Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 1+i+(i-1)(1+i)-(i-1)=0

, unde

\displaystyle i^2=-1

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle (i-1)(1+i)$ . Îl scriem ca $\displaystyle (i-1)(i+1)$ , adică o diferență de pătrate: $\displaystyle i^{2}-1$ .
$\displaystyle (i-1)(1+i)=i^{2}-1$
Folosim faptul că $\displaystyle i^{2}=-1$ , deci produsul devine $\displaystyle -1-1=-2$ .
$\displaystyle (i-1)(1+i)=-2$
Eliminăm parantezele din expresie. Produsul rămâne $\displaystyle i^{2}-1$ , iar scăderea lui $\displaystyle (i-1)$ devine $\displaystyle -i+1$ .
$\displaystyle 1+i+(i^{2}-1)-i+1$
Înlocuim $\displaystyle i^{2}$ cu $\displaystyle -1$ și obținem $\displaystyle 1+i-2-i+1$ .
$\displaystyle 1+i-2-i+1$
Reducem termenii: $\displaystyle i$ cu $\displaystyle -i$ se anulează, iar $\displaystyle 1-2+1=0$ . Deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle 1+i-2-i+1=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x+1

. Calculați

\displaystyle (f\circ f)(1)

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))$ , deci calculăm mai întâi $\displaystyle f(1)$ .
$\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ în $\displaystyle f(x)=x^2-2x+1$ : $\displaystyle f(1)=1^2-2\cdot 1+1=1-2+1$ .
$\displaystyle f(1)=1-2+1=0$
Rămâne de calculat $\displaystyle f(f(1))=f(0)$ . Înlocuim $\displaystyle x=0$ în $\displaystyle f(x)=x^2-2x+1$ : $\displaystyle f(0)=0^2-2\cdot 0+1$ .
$\displaystyle f(0)=0-0+1=1$
Deci $\displaystyle f(f(1))=f(0)=1$ , adică $\displaystyle (f\circ f)(1)=1$ .
$\displaystyle (f\circ f)(1)=f(0)=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_2\left(x^2-5x+7\right)=\log_2 3

.

Vezi rezolvarea

Stabilim condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică $\displaystyle x^{2}-5x+7>0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=25-28=-3<0$ , iar coeficientul lui $\displaystyle x^{2}$ este pozitiv, deci expresia este pozitivă pentru orice $\displaystyle x$ real. Nu apar restricții pentru $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x^{2}-5x+7>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Funcția $\displaystyle \log_2$ este injectivă, deci din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor: $\displaystyle x^{2}-5x+7=3$ . Mutăm termenul 3 în stânga și obținem $\displaystyle x^{2}-5x+4=0$ .
$\displaystyle x^{2}-5x+7=3\Rightarrow x^{2}-5x+4=0$
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este $\displaystyle \Delta=25-16=9$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{5\pm 3}{2}$ , adică $\displaystyle x_1=1$ și $\displaystyle x_2=4$ .
$\displaystyle x_{1}=\dfrac{5-3}{2}=1$ , $\displaystyle \quad x_{2}=\dfrac{5+3}{2}=4$
Verificăm soluțiile. Cum expresia de sub logaritm este pozitivă pentru orice $\displaystyle x$ real, ambele valori convin. Pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle 1-5+7=3$ , iar pentru $\displaystyle x=4$ avem $\displaystyle 16-20+7=3$ . Deci soluțiile ecuației sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=4\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre, acesta să fie divizibil cu

\displaystyle 5

.

Vezi rezolvarea

Numerele pare de două cifre sunt $\displaystyle 10, 12, 14, \ldots, 98$ . Ele formează o progresie aritmetică cu rația $\displaystyle 2$ , deci numărul lor este $\displaystyle \dfrac{98-10}{2}+1$ . Obținem $\displaystyle 45$ de cazuri posibile.
$\displaystyle \dfrac{98-10}{2}+1=45$
Un număr par divizibil cu $\displaystyle 5$ se termină cu cifra $\displaystyle 0$ , deci este multiplu de $\displaystyle 10$ . Numerele de două cifre de acest fel sunt $\displaystyle 10, 20, 30, \ldots, 90$ .
$\displaystyle 10$ , $\displaystyle 20$ , $\displaystyle 30$ , $\displaystyle 40$ , $\displaystyle 50$ , $\displaystyle 60$ , $\displaystyle 70$ , $\displaystyle 80$ , $\displaystyle 90$
Le numărăm: sunt $\displaystyle 9$ numere, deci avem $\displaystyle 9$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 9$
Aplicăm definiția clasică a probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, și simplificăm fracția prin $\displaystyle 9$ . Probabilitatea este $\displaystyle \dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,3)

,

\displaystyle B(-2,1)

,

\displaystyle C(4,3)

și

\displaystyle D(8,5)

. Demonstrați că patrulaterul

\displaystyle ABCD

este paralelogram.

Vezi rezolvarea

Un patrulater este paralelogram dacă diagonalele sale au același mijloc. Diagonalele patrulaterului $\displaystyle ABCD$ sunt $\displaystyle AC$ și $\displaystyle BD$ . Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu semisumele coordonatelor capetelor, deci este suficient să arătăm că $\displaystyle x_A+x_C=x_B+x_D$ și $\displaystyle y_A+y_C=y_B+y_D$ .
$\displaystyle x_A+x_C=x_B+x_D\text{ și }y_A+y_C=y_B+y_D$
Calculăm sumele absciselor: $\displaystyle x_A+x_C=2+4=6$ și $\displaystyle x_B+x_D=-2+8=6$ . Deci $\displaystyle x_A+x_C=x_B+x_D$ .
$\displaystyle x_A+x_C=6$ , $\displaystyle \ x_B+x_D=6\Rightarrow x_A+x_C=x_B+x_D$
Calculăm sumele ordonatelor: $\displaystyle y_A+y_C=3+3=6$ și $\displaystyle y_B+y_D=1+5=6$ . Deci $\displaystyle y_A+y_C=y_B+y_D$ .
$\displaystyle y_A+y_C=6$ , $\displaystyle \ y_B+y_D=6\Rightarrow y_A+y_C=y_B+y_D$
Mijlocul lui $\displaystyle AC$ este $\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)=M(3,3)$ , iar mijlocul lui $\displaystyle BD$ este tot $\displaystyle M(3,3)$ . Segmentele $\displaystyle AC$ și $\displaystyle BD$ au același mijloc, deci diagonalele se înjumătățesc reciproc și patrulaterul $\displaystyle ABCD$ este paralelogram.
$\displaystyle \text{Segmentele }AC\text{ și }BD\text{ au același mijloc }M(3,3)\text{, deci }ABCD\text{ este paralelogram}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sin x+3\cos x=2\sqrt{2}

, știind că

\displaystyle \operatorname{tg} x=1

și

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Știm că $\displaystyle \operatorname{tg} x=1$ și că $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ . Pe acest interval funcția tangentă este strict crescătoare și $\displaystyle \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1$ , deci $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$
Înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4}$ în expresia dată. Avem $\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și $\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}+3\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$
Calculăm suma: $\displaystyle 3\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ . Adunăm fracțiile cu același numitor și obținem $\displaystyle \dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ . Așadar egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}a & 5\\ 1 & a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(X(1))=-4

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în matricea $\displaystyle X(a)$ și obținem matricea $\displaystyle X(1)$ .
$\displaystyle X(1)=\begin{pmatrix}1 & 5\\ 1 & 1\end{pmatrix}$
Pentru o matrice de ordin 2, $\displaystyle \det\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}=p\cdot s-r\cdot q$ . Aplicăm formula matricei $\displaystyle X(1)$ .
$\displaystyle \det(X(1))=1\cdot1-1\cdot5$
Calculăm produsele: $\displaystyle 1\cdot1=1$ și $\displaystyle 1\cdot5=5$ . Apoi scădem și obținem valoarea cerută.
$\displaystyle 1-5=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}a & 5\\ 1 & a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle X(-a)+X(a)=X(-2018)+X(2018)

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle X(-a)$ înlocuind pe $\displaystyle a$ cu $\displaystyle -a$ în $\displaystyle X(a)$ : pe diagonala principală apare $\displaystyle -a$ , iar celelalte elemente rămân $\displaystyle 5$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle X(-a)=\begin{pmatrix}-a & 5\\ 1 & -a\end{pmatrix}$
Adunăm matricele $\displaystyle X(-a)$ și $\displaystyle X(a)$ element cu element: pe diagonală obținem $\displaystyle -a+a=0$ , iar pe celelalte poziții $\displaystyle 5+5=10$ și $\displaystyle 1+1=2$ . Rezultatul nu depinde de $\displaystyle a$ .
$\displaystyle X(-a)+X(a)=\begin{pmatrix}-a & 5\\ 1 & -a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a & 5\\ 1 & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 10\\ 2 & 0\end{pmatrix}$
Calculăm în același fel suma $\displaystyle X(-2018)+X(2018)$ , adică luăm $\displaystyle a=2018$ în calculul anterior. Pe diagonală avem $\displaystyle -2018+2018=0$ , iar în rest $\displaystyle 10$ și $\displaystyle 2$ , deci obținem aceeași matrice.
$\displaystyle X(-2018)+X(2018)=\begin{pmatrix}-2018 & 5\\ 1 & -2018\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2018 & 5\\ 1 & 2018\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 10\\ 2 & 0\end{pmatrix}$
Cele două sume sunt egale cu aceeași matrice constantă, deci egalitatea are loc pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle X(-a)+X(a)=X(-2018)+X(2018)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}a & 5\\ 1 & a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați perechile de numere reale

\displaystyle (a,b)

pentru care

\displaystyle X(a)X(b)=X(a)+X(b)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle X(a)X(b)$ înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: $\displaystyle X(a)X(b)=\begin{pmatrix}a & 5\\ 1 & a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b & 5\\ 1 & b\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle X(a)X(b)=\begin{pmatrix}ab+5 & 5a+5b\\ b+a & 5+ab\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ab+5 & 5(a+b)\\ a+b & ab+5\end{pmatrix}$
Calculăm suma $\displaystyle X(a)+X(b)$ adunând elementele corespunzătoare ale celor două matrice.
$\displaystyle X(a)+X(b)=\begin{pmatrix}a+b & 10\\ 2 & a+b\end{pmatrix}$
Scriem egalitatea $\displaystyle X(a)X(b)=X(a)+X(b)$ folosind rezultatele de mai sus.
$\displaystyle \begin{pmatrix}ab+5 & 5(a+b)\\ a+b & ab+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b & 10\\ 2 & a+b\end{pmatrix}$
Egalăm elementele corespunzătoare. Din poziția (2,1) avem $\displaystyle a+b=2$ ; poziția (1,2) dă $\displaystyle 5(a+b)=10$ , adică aceeași relație. Din poziția (1,1): $\displaystyle ab+5=a+b=2$ , deci $\displaystyle ab=-3$ .
$\displaystyle a+b=2$ , $\displaystyle \quad ab=-3$
Numerele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt rădăcinile ecuației $\displaystyle t^{2}-(a+b)t+ab=0$ , adică $\displaystyle t^{2}-2t-3=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=4+12=16$ , deci $\displaystyle t=\dfrac{2\pm4}{2}$ .
$\displaystyle t_1=-1$ , $\displaystyle \quad t_2=3$
Cele două rădăcini pot fi atribuite lui $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ în ambele ordini. Verificare: $\displaystyle -1+3=2$ și $\displaystyle (-1)\cdot 3=-3$ .
$\displaystyle (a,b)\in\{(-1,3),(3,-1)\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-2X^2-X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Pentru

\displaystyle m=2

, arătați că

\displaystyle f(2)=0

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=2$ , polinomul devine $\displaystyle f=X^3-2X^2-X+2$ .
$\displaystyle f=X^3-2X^2-X+2$
Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 2$ în expresia polinomului: $\displaystyle f(2)=2^3-2\cdot 2^2-2+2$ .
$\displaystyle f(2)=2^3-2\cdot2^2-2+2$
Calculăm puterile: $\displaystyle 2^3=8$ și $\displaystyle 2\cdot 2^2=2\cdot 4=8$ .
$\displaystyle 2^3=8$ , $\displaystyle \quad 2\cdot2^2=8$
Înlocuim valorile și efectuăm calculul: $\displaystyle f(2)=8-8-2+2=0$ , deci $\displaystyle f(2)=0$ .
$\displaystyle f(2)=8-8-2+2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-2X^2-X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că, dacă polinomul

\displaystyle f

se divide cu

\displaystyle X+1

, atunci polinomul

\displaystyle f

se divide cu

\displaystyle X^2-3X+2

.

Vezi rezolvarea

Dacă $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X+1$ , atunci $\displaystyle f(-1)=0$ (teorema restului). Calculăm $\displaystyle f(-1)$ în funcție de $\displaystyle m$ .
$\displaystyle f(-1)=(-1)^3-2\cdot(-1)^2-(-1)+m=-1-2+1+m=m-2$
Din condiția $\displaystyle f(-1)=0$ obținem $\displaystyle m-2=0$ , deci $\displaystyle m=2$ și polinomul devine $\displaystyle X^3-2X^2-X+2$ .
$\displaystyle m=2\text{, deci }f=X^3-2X^2-X+2$
Împărțim $\displaystyle f$ la $\displaystyle X^2-3X+2$ . Primul termen al câtului este $\displaystyle X$ , pentru că $\displaystyle X^3:X^2=X$ . Scădem din $\displaystyle f$ produsul $\displaystyle X\cdot(X^2-3X+2)=X^3-3X^2+2X$ .
$\displaystyle (X^3-2X^2-X+2)-(X^3-3X^2+2X)=X^2-3X+2$
Restul parțial $\displaystyle X^2-3X+2$ este chiar împărțitorul, deci următorul termen al câtului este $\displaystyle 1$ , iar $\displaystyle (X^2-3X+2)-1\cdot(X^2-3X+2)=0$ . Restul este $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X^2-3X+2$ .
$\displaystyle f=(X^2-3X+2)(X+1)\text{, restul este }0\text{, deci }f\text{ se divide cu }X^2-3X+2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-2X^2-X+m

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real nenul

\displaystyle m

, știind că

\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_3x_1}+\frac{x_3}{x_1x_2}=6

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle f=X^3-2X^2-X+m$ relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor, suma produselor lor câte două și produsul lor.
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=2$ , $\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1$ , $\displaystyle \ x_1x_2x_3=-m$
Numitorul comun este $\displaystyle x_1x_2x_3$ , nenul deoarece $\displaystyle m\neq 0$ . Amplificăm prima fracție cu $\displaystyle x_1$ , a doua cu $\displaystyle x_2$ și a treia cu $\displaystyle x_3$ .
$\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_3x_1}+\frac{x_3}{x_1x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2}{x_1x_2x_3}$
Folosim identitatea $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ și înlocuim valorile din Viète.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot(-1)=6$
Egalitatea din enunț devine $\displaystyle \dfrac{6}{-m}=6$ , de unde $\displaystyle -m=1$ , deci $\displaystyle m=-1$ , valoare nenulă, deci convine.
$\displaystyle \frac{6}{-m}=6\Rightarrow m=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+2)^2}+\frac{1}{(x+3)^2}

,

\displaystyle x\in(-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f$ este suma a trei fracții, deci derivata ei este suma derivatelor celor trei termeni. Pentru fiecare termen folosim formula derivatei câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$
Pentru primul termen, $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle v=x+1$ , deci $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v'=1$ . Analog pentru al doilea termen ( $\displaystyle u=x+1$ , $\displaystyle v=x+2$ ) și pentru al treilea ( $\displaystyle u=x+2$ , $\displaystyle v=x+3$ ), în ambele cazuri $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v'=1$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}+\dfrac{1\cdot(x+2)-(x+1)\cdot1}{(x+2)^2}+\dfrac{1\cdot(x+3)-(x+2)\cdot1}{(x+3)^2}$
Calculăm numărătorii: $\displaystyle x+1-x=1$ , $\displaystyle x+2-x-1=1$ , $\displaystyle x+3-x-2=1$ .
$\displaystyle \dfrac{x+1-x}{(x+1)^2}+\dfrac{x+2-x-1}{(x+2)^2}+\dfrac{x+3-x-2}{(x+3)^2}$
Înlocuind numărătorii cu $\displaystyle 1$ , obținem exact expresia cerută, pentru orice $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(x+2)^2}+\dfrac{1}{(x+3)^2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}

. Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=l$ , unde $\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , dacă această limită este finită. Scriem limita sumei:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}\right)$
Fiecare fracție are la numărător și la numitor polinoame de gradul întâi cu coeficientul dominant $\displaystyle 1$ . Împărțind numărătorul și numitorul la $\displaystyle x$ , obținem, de exemplu, $\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\to 1$ . La fel se întâmplă cu celelalte două fracții:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1}=1$ , $\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x+2}=1$ , $\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{x+3}=1$
Limita sumei este suma limitelor, deoarece toate sunt finite: $\displaystyle 1+1+1=3$ . Rezultatul este:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1+1+1=3$
Limita la $\displaystyle +\infty$ este finită și egală cu $\displaystyle 3$ , deci graficul funcției $\displaystyle f$ are asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ dreapta de ecuație $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle y=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}

.

Determinați imaginea funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem fiecare termen sub forma $\displaystyle 1$ minus o fracție cu numărător $\displaystyle 1$ : $\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$ , $\displaystyle \dfrac{x+1}{x+2}=1-\dfrac{1}{x+2}$ , $\displaystyle \dfrac{x+2}{x+3}=1-\dfrac{1}{x+3}$ . Astfel funcția devine mai simplu de studiat.
$\displaystyle f(x)=3-\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}$
Derivăm funcția: derivata lui $\displaystyle -\dfrac{1}{x+a}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{(x+a)^{2}}$ . Pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ toți numitorii sunt strict pozitivi, deci derivata este strict pozitivă, iar $\displaystyle f$ este strict crescătoare.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}+\dfrac{1}{(x+2)^{2}}+\dfrac{1}{(x+3)^{2}}>0\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare}$
Calculăm limita la capătul din dreapta: când $\displaystyle x\to+\infty$ , toate cele trei fracții $\displaystyle \dfrac{1}{x+a}$ tind la $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle f(x)$ tinde la $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=3-0-0-0=3$
Calculăm limita la capătul din stânga: când $\displaystyle x\to-1$ , $\displaystyle x>-1$ , avem $\displaystyle x+1\to0$ cu valori pozitive, deci $\displaystyle \dfrac{1}{x+1}\to+\infty$ , iar celelalte două fracții rămân mărginite (tind la $\displaystyle 1$ și la $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ ). Deci $\displaystyle f(x)$ tinde la $\displaystyle -\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to-1,\,x>-1}f(x)=-\infty$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă (e sumă de funcții raționale definite pe domeniu) și strict crescătoare, deci ia toate valorile dintre limitele de la capete, fără a le atinge. Imaginea este intervalul $\displaystyle (-\infty,3)$ .
$\displaystyle \operatorname{Im}f=(-\infty,3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1+\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\ln x\right)dx=11

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1+\ln x$ în integrand. Avem $\displaystyle f(x)-\ln x=3x^2+2x+1$ , deoarece $\displaystyle \ln x$ se reduce.
$\displaystyle f(x)-\ln x=3x^{2}+2x+1$
Integrala devine $\displaystyle \int_1^2\left(3x^2+2x+1\right)dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle 3x^2$ este $\displaystyle x^3$ , a lui $\displaystyle 2x$ este $\displaystyle x^2$ , iar a lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_1^2\left(3x^{2}+2x+1\right)dx=\left(x^{3}+x^{2}+x\right)\Big|_1^2$
Calculăm primitiva în limitele $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 1$ : la $\displaystyle x=2$ obținem $\displaystyle 2^3+2^2+2=8+4+2=14$ , iar la $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle 1+1+1=3$ . Diferența este $\displaystyle 14-3=11$ .
$\displaystyle (8+4+2)-(1+1+1)=14-3=11$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1+\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)}{x}dx=\frac{3e^2+4e-4}{2}

.

Vezi rezolvarea

Împărțim $\displaystyle f(x)$ la $\displaystyle x$ termen cu termen: $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{3x^{2}+2x+1+\ln x}{x}$ . Obținem o sumă de patru termeni, pe care îi integrăm separat.
$\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)}{x}dx=\int_1^e\left(3x+2+\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}\right)dx$
Primitiva lui $\displaystyle 3x$ este $\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2}$ , a lui $\displaystyle 2$ este $\displaystyle 2x$ , iar a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ este $\displaystyle \ln x$ . Termenul $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}$ îl lăsăm separat.
$\displaystyle \left(\frac{3x^{2}}{2}+2x+\ln x\right)\Big|_1^e+\int_1^e\frac{\ln x}{x}dx$
Folosim $\displaystyle \ln e=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ . La limita superioară avem $\displaystyle \dfrac{3e^{2}}{2}+2e+1$ , iar la cea inferioară $\displaystyle \dfrac{3}{2}+2+0=\dfrac{7}{2}$ . Diferența este $\displaystyle \dfrac{3e^{2}}{2}+2e+1-\dfrac{7}{2}$ .
$\displaystyle \frac{3e^{2}}{2}+2e+1-\frac{7}{2}=\frac{3e^{2}+4e-5}{2}$
Deoarece $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , avem $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\ln^{2}x\right)'=\ln x\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln x}{x}$ . Atunci integrala este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^{2}e-\dfrac{1}{2}\ln^{2}1=\dfrac{1}{2}-0$ .
$\displaystyle \int_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}\ln^{2}x\Big|_1^e=\frac{1}{2}$
Adunăm $\displaystyle \dfrac{3e^{2}+4e-5}{2}$ și $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ : numărătorii se adună, iar numitorul comun este $\displaystyle 2$ . Obținem exact valoarea din enunț.
$\displaystyle \frac{3e^{2}+4e-5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3e^{2}+4e-4}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1+\ln x

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a>1

, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției

\displaystyle f

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=1

și

\displaystyle x=a

are aria egală cu

\displaystyle a^3+a^2+a-2

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle (1,+\infty)$ funcția este pozitivă: $\displaystyle 3x^2+2x+1>0$ pentru $\displaystyle x>0$ , iar $\displaystyle \ln x>0$ pentru $\displaystyle x>1$ . Deci $\displaystyle |f(x)|=f(x)$ , iar aria este integrala lui $\displaystyle f$ de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^a f(x)\,dx=\int_1^a\left(3x^2+2x+1+\ln x\right)dx$
Separăm integrala în două: partea polinomială și partea cu logaritm. Calculăm mai întâi partea polinomială, folosind primitiva $\displaystyle x^3+x^2+x$ .
$\displaystyle \int_1^a\left(3x^2+2x+1\right)dx=\left(x^3+x^2+x\right)\Big|_1^a=a^3+a^2+a-3$
Pentru integrala lui $\displaystyle \ln x$ folosim integrarea prin părți, cu $\displaystyle u=\ln x$ și $\displaystyle dv=dx$ . O primitivă a lui $\displaystyle \ln x$ este $\displaystyle x\ln x-x$ .
$\displaystyle \int_1^a \ln x\,dx=\left(x\ln x-x\right)\Big|_1^a=a\ln a-a+1$
Adunăm cele două rezultate. Termenii $\displaystyle -a$ și $\displaystyle +a$ se reduc, iar $\displaystyle -3+1=-2$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=a^3+a^2+a-3+a\ln a-a+1=a^3+a^2+a\ln a-2$
Egalăm aria cu expresia dată în enunț. După reducerea termenilor $\displaystyle a^3$ , $\displaystyle a^2$ și $\displaystyle -2$ rămâne $\displaystyle a\ln a=a$ . Cum $\displaystyle a>1$ , împărțim la $\displaystyle a$ și obținem $\displaystyle \ln a=1$ , deci $\displaystyle a=e$ , valoare care îndeplinește condiția $\displaystyle a>1$ .
$\displaystyle a^3+a^2+a\ln a-2=a^3+a^2+a-2\Rightarrow \ln a=1\text{, deci }a=e$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2018, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani