Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, sesiunea I rezervă varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați (2−3i)(2+3i)\displaystyle (2-3i)(2+3i), unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că produsul are forma (a−b)(a+b)\displaystyle (a-b)(a+b), cu a=2\displaystyle a=2 și b=3i\displaystyle b=3i. Aplicăm formula diferenței de pătrate: (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
    (2−3i)(2+3i)=22−(3i)2\displaystyle (2-3i)(2+3i)=2^{2}-(3i)^{2}
  2. Calculăm pătratele: 22=4\displaystyle 2^{2}=4, iar (3i)2=32⋅i2=9i2\displaystyle (3i)^{2}=3^{2}\cdot i^{2}=9i^{2}.
    (2−3i)(2+3i)=4−9i2\displaystyle (2-3i)(2+3i)=4-9i^{2}
  3. Înlocuim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1 și efectuăm calculul: 4−9⋅(−1)=4+9=13\displaystyle 4-9\cdot(-1)=4+9=13.
    4−9⋅(−1)=13\displaystyle 4-9\cdot(-1)=13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(f(3))\displaystyle f(f(3)), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi f(3)\displaystyle f(3), înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în formula funcției: f(3)=2⋅3−1\displaystyle f(3)=2\cdot 3-1.
    f(3)=2⋅3−1=6−1=5\displaystyle f(3)=2\cdot 3-1=6-1=5
  2. Rezultatul obținut este f(3)=5\displaystyle f(3)=5, deci valoarea cerută f(f(3))\displaystyle f(f(3)) devine f(5)\displaystyle f(5).
    f(3)=5⇒f(f(3))=f(5)\displaystyle f(3)=5\quad\Rightarrow\quad f(f(3))=f(5)
  3. Calculăm f(5)\displaystyle f(5), înlocuind x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5 în formula funcției: f(5)=2⋅5−1=10−1=9\displaystyle f(5)=2\cdot 5-1=10-1=9. Deci f(f(3))=9\displaystyle f(f(3))=9.
    f(f(3))=f(5)=2⋅5−1=9\displaystyle f(f(3))=f(5)=2\cdot 5-1=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2+17)=log⁡381\displaystyle \log_3\left(x^2+17\right)=\log_3 81.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmilor: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Expresia x2+17\displaystyle x^{2}+17 este mereu strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar 81>0\displaystyle 81>0, deci ecuația are sens pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x2+17>0\displaystyle x^{2}+17>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Logaritmul în baza 3\displaystyle 3 este injectiv, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor. Obținem x2+17=81\displaystyle x^{2}+17=81.
    x2+17=81\displaystyle x^{2}+17=81
  3. Scădem 17\displaystyle 17 din ambii membri și obținem x2=64\displaystyle x^{2}=64.
    x2=64\displaystyle x^{2}=64
  4. Din x2=64\displaystyle x^{2}=64 rezultă x=−8\displaystyle x=-8 sau x=8\displaystyle x=8. Ambele valori sunt numere reale, iar condiția de existență este îndeplinită pentru orice x\displaystyle x real, deci ambele verifică ecuația: într-adevăr, (±8)2+17=81\displaystyle (\pm 8)^{2}+17=81.
    x1=−8 și x2=8, care verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=-8\text{ și }x_2=8\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1\displaystyle 99-10+1, adică numărul cazurilor posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Numerele de două cifre divizibile cu 5\displaystyle 5 sunt multiplii lui 5\displaystyle 5 cuprinși între 10\displaystyle 10 și 99\displaystyle 99: 10,15,20,…,95\displaystyle 10, 15, 20, \ldots, 95. Ele se scriu sub forma 5k\displaystyle 5k, cu k\displaystyle k de la 2\displaystyle 2 până la 19\displaystyle 19.
    5k\displaystyle 5k, k∈{2,3,…,19}\displaystyle \ k\in\{2,3,\ldots,19\}
  3. Numărăm valorile lui k\displaystyle k: de la 2\displaystyle 2 la 19\displaystyle 19 sunt 19−2+1\displaystyle 19-2+1 valori, deci numărul cazurilor favorabile este 18\displaystyle 18.
    19−2+1=18\displaystyle 19-2+1=18
  4. Aplicăm formula probabilității, raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: p=1890\displaystyle p=\dfrac{18}{90}. Simplificăm fracția prin 18\displaystyle 18.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1890=15\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,a)\displaystyle A(1,a), B(3,2)\displaystyle B(3,2) și C(2,1)\displaystyle C(2,1). Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare dacă dreptele AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC au aceeași pantă. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula m=yB−yAxB−xA\displaystyle m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, pentru A(1,a)\displaystyle A(1,a) și B(3,2)\displaystyle B(3,2).
    mAB=2−a3−1=2−a2\displaystyle m_{AB}=\dfrac{2-a}{3-1}=\dfrac{2-a}{2}
  2. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC, pentru B(3,2)\displaystyle B(3,2) și C(2,1)\displaystyle C(2,1).
    mBC=1−22−3=−1−1=1\displaystyle m_{BC}=\dfrac{1-2}{2-3}=\dfrac{-1}{-1}=1
  3. Egalăm pantele celor două drepte, adică punem condiția de coliniaritate: mAB=mBC\displaystyle m_{AB}=m_{BC}.
    2−a2=1\displaystyle \dfrac{2-a}{2}=1
  4. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 și obținem 2−a=2\displaystyle 2-a=2, deci a=0\displaystyle a=0. Punctele sunt coliniare pentru a=0\displaystyle a=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=sin⁡x3+cos⁡x2\displaystyle E(x)=\sin\frac{x}{3}+\cos\frac{x}{2}, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că E(π2)=1+22\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π2\displaystyle \dfrac{\pi}{2} în expresia E(x)=sin⁡x3+cos⁡x2\displaystyle E(x)=\sin\dfrac{x}{3}+\cos\dfrac{x}{2}.
    E(π2)=sin⁡π/23+cos⁡π/22\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi/2}{3}+\cos\frac{\pi/2}{2}
  2. Calculăm argumentele: π2:3=π6\displaystyle \dfrac{\pi}{2}:3=\dfrac{\pi}{6} și π2:2=π4\displaystyle \dfrac{\pi}{2}:2=\dfrac{\pi}{4}.
    E(π2)=sin⁡π6+cos⁡π4\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{4}
  3. Folosim valorile cunoscute: sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} și cos⁡π4=22\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    E(π2)=12+22\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Adunăm fracțiile care au același numitor 2\displaystyle 2 și obținem rezultatul cerut.
    E(π2)=1+22\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12a2a4)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & 2a\\ 2a & 4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)+A(−1)=2A(0)\displaystyle A(1)+A(-1)=2A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Elementele 2a\displaystyle 2a devin 2\displaystyle 2, iar celelalte rămân neschimbate.
    A(1)=(1224)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a\displaystyle a cu −1\displaystyle -1. Elementele 2a\displaystyle 2a devin −2\displaystyle -2.
    A(−1)=(1−2−24)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1 & -2\\ -2 & 4\end{pmatrix}
  3. Înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0. Elementele 2a\displaystyle 2a devin 0\displaystyle 0, deci obținem o matrice diagonală.
    A(0)=(1004)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele două matrice element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0, 2+(−2)=0\displaystyle 2+(-2)=0, 4+4=8\displaystyle 4+4=8.
    A(1)+A(−1)=(2008)\displaystyle A(1)+A(-1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 8\end{pmatrix}
  5. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din matricea obținută și recunoaștem în față matricea A(0)\displaystyle A(0). Egalitatea este demonstrată.
    A(1)+A(−1)=(2008)=2(1004)=2A(0)\displaystyle A(1)+A(-1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 8\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}=2A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12a2a4)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & 2a\\ 2a & 4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) și îl calculăm ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=1⋅4−2a⋅2a\displaystyle \det(A(a))=1\cdot 4-2a\cdot 2a.
    det⁡(A(a))=∣12a2a4∣=1⋅4−2a⋅2a\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1 & 2a\\ 2a & 4\end{vmatrix}=1\cdot 4-2a\cdot 2a
  2. Efectuăm produsele: 2a⋅2a=4a2\displaystyle 2a\cdot 2a=4a^{2}, deci determinantul este 4−4a2\displaystyle 4-4a^{2}.
    det⁡(A(a))=4−4a2\displaystyle \det(A(a))=4-4a^{2}
  3. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică 4−4a2=0\displaystyle 4-4a^{2}=0. Împărțim cu 4 și obținem a2=1\displaystyle a^{2}=1.
    4−4a2=0⇔a2=1\displaystyle 4-4a^{2}=0\Leftrightarrow a^{2}=1
  4. Din a2=1\displaystyle a^{2}=1 rezultă a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    a1=−1 și a2=1\displaystyle a_1=-1\text{ și }a_2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(12a2a4)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & 2a\\ 2a & 4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Rezolvați în mulțimea M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația A(2)⋅X=A(8)\displaystyle A(2)\cdot X=A(8).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(8)\displaystyle A(8), înlocuind pe a\displaystyle a cu 2\displaystyle 2, respectiv cu 8\displaystyle 8, în matricea A(a)\displaystyle A(a).
    A(2)=(1444)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 4\\ 4 & 4\end{pmatrix}, A(8)=(116164)\displaystyle \ A(8)=\begin{pmatrix}1 & 16\\ 16 & 4\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2) ca să vedem dacă matricea este inversabilă. Determinantul este diferit de zero, deci inversa există.
    det⁡(A(2))=1⋅4−4⋅4=−12≠0\displaystyle \det(A(2))=1\cdot 4-4\cdot 4=-12\neq 0
  3. Determinăm inversa cu formula (A(2))−1=1det⁡(A(2))⋅A∗\displaystyle (A(2))^{-1}=\dfrac{1}{\det(A(2))}\cdot A^{*}. Pentru o matrice de ordin 2, adjuncta A∗\displaystyle A^{*} se obține schimbând elementele de pe diagonala principală și schimbând semnul elementelor de pe diagonala secundară.
    (A(2))−1=1−12(4−4−41)=(−131313−112)\displaystyle (A(2))^{-1}=\dfrac{1}{-12}\begin{pmatrix}4 & -4\\ -4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{12}\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația la stânga cu (A(2))−1\displaystyle (A(2))^{-1}. Din A(2)⋅X=A(8)\displaystyle A(2)\cdot X=A(8) obținem X=(A(2))−1⋅A(8)\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot A(8).
    X=(−131313−112)(116164)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{12}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 16\\ 16 & 4\end{pmatrix}
  5. Efectuăm înmulțirea, element cu element: linie înmulțită cu coloană. Primul rând dă −13+163=5\displaystyle -\dfrac{1}{3}+\dfrac{16}{3}=5 și −163+43=−4\displaystyle -\dfrac{16}{3}+\dfrac{4}{3}=-4, iar al doilea rând dă 13−1612=−1\displaystyle \dfrac{1}{3}-\dfrac{16}{12}=-1 și 163−412=5\displaystyle \dfrac{16}{3}-\dfrac{4}{12}=5.
    X=(5−4−15)\displaystyle X=\begin{pmatrix}5 & -4\\ -1 & 5\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21.

Arătați că (−3)∘3=3\displaystyle (-3)\circ 3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21. Înlocuim x=−3\displaystyle x=-3 și y=3\displaystyle y=3.
    (−3)∘3=2⋅(−3)⋅3−6⋅(−3)−6⋅3+21\displaystyle (-3)\circ 3=2\cdot(-3)\cdot 3-6\cdot(-3)-6\cdot 3+21
  2. Calculăm fiecare termen: 2⋅(−3)⋅3=−18\displaystyle 2\cdot(-3)\cdot 3=-18, −6⋅(−3)=18\displaystyle -6\cdot(-3)=18, −6⋅3=−18\displaystyle -6\cdot 3=-18.
    (−3)∘3=−18+18−18+21\displaystyle (-3)\circ 3=-18+18-18+21
  3. Adunăm termenii: −18+18=0\displaystyle -18+18=0, apoi −18+21=3\displaystyle -18+21=3. Deci (−3)∘3=3\displaystyle (-3)\circ 3=3, adică egalitatea este demonstrată.
    (−3)∘3=3\displaystyle (-3)\circ 3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21.

Arătați că x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21 și scriem 21=18+3\displaystyle 21=18+3, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=2xy−6x−6y+18+3\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+18+3
  2. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun 2x\displaystyle 2x: 2xy−6x=2x(y−3)\displaystyle 2xy-6x=2x(y-3). Apoi grupăm termenii −6y+18\displaystyle -6y+18 și dăm factor comun −6\displaystyle -6: −6y+18=−6(y−3)\displaystyle -6y+18=-6(y-3).
    x∘y=2x(y−3)−6(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2x(y-3)-6(y-3)+3
  3. Termenii 2x(y−3)\displaystyle 2x(y-3) și −6(y−3)\displaystyle -6(y-3) au factorul comun (y−3)\displaystyle (y-3), deci avem (2x−6)(y−3)\displaystyle (2x-6)(y-3). Apoi 2x−6=2(x−3)\displaystyle 2x-6=2(x-3). Rămâne egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=2(x−3)(y−3)+3, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21.

Calculați 1∘2∘3∘…∘2015\displaystyle 1\circ\sqrt{2}\circ\sqrt{3}\circ\ldots\circ\sqrt{2015}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat. Avem x∘y=2xy−6x−6y+18+3=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+18+3=2(x-3)(y-3)+3.
    x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∘3=2(x−3)(3−3)+3=3\displaystyle x\circ 3=2(x-3)(3-3)+3=3 și analog 3∘y=2(3−3)(y−3)+3=3\displaystyle 3\circ y=2(3-3)(y-3)+3=3, pentru orice x,y\displaystyle x,y reali. Deci 3\displaystyle 3 este element absorbant.
    x∘3=3 și 3∘y=3, pentru x și y numere reale\displaystyle x\circ 3=3\text{ și }3\circ y=3\text{, pentru }x\text{ și }y\text{ numere reale}
  3. Observăm că 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3 apare în șir, între 8\displaystyle \sqrt{8} și 10\displaystyle \sqrt{10}. Legea fiind asociativă, putem grupa termenii fără paranteze în mod convenabil.
    1∘2∘…∘2015=(1∘2∘…∘8)∘3∘(10∘…∘2015)\displaystyle 1\circ\sqrt{2}\circ\ldots\circ\sqrt{2015}=(1\circ\sqrt{2}\circ\ldots\circ\sqrt{8})\circ 3\circ(\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2015})
  4. Folosind a∘3=3\displaystyle a\circ 3=3 pentru a=1∘2∘…∘8\displaystyle a=1\circ\sqrt{2}\circ\ldots\circ\sqrt{8}, rămâne 3∘(10∘…∘2015)\displaystyle 3\circ(\sqrt{10}\circ\ldots\circ\sqrt{2015}). Apoi, din 3∘y=3\displaystyle 3\circ y=3, obținem rezultatul 3\displaystyle 3.
    1∘2∘3∘…∘2015=3∘(10∘11∘…∘2015)=3\displaystyle 1\circ\sqrt{2}\circ\sqrt{3}\circ\ldots\circ\sqrt{2015}=3\circ(\sqrt{10}\circ\sqrt{11}\circ\ldots\circ\sqrt{2015})=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3ex+x2\displaystyle f(x)=3e^x+x^2.

Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x=3\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că limita lim⁡x→0f(x)−f(0)x\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 0\displaystyle 0, deci limita este egală cu f′(0)\displaystyle f'(0), dacă f\displaystyle f este derivabilă în 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)
  2. Derivăm funcția f(x)=3ex+x2\displaystyle f(x)=3e^x+x^2, folosind (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, iar constanta 3\displaystyle 3 rămâne factor.
    f′(x)=3ex+2x\displaystyle f'(x)=3e^x+2x
  3. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f′(x)\displaystyle f'(x) și folosim e0=1\displaystyle e^0=1.
    f′(0)=3e0+2⋅0=3⋅1+0=3\displaystyle f'(0)=3e^0+2\cdot 0=3\cdot 1+0=3
  4. Cum limita este egală cu f′(0)\displaystyle f'(0) și f′(0)=3\displaystyle f'(0)=3, obținem rezultatul cerut.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)=3\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3ex+x2\displaystyle f(x)=3e^x+x^2.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0): înlocuim x=0\displaystyle x=0 și folosim e0=1\displaystyle e^0=1, deci f(0)=3e0+02=3⋅1+0\displaystyle f(0)=3e^0+0^2=3\cdot 1+0.
    f(0)=3\displaystyle f(0)=3
  3. Calculăm derivata: f′(x)=(3ex+x2)′=3ex+2x\displaystyle f'(x)=\left(3e^x+x^2\right)'=3e^x+2x.
    f′(x)=3ex+2x\displaystyle f'(x)=3e^x+2x
  4. Calculăm f′(0)=3e0+2⋅0=3\displaystyle f'(0)=3e^0+2\cdot 0=3. Deci f(0)=3\displaystyle f(0)=3 și f′(0)=3\displaystyle f'(0)=3.
    f(0)=3\displaystyle f(0)=3, f′(0)=3\displaystyle \ f'(0)=3
  5. Înlocuim în formula tangentei: y−3=3(x−0)\displaystyle y-3=3(x-0), adică y−3=3x\displaystyle y-3=3x.
    y−3=3x\displaystyle y-3=3x
  6. Mutăm 3\displaystyle 3 în membrul drept și obținem ecuația tangentei: y=3x+3\displaystyle y=3x+3.
    y=3x+3\displaystyle y=3x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3ex+x2\displaystyle f(x)=3e^x+x^2.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că f\displaystyle f este convexă, studiem semnul derivatei a doua. Calculăm mai întâi derivata întâi: derivata lui 3ex\displaystyle 3e^{x} este 3ex\displaystyle 3e^{x}, iar derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x.
    f′(x)=3ex+2x\displaystyle f'(x)=3e^{x}+2x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată: derivata lui 3ex\displaystyle 3e^{x} este 3ex\displaystyle 3e^{x}, iar derivata lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2.
    f′′(x)=3ex+2\displaystyle f''(x)=3e^{x}+2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Pentru orice număr real x\displaystyle x avem ex>0\displaystyle e^{x}>0, deci 3ex>0\displaystyle 3e^{x}>0. Adunând 2\displaystyle 2, obținem că f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe R\displaystyle \mathbb{R}. Cum derivata a doua este pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția f\displaystyle f este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′′(x)>0, pentru orice numa˘r real x, deci f este convexa˘ pe R\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }f\text{ este convexă pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}.

Arătați că ∫13(f(x)−1x)dx=4\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x} în expresia de sub integrală: f(x)−1x=x+1x−1x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}.
    f(x)−1x=x+1x−1x\displaystyle f(x)-\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}
  2. Reducem termenii 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și obținem că integrandul este x\displaystyle x, deci integrala devine ∫13x dx\displaystyle \int_1^3 x\,dx.
    ∫13(f(x)−1x)dx=∫13x dx\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^3 x\,dx
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci integrala se scrie ca diferența valorilor primitivei în 3\displaystyle 3 și în 1\displaystyle 1.
    ∫13x dx=12x2∣13\displaystyle \int_1^3 x\,dx=\frac{1}{2}x^2\Big|_1^3
  4. Calculăm valorile la limite: 322−122=12(9−1)=82\displaystyle \dfrac{3^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}(9-1)=\dfrac{8}{2}, deci integrala este egală cu 4\displaystyle 4.
    12(9−1)=82=4\displaystyle \frac{1}{2}(9-1)=\frac{8}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}.

Arătați că ∫12(f(x)−1x)ex dx=e2\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)e^x\,dx=e^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x} în paranteză: f(x)−1x=x+1x−1x=x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=x. Integrala devine ∫12xex dx\displaystyle \int_1^2 xe^x\,dx.
    ∫12(f(x)−1x)ex dx=∫12xex dx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)e^x\,dx=\int_1^2 xe^x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Formula este ∫12u dv=uv∣12−∫12v du\displaystyle \int_1^2 u\,dv=uv\Big|_1^2-\int_1^2 v\,du.
    ∫12xex dx=xex∣12−∫12ex dx\displaystyle \int_1^2 xe^x\,dx=xe^x\Big|_1^2-\int_1^2 e^x\,dx
  3. Calculăm primul termen: xex∣12=2e2−1⋅e=2e2−e\displaystyle xe^x\Big|_1^2=2e^2-1\cdot e=2e^2-e.
    xex∣12=2e2−e\displaystyle xe^x\Big|_1^2=2e^2-e
  4. Calculăm a doua integrală: ∫12ex dx=ex∣12=e2−e\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^x\Big|_1^2=e^2-e.
    ∫12ex dx=e2−e\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^2-e
  5. Scădem cele două rezultate: 2e2−e−(e2−e)=2e2−e−e2+e=e2\displaystyle 2e^2-e-(e^2-e)=2e^2-e-e^2+e=e^2. Deci ∫12(f(x)−1x)ex dx=e2\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-\dfrac{1}{x}\right)e^x\,dx=e^2.
    2e2−e−(e2−e)=e2\displaystyle 2e^2-e-(e^2-e)=e^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>1\displaystyle a>1, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=a\displaystyle x=a, are aria egală cu 4+ln⁡a\displaystyle 4+\ln a.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x+1x>0\displaystyle x+\dfrac{1}{x}>0, deci graficul funcției este deasupra axei Ox\displaystyle Ox și ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x). Aria este integrala funcției pe intervalul [1,a]\displaystyle [1,a].
    A=∫1a∣f(x)∣ dx=∫1a(x+1x)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^a|f(x)|\,dx=\int_1^a\left(x+\frac{1}{x}\right)dx
  2. Găsim o primitivă a funcției: o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x (pentru x>0\displaystyle x>0).
    ∫(x+1x)dx=x22+ln⁡x+C\displaystyle \int\left(x+\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^{2}}{2}+\ln x+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în a\displaystyle a și în 1\displaystyle 1 și facem diferența. Folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    A=(x22+ln⁡x)∣1a=a22+ln⁡a−12=a2−12+ln⁡a\displaystyle \mathcal{A}=\left(\frac{x^{2}}{2}+\ln x\right)\Big|_1^a=\frac{a^{2}}{2}+\ln a-\frac{1}{2}=\frac{a^{2}-1}{2}+\ln a
  4. Egalăm aria obținută cu valoarea dată în enunț.
    a2−12+ln⁡a=4+ln⁡a\displaystyle \frac{a^{2}-1}{2}+\ln a=4+\ln a
  5. Reducem termenul ln⁡a\displaystyle \ln a din ambii membri, apoi înmulțim cu 2\displaystyle 2: a2−1=8\displaystyle a^{2}-1=8, deci a2=9\displaystyle a^{2}=9. Cum a>1\displaystyle a>1, alegem soluția pozitivă.
    a2=9 și cum a>1, obținem a=3\displaystyle a^{2}=9\text{ și cum }a>1\text{, obținem }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.