Bac matematică M2 științe ale naturii 2016, sesiunea I varianta 08: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră numărul complex z=1−i\displaystyle z=1-i. Arătați că z2=−2i\displaystyle z^2=-2i.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la z2=(1−i)2\displaystyle z^{2}=(1-i)^{2}.
    z2=(1−i)2\displaystyle z^{2}=(1-i)^{2}
  2. Aplicăm formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} cu a=1\displaystyle a=1 și b=i\displaystyle b=i.
    z2=12−2⋅1⋅i+i2=1−2i+i2\displaystyle z^{2}=1^{2}-2\cdot 1\cdot i+i^{2}=1-2i+i^{2}
  3. Știm că i2=−1\displaystyle i^{2}=-1, deci înlocuim în expresie.
    z2=1−2i+(−1)=1−2i−1\displaystyle z^{2}=1-2i+(-1)=1-2i-1
  4. Reducem termenii: 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci rămâne doar −2i\displaystyle -2i. Astfel am arătat că z2=−2i\displaystyle z^{2}=-2i.
    z2=−2i\displaystyle z^{2}=-2i
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați (g∘f)(0)\displaystyle (g\circ f)(0), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+2016\displaystyle f(x)=x+2016 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x−2016\displaystyle g(x)=x-2016.
Vezi rezolvarea
  1. Compunerea înseamnă că aplicăm întâi funcția f\displaystyle f, apoi funcția g\displaystyle g: (g∘f)(0)=g(f(0))\displaystyle (g\circ f)(0)=g(f(0)).
    (g∘f)(0)=g(f(0))\displaystyle (g\circ f)(0)=g(f(0))
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=x+2016\displaystyle f(x)=x+2016: f(0)=0+2016\displaystyle f(0)=0+2016.
    f(0)=2016\displaystyle f(0)=2016
  3. Înlocuim f(0)\displaystyle f(0) cu 2016\displaystyle 2016 și calculăm g(2016)\displaystyle g(2016), înlocuind x\displaystyle x cu 2016\displaystyle 2016 în g(x)=x−2016\displaystyle g(x)=x-2016. Obținem g(2016)=2016−2016=0\displaystyle g(2016)=2016-2016=0.
    (g∘f)(0)=g(2016)=0\displaystyle (g\circ f)(0)=g(2016)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2−3x=3x−4\displaystyle 3^{x^2-3x}=3^{x-4}.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două puteri au aceeași bază, 3\displaystyle 3, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci putem egala exponenții.
    x2−3x=x−4\displaystyle x^{2}-3x=x-4
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: x2−3x−x+4=0\displaystyle x^{2}-3x-x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  3. Recunoaștem în membrul stâng pătratul perfect al diferenței x−2\displaystyle x-2, deci ecuația devine (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0. Alternativ, discriminantul este Δ=16−16=0\displaystyle \Delta=16-16=0. Ecuația are o singură soluție, dublă.
    (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0
  4. Din (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0 rezultă x−2=0\displaystyle x-2=0, deci x=2\displaystyle x=2. Este soluția unică a ecuației.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,…,100}\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,100\}, acesta să fie pătrat perfect.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Mulțimea M\displaystyle M are elementele de la 1\displaystyle 1 la 100\displaystyle 100, deci numărul de cazuri posibile este 100\displaystyle 100.
    nr. cazuri posibile=100\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=100
  2. Determinăm pătratele perfecte din mulțime: sunt numerele n2\displaystyle n^{2}, cu n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*} și n2≤100\displaystyle n^{2}\le 100. Cum 102=100\displaystyle 10^{2}=100, iar 112=121>100\displaystyle 11^{2}=121>100, avem n∈{1,2,…,10}\displaystyle n\in\{1,2,\ldots,10\}.
    {12,22,…,102}={1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}\displaystyle \{1^{2},2^{2},\ldots,10^{2}\}=\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100\}
  3. Numărăm pătratele perfecte: sunt 10\displaystyle 10, deci numărul de cazuri favorabile este 10\displaystyle 10.
    nr. cazuri favorabile=10\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=10
  4. Înlocuim în formula probabilității și simplificăm fracția prin 10\displaystyle 10.
    p=10100=110\displaystyle p=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctul A(0,1)\displaystyle A(0,1). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d, care trece prin punctul A\displaystyle A și este paralelă cu dreapta de ecuație y=3x−2016\displaystyle y=3x-2016.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta dată are ecuația y=3x−2016\displaystyle y=3x-2016, deci panta ei este coeficientul lui x\displaystyle x, adică 3\displaystyle 3.
    m1=3\displaystyle m_{1}=3
  2. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci dreapta d\displaystyle d are panta egală cu 3\displaystyle 3.
    m=3\displaystyle m=3
  3. Scriem ecuația dreptei d\displaystyle d sub forma y=3x+n\displaystyle y=3x+n și folosim faptul că punctul A(0,1)\displaystyle A(0,1) se află pe dreaptă: înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=1\displaystyle y=1.
    1=3⋅0+n\displaystyle 1=3\cdot 0+n
  4. Din egalitatea obținută rezultă n=1\displaystyle n=1, deci ecuația dreptei d\displaystyle d este y=3x+1\displaystyle y=3x+1.
    y=3x+1\displaystyle y=3x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că AB=6\displaystyle AB=6, AC=4\displaystyle AC=4 și A=π6\displaystyle A=\frac{\pi}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ariei unui triunghi când se cunosc două laturi și unghiul dintre ele: AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}
  2. Înlocuim datele problemei: AB=6\displaystyle AB=6, AC=4\displaystyle AC=4 și A=π6\displaystyle A=\dfrac{\pi}{6}.
    AΔABC=6⋅4⋅sin⁡π62\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{6\cdot 4\cdot\sin\frac{\pi}{6}}{2}
  3. Știm că sin⁡π6=12\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}, deci îl înlocuim în expresie.
    AΔABC=6⋅4⋅122\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{6\cdot 4\cdot\frac{1}{2}}{2}
  4. Calculăm: 6⋅4=24\displaystyle 6\cdot 4=24, apoi 24⋅12=12\displaystyle 24\cdot\dfrac{1}{2}=12, iar 122=6\displaystyle \dfrac{12}{2}=6. Aria triunghiului este 6.
    AΔABC=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=4\displaystyle \det(A(0))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m): m−1=0−1=−1\displaystyle m-1=0-1=-1 și m−2=0−2=−2\displaystyle m-2=0-2=-2, iar elementele −1\displaystyle -1 și 2\displaystyle 2 rămân neschimbate.
    A(0)=(−1−12−2)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2 al matricei A(0)\displaystyle A(0).
    det⁡(A(0))=∣−1−12−2∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=(−1)⋅(−2)−(−1)⋅2\displaystyle \det(A(0))=(-1)\cdot(-2)-(-1)\cdot 2
  4. Calculăm produsele: (−1)⋅(−2)=2\displaystyle (-1)\cdot(-2)=2 și (−1)⋅2=−2\displaystyle (-1)\cdot 2=-2. Obținem 2−(−2)=4\displaystyle 2-(-2)=4, deci determinantul este 4\displaystyle 4, așa cum trebuia arătat.
    det⁡(A(0))=2−(−2)=4\displaystyle \det(A(0))=2-(-2)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că A(1+m)+A(1−m)=2A(1)\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=2A(1), pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 1+m\displaystyle 1+m în A(m)\displaystyle A(m): elementele de pe diagonală devin (1+m)−1\displaystyle (1+m)-1 și (1+m)−2\displaystyle (1+m)-2.
    A(1+m)=(1+m−1−121+m−2)=(m−12m−1)\displaystyle A(1+m)=\begin{pmatrix} 1+m-1 & -1 \\ 2 & 1+m-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m & -1 \\ 2 & m-1 \end{pmatrix}
  2. Înlocuim m\displaystyle m cu 1−m\displaystyle 1-m în A(m)\displaystyle A(m): elementele de pe diagonală devin (1−m)−1\displaystyle (1-m)-1 și (1−m)−2\displaystyle (1-m)-2.
    A(1−m)=(1−m−1−121−m−2)=(−m−12−m−1)\displaystyle A(1-m)=\begin{pmatrix} 1-m-1 & -1 \\ 2 & 1-m-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -m & -1 \\ 2 & -m-1 \end{pmatrix}
  3. Adunăm matricile element cu element: m+(−m)=0\displaystyle m+(-m)=0, −1+(−1)=−2\displaystyle -1+(-1)=-2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, iar (m−1)+(−m−1)=−2\displaystyle (m-1)+(-m-1)=-2.
    A(1+m)+A(1−m)=(0−24−2)\displaystyle A(1+m)+A(1-m)=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}
  4. Pentru m=1\displaystyle m=1 obținem A(1)=(0−12−1)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}. Înmulțim fiecare element cu 2\displaystyle 2 și obținem matricea de mai jos, egală cu suma calculată, deci egalitatea este adevărată pentru orice m\displaystyle m real.
    2A(1)=2(0−12−1)=(0−24−2)=A(1+m)+A(1−m)\displaystyle 2A(1)=2\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}=A(1+m)+A(1-m)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(m−1−12m−2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă, pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Deci calculăm det⁡(A(m))\displaystyle \det(A(m)).
    det⁡(A(m))=∣m−1−12m−2∣\displaystyle \det(A(m))=\begin{vmatrix} m-1 & -1 \\ 2 & m-2 \end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (m−1)(m−2)−(−1)⋅2\displaystyle (m-1)(m-2)-(-1)\cdot 2.
    (m−1)(m−2)−(−1)⋅2=(m−1)(m−2)+2\displaystyle (m-1)(m-2)-(-1)\cdot 2=(m-1)(m-2)+2
  3. Desfacem parantezele: (m−1)(m−2)=m2−3m+2\displaystyle (m-1)(m-2)=m^{2}-3m+2. Adăugăm 2\displaystyle 2 și reducem termenii asemenea.
    det⁡(A(m))=m2−3m+2+2=m2−3m+4\displaystyle \det(A(m))=m^{2}-3m+2+2=m^{2}-3m+4
  4. Calculăm discriminantul trinomului m2−3m+4\displaystyle m^{2}-3m+4: Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=4\displaystyle c=4.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅4=9−16=−7<0\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0
  5. Deoarece Δ<0\displaystyle \Delta<0, trinomul nu are rădăcini reale, iar coeficientul lui m2\displaystyle m^{2} este pozitiv, deci trinomul este strict pozitiv pentru orice m\displaystyle m real. Prin urmare det⁡(A(m))≠0\displaystyle \det(A(m))\neq 0 pentru orice m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}, deci matricea A(m)\displaystyle A(m) este inversabilă.
    m2−3m+4≠0, pentru orice m∈R\displaystyle m^{2}-3m+4\neq 0\text{, pentru orice }m\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24.

Arătați că x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24.
    x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24
  2. Scriem termenul liber −24\displaystyle -24 ca −27+3\displaystyle -27+3, pentru ca să apară −27=−3⋅9\displaystyle -27=-3\cdot 9, necesar la grupare.
    x∗y=−3xy+9x+9y−27+3\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-27+3
  3. Grupăm −3xy+9x=−3x(y−3)\displaystyle -3xy+9x=-3x(y-3) și 9y−27=9(y−3)\displaystyle 9y-27=9(y-3).
    x∗y=−3x(y−3)+9(y−3)+3\displaystyle x*y=-3x(y-3)+9(y-3)+3
  4. Dăm factor comun (y−3)\displaystyle (y-3): (y−3)(−3x+9)+3\displaystyle (y-3)(-3x+9)+3, iar −3x+9=−3(x−3)\displaystyle -3x+9=-3(x-3). Deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată. Dezvoltăm: −3(x−3)(y−3)+3=−3xy+9x+9y−27+3=−3xy+9x+9y−24\displaystyle -3(x-3)(y-3)+3=-3xy+9x+9y-27+3=-3xy+9x+9y-24. Deci x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3, de unde x∗y−3=−3(x−3)(y−3)\displaystyle x*y-3=-3(x-3)(y-3).
    x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z. Aplicăm forma factorizată pentru perechea x∗y\displaystyle x*y și z\displaystyle z: (x∗y)∗z=−3(x∗y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=-3(x*y-3)(z-3)+3. Înlocuim x∗y−3=−3(x−3)(y−3)\displaystyle x*y-3=-3(x-3)(y-3) și obținem (x∗y)∗z=−3⋅(−3)(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=-3\cdot(-3)(x-3)(y-3)(z-3)+3.
    (x∗y)∗z=9(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle (x*y)*z=9(x-3)(y-3)(z-3)+3
  3. Pentru cealaltă grupare, scriem mai întâi y∗z\displaystyle y*z în forma factorizată, la fel ca la x∗y\displaystyle x*y: y∗z=−3(y−3)(z−3)+3\displaystyle y*z=-3(y-3)(z-3)+3, deci y∗z−3=−3(y−3)(z−3)\displaystyle y*z-3=-3(y-3)(z-3).
    y∗z=−3(y−3)(z−3)+3\displaystyle y*z=-3(y-3)(z-3)+3
  4. Calculăm x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Aplicăm forma factorizată pentru perechea x\displaystyle x și y∗z\displaystyle y*z: x∗(y∗z)=−3(x−3)(y∗z−3)+3=−3(x−3)⋅(−3)(y−3)(z−3)+3=9(x−3)(y−3)(z−3)+3\displaystyle x*(y*z)=-3(x-3)(y*z-3)+3=-3(x-3)\cdot(-3)(y-3)(z-3)+3=9(x-3)(y-3)(z-3)+3. Obținem aceeași expresie ca la (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z. Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z) pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, adică legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y∗z)=9(x−3)(y−3)(z−3)+3=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=9(x-3)(y-3)(z-3)+3=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=−3xy+9x+9y−24\displaystyle x*y=-3xy+9x+9y-24.

Determinați numărul real x\displaystyle x, pentru care (x∗x)∗x=12\displaystyle (x*x)*x=12.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Desfacem produsul: −3(x−3)(y−3)=−3xy+9x+9y−27\displaystyle -3(x-3)(y-3)=-3xy+9x+9y-27. Adăugând 3\displaystyle 3 obținem exact expresia legii, deci x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3.
    x∗y=−3(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-3(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, luând y=x\displaystyle y=x în forma factorizată: x∗x=−3(x−3)(x−3)+3\displaystyle x*x=-3(x-3)(x-3)+3.
    x∗x=−3(x−3)2+3\displaystyle x*x=-3(x-3)^{2}+3
  3. Calculăm (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x. Folosim forma factorizată cu primul număr egal cu x∗x\displaystyle x*x. Avem (x∗x)−3=−3(x−3)2\displaystyle (x*x)-3=-3(x-3)^{2}, deci (x∗x)∗x=−3⋅(−3(x−3)2)(x−3)+3\displaystyle (x*x)*x=-3\cdot\left(-3(x-3)^{2}\right)(x-3)+3.
    (x∗x)∗x=9(x−3)3+3\displaystyle (x*x)*x=9(x-3)^{3}+3
  4. Punem condiția din enunț: 9(x−3)3+3=12\displaystyle 9(x-3)^{3}+3=12. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem 9(x−3)3=9\displaystyle 9(x-3)^{3}=9. Împărțim la 9\displaystyle 9.
    (x−3)3=1\displaystyle (x-3)^{3}=1
  5. Funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci din (x−3)3=1\displaystyle (x-3)^{3}=1 rezultă x−3=1\displaystyle x-3=1. Așadar x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Arătați că f′(x)=3(x3−1)x\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^3-1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: f′(x)=(x3)′−3(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x^{3})'-3(\ln x)'.
    f′(x)=(x3)′−3(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=(x^{3})'-3(\ln x)'
  2. Folosim (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2} și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci obținem derivata funcției.
    f′(x)=3x2−3x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{x}
  3. Amplificăm primul termen cu x\displaystyle x, ca să avem numitor comun: 3x2=3x2⋅xx=3x3x\displaystyle 3x^{2}=\dfrac{3x^{2}\cdot x}{x}=\dfrac{3x^{3}}{x}.
    f′(x)=3x3x−3x=3x3−3x\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{3}}{x}-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3x^{3}-3}{x}
  4. Dăm factor comun pe 3\displaystyle 3 la numărător și obținem forma cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=3(x3−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(x^{3}-1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci asimptota verticală poate apărea doar în capătul x=0\displaystyle x=0. Calculăm limita la dreapta în 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0x>0f(x)\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}} f(x)
  2. Când x→0\displaystyle x\to 0, x>0\displaystyle x>0, avem x3→0\displaystyle x^3\to 0 și ln⁡x→−∞\displaystyle \ln x\to -\infty, deci −3ln⁡x→+∞\displaystyle -3\ln x\to +\infty. Atunci limita sumei este +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→0x>0(x3−3ln⁡x)=0+∞=+∞\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}(x^3-3\ln x)=0+\infty=+\infty
  3. Deoarece limita la dreapta în 0\displaystyle 0 este infinită, dreapta x=0\displaystyle x=0 este asimptotă verticală la graficul funcției f\displaystyle f.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡x\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x.

Demonstrați că f(x)≥1\displaystyle f(x)\geq 1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): derivata lui x3\displaystyle x^{3} este 3x2\displaystyle 3x^{2}, iar derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}.
    f′(x)=3x2−3x\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor și descompunem diferența de cuburi: x3−1=(x−1)(x2+x+1)\displaystyle x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
    f′(x)=3(x3−1)x=3(x−1)(x2+x+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{3\left(x^{3}-1\right)}{x}=\dfrac{3(x-1)(x^{2}+x+1)}{x}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x>0\displaystyle x>0 și x2+x+1>0\displaystyle x^{2}+x+1>0, deci singurul factor care se poate anula este x−1\displaystyle x-1.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  4. Pentru x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\leq 0, iar x>0\displaystyle x>0 și x2+x+1>0\displaystyle x^{2}+x+1>0, deci derivata are semnul lui x−1\displaystyle x-1. Funcția este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    x∈(0,1]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle x\in(0,1]\Rightarrow f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
  5. Pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\geq 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\geq 0. Funcția este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0, deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\geq 0\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  6. Calculăm valoarea în x=1\displaystyle x=1, unde se schimbă monotonia. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem f(1)=13−3ln⁡1\displaystyle f(1)=1^{3}-3\ln 1.
    f(1)=13−3ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1^{3}-3\ln 1=1
  7. Funcția descrește pe (0,1]\displaystyle (0,1] și crește pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), deci x=1\displaystyle x=1 este punct de minim pe tot domeniul, iar valoarea minimă este f(1)=1\displaystyle f(1)=1. Rezultă că f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\geq f(1) pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    f(1)=1, deci f(x)≥1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(1)=1\text{, deci }f(x)\geq 1\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}.

Arătați că ∫12(x2+3x+3)f(x) dx=6\displaystyle \int_1^2 (x^2+3x+3)f(x)\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că numitorul funcției f\displaystyle f este chiar factorul x2+3x+3\displaystyle x^2+3x+3 din integrală. El este nenul, deoarece discriminantul este Δ=9−12=−3<0\displaystyle \Delta=9-12=-3<0, deci produsul se simplifică.
    (x2+3x+3)f(x)=(x2+3x+3)⋅2x+3x2+3x+3=2x+3\displaystyle (x^2+3x+3)f(x)=(x^2+3x+3)\cdot\dfrac{2x+3}{x^2+3x+3}=2x+3
  2. Înlocuim produsul simplificat sub integrală. O primitivă a funcției 2x+3\displaystyle 2x+3 este x2+3x\displaystyle x^2+3x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(x2+3x+3)f(x) dx=∫12(2x+3) dx=(x2+3x)∣12\displaystyle \int_1^2 (x^2+3x+3)f(x)\,dx=\int_1^2 (2x+3)\,dx=(x^2+3x)\Big|_1^2
  3. Calculăm primitiva în limitele de integrare: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 22+3⋅2=10\displaystyle 2^2+3\cdot 2=10, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 12+3⋅1=4\displaystyle 1^2+3\cdot 1=4. Scădem valorile și obținem rezultatul cerut.
    (4+6)−(1+3)=10−4=6\displaystyle (4+6)-(1+3)=10-4=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}.

Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=0\displaystyle x=0 și x=3\displaystyle x=3 are aria egală cu ln⁡7\displaystyle \ln 7.
Vezi rezolvarea
  1. Aria suprafeței delimitate de grafic, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele x=0\displaystyle x=0 și x=3\displaystyle x=3 este integrala modulului funcției pe intervalul [0,3]\displaystyle [0,3].
    A=∫03∣f(x)∣ dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^3 |f(x)|\,dx
  2. Numitorul x2+3x+3\displaystyle x^2+3x+3 are discriminantul Δ=9−12=−3<0\displaystyle \Delta=9-12=-3<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, deci numitorul este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Pe [0,3]\displaystyle [0,3] numărătorul 2x+3\displaystyle 2x+3 este pozitiv. Rezultă că f(x)>0\displaystyle f(x)>0 și modulul se poate elimina.
    f(x)>0 pe [0,3]⇒A=∫032x+3x2+3x+3 dx\displaystyle f(x)>0\text{ pe }[0,3]\Rightarrow \mathcal{A}=\int_0^3\frac{2x+3}{x^2+3x+3}\,dx
  3. Observăm că (x2+3x+3)′=2x+3\displaystyle (x^2+3x+3)'=2x+3, adică exact numărătorul. Deci funcția de integrat are forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u}, cu u(x)=x2+3x+3\displaystyle u(x)=x^2+3x+3, iar o primitivă este ln⁡u(x)\displaystyle \ln u(x). Cum u(x)>0\displaystyle u(x)>0, nu este nevoie de modul în logaritm.
    A=ln⁡(x2+3x+3)∣03\displaystyle \mathcal{A}=\ln(x^2+3x+3)\Big|_0^3
  4. Calculăm valorile numitorului la capete: pentru x=3\displaystyle x=3 obținem 9+9+3=21\displaystyle 9+9+3=21, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 3\displaystyle 3. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    A=ln⁡21−ln⁡3\displaystyle \mathcal{A}=\ln 21-\ln 3
  5. Folosim proprietatea ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}. Cum 213=7\displaystyle \dfrac{21}{3}=7, obținem aria cerută.
    A=ln⁡21−ln⁡3=ln⁡213=ln⁡7\displaystyle \mathcal{A}=\ln 21-\ln 3=\ln\frac{21}{3}=\ln 7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+3\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}.

Demonstrați că ∫−10f′(x)f(x) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{0} f'(x)f(x)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (12f2(x))′=f′(x)f(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=f'(x)f(x), deci 12f2\displaystyle \dfrac{1}{2}f^{2} este o primitivă a produsului f′(x)f(x)\displaystyle f'(x)f(x). Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2+3x+3\displaystyle x^{2}+3x+3 nu se anulează (discriminantul este 9−12=−3<0\displaystyle 9-12=-3<0).
    (12f2(x))′=f′(x)f(x)\displaystyle \left(\frac{1}{2}f^{2}(x)\right)'=f'(x)f(x)
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu primitiva găsită: integrala este diferența valorilor primitivei la capetele intervalului.
    ∫−10f′(x)f(x) dx=12f2(x)∣−10\displaystyle \int_{-1}^{0} f'(x)f(x)\,dx=\frac{1}{2}f^{2}(x)\Big|_{-1}^{0}
  3. Calculăm f(0)=2⋅0+302+3⋅0+3\displaystyle f(0)=\dfrac{2\cdot 0+3}{0^{2}+3\cdot 0+3}.
    f(0)=33=1\displaystyle f(0)=\frac{3}{3}=1
  4. Calculăm f(−1)=2⋅(−1)+3(−1)2+3⋅(−1)+3\displaystyle f(-1)=\dfrac{2\cdot(-1)+3}{(-1)^{2}+3\cdot(-1)+3}, adică numărătorul este −2+3=1\displaystyle -2+3=1 și numitorul este 1−3+3=1\displaystyle 1-3+3=1.
    f(−1)=11=1\displaystyle f(-1)=\frac{1}{1}=1
  5. Înlocuim valorile: 12(f2(0)−f2(−1))=12(1−1)=0\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(f^{2}(0)-f^{2}(-1)\right)=\dfrac{1}{2}(1-1)=0. Deci integrala este egală cu 0\displaystyle 0.
    12(f2(0)−f2(−1))=12(1−1)=0\displaystyle \frac{1}{2}\left(f^{2}(0)-f^{2}(-1)\right)=\frac{1}{2}(1-1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.