Bac matematică M2 științe ale naturii 2026, sesiunea I varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

(4, 9 - 3, 4) : 3 + 2, 5 = 3.

Vezi rezolvarea

Se calculează mai întâi paranteza, conform priorității operațiilor: $\displaystyle 4,9 - 3,4$ .
$\displaystyle 4$ , $\displaystyle 9-3$ , $\displaystyle 4=1$ , $\displaystyle 5$
Se înlocuiește rezultatul parantezei în expresia inițială, obținându-se o nouă expresie de calculat.
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle 5:3+2$ , $\displaystyle 5$
Se efectuează împărțirea, care are prioritate față de adunare.
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle 5:3=0$ , $\displaystyle 5$
Se efectuează adunarea rezultatului obținut cu $\displaystyle 2,5$ , ajungând la rezultatul final.
$\displaystyle 0$ , $\displaystyle 5+2$ , $\displaystyle 5=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-21

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care punctul

\displaystyle A(-3a,a)

aparține graficului funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Punem condiția ca punctul $\displaystyle A(-3a,a)$ să aparțină graficului funcției $\displaystyle f$ , adică ordonata $\displaystyle a$ să fie egală cu valoarea funcției calculată în abscisa $\displaystyle -3a$ .
$\displaystyle f(-3a)=a$
Calculăm $\displaystyle f(-3a)$ înlocuind $\displaystyle x=-3a$ în expresia funcției $\displaystyle f(x)=2x-21$ .
$\displaystyle f(-3a)=2\cdot(-3a)-21=-6a-21$
Scriem ecuația obținută prin egalarea lui $\displaystyle f(-3a)$ cu $\displaystyle a$ .
$\displaystyle -6a-21=a$
Rezolvăm ecuația liniară: trecem termenii cu $\displaystyle a$ într-o parte și constantele în cealaltă, apoi izolăm $\displaystyle a$ .
$\displaystyle -21=a+6a\Rightarrow -21=7a$
Împărțim ambii membri prin 7 pentru a obține valoarea lui $\displaystyle a$ .
$\displaystyle -21=7a \Rightarrow a=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\log_7(1+2x-x^2)=\log_7(3-x).

Vezi rezolvarea

Se pun condițiile de existență ale logaritmilor: expresiile de sub logaritm trebuie să fie strict pozitive.
$\displaystyle 1+2x-x^2>0\text{ și }3-x>0$
Se rezolvă prima inecuație: se aduce la forma standard și se determină rădăcinile trinomului asociat.
$\displaystyle -x^2+2x+1>0\Leftrightarrow x^2-2x-1<0\Leftrightarrow x\in(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$
Se rezolvă a doua inecuație, care dă o condiție suplimentară asupra domeniului de valabilitate.
$\displaystyle 3-x>0\Leftrightarrow x<3$
Se intersectează cele două condiții pentru a obține domeniul maxim de valabilitate al ecuației.
$\displaystyle x\in(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$
Deoarece funcția logaritmică (baza $\displaystyle 7>1$ ) este injectivă, din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor; se trece totul într-o parte și se obține ecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle 1+2x-x^2=3-x \Rightarrow x^2-3x+2=0$
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea folosind formula discriminantului sau descompunerea în factori.
$\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1$ , $\displaystyle \quad x_{1,2}=\dfrac{3\pm1}{2}$
Se obțin cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea.
$\displaystyle x_1=1$ , $\displaystyle \quad x_2=2$
Se verifică dacă soluțiile obținute aparțin domeniului de valabilitate stabilit anterior, adică intervalului $\displaystyle (1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2})$ , care este aproximativ $\displaystyle (-0.41, 2.41)$ .
$\displaystyle x_1=1\in(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$ , $\displaystyle \quad x_2=2\in(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$
Ambele soluții satisfac condițiile de existență, deci sunt valide; se scrie soluția finală a ecuației.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de

\displaystyle 11

.

Vezi rezolvarea

Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre, adică numerele de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ .
$\displaystyle \{10,11,12,\ldots,99\}$
Se numără câte elemente are această mulțime, adică numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 90 \text{ cazuri posibile}$
Se determină multiplii de $\displaystyle 11$ cuprinși între $\displaystyle 10$ și $\displaystyle 99$ , scriind forma generală a multiplilor de $\displaystyle 11$ .
$\displaystyle 11k$ , $\displaystyle \text{ unde } k\in\{1,2,\ldots,9\}$
Se listează efectiv multiplii de $\displaystyle 11$ de două cifre.
$\displaystyle 11$ , $\displaystyle 22$ , $\displaystyle 33$ , $\displaystyle 44$ , $\displaystyle 55$ , $\displaystyle 66$ , $\displaystyle 77$ , $\displaystyle 88$ , $\displaystyle 99$
Dintre acești multipli, se selectează cei impari (adică cei obținuți pentru $\displaystyle k$ impar).
$\displaystyle 11$ , $\displaystyle 33$ , $\displaystyle 55$ , $\displaystyle 77$ , $\displaystyle 99$
Se numără cazurile favorabile, adică multiplii impari de $\displaystyle 11$ identificați anterior.
$\displaystyle 5 \text{ cazuri favorabile}$
Se aplică formula probabilității clasice, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, și se simplifică fracția obținută.
$\displaystyle p=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,5)

,

\displaystyle B(2,0)

și

\displaystyle C(4,2)

. Arătați că triunghiul

\displaystyle ADC

este isoscel, unde punctul

\displaystyle D

este mijlocul segmentului

\displaystyle BC

.

Vezi rezolvarea

Se scrie formula coordonatelor mijlocului unui segment, aplicată pentru segmentul $\displaystyle BC$ , unde $\displaystyle B(2,0)$ și $\displaystyle C(4,2)$ .
$\displaystyle D\left(\dfrac{x_B+x_C}{2}, \dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$
Se înlocuiesc coordonatele punctelor $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ în formula mijlocului pentru a obține coordonatele lui $\displaystyle D$ .
$\displaystyle D\left(\dfrac{2+4}{2}, \dfrac{0+2}{2}\right)=D(3,1)$
Se scrie formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle D(3,1)$ .
$\displaystyle AD=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}$
Se înlocuiesc coordonatele punctelor $\displaystyle A$ și $\displaystyle D$ și se calculează distanța $\displaystyle AD$ .
$\displaystyle AD=\sqrt{(3-0)^2+(1-5)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
Se scrie formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle C(4,2)$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$
Se înlocuiesc coordonatele punctelor $\displaystyle A$ și $\displaystyle C$ și se calculează distanța $\displaystyle AC$ , apoi se compară cu $\displaystyle AD$ pentru a trage concluzia că triunghiul $\displaystyle ADC$ este isoscel.
$\displaystyle AC=\sqrt{(4-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\Rightarrow AD=AC\Rightarrow \triangle ADC \text{ isoscel}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle tg B=\frac{1}{3}

și aria egală cu

\displaystyle 24

. Arătați că

\displaystyle AC=4

.

Vezi rezolvarea

Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în A, deci catetele sunt AB și AC, iar BC este ipotenuza. Unghiul B este unul dintre unghiurile ascuțite, iar tangenta sa se exprimă ca raportul dintre cateta opusă (AC) și cateta alăturată (AB).
$\displaystyle tgB=\frac{AC}{AB}$
Se înlocuiește valoarea dată a tangentei unghiului B și se scrie relația dintre catete.
$\displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}\text{, deci }AB=3AC$
Se scrie formula ariei triunghiului dreptunghic în funcție de cele două catete, AB și AC.
$\displaystyle A_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}$
Se înlocuiește $\displaystyle AB=3AC$ în formula ariei și se egalează cu valoarea dată a ariei, 24, pentru a obține o ecuație în AC.
$\displaystyle \frac{3AC\cdot AC}{2}=24\Rightarrow \frac{3AC^2}{2}=24$
Se rezolvă ecuația obținută pentru a determina AC, reținând doar soluția pozitivă, deoarece AC este o lungime.
$\displaystyle \frac{AB\cdot AC}{2}=24 \Rightarrow AC^2=16 \Rightarrow AC=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1))=2

.

Vezi rezolvarea

Se înlocuiește $\displaystyle a=1$ în fiecare element al matricei $\displaystyle A(a)$ : $\displaystyle 2a+2=2\cdot 1+2=4$ , $\displaystyle -a=-1$ , $\displaystyle a-3=1-3=-2$ , iar elementul de pe poziția $\displaystyle (2,2)$ rămâne 1.
$\displaystyle 2\cdot1+2=4$ , $\displaystyle \ -1$ , $\displaystyle \ 1-3=-2$ , $\displaystyle \ 1$
Se scrie matricea $\displaystyle A(1)$ obținută prin înlocuire și se formează determinantul de ordin 2 corespunzător.
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(1))=\begin{vmatrix}4&-1\\-2&1\end{vmatrix}$
Se aplică formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det(A(1))=4\cdot1-(-1)\cdot(-2)$
Se efectuează calculele: $\displaystyle 4\cdot 1=4$ și $\displaystyle (-1)\cdot (-2)=2$ , apoi se scad rezultatele pentru a obține valoarea determinantului.
$\displaystyle \det(A(1))=4-2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle A(0)\cdot(6I_2-A(2)-A(-2))=xI_2

.

Vezi rezolvarea

Se determină matricea $\displaystyle A(0)$ înlocuind $\displaystyle a=0$ în formula lui $\displaystyle A(a)$ : elementele devin $\displaystyle 2\cdot 0+2=2$ , $\displaystyle -0=0$ , $\displaystyle 0-3=-3$ , $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&0\\-3&1\end{pmatrix}$
Se calculează matricele $\displaystyle A(2)$ și $\displaystyle A(-2)$ înlocuind $\displaystyle a=2$ , respectiv $\displaystyle a=-2$ , în expresia lui $\displaystyle A(a)$ .
$\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}6&-2\\-1&1\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \;A(-2)=\begin{pmatrix}-2&2\\-5&1\end{pmatrix}$
Se adună matricele $\displaystyle A(2)$ și $\displaystyle A(-2)$ , adunând elementele corespunzătoare.
$\displaystyle A(2)+A(-2)=\begin{pmatrix}6+(-2)&-2+2\\-1+(-5)&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\-6&2\end{pmatrix}$
Se calculează $\displaystyle 6I_2$ și apoi se scade suma $\displaystyle A(2)+A(-2)$ din $\displaystyle 6I_2$ , obținând matricea $\displaystyle 6I_2-A(2)-A(-2)$ .
$\displaystyle 6I_2-A(2)-A(-2)=\begin{pmatrix}6-4&0-0\\0-(-6)&6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\6&4\end{pmatrix}$
Se înmulțesc matricele $\displaystyle A(0)$ și $\displaystyle 6I_2-A(2)-A(-2)$ , efectuând produsul de matrice conform regulii de înmulțire a matricelor.
$\displaystyle A(0)\cdot(6I_2-A(2)-A(-2))=\begin{pmatrix}2\cdot2+0\cdot6&2\cdot0+0\cdot4\\-3\cdot2+1\cdot6&-3\cdot0+1\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4I_2$
Se compară rezultatul obținut, $\displaystyle 4I_2$ , cu forma cerută $\displaystyle xI_2$ , de unde rezultă valoarea lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 4I_2=xI_2\Rightarrow x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați matricea

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

pentru care

\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2

.

Vezi rezolvarea

Substituim $\displaystyle a=1$ în expresia matricei $\displaystyle A(a)$ pentru a obține matricea concretă $\displaystyle A(1)$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot1+2&-1\\1-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul lui $\displaystyle A(1)$ pentru a stabili dacă este inversabilă, apoi scriem ecuația matriceală din enunț sub forma $\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_{2}$ și izolăm $\displaystyle X$ înmulțind la stânga și la dreapta cu $\displaystyle (A(1))^{-1}$ .
$\displaystyle \det(A(1))=4\cdot1-(-1)\cdot(-2)=2\neq0\text{, deci }A(1)\text{ este inversabilă, iar } X=4\cdot(A(1))^{-1}\cdot(A(1))^{-1}$
Calculăm inversa lui $\displaystyle A(1)$ folosind formula $\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle (A(1))^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&2\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle (A(1))^{-1}\cdot(A(1))^{-1}$ folosind regula de înmulțire a matricelor.
$\displaystyle (A(1))^{-1}\cdot(A(1))^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{5}{2}&\frac{9}{2}\end{pmatrix}$
Înmulțim rezultatul cu $\displaystyle 4$ pentru a obține matricea $\displaystyle X$ , conform relației stabilite anterior.
$\displaystyle X=4\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{5}{2}&\frac{9}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-aX+2+a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(1)=3

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la expresia polinomului $\displaystyle f(X) = X^3 - aX + 2 + a$ și se înlocuiește X cu 1.
$\displaystyle f(1)=1^3-a\cdot1+2+a$
Se calculează $\displaystyle 1^3 = 1$ și se rescrie expresia, grupând termenii care conțin a.
$\displaystyle f(1)=1-a+2+a=(1+2)+(-a+a)$
Se observă că termenii cu a se anulează reciproc, deoarece $\displaystyle -a+a=0$ , rămânând doar termenii numerici.
$\displaystyle -a+a=0\text{, deci termenii cu }a\text{ dispar}$
Se adună termenii numerici rămași, obținând valoarea lui $\displaystyle f(1)$ , care nu depinde de a.
$\displaystyle f(1)=1+2=3$ , $\displaystyle \text{ pentru orice numar real } a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-aX+2+a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care polinomul

\displaystyle f

este divizibil cu polinomul

\displaystyle g=X+2

.

Vezi rezolvarea

Se aplică teorema restului: polinomul f este divizibil cu $\displaystyle X+2$ dacă și numai dacă restul împărțirii lui f la $\displaystyle X+2$ este zero, adică $\displaystyle f(-2)=0$ .
$\displaystyle f\text{ divizibil cu }X+2\Leftrightarrow f(-2)=0$
Se calculează $\displaystyle f(-2)$ substituind $\displaystyle X=-2$ în expresia polinomului $\displaystyle f=X^3-aX+2+a$ .
$\displaystyle f(-2)=(-2)^3-a\cdot(-2)+2+a$
Se efectuează calculele: $\displaystyle (-2)^3=-8$ și $\displaystyle -a\cdot (-2)=2a$ , apoi se adună termenii.
$\displaystyle f(-2)=-8+2a+2+a$
Se grupează termenii asemenea: constantele $\displaystyle -8+2=-6$ , iar termenii cu a: $\displaystyle 2a+a=3a$ , obținându-se expresia lui $\displaystyle f(-2)$ valabilă pentru orice $\displaystyle a$ real.
$\displaystyle f(-2)=3a-6$ , $\displaystyle \text{ pentru orice } a$
Se pune condiția ca $\displaystyle f(-2)$ să fie egal cu zero (conform teoremei restului) și se rezolvă ecuația obținută pentru a determina valoarea lui $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 3a-6=0\Rightarrow a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-aX+2+a

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se identifică polinomul $\displaystyle f = X^3 + 0\cdot X^2 - aX + (2+a)$ și se aplică relațiile lui Viète pentru rădăcinile $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=0$ , $\displaystyle \;x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a$ , $\displaystyle \;x_1x_2x_3=-(2+a)$
Condiția din enunț (cerută de problemă) este ca suma cuburilor rădăcinilor să fie egală cu suma produselor lor două câte două, adică $\displaystyle x_1^{3}+x_2^{3}+x_3^{3}=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$ .
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a$
Deoarece $\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}$ sunt rădăcini ale lui $\displaystyle f$ , avem $\displaystyle f(x_{i})=0$ pentru fiecare $\displaystyle i$ , adică $\displaystyle x_{i}^{3}-ax_{i}+2+a=0$ , de unde se exprimă $\displaystyle x_{i}^{3}$ .
$\displaystyle x_i^3=ax_i-(2+a)$ , $\displaystyle \;i=1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$
Se însumează cele trei relații și se folosește faptul că $\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ pentru a obține suma cuburilor.
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=a(x_1+x_2+x_3)-3(2+a)=a\cdot 0-3(2+a)=-3a-6$
Se egalează expresia obținută pentru suma cuburilor cu valoarea sumei produselor două câte două ( $\displaystyle -a$ ) și se rezolvă ecuația în $\displaystyle a$ .
$\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3a-6$ , $\displaystyle \;-3a-6=-a\Rightarrow a=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(2x^2-3x)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică factorii produsului: $\displaystyle u(x)=e^x$ și $\displaystyle v(x)=2x^2-3x$ , cu derivatele $\displaystyle u'(x)=e^x$ și $\displaystyle v'(x)=4x-3$ .
$\displaystyle u(x)=e^x$ , $\displaystyle \ v(x)=2x^2-3x$ , $\displaystyle \ u'(x)=e^x$ , $\displaystyle \ v'(x)=4x-3$
Se aplică regula de derivare a produsului: $\displaystyle f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2-3x)+e^x(4x-3)$
Se dă factor comun $\displaystyle e^x$ și se reduc termenii asemenea din paranteză.
$\displaystyle f'(x)=e^x\left[(2x^2-3x)+(4x-3)\right]=e^x(2x^2+x-3)$
Se factorizează trinomul de gradul al doilea $\displaystyle 2x^{2}+x-3$ , găsind rădăcinile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}$ , obținând forma factorizată finală a derivatei.
$\displaystyle e^x(2x^2+x-3)=e^x(2x+3)(x-1)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(2x^2-3x)

.

Arătați că

\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ , folosind regula de derivare a produsului: $\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$ , unde $\displaystyle u=e^x$ și $\displaystyle v=2x^2-3x$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2-3x)+e^x(4x-3)=e^x(2x^2+x-3)$
Se factorizează trinomul de gradul al doilea din expresia derivatei, folosind rădăcinile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=-\dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)$
Se verifică valoarea funcției $\displaystyle f$ în $\displaystyle x=0$ , pentru a determina natura limitei cerute.
$\displaystyle f(0)=e^0(2\cdot0^2-3\cdot0)=0$
Se observă că atât numărătorul cât și numitorul limitei tind la $\displaystyle 0$ când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle 0$ , deci limita este de forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ , și se aplică regula lui l'Hôpital, derivând separat numărătorul și numitorul.
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=\lim_{x\to0}\frac{(f(x)-x)'}{(f(x)+x)'}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-1}{f'(x)+1}$
Se înlocuiește derivata calculată anterior în limita obținută prin l'Hôpital.
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f'(x)-1}{f'(x)+1}=\lim_{x\to0}\frac{e^x(2x+3)(x-1)-1}{e^x(2x+3)(x-1)+1}$
Se calculează $\displaystyle f'(0)=e^{0}(2\cdot0+3)(0-1)=1\cdot3\cdot(-1)=-3$ , apoi se înlocuiește $\displaystyle x=0$ în limită pentru a obține rezultatul final.
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{e^x(2x+3)(x-1)-1}{e^x(2x+3)(x-1)+1}=\frac{-3-1}{-3+1}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=e^x(2x^2-3x)

.

Determinați numerele reale

\displaystyle a

pentru care tangenta la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=a

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

, are panta egală cu

\displaystyle 0

.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ folosind regula de derivare a produsului: $\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$ , unde $\displaystyle u=e^{x}$ și $\displaystyle v=2x^{2}-3x$ .
$\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2-3x)+e^x(4x-3)$
Se factorizează $\displaystyle e^{x}$ și se aduc termenii asemenea în paranteză.
$\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2-3x+4x-3)=e^x(2x^2+x-3)$
Se descompune trinomul de gradul al doilea $\displaystyle 2x^{2}+x-3$ în factori, folosind formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea sau prin identificare directă.
$\displaystyle 2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$
Se pune condiția ca derivata funcției să fie nulă în punctul a, adică $\displaystyle f'(a)=0$ , și se înlocuiește expresia obținută mai sus.
$\displaystyle f'(a)=0\text{, deci }e^a(2a+3)(a-1)=0$
Deoarece $\displaystyle e^a>0$ pentru orice a real, factorul exponențial nu poate fi zero, deci ecuația se reduce la anularea produsului celorlalți doi factori.
$\displaystyle e^a\neq 0\Rightarrow (2a+3)(a-1)=0$
Se rezolvă ecuația obținută prin anularea fiecărui factor în parte, obținându-se soluțiile finale pentru a.
$\displaystyle a=-\frac{3}{2}\text{ sau }a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}

.

Arătați că

\int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=36

Vezi rezolvarea

Se scrie integrala cerută, folosind expresia funcției $\displaystyle f(x)$ date în enunț.
$\displaystyle \int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=\int_0^3\frac{(2x^2+4x)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}dx$
Se observă că pentru $\displaystyle x$ în intervalul $\displaystyle (0,3)$ avem $\displaystyle x+1>0$ , deci $\displaystyle \sqrt{x+1}$ este nenul și se poate simplifica fracția, eliminând radicalul comun de la numărător și numitor.
$\displaystyle \frac{(2x^2+4x)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=2x^2+4x$ , $\displaystyle \text{ pentru }x\in(0,3)$
Integrala se reduce astfel la integrala unei funcții polinomiale, care se calculează termen cu termen folosind formula de integrare a puterilor.
$\displaystyle \int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=\int_0^3(2x^2+4x)dx=\frac{2x^3}{3}\Big|_0^3+2x^2\Big|_0^3=$
Se aplică formula Leibniz-Newton, calculând valorile primitivelor la capetele intervalului $\displaystyle [0,3]$ .
$\displaystyle \frac{2\cdot 3^3}{3}-\frac{2\cdot 0^3}{3}+2\cdot 3^2-2\cdot 0^2=\frac{2\cdot 27}{3}+2\cdot 9=18+18$
Se efectuează adunarea finală pentru a obține valoarea integralei.
$\displaystyle =18+18=36$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}

.

Arătați că

\int_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}dx=1

Vezi rezolvarea

Se scrie explicit expresia funcției $\displaystyle f$ și se formează raportul $\displaystyle \dfrac{x^{2}+2x}{f(x)}$ care apare sub integrală.
$\displaystyle \int_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}dx=\int_3^8\frac{x^2+2x}{(2x^2+4x)\sqrt{x+1}}dx$
Se observă că $\displaystyle 2x^{2}+4x=2(x^{2}+2x)$ , deci se poate simplifica factorul comun $\displaystyle (x^{2}+2x)$ de la numărător cu numitor.
$\displaystyle \frac{x^2+2x}{(2x^2+4x)\sqrt{x+1}}=\frac{x^2+2x}{2(x^2+2x)\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
Se rescrie integrala cu expresia simplificată și se recunoaște că $\displaystyle (x+1)'=1$ , deci fracția este derivata funcției $\displaystyle \sqrt{x+1}$ multiplicată corespunzător.
$\displaystyle \int_3^8\frac{x^2+2x}{f(x)}dx=\int_3^8\frac{1}{2\sqrt{x+1}}dx=\int_3^8\frac{(x+1)'}{2\sqrt{x+1}}dx=\sqrt{x+1}\Big|_3^8=$
Se aplică formula Leibniz-Newton, calculând valorile funcției $\displaystyle \sqrt{x+1}$ la capetele intervalului: $\displaystyle \sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$ și $\displaystyle \sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$ .
$\displaystyle \sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2$
Se efectuează scăderea finală pentru a obține valoarea integralei.
$\displaystyle =3-2=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}

.

Se consideră funcția

\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=\dfrac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}

. Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției

\displaystyle g

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=1

și

\displaystyle x=4

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția $\displaystyle g$ conform enunțului complet al problemei, ca raport între o constantă și $\displaystyle f(x)$ , și se înlocuiește expresia lui $\displaystyle f(x)$ .
$\displaystyle g(x)=\frac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}=\frac{4\sqrt{x+1}}{(2x^2+4x)\sqrt{x+1}}$
Se simplifică factorul $\displaystyle \sqrt{x+1}$ (nenul pentru $\displaystyle x>0$ ), obținându-se o fracție rațională; domeniul se restrânge la $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ pentru ca numitorul $\displaystyle x^{2}+2x$ să fie definit și nenul.
$\displaystyle g(x)=\frac{4}{2x^2+4x}=\frac{2}{x^2+2x}$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)$
Pe intervalul $\displaystyle [1,4]$ , funcția $\displaystyle g$ este pozitivă (numărătorul $\displaystyle 2$ și numitorul $\displaystyle x(x+2)$ sunt pozitive pentru $\displaystyle x>0$ ), deci $\displaystyle |g(x)|=g(x)$ ; se scrie aria dintre graficul lui $\displaystyle g$ , axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=4$ ca integrală definită.
$\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^4|g(x)|dx=\int_1^4 g(x)dx=\int_1^4\frac{2}{x^2+2x}dx=\int_1^4\frac{2}{x(x+2)}dx$
Se descompune fracția $\displaystyle \dfrac{2}{x(x+2)}$ în fracții simple: se scrie $\displaystyle \dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ , se aduce la același numitor și se identifică $\displaystyle 2=A(x+2)+Bx$ , de unde $\displaystyle A=1$ și $\displaystyle B=-1$ .
$\displaystyle \frac{2}{x(x+2)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$
Se rescrie integrala folosind descompunerea obținută, ajungând exact la forma cerută de pasul de control din barem.
$\displaystyle g(x)=\frac{2}{x^2+2x}$ , $\displaystyle \ x\in(0,+\infty)\text{, deci }\mathcal{A}=\int_1^4|g(x)|dx=\int_1^4\frac{2}{x(x+2)}dx=\int_1^4\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)dx=$
Se calculează primitivele, folosind $\displaystyle \int\dfrac{1}{x}dx=\ln x$ și $\displaystyle \int\dfrac{1}{x+2}dx=\ln(x+2)$ , apoi se aplică formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [1,4]$ .
$\displaystyle =\ln x\Big|_1^4-\ln(x+2)\Big|_1^4=(\ln4-\ln1)-(\ln6-\ln3)=\ln4-\ln2$
Se simplifică expresia finală obținută la pasul anterior, ajungând la valoarea ariei căutate, conform rezultatului final din barem.
$\displaystyle \mathcal{A}=\ln4-\ln2=\ln2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2026, sesiunea I varianta 03: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani