Bac matematică M2 științe ale naturii 2010, sesiunea I varianta 09: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați log⁡218+273\displaystyle \log_2 \frac{1}{8}+\sqrt[3]{27}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fracția 18\displaystyle \dfrac{1}{8} ca putere a lui 2\displaystyle 2: cum 8=23\displaystyle 8=2^{3}, avem 18=2−3\displaystyle \dfrac{1}{8}=2^{-3}.
    18=2−3\displaystyle \dfrac{1}{8}=2^{-3}
  2. Aplicăm definiția logaritmului: log⁡22a=a\displaystyle \log_2 2^{a}=a, deci log⁡218=log⁡22−3=−3\displaystyle \log_2 \dfrac{1}{8}=\log_2 2^{-3}=-3.
    log⁡218=log⁡22−3=−3\displaystyle \log_2 \dfrac{1}{8}=\log_2 2^{-3}=-3
  3. Scriem 27=33\displaystyle 27=3^{3}. Radicalul de ordinul 3\displaystyle 3 anulează exponentul 3\displaystyle 3, deci 273=333=3\displaystyle \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^{3}}=3.
    273=333=3\displaystyle \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^{3}}=3
  4. Adunăm cele două valori obținute: −3+3=0\displaystyle -3+3=0.
    log⁡218+273=−3+3=0\displaystyle \log_2 \dfrac{1}{8}+\sqrt[3]{27}=-3+3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3\displaystyle f(x)=x^2-2x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției f(x)=ax2+bx+c\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c. Din f(x)=x2−2x+3\displaystyle f(x)=x^{2}-2x+3 obținem a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=3\displaystyle c=3.
    a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle \ b=-2, c=3\displaystyle \ c=3
  2. Abscisa vârfului este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuim: xV=−−22⋅1=22=1\displaystyle x_V=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=\dfrac{2}{2}=1.
    xV=−−22⋅1=1\displaystyle x_V=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1
  3. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac. Obținem Δ=(−2)2−4⋅1⋅3=4−12=−8\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8.
    Δ=4−12=−8\displaystyle \Delta=4-12=-8
  4. Ordonata vârfului este yV=−Δ4a\displaystyle y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}. Înlocuim: yV=−−84⋅1=84=2\displaystyle y_V=-\dfrac{-8}{4\cdot 1}=\dfrac{8}{4}=2.
    yV=−−84=2\displaystyle y_V=-\dfrac{-8}{4}=2
  5. Verificăm prin înlocuire: f(1)=12−2⋅1+3=2\displaystyle f(1)=1^{2}-2\cdot 1+3=2, la fel ca yV\displaystyle y_V.
    f(1)=1−2+3=2\displaystyle f(1)=1-2+3=2
  6. Vârful parabolei are coordonatele xV=1\displaystyle x_V=1 și yV=2\displaystyle y_V=2, deci V(1,2)\displaystyle V(1,2).
    V(1,2)\displaystyle V(1,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−3x2−1=1\displaystyle 2-3^{x^2-1}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm termenul exponențial. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: −3x2−1=1−2=−1\displaystyle -3^{x^{2}-1}=1-2=-1, deci după înmulțirea cu −1\displaystyle -1 obținem ecuația echivalentă cu exponențiala egală cu 1.
    3x2−1=1\displaystyle 3^{x^{2}-1}=1
  2. Scriem 1=30\displaystyle 1=3^{0}, deci ecuația devine 3x2−1=30\displaystyle 3^{x^{2}-1}=3^{0}. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci exponenții sunt egali.
    x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0
  3. Rezolvăm ecuația: x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1. Ambele valori sunt reale și verifică ecuația inițială, deoarece 2−30=1\displaystyle 2-3^{0}=1.
    x∈{−1, 1}\displaystyle x\in\{-1,\,1\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de trei cifre distincte formate cu elementele mulțimii {1,2,3,4}\displaystyle \{1,2,3,4\} are cifrele alese dintre cele 4 elemente, iar ordinea contează. Deci numărăm aranjamentele de 4 elemente luate câte 3: A43\displaystyle A_4^3.
    A43\displaystyle A_4^3
  2. Folosim formula aranjamentelor Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}, cu n=4\displaystyle n=4 și k=3\displaystyle k=3.
    A43=4!(4−3)!=4!1!\displaystyle A_4^3=\dfrac{4!}{(4-3)!}=\dfrac{4!}{1!}
  3. Calculăm: 4!=24\displaystyle 4!=24, iar 1!=1\displaystyle 1!=1, deci A43=24\displaystyle A_4^3=24. Același rezultat se obține alegând cifrele pe rând: 4⋅3⋅2=24\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24. Deci se pot forma 24 de numere.
    A43=4⋅3⋅2=24\displaystyle A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră vectorii v1→=2i⃗−j⃗\displaystyle \overrightarrow{v_1}=2\vec{i}-\vec{j} și v2→=i⃗+3j⃗\displaystyle \overrightarrow{v_2}=\vec{i}+3\vec{j}. Determinați coordonatele vectorului w→=2v1→−v2→\displaystyle \overrightarrow{w}=2\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în w→=2v1→−v2→\displaystyle \overrightarrow{w}=2\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2} expresiile celor doi vectori.
    w→=2(2i⃗−j⃗)−(i⃗+3j⃗)\displaystyle \overrightarrow{w}=2(2\vec{i}-\vec{j})-(\vec{i}+3\vec{j})
  2. Desfacem parantezele: 2(2i⃗−j⃗)=4i⃗−2j⃗\displaystyle 2(2\vec{i}-\vec{j})=4\vec{i}-2\vec{j}, iar prin scăderea lui i⃗+3j⃗\displaystyle \vec{i}+3\vec{j} obținem −i⃗−3j⃗\displaystyle -\vec{i}-3\vec{j}.
    w→=4i⃗−2j⃗−i⃗−3j⃗\displaystyle \overrightarrow{w}=4\vec{i}-2\vec{j}-\vec{i}-3\vec{j}
  3. Grupăm separat termenii în i⃗\displaystyle \vec{i} și termenii în j⃗\displaystyle \vec{j}: (4−1)i⃗+(−2−3)j⃗\displaystyle (4-1)\vec{i}+(-2-3)\vec{j}.
    w→=3i⃗−5j⃗\displaystyle \overrightarrow{w}=3\vec{i}-5\vec{j}
  4. Coordonatele sunt coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} și j⃗\displaystyle \vec{j}, deci vectorul este w→(3,−5)\displaystyle \overrightarrow{w}(3,-5).
    w→(3,−5)\displaystyle \overrightarrow{w}(3,-5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Un triunghi dreptunghic are catetele AB=3\displaystyle AB=3, AC=4\displaystyle AC=4. Determinați lungimea înălțimii duse din A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Aplicăm teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=32+42=9+16=25\displaystyle BC^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25
  2. Extragem rădăcina pătrată, deoarece lungimea este pozitivă, și obținem lungimea ipotenuzei: BC=25\displaystyle BC=\sqrt{25}.
    BC=5\displaystyle BC=5
  3. Aria triunghiului se poate calcula în două moduri: ca semiprodusul catetelor sau ca semiprodusul dintre ipotenuză și înălțimea h\displaystyle h dusă din A\displaystyle A. Egalăm cele două expresii: AB⋅AC2=BC⋅h2\displaystyle \dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{BC\cdot h}{2}.
    3⋅42=5⋅h2\displaystyle \dfrac{3\cdot 4}{2}=\dfrac{5\cdot h}{2}
  4. Din egalitate scoatem h=AB⋅ACBC\displaystyle h=\dfrac{AB\cdot AC}{BC} și înlocuim valorile. Obținem lungimea înălțimii duse din A\displaystyle A.
    h=AB⋅ACBC=3⋅45=125\displaystyle h=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{3\cdot 4}{5}=\dfrac{12}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.

Calculați A2−A\displaystyle A^2-A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem pătratul matricei ca produs: A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A, unde A=(1110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.
    A2=(1110)⋅(1110)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Prima linie: 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1=2 și 1⋅1+1⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 0=1. A doua linie: 1⋅1+0⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 1=1 și 1⋅1+0⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 0=1.
    A2=(2111)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
  3. Scădem matricea A\displaystyle A din A2\displaystyle A^{2}, element cu element: A2−A=(2111)−(1110)\displaystyle A^{2}-A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.
    A2−A=(2−11−11−11−0)\displaystyle A^{2}-A=\begin{pmatrix}2-1&1-1\\1-1&1-0\end{pmatrix}
  4. Efectuăm scăderile și obținem matricea unitate de ordinul 2: A2−A=I2\displaystyle A^{2}-A=I_{2}.
    A2−A=(1001)\displaystyle A^{2}-A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.

Determinați inversa matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A)=1⋅0−1⋅1\displaystyle \det(A)=1\cdot 0-1\cdot 1.
    det⁡(A)=1⋅0−1⋅1=−1\displaystyle \det(A)=1\cdot 0-1\cdot 1=-1
  2. Deoarece det⁡(A)=−1≠0\displaystyle \det(A)=-1\neq 0, matricea A\displaystyle A este inversabilă, deci există A−1\displaystyle A^{-1}.
    det⁡(A)=−1≠0⇒∃A−1\displaystyle \det(A)=-1\neq 0\Rightarrow \exists A^{-1}
  3. Calculăm transpusa lui A\displaystyle A. Matricea este simetrică, deci tA=A\displaystyle {}^tA=A.
    tA=(1110)\displaystyle {}^tA=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm complemenții algebrici ai elementelor din tA\displaystyle {}^tA. Avem d11=(+1)⋅0=0\displaystyle d_{11}=(+1)\cdot 0=0, d12=(−1)⋅1=−1\displaystyle d_{12}=(-1)\cdot 1=-1, d21=(−1)⋅1=−1\displaystyle d_{21}=(-1)\cdot 1=-1, d22=(+1)⋅1=1\displaystyle d_{22}=(+1)\cdot 1=1.
    d11=0\displaystyle d_{11}=0, d12=−1\displaystyle \ d_{12}=-1, d21=−1\displaystyle \ d_{21}=-1, d22=1\displaystyle \ d_{22}=1
  5. Matricea adjunctă A∗\displaystyle A^* are drept elemente complemenții algebrici calculați.
    A∗=(0−1−11)\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix}
  6. Aplicăm formula A−1=1det⁡(A)⋅A∗\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\cdot A^*, cu det⁡(A)=−1\displaystyle \det(A)=-1: A−1=−(0−1−11)\displaystyle A^{-1}=-\begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix}, deci schimbăm semnul fiecărui element.
    A−1=1−1⋅(0−1−11)=(011−1)\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\cdot\begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(1110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.

Rezolvați ecuația A⋅X=(2010201020092010)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}2010&2010\\2009&2010\end{pmatrix}, X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=1⋅0−1⋅1=−1\displaystyle \det A=1\cdot 0-1\cdot 1=-1. Fiind diferit de zero, A\displaystyle A este inversabilă.
    det⁡A=−1≠0\displaystyle \det A=-1\neq 0
  2. Determinăm inversa lui A\displaystyle A: schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală, schimbăm semnul celor de pe diagonala secundară și împărțim la det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1. Obținem A−1=1−1(0−1−11)\displaystyle A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix}.
    A−1=(011−1)\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim ecuația A⋅X=B\displaystyle A\cdot X=B la stânga cu A−1\displaystyle A^{-1}. Cum A−1⋅A=I2\displaystyle A^{-1}\cdot A=I_2, rezultă X=A−1⋅B\displaystyle X=A^{-1}\cdot B, adică X\displaystyle X este produsul dintre inversa lui A\displaystyle A și matricea din membrul drept.
    X=(011−1)⋅(2010201020092010)\displaystyle X=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2010&2010\\2009&2010\end{pmatrix}
  4. Efectuăm înmulțirea, linie cu coloană. Prima linie: 0⋅2010+1⋅2009=2009\displaystyle 0\cdot 2010+1\cdot 2009=2009 și 0⋅2010+1⋅2010=2010\displaystyle 0\cdot 2010+1\cdot 2010=2010. A doua linie: 1⋅2010−1⋅2009=1\displaystyle 1\cdot 2010-1\cdot 2009=1 și 1⋅2010−1⋅2010=0\displaystyle 1\cdot 2010-1\cdot 2010=0.
    (2009201010)\displaystyle \begin{pmatrix}2009&2010\\1&0\end{pmatrix}
  5. Soluția ecuației este matricea obținută: X=(2009201010)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2009&2010\\1&0\end{pmatrix}.
    X=(2009201010)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2009&2010\\1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinoamele f,g∈Z3[X]\displaystyle f,g\in\mathbb{Z}_3[X], f=X2+X\displaystyle f=X^2+X, g=X2+2^X+a\displaystyle g=X^2+\hat{2}X+a, cu a∈Z3\displaystyle a\in\mathbb{Z}_3.

Calculați f(0^)+f(1^)\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1}).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 0^\displaystyle \hat{0} în f=X2+X\displaystyle f=X^2+X și calculăm în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3: f(0^)=0^2+0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}^2+\hat{0}.
    f(0^)=0^2+0^=0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}^{2}+\hat{0}=\hat{0}
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 1^\displaystyle \hat{1} în f\displaystyle f. Avem 1^2=1^\displaystyle \hat{1}^2=\hat{1}, deci f(1^)=1^+1^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{1}, iar în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3 suma este 2^\displaystyle \hat{2}.
    f(1^)=1^2+1^=1^+1^=2^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}^{2}+\hat{1}=\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}
  3. Adunăm valorile obținute: f(0^)+f(1^)=0^+2^\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1})=\hat{0}+\hat{2}, adică 2^\displaystyle \hat{2} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3.
    f(0^)+f(1^)=0^+2^=2^\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1})=\hat{0}+\hat{2}=\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinoamele f,g∈Z3[X]\displaystyle f,g\in\mathbb{Z}_3[X], f=X2+X\displaystyle f=X^2+X, g=X2+2^X+a\displaystyle g=X^2+\hat{2}X+a, cu a∈Z3\displaystyle a\in\mathbb{Z}_3.

Determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f\displaystyle f este definit peste Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3, deci rădăcinile sunt printre elementele 0^,1^,2^\displaystyle \hat{0},\hat{1},\hat{2}. Le verificăm pe rând. Pentru 0^\displaystyle \hat{0}: f(0^)=0^2+0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}^2+\hat{0}.
    f(0^)=0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}
  2. Pentru 1^\displaystyle \hat{1}: f(1^)=1^2+1^=1^+1^=2^≠0^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}^2+\hat{1}=\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}\neq\hat{0}, deci 1^\displaystyle \hat{1} nu este rădăcină.
    f(1^)=2^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{2}
  3. Pentru 2^\displaystyle \hat{2}: 2^2=4^=1^\displaystyle \hat{2}^2=\hat{4}=\hat{1}, iar f(2^)=1^+2^=3^=0^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0}. Astfel, valorile sunt cele de mai jos.
    f(0^)=0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}, f(1^)=2^\displaystyle \ f(\hat{1})=\hat{2}, f(2^)=0^\displaystyle \ f(\hat{2})=\hat{0}
  4. Rădăcinile sunt elementele din Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3 pentru care f\displaystyle f se anulează, adică 0^\displaystyle \hat{0} și 2^\displaystyle \hat{2}.
    0^ și 2^\displaystyle \hat{0}\text{ și }\hat{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinoamele f,g∈Z3[X]\displaystyle f,g\in\mathbb{Z}_3[X], f=X2+X\displaystyle f=X^2+X, g=X2+2^X+a\displaystyle g=X^2+\hat{2}X+a, cu a∈Z3\displaystyle a\in\mathbb{Z}_3.

Demonstrați că f(0^)+f(1^)+f(2^)=g(0^)+g(1^)+g(2^)\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1})+f(\hat{2})=g(\hat{0})+g(\hat{1})+g(\hat{2}), pentru orice a∈Z3\displaystyle a\in\mathbb{Z}_3.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm valorile polinomului f=X2+X\displaystyle f=X^2+X în elementele lui Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3, făcând calculele modulo 3\displaystyle 3: f(0^)=0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}, f(1^)=1^+1^=2^\displaystyle f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}, f(2^)=4^+2^=6^=0^\displaystyle f(\hat{2})=\hat{4}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}.
    f(0^)=0^\displaystyle f(\hat{0})=\hat{0}, f(1^)=2^\displaystyle \ f(\hat{1})=\hat{2}, f(2^)=0^\displaystyle \ f(\hat{2})=\hat{0}
  2. Adunăm valorile lui f\displaystyle f: 0^+2^+0^=2^\displaystyle \hat{0}+\hat{2}+\hat{0}=\hat{2}.
    f(0^)+f(1^)+f(2^)=2^\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1})+f(\hat{2})=\hat{2}
  3. Calculăm valorile lui g=X2+2^X+a\displaystyle g=X^2+\hat{2}X+a în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3: g(0^)=a\displaystyle g(\hat{0})=a, g(1^)=1^+2^+a=3^+a=a\displaystyle g(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}+a=\hat{3}+a=a, g(2^)=4^+4^+a=8^+a=2^+a\displaystyle g(\hat{2})=\hat{4}+\hat{4}+a=\hat{8}+a=\hat{2}+a, deoarece 3^=0^\displaystyle \hat{3}=\hat{0} și 8^=2^\displaystyle \hat{8}=\hat{2} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3.
    g(0^)=a\displaystyle g(\hat{0})=a, g(1^)=a\displaystyle \ g(\hat{1})=a, g(2^)=2^+a\displaystyle \ g(\hat{2})=\hat{2}+a
  4. Adunăm valorile lui g\displaystyle g: a+a+2^+a=3^a+2^\displaystyle a+a+\hat{2}+a=\hat{3}a+\hat{2}. Cum 3^=0^\displaystyle \hat{3}=\hat{0} în Z3\displaystyle \mathbb{Z}_3, suma este 2^\displaystyle \hat{2}, indiferent de a\displaystyle a.
    g(0^)+g(1^)+g(2^)=a+a+2^+a=3^a+2^=2^\displaystyle g(\hat{0})+g(\hat{1})+g(\hat{2})=a+a+\hat{2}+a=\hat{3}a+\hat{2}=\hat{2}
  5. Ambele sume sunt egale cu 2^\displaystyle \hat{2}, pentru orice a∈Z3\displaystyle a\in\mathbb{Z}_3, deci egalitatea este demonstrată.
    f(0^)+f(1^)+f(2^)=g(0^)+g(1^)+g(2^)=2^\displaystyle f(\hat{0})+f(\hat{1})+f(\hat{2})=g(\hat{0})+g(\hat{1})+g(\hat{2})=\hat{2}, ∀a∈Z3\displaystyle \ \forall a\in\mathbb{Z}_3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2⋅ex\displaystyle f(x)=x^2\cdot e^x.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este produsul a două funcții, u(x)=x2\displaystyle u(x)=x^{2} și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^{x}, deci folosim formula (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x2ex)′=(x2)′⋅ex+x2⋅(ex)′\displaystyle f'(x)=(x^{2}e^{x})'=(x^{2})'\cdot e^{x}+x^{2}\cdot(e^{x})'
  2. Calculăm derivatele factorilor: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}.
    (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x,(ex)′=ex\displaystyle \quad (e^{x})'=e^{x}
  3. Înlocuim derivatele în formula produsului și obținem expresia de mai jos.
    f′(x)=2xex+x2ex\displaystyle f'(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}
  4. Dăm factor comun pe ex\displaystyle e^{x} și obținem răspunsul final.
    f′(x)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex\displaystyle f'(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}=(2x+x^{2})e^{x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2⋅ex\displaystyle f(x)=x^2\cdot e^x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe intervalul [−2,0]\displaystyle [-2,0].
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, ca produs de funcții derivabile. Calculăm derivata cu formula (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', unde u=x2\displaystyle u=x^{2} și v=ex\displaystyle v=e^{x}, cu u′=2x\displaystyle u'=2x și v′=ex\displaystyle v'=e^{x}.
    f′(x)=2x⋅ex+x2⋅ex\displaystyle f'(x)=2x\cdot e^{x}+x^{2}\cdot e^{x}
  2. Dăm factor comun x⋅ex\displaystyle x\cdot e^{x} și obținem o formă din care se vede ușor semnul derivatei.
    f′(x)=x (x+2) ex\displaystyle f'(x)=x\,(x+2)\,e^{x}
  3. Studiem semnul fiecărui factor pe intervalul [−2,0]\displaystyle [-2,0]. Factorul ex\displaystyle e^{x} este strict pozitiv. Pentru x∈[−2,0]\displaystyle x\in[-2,0] avem x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0 și x≤0\displaystyle x\le 0, deci x(x+2)≤0\displaystyle x(x+2)\le 0. Înmulțind cu ex>0\displaystyle e^{x}>0, semnul se păstrează.
    f′(x)=x(x+2)ex≤0\displaystyle f'(x)=x(x+2)e^{x}\le 0, ∀x∈[−2,0]\displaystyle \ \forall x\in[-2,0]
  4. Deoarece f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pe tot intervalul [−2,0]\displaystyle [-2,0] (și f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 doar pentru x=−2\displaystyle x=-2 și x=0\displaystyle x=0), funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe [−2,0]\displaystyle [-2,0].
    f descresca˘toare pe [−2,0]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }[-2,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2⋅ex\displaystyle f(x)=x^2\cdot e^x.

Demonstrați că 0≤f(x)+f(x2)≤e2+1e\displaystyle 0\le f(x)+f(x^2)\le \frac{e^2+1}{e}, oricare ar fi x∈[−1,0]\displaystyle x\in[-1,0].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu regula de derivare a produsului: f′(x)=(x2)′ex+x2(ex)′\displaystyle f'(x)=(x^2)'e^x+x^2(e^x)'.
    f′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2)\displaystyle f'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)
  2. Studiem semnul derivatei pe intervalul [−1,0]\displaystyle [-1,0]. Aici ex>0\displaystyle e^x>0, x≤0\displaystyle x\le 0, iar x+2>0\displaystyle x+2>0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,0]\displaystyle [-1,0].
    f′(x)≤0 pe [−1,0]⇒f descresca˘toare pe [−1,0]\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pe }[-1,0]\Rightarrow f\text{ descrescătoare pe }[-1,0]
  3. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] și x∈[−1,0]\displaystyle x\in[-1,0], avem f(0)≤f(x)≤f(−1)\displaystyle f(0)\le f(x)\le f(-1). Calculăm f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f(−1)=(−1)2e−1=1e\displaystyle f(-1)=(-1)^2e^{-1}=\dfrac{1}{e}.
    0≤f(x)≤1e\displaystyle 0\le f(x)\le \frac{1}{e}
  4. Pentru x∈[−1,0]\displaystyle x\in[-1,0] avem x2∈[0,1]\displaystyle x^2\in[0,1]. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] derivata f′(x)=xex(x+2)≥0\displaystyle f'(x)=xe^x(x+2)\ge 0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    x2∈[0,1]\displaystyle x^2\in[0,1], f cresca˘toare pe [0,1]\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[0,1]
  5. Din monotonia lui f\displaystyle f pe [0,1]\displaystyle [0,1] obținem f(0)≤f(x2)≤f(1)\displaystyle f(0)\le f(x^2)\le f(1). Calculăm f(0)=0\displaystyle f(0)=0 și f(1)=12⋅e=e\displaystyle f(1)=1^2\cdot e=e.
    0≤f(x2)≤e\displaystyle 0\le f(x^2)\le e
  6. Adunăm inegalitățile obținute: 0+0≤f(x)+f(x2)≤1e+e\displaystyle 0+0\le f(x)+f(x^2)\le \dfrac{1}{e}+e. Aducem la același numitor: 1e+e=1+e2e\displaystyle \dfrac{1}{e}+e=\dfrac{1+e^2}{e}. Deci inegalitatea cerută este demonstrată pentru orice x∈[−1,0]\displaystyle x\in[-1,0].
    0≤f(x)+f(x2)≤e2+1e\displaystyle 0\le f(x)+f(x^2)\le \frac{e^2+1}{e}, ∀x∈[−1,0]\displaystyle \ \forall x\in[-1,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}.

Calculați ∫13(f(x)−1x)dx\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x} în integrand: f(x)−1x=x+1x−1x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}.
    f(x)−1x=x+1x−1x\displaystyle f(x)-\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x}
  2. Termenii 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} se reduc, deci integrandul devine x\displaystyle x. Pe intervalul [1,3]\displaystyle [1,3] funcția este definită, fiindcă x≠0\displaystyle x\neq 0.
    ∫13(f(x)−1x)dx=∫13x dx\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^3 x\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫abg(x) dx=G(b)−G(a)\displaystyle \displaystyle\int_a^b g(x)\,dx=G(b)-G(a).
    ∫13x dx=x22∣13\displaystyle \int_1^3 x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_1^3
  4. Calculăm: 322−122=92−12=82\displaystyle \dfrac{3^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{2}.
    92−12=82=4\displaystyle \frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g\displaystyle g pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫abg2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_a^b g^2(x)\,dx. Cum g(x)=x+1x\displaystyle g(x)=x+\dfrac{1}{x}, avem de calculat integrala lui (x+1x)2\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 pe [1,2]\displaystyle [1,2].
    V=π∫12(x+1x)2dx\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2dx
  2. Dezvoltăm pătratul sumei: (x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2=x2+2+1x2\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}.
    V=π∫12(x2+2+1x2)dx\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)dx
  3. Calculăm câte o primitivă pentru fiecare termen: ∫x2dx=x33\displaystyle \int x^2dx=\dfrac{x^3}{3}, ∫2 dx=2x\displaystyle \int 2\,dx=2x, iar 1x2=x−2\displaystyle \dfrac{1}{x^2}=x^{-2} are primitiva −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}.
    F(x)=x33+2x−1x\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{x}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫12h(x) dx=F(2)−F(1)\displaystyle \int_1^2 h(x)\,dx=F(2)-F(1), unde F\displaystyle F este primitiva de mai sus.
    V=π(x33+2x−1x)∣12=π(F(2)−F(1))\displaystyle V=\pi\left(\frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{x}\right)\Big|_1^2=\pi\left(F(2)-F(1)\right)
  5. Calculăm valorile primitivei la capete: F(2)=83+4−12=16+24−36=376\displaystyle F(2)=\dfrac{8}{3}+4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{16+24-3}{6}=\dfrac{37}{6} și F(1)=13+2−1=43=86\displaystyle F(1)=\dfrac{1}{3}+2-1=\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{6}.
    F(2)−F(1)=376−86=296\displaystyle F(2)-F(1)=\frac{37}{6}-\frac{8}{6}=\frac{29}{6}
  6. Înmulțim rezultatul integralei cu π\displaystyle \pi și obținem volumul căutat.
    V=29π6\displaystyle V=\frac{29\pi}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∗→R\displaystyle f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}, f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}.

Calculați ∫1ef(x)⋅ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e f(x)\cdot\ln x\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x} și descompunem integrala în suma a două integrale.
    ∫1ef(x)⋅ln⁡x dx=∫1ex⋅ln⁡x dx+∫1e1x⋅ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e f(x)\cdot\ln x\,dx=\int_1^e x\cdot\ln x\,dx+\int_1^e\frac{1}{x}\cdot\ln x\,dx
  2. Prima integrală se calculează prin părți. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}.
    ∫xln⁡x dx=x22ln⁡x−∫x22⋅1x dx\displaystyle \int x\ln x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx
  3. Simplificăm integrala rămasă: x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}, a cărei primitivă este x24\displaystyle \dfrac{x^{2}}{4}.
    ∫xln⁡x dx=x22ln⁡x−x24+C\displaystyle \int x\ln x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C
  4. A doua integrală se calculează prin substituție: notăm t=ln⁡x\displaystyle t=\ln x, deci dt=1x dx\displaystyle dt=\dfrac{1}{x}\,dx. Integrala devine ∫t dt=t22\displaystyle \int t\,dt=\dfrac{t^{2}}{2}, adică ln⁡2x2\displaystyle \dfrac{\ln^{2}x}{2}.
    ∫ln⁡xx dx=ln⁡2x2+C\displaystyle \int\frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{\ln^{2}x}{2}+C
  5. Scriem rezultatul cu limitele de integrare de la 1\displaystyle 1 la e\displaystyle e.
    (x22ln⁡x−x24)∣1e+ln⁡2x2∣1e\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}\right)\Big|_1^e+\frac{\ln^{2}x}{2}\Big|_1^e
  6. Calculăm prima paranteză. Pentru x=e\displaystyle x=e, ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci obținem e22−e24=e24\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}=\dfrac{e^{2}}{4}. Pentru x=1\displaystyle x=1, ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci obținem −14\displaystyle -\dfrac{1}{4}. Diferența este e24+14\displaystyle \dfrac{e^{2}}{4}+\dfrac{1}{4}.
    e24−(−14)=e2+14\displaystyle \frac{e^{2}}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{e^{2}+1}{4}
  7. Calculăm a doua parte: ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci obținem 122−022=12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}.
    ln⁡2x2∣1e=12\displaystyle \frac{\ln^{2}x}{2}\Big|_1^e=\frac{1}{2}
  8. Adunăm cele două rezultate și aducem la același numitor: e2+14+24\displaystyle \dfrac{e^{2}+1}{4}+\dfrac{2}{4}.
    e2+14+12=e2+34\displaystyle \frac{e^{2}+1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{e^{2}+3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.