2 \end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} (a+2)(b+2)-3 & 3(a+2)+3(b-2) \\ -(b+2)-(a-2) & -3+(a-2)(b-2) \end{pmatrix}$
Efectuăm calculele din fiecare element: $\displaystyle (a+2)(b+2)-3=ab+2a+2b+1$ , $\displaystyle 3(a+2)+3(b-2)=3a+3b$ , $\displaystyle -(b+2)-(a-2)=-a-b$ , $\displaystyle -3+(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+1$ .
$\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix} ab+2a+2b+1 & 3a+3b \\ -a-b & ab-2a-2b+1 \end{pmatrix}$
Egalăm elementele de pe linia 1, coloana 2 din $\displaystyle A(a)A(b)$ și din $\displaystyle A(c)$ , care este $\displaystyle 3$ : $\displaystyle 3a+3b=3$ . Deci $\displaystyle a+b=1$ . Elementul de pe linia 2, coloana 1 dă aceeași condiție: $\displaystyle -a-b=-1$ .
$\displaystyle 3a+3b=3\Rightarrow a+b=1$
Egalăm elementele de pe linia 1, coloana 1: $\displaystyle c+2=ab+2a+2b+1=ab+2(a+b)+1$ . Cum $\displaystyle a+b=1$ , obținem $\displaystyle c+2=ab+3$ , deci $\displaystyle c=ab+1$ . Verificare: pe linia 2, coloana 2, $\displaystyle c-2=ab-2(a+b)+1=ab-1$ dă același rezultat.
$\displaystyle a+b=1\text{ și }c=ab+1$
Înlocuim $\displaystyle c=ab+1$ în expresia $\displaystyle a^2+b^2+2c$ : $\displaystyle a^2+b^2+2c=a^2+b^2+2(ab+1)=a^2+2ab+b^2+2$ .
$\displaystyle a^2+b^2+2c=a^2+2ab+b^2+2$
Folosim formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ și $\displaystyle a+b=1$ : $\displaystyle a^2+2ab+b^2+2=(a+b)^2+2=1^2+2=3$ . Deci $\displaystyle a^2+b^2+2c=3$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle a^2+b^2+2c=a^2+b^2+2ab+2=(a+b)^2+2=1+2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[-1,1]

se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}

.

Arătați că

\displaystyle 0\circ 1=1

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția $\displaystyle x\circ y=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$ și înlocuim $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle y=1$ .
$\displaystyle 0\circ 1=0\cdot\sqrt{1-1^2}+1\cdot\sqrt{1-0^2}$
Calculăm sub radicali: $\displaystyle 1-1^2=0$ și $\displaystyle 1-0^2=1$ , deci obținem expresia din barem.
$\displaystyle 0\circ 1=0\cdot\sqrt{1-1}+1\cdot\sqrt{1-0}=0\cdot\sqrt{0}+1\cdot\sqrt{1}$
Primul termen este $\displaystyle 0$ , pentru că $\displaystyle 0\cdot\sqrt{0}=0$ , iar $\displaystyle \sqrt{1}=1$ . Adunăm termenii și obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle 0+1=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[-1,1]

se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}

.

Determinați

\displaystyle x\in M

pentru care

\displaystyle x\circ x=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție pentru $\displaystyle y=x$ , adică înlocuim $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ în $\displaystyle x\circ y=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$ .
$\displaystyle x\circ x=x\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-x^2}$
Cei doi termeni sunt egali, deci îi adunăm: $\displaystyle x\circ x=2x\sqrt{1-x^2}$ .
$\displaystyle x\circ x=2x\sqrt{1-x^2}$
Impunem condiția $\displaystyle x\circ x=0$ și obținem ecuația $\displaystyle 2x\sqrt{1-x^2}=0$ .
$\displaystyle 2x\sqrt{1-x^2}=0$
Un produs este nul dacă cel puțin un factor este nul. Factorul $\displaystyle 2$ nu se anulează, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle \sqrt{1-x^2}=0$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }\sqrt{1-x^2}=0$
Rezolvăm a doua ecuație: $\displaystyle \sqrt{1-x^2}=0$ implică $\displaystyle 1-x^2=0$ , deci $\displaystyle x^2=1$ , adică $\displaystyle x=-1$ sau $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1$
Verificăm că soluțiile aparțin mulțimii $\displaystyle M=[-1,1]$ : valorile $\displaystyle -1$ , $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ sunt în interval, deci convin.
$\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle \ x=0\text{ sau }x=1\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[-1,1]

se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ\sqrt{1-x^2}=1

, pentru orice

\displaystyle x\in[0,1]

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle 1-x^2\geq 0$ , deci $\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}$ este bine definit și $\displaystyle y\in[0,1]\subset M$ . Aplicăm definiția legii: $\displaystyle x\circ y=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$ .
$\displaystyle x\circ\sqrt{1-x^2}=x\sqrt{1-\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2}+\sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-x^2}$
Avem $\displaystyle \left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=1-x^2$ , deci $\displaystyle 1-\left(1-x^2\right)=x^2$ . De asemenea, $\displaystyle \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-x^2}=1-x^2$ , pentru că $\displaystyle 1-x^2\geq 0$ . Și $\displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$ , deci obținem expresia de mai jos.
$\displaystyle x\circ\sqrt{1-x^2}=x\sqrt{x^2}+1-x^2=x|x|+1-x^2$
Cum $\displaystyle x\geq 0$ , avem $\displaystyle |x|=x$ , deci $\displaystyle x|x|=x^2$ . Înlocuim și reducem termenii: $\displaystyle x^2+1-x^2=1$ . Așadar $\displaystyle x\circ\sqrt{1-x^2}=1$ , pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$ .
$\displaystyle x\circ\sqrt{1-x^2}=x^2+1-x^2=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x+x\ln x-1

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=e^x+\ln x+1

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=e^x+x\ln x-1$ este o sumă de termeni, deci o derivăm termen cu termen. Pentru produsul $\displaystyle x\ln x$ folosim regula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .
$\displaystyle f'(x)=(e^x)'+(x\ln x)'-1'$
Aplicăm regula produsului pentru $\displaystyle x\ln x$ și obținem derivata scrisă pe termeni.
$\displaystyle f'(x)=(e^x)'+x'\cdot\ln x+x\cdot(\ln x)'-1'$
Folosim derivatele cunoscute: $\displaystyle (e^x)'=e^x$ , $\displaystyle x'=1$ , $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle 1'=0$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x+1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}-0$
Simplificăm: $\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1$ , deoarece $\displaystyle x>0$ . Obținem expresia cerută, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x+\ln x+1$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x+x\ln x-1

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=1

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$ . Avem nevoie de $\displaystyle f(1)$ și de $\displaystyle f'(1)$ .
$\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$
Calculăm $\displaystyle f(1)=e^{1}+1\cdot\ln 1-1$ . Deoarece $\displaystyle \ln 1=0$ , obținem $\displaystyle f(1)=e-1$ .
$\displaystyle f(1)=e-1$
Derivăm funcția: $\displaystyle (e^x)'=e^x$ , $\displaystyle (x\ln x)'=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$ , iar $\displaystyle (-1)'=0$ . Rezultă $\displaystyle f'(x)=e^x+\ln x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x+\ln x+1$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle f'(1)=e+\ln 1+1=e+0+1=e+1$ .
$\displaystyle f(1)=e-1$ , $\displaystyle \ f'(1)=e+1$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle y-(e-1)=(e+1)(x-1)$ .
$\displaystyle y-(e-1)=(e+1)(x-1)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle y=(e+1)x-(e+1)+(e-1)$ . Reducem termenii: $\displaystyle -(e+1)+(e-1)=-2$ , deci tangenta are ecuația $\displaystyle y=(e+1)x-2$ .
$\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=(e+1)x-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x+x\ln x-1

.

Demonstrați că

\displaystyle e^x+x\ln x\ge\sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}

, pentru orice

\displaystyle x\in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția $\displaystyle f(x)=e^x+x\ln x-1$ . Derivata produsului este $\displaystyle (x\ln x)'=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$ , deci:
$\displaystyle f'(x)=e^x+\ln x+1$
Pentru $\displaystyle x\ge\dfrac{1}{2}$ funcția $\displaystyle \ln$ este crescătoare, deci $\displaystyle \ln x\ge\ln\dfrac{1}{2}$ . Adunăm 1 și folosim $\displaystyle 1=\ln e$ : $\displaystyle \ln x+1\ge\ln\dfrac{1}{2}+\ln e=\ln\dfrac{e}{2}$ .
$\displaystyle f'(x)\ge e^x+\ln\frac{e}{2}$
Cum $\displaystyle \dfrac{e}{2}>1$ , avem $\displaystyle \ln\dfrac{e}{2}>0$ . Așadar $\displaystyle f'(x)\ge e^x+\ln\dfrac{e}{2}>e^x>0$ pentru orice $\displaystyle x\ge\dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ .
$\displaystyle f'(x)\ge e^x+\ln\frac{e}{2}>e^x>0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$
Calculăm $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\right)=e^{\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1}{2}-1$ , iar $\displaystyle e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$ .
$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}-1$
Deoarece $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ , pentru $\displaystyle x\ge\dfrac{1}{2}$ avem $\displaystyle f(x)\ge f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , adică $\displaystyle e^x+x\ln x-1\ge\sqrt{e}+\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1}{2}-1$ . Adunând 1 în ambii membri se obține inegalitatea de demonstrat.
$\displaystyle e^x+x\ln x\ge\sqrt{e}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+2}\,dx=\frac{17}{6}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ cu expresia dată: integrandul este $\displaystyle \left(\sqrt{x^2+2}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)\sqrt{x^2+2}$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(\sqrt{x^2+2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\right)\sqrt{x^2+2}\,dx$
Distribuim factorul $\displaystyle \sqrt{x^2+2}$ : $\displaystyle \sqrt{x^2+2}\cdot\sqrt{x^2+2}=x^2+2$ , iar $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}\cdot\sqrt{x^2+2}=x$ . Integrandul este deci un polinom.
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+2}\,dx=\int_0^1\left(x^2+2+x\right)dx$
Integrăm termen cu termen: $\displaystyle \displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}$ , $\displaystyle \displaystyle\int 2\,dx=2x$ , $\displaystyle \displaystyle\int x\,dx=\dfrac{x^2}{2}$ .
$\displaystyle \left(\frac{x^3}{3}+2x+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1$
Evaluăm primitiva în $\displaystyle 1$ și în $\displaystyle 0$ . În $\displaystyle 0$ toți termenii se anulează, deci rămâne doar valoarea în $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \frac{1}{3}+2+\frac{1}{2}$
Aducem la numitorul comun $\displaystyle 6$ : $\displaystyle \dfrac{2}{6}+\dfrac{12}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{17}{6}$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \frac{1}{3}+2+\frac{1}{2}=\frac{2+12+3}{6}=\frac{17}{6}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}

.

Demonstrați că orice primitivă a funcției

\displaystyle f

este crescătoare pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle F$ o primitivă oarecare a lui $\displaystyle f$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Atunci $\displaystyle F$ este derivabilă și $\displaystyle F'(x)=f(x)$ . Pentru a studia monotonia lui $\displaystyle F$ , studiem semnul lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)=\sqrt{x^2+2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle \sqrt{x^2+2}=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+2}\right)^2}{\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}$ . Atunci adunăm fracțiile care au același numitor.
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}=\frac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+2}}$
Numitorul $\displaystyle \sqrt{x^2+2}$ este strict pozitiv pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , deoarece $\displaystyle x^2+2\geq 2$ . Pentru numărător, trinomul $\displaystyle x^2+x+2$ are discriminantul $\displaystyle \Delta=1-8=-7<0$ , iar coeficientul lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle 1>0$ , deci trinomul este strict pozitiv pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 2=-7<0\text{, deci }x^2+x+2>0\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}$
Fiind raportul a două numere strict pozitive, $\displaystyle F'(x)>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Prin urmare $\displaystyle F$ este strict crescătoare, deci crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Cum $\displaystyle F$ a fost o primitivă oarecare a lui $\displaystyle f$ , concluzia este valabilă pentru orice primitivă a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F'(x)>0\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}

.

Se consideră funcția

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)-\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}

. Determinați

\displaystyle a\in(0,+\infty)

pentru care

\displaystyle \int_0^1 g(x)\,dx=\frac{\sqrt{3}}{2}+\ln\frac{a+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

.

Vezi rezolvarea

Simplificăm funcția $\displaystyle g$ . Fracția din $\displaystyle f$ se reduce cu cea scăzută, deci $\displaystyle g(x)=\sqrt{x^{2}+2}$ .
$\displaystyle g(x)=\sqrt{x^{2}+2}$
Integrăm prin părți: alegem $\displaystyle u=\sqrt{x^{2}+2}$ și $\displaystyle dv=dx$ , deci $\displaystyle du=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}dx$ și $\displaystyle v=x$ . Rezultă o relație pentru integrala lui $\displaystyle g$ .
$\displaystyle I=x\sqrt{x^{2}+2}-\int \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}\,dx$
Scriem $\displaystyle x^{2}=(x^{2}+2)-2$ . Atunci $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}=\sqrt{x^{2}+2}-\dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+2}}$ , deci integrala de mai sus este $\displaystyle I-2\int\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}dx$ .
$\displaystyle I=x\sqrt{x^{2}+2}-I+2\int \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}\,dx$
Folosim $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}dx=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+2}\right)+C$ . Din $\displaystyle 2I=x\sqrt{x^{2}+2}+2\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+2}\right)$ obținem primitiva lui $\displaystyle g$ .
$\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{x^{2}+2}+2\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+2}\right)\right)+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton. În $\displaystyle 1$ valoarea este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3}+2\ln(1+\sqrt{3})\right)$ , iar în $\displaystyle 0$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2\ln\sqrt{2}=\ln\sqrt{2}$ . Diferența este $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\ln(1+\sqrt{3})-\ln\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \int_0^1 g(x)\,dx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\ln\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Egalăm cu expresia din enunț: $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\ln\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\ln\dfrac{a+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ . Logaritmul este injectiv, deci $\displaystyle a+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}$ , adică $\displaystyle a=1$ , care aparține lui $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle a=1\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2021, sesiunea I rezervă varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani