Bac matematică M2 științe ale naturii 2013, sesiunea I rezervă varianta 06: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul 8−2(2−3)\displaystyle \sqrt{8}-2\left(\sqrt{2}-3\right) este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factorul pătrat de sub radical: 8=4⋅2\displaystyle 8=4\cdot 2, deci 8=4⋅2=22\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.
    8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}
  2. Înlocuim în expresie și desfacem paranteza: 22−2(2−3)=22−22+6\displaystyle 2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}-3\right)=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+6.
    22−22+6\displaystyle 2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+6
  3. Reducem termenii asemenea: 22−22=0\displaystyle 2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0, deci expresia este egală cu 6\displaystyle 6, care este număr natural.
    22−22+6=6∈N\displaystyle 2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+6=6\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (f∘f)(0)\displaystyle (f\circ f)(0) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=3x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea se scrie (f∘f)(0)=f(f(0))\displaystyle (f\circ f)(0)=f(f(0)). Calculăm mai întâi f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 în f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=3x+1.
    f(0)=3⋅0+1\displaystyle f(0)=3\cdot 0+1
  2. Efectuăm calculul: 3⋅0=0\displaystyle 3\cdot 0=0, deci f(0)=0+1\displaystyle f(0)=0+1.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1
  3. Cum f(0)=1\displaystyle f(0)=1, obținem (f∘f)(0)=f(1)\displaystyle (f\circ f)(0)=f(1). Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=3x+1\displaystyle f(x)=3x+1.
    f(1)=3⋅1+1\displaystyle f(1)=3\cdot 1+1
  4. Calculăm: 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, iar 3+1=4\displaystyle 3+1=4. Deci valoarea compunerii în 0\displaystyle 0 este 4\displaystyle 4.
    (f∘f)(0)=f(1)=4\displaystyle (f\circ f)(0)=f(1)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+1)=log⁡25\displaystyle \log_2\left(x^2+1\right)=\log_2 5.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm condiția de existență a logaritmilor: argumentul x2+1\displaystyle x^{2}+1 este strict pozitiv pentru orice număr real x\displaystyle x, deoarece x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0. Deci ecuația are sens pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Funcția log⁡2\displaystyle \log_2 este injectivă, deci din log⁡2(x2+1)=log⁡25\displaystyle \log_2\left(x^{2}+1\right)=\log_2 5 rezultă că argumentele sunt egale.
    x2+1=5\displaystyle x^{2}+1=5
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem o ecuație simplă în x2\displaystyle x^{2}.
    x2=4\displaystyle x^{2}=4
  4. Rezolvăm x2=4\displaystyle x^{2}=4, adică x2−4=0\displaystyle x^{2}-4=0, care se scrie (x−2)(x+2)=0\displaystyle (x-2)(x+2)=0. Ambele valori verifică condiția de existență, deci sunt soluții ale ecuației.
    x=−2 sau x=2\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 20%\displaystyle 20\% prețul unui produs scade cu 200\displaystyle 200 de lei. Calculați prețul produsului după ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al produsului, în lei. Ieftinirea cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că prețul scade cu 20%\displaystyle 20\% din x\displaystyle x, iar această scădere este de 200\displaystyle 200 de lei.
    20%⋅x=200\displaystyle 20\%\cdot x=200
  2. Scriem procentul ca fracție: 20%=20100=15\displaystyle 20\%=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}. Ecuația devine x5=200\displaystyle \dfrac{x}{5}=200.
    x5=200\displaystyle \dfrac{x}{5}=200
  3. Înmulțim ambii membri cu 5\displaystyle 5 și aflăm prețul inițial: x=200⋅5\displaystyle x=200\cdot 5.
    x=1000\displaystyle x=1000
  4. Prețul după ieftinire se obține scăzând reducerea din prețul inițial: 1000−200=800\displaystyle 1000-200=800. Verificare: 80%⋅1000=800\displaystyle 80\%\cdot 1000=800.
    x=1000, deci prețul dupa˘ \displaystyle x=1000\text{, deci prețul după }ieftinire este 800 de lei\displaystyle \text{ieftinire este }800\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care vectorii u⃗=(a−1)i⃗+4j⃗\displaystyle \vec{u}=(a-1)\vec{i}+4\vec{j} și v⃗=2i⃗−4j⃗\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}-4\vec{j} sunt opuși.
Vezi rezolvarea
  1. Doi vectori sunt opuși dacă unul este negativul celuilalt, adică u⃗=−v⃗\displaystyle \vec{u}=-\vec{v}.
    u⃗=−v⃗\displaystyle \vec{u}=-\vec{v}
  2. Calculăm −v⃗=−(2i⃗−4j⃗)=−2i⃗+4j⃗\displaystyle -\vec{v}=-(2\vec{i}-4\vec{j})=-2\vec{i}+4\vec{j}.
    −v⃗=−2i⃗+4j⃗\displaystyle -\vec{v}=-2\vec{i}+4\vec{j}
  3. Egalăm (a−1)i⃗+4j⃗=−2i⃗+4j⃗\displaystyle (a-1)\vec{i}+4\vec{j}=-2\vec{i}+4\vec{j}. Coordonatele pe j⃗\displaystyle \vec{j} sunt egale (4=4\displaystyle 4=4), iar cele pe i⃗\displaystyle \vec{i} dau ecuația a−1=−2\displaystyle a-1=-2.
    a−1=−2\displaystyle a-1=-2
  4. Din a−1=−2\displaystyle a-1=-2 obținem a=−2+1\displaystyle a=-2+1, deci a=−1\displaystyle a=-1.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea medianei din A\displaystyle A în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC cu ipotenuza BC=10\displaystyle BC=10.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic cu ipotenuza BC\displaystyle BC, deci unghiul drept este în A\displaystyle A. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul ipotenuzei BC\displaystyle BC, deci AM\displaystyle AM este mediana din A\displaystyle A.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ, M mijlocul lui (BC)\displaystyle \ M\text{ mijlocul lui }(BC)
  2. Mediana corespunzătoare unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză (centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei). Deci AM=BC2\displaystyle AM=\dfrac{BC}{2}.
    AM=BC2\displaystyle AM=\frac{BC}{2}
  3. Înlocuim BC=10\displaystyle BC=10 și obținem lungimea medianei: AM=102=5\displaystyle AM=\dfrac{10}{2}=5.
    AM=102=5\displaystyle AM=\frac{10}{2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x−y+2z=a2x−y=0y−z=1\displaystyle \begin{cases}x-y+2z=a\\2x-y=0\\y-z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a știind că (x,y,z)=(1,2,1)\displaystyle (x,y,z)=(1,2,1) este soluție a sistemului.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1, y=2\displaystyle y=2, z=1\displaystyle z=1 în prima ecuație a sistemului, x−y+2z=a\displaystyle x-y+2z=a.
    1−2+2⋅1=a\displaystyle 1-2+2\cdot 1=a
  2. Verificăm că tripletul satisface și celelalte două ecuații, care nu conțin pe a\displaystyle a: în a doua ecuație, 2⋅1−2=0\displaystyle 2\cdot 1-2=0, iar în a treia, 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Ambele sunt adevărate, deci tripletul este soluție a lor pentru orice a\displaystyle a.
    2⋅1−2=0 și 2−1=1\displaystyle 2\cdot 1-2=0\text{ și }2-1=1
  3. Calculăm membrul stâng al primei ecuații: 1−2+2=1\displaystyle 1-2+2=1. Deci a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x−y+2z=a2x−y=0y−z=1\displaystyle \begin{cases}x-y+2z=a\\2x-y=0\\y-z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Calculați determinantul matricei sistemului.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea sistemului, formată din coeficienții necunoscutelor x,y,z\displaystyle x, y, z din cele trei ecuații, și determinantul ei: det⁡A\displaystyle \det A.
    det⁡A=∣1−122−1001−1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-1&2\\2&-1&0\\0&1&-1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Calculăm mai întâi produsele termenilor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅(−1)⋅(−1)\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot(-1), (−1)⋅0⋅0\displaystyle (-1)\cdot 0\cdot 0 și 2⋅2⋅1\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1.
    1⋅(−1)⋅(−1)+(−1)⋅0⋅0+2⋅2⋅1=1+0+4=5\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot 0\cdot 0+2\cdot 2\cdot 1=1+0+4=5
  3. Calculăm produsele termenilor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 2⋅(−1)⋅0\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 0, 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1 și (−1)⋅2⋅(−1)\displaystyle (-1)\cdot 2\cdot(-1). Acestea se scad.
    2⋅(−1)⋅0+1⋅0⋅1+(−1)⋅2⋅(−1)=0+0+2=2\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 0+1\cdot 0\cdot 1+(-1)\cdot 2\cdot(-1)=0+0+2=2
  4. Scădem suma produselor de pe diagonala secundară din suma produselor de pe diagonala principală: 5−2\displaystyle 5-2. Obținem valoarea determinantului.
    det⁡A=1+4+0−0−0−2=3\displaystyle \det A=1+4+0-0-0-2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x−y+2z=a2x−y=0y−z=1\displaystyle \begin{cases}x-y+2z=a\\2x-y=0\\y-z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este un număr real.

Rezolvați sistemul pentru a=−2\displaystyle a=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem sistemul pentru a=−2\displaystyle a=-2: prima ecuație devine x−y+2z=−2\displaystyle x-y+2z=-2, iar celelalte rămân neschimbate. Din a doua ecuație, 2x−y=0\displaystyle 2x-y=0, exprimăm y\displaystyle y în funcție de x\displaystyle x: y=2x\displaystyle y=2x.
    y=2x\displaystyle y=2x
  2. Din a treia ecuație, y−z=1\displaystyle y-z=1, obținem z=y−1\displaystyle z=y-1. Înlocuind y=2x\displaystyle y=2x, rezultă z=2x−1\displaystyle z=2x-1.
    z=2x−1\displaystyle z=2x-1
  3. Înlocuim y=2x\displaystyle y=2x și z=2x−1\displaystyle z=2x-1 în prima ecuație: x−2x+2(2x−1)=−2\displaystyle x-2x+2(2x-1)=-2. Reducem termenii: 3x−2=−2\displaystyle 3x-2=-2, deci 3x=0\displaystyle 3x=0 și x=0\displaystyle x=0.
    x−2x+2(2x−1)=−2⇒3x−2=−2⇒x=0\displaystyle x-2x+2(2x-1)=-2\Rightarrow 3x-2=-2\Rightarrow x=0
  4. Din y=2x\displaystyle y=2x obținem y=2⋅0=0\displaystyle y=2\cdot 0=0.
    y=0\displaystyle y=0
  5. Din z=2x−1\displaystyle z=2x-1 obținem z=2⋅0−1=−1\displaystyle z=2\cdot 0-1=-1. Verificare: 0−0+2⋅(−1)=−2\displaystyle 0-0+2\cdot(-1)=-2, 2⋅0−0=0\displaystyle 2\cdot 0-0=0 și 0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1, deci toate ecuațiile sunt satisfăcute. Soluția sistemului este (0,0,−1)\displaystyle (0,0,-1).
    z=−1, deci (x,y,z)=(0,0,−1)\displaystyle z=-1\text{, deci }(x,y,z)=(0,0,-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−X+a\displaystyle f=X^3-X+a, unde a\displaystyle a este număr întreg.

Pentru a=−2\displaystyle a=-2, calculați f(2)\displaystyle f(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−2\displaystyle a=-2 în f=X3−X+a\displaystyle f=X^3-X+a și obținem polinomul concret.
    f=X3−X−2\displaystyle f=X^{3}-X-2
  2. Pentru f(2)\displaystyle f(2) înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în polinom.
    f(2)=23−2−2\displaystyle f(2)=2^{3}-2-2
  3. Calculăm 23=8\displaystyle 2^{3}=8, apoi scădem: 8−2−2=4\displaystyle 8-2-2=4.
    f(2)=8−2−2=4\displaystyle f(2)=8-2-2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−X+a\displaystyle f=X^3-X+a, unde a\displaystyle a este număr întreg.

Arătați că x12+x22+x32=2\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=2, unde x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții polinomului f=X3−X+a\displaystyle f=X^3-X+a: coeficientul lui X3\displaystyle X^3 este 1\displaystyle 1, al lui X2\displaystyle X^2 este 0\displaystyle 0, al lui X\displaystyle X este −1\displaystyle -1, iar termenul liber este a\displaystyle a.
    f=1⋅X3+0⋅X2+(−1)⋅X+a\displaystyle f=1\cdot X^3+0\cdot X^2+(-1)\cdot X+a
  2. Scriem relațiile lui Viète pentru X3+bX2+cX+d\displaystyle X^3+bX^2+cX+d: suma rădăcinilor este −b\displaystyle -b, iar suma produselor rădăcinilor luate câte două este c\displaystyle c. Aici b=0\displaystyle b=0 și c=−1\displaystyle c=-1.
    x1+x2+x3=0\displaystyle x_1+x_2+x_3=0,x1x2+x1x3+x2x3=−1\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1
  3. Ridicăm la pătrat suma rădăcinilor: (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3). De aici exprimăm suma pătratelor.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  4. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: suma este 0\displaystyle 0, iar suma produselor este −1\displaystyle -1. Obținem 02−2⋅(−1)=2\displaystyle 0^2-2\cdot(-1)=2.
    x12+x22+x32=02−2⋅(−1)=2\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=0^2-2\cdot(-1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−X+a\displaystyle f=X^3-X+a, unde a\displaystyle a este număr întreg.

Arătați că, dacă polinomul f\displaystyle f are o rădăcină întreagă, atunci a\displaystyle a este multiplu de 6\displaystyle 6.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu k∈Z\displaystyle k\in\mathbb{Z} o rădăcină întreagă a lui f\displaystyle f. Atunci f(k)=0\displaystyle f(k)=0, adică k3−k+a=0\displaystyle k^{3}-k+a=0.
    k3−k+a=0\displaystyle k^{3}-k+a=0
  2. Din relația anterioară exprimăm pe a\displaystyle a: a=−k3+k=−(k3−k)\displaystyle a=-k^{3}+k=-(k^{3}-k).
    a=−(k3−k)\displaystyle a=-(k^{3}-k)
  3. Descompunem: k3−k=k(k2−1)=(k−1)⋅k⋅(k+1)\displaystyle k^{3}-k=k(k^{2}-1)=(k-1)\cdot k\cdot(k+1), deci a=−(k−1)⋅k⋅(k+1)\displaystyle a=-(k-1)\cdot k\cdot(k+1).
    a=−(k−1)⋅k⋅(k+1)\displaystyle a=-(k-1)\cdot k\cdot(k+1)
  4. Numerele k−1\displaystyle k-1, k\displaystyle k, k+1\displaystyle k+1 sunt trei întregi consecutivi, deci printre ele există cel puțin unul par și unul multiplu de 3\displaystyle 3. Așadar produsul lor este divizibil cu 2\displaystyle 2 și cu 3\displaystyle 3, iar cum 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3 sunt prime între ele, este divizibil cu 6\displaystyle 6. Prin urmare a\displaystyle a este multiplu de 6\displaystyle 6.
    a=−(k−1)⋅k⋅(k+1)  ⇒  a este multiplu de 6\displaystyle a=-(k-1)\cdot k\cdot(k+1)\;\Rightarrow\; a\text{ este multiplu de }6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}+\ln x.

Arătați că f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem derivata funcției f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x}+\ln x. Derivata unei sume este suma derivatelor, iar constanta 2\displaystyle 2 iese în fața derivatei: f′(x)=(2x+ln⁡x)′=2(1x)′+(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(\dfrac{2}{x}+\ln x\right)'=2\left(\dfrac{1}{x}\right)'+(\ln x)'.
    f′(x)=2(1x)′+(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=2\left(\frac{1}{x}\right)'+(\ln x)'
  2. Folosim formula (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și obținem expresia derivatei din primul pas de control.
    f′(x)=2(1x)′+1x\displaystyle f'(x)=2\left(\frac{1}{x}\right)'+\frac{1}{x}
  3. Scriem 1x=x−1\displaystyle \dfrac{1}{x}=x^{-1}, deci (1x)′=−x−2=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}. Atunci 2(1x)′=−2x2\displaystyle 2\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}}.
    f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun x2\displaystyle x^{2}: amplificăm 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} cu x\displaystyle x și obținem 1x=xx2\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x^{2}}. Atunci f′(x)=−2+xx2=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2+x}{x^{2}}=\dfrac{x-2}{x^{2}}, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), ceea ce trebuia demonstrat.
    f′(x)=−2x2+1x=x−2x2\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^{2}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}+\ln x.

Determinați punctele de extrem ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Calculăm derivata: derivata lui 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} este −2x2\displaystyle -\dfrac{2}{x^{2}}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  2. Aducem la același numitor, x2\displaystyle x^{2}, ca să putem studia ușor semnul derivatei.
    f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}}
  3. Anulăm derivata. Cum x2>0\displaystyle x^{2}>0 pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), fracția este zero doar când numărătorul este zero.
    f′(x)=0⇔x−2=0⇔x=2\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2
  4. Studiem semnul derivatei. Numitorul este pozitiv, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui x−2\displaystyle x-2: negativ pe (0,2)\displaystyle (0,2) și pozitiv pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, pentru x∈(0,2) și f′(x)>0\displaystyle \text{ pentru }x\in(0,2)\text{ și }f'(x)>0, pentru x∈(2,+∞)\displaystyle \text{ pentru }x\in(2,+\infty)
  5. Funcția f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,2]\displaystyle (0,2] și strict crescătoare pe [2,+∞)\displaystyle [2,+\infty), deci derivata își schimbă semnul din minus în plus în x=2\displaystyle x=2. Așadar x=2\displaystyle x=2 este punct de minim, iar f\displaystyle f nu are alte puncte de extrem.
    x=2 este punct de minim\displaystyle x=2\text{ este punct de minim}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡x\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}+\ln x.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (0,4)\displaystyle (0,4).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi: (2x)′=−2x2\displaystyle \left(\dfrac{2}{x}\right)'=-\dfrac{2}{x^{2}} și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=−2x2+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  2. Aducem la același numitor x2\displaystyle x^{2}: f′(x)=−2+xx2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2+x}{x^{2}}.
    f′(x)=x−2x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{2}}
  3. Derivăm câtul cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=x−2\displaystyle u=x-2, v=x2\displaystyle v=x^{2}: f′′(x)=1⋅x2−(x−2)⋅2xx4\displaystyle f''(x)=\dfrac{1\cdot x^{2}-(x-2)\cdot 2x}{x^{4}}.
    f′′(x)=x2−(x−2)⋅2xx4\displaystyle f''(x)=\dfrac{x^{2}-(x-2)\cdot 2x}{x^{4}}
  4. Dezvoltăm numărătorul: x2−2x2+4x=−x2+4x=x(4−x)\displaystyle x^{2}-2x^{2}+4x=-x^{2}+4x=x(4-x). Simplificăm cu x\displaystyle x (avem x>0\displaystyle x>0) și obținem f′′(x)=x(4−x)x4=4−xx3\displaystyle f''(x)=\dfrac{x(4-x)}{x^{4}}=\dfrac{4-x}{x^{3}}.
    f′′(x)=4−xx3\displaystyle f''(x)=\dfrac{4-x}{x^{3}}
  5. Fie x∈(0,4)\displaystyle x\in(0,4). Atunci x3>0\displaystyle x^{3}>0 și 4−x>0\displaystyle 4-x>0, deci f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0. Cum derivata a doua este pozitivă pe (0,4)\displaystyle (0,4), funcția f\displaystyle f este convexă pe intervalul (0,4)\displaystyle (0,4).
    x∈(0,4)⇒4−x>0⇒f′′(x)>0⇒f este convexa˘ pe \displaystyle x\in(0,4)\Rightarrow 4-x>0\Rightarrow f''(x)>0\Rightarrow f\text{ este convexă pe }intervalul (0,4)\displaystyle \text{intervalul }(0,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x2−1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-1}.

Arătați că ∫24(x−1)f(x) dx=ln⁡53\displaystyle \int_2^4 (x-1)f(x)\,dx=\ln\frac{5}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x2−1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1} în integrand și descompunem numitorul: x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1).
    (x−1)f(x)=x−1(x−1)(x+1)\displaystyle (x-1)f(x)=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}
  2. Pe intervalul [2,4]\displaystyle [2,4] avem x−1≠0\displaystyle x-1\neq 0, deci simplificăm prin x−1\displaystyle x-1 și obținem (x−1)f(x)=1x+1\displaystyle (x-1)f(x)=\dfrac{1}{x+1}. Integrala devine o integrală de funcție rațională simplă.
    ∫24(x−1)f(x) dx=∫241x+1 dx\displaystyle \int_2^4 (x-1)f(x)\,dx=\int_2^4\dfrac{1}{x+1}\,dx
  3. O primitivă a funcției 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} pe [2,4]\displaystyle [2,4] este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫241x+1 dx=ln⁡(x+1)∣24\displaystyle \int_2^4\dfrac{1}{x+1}\,dx=\ln(x+1)\Big|_2^4
  4. Calculăm valorile la capete: ln⁡(4+1)−ln⁡(2+1)=ln⁡5−ln⁡3\displaystyle \ln(4+1)-\ln(2+1)=\ln 5-\ln 3. Folosind diferența de logaritmi, obținem logaritmul câtului, adică valoarea cerută.
    ln⁡(x+1)∣24=ln⁡5−ln⁡3=ln⁡53\displaystyle \ln(x+1)\Big|_2^4=\ln 5-\ln 3=\ln\dfrac{5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x2−1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-1}.

Calculați ∫23(x3−1)f(x) dx\displaystyle \int_2^3 \left(x^3-1\right)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=1x2−1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1} în integrală.
    ∫23(x3−1)1x2−1 dx=∫23x3−1x2−1 dx\displaystyle \int_2^3\left(x^3-1\right)\frac{1}{x^2-1}\,dx=\int_2^3\frac{x^3-1}{x^2-1}\,dx
  2. Descompunem: x3−1=(x−1)(x2+x+1)\displaystyle x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) și x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1).
    x3−1x2−1=(x−1)(x2+x+1)(x−1)(x+1)\displaystyle \frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}
  3. Pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] avem x−1≠0\displaystyle x-1\neq 0, deci simplificăm cu x−1\displaystyle x-1.
    ∫23(x3−1)1x2−1 dx=∫23x2+x+1x+1 dx\displaystyle \int_2^3\left(x^3-1\right)\frac{1}{x^2-1}\,dx=\int_2^3\frac{x^2+x+1}{x+1}\,dx
  4. Împărțim numărătorul la x+1\displaystyle x+1: x2+x+1=x(x+1)+1\displaystyle x^2+x+1=x(x+1)+1.
    x2+x+1x+1=x+1x+1\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}
  5. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, iar a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [2,3]\displaystyle [2,3].
    ∫23(x+1x+1)dx=(x22+ln⁡(x+1))∣23\displaystyle \int_2^3\left(x+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\ln(x+1)\right)\Big|_2^3
  6. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (92+ln⁡4)−(2+ln⁡3)\displaystyle \left(\dfrac{9}{2}+\ln 4\right)-\left(2+\ln 3\right). Avem 92−2=52\displaystyle \dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2} și ln⁡4−ln⁡3=ln⁡43\displaystyle \ln 4-\ln 3=\ln\dfrac{4}{3}.
    52+ln⁡43\displaystyle \frac{5}{2}+\ln\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x2−1\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-1}.

Arătați că aria suprafeței delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuație x=2\displaystyle x=2 și x=3\displaystyle x=3, este egală cu 12ln⁡32\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] avem x>1\displaystyle x>1, deci x2−1>0\displaystyle x^{2}-1>0 și f(x)>0\displaystyle f(x)>0. Aria este integrala lui f\displaystyle f pe [2,3]\displaystyle [2,3], fără modul.
    A=∫23∣f(x)∣ dx=∫231x2−1 dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_2^3|f(x)|\,dx=\int_2^3\frac{1}{x^2-1}\,dx
  2. Descompunem fracția în fracții simple: 1x2−1=12(1x−1−1x+1)\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right).
    1x2−1=12(1x−1−1x+1)\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)
  3. Integrăm termen cu termen, folosind primitiva lui 1x−a\displaystyle \dfrac{1}{x-a}, adică ln⁡∣x−a∣\displaystyle \ln|x-a|. Pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) expresiile x−1\displaystyle x-1 și x+1\displaystyle x+1 sunt pozitive, deci diferența logaritmilor este logaritmul raportului.
    ∫1x2−1 dx=12(ln⁡(x−1)−ln⁡(x+1))=12ln⁡x−1x+1\displaystyle \int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\left(\ln(x-1)-\ln(x+1)\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{x-1}{x+1}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=3\displaystyle x=3 raportul este 24=12\displaystyle \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}, iar pentru x=2\displaystyle x=2 raportul este 13\displaystyle \dfrac{1}{3}. Diferența logaritmilor este logaritmul lui 1/21/3=32\displaystyle \dfrac{1/2}{1/3}=\dfrac{3}{2}, deci aria este egală cu 12ln⁡32\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}.
    12ln⁡(x−1x+1)∣23=12(ln⁡12−ln⁡13)=12ln⁡32\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\Big|_2^3=\frac{1}{2}\left(\ln\frac{1}{2}-\ln\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.