Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, sesiunea I rezervă varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați

\displaystyle \log_7\left(3+\sqrt{2}\right)+\log_7\left(3-\sqrt{2}\right)

.

Vezi rezolvarea

Ambii logaritmi au aceeași bază $\displaystyle 7$ , iar argumentele sunt pozitive, deoarece $\displaystyle \sqrt{2}<3$ . Folosim formula $\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a(x\cdot y)$ .
$\displaystyle \log_7\left[\left(3+\sqrt{2}\right)\cdot\left(3-\sqrt{2}\right)\right]$
Calculăm produsul din argument cu formula $\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ , unde $\displaystyle a=3$ și $\displaystyle b=\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)=3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}=9-2=7$
Înlocuim produsul $\displaystyle 7$ în logaritm și folosim faptul că $\displaystyle \log_a a=1$ . Obținem răspunsul final.
$\displaystyle \log_7 7=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+ax+b

. Determinați numerele reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

pentru care graficul funcției

\displaystyle f

conține punctele

\displaystyle A(2,3)

și

\displaystyle B(-1,0)

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(2,3)$ se află pe grafic, deci $\displaystyle f(2)=3$ . Înlocuim $\displaystyle x=2$ în $\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+b$ și obținem $\displaystyle 4+2a+b=3$ .
$\displaystyle 4+2a+b=3$
Mutăm termenul liber în dreapta: $\displaystyle 2a+b=3-4$ , deci $\displaystyle 2a+b=-1$ .
$\displaystyle 2a+b=-1$
Punctul $\displaystyle B(-1,0)$ se află pe grafic, deci $\displaystyle f(-1)=0$ . Înlocuim $\displaystyle x=-1$ : $\displaystyle (-1)^{2}+a\cdot(-1)+b=0$ , adică $\displaystyle 1-a+b=0$ .
$\displaystyle 1-a+b=0$
Din $\displaystyle 1-a+b=0$ obținem $\displaystyle b=a-1$ .
$\displaystyle b=a-1$
Înlocuim în $\displaystyle 2a+b=-1$ : $\displaystyle 2a+a-1=-1$ , deci $\displaystyle 3a=0$ , de unde $\displaystyle a=0$ .
$\displaystyle a=0$
Din $\displaystyle b=a-1$ și $\displaystyle a=0$ obținem $\displaystyle b=-1$ . Verificare: $\displaystyle f(x)=x^{2}-1$ , iar $\displaystyle f(2)=3$ și $\displaystyle f(-1)=0$ . Deci $\displaystyle a=0$ și $\displaystyle b=-1$ .
$\displaystyle a=0$ , $\displaystyle \ b=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația

\displaystyle 3^x+3^{x+1}=36

.

Vezi rezolvarea

Folosim proprietatea puterilor: $\displaystyle 3^{x+1}=3^{x}\cdot 3$ . Rescriem ecuația astfel: $\displaystyle 3^x+3\cdot 3^x=36$ .
$\displaystyle 3^x+3\cdot 3^x=36$
Scoatem factor comun pe $\displaystyle 3^x$ : $\displaystyle 3^x\cdot(1+3)=36$ , deci $\displaystyle 4\cdot 3^x=36$ .
$\displaystyle 4\cdot 3^x=36$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 4$ : $\displaystyle 3^x=\dfrac{36}{4}$ , deci $\displaystyle 3^x=9$ .
$\displaystyle 3^x=9$
Scriem $\displaystyle 9=3^2$ , deci $\displaystyle 3^x=3^2$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 3$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea

\displaystyle \{10,11,12,\ldots,99\}

, acesta să fie divizibil cu

\displaystyle 4

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Găsim cel mai mic multiplu de $\displaystyle 4$ din mulțime: $\displaystyle 10$ și $\displaystyle 11$ nu se împart la $\displaystyle 4$ , dar $\displaystyle 12=4\cdot 3$ se împarte. Cel mai mare multiplu de $\displaystyle 4$ din mulțime este $\displaystyle 96=4\cdot 24$ , deoarece $\displaystyle 97$ , $\displaystyle 98$ și $\displaystyle 99$ nu se împart la $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle 12=4\cdot 3$ , $\displaystyle \ 96=4\cdot 24$
Numerele favorabile sunt $\displaystyle 4k$ , cu $\displaystyle k\in\{3,4,\ldots,24\}$ , adică $\displaystyle 12,16,\ldots,96$ . Numărul lor este $\displaystyle 24-3+1=22$ .
$\displaystyle 12$ , $\displaystyle 16$ , $\displaystyle \ldots$ , $\displaystyle 96\Rightarrow 22\text{ cazuri favorabile}$
Numărăm elementele mulțimii $\displaystyle \{10,11,\ldots,99\}$ : $\displaystyle 99-10+1=90$ .
$\displaystyle 90\text{ de cazuri posibile}$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{22}{90}$ , iar prin simplificare cu $\displaystyle 2$ obținem $\displaystyle \dfrac{11}{45}$ .
$\displaystyle p=\frac{22}{90}=\frac{11}{45}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle M(2,-1)

și

\displaystyle N(-1,3)

. Determinați coordonatele vectorului

\displaystyle \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}

.

Vezi rezolvarea

Scriem vectorii de poziție ai punctelor $\displaystyle M$ și $\displaystyle N$ : coordonatele vectorului $\displaystyle \overrightarrow{OM}$ sunt coordonatele punctului $\displaystyle M$ , iar la fel pentru $\displaystyle \overrightarrow{ON}$ , adică $\displaystyle \overrightarrow{OM}=2\vec{i}-\vec{j}$ și $\displaystyle \overrightarrow{ON}=-\vec{i}+3\vec{j}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=2\vec{i}-\vec{j}$ , $\displaystyle \quad \overrightarrow{ON}=-\vec{i}+3\vec{j}$
Adunăm cei doi vectori, grupând separat termenii în $\displaystyle \vec{i}$ și termenii în $\displaystyle \vec{j}$ : $\displaystyle (2-1)\vec{i}+(-1+3)\vec{j}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=2\vec{i}-\vec{j}-\vec{i}+3\vec{j}=\vec{i}+2\vec{j}$
Coeficienții lui $\displaystyle \vec{i}$ și $\displaystyle \vec{j}$ sunt coordonatele vectorului, deci vectorul sumă are coordonatele $\displaystyle (1,2)$ .
$\displaystyle (1,2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Determinați lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală cu

\displaystyle 4\sqrt{3}

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle l$ lungimea laturii triunghiului echilateral. Aria unui triunghi echilateral de latură $\displaystyle l$ este $\displaystyle A=\dfrac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$ .
$\displaystyle A=\dfrac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$
Egalăm aria cu valoarea dată în enunț: $\displaystyle \dfrac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ .
$\displaystyle \dfrac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle \sqrt{3}$ și apoi înmulțim cu $\displaystyle 4$ : $\displaystyle \dfrac{l^{2}}{4}=4$ , deci $\displaystyle l^{2}=16$ .
$\displaystyle l^{2}=16$
Latura este un număr pozitiv, deci $\displaystyle l=\sqrt{16}=4$ .
$\displaystyle l=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră punctele

\displaystyle A_n\left(2^n,3^n\right)

, unde

\displaystyle n\in\mathbb{N}

.

Scrieți ecuația dreptei

\displaystyle A_0A_1

.

Vezi rezolvarea

Aflăm coordonatele punctelor înlocuind $\displaystyle n=0$ și $\displaystyle n=1$ în $\displaystyle A_n\left(2^n,3^n\right)$ . Pentru $\displaystyle n=0$ avem $\displaystyle 2^0=1$ și $\displaystyle 3^0=1$ , deci $\displaystyle A_0(1,1)$ .
$\displaystyle A_0(1,1)$
Pentru $\displaystyle n=1$ avem $\displaystyle 2^1=2$ și $\displaystyle 3^1=3$ , deci $\displaystyle A_1(2,3)$ .
$\displaystyle A_0(1,1)$ , $\displaystyle \ A_1(2,3)$
Un punct $\displaystyle M(x,y)$ se află pe dreapta $\displaystyle A_0A_1$ dacă determinantul format din coordonatele lui $\displaystyle M$ , $\displaystyle A_0$ și $\displaystyle A_1$ (completate cu coloana de 1) este nul.
$\displaystyle \begin{vmatrix}x&y&1\\1&1&1\\2&3&1\end{vmatrix}=0$
Dezvoltăm determinantul cu regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus dau $\displaystyle x\cdot 1\cdot 1+y\cdot 1\cdot 2+1\cdot 1\cdot 3=x+2y+3$ , iar cei cu semnul minus dau $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2+x\cdot 1\cdot 3+y\cdot 1\cdot 1=2+3x+y$ . Diferența lor este $\displaystyle x+2y+3-2-3x-y=-2x+y+1$ .
$\displaystyle -2x+y+1=0$
Din $\displaystyle -2x+y+1=0$ obținem $\displaystyle y=2x-1$ . Verificare: pentru $\displaystyle A_0$ , $\displaystyle 2\cdot 1-1=1$ , iar pentru $\displaystyle A_1$ , $\displaystyle 2\cdot 2-1=3$ , deci ambele puncte verifică ecuația.
$\displaystyle A_0A_1:\ y=2x-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră punctele

\displaystyle A_n\left(2^n,3^n\right)

, unde

\displaystyle n\in\mathbb{N}

.

Demonstrați că punctele

\displaystyle A_1,A_2,A_3

nu sunt coliniare.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle n=1$ , $\displaystyle n=2$ și $\displaystyle n=3$ în $\displaystyle A_n\left(2^n,3^n\right)$ : $\displaystyle A_1\left(2^1,3^1\right)$ , $\displaystyle A_2\left(2^2,3^2\right)$ , $\displaystyle A_3\left(2^3,3^3\right)$ .
$\displaystyle A_1(2,3)$ , $\displaystyle \ A_2(4,9)$ , $\displaystyle \ A_3(8,27)$
Punctele $\displaystyle A_1,A_2,A_3$ sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul coordonatelor, completat cu o coloană de $\displaystyle 1$ , este egal cu $\displaystyle 0$ . Scriem acest determinant.
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}2&3&1\\4&9&1\\8&27&1\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: $\displaystyle \Delta=2\cdot 9\cdot 1+3\cdot 1\cdot 8+1\cdot 4\cdot 27-1\cdot 9\cdot 8-2\cdot 1\cdot 27-3\cdot 4\cdot 1$ .
$\displaystyle \Delta=18+24+108-72-54-12$
Calculăm: $\displaystyle 18+24+108=150$ , iar $\displaystyle 72+54+12=138$ . Obținem $\displaystyle \Delta=150-138=12\neq 0$ , deci punctele $\displaystyle A_1,A_2,A_3$ nu sunt coliniare.
$\displaystyle \Delta=12\neq 0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră punctele

\displaystyle A_n\left(2^n,3^n\right)

, unde

\displaystyle n\in\mathbb{N}

.

Determinați numărul natural

\displaystyle n

pentru care aria triunghiului

\displaystyle A_nA_{n+1}A_{n+2}

este egală cu

\displaystyle 216

.

Vezi rezolvarea

Aria triunghiului $\displaystyle A_nA_{n+1}A_{n+2}$ este jumătate din modulul determinantului $\displaystyle \Delta$ format cu coordonatele vârfurilor și o coloană de 1.
$\displaystyle \mathcal{A}=\frac{1}{2}\left|\Delta\right|$
Scriem determinantul cu coordonatele punctelor $\displaystyle A_n$ , $\displaystyle A_{n+1}$ , $\displaystyle A_{n+2}$ .
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}2^n&3^n&1\\2^{n+1}&3^{n+1}&1\\2^{n+2}&3^{n+2}&1\end{vmatrix}$
Scoatem factor $\displaystyle 2^n$ din prima coloană și $\displaystyle 3^n$ din a doua, pentru că $\displaystyle 2^{n+1}=2\cdot 2^n$ , $\displaystyle 2^{n+2}=4\cdot 2^n$ , $\displaystyle 3^{n+1}=3\cdot 3^n$ , $\displaystyle 3^{n+2}=9\cdot 3^n$ .
$\displaystyle \Delta=2^n\cdot 3^n\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&1\\4&9&1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul rămas prin dezvoltare după prima linie: $\displaystyle 1\cdot(3-9)-1\cdot(2-4)+1\cdot(18-12)=-6+2+6=2$ . Cum $\displaystyle 2^n\cdot 3^n=6^n$ , obținem valoarea lui $\displaystyle \Delta$ .
$\displaystyle \Delta=2\cdot 6^n$
Punem condiția ca aria să fie $\displaystyle 216$ : $\displaystyle \dfrac{2\cdot 6^n}{2}=6^n=216=6^3$ , de unde $\displaystyle n=3$ , care este număr natural.
$\displaystyle \frac{2\cdot 6^n}{2}=216\Rightarrow 6^n=6^3\Rightarrow n=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}\left(xy-x-y+3\right)

.

Verificați dacă elementul neutru al legii „

\displaystyle \circ

” este

\displaystyle e=3

.

Vezi rezolvarea

Elementul $\displaystyle e$ este neutru dacă $\displaystyle x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Verificăm aceste egalități pentru $\displaystyle e=3$ .
$\displaystyle x\circ 3=3\circ x=x$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Înlocuim $\displaystyle y=3$ în definiția legii: $\displaystyle x\circ 3=\frac{1}{2}\left(x\cdot 3-x-3+3\right)$ . Reducem termenii: $\displaystyle 3x-x-3+3=2x$ , deci rezultatul este $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2x=x$ .
$\displaystyle x\circ 3=\frac{1}{2}\left(3x-x-3+3\right)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ : $\displaystyle 3\circ x=\frac{1}{2}\left(3\cdot x-3-x+3\right)$ . Reducem termenii: $\displaystyle 3x-3-x+3=2x$ , deci rezultatul este $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2x=x$ .
$\displaystyle 3\circ x=\frac{1}{2}\left(3x-3-x+3\right)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$
Cum $\displaystyle x\circ 3=3\circ x=x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , numărul $\displaystyle 3$ este element neutru al legii „ $\displaystyle \circ$ ”.
$\displaystyle 3\text{ este element neutru}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}\left(xy-x-y+3\right)

.

Determinați simetricul elementului

\displaystyle 2

în raport cu legea „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Aflăm elementul neutru $\displaystyle e$ . Verificăm că $\displaystyle e=3$ : pentru orice $\displaystyle x$ real, $\displaystyle x\circ 3=\frac{1}{2}\left(3x-x-3+3\right)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$ . Legea este comutativă, deci și $\displaystyle 3\circ x=x$ . Așadar elementul neutru este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle e=3$
Simetricul lui $\displaystyle 2$ este numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle a\circ 2=2\circ a=e$ , adică egal cu elementul neutru $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle a\circ 2=2\circ a=3$
Expresia $\displaystyle xy-x-y+3$ nu se schimbă dacă interschimbăm $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci legea este comutativă. Rămâne de rezolvat o singură ecuație, $\displaystyle 2\circ a=3$ .
$\displaystyle 2\circ a=a\circ 2$
Înlocuim $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=a$ în definiția legii și egalăm cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\left(2a-2-a+3\right)=3$
Reducem termenii din paranteză: $\displaystyle 2a-a=a$ și $\displaystyle -2+3=1$ , deci obținem $\displaystyle \frac{1}{2}(a+1)=3$ . Înmulțim cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle a+1=6$ , de unde $\displaystyle a=5$ . Simetricul lui $\displaystyle 2$ este $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle a+1=6\Rightarrow a=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle \mathbb{R}

se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}\left(xy-x-y+3\right)

.

Arătați că mulțimea

\displaystyle H=\{2k+1\mid k\in\mathbb{Z}\}

este parte stabilă a lui

\displaystyle \mathbb{R}

în raport cu legea de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că $\displaystyle H$ este parte stabilă, luăm două elemente oarecare din $\displaystyle H$ și le scriem sub forma cerută de definiția mulțimii, cu $\displaystyle k$ și $\displaystyle p$ numere întregi.
$\displaystyle x=2k+1$ , $\displaystyle \ y=2p+1$ , $\displaystyle \ k$ , $\displaystyle p\in\mathbb{Z}$
Înlocuim $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ în definiția legii de compoziție. Produsul se dezvoltă ca $\displaystyle xy=(2k+1)(2p+1)=4kp+2k+2p+1$ .
$\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}\left(4kp+2k+2p+1-(2k+1)-(2p+1)+3\right)$
Scriem expresia din paranteză după eliminarea parantezelor, așa cum apare în barem.
$\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}\left(4kp+2k+2p+1-2k-1-2p-1+3\right)$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2k$ cu $\displaystyle -2k$ și $\displaystyle 2p$ cu $\displaystyle -2p$ se anulează, iar constantele $\displaystyle 1-1-1+3$ dau $\displaystyle 2$ . Rămâne $\displaystyle 4kp+2$ în paranteză.
$\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}\left(4kp+2\right)$
Simplificăm cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle 2kp+1$ . Cum $\displaystyle k$ și $\displaystyle p$ sunt întregi, $\displaystyle kp$ este întreg, deci $\displaystyle 2kp+1$ are forma $\displaystyle 2m+1$ cu $\displaystyle m=kp\in\mathbb{Z}$ . Așadar $\displaystyle x\circ y\in H$ , deci $\displaystyle H$ este parte stabilă.
$\displaystyle x\circ y=2kp+1\in H$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln x+e^x

.

Arătați că

\displaystyle xf'(x)=1+xe^x

, pentru orice

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția $\displaystyle f(x)=\ln x+e^x$ este o sumă, deci o derivăm termen cu termen: $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ și $\displaystyle (e^x)'=e^x$ .
$\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , $\displaystyle \quad (e^x)'=e^x$
Adunăm cele două derivate și obținem, pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ , derivata lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}+e^x$
Înmulțim derivata cu $\displaystyle x$ și distribuim: $\displaystyle xf'(x)=x\cdot\left(\dfrac{1}{x}+e^x\right)=x\cdot\dfrac{1}{x}+x\cdot e^x$ . Cum $\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1$ , obținem relația cerută.
$\displaystyle xf'(x)=1+xe^x$ , $\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln x+e^x

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul

\displaystyle A(1,e)

.

Vezi rezolvarea

Ecuația tangentei la graficul lui $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$ este $\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$ .
$\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$
Calculăm $\displaystyle f(1)=\ln 1+e^{1}=0+e=e$ . Se observă că punctul $\displaystyle A(1,e)$ se află pe grafic.
$\displaystyle f(1)=e$
Derivăm funcția: $\displaystyle f'(x)=(\ln x)'+(e^x)'=\dfrac{1}{x}+e^x$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{x}+e^{x}$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle f'(1)=\dfrac{1}{1}+e^{1}=1+e$ . Aceasta este panta tangentei, iar $\displaystyle f(1)=e$ .
$\displaystyle f'(1)=1+e$ , $\displaystyle \ f(1)=e$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle y-e=(1+e)(x-1)$ .
$\displaystyle y-e=(1+e)(x-1)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle y=(e+1)x-(e+1)+e$ . Termenii $\displaystyle e$ se reduc, deci $\displaystyle y=(e+1)x-1$ .
$\displaystyle y=(e+1)x-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\ln x+e^x

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\ln x+e^x$ în limita cerută.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x+e^x}{x}$
Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle \ln x\to+\infty$ și $\displaystyle e^x\to+\infty$ , deci numărătorul tinde la $\displaystyle +\infty$ , iar numitorul $\displaystyle x\to+\infty$ . Obținem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , deci putem aplica regula lui l'Hospital.
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
Derivăm numărătorul: $\displaystyle (\ln x+e^x)'=\dfrac{1}{x}+e^x$ . Derivăm numitorul: $\displaystyle (x)'=1$ . Aplicând regula lui l'Hospital obținem limita de mai jos.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x+e^x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}+e^x}{1}$
Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle \dfrac{1}{x}\to0$ și $\displaystyle e^x\to+\infty$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{x}+e^x\to+\infty$ . Numitorul este $\displaystyle 1$ , deci limita este $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1

.

Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției

\displaystyle f

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=0

și

\displaystyle x=1

.

Vezi rezolvarea

Aria cerută este $\displaystyle A=\int_0^1|f(x)|\,dx$ . Discriminantul lui $\displaystyle f$ este $\displaystyle \Delta=2^2-4\cdot 3\cdot 1=-8<0$ , iar coeficientul lui $\displaystyle x^2$ este pozitiv, deci $\displaystyle f(x)>0$ pe tot $\displaystyle \mathbb{R}$ . Prin urmare modulul dispare.
$\displaystyle A=\int_0^1\left(3x^2+2x+1\right)dx$
Calculăm o primitivă a funcției, integrând termen cu termen: pentru $\displaystyle 3x^2$ avem $\displaystyle x^3$ , pentru $\displaystyle 2x$ avem $\displaystyle x^2$ , pentru $\displaystyle 1$ avem $\displaystyle x$ .
$\displaystyle F(x)=x^3+x^2+x$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle A=F(1)-F(0)=(1+1+1)-0$ . Aria este 3.
$\displaystyle A=F(1)-F(0)=3-0=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1

.

Arătați că orice primitivă a funcției

\displaystyle f

este concavă pe intervalul

\displaystyle \left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)

.

Vezi rezolvarea

Fie $\displaystyle g$ o primitivă oarecare a funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Atunci $\displaystyle g$ este derivabilă și derivata ei este chiar $\displaystyle f$ , pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle g'(x)=f(x)=3x^{2}+2x+1$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Pentru a studia concavitatea, avem nevoie de derivata a doua a lui $\displaystyle g$ . Cum $\displaystyle g'=f$ , derivăm funcția $\displaystyle f$ , care este polinomială, deci derivabilă.
$\displaystyle g''(x)=f'(x)=\left(3x^{2}+2x+1\right)'=6x+2$
Rezolvăm inegalitatea care corespunde intervalului dat: dacă $\displaystyle x<-\dfrac{1}{3}$ , atunci $\displaystyle 6x<-2$ , deci $\displaystyle 6x+2<0$ .
$\displaystyle x<-\frac{1}{3}\Rightarrow 6x<-2\Rightarrow 6x+2<0$
Am obținut că $\displaystyle g''(x)<0$ pentru orice $\displaystyle x\in\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)$ . Prin urmare, $\displaystyle g$ este concavă pe acest interval. Cum $\displaystyle g$ a fost o primitivă oarecare a lui $\displaystyle f$ , concluzia este valabilă pentru orice primitivă.
$\displaystyle x<-\frac{1}{3}\Rightarrow g''(x)<0\text{, deci }g\text{ este concavă pe }\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1

.

Demonstrați că, oricare ar fi

\displaystyle a\ge 2

, are loc inegalitatea

\displaystyle \int_0^a f(x)dx\ge 3a^2+2

.

Vezi rezolvarea

Găsim o primitivă a funcției $\displaystyle f(x)=3x^2+2x+1$ , integrând termen cu termen: primitiva lui $\displaystyle 3x^2$ este $\displaystyle x^3$ , a lui $\displaystyle 2x$ este $\displaystyle x^2$ , a lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ .
$\displaystyle F(x)=x^3+x^2+x$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_0^a f(x)dx=F(a)-F(0)$ . Cum $\displaystyle F(0)=0$ , obținem valoarea integralei.
$\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx=\left(x^3+x^2+x\right)\Big|_0^a=a^3+a^2+a$
Înlocuim valoarea integralei în inegalitatea de demonstrat și trecem toți termenii în partea stângă: inegalitatea devine echivalentă cu $\displaystyle a^3+a^2+a\ge 3a^2+2$ .
$\displaystyle a^3-2a^2+a-2\ge 0$
Descompunem în factori prin grupare: $\displaystyle a^3-2a^2+a-2=a^2(a-2)+(a-2)$ .
$\displaystyle a^3-2a^2+a-2=(a-2)(a^2+1)$
Inegalitatea este echivalentă cu $\displaystyle (a-2)(a^2+1)\ge 0$ . Pentru $\displaystyle a\ge 2$ avem $\displaystyle a-2\ge 0$ , iar $\displaystyle a^2+1>0$ , deci produsul este pozitiv sau nul. Astfel inegalitatea este demonstrată.
$\displaystyle a^3+a^2+a\ge 3a^2+2\Leftrightarrow (a-2)(a^2+1)\ge 0\text{, adevărat pentru }a\ge 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, sesiunea I rezervă varianta 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani