Bac matematică M2 științe ale naturii 2015, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=1+i\displaystyle z=1+i. Arătați că z2−2i=0\displaystyle z^2-2i=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem z2=(1+i)2\displaystyle z^2=(1+i)^2 și folosim formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=1\displaystyle a=1 și b=i\displaystyle b=i.
    (1+i)2=12+2⋅1⋅i+i2=1+2i+i2\displaystyle (1+i)^2=1^2+2\cdot 1\cdot i+i^2=1+2i+i^2
  2. Folosim i2=−1\displaystyle i^2=-1, deci 1+2i+i2=1+2i−1\displaystyle 1+2i+i^2=1+2i-1. Reducem termenii: 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    z2=1+2i−1=2i\displaystyle z^2=1+2i-1=2i
  3. Înlocuim z2=2i\displaystyle z^2=2i în expresia z2−2i\displaystyle z^2-2i. Obținem 2i−2i=0\displaystyle 2i-2i=0, ceea ce trebuia demonstrat.
    z2−2i=2i−2i=0\displaystyle z^2-2i=2i-2i=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (g∘f)(3)\displaystyle (g\circ f)(3), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+2015\displaystyle g(x)=x+2015.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția compunerii de funcții: (g∘f)(3)=g(f(3))\displaystyle (g\circ f)(3)=g(f(3)). Deci calculăm întâi f(3)\displaystyle f(3), apoi aplicăm g\displaystyle g rezultatului.
    (g∘f)(3)=g(f(3))\displaystyle (g\circ f)(3)=g(f(3))
  2. Calculăm f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3: f(3)=3−3=0\displaystyle f(3)=3-3=0.
    f(3)=3−3=0\displaystyle f(3)=3-3=0
  3. Aplicăm g\displaystyle g valorii obținute: g(f(3))=g(0)\displaystyle g(f(3))=g(0). Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în g(x)=x+2015\displaystyle g(x)=x+2015 și obținem g(0)=0+2015=2015\displaystyle g(0)=0+2015=2015.
    (g∘f)(3)=g(f(3))=g(0)=0+2015=2015\displaystyle (g\circ f)(3)=g(f(3))=g(0)=0+2015=2015
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x2−5x=53−3x\displaystyle 5^{x^2-5x}=5^{3-3x}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația are aceeași bază 5\displaystyle 5 în ambii membri, iar 5>0\displaystyle 5>0 și 5≠1\displaystyle 5\neq 1. Funcția exponențială este injectivă, deci putem egala exponenții.
    x2−5x=3−3x\displaystyle x^{2}-5x=3-3x
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng: x2−5x−3+3x=0\displaystyle x^{2}-5x-3+3x=0. Reducem termenii asemenea, −5x+3x=−2x\displaystyle -5x+3x=-2x, și obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0
  3. Calculăm discriminantul pentru a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−3\displaystyle c=-3: Δ=b2−4ac=4+12\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=4+12.
    Δ=16\displaystyle \Delta=16
  4. Aplicăm formula rădăcinilor: x=2±42\displaystyle x=\dfrac{2\pm 4}{2}. Obținem rădăcinile −1\displaystyle -1 și 3\displaystyle 3. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții ale ecuației inițiale.
    x1=−1 și x2=3\displaystyle x_1=-1\text{ și }x_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\} are 5\displaystyle 5 elemente. O submulțime cu 4\displaystyle 4 elemente se obține alegând 4\displaystyle 4 elemente din cele 5\displaystyle 5, iar ordinea alegerii nu contează. Deci numărul căutat este C54\displaystyle C_5^4.
    C54\displaystyle C_5^4
  2. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}. Pentru n=5\displaystyle n=5 și k=4\displaystyle k=4 obținem C54=5!4!⋅1!\displaystyle C_5^4=\dfrac{5!}{4!\cdot 1!}.
    C54=5!4!⋅1!\displaystyle C_5^4=\dfrac{5!}{4!\cdot 1!}
  3. Scriem 5!=5⋅4!\displaystyle 5!=5\cdot 4!, simplificăm cu 4!\displaystyle 4! și ținem cont că 1!=1\displaystyle 1!=1. Rezultă 5⋅4!4!⋅1=5\displaystyle \dfrac{5\cdot 4!}{4!\cdot 1}=5. Deci mulțimea are 5\displaystyle 5 submulțimi cu patru elemente (fiecare se obține omițând câte un element).
    C54=5⋅4!4!⋅1=5\displaystyle C_5^4=\dfrac{5\cdot 4!}{4!\cdot 1}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(0,4)\displaystyle A(0,4). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin punctul A\displaystyle A și este paralelă cu dreapta de ecuație y=2x+7\displaystyle y=2x+7.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta dată y=2x+7\displaystyle y=2x+7 are forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n, deci panta ei este coeficientul lui x\displaystyle x, adică 2\displaystyle 2.
    my=2x+7=2\displaystyle m_{y=2x+7}=2
  2. Dreptele paralele au pante egale, deci panta dreptei d\displaystyle d este tot 2\displaystyle 2.
    m=2\displaystyle m=2
  3. Scriem ecuația dreptei d\displaystyle d sub forma y=2x+n\displaystyle y=2x+n, cu n\displaystyle n necunoscut.
    d: y=2x+n\displaystyle d:\ y=2x+n
  4. Punctul A(0,4)\displaystyle A(0,4) aparține dreptei d\displaystyle d, deci coordonatele lui verifică ecuația: înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=4\displaystyle y=4.
    4=2⋅0+n\displaystyle 4=2\cdot 0+n
  5. Rezultă n=4\displaystyle n=4, deci ecuația dreptei d\displaystyle d este y=2x+4\displaystyle y=2x+4.
    y=2x+4\displaystyle y=2x+4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați aria triunghiului MNP\displaystyle MNP, știind că MN=12\displaystyle MN=12, MP=3\displaystyle MP=3 și m(∠M)=30∘\displaystyle m(\angle M)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul M\displaystyle M este cuprins între laturile MN\displaystyle MN și MP\displaystyle MP, deci putem folosi formula ariei ca semiprodusul celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului cuprins: AΔMNP=MN⋅MP⋅sin⁡M2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\dfrac{MN\cdot MP\cdot \sin M}{2}.
    AΔMNP=MN⋅MP⋅sin⁡M2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\dfrac{MN\cdot MP\cdot \sin M}{2}
  2. Înlocuim datele problemei: MN=12\displaystyle MN=12, MP=3\displaystyle MP=3, iar sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, deci 12⋅12=6\displaystyle 12\cdot\dfrac{1}{2}=6. Obținem AΔMNP=12⋅3⋅sin⁡30∘2=6⋅32\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\dfrac{12\cdot 3\cdot \sin 30^\circ}{2}=\dfrac{6\cdot 3}{2}.
    AΔMNP=12⋅3⋅sin⁡30∘2=6⋅32\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=\dfrac{12\cdot 3\cdot \sin 30^\circ}{2}=\dfrac{6\cdot 3}{2}
  3. Calculăm: 6⋅3=18\displaystyle 6\cdot 3=18, iar 182=9\displaystyle \dfrac{18}{2}=9. Aria triunghiului MNP\displaystyle MNP este 9\displaystyle 9.
    AΔMNP=9\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta MNP}=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−a−a1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & -a\\ -a & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Pe diagonala principală rămân elementele 1\displaystyle 1, iar elementele −a\displaystyle -a devin 0\displaystyle 0, deci obținem matricea unitate de ordin doi.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣1001∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 1⋅1−0⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1-0\cdot 0=1, deci det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1, ceea ce trebuia arătat.
    1⋅1−0⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1-0\cdot 0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−a−a1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & -a\\ -a & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, pentru care det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) și îl calculăm ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=1⋅1−(−a)⋅(−a)\displaystyle \det(A(a))=1\cdot 1-(-a)\cdot(-a).
    det⁡(A(a))=∣1−a−a1∣=1⋅1−(−a)(−a)\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1 & -a\\ -a & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1-(-a)(-a)
  2. Simplificăm: produsul (−a)⋅(−a)\displaystyle (-a)\cdot(-a) este a2\displaystyle a^{2}, deci determinantul este 1−a2\displaystyle 1-a^{2}.
    det⁡(A(a))=1−a2\displaystyle \det(A(a))=1-a^{2}
  3. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică 1−a2=0\displaystyle 1-a^{2}=0, de unde a2=1\displaystyle a^{2}=1.
    1−a2=0⇔a2=1\displaystyle 1-a^{2}=0\Leftrightarrow a^{2}=1
  4. Din a2=1\displaystyle a^{2}=1 rezultă a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1 (echivalent, 1−a2=(1−a)(1+a)=0\displaystyle 1-a^{2}=(1-a)(1+a)=0). Verificare: pentru ambele valori, det⁡(A(a))=1−1=0\displaystyle \det(A(a))=1-1=0. Deci numerele căutate sunt −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1.
    a1=−1 și a2=1\displaystyle a_1=-1\text{ și }a_2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−a−a1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & -a\\ -a & 1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)A(b)=A(a+b)+abI2\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b)+abI_2, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(a)=(1−a−a1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & -a\\ -a & 1\end{pmatrix} și A(b)=(1−b−b1)\displaystyle A(b)=\begin{pmatrix}1 & -b\\ -b & 1\end{pmatrix}. Vom calcula separat membrul stâng și membrul drept al egalității.
    A(a)A(b)=(1−a−a1)(1−b−b1)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1 & -a\\ -a & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -b\\ -b & 1\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1: 1⋅1+(−a)(−b)=1+ab\displaystyle 1\cdot 1+(-a)(-b)=1+ab. Linia 1, coloana 2: 1⋅(−b)+(−a)⋅1=−b−a\displaystyle 1\cdot(-b)+(-a)\cdot 1=-b-a. Linia 2, coloana 1: (−a)⋅1+1⋅(−b)=−a−b\displaystyle (-a)\cdot 1+1\cdot(-b)=-a-b. Linia 2, coloana 2: (−a)(−b)+1⋅1=ab+1\displaystyle (-a)(-b)+1\cdot 1=ab+1.
    A(a)A(b)=(1+ab−b−a−a−bab+1)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1+ab & -b-a\\ -a-b & ab+1\end{pmatrix}
  3. Înlocuind a\displaystyle a cu a+b\displaystyle a+b în definiție, obținem A(a+b)\displaystyle A(a+b). Înmulțim matricea unitate I2\displaystyle I_2 cu numărul ab\displaystyle ab, element cu element.
    A(a+b)=(1−a−b−a−b1)\displaystyle A(a+b)=\begin{pmatrix}1 & -a-b\\ -a-b & 1\end{pmatrix}, abI2=(ab00ab)\displaystyle \ abI_2=\begin{pmatrix}ab & 0\\ 0 & ab\end{pmatrix}
  4. Adunăm element cu element: 1+ab\displaystyle 1+ab pe diagonală și −a−b+0=−a−b\displaystyle -a-b+0=-a-b în afara diagonalei.
    A(a+b)+abI2=(1+ab−a−b−a−b1+ab)\displaystyle A(a+b)+abI_2=\begin{pmatrix}1+ab & -a-b\\ -a-b & 1+ab\end{pmatrix}
  5. Comparăm rezultatele: −b−a=−a−b\displaystyle -b-a=-a-b și ab+1=1+ab\displaystyle ab+1=1+ab, deci cele două matrici sunt egale. Egalitatea are loc pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    A(a+b)+abI2=(1+ab−a−b−a−b1+ab)=A(a)A(b), pentru orice numere \displaystyle A(a+b)+abI_2=\begin{pmatrix}1+ab & -a-b\\ -a-b & 1+ab\end{pmatrix}=A(a)A(b)\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−mX+2\displaystyle f=X^3-mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că f(0)=2\displaystyle f(0)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul este f=X3−mX+2\displaystyle f=X^{3}-mX+2. Pentru a calcula f(0)\displaystyle f(0), înlocuim nedeterminata X\displaystyle X cu valoarea 0\displaystyle 0.
    f(0)=03−m⋅0+2\displaystyle f(0)=0^{3}-m\cdot 0+2
  2. Calculăm fiecare termen: 03=0\displaystyle 0^{3}=0, iar m⋅0=0\displaystyle m\cdot 0=0, indiferent de valoarea lui m\displaystyle m.
    03=0 și m⋅0=0\displaystyle 0^{3}=0\text{ și }m\cdot 0=0
  3. Înlocuim aceste valori în expresie și obținem f(0)=0−0+2=2\displaystyle f(0)=0-0+2=2, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    f(0)=0−0+2=2\displaystyle f(0)=0-0+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−mX+2\displaystyle f=X^3-mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că restul împărțirii lui f\displaystyle f la polinomul g=X2+X−2\displaystyle g=X^2+X-2 este egal cu 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Începem împărțirea lui f\displaystyle f la g\displaystyle g. Împărțim termenul de grad maxim din f\displaystyle f la cel din g\displaystyle g: X3X2=X\displaystyle \dfrac{X^{3}}{X^{2}}=X. Scădem din f\displaystyle f produsul X⋅g=X3+X2−2X\displaystyle X\cdot g=X^{3}+X^{2}-2X.
    f−X⋅g=−X2+(2−m)X+2\displaystyle f-X\cdot g=-X^{2}+(2-m)X+2
  2. Continuăm cu noul polinom. Împărțim −X2X2=−1\displaystyle \dfrac{-X^{2}}{X^{2}}=-1. Scădem produsul (−1)⋅g=−X2−X+2\displaystyle (-1)\cdot g=-X^{2}-X+2 și reducem termenii asemenea. Restul are gradul mai mic decât 2\displaystyle 2, deci împărțirea se oprește.
    −X2+(2−m)X+2−(−X2−X+2)=(3−m)X\displaystyle -X^{2}+(2-m)X+2-(-X^{2}-X+2)=(3-m)X
  3. Am obținut f=(X−1)⋅g+(3−m)X\displaystyle f=(X-1)\cdot g+(3-m)X, deci câtul este X−1\displaystyle X-1, iar restul este (3−m)X\displaystyle (3-m)X. Restul trebuie să fie polinomul nul, deci coeficientul lui X\displaystyle X este 0\displaystyle 0.
    3−m=0\displaystyle 3-m=0
  4. Din 3−m=0\displaystyle 3-m=0 rezultă m=3\displaystyle m=3.
    3−m=0⇔m=3\displaystyle 3-m=0\Leftrightarrow m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3−mX+2\displaystyle f=X^3-mX+2, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că x13+x23+x33=−6\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=-6, pentru orice număr real m\displaystyle m, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3−mX+2\displaystyle f=X^3-mX+2 are gradul 3, deci are trei rădăcini x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3. Coeficienții sunt: a=1\displaystyle a=1 pentru X3\displaystyle X^3, b=0\displaystyle b=0 pentru X2\displaystyle X^2, c=−m\displaystyle c=-m pentru X\displaystyle X și d=2\displaystyle d=2 termenul liber.
    a=1\displaystyle a=1, b=0\displaystyle \ b=0, c=−m\displaystyle \ c=-m, d=2\displaystyle \ d=2
  2. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}. Cum b=0\displaystyle b=0 și a=1\displaystyle a=1, obținem suma rădăcinilor.
    x1+x2+x3=−01=0\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{0}{1}=0
  3. Fiecare rădăcină verifică ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0, adică x3−mx+2=0\displaystyle x^3-mx+2=0. Scriem relația pentru x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3 și exprimăm cubul fiecărei rădăcini.
    x13=mx1−2\displaystyle x_1^3=mx_1-2,x23=mx2−2\displaystyle \quad x_2^3=mx_2-2,x33=mx3−2\displaystyle \quad x_3^3=mx_3-2
  4. Adunăm cele trei relații. În partea dreaptă dăm factor comun pe m\displaystyle m, iar termenii liberi −2\displaystyle -2 se adună de trei ori.
    x13+x23+x33=m(x1+x2+x3)−6\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=m(x_1+x_2+x_3)-6
  5. Înlocuim x1+x2+x3=0\displaystyle x_1+x_2+x_3=0. Rezultatul nu depinde de m\displaystyle m, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real m\displaystyle m.
    x13+x23+x33=m⋅0−6=−6\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=m\cdot 0-6=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x-1.

Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0): înlocuim x=0\displaystyle x=0 în f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x-1. Obținem f(0)=e0−0−1=0\displaystyle f(0)=e^{0}-0-1=0.
    f(0)=e0−0−1=0\displaystyle f(0)=e^{0}-0-1=0
  2. Observăm că lim⁡x→0f(x)−f(0)x=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul 0\displaystyle 0. Deci limita este egală cu f′(0)\displaystyle f'(0), dacă derivata există.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)
  3. Calculăm derivata funcției f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x-1. Folosim (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (1)′=0\displaystyle (1)'=0. Obținem f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^{x}-1
  4. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în derivată: f′(0)=e0−1=1−1=0\displaystyle f'(0)=e^{0}-1=1-1=0. Deci lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=0.
    f′(0)=0⇒lim⁡x→0f(x)−f(0)x=0\displaystyle f'(0)=0\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x-1.

Arătați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x-1: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0. Obținem f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1
  2. Studiem semnul derivatei pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Funcția ex\displaystyle e^x este strict crescătoare (baza e>1\displaystyle e>1), iar e0=1\displaystyle e^0=1. Deci ex≤1\displaystyle e^x\leq 1 exact când x≤0\displaystyle x\leq 0.
    ex≤1⇔x≤0\displaystyle e^x\leq 1\Leftrightarrow x\leq 0
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din inegalitatea ex≤1\displaystyle e^x\leq 1 și obținem ex−1≤0\displaystyle e^x-1\leq 0, adică f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle x\in(-\infty,0]. Cum derivata este negativă sau nulă pe interval, funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
    f′(x)≤0, pentru orice x∈(−∞,0], deci f este descresca˘toare pe \displaystyle f'(x)\leq 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }intervalul (−∞,0]\displaystyle \text{intervalul }(-\infty,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x-1.

Demonstrați că ex≥x+1\displaystyle e^x\geq x+1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea ex≥x+1\displaystyle e^x\geq x+1 este echivalentă cu f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, unde f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x-1. Studiem monotonia lui f\displaystyle f cu ajutorul derivatei.
    ex≥x+1⇔f(x)≥0\displaystyle e^x\geq x+1\Leftrightarrow f(x)\geq 0
  2. Calculăm derivata: f′(x)=(ex−x−1)′=ex−1\displaystyle f'(x)=(e^x-x-1)'=e^x-1.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0, adică ex=1\displaystyle e^x=1, de unde x=0\displaystyle x=0. Deci f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f′(0)=e0−1=0\displaystyle f'(0)=e^0-1=0
  4. Pentru x≥0\displaystyle x\geq 0 avem ex≥e0=1\displaystyle e^x\geq e^0=1, deci f′(x)=ex−1≥0\displaystyle f'(x)=e^x-1\geq 0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f′(0)=0 și f′(x)≥0, pentru orice x∈[0,+∞), deci f este cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle f'(0)=0\text{ și }f'(x)\geq 0\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[0,+\infty)
  5. Pentru x≤0\displaystyle x\leq 0 avem ex≤1\displaystyle e^x\leq 1, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Deci f\displaystyle f are un minim global în x=0\displaystyle x=0.
    f(x)≥f(0), pentru orice x∈R\displaystyle f(x)\geq f(0)\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  6. Calculăm f(0)=e0−0−1=0\displaystyle f(0)=e^0-0-1=0. Deci f(x)≥f(0)=0\displaystyle f(x)\geq f(0)=0, adică ex−x−1≥0\displaystyle e^x-x-1\geq 0, de unde ex≥x+1\displaystyle e^x\geq x+1 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f(x)≥f(0)⇒ex≥x+1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle f(x)\geq f(0)\Rightarrow e^x\geq x+1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+5\displaystyle f(x)=x^2-2x+5.

Arătați că ∫01(f(x)+2x−5) dx=13\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x-5)\,dx=\frac{1}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−2x+5\displaystyle f(x)=x^2-2x+5 în integrandul f(x)+2x−5\displaystyle f(x)+2x-5.
    f(x)+2x−5=x2−2x+5+2x−5\displaystyle f(x)+2x-5=x^2-2x+5+2x-5
  2. Reducem termenii asemenea: −2x+2x=0\displaystyle -2x+2x=0 și 5−5=0\displaystyle 5-5=0. Rămâne doar x2\displaystyle x^2, deci integrala devine integrala lui x2\displaystyle x^2 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01(f(x)+2x−5) dx=∫01(x2−2x+5+2x−5) dx=∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x-5)\,dx=\int_0^1 (x^2-2x+5+2x-5)\,dx=\int_0^1 x^2\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0.
    ∫01x2 dx=x33∣01=133−033\displaystyle \int_0^1 x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}
  4. Calculăm diferența: 13−0=13\displaystyle \dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}, deci egalitatea din enunț este demonstrată.
    ∫01(f(x)+2x−5) dx=13\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x-5)\,dx=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+5\displaystyle f(x)=x^2-2x+5.

Calculați ∫02f′(x)f(x) dx\displaystyle \int_0^2 \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui x2\displaystyle x^2 este 2x\displaystyle 2x, derivata lui −2x\displaystyle -2x este −2\displaystyle -2, iar derivata constantei 5\displaystyle 5 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=2x−2\displaystyle f'(x)=2x-2
  2. Observăm că f′(x)f(x)\displaystyle \dfrac{f'(x)}{f(x)} este derivata lui ln⁡f(x)\displaystyle \ln f(x). Funcția f\displaystyle f este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece f(x)=(x−1)2+4≥4\displaystyle f(x)=(x-1)^2+4\ge 4, deci logaritmul este bine definit.
    (ln⁡f(x))′=2x−2x2−2x+5\displaystyle \left(\ln f(x)\right)'=\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x+5}
  3. Scriem integrala ca diferența valorilor primitivei ln⁡(x2−2x+5)\displaystyle \ln(x^2-2x+5) la capetele intervalului [0,2]\displaystyle [0,2].
    ∫02f′(x)f(x) dx=ln⁡(x2−2x+5)∣02\displaystyle \int_0^2\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln(x^2-2x+5)\Big|_0^2
  4. Calculăm valorile la capete: f(2)=4−4+5=5\displaystyle f(2)=4-4+5=5 și f(0)=0−0+5=5\displaystyle f(0)=0-0+5=5.
    f(2)=5\displaystyle f(2)=5,f(0)=5\displaystyle \quad f(0)=5
  5. Înlocuim limitele: ln⁡f(2)−ln⁡f(0)=ln⁡5−ln⁡5\displaystyle \ln f(2)-\ln f(0)=\ln 5-\ln 5, adică 0\displaystyle 0.
    ln⁡5−ln⁡5=0\displaystyle \ln 5-\ln 5=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+5\displaystyle f(x)=x^2-2x+5.

Arătați că ∫201420151f(x) dx≤14\displaystyle \int_{2014}^{2015}\frac{1}{f(x)}\,dx\leq\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția f\displaystyle f sub formă canonică, completând pătratul: x2−2x+5=(x2−2x+1)+4\displaystyle x^{2}-2x+5=(x^{2}-2x+1)+4, deci f(x)=(x−1)2+4\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}+4.
    f(x)=(x−1)2+4\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}+4
  2. Pătratul unui număr real este mereu pozitiv sau nul: (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\geq 0. Adunând 4, obținem f(x)≥4\displaystyle f(x)\geq 4 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f(x)=(x−1)2+4≥4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}+4\geq 4\text{, pentru orice număr real }x
  3. Cum f(x)≥4>0\displaystyle f(x)\geq 4>0, trecând la inverse sensul inegalității se schimbă: 1f(x)≤14\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}\leq\dfrac{1}{4} pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    1f(x)≤14\displaystyle \frac{1}{f(x)}\leq\frac{1}{4}
  4. Integrăm inegalitatea pe intervalul [2014,2015]\displaystyle [2014,2015]. Integrala păstrează sensul inegalității, deoarece 2014<2015\displaystyle 2014<2015: ∫201420151f(x) dx≤∫2014201514 dx\displaystyle \int_{2014}^{2015}\dfrac{1}{f(x)}\,dx\leq\int_{2014}^{2015}\dfrac{1}{4}\,dx.
    ∫201420151f(x) dx≤∫2014201514 dx\displaystyle \int_{2014}^{2015}\frac{1}{f(x)}\,dx\leq\int_{2014}^{2015}\frac{1}{4}\,dx
  5. Calculăm integrala din membrul drept: o primitivă a constantei 14\displaystyle \dfrac{1}{4} este 14x\displaystyle \dfrac{1}{4}x, deci ∫2014201514 dx=14x∣20142015=2015−20144=14\displaystyle \int_{2014}^{2015}\dfrac{1}{4}\,dx=\dfrac{1}{4}x\Big|_{2014}^{2015}=\dfrac{2015-2014}{4}=\dfrac{1}{4}. Rezultă ∫201420151f(x) dx≤14\displaystyle \int_{2014}^{2015}\dfrac{1}{f(x)}\,dx\leq\dfrac{1}{4}.
    ∫201420151f(x) dx≤∫2014201514 dx=14x∣20142015=14\displaystyle \int_{2014}^{2015}\frac{1}{f(x)}\,dx\leq\int_{2014}^{2015}\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}x\Big|_{2014}^{2015}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.