Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, sesiunea I rezervă varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 2\cdot(1,2+0,1)+0,4=3

.

Vezi rezolvarea

Se efectuează mai întâi calculul din interiorul parantezei, conform ordinii operațiilor.
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2+0$ , $\displaystyle 1=1$ , $\displaystyle 3$
Se înlocuiește rezultatul parantezei în expresia inițială.
$\displaystyle 2\cdot(1,2+0,1)+0$ , $\displaystyle 4=2\cdot 1$ , $\displaystyle 3+0$ , $\displaystyle 4=$
Se efectuează înmulțirea rămasă.
$\displaystyle 2\cdot 1$ , $\displaystyle 3=2$ , $\displaystyle 6$
Se adună rezultatul înmulțirii cu $\displaystyle 0,4$ pentru a obține rezultatul final.
$\displaystyle =2$ , $\displaystyle 6+0$ , $\displaystyle 4=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+1

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle f(a)-f(2)=a

.

Vezi rezolvarea

Se calculează $\displaystyle f(a)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în expresia funcției.
$\displaystyle f(a)=2a+1$
Se calculează $\displaystyle f(2)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în expresia funcției.
$\displaystyle f(2)=2\cdot 2+1=5$
Se scrie ecuația dată, înlocuind valorile calculate anterior.
$\displaystyle f(a)-f(2)=a\Rightarrow 2a+1-5=a$
Se simplifică membrul stâng al ecuației.
$\displaystyle 2a-4=a$
Se rezolvă ecuația de gradul întâi obținută, izolând necunoscuta $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 2a-a=4\Rightarrow a=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_{8}(x^{2}-5x+5)=\log_{8}x

.

Vezi rezolvarea

Se stabilesc condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică $\displaystyle x>0$ și $\displaystyle x^{2}-5x+5>0$ .
$\displaystyle x>0\text{ și }x^{2}-5x+5>0$
Deoarece funcția logaritmică (cu baza $\displaystyle 8>1$ ) este injectivă, din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor. Se obține astfel o ecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle x^{2}-5x+5=x\text{, de unde obținem }x^{2}-6x+5=0$
Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
$\displaystyle \Delta=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot5=36-20=16$
Se determină rădăcinile ecuației folosind formula $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{6\pm4}{2}\Rightarrow x_{1}=5$ , $\displaystyle \ x_{2}=1$
Se verifică fiecare soluție în raport cu condițiile de existență stabilite la început: $\displaystyle x>0$ și $\displaystyle x^{2}-5x+5>0$ . Pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle x^{2}-5x+5=1>0$ și $\displaystyle x=1>0$ , deci convine. Pentru $\displaystyle x=5$ avem $\displaystyle x^{2}-5x+5=5>0$ și $\displaystyle x=5>0$ , deci convine.
$\displaystyle x=1\text{ verifică }x^{2}-5x+5=1>0\text{ și }x>0;\quad x=5\text{ verifică }x^{2}-5x+5=5>0\text{ și }x>0$
Ambele soluții satisfac condițiile de existență, deci ecuația are ambele rădăcini ca soluții valide.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=5\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii

\displaystyle A=\{1,3,4,6,8\}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică cifrele impare din mulțimea $\displaystyle A$ , deoarece cifra unităților unui număr impar trebuie să fie impară. Din $\displaystyle A=\{1,3,4,6,8\}$ cifrele impare sunt $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle \{1,3\}\text{ -- cifre impare posibile }$ $\displaystyle \text{pentru unități}$
Se numără câte variante există pentru cifra unităților: sunt $\displaystyle 2$ cifre impare disponibile ( $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ ).
$\displaystyle 2$
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se alege dintre celelalte cifre rămase în mulțimea $\displaystyle A$ (cele două cifre trebuie să fie distincte). Cum $\displaystyle A$ are $\displaystyle 5$ elemente și una a fost folosită pentru unități, rămân $\displaystyle 4$ cifre disponibile pentru zeci.
$\displaystyle 5-1=4$
Se aplică regula produsului: numărul total de numere impare de două cifre distincte se obține înmulțind numărul de variante pentru cifra unităților cu numărul de variante pentru cifra zecilor.
$\displaystyle 2\cdot 4=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,8)

,

\displaystyle B(4,2)

și

\displaystyle C

, mijlocul segmentului

\displaystyle OA

. Determinați coordonatele mijlocului segmentului

\displaystyle BC

.

Vezi rezolvarea

Se identifică originea $\displaystyle O(0,0)$ și se reamintește formula coordonatelor mijlocului unui segment: pentru două puncte $\displaystyle M(x_1,y_1)$ și $\displaystyle N(x_2,y_2)$ , mijlocul segmentului $\displaystyle MN$ are coordonatele $\displaystyle \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
$\displaystyle M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Se aplică formula mijlocului pentru segmentul $\displaystyle OA$ , unde $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle A(0,8)$ , pentru a determina coordonatele lui $\displaystyle C$ .
$\displaystyle C\left(\dfrac{0+0}{2},\dfrac{0+8}{2}\right)$
Se efectuează calculele pentru a obține coordonatele punctului $\displaystyle C$ .
$\displaystyle C(0,4)$
Se aplică formula mijlocului unui segment pentru punctele $\displaystyle B(4,2)$ și $\displaystyle C(0,4)$ , pentru a determina mijlocul segmentului $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{4+0}{2},\dfrac{2+4}{2}\right)$
Se efectuează calculele finale și se obțin coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle (2,3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB=8

și

\displaystyle C=\dfrac{\pi}{4}

. Arătați că aria triunghiului

\displaystyle ABC

este egală cu

\displaystyle 32

.

Vezi rezolvarea

Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul din $\displaystyle A$ este de $\displaystyle 90°$ , iar unghiul $\displaystyle C$ este de $\displaystyle 45°$ (adică $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ ). Cateta $\displaystyle AB=8$ este opusă unghiului $\displaystyle C$ .
$\displaystyle \widehat{A}=90^\circ$ , $\displaystyle \ \widehat{C}=45^\circ$ , $\displaystyle \ AB=8$
În triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ , se scrie relația trigonometrică dintre unghiul $\displaystyle C$ și catetele $\displaystyle AB$ (opusă) și $\displaystyle AC$ (alăturată), folosind tangenta unghiului $\displaystyle C$ .
$\displaystyle \tan(\widehat{C})=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{8}{AC}$
Se folosește valoarea cunoscută $\displaystyle \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$ și se rezolvă ecuația pentru $\displaystyle AC$ , obținând că $\displaystyle AC$ este egal cu $\displaystyle AB$ .
$\displaystyle 1=\dfrac{8}{AC}\Rightarrow AC=8$
Se calculează aria triunghiului dreptunghic $\displaystyle ABC$ ca semiprodusul celor două catete, $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}$
Se înlocuiesc valorile $\displaystyle AB=8$ și $\displaystyle AC=8$ în formula ariei și se obține rezultatul final cerut.
$\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{8\cdot 8}{2}=32$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2 & x-2\\ x-4 & x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(B(5))=12

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la forma generală a matricei $\displaystyle B(x)$ și se înlocuiește $\displaystyle x=5$ în fiecare element.
$\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2 & x-2\\ x-4 & x\end{pmatrix}\Rightarrow B(5)=\begin{pmatrix}5-2 & 5-2\\ 5-4 & 5\end{pmatrix}$
Se calculează efectiv fiecare element al matricei $\displaystyle B(5)$ , obținându-se matricea numerică.
$\displaystyle B(5)=\begin{pmatrix}3 & 3\\ 1 & 5\end{pmatrix}$
Se scrie determinantul matricei $\displaystyle B(5)$ folosind formula pentru determinantul de ordinul doi și se aplică regula de calcul (produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare).
$\displaystyle \det(B(5))=\begin{vmatrix}3 & 3\\ 1 & 5\end{vmatrix}=3\cdot 5-3\cdot 1=$
Se efectuează calculele numerice și se obține valoarea finală a determinantului.
$\displaystyle =15-3=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2 & x-2\\ x-4 & x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle \left(B(4)-B(2)\right)\cdot A=aA

.

Vezi rezolvarea

Se calculează matricea $\displaystyle B(4)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 4$ în expresia matricei $\displaystyle B(x)$ .
$\displaystyle B(4)=\begin{pmatrix}4-2 & 4-2\\ 4-4 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 4\end{pmatrix}$
Se calculează matricea $\displaystyle B(2)$ prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în expresia matricei $\displaystyle B(x)$ .
$\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}2-2 & 2-2\\ 2-4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ -2 & 2\end{pmatrix}$
Se calculează diferența $\displaystyle B(4)-B(2)$ , scăzând elementele corespunzătoare ale celor două matrice.
$\displaystyle B(4)-B(2)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\ -2 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$
Se înmulțește matricea obținută, $\displaystyle B(4)-B(2)$ , cu matricea $\displaystyle A$ , folosind regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană).
$\displaystyle \left(B(4)-B(2)\right)\cdot A=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+2\cdot1 & 2\cdot3+2\cdot3\\ 2\cdot1+2\cdot1 & 2\cdot3+2\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 12\\ 4 & 12\end{pmatrix}$
Se observă că matricea rezultată este chiar $\displaystyle 4A$ , deoarece $\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ și $\displaystyle 4A=\begin{pmatrix}4 & 12\\ 4 & 12\end{pmatrix}$ , deci concluzia parțială a baremului este confirmată.
$\displaystyle \left(B(4)-B(2)\right)\cdot A=\begin{pmatrix}4 & 12\\ 4 & 12\end{pmatrix}=4A$
Se compară rezultatul obținut cu forma cerută $\displaystyle aA$ și se identifică valoarea lui $\displaystyle a$ prin egalarea coeficienților.
$\displaystyle 4A=aA\text{, de unde obținem }a=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}

și

\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x-2 & x-2\\ x-4 & x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det\left(A\cdot B(x)-4xI_{2}\right)=0

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim linia $\displaystyle (1\ \ 3)$ din $\displaystyle A$ cu fiecare coloană a lui $\displaystyle B(x)$ : $\displaystyle 1\cdot(x-2)+3\cdot(x-4)=4x-14$ și $\displaystyle 1\cdot(x-2)+3\cdot x=4x-2$ . A doua linie a lui $\displaystyle A$ este identică cu prima, deci și a doua linie a produsului este identică cu prima.
$\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}4x-14 & 4x-2\\ 4x-14 & 4x-2\end{pmatrix}$
Scădem $\displaystyle 4xI_{2}=\begin{pmatrix}4x & 0\\ 0 & 4x\end{pmatrix}$ , adică scădem $\displaystyle 4x$ de pe diagonala principală: $\displaystyle 4x-14-4x=-14$ și $\displaystyle 4x-2-4x=-2$ .
$\displaystyle A\cdot B(x)-4xI_{2}=\begin{pmatrix}-14 & 4x-2\\ 4x-14 & -2\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară: $\displaystyle (-14)(-2)-(4x-2)(4x-14)=28-(16x^{2}-64x+28)$ . Reducem termenii asemenea și dăm factor comun $\displaystyle -16x$ .
$\displaystyle \det\left(A\cdot B(x)-4xI_{2}\right)=-16x^{2}+64x=-16x(x-4)$
Egalăm determinantul cu zero: $\displaystyle -16x(x-4)=0$ . Un produs este nul când un factor este nul, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x-4=0$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x(x-2)+y(y-2)

.

Arătați că

\displaystyle 3\circ 3=6

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție dată și se identifică faptul că trebuie calculat $\displaystyle 3\circ 3$ , adică se înlocuiește $\displaystyle x=3$ și $\displaystyle y=3$ în definiția $\displaystyle x\circ y=x(x-2)+y(y-2)$ .
$\displaystyle x\circ y=x(x-2)+y(y-2)$
Se aplică definiția legii de compoziție pentru $\displaystyle x=3$ și $\displaystyle y=3$ , înlocuind direct în formulă.
$\displaystyle 3\circ 3=3(3-2)+3(3-2)=$
Se calculează fiecare paranteză: $\displaystyle 3-2=1$ , deci fiecare termen devine $\displaystyle 3\cdot 1=3$ .
$\displaystyle 3(3-2)+3(3-2)=3\cdot 1+3\cdot 1=3+3$
Se adună cei doi termeni obținuți pentru a determina rezultatul final al operației.
$\displaystyle =3+3=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x(x-2)+y(y-2)

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 2\circ x=x^{2}+2

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție pentru perechea $\displaystyle (2,x)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle x$ în definiția $\displaystyle x\circ y=x(x-2)+y(y-2)$ .
$\displaystyle 2\circ x=2(2-2)+x(x-2)$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 2(2-2)=0$ , iar $\displaystyle x(x-2)=x^{2}-2x$ , deci obținem forma simplificată a lui $\displaystyle 2\circ x$ .
$\displaystyle 2\circ x=0+x^{2}-2x=x^{2}-2x$
Egalăm expresia obținută pentru $\displaystyle 2\circ x$ cu membrul drept al ecuației date, $\displaystyle x^{2}+2$ , și simplificăm termenii $\displaystyle x^{2}$ din ambii membri pentru a obține o ecuație liniară în $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 2\circ x=x^{2}-2x\text{ și obținem }-2x=2$
Rezolvăm ecuația liniară obținută, împărțind ambii membri prin $\displaystyle -2$ pentru a afla valoarea lui $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x=\frac{2}{-2}$
Simplificăm fracția și obținem soluția finală a ecuației.
$\displaystyle x=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=x(x-2)+y(y-2)

.

Arătați că

\displaystyle x\circ y\geq -2

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Scriem expresia legii de compoziție conform definiției date în enunț.
$\displaystyle x\circ y=x(x-2)+y(y-2)$
Desfacem parantezele, efectuând înmulțirile.
$\displaystyle x\circ y=x^{2}-2x+y^{2}-2y=$
Scriem separat fiecare grup de doi termeni sub forma unui pătrat perfect minus o constantă, folosind formula $\displaystyle a^{2}-2a=(a-1)^{2}-1$ .
$\displaystyle x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}-1\text{, }\quad y^{2}-2y=\left(y-1\right)^{2}-1$
Înlocuim cele două expresii obținute în suma inițială și adunăm constantele.
$\displaystyle x\circ y=\left(x-1\right)^{2}-1+\left(y-1\right)^{2}-1=\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}-2$
Observăm că suma a două pătrate este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, deci expresia este mărginită inferior de $\displaystyle -2$ , pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle =\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}-2\geq -2\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x^{2}}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția ca sumă de trei termeni și se derivează fiecare termen folosind formulele de derivare cunoscute: derivata lui $\displaystyle \sqrt{x}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , derivata lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}$ , iar derivata unei constante este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3\Rightarrow f'(x)=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)-0$
Se simplifică fiecare termen obținut: $\displaystyle 2$ se reduce cu $\displaystyle 2$ la primul termen, iar semnul minus din fața lui $\displaystyle -\dfrac{1}{x^{2}}$ dă plus.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{2}}=$
Se amplifică fracția $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ cu $\displaystyle \sqrt{x}$ pentru a scrie ambele fracții cu numitori care conțin puteri ale lui $\displaystyle x$ , obținând numitorul comun $\displaystyle x^{2}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}$
Se aduce la numitor comun $\displaystyle x^{2}$ : primul termen se amplifică cu $\displaystyle x$ , apoi se adună numărătorii peste numitorul comun, obținând forma finală a derivatei, valabilă pentru $\displaystyle x$ din domeniul de definiție.
$\displaystyle =\dfrac{\sqrt{x}}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x^{2}}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=1

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se scrie funcția sub formă convenabilă pentru derivare și se calculează derivata $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3$ , $\displaystyle \ f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{2}}$
Se calculează valoarea funcției în punctul $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f(1)=2\sqrt{1}-\dfrac{1}{1}-3=2-1-3=-2$
Se calculează valoarea derivatei în punctul $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{1^{2}}=1+1=2$
Se centralizează rezultatele obținute: valoarea funcției și a derivatei în $\displaystyle x=1$ , necesare pentru ecuația tangentei.
$\displaystyle f(1)=-2$ , $\displaystyle \ f'(1)=2$
Se aplică formula ecuației tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$ , și se înlocuiesc valorile obținute, apoi se simplifică expresia.
$\displaystyle y-(-2)=2(x-1)\Rightarrow y=2x-2-2\Rightarrow y=2x-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este bijectivă.

