Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați termenul

\displaystyle a_3

al progresiei aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, în care

\displaystyle a_1=4

și

\displaystyle a_2=15

.

Vezi rezolvarea

Se scrie formula generală de recurență a unei progresii aritmetice, în care fiecare termen se obține din precedentul prin adunarea rației $\displaystyle r$ .
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+r$
Se aplică formula pentru $\displaystyle n=1$ , obținând relația dintre $\displaystyle a_2$ , $\displaystyle a_1$ și rație.
$\displaystyle a_2=a_1+r$
Se determină rația progresiei aritmetice folosind valorile date $\displaystyle a_1=4$ și $\displaystyle a_2=15$ .
$\displaystyle r=a_2-a_1=15-4=11\text{, unde }r\text{ este rația progresiei}$
Se aplică formula de recurență pentru $\displaystyle n=2$ , pentru a exprima termenul $\displaystyle a_3$ în funcție de $\displaystyle a_2$ și rație.
$\displaystyle a_3=a_2+r$
Se înlocuiesc valorile cunoscute $\displaystyle a_2=15$ și $\displaystyle r=11$ pentru a calcula termenul $\displaystyle a_3$ .
$\displaystyle a_3=a_2+r=15+11=26$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x-2

. Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle f(a)+f(2)=2a

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(2)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2$ în $\displaystyle f(x)=3x-2$ : $\displaystyle f(2)=3\cdot 2-2$ .
$\displaystyle f(2)=3\cdot 2-2=4$
Pentru $\displaystyle f(a)$ înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în $\displaystyle f(x)=3x-2$ , pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle f(2)=4$ , $\displaystyle \ f(a)=3a-2$
Înlocuim $\displaystyle f(a)$ și $\displaystyle f(2)$ în egalitatea $\displaystyle f(a)+f(2)=2a$ .
$\displaystyle 3a-2+4=2a$
Reducem termenii constanți din partea stângă: $\displaystyle -2+4=2$ .
$\displaystyle 3a+2=2a$
Trecem termenii cu $\displaystyle a$ în partea stângă și constanta în partea dreaptă: $\displaystyle 3a-2a=-2$ . Obținem valoarea lui $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_2(x^2-3x+2)=\log_2(2+x)

.

Vezi rezolvarea

Se pune condiția de existență pentru argumentele logaritmilor: ambele expresii trebuie să fie strict pozitive.
$\displaystyle x^2-3x+2>0\text{ și }2+x>0$
Se rezolvă inecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-3x+2>0$ , calculând rădăcinile trinomului.
$\displaystyle x^2-3x+2=0\Rightarrow x_1=1$ , $\displaystyle \ x_2=2\Rightarrow x^2-3x+2>0\text{ pentru }x\in(-\infty,1)\cup(2,\infty)$
Se rezolvă a doua condiție, $\displaystyle 2+x>0$ .
$\displaystyle x>-2$
Se intersectează cele două condiții pentru a obține domeniul de definiție al ecuației.
$\displaystyle x\in(-2,1)\cup(2,\infty)$
Deoarece funcția logaritmică este injectivă, egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor, obținând o ecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle x^2-3x+2=2+x\text{, de unde obținem }x^2-4x=0$
Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută, scoțând factor comun pe $\displaystyle x$ .
$\displaystyle x(x-4)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=4$
Se verifică soluțiile obținute în raport cu domeniul de definiție $\displaystyle x\in(-2,1)\cup(2,\infty)$ : $\displaystyle x=0$ aparține intervalului $\displaystyle (-2,1)$ , iar $\displaystyle x=4$ aparține intervalului $\displaystyle (2,\infty)$ , deci ambele sunt valide.
$\displaystyle x=0\in(-2,1)\text{ și }x=4\in(2,\infty)\text{, ambele convin}$
Se formulează soluția finală a ecuației.
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=4\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii

\displaystyle A=\{1,2,3,5,7,8\}

.

Vezi rezolvarea

Se identifică elementele mulțimii $\displaystyle A$ care sunt cifre pare, deoarece numărul format trebuie să fie par (cifra unităților trebuie să fie pară).
$\displaystyle A=\{1,2,3,5,7,8\}\text{, cifrele pare din }A\text{ sunt }2\text{ și }8$
Se stabilește numărul de moduri de alegere a cifrei unităților, aceasta trebuind să fie una dintre cifrele pare identificate.
$\displaystyle \text{Cifra unităților se poate }$ $\displaystyle \text{alege în }2\text{ moduri}$
Pentru cifra zecilor se poate alege orice element din $\displaystyle A$ , cu condiția să fie diferit de cifra unităților deja aleasă (cifre distincte), deci rămân $\displaystyle 5$ elemente disponibile din cele $\displaystyle 6$ inițiale.
$\displaystyle \text{Cifra zecilor se poate }$ $\displaystyle \text{alege dintre celelalte }6-1=5\text{ elemente rămase din }A$
Se aplică principiul multiplicării: se înmulțește numărul de moduri de alegere a cifrei unităților cu numărul de moduri de alegere a cifrei zecilor, obținându-se numărul total de numere pare de două cifre distincte.
$\displaystyle \text{Pentru fiecare alegere a }$ $\displaystyle \text{cifrei unităților, cifra }$ $\displaystyle \text{zecilor se poate alege în }$ $\displaystyle \text{câte }5\text{ moduri, deci se pot forma }2\cdot 5=10\text{ numere}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,5)

,

\displaystyle B(8,4)

și

\displaystyle C

, mijlocul segmentului

\displaystyle OB

. Arătați că

\displaystyle AO=AC

.

Vezi rezolvarea

Se identifică punctul O ca fiind originea reperului, $\displaystyle O(0,0)$ , și se scriu coordonatele punctelor date: $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle B(8,4)$ .
$\displaystyle O(0,0)$ , $\displaystyle \ A(0,5)$ , $\displaystyle \ B(8,4)$
Se aplică formula punctului de mijloc pentru segmentul $\displaystyle OB$ , folosind coordonatele lui O și B.
$\displaystyle C\left(\dfrac{0+8}{2},\dfrac{0+4}{2}\right)$
Se calculează coordonatele mijlocului $\displaystyle C$ .
$\displaystyle C(4,2)$
Se calculează distanța $\displaystyle AO$ folosind formula distanței dintre două puncte, între $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle O(0,0)$ .
$\displaystyle AO=\sqrt{(0-0)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25}=5$
Se calculează distanța $\displaystyle AC$ folosind formula distanței dintre două puncte, între $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle C(4,2)$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{(4-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
Se compară cele două distanțe obținute și se conclude că sunt egale, deci $\displaystyle AO=AC$ .
$\displaystyle AO=5$ , $\displaystyle \ AC=5\text{, deci }AO=AC$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

, dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB=4

și

\displaystyle \cos B=\dfrac{2}{3}

. Arătați că

\displaystyle BC=6

.

Vezi rezolvarea

Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în $\displaystyle A$ , iar unghiul $\displaystyle B$ este ascuțit. Catetele triunghiului sunt $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ , iar $\displaystyle BC$ este ipotenuza.
$\displaystyle \triangle ABC$ , $\displaystyle \ m(\angle A)=90^\circ$ , $\displaystyle \ AB=4$ , $\displaystyle \ \cos B=\dfrac{2}{3}$
Se scrie definiția cosinusului unghiului ascuțit $\displaystyle B$ într-un triunghi dreptunghic: raportul dintre cateta alăturată unghiului $\displaystyle B$ ( $\displaystyle AB$ ) și ipotenuză ( $\displaystyle BC$ ).
$\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$
Se înlocuiesc valorile cunoscute, $\displaystyle AB=4$ și $\displaystyle \cos B=\dfrac{2}{3}$ , în relația de definiție a cosinusului.
$\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}\text{, deci }\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{BC}$
Se rezolvă ecuația obținută prin înmulțire încrucișată pentru a afla necunoscuta $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle 2\cdot BC=3\cdot 4$
Se efectuează calculul final și se obține lungimea ipotenuzei $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle BC=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 8\\ -1 & 3\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det A=2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie matricea $\displaystyle A$ și se identifică elementele acesteia: $\displaystyle a=-2$ , $\displaystyle b=8$ , $\displaystyle c=-1$ , $\displaystyle d=3$ .
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 8\\ -1 & 3\end{pmatrix}$
Se aplică formula determinantului unei matrice de ordinul 2: $\displaystyle \det(A) = a\cdot d - b\cdot c$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-2 & 8\\ -1 & 3\end{vmatrix}=(-2)\cdot 3-8\cdot(-1)=$
Se efectuează înmulțirile: $\displaystyle (-2)\cdot 3 = -6$ și $\displaystyle 8\cdot(-1) = -8$ , apoi se scrie diferența acestora.
$\displaystyle -6-(-8)=-6+8$
Se efectuează calculul final, obținându-se valoarea determinantului.
$\displaystyle =-6+8=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 8\\ -1 & 3\end{pmatrix}

.

Arătați că matricea

\displaystyle B=\dfrac{1}{2}(I_2-A)

este inversa matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle I_2 - A$ , scăzând element cu element din matricea unitate elementele matricei $\displaystyle A$ .
$\displaystyle I_2-A=\begin{pmatrix}1-(-2) & 0-8\\ 0-(-1) & 1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -8\\ 1 & -2\end{pmatrix}$
Folosind definiția matricei $\displaystyle B$ (B fiind egală cu jumătate din $\displaystyle I_2 - A$ ), calculăm elementele matricei $\displaystyle B$ înmulțind fiecare element al matricei $\displaystyle I_2 - A$ cu $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle I_2-A=\begin{pmatrix}3 & -8\\ 1 & -2\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ B=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} & -4\\ \dfrac{1}{2} & -1\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot B$ , înmulțind liniile matricei $\displaystyle A$ cu coloanele matricei $\displaystyle B$ , element cu element.
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}(-2)\cdot\frac{3}{2}+8\cdot\frac{1}{2} & (-2)\cdot(-4)+8\cdot(-1)\\ (-1)\cdot\frac{3}{2}+3\cdot\frac{1}{2} & (-1)\cdot(-4)+3\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle B\cdot A$ , înmulțind liniile matricei $\displaystyle B$ cu coloanele matricei $\displaystyle A$ , element cu element.
$\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot(-2)+(-4)\cdot(-1) & \frac{3}{2}\cdot 8+(-4)\cdot 3\\ \frac{1}{2}\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1) & \frac{1}{2}\cdot 8+(-1)\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Comparăm cele două produse obținute cu matricea unitate și tragem concluzia finală privind relația dintre $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ .
$\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2\text{, deci matricea }B\text{ este inversa matricei }A$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 8\\ -1 & 3\end{pmatrix}

.

Determinați matricea

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

pentru care

\displaystyle (A-I_2)\cdot X=2A

.

Vezi rezolvarea

Se pornește de la ecuația matriceală dată în enunț: $\displaystyle (A-I_{2})\cdot X=2A$ , unde $\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 8\\ -1 & 3\end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle (A-I_2)\cdot X=2A$
Se calculează matricea $\displaystyle A-I_{2}$ , scăzând element cu element matricea unitate din $\displaystyle A$ .
$\displaystyle A-I_2=\begin{pmatrix}-3 & 8\\ -1 & 2\end{pmatrix}$
Se calculează determinantul matricei $\displaystyle A$ , necesar pentru a găsi inversa acesteia.
$\displaystyle \det(A)=(-2)\cdot 3-8\cdot(-1)=-6+8=2$
Se determină matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor) a lui $\displaystyle A$ , pentru a calcula inversa.
$\displaystyle A^{*}=\begin{pmatrix}3 & -8\\ 1 & -2\end{pmatrix}$
Se calculează inversa matricei $\displaystyle A$ folosind formula $\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}A^{*}$ .
$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & -8\\ 1 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2} & -4\\ \frac{1}{2} & -1\end{pmatrix}$
Se verifică faptul că matricea $\displaystyle A-I_{2}$ se poate exprima în funcție de inversa lui $\displaystyle A$ , calculând $\displaystyle -2A^{-1}$ și comparând cu rezultatul de la pasul $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle -2A^{-1}=\begin{pmatrix}-3 & 8\\ -1 & 2\end{pmatrix}=A-I_2$
Se înlocuiește $\displaystyle A-I_{2}=-2A^{-1}$ în ecuația inițială $\displaystyle (A-I_{2})X=2A$ , obținându-se o nouă ecuație în $\displaystyle X$ . Se izolează $\displaystyle X$ înmulțind la stânga cu $\displaystyle A$ ambele părți ale egalității, folosind faptul că $\displaystyle A\cdot A^{-1}=I_{2}$ .
$\displaystyle -2A^{-1}\cdot X=2A\Rightarrow X=-A\cdot A$
Se calculează produsul $\displaystyle A\cdot A$ , folosind regula de înmulțire a matricelor.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-4 & 8\\ -1 & 1\end{pmatrix}$
Se calculează $\displaystyle X$ înmulțind cu $\displaystyle -1$ rezultatul obținut pentru $\displaystyle A\cdot A$ , obținând matricea finală $\displaystyle X$ .
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}4 & -8\\ 1 & -1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-\sqrt{xy}

.

Arătați că

\displaystyle 1*4=3

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=4$ care trebuie înlocuite.
$\displaystyle x*y=x+y-\sqrt{xy}$ , $\displaystyle \ x=1$ , $\displaystyle \ y=4$
Se înlocuiesc valorile $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=4$ în formula legii de compoziție.
$\displaystyle 1*4=1+4-\sqrt{1\cdot 4}=$
Se calculează suma $\displaystyle 1+4$ și produsul de sub radical, $\displaystyle 1\cdot 4$ .
$\displaystyle 1+4=5$ , $\displaystyle \ \sqrt{1\cdot 4}=\sqrt{4}$
Se calculează radicalul din $\displaystyle 4$ , care este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \sqrt{4}=2$
Se efectuează scăderea finală pentru a obține rezultatul legii de compoziție.
$\displaystyle =5-2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-\sqrt{xy}

.

Determinați

\displaystyle x\in M

pentru care

\displaystyle x*(9x)=x^2

.

Vezi rezolvarea

Se scrie legea de compoziție aplicată pentru perechea $\displaystyle (x, 9x)$ , folosind definiția $\displaystyle x*y=x+y-\sqrt{xy}$ .
$\displaystyle x*(9x)=x+9x-\sqrt{x\cdot 9x}$
Se simplifică radicalul: se calculează produsul de sub radical și se scoate factorul pătrat perfect, ținând cont că $\displaystyle x\geq0$ .
$\displaystyle \sqrt{9x^2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x^2}=3|x|=3x\text{, deoarece }x\geq 0$
Se înlocuiește radicalul simplificat și se reduc termenii asemenea, obținându-se expresia finală a lui $\displaystyle x \cdot (9x)$ .
$\displaystyle x*(9x)=x+9x-\sqrt{9x^2}=7x\text{, pentru orice }x\in M$
Se pune condiția din enunț ( $\displaystyle x\cdot(9x)=x^{2}$ ) și se înlocuiește expresia obținută anterior, rezultând ecuația de rezolvat.
$\displaystyle 7x=x^2$
Se trece totul într-un membru și se factorizează, pentru a rezolva ecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle x^2-7x=0\Rightarrow x(x-7)=0$
Se determină soluțiile ecuației și se verifică apartenența lor la mulțimea $\displaystyle M=[0,+\infty)$ , concluzionând care dintre ele convin.
$\displaystyle 7x=x^2\text{, de unde obținem }x=0\text{ sau }x=7\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-\sqrt{xy}

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 2^{x}*2^{x+2}=6^{x}

.

Vezi rezolvarea

Se calculează produsul $\displaystyle xy$ , unde $\displaystyle x=2^{x}$ și $\displaystyle y=2^{x+2}$ , apoi radicalul din acest produs, folosind proprietățile puterilor.
$\displaystyle xy=2^{x}\cdot2^{x+2}=2^{2x+2}\Rightarrow\sqrt{xy}=\sqrt{2^{2x+2}}=2^{x+1}$
Se calculează suma celor doi termeni, scriind $\displaystyle 2^{x+2}$ ca $\displaystyle 4\cdot2^{x}$ .
$\displaystyle 2^{x}+2^{x+2}=2^{x}+4\cdot2^{x}=5\cdot2^{x}$
Se aplică legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+y-\sqrt{xy}$ pentru $\displaystyle x=2^{x}$ , $\displaystyle y=2^{x+2}$ , folosind rezultatele anterioare, și se simplifică expresia obținută.
$\displaystyle 2^{x}*2^{x+2}=2^{x}+2^{x+2}-2^{x+1}=2^{x}\cdot 3\text{, pentru orice număr real }x$
Se rescrie $\displaystyle 6^{x}$ folosind proprietățile puterilor, ca produs dintre $\displaystyle 2^{x}$ și $\displaystyle 3^{x}$ , pentru a putea compara cu expresia obținută anterior.
$\displaystyle 6^{x}=(2\cdot3)^{x}=2^{x}\cdot3^{x}$
Se rezolvă ecuația $\displaystyle 2^{x}*2^{x+2}=6^{x}$ , înlocuind cu rezultatele obținute, se simplifică prin $\displaystyle 2^{x}$ (nenul pentru orice $\displaystyle x$ real) și se obține ecuația exponențială simplă în $\displaystyle x$ , care se rezolvă direct.
$\displaystyle 2^{x}\cdot 3=6^{x}\text{, deci }3^{x}=3\text{, de unde obținem }x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\dfrac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Se identifică funcțiile de la numărător și numitor pentru aplicarea regulii câtului: $\displaystyle u(x)=2\sqrt{x}$ , $\displaystyle v(x)=x^2+x+2$ , și se calculează derivatele acestora.
$\displaystyle u(x)=2\sqrt{x}\Rightarrow u'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\text{, }v(x)=x^2+x+2\Rightarrow v'(x)=2x+1$
Se aplică formula derivatei câtului, $\displaystyle f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , înlocuind expresiile găsite anterior.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}(x^2+x+2)-2\sqrt{x}(2x+1)}{(x^2+x+2)^2}=$
Se aduce numărătorul la același numitor $\displaystyle \sqrt{x}$ , înmulțind termenul $\displaystyle 2\sqrt{x}(2x+1)$ cu $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ pentru a putea aduna cele două fracții din numărător.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{(x^2+x+2)-2x(2x+1)}{\sqrt{x}}}{(x^2+x+2)^2}$
Se desfac parantezele din numărător: $\displaystyle (x^2+x+2)-2x(2x+1)=x^2+x+2-4x^2-2x$ , apoi se scriu toți termenii peste numitorul comun $\displaystyle (x^2+x+2)^2\sqrt{x}$ , obținându-se forma finală simplificată a derivatei.
$\displaystyle =\dfrac{x^2+x+2-4x^2-2x}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}=\dfrac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}

.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Se stabilește tipul de studiu necesar: deoarece gradul numărătorului (care conține $\displaystyle \sqrt{x}$ , deci putere $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ ) este mai mic decât gradul numitorului (grad 2), este posibil ca funcția să aibă asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ . Se scrie limita ce trebuie calculată.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}$
Pentru a elimina nedeterminarea de tip $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , se împarte atât numărătorul cât și numitorul fracției prin $\displaystyle \sqrt{x}$ (factorul de cea mai mare putere fracționară comun util).
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}+\dfrac{x}{\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}}$
Se simplifică fiecare termen: $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=1$ , $\displaystyle \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x}}=x\sqrt{x}$ , $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$ , obținându-se forma echivalentă a limitei, exact cea din barem.
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}}$
Se analizează comportarea fiecărui termen de la numitor când $\displaystyle x\to+\infty$ : $\displaystyle x\sqrt{x}\to+\infty$ , $\displaystyle \sqrt{x}\to+\infty$ , iar $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{x}}\to 0$ , deci numitorul tinde la $\displaystyle +\infty$ , în timp ce numărătorul rămâne constant egal cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle x\sqrt{x}\to+\infty$ , $\displaystyle \ \sqrt{x}\to+\infty$ , $\displaystyle \ \dfrac{2}{\sqrt{x}}\to 0\ \Rightarrow\ x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\to+\infty$
Prin urmare, raportul unei constante finite la un numitor care tinde la infinit are limita zero, deci limita funcției la $\displaystyle +\infty$ este finită și egală cu $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}}=0$
Deoarece limita funcției la $\displaystyle +\infty$ este finită (egală cu $\displaystyle 0$ ), conform definiției, dreapta orizontală $\displaystyle y=0$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $\displaystyle f$ spre $\displaystyle +\infty$ .
$\displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=0\text{ este asimptota orizontală }$ $\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}

.

Determinați

\displaystyle a\in(0,+\infty)

pentru care tangenta la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul

\displaystyle A(a,f(a))

este paralelă cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Se scrie condiția geometrică: tangenta la graficul funcției în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ dacă și numai dacă panta tangentei este zero, adică derivata funcției calculată în punctul $\displaystyle a$ este egală cu zero, unde $\displaystyle a$ aparține domeniului de definiție.
$\displaystyle \text{Tangenta la graficul }$ $\displaystyle \text{funcției }f\text{ în punctul }A(a,f(a))\text{ este paralelă cu axa }Ox \Leftrightarrow f'(a)=0\text{, }a\in(0,+\infty)$
Se calculează derivata funcției f folosind regula de derivare a câtului: $\displaystyle f(x)=\frac{2\sqrt{x}}{x^{2}+x+2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x^2+x+2)-2\sqrt{x}\cdot(2x+1)}{(x^2+x+2)^2}$
Se aduce numărătorul la același numitor (înmulțind cu $\displaystyle \sqrt{x}$ ) și se simplifică expresia obținută.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\frac{x^2+x+2-2x(2x+1)}{\sqrt{x}}}{(x^2+x+2)^2}=\dfrac{-3x^2-x+2}{\sqrt{x}\,(x^2+x+2)^2}$
Se înlocuiește $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în expresia derivatei și se pune condiția $\displaystyle f'(a)=0$ , obținând ecuația care trebuie rezolvată.
$\displaystyle \dfrac{-3a^2-a+2}{(a^2+a+2)^2\sqrt{a}}=0$
Deoarece numitorul este nenul pentru $\displaystyle a>0$ , ecuația este echivalentă cu anularea numărătorului. Se rezolvă ecuația de gradul al doilea obținută.
$\displaystyle -3a^2-a+2=0\Leftrightarrow 3a^2+a-2=0\Leftrightarrow \Delta=1+24=25$ , $\displaystyle \ a=\dfrac{-1\pm5}{6}$
Se calculează cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea și se verifică apartenența lor la domeniul de definiție $\displaystyle (0,+\infty)$ , reținând doar soluția convenabilă.
$\displaystyle \dfrac{-3a^2-a+2}{(a^2+a+2)^2\sqrt{a}}=0\text{, de unde obținem }a=-1\text{, care nu convine, sau }a=\dfrac{2}{3}\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+3x+3

.

Arătați că

\int_{0}^{2}(f(x)-3x-3)\,dx=4.

Vezi rezolvarea

Se scrie expresia funcției $\displaystyle f$ și se calculează $\displaystyle f(x) - 3x - 3$ , simplificând termenii asemenea.
$\displaystyle f(x)-3x-3=x^3+3x+3-3x-3=x^3$
Se înlocuiește în integrală expresia simplificată, obținând integrala funcției $\displaystyle x^{3}$ pe intervalul $\displaystyle [0,2]$ .
$\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-3x-3)\,dx=\int_{0}^{2}x^3\,dx$
Se determină o primitivă a funcției $\displaystyle x^{3}$ , folosind formula $\displaystyle \int x^{n} dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ .
$\displaystyle \int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}+C$
Se scrie integrala definită folosind primitiva găsită, evaluată între limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-3x-3)\,dx=\int_{0}^{2}x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}\Big|_{0}^{2}=$
Se înlocuiesc limitele de integrare în primitivă: se calculează valoarea la $\displaystyle x=2$ și la $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle \dfrac{2^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}=\dfrac{16}{4}-0$
Se efectuează calculul final, obținând valoarea integralei definite.
$\displaystyle =4-0=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+3x+3

.

Arătați că

\int_{0}^{1}\dfrac{1}{(f(x)-x^3)^2}\,dx=\dfrac{1}{18}.

Vezi rezolvarea

Se calculează diferența $\displaystyle f(x)-x^3$ , eliminând termenul $\displaystyle x^3$ din funcție.
$\displaystyle f(x)-x^{3}=x^{3}+3x+3-x^{3}=3x+3$
Se scrie integrandul folosind rezultatul anterior, obținând o funcție de forma $\displaystyle \dfrac{1}{(3x+3)^2}$ .
$\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{(f(x)-x^{3})^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{(3x+3)^{2}}\,dx$
Se observă că derivata expresiei de la numitor este $\displaystyle (3x+3)'=3$ , deci se amplifică fracția cu $\displaystyle 3$ pentru a obține forma $\displaystyle \dfrac{u'}{u^2}$ , care este derivata funcției $\displaystyle -\dfrac{1}{u}$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{(3x+3)^{2}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{(3x+3)'}{(3x+3)^{2}}$
Se recunoaște că $\displaystyle \frac{u'}{u^2}$ este derivata lui $\displaystyle -\frac{1}{u}$ , deci primitiva este $\displaystyle -\frac{1}{3(3x+3)}$ ; se scrie integrala evaluată pe interval.
$\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{(f(x)-x^{3})^{2}}\,dx=\dfrac{1}{3}\int_{0}^{1}\dfrac{(3x+3)'}{(3x+3)^{2}}\,dx=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3x+3}\Big|_{0}^{1}$
Se calculează valorile primitivei în capetele intervalului: la $\displaystyle x=1$ se obține $\displaystyle -\frac{1}{18}$ , iar la $\displaystyle x=0$ se obține $\displaystyle -\frac{1}{9}$ .
$\displaystyle -\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3\cdot1+3}=-\dfrac{1}{18}\text{, }-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3\cdot0+3}=-\dfrac{1}{9}$
Se face diferența valorilor obținute pentru a determina valoarea integralei definite.
$\displaystyle =-\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{18}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+3x+3

.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\int_{1}^{e}\dfrac{f(x)-3}{x^2}\cdot\ln x\,dx=\dfrac{e^2+m}{4}.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(x)-3$ , plecând de la $\displaystyle f(x)=x^{3}+3x+3$ , pentru a obține expresia care apare la numărător în integrandul dat.
$\displaystyle f(x)-3=x^3+3x+3-3=x^3+3x$
Împărțim expresia obținută la $\displaystyle x^{2}$ pentru a simplifica raportul din integrandul de calculat.
$\displaystyle \dfrac{f(x)-3}{x^2}=\dfrac{x^3+3x}{x^2}=x+\dfrac{3}{x}$
Înmulțim cu $\displaystyle \ln x$ și descompunem integrala în două integrale mai simple, conform metodei din barem.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{f(x)-3}{x^2}\cdot\ln x\,dx=\int_{1}^{e}x\ln x\,dx+\int_{1}^{e}\dfrac{3\ln x}{x}\,dx$
Observăm că $\displaystyle x$ se poate scrie ca derivata lui $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}$ , pentru a putea aplica integrarea prin părți la prima integrală.
$\displaystyle x=\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'\Rightarrow\int_{1}^{e}x\ln x\,dx=\int_{1}^{e}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx$
Aplicăm formula de integrare prin părți: $\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$ , cu $\displaystyle u=\dfrac{x^2}{2}$ și $\displaystyle v=\ln x$ , obținând primitiva primei integrale.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\dfrac{x}{2}\,dx$
Calculăm ultima integrală rămasă și obținem forma primitivei complete pentru prima integrală.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^2}{4}\Big|_{1}^{e}\Rightarrow\int_{1}^{e}x\ln x\,dx=\left(\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}\right)\Big|_{1}^{e}$
Calculăm a doua integrală, observând că $\displaystyle \dfrac{3\ln x}{x}$ este derivata lui $\displaystyle \dfrac{3}{2}\ln^2 x$ .
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{3\ln x}{x}\,dx=\dfrac{3\ln^2 x}{2}\Big|_{1}^{e}$
Evaluăm ambele primitive la capetele intervalului $\displaystyle [1,e]$ și adunăm rezultatele, obținând valoarea integralei date.
$\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{f(x)-3}{x^2}\cdot\ln x\,dx=\left(\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}\right)\Big|_{1}^{e}+\dfrac{3\ln^2 x}{2}\Big|_{1}^{e}=\left(\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{e^2+7}{4}$
Comparăm rezultatul obținut cu forma dată $\displaystyle \dfrac{e^2+m}{4}$ și identificăm valoarea lui $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \dfrac{e^2+m}{4}=\dfrac{e^2+7}{4}\text{, de unde obținem }m=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M2 științe ale naturii 2025, sesiunea I varianta 01: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani