Bac matematică M2 științe ale naturii 2013, sesiunea I varianta 02: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul x=2(1+i)−2i\displaystyle x=2(1+i)-2i este real.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem paranteza, înmulțind pe 2\displaystyle 2 cu fiecare termen din paranteză: 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, iar 2⋅i=2i\displaystyle 2\cdot i=2i.
    2(1+i)=2+2i\displaystyle 2(1+i)=2+2i
  2. Înlocuim în expresia lui x\displaystyle x produsul obținut: x=2+2i−2i\displaystyle x=2+2i-2i.
    x=2+2i−2i\displaystyle x=2+2i-2i
  3. Reducem termenii cu parte imaginară: 2i−2i=0\displaystyle 2i-2i=0. Rămâne x=2\displaystyle x=2, iar 2\displaystyle 2 este număr real.
    x=2∈R\displaystyle x=2\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(5)\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(5) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2.
Vezi rezolvarea
  1. Produsul cerut are cinci factori: f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅f(5)\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5). Calculăm fiecare valoare din f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2: f(1)=1−2=−1\displaystyle f(1)=1-2=-1, f(2)=2−2=0\displaystyle f(2)=2-2=0, f(3)=1\displaystyle f(3)=1, f(4)=2\displaystyle f(4)=2, f(5)=3\displaystyle f(5)=3.
    f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1, f(2)=0\displaystyle \ f(2)=0, f(3)=1\displaystyle \ f(3)=1, f(4)=2\displaystyle \ f(4)=2, f(5)=3\displaystyle \ f(5)=3
  2. Observăm că unul dintre factori este zero: f(2)=2−2=0\displaystyle f(2)=2-2=0.
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  3. Un produs în care apare un factor egal cu zero este zero. Deci f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(5)=(−1)⋅0⋅1⋅2⋅3=0\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(5)=(-1)\cdot 0\cdot 1\cdot 2\cdot 3=0.
    f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(5)=0\displaystyle f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(5)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+1=x+1\displaystyle \sqrt{x^2+1}=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este definit pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0. Cum o rădăcină pătrată este nenegativă, trebuie ca x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, adică x≥−1\displaystyle x\ge -1.
    x+1≥0⇒x≥−1\displaystyle x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației: (x2+1)2=(x+1)2\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}=(x+1)^{2}. Dezvoltăm membrul drept și obținem x2+1=x2+2x+1\displaystyle x^{2}+1=x^{2}+2x+1.
    x2+1=x2+2x+1\displaystyle x^{2}+1=x^{2}+2x+1
  3. Reducem termenii asemenea: x2\displaystyle x^{2} și 1\displaystyle 1 apar în ambii membri, deci rămâne 0=2x\displaystyle 0=2x. Rezultă x=0\displaystyle x=0.
    2x=0⇒x=0\displaystyle 2x=0\Rightarrow x=0
  4. Verificăm în ecuația inițială: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 02+1=1\displaystyle \sqrt{0^{2}+1}=1 și 0+1=1\displaystyle 0+1=1. Egalitatea este adevărată și 0≥−1\displaystyle 0\ge -1, deci x=0\displaystyle x=0 convine. Soluția ecuației este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  2. Scriem numărul ca ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a≠0\displaystyle a\neq 0. Condiția este a⋅b=5\displaystyle a\cdot b=5. Cum 5\displaystyle 5 este număr prim și cifrele sunt numere naturale, cifrele sunt 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5, în vreo ordine.
    {a,b}={1,5}\displaystyle \{a,b\}=\{1,5\}
  3. Ordinile posibile dau numerele 15\displaystyle 15 și 51\displaystyle 51, deci avem 2\displaystyle 2 cazuri favorabile.
    15 și 51⇒2 cazuri favorabile\displaystyle 15\text{ și }51\Rightarrow 2\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=290\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{2}{90}, iar prin simplificare cu 2\displaystyle 2 obținem rezultatul.
    p=290=145\displaystyle p=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C astfel încât AB→=2i⃗+2j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=2\vec{i}+2\vec{j} și BC→=2i⃗+j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\vec{i}+\vec{j}. Calculați lungimea vectorului AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim regula triunghiului (relația lui Chasles): AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
    AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
  2. Înlocuim vectorii dați: AC→=(2i⃗+2j⃗)+(2i⃗+j⃗)\displaystyle \overrightarrow{AC}=(2\vec{i}+2\vec{j})+(2\vec{i}+\vec{j}). Adunăm separat coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și ai lui j⃗\displaystyle \vec{j}: 2+2=4\displaystyle 2+2=4 și 2+1=3\displaystyle 2+1=3.
    AC→=(2+2)i⃗+(2+1)j⃗=4i⃗+3j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(2+2)\vec{i}+(2+1)\vec{j}=4\vec{i}+3\vec{j}
  3. Lungimea unui vector ai⃗+bj⃗\displaystyle a\vec{i}+b\vec{j} este a2+b2\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aici a=4\displaystyle a=4 și b=3\displaystyle b=3, deci AC=42+32\displaystyle AC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}.
    AC=42+32\displaystyle AC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}
  4. Calculăm: 42+32=16+9=25\displaystyle 4^{2}+3^{2}=16+9=25, iar 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5.
    AC=16+9=25=5\displaystyle AC=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră E(x)=sin⁡x+cos⁡x2\displaystyle E(x)=\sin x+\cos\frac{x}{2}, unde x\displaystyle x este număr real. Calculați E(π3)\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3} în expresia lui E(x)\displaystyle E(x). Pentru al doilea termen, argumentul devine π3:2=π6\displaystyle \dfrac{\pi}{3}:2=\dfrac{\pi}{6}.
    E(π3)=sin⁡π3+cos⁡π6\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}
  2. Folosim valorile unghiurilor remarcabile: sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡π6=32\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡π3=32\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},cos⁡π6=32\displaystyle \quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Adunăm cele două fracții care au același numitor: 32+32=232=3\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
    E(π3)=32+32=3\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1235)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: pentru (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, unde a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=3\displaystyle c=3 și d=5\displaystyle d=5: înmulțim 1\displaystyle 1 cu 5\displaystyle 5 și scădem produsul lui 2\displaystyle 2 cu 3\displaystyle 3.
    det⁡A=∣1235∣=1⋅5−2⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&5\end{vmatrix}=1\cdot5-2\cdot3
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅5=5\displaystyle 1\cdot5=5, iar 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot3=6. Apoi scădem și obținem 5−6=−1\displaystyle 5-6=-1.
    det⁡A=5−6=−1\displaystyle \det A=5-6=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1235)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}.

Arătați că A2−6A=I2\displaystyle A^2-6A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pătratul matricei ca produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A2=(1235)⋅(1235)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: pe prima linie 1⋅1+2⋅3\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 3 și 1⋅2+2⋅5\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 5; pe a doua linie 3⋅1+5⋅3\displaystyle 3\cdot 1+5\cdot 3 și 3⋅2+5⋅5\displaystyle 3\cdot 2+5\cdot 5.
    A2=(1+62+103+156+25)=(7121831)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1+6&2+10\\3+15&6+25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&12\\18&31\end{pmatrix}
  3. Calculăm 6A\displaystyle 6A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 6\displaystyle 6.
    6A=(6121830)\displaystyle 6A=\begin{pmatrix}6&12\\18&30\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element și obținem matricea unitate de ordin 2, deci A2−6A=I2\displaystyle A^2-6A=I_2.
    A2−6A=(7−612−1218−1831−30)=(1001)=I2\displaystyle A^2-6A=\begin{pmatrix}7-6&12-12\\18-18&31-30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1235)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}.

Determinați inversa matricei B=A−6I2\displaystyle B=A-6I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea 6I2\displaystyle 6I_2, adică înmulțim matricea unitate de ordin 2 cu 6\displaystyle 6.
    6I2=(6006)\displaystyle 6I_2=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}
  2. Scădem termen cu termen matricea 6I2\displaystyle 6I_2 din A\displaystyle A și obținem matricea B\displaystyle B.
    B=(1−62−03−05−6)=(−523−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1-6&2-0\\3-0&5-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul lui B\displaystyle B: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Determinantul este nenul, deci B\displaystyle B este inversabilă.
    det⁡B=(−5)⋅(−1)−2⋅3=5−6=−1\displaystyle \det B=(-5)\cdot(-1)-2\cdot 3=5-6=-1
  4. Determinăm matricea adjunctă a lui B\displaystyle B: schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală și schimbăm semnul elementelor de pe diagonala secundară.
    B∗=(−1−2−3−5)\displaystyle B^{*}=\begin{pmatrix}-1&-2\\-3&-5\end{pmatrix}
  5. Aplicăm formula inversei B−1=1det⁡B⋅B∗\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\cdot B^{*}. Cum det⁡B=−1\displaystyle \det B=-1, schimbăm semnul tuturor elementelor adjunctei.
    B−1=1−1(−1−2−3−5)=(1235)\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}-1&-2\\-3&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x2+y2+4\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2+4}.

Calculați 2∗2\displaystyle 2*2.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=x2+y2+4\displaystyle x*y=\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=2\displaystyle y=2.
    2∗2=22+22+4\displaystyle 2*2=\sqrt{2^{2}+2^{2}+4}
  2. Calculăm pătratele: 22=4\displaystyle 2^{2}=4, deci sub radical avem 4+4+4\displaystyle 4+4+4.
    4+4+4\displaystyle \sqrt{4+4+4}
  3. Adunăm termenii de sub radical: 4+4+4=12\displaystyle 4+4+4=12. Rezultatul este 12\displaystyle \sqrt{12}, adică 23\displaystyle 2\sqrt{3}.
    2∗2=12\displaystyle 2*2=\sqrt{12}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x2+y2+4\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2+4}.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=12\displaystyle x*x=\sqrt{12}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru y=x\displaystyle y=x: x∗x=x2+x2+4\displaystyle x*x=\sqrt{x^2+x^2+4}.
    x∗x=2x2+4\displaystyle x*x=\sqrt{2x^2+4}
  2. Scriem ecuația x∗x=12\displaystyle x*x=\sqrt{12} folosind expresia obținută: 2x2+4=12\displaystyle \sqrt{2x^2+4}=\sqrt{12}. Expresia de sub radical este pozitivă pentru orice x\displaystyle x real, deci radicalul există pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Ridicăm la pătrat, ambii membri fiind pozitivi, și obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2+x2+4=12⇔2x2+4=12\displaystyle \sqrt{x^2+x^2+4}=\sqrt{12}\Leftrightarrow 2x^2+4=12
  3. Trecem 4\displaystyle 4 în membrul drept: 2x2=12−4=8\displaystyle 2x^2=12-4=8. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x2=4\displaystyle x^2=4.
    x2=4\displaystyle x^2=4
  4. Din x2=4\displaystyle x^2=4 rezultă x=−2\displaystyle x=-2 sau x=2\displaystyle x=2. Ambele valori sunt reale și verifică ecuația inițială, deoarece 2⋅4+4=12\displaystyle \sqrt{2\cdot 4+4}=\sqrt{12}.
    x=−2 sau x=2\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe R\displaystyle \mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x2+y2+4\displaystyle x*y=\sqrt{x^2+y^2+4}. Arătați că numărul 1∗1∗⋯∗1⏟1 de 8 ori\displaystyle \underbrace{1*1*\cdots*1}_{1\text{ de }8\text{ ori}} este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm primele compuneri, pentru a vedea cum se comportă pătratul rezultatului. Pentru 1∗1\displaystyle 1*1 avem 1∗1=12+12+4=6\displaystyle 1*1=\sqrt{1^2+1^2+4}=\sqrt{6}, deci (1∗1)2=6\displaystyle (1*1)^2=6.
    6\displaystyle \sqrt{6}
  2. Compunem încă un 1\displaystyle 1: (1∗1)∗1=6+12+4=11\displaystyle (1*1)*1=\sqrt{6+1^2+4}=\sqrt{11}. Observăm că pătratul crește cu 5\displaystyle 5 la fiecare adăugare a unui 1\displaystyle 1, adică cu 12+4\displaystyle 1^2+4.
    1∗1∗1=11\displaystyle 1*1*1=\sqrt{11}
  3. Notăm cu an\displaystyle a_n rezultatul compunerii a n\displaystyle n termeni egali cu 1\displaystyle 1. Din an+1=an∗1\displaystyle a_{n+1}=a_n*1 rezultă an+12=an2+12+4=an2+5\displaystyle a_{n+1}^2=a_n^2+1^2+4=a_n^2+5. Cum a12=1\displaystyle a_1^2=1, obținem an2=1+5(n−1)\displaystyle a_n^2=1+5(n-1), adică an2=n⋅12+4(n−1)\displaystyle a_n^2=n\cdot1^2+4(n-1).
    an=n⋅12+4(n−1)\displaystyle a_n=\sqrt{n\cdot1^2+4(n-1)}
  4. Aplicăm formula pentru n=8\displaystyle n=8: a8=8⋅12+4⋅(8−1)=8+28=36\displaystyle a_8=\sqrt{8\cdot1^2+4\cdot(8-1)}=\sqrt{8+28}=\sqrt{36}.
    1∗1∗⋯∗1⏟8 ori=8⋅12+4⋅(8−1)=36\displaystyle \underbrace{1*1*\cdots*1}_{8\text{ ori}}=\sqrt{8\cdot1^2+4\cdot(8-1)}=\sqrt{36}
  5. Cum 36=6\displaystyle \sqrt{36}=6 și 6∈Z\displaystyle 6\in\mathbb{Z}, numărul cerut este întreg.
    1∗1∗⋯∗1⏟8 ori=6∈Z\displaystyle \underbrace{1*1*\cdots*1}_{8\text{ ori}}=6\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right).

Arătați că f′(x)=ex(x2−4x+3)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este produsul dintre u(x)=ex\displaystyle u(x)=e^x și v(x)=x2−6x+9\displaystyle v(x)=x^2-6x+9, deci folosim formula (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    f′(x)=(ex)′(x2−6x+9)+ex(x2−6x+9)′\displaystyle f'(x)=(e^x)'\left(x^2-6x+9\right)+e^x\left(x^2-6x+9\right)'
  2. Calculăm derivatele factorilor: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x2−6x+9)′=2x−6\displaystyle \left(x^2-6x+9\right)'=2x-6.
    f′(x)=ex(x2−6x+9)+ex(2x−6)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)+e^x(2x-6)
  3. Dăm factor comun pe ex\displaystyle e^x și reducem termenii asemenea: x2−6x+9+2x−6=x2−4x+3\displaystyle x^2-6x+9+2x-6=x^2-4x+3. Deci egalitatea cerută are loc pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex(x2−4x+3), pentru orice x∈R\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right).

Verificați dacă f(x)+f′′(x)=2(f′(x)+ex)\displaystyle f(x)+f''(x)=2\left(f'(x)+e^x\right), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi cu formula de derivare a produsului: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, iar (x2−6x+9)′=2x−6\displaystyle (x^2-6x+9)'=2x-6. Obținem f′(x)=ex(x2−6x+9)+ex(2x−6)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)+e^x(2x-6). Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii asemenea.
    f′(x)=ex(x2−4x+3)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)
  2. Derivăm încă o dată, tot cu formula produsului: f′′(x)=ex(x2−4x+3)+ex(2x−4)\displaystyle f''(x)=e^x\left(x^2-4x+3\right)+e^x(2x-4). Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii asemenea.
    f′′(x)=ex(x2−2x−1)\displaystyle f''(x)=e^x\left(x^2-2x-1\right)
  3. Calculăm membrul stâng: f(x)+f′′(x)=ex(x2−6x+9)+ex(x2−2x−1)\displaystyle f(x)+f''(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right)+e^x\left(x^2-2x-1\right). Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și adunăm parantezele.
    f(x)+f′′(x)=ex(2x2−8x+8)\displaystyle f(x)+f''(x)=e^x\left(2x^2-8x+8\right)
  4. Calculăm membrul drept: f′(x)+ex=ex(x2−4x+3)+ex=ex(x2−4x+4)\displaystyle f'(x)+e^x=e^x\left(x^2-4x+3\right)+e^x=e^x\left(x^2-4x+4\right). Înmulțim cu 2\displaystyle 2.
    2(f′(x)+ex)=ex(2x2−8x+8)\displaystyle 2\left(f'(x)+e^x\right)=e^x\left(2x^2-8x+8\right)
  5. Cele două membre sunt egale cu ex(2x2−8x+8)\displaystyle e^x\left(2x^2-8x+8\right), deci egalitatea se verifică pentru orice x\displaystyle x real.
    f(x)+f′′(x)=ex(2x2−8x+8)=2(f′(x)+ex), pentru orice x∈R\displaystyle f(x)+f''(x)=e^x\left(2x^2-8x+8\right)=2\left(f'(x)+e^x\right)\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)\displaystyle f(x)=e^x\left(x^2-6x+9\right).

Determinați punctele de extrem ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2−6x+9=(x−3)2\displaystyle x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}, deci f(x)=ex(x−3)2\displaystyle f(x)=e^{x}(x-3)^{2}.
    f(x)=ex(x−3)2\displaystyle f(x)=e^{x}(x-3)^{2}
  2. Derivăm produsul: f′(x)=ex(x−3)2+ex⋅2(x−3)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x-3)^{2}+e^{x}\cdot 2(x-3).
    f′(x)=ex(x−3)2+2ex(x−3)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x-3)^{2}+2e^{x}(x-3)
  3. Dăm factor comun ex(x−3)\displaystyle e^{x}(x-3): f′(x)=ex(x−3)[(x−3)+2]\displaystyle f'(x)=e^{x}(x-3)\left[(x-3)+2\right].
    f′(x)=ex(x−3)(x−1)\displaystyle f'(x)=e^{x}(x-3)(x-1)
  4. Cum ex>0\displaystyle e^{x}>0 pentru orice x\displaystyle x, ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 revine la (x−3)(x−1)=0\displaystyle (x-3)(x-1)=0.
    f′(x)=0⇔x=1 sau x=3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=3
  5. Semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui (x−1)(x−3)\displaystyle (x-1)(x-3), care este pozitiv în afara rădăcinilor 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3 și negativ între ele.
    f′(x)>0 pentru x∈(−∞,1)\displaystyle f'(x)>0\text{ pentru }x\in(-\infty,1), f′(x)<0 pentru x∈(1,3) și f′(x)>0 pentru x∈(3,+∞)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pentru }x\in(1,3)\text{ și }f'(x)>0\text{ pentru }x\in(3,+\infty)
  6. Derivata schimbă semnul în x=1\displaystyle x=1 (din +\displaystyle + în −\displaystyle -, punct de maxim) și în x=3\displaystyle x=3 (din −\displaystyle - în +\displaystyle +, punct de minim), deci punctele de extrem sunt x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3.
    x1=1 și x2=3\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}.

Calculați ∫01(x+1)f(x) dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x+1} în integrala dată.
    ∫01(x+1)⋅xx+1 dx\displaystyle \int_0^1 (x+1)\cdot\frac{x}{x+1}\,dx
  2. Pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci simplificăm fracția cu x+1\displaystyle x+1. Rămâne integrala funcției x\displaystyle x.
    ∫01x(x+1)x+1 dx=∫01x dx\displaystyle \int_0^1\frac{x(x+1)}{x+1}\,dx=\int_0^1 x\,dx
  3. Folosim primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} și aplicăm formula Leibniz-Newton, cu limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    x22∣01=122−022\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\Big|_0^1=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}
  4. Calculăm valoarea și obținem răspunsul final.
    12\displaystyle \frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}.

Arătați că ∫01x2f(x) dx+∫01x3f(x) dx=14\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x)\,dx+\int_0^1 x^3 f(x)\,dx=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x+1} în fiecare integrală: x2f(x)=x3x+1\displaystyle x^{2}f(x)=\dfrac{x^{3}}{x+1}, iar x3f(x)=x4x+1\displaystyle x^{3}f(x)=\dfrac{x^{4}}{x+1}.
    ∫01x3x+1 dx+∫01x4x+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{x+1}\,dx+\int_0^1\frac{x^4}{x+1}\,dx
  2. Cele două integrale au aceleași limite de integrare și același numitor x+1\displaystyle x+1, deci le reunim sub o singură integrală și adunăm numărătorii.
    ∫01x3+x4x+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^3+x^4}{x+1}\,dx
  3. Dăm factor comun x3\displaystyle x^{3} la numărător: x3+x4=x3(x+1)\displaystyle x^{3}+x^{4}=x^{3}(x+1). Simplificăm cu x+1\displaystyle x+1, care este nenul pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01x3(x+1)x+1 dx=∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1\frac{x^3(x+1)}{x+1}\,dx=\int_0^1 x^3\,dx
  4. Calculăm integrala folosind primitiva x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4} și formula Leibniz-Newton: 144−044=14\displaystyle \dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4}=\dfrac{1}{4}, deci egalitatea este demonstrată.
    x44∣01=14\displaystyle \frac{x^4}{4}\Big|_0^1=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xx+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției h:[0,1]→R\displaystyle h:[0,1]\to\mathbb{R}, h(x)=f(x)\displaystyle h(x)=f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului de rotație se calculează cu formula V=π∫01h2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 h^2(x)\,dx. Cum h(x)=xx+1\displaystyle h(x)=\dfrac{x}{x+1}, obținem V=π∫01(xx+1)2dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2dx.
    V=π∫01(xx+1)2dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(\frac{x}{x+1}\right)^2dx
  2. Scriem x=(x+1)−1\displaystyle x=(x+1)-1, deci xx+1=1−1x+1\displaystyle \dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}.
    xx+1=1−1x+1\displaystyle \frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}
  3. Ridicăm la pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, unde a=1\displaystyle a=1 și b=1x+1\displaystyle b=\dfrac{1}{x+1}. Obținem (xx+1)2=1−2x+1+1(x+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2=1-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{(x+1)^2}.
    V=π∫01(1−2x+1+1(x+1)2)dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(1-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}\right)dx
  4. Primitivele termenilor sunt: pentru 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x; pentru 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1} este 2ln⁡(x+1)\displaystyle 2\ln(x+1); pentru 1(x+1)2\displaystyle \dfrac{1}{(x+1)^2} este −1x+1\displaystyle -\dfrac{1}{x+1}. Deci V=π(x−2ln⁡(x+1)−1x+1)∣01\displaystyle V=\pi\left(x-2\ln(x+1)-\dfrac{1}{x+1}\right)\Big|_0^1.
    V=π(x−2ln⁡(x+1)−1x+1)∣01\displaystyle V=\pi\left(x-2\ln(x+1)-\frac{1}{x+1}\right)\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1−2ln⁡2−12=12−2ln⁡2\displaystyle 1-2\ln 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-2\ln 2. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem 0−2ln⁡1−1=−1\displaystyle 0-2\ln 1-1=-1. Scădem: 12−2ln⁡2−(−1)=32−2ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{2}-2\ln 2-(-1)=\dfrac{3}{2}-2\ln 2.
    V=π(32−2ln⁡2)\displaystyle V=\pi\left(\frac{3}{2}-2\ln 2\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.