Vezi rezolvarea

Se calculează derivata funcției $\displaystyle f$ pe domeniul $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}$
Se observă că ambii termeni ai derivatei sunt strict pozitivi pentru orice $\displaystyle x$ din domeniu, deci derivata este strict pozitivă.
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}>0\text{ și }\dfrac{1}{x^2}>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f'(x)>0$
Deoarece derivata este strict pozitivă pe tot domeniul, funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare, deci injectivă.
$\displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este strict crescătoare }$ $\displaystyle \text{pe }(0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este injectivă}$
Se calculează limita funcției $\displaystyle f$ atunci când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle 0$ , la dreapta.
$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\left(2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3\right)=0-\infty-3=-\infty$
Se calculează limita funcției $\displaystyle f$ atunci când $\displaystyle x$ tinde la $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3\right)=+\infty-0-3=+\infty$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe domeniul său (fiind sumă de funcții elementare continue), iar cum limitele la capetele intervalului sunt $\displaystyle -\infty$ și $\displaystyle +\infty$ , rezultă că imaginea funcției este întreg codomeniul $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci $\displaystyle f$ este surjectivă. Fiind și injectivă din pasul anterior, obținem că $\displaystyle f$ este bijectivă.
$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty\text{, }\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\text{ și }f\text{ este continuă, deci }f\text{ este surjectivă, de unde }$ $\displaystyle \text{obținem că }f\text{ este bijectivă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x^{2}+1}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{2}(x^{2}+1)f(x)\,dx=6

.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia produsului $\displaystyle (x^{2}+1)\cdot f(x)$ folosind definiția funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle (x^{2}+1)f(x)=(x^{2}+1)\cdot\dfrac{4x}{x^{2}+1}$
Se simplifică fracția, eliminând factorul $\displaystyle (x^{2}+1)$ de la numărător și numitor.
$\displaystyle (x^{2}+1)f(x)=4x$
Se scrie integrala definită a produsului $\displaystyle (x^{2}+1)f(x)$ pe intervalul $\displaystyle [1,2]$ , care devine integrala funcției liniare $\displaystyle 4x$ , apoi se determină o primitivă a acesteia.
$\displaystyle \int_{1}^{2}(x^{2}+1)f(x)dx=\int_{1}^{2}4x\,dx=2x^{2}\Big|_{1}^{2}=$
Se aplică formula Leibniz-Newton, calculând valorile primitivei în capetele intervalului: $\displaystyle 2\cdot 2^{2}$ și $\displaystyle 2\cdot 1^{2}$ .
$\displaystyle 2\cdot2^{2}-2\cdot1^{2}=8-2$
Se efectuează scăderea și se obține valoarea finală a integralei.
$\displaystyle =8-2=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x^{2}+1}

.

Arătați că

\displaystyle \displaystyle\int_{2}^{3}f(x)\,dx=2\ln 2

.

Vezi rezolvarea

Scriem integrala definită pe care trebuie să o calculăm, pornind de la funcția dată.
$\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)dx=\int_{2}^{3}\dfrac{4x}{x^{2}+1}dx$
Observăm că derivata numitorului este $\displaystyle (x^2+1)'=2x$ , deci scriem $\displaystyle 4x$ ca $\displaystyle 2$ ori $\displaystyle 2x$ , pentru a putea folosi formula derivatei logaritmice.
$\displaystyle \dfrac{4x}{x^{2}+1}=2\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+1}=2\cdot\dfrac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}$
Recunoaștem integrandul ca fiind de forma $\displaystyle \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1}$ , a cărei primitivă este $\displaystyle \ln(x^2+1)$ , și rescriem integrala.
$\displaystyle \int_{2}^{3}\dfrac{4x}{x^{2}+1}dx=2\int_{2}^{3}\dfrac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}dx$
Aplicăm formula de integrare pentru derivata logaritmică și apoi formula Leibniz-Newton, scriind primitiva evaluată între limitele de integrare.
$\displaystyle 2\int_{2}^{3}\dfrac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}dx=2\ln(x^{2}+1)\Big|_{2}^{3}$
Înlocuim limitele superioară și inferioară în primitivă, calculând valorile $\displaystyle x^2+1$ pentru $\displaystyle x=3$ și $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle 2\ln(3^{2}+1)-2\ln(2^{2}+1)=2\ln 10-2\ln 5$
Simplificăm expresia folosind proprietatea logaritmilor de scădere, obținând rezultatul final.
$\displaystyle 2\ln 10-2\ln 5=2\ln\dfrac{10}{5}=2\ln 2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x^{2}+1}

.

Determinați

\displaystyle m\in(1,+\infty)

pentru care

\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{m}\left(\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)^{3}dx=6

.

Vezi rezolvarea

Se calculează $\displaystyle f(\sqrt{x})$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \sqrt{x}$ în expresia lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f(\sqrt{x})=\dfrac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^{2}+1}=\dfrac{4\sqrt{x}}{x+1}$
Se împarte $\displaystyle f(\sqrt{x})$ la $\displaystyle \sqrt{x}$ pentru a obține expresia de sub integrală (fără puterea 3).
$\displaystyle \dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}=\dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+1)}=\dfrac{4}{x+1}$
Se ridică expresia obținută la puterea a treia, conform integrandului din enunț.
$\displaystyle \left(\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)^{3}=\dfrac{4^{3}}{(x+1)^{3}}=\dfrac{64}{(x+1)^{3}}$
Se scrie integrala cu noua formă simplificată a integrandului.
$\displaystyle \int_{1}^{m}\left(\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)^{3}dx=\int_{1}^{m}\dfrac{64}{(x+1)^{3}}dx$
Se determină o primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{64}{(x+1)^3}$ , folosind formula de integrare a puterilor: se scrie $\displaystyle 64(x+1)^{-3}$ și se aplică regula $\displaystyle \int (x+1)^n dx = \dfrac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C$ pentru $\displaystyle n=-3$ .
$\displaystyle \int\dfrac{64}{(x+1)^{3}}dx=64\cdot\dfrac{(x+1)^{-2}}{-2}+C=-\dfrac{32}{(x+1)^{2}}+C$
Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva găsită între limitele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle m$ , obținând expresia integralei în funcție de $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \int_{1}^{m}\left(\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)^{3}dx=\int_{1}^{m}\dfrac{64}{(x+1)^{3}}dx=-\dfrac{32}{(x+1)^{2}}\Big|_{1}^{m}=-\dfrac{32}{(m+1)^{2}}+8$
Se detaliază calculul valorii la capătul inferior $\displaystyle x=1$ , pentru a justifica termenul constant $\displaystyle +8$ : $\displaystyle -\dfrac{32}{(1+1)^2}=-\dfrac{32}{4}=-8$ , iar cu semnul din scădere obținem $\displaystyle +8$ .
$\displaystyle -\dfrac{32}{(1+1)^{2}}=-\dfrac{32}{4}=-8\text{, deci scăzând se obține }+8$
Se pune condiția din enunț ca integrala să fie egală cu $\displaystyle 6$ și se obține ecuația în $\displaystyle m$ .
$\displaystyle -\dfrac{32}{(m+1)^{2}}+8=6$
Se izolează termenul cu $\displaystyle m$ , mutând constantele: $\displaystyle -\dfrac{32}{(m+1)^2}=-2$ , deci $\displaystyle (m+1)^2=16$ .
$\displaystyle -\dfrac{32}{(m+1)^{2}}=-2\Rightarrow(m+1)^{2}=16$
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea $\displaystyle (m+1)^2=16$ , obținând două soluții posibile pentru $\displaystyle m$ .
$\displaystyle m+1=4\text{ sau }m+1=-4\Rightarrow m=3\text{ sau }m=-5$
Se verifică soluțiile obținute cu condiția $\displaystyle m\in(1,+\infty)$ din enunț și se reține soluția valabilă, rezolvând complet ecuația.
$\displaystyle -\dfrac{32}{(m+1)^{2}}+8=6\text{ și, cum }m\in(1,+\infty)\text{, obținem }m=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2024, sesiunea I rezervă varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani