Bac matematică M2 științe ale naturii 2012, sesiunea I varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2−1+2−2=0,75\displaystyle 2^{-1}+2^{-2}=0{,}75.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția puterii cu exponent negativ: a−n=1an\displaystyle a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}. Deci 2−1=12\displaystyle 2^{-1}=\dfrac{1}{2}.
    2−1=12\displaystyle 2^{-1}=\dfrac{1}{2}
  2. Aplicăm aceeași regulă pentru 2−2\displaystyle 2^{-2}: 2−2=122=14\displaystyle 2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}.
    2−2=14\displaystyle 2^{-2}=\dfrac{1}{4}
  3. Înlocuim cele două puteri în suma dată: 2−1+2−2=12+14\displaystyle 2^{-1}+2^{-2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}.
    2−1+2−2=12+14\displaystyle 2^{-1}+2^{-2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun 4\displaystyle 4: 12=24\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}. Adunăm: 24+14=34\displaystyle \dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
    12+14=24+14=34\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}
  5. Transformăm fracția în număr zecimal: 34=3:4=0,75\displaystyle \dfrac{3}{4}=3:4=0{,}75. Deci 2−1+2−2=0,75\displaystyle 2^{-1}+2^{-2}=0{,}75, ceea ce trebuia arătat.
    34=0,75\displaystyle \dfrac{3}{4}=0{,}75
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 2x−3<0\displaystyle \frac{2}{x-3}<0.
Vezi rezolvarea
  1. Fracția are sens doar dacă numitorul este nenul: x−3≠0\displaystyle x-3\neq 0, deci x≠3\displaystyle x\neq 3.
    x≠3\displaystyle x\neq 3
  2. Numărătorul 2\displaystyle 2 este pozitiv, deci fracția 2x−3\displaystyle \dfrac{2}{x-3} este negativă exact atunci când numitorul este negativ: 2x−3<0⇔x−3<0\displaystyle \dfrac{2}{x-3}<0\Leftrightarrow x-3<0.
    2x−3<0⇔x−3<0\displaystyle \frac{2}{x-3}<0\Leftrightarrow x-3<0
  3. Din x−3<0\displaystyle x-3<0 obținem x<3\displaystyle x<3. Condiția x≠3\displaystyle x\neq 3 este respectată automat, deci mulțimea soluțiilor este intervalul (−∞,3)\displaystyle (-\infty,3).
    x∈(−∞,3)\displaystyle x\in(-\infty,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+2=x+2\displaystyle \sqrt{x+2}=x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există doar dacă expresia de sub el este pozitivă sau zero. Punem condiția de existență: x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, deci x≥−2\displaystyle x\ge -2. Atunci și partea dreaptă x+2\displaystyle x+2 este pozitivă sau zero, deci ridicarea la pătrat nu introduce probleme de semn.
    x+2≥0⇒x≥−2\displaystyle x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat. În stânga radicalul dispare, iar în dreapta dezvoltăm pătratul sumei: (x+2)2=x2+4x+4\displaystyle (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4.
    x+2=x2+4x+4\displaystyle x+2=x^{2}+4x+4
  3. Mutăm toți termenii în membrul drept și reducem termenii asemenea, obținând o ecuație de gradul al doilea: x2+4x+4−x−2=0\displaystyle x^{2}+4x+4-x-2=0.
    x2+3x+2=0\displaystyle x^{2}+3x+2=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=32−4⋅1⋅2=9−8=1\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1. Rădăcinile sunt x=−3±12\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 1}{2}.
    x1=−3−12=−2\displaystyle x_1=\dfrac{-3-1}{2}=-2,x2=−3+12=−1\displaystyle \quad x_2=\dfrac{-3+1}{2}=-1
  5. Verificăm rădăcinile în ecuația inițială. Pentru x=−2\displaystyle x=-2: 0=0\displaystyle \sqrt{0}=0 și x+2=0\displaystyle x+2=0. Pentru x=−1\displaystyle x=-1: 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1 și x+2=1\displaystyle x+2=1. Ambele valori respectă condiția x≥−2\displaystyle x\ge -2 și verifică ecuația, deci ambele sunt soluții.
    x1=−2 și x2=−1\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de 900\displaystyle 900 lei cu o dobândă de p%\displaystyle p\% pe an. Calculați p\displaystyle p, știind că, după un an, în depozit suma este de 1008\displaystyle 1008 lei.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm dobânda D\displaystyle D obținută după un an, ca diferență între suma din depozit după un an și suma depusă inițial: D=1008−900\displaystyle D=1008-900.
    D=1008 lei−900 lei=108 lei\displaystyle D=1008\text{ lei}-900\text{ lei}=108\text{ lei}
  2. Dobânda reprezintă p%\displaystyle p\% din suma depusă, adică p100\displaystyle \dfrac{p}{100} din 900\displaystyle 900 lei. Scriem egalitatea dintre această valoare și dobânda D=108\displaystyle D=108.
    p100⋅900=108\displaystyle \frac{p}{100}\cdot 900=108
  3. Simplificăm 900\displaystyle 900 cu 100\displaystyle 100: 900100=9\displaystyle \dfrac{900}{100}=9, deci obținem 9p=108\displaystyle 9p=108.
    9p=108\displaystyle 9p=108
  4. Împărțim egalitatea la 9\displaystyle 9: p=1089\displaystyle p=\dfrac{108}{9}. Dobânda este deci de 12%\displaystyle 12\% pe an.
    p=12\displaystyle p=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(2,3)\displaystyle A(2,3). Determinați coordonatele punctului B\displaystyle B, știind că A\displaystyle A este mijlocul segmentului (OB)\displaystyle (OB).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele mijlocului unui segment: A\displaystyle A este mijlocul lui (OB)\displaystyle (OB), deci coordonatele lui A\displaystyle A sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor O\displaystyle O și B\displaystyle B. Notăm B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B).
    xA=xO+xB2 și yA=yO+yB2\displaystyle x_A=\frac{x_O+x_B}{2}\text{ și }y_A=\frac{y_O+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele cunoscute: xA=2\displaystyle x_A=2, yA=3\displaystyle y_A=3, xO=0\displaystyle x_O=0, yO=0\displaystyle y_O=0.
    2=0+xB2 și 3=0+yB2\displaystyle 2=\frac{0+x_B}{2}\text{ și }3=\frac{0+y_B}{2}
  3. Înmulțim fiecare egalitate cu 2\displaystyle 2 și aflăm coordonatele lui B\displaystyle B. Deci B(4,6)\displaystyle B(4,6).
    xB=4 și yB=6\displaystyle x_B=4\text{ și }y_B=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați măsura x\displaystyle x a unui unghi ascuțit, știind că sin⁡x+4cos⁡xcos⁡x=5\displaystyle \frac{\sin x+4\cos x}{\cos x}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul x\displaystyle x este ascuțit, deci cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0 și fracția are sens. Înmulțim egalitatea cu cos⁡x\displaystyle \cos x ca să eliminăm numitorul.
    sin⁡x+4cos⁡x=5cos⁡x\displaystyle \sin x+4\cos x=5\cos x
  2. Scădem 4cos⁡x\displaystyle 4\cos x din ambii membri ai egalității: sin⁡x=5cos⁡x−4cos⁡x\displaystyle \sin x=5\cos x-4\cos x.
    sin⁡x=cos⁡x\displaystyle \sin x=\cos x
  3. Împărțim la cos⁡x≠0\displaystyle \cos x\neq 0 și obținem tangenta unghiului egală cu 1.
    tg⁡x=1\displaystyle \operatorname{tg}x=1
  4. Singurul unghi ascuțit cu tangenta egală cu 1 este 45∘\displaystyle 45^\circ. Verificăm: sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    x=45∘\displaystyle x=45^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele H(x)=(10001ln⁡x001)\displaystyle H(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln x\\0&0&1\end{pmatrix}, cu x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).

Arătați că det⁡(H(x))=1\displaystyle \det(H(x))=1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea H(x)=(10001ln⁡x001)\displaystyle H(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln x\\0&0&1\end{pmatrix}. Pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), numărul ln⁡x\displaystyle \ln x este bine definit.
    det⁡(H(x))=∣10001ln⁡x001∣\displaystyle \det(H(x))=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&\ln x\\0&0&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡(H(x))=1⋅1⋅1+0⋅ln⁡x⋅0+0⋅0⋅0−0⋅1⋅0−0⋅ln⁡x⋅1−1⋅0⋅0\displaystyle \det(H(x))=1\cdot1\cdot1+0\cdot\ln x\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-0\cdot\ln x\cdot1-1\cdot0\cdot0
  3. Calculăm produsele. Singurul produs nenul este 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot1\cdot1=1, iar toate celelalte conțin cel puțin un factor 0\displaystyle 0.
    det⁡(H(x))=1+0+0−0−0−0\displaystyle \det(H(x))=1+0+0-0-0-0
  4. Efectuăm adunările și scăderile și obținem 1\displaystyle 1, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), deoarece rezultatul nu depinde de x\displaystyle x.
    det⁡(H(x))=1\displaystyle \det(H(x))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele H(x)=(10001ln⁡x001)\displaystyle H(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln x\\0&0&1\end{pmatrix}, cu x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, astfel încât H(x)⋅H(a)=H(x)\displaystyle H(x)\cdot H(a)=H(x), pentru orice x>0\displaystyle x>0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul H(x)⋅H(a)\displaystyle H(x)\cdot H(a), unde H(x)=(10001ln⁡x001)\displaystyle H(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln x\\0&0&1\end{pmatrix} și H(a)=(10001ln⁡a001)\displaystyle H(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln a\\0&0&1\end{pmatrix}.
    H(x)⋅H(a)=(10001ln⁡x001)⋅(10001ln⁡a001)\displaystyle H(x)\cdot H(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln x\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln a\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului, linie cu coloană. Prima linie dă (1,0,0)\displaystyle (1,0,0), ultima linie dă (0,0,1)\displaystyle (0,0,1), iar pe linia a doua elementul din dreapta este 0⋅0+1⋅ln⁡a+ln⁡x⋅1=ln⁡a+ln⁡x\displaystyle 0\cdot 0+1\cdot\ln a+\ln x\cdot 1=\ln a+\ln x.
    H(x)⋅H(a)=(10001ln⁡a+ln⁡x001)\displaystyle H(x)\cdot H(a)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln a+\ln x\\0&0&1\end{pmatrix}
  3. Impunem condiția H(x)⋅H(a)=H(x)\displaystyle H(x)\cdot H(a)=H(x). Matricele sunt egale dacă au toate elementele egale, iar singurul element care diferă este cel din dreapta sus, deci ln⁡a+ln⁡x=ln⁡x\displaystyle \ln a+\ln x=\ln x.
    ln⁡a+ln⁡x=ln⁡x\displaystyle \ln a+\ln x=\ln x
  4. Scădem ln⁡x\displaystyle \ln x din ambii membri și obținem ln⁡a=0\displaystyle \ln a=0. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, rezultă a=1\displaystyle a=1, care verifică a>0\displaystyle a>0.
    ln⁡a=0⇒a=1\displaystyle \ln a=0\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele H(x)=(10001ln⁡x001)\displaystyle H(x)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&\ln x\\0&0&1\end{pmatrix}, cu x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).

Calculați determinantul matricei H(1)+H(2)+…+H(2012)\displaystyle H(1)+H(2)+\ldots+H(2012).
Vezi rezolvarea
  1. Toate matricele H(k)\displaystyle H(k) au aceleași elemente, cu excepția celui de pe linia 2, coloana 3, care este ln⁡k\displaystyle \ln k. Adunăm matricele element cu element: pe diagonală apare de 2012 ori numărul 1\displaystyle 1, iar în poziția (2,3)\displaystyle (2,3) apare suma ln⁡1+ln⁡2+…+ln⁡2012\displaystyle \ln 1+\ln 2+\ldots+\ln 2012.
    S=(20120002012ln⁡1+ln⁡2+…+ln⁡2012002012)\displaystyle S=\begin{pmatrix}2012&0&0\\0&2012&\ln 1+\ln 2+\ldots+\ln 2012\\0&0&2012\end{pmatrix}
  2. Folosim proprietatea ln⁡a+ln⁡b=ln⁡(ab)\displaystyle \ln a+\ln b=\ln(ab). Produsul 1⋅2⋅…⋅2012\displaystyle 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot 2012 este 2012!\displaystyle 2012!, deci suma din poziția (2,3)\displaystyle (2,3) este ln⁡(2012!)\displaystyle \ln(2012!).
    ln⁡1+ln⁡2+…+ln⁡2012=ln⁡(2012!)\displaystyle \ln 1+\ln 2+\ldots+\ln 2012=\ln(2012!)
  3. Înlocuind suma în matrice, obținem matricea sumă.
    H(1)+H(2)+…+H(2012)=(20120002012ln⁡(2012!)002012)\displaystyle H(1)+H(2)+\ldots+H(2012)=\begin{pmatrix}2012&0&0\\0&2012&\ln(2012!)\\0&0&2012\end{pmatrix}
  4. Matricea obținută este superior triunghiulară, adică toate elementele de sub diagonala principală sunt 0\displaystyle 0. Deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală: 2012⋅2012⋅2012\displaystyle 2012\cdot 2012\cdot 2012. Elementul ln⁡(2012!)\displaystyle \ln(2012!) nu influențează determinantul.
    ∣20120002012ln⁡(2012!)002012∣=2012⋅2012⋅2012=20123\displaystyle \begin{vmatrix}2012&0&0\\0&2012&\ln(2012!)\\0&0&2012\end{vmatrix}=2012\cdot 2012\cdot 2012=2012^3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
În R[X]\displaystyle \mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3+3X2−3X−1\displaystyle f=X^3+3X^2-3X-1, cu rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3. Arătați că polinomul f\displaystyle f se divide cu X−1\displaystyle X-1.
Vezi rezolvarea
  1. Un polinom f\displaystyle f se divide cu X−1\displaystyle X-1 exact când 1\displaystyle 1 este rădăcină a lui, adică f(1)=0\displaystyle f(1)=0 (teorema lui Bézout). Verificăm această egalitate.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia lui f\displaystyle f.
    f(1)=13+3⋅12−3⋅1−1\displaystyle f(1)=1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1-1
  3. Calculăm: 1+3−3−1=0\displaystyle 1+3-3-1=0.
    f(1)=1+3−3−1=0\displaystyle f(1)=1+3-3-1=0
  4. Cum f(1)=0\displaystyle f(1)=0, numărul 1\displaystyle 1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, deci f\displaystyle f se divide cu X−1\displaystyle X-1.
    f(1)=0⇒X−1∣f\displaystyle f(1)=0\Rightarrow X-1\mid f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
În R[X]\displaystyle \mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3+3X2−3X−1\displaystyle f=X^3+3X^2-3X-1, cu rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3.

Calculați x12+x22+x32\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3+3X2−3X−1\displaystyle f=X^3+3X^2-3X-1 are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle b=3, c=−3\displaystyle c=-3, d=−1\displaystyle d=-1. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}.
    x1+x2+x3=−31=−3\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{3}{1}=-3
  2. Suma produselor rădăcinilor luate câte două este x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}.
    x1x2+x1x3+x2x3=−31=−3\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{-3}{1}=-3
  3. Folosim identitatea (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3). De aici obținem x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  4. Înlocuim x1+x2+x3=−3\displaystyle x_1+x_2+x_3=-3 și x1x2+x1x3+x2x3=−3\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-3 și obținem (−3)2−2⋅(−3)=9+6=15\displaystyle (-3)^2-2\cdot(-3)=9+6=15.
    x12+x22+x32=(−3)2−2⋅(−3)=9+6=15\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-3)^2-2\cdot(-3)=9+6=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
În R[X]\displaystyle \mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3+3X2−3X−1\displaystyle f=X^3+3X^2-3X-1, cu rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3.

Verificați dacă (2−x1)(2−x2)(2−x3)=13\displaystyle (2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=13.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f\displaystyle f are gradul 3\displaystyle 3, coeficientul dominant 1\displaystyle 1 și rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3, deci se scrie sub formă factorizată.
    f=(X−x1)(X−x2)(X−x3)\displaystyle f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)
  2. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în forma factorizată. Obținem că produsul cerut este chiar valoarea polinomului f\displaystyle f în 2\displaystyle 2.
    f(2)=(2−x1)(2−x2)(2−x3)\displaystyle f(2)=(2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)
  3. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) din forma dată a polinomului: 23=8\displaystyle 2^3=8, 3⋅22=12\displaystyle 3\cdot 2^2=12, 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6.
    f(2)=23+3⋅22−3⋅2−1=8+12−6−1\displaystyle f(2)=2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2-1=8+12-6-1
  4. Efectuăm calculul: 8+12−6−1=13\displaystyle 8+12-6-1=13. Deci egalitatea din enunț este adevărată.
    (2−x1)(2−x2)(2−x3)=f(2)=13\displaystyle (2-x_1)(2-x_2)(2-x_3)=f(2)=13
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\ln x.

Arătați că lim⁡x→4f(x)−f(4)x−4=0\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Limita lim⁡x→4f(x)−f(4)x−4\displaystyle \lim_{x\to 4}\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4} este chiar definiția derivatei lui f\displaystyle f în punctul 4\displaystyle 4. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci și în x=4\displaystyle x=4.
    lim⁡x→4f(x)−f(4)x−4=f′(4)\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=f'(4)
  2. Derivăm separat termenii: (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},(ln⁡x)′=1x\displaystyle \quad (\ln x)'=\frac{1}{x}
  3. Scădem derivatele: pentru x>0\displaystyle x>0 avem f′(x)=12x−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=12x−1x\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}, x>0\displaystyle \ x>0
  4. Înlocuim x=4\displaystyle x=4. Cum 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, obținem f′(4)=12⋅2−14=14−14\displaystyle f'(4)=\dfrac{1}{2\cdot 2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}.
    f′(4)=14−14\displaystyle f'(4)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}
  5. Diferența este zero, deci f′(4)=0\displaystyle f'(4)=0 și, conform egalității de mai sus, limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→4f(x)−f(4)x−4=f′(4)=0\displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=f'(4)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\ln x.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este crescătoare pe intervalul (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Calculăm derivata: (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=12x−1x\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}
  2. Aducem fracțiile la numitorul comun 2x\displaystyle 2x. Amplificăm prima fracție cu x\displaystyle \sqrt{x} și a doua cu 2\displaystyle 2, apoi folosim x=x⋅x\displaystyle x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}.
    f′(x)=x2x−22x=x−22x\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x}}{2x}-\frac{2}{2x}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}
  3. Studiem semnul derivatei pentru x>4\displaystyle x>4. Numitorul 2x\displaystyle 2x este pozitiv pentru orice x>0\displaystyle x>0. Pentru x>4\displaystyle x>4 avem x>4=2\displaystyle \sqrt{x}>\sqrt{4}=2, deci numărătorul x−2\displaystyle \sqrt{x}-2 este pozitiv.
    x>4⇒x−2>0 și 2x>0\displaystyle x>4\Rightarrow \sqrt{x}-2>0\text{ și }2x>0
  4. Câtul a două numere pozitive este pozitiv, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pe tot intervalul (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty). O funcție cu derivata pozitivă pe un interval este crescătoare pe acel interval.
    f′(x)>0 pentru orice x∈(4,+∞)⇒f cresca˘toare pe (4,+∞)\displaystyle f'(x)>0\text{ pentru orice }x\in(4,+\infty)\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }(4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡x\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\ln x.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci singurul punct în care putem avea asimptotă verticală este capătul finit 0\displaystyle 0, unde funcția nu este definită. Calculăm limita la dreapta în 0\displaystyle 0: lim⁡x→0, x>0f(x)\displaystyle \lim_{x\to0,\,x>0}f(x).
    lim⁡x→0, x>0f(x)=lim⁡x→0, x>0(x−ln⁡x)\displaystyle \lim_{x\to0,\,x>0}f(x)=\lim_{x\to0,\,x>0}\left(\sqrt{x}-\ln x\right)
  2. Studiem separat cei doi termeni. Avem lim⁡x→0, x>0x=0\displaystyle \lim_{x\to0,\,x>0}\sqrt{x}=0, iar lim⁡x→0, x>0ln⁡x=−∞\displaystyle \lim_{x\to0,\,x>0}\ln x=-\infty, deci lim⁡x→0, x>0(−ln⁡x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to0,\,x>0}(-\ln x)=+\infty. Nu apare nicio nedeterminare, pentru că suma este 0+∞\displaystyle 0+\infty.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=0+∞=+∞\displaystyle \lim_{x\to0,\,x>0}f(x)=0+\infty=+\infty
  3. Limita laterală la dreapta în 0\displaystyle 0 este infinită, deci dreapta x=0\displaystyle x=0 este asimptotă verticală la graficul funcției f\displaystyle f. Este singura asimptotă verticală, fiindcă f\displaystyle f este continuă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Arătați că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=xex−ex+2012\displaystyle F(x)=xe^x-e^x+2012 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci vom deriva F\displaystyle F.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm produsul xex\displaystyle xe^x cu regula de derivare a produsului: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, deci (xex)′=1⋅ex+x⋅ex\displaystyle (xe^x)'=1\cdot e^x+x\cdot e^x. Mai avem (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (2012)′=0\displaystyle (2012)'=0.
    (xex)′=ex+xex\displaystyle (xe^x)'=e^x+xe^x,(ex)′=ex\displaystyle \quad (e^x)'=e^x,(2012)′=0\displaystyle \quad (2012)'=0
  3. Adunăm derivatele termenilor lui F\displaystyle F și obținem, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, expresia din barem.
    F′(x)=xex+ex−ex\displaystyle F'(x)=xe^x+e^x-e^x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Reducem termenii opuși ex\displaystyle e^x și −ex\displaystyle -e^x: F′(x)=xex=f(x)\displaystyle F'(x)=xe^x=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Deci F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=xex=f(x)\displaystyle F'(x)=xe^x=f(x), ∀x∈R, deci F′=f\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{, deci }F'=f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Calculați ∫1ef(ln⁡x) dx\displaystyle \int_1^e f(\ln x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu ln⁡x\displaystyle \ln x în formula funcției: f(ln⁡x)=ln⁡x⋅eln⁡x\displaystyle f(\ln x)=\ln x\cdot e^{\ln x}. Cum eln⁡x=x\displaystyle e^{\ln x}=x pentru x>0\displaystyle x>0, obținem f(ln⁡x)=xln⁡x\displaystyle f(\ln x)=x\ln x.
    f(ln⁡x)=xln⁡x\displaystyle f(\ln x)=x\ln x
  2. Integrala devine ∫1ef(ln⁡x) dx=∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_1^e f(\ln x)\,dx=\int_1^e x\ln x\,dx.
    ∫1ef(ln⁡x) dx=∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_1^e f(\ln x)\,dx=\int_1^e x\ln x\,dx
  3. Aplicăm integrarea prin părți: alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, v=x22\displaystyle \ v=\dfrac{x^{2}}{2}
  4. Folosim formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du pe intervalul [1,e]\displaystyle [1,e].
    ∫1exln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx
  5. Calculăm primul termen: la x=e\displaystyle x=e avem e22⋅ln⁡e=e22\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}\cdot\ln e=\dfrac{e^{2}}{2}, iar la x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci termenul este 0\displaystyle 0.
    x22ln⁡x∣1e=e22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\ln x\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}}{2}
  6. Simplificăm integrandul: x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}, iar o primitivă a lui x2\displaystyle \dfrac{x}{2} este x24\displaystyle \dfrac{x^{2}}{4}.
    ∫1ex2 dx=x24∣1e\displaystyle \int_1^e\dfrac{x}{2}\,dx=\dfrac{x^{2}}{4}\Big|_1^e
  7. Asamblăm și aplicăm formula Leibniz-Newton: e22−(e24−14)=2e2−e2+14=e2+14\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\left(\dfrac{e^{2}}{4}-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{2e^{2}-e^{2}+1}{4}=\dfrac{e^{2}+1}{4}.
    e22−x24∣1e=e2+14\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{x^{2}}{4}\Big|_1^e=\dfrac{e^{2}+1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xex\displaystyle f(x)=xe^x.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)x\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția g\displaystyle g: pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci g(x)=xexx=ex\displaystyle g(x)=\dfrac{xe^{x}}{x}=e^{x}.
    g(x)=ex\displaystyle g(x)=e^{x}
  2. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox este dat de formula V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_{1}^{2} g^{2}(x)\,dx.
    V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2} g^{2}(x)\,dx
  3. Înlocuim g(x)=ex\displaystyle g(x)=e^{x}, deci g2(x)=(ex)2=e2x\displaystyle g^{2}(x)=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}, iar volumul devine o integrală din e2x\displaystyle e^{2x}.
    V=π∫12e2x dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2} e^{2x}\,dx
  4. O primitivă a lui e2x\displaystyle e^{2x} este e2x2\displaystyle \dfrac{e^{2x}}{2}, deoarece (e2x2)′=e2x\displaystyle \left(\dfrac{e^{2x}}{2}\right)'=e^{2x}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    V=π e2x2∣12=π(e42−e22)\displaystyle V=\pi\,\frac{e^{2x}}{2}\Big|_{1}^{2}=\pi\left(\frac{e^{4}}{2}-\frac{e^{2}}{2}\right)
  5. Dăm factor comun e22\displaystyle \dfrac{e^{2}}{2} și obținem răspunsul final: V=πe2(e2−1)2\displaystyle V=\dfrac{\pi e^{2}\left(e^{2}-1\right)}{2}.
    V=πe2(e2−1)2\displaystyle V=\frac{\pi e^{2}\left(e^{2}-1\right)}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.