Bac matematică M2 științe ale naturii 2011, sesiunea I varianta 05: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} pentru care numerele x−1\displaystyle x-1, x+1\displaystyle x+1 și 3x−1\displaystyle 3x-1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea progresiei aritmetice: dacă trei numere sunt termeni consecutivi, termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi. Aici termenul din mijloc este x+1\displaystyle x+1, deci x+1=(x−1)+(3x−1)2\displaystyle x+1=\dfrac{(x-1)+(3x-1)}{2}.
    x+1=(x−1)+(3x−1)2\displaystyle x+1=\dfrac{(x-1)+(3x-1)}{2}
  2. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 ca să scăpăm de numitor și obținem 2(x+1)=x−1+3x−1\displaystyle 2(x+1)=x-1+3x-1.
    2(x+1)=x−1+3x−1\displaystyle 2(x+1)=x-1+3x-1
  3. Desfacem parantezele în membrul stâng și reducem termenii asemenea în membrul drept: 2x+2=4x−2\displaystyle 2x+2=4x-2.
    2x+2=4x−2\displaystyle 2x+2=4x-2
  4. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă: 2x=4\displaystyle 2x=4, deci x=2\displaystyle x=2. Verificare: numerele sunt 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5, o progresie aritmetică cu rația 2\displaystyle 2.
    2x=4⇒x=2\displaystyle 2x=4\Rightarrow x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5−x\displaystyle f(x)=5-x. Calculați f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(10)\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(10).
Vezi rezolvarea
  1. Avem de calculat produsul P=f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(10)\displaystyle P=f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(10), unde f(x)=5−x\displaystyle f(x)=5-x. Un produs este nul dacă cel puțin un factor al său este nul, deci căutăm dacă printre factori apare valoarea 0\displaystyle 0.
    P=f(0)⋅f(1)⋅…⋅f(10)\displaystyle P=f(0)\cdot f(1)\cdot\ldots\cdot f(10)
  2. Calculăm câțiva factori: f(4)=5−4=1\displaystyle f(4)=5-4=1 și f(6)=5−6=−1\displaystyle f(6)=5-6=-1. Numărul 5\displaystyle 5 se află între 0\displaystyle 0 și 10\displaystyle 10, deci factorul f(5)\displaystyle f(5) apare în produs. Îl calculăm: f(5)=5−5=0\displaystyle f(5)=5-5=0.
    f(5)=5−5=0\displaystyle f(5)=5-5=0
  3. Produsul conține factorul f(5)=0\displaystyle f(5)=0, iar orice număr înmulțit cu 0\displaystyle 0 dă 0\displaystyle 0. Prin urmare, P=f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅0⋅f(6)⋅…⋅f(10)=0\displaystyle P=f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot 0\cdot f(6)\cdot\ldots\cdot f(10)=0.
    f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(10)=0\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot\ldots\cdot f(10)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x−1=x−3\displaystyle \sqrt{x-1}=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență. Radicalul există dacă x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0. Cum x−1≥0\displaystyle \sqrt{x-1}\ge 0, și membrul drept trebuie să fie pozitiv sau nul: x−3≥0\displaystyle x-3\ge 0. Din cele două condiții rezultă x∈[3,+∞)\displaystyle x\in[3,+\infty).
    {x−1≥0x−3≥0⇒x∈[3,+∞)\displaystyle \begin{cases}x-1\ge 0\\ x-3\ge 0\end{cases}\Rightarrow x\in[3,+\infty)
  2. Ridicăm ecuația la pătrat, ceea ce este permis pentru că ambii membri sunt nenegativi pe domeniul stabilit. Obținem x−1=(x−3)2\displaystyle x-1=(x-3)^2.
    x−1=(x−3)2\displaystyle x-1=(x-3)^2
  3. Dezvoltăm pătratul: (x−3)2=x2−6x+9\displaystyle (x-3)^2=x^2-6x+9. Mutăm toți termenii în partea dreaptă: 0=x2−6x+9−x+1\displaystyle 0=x^2-6x+9-x+1. După reducerea termenilor asemenea obținem ecuația de gradul II.
    x2−7x+10=0\displaystyle x^2-7x+10=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul II. Discriminantul este Δ=49−40=9\displaystyle \Delta=49-40=9. Rădăcinile sunt x=7±32\displaystyle x=\dfrac{7\pm 3}{2}, adică x1=2\displaystyle x_1=2 și x2=5\displaystyle x_2=5.
    x=2 sau x=5\displaystyle x=2\text{ sau }x=5
  5. Verificăm soluțiile cu condiția de existență. Numărul 2∉[3,+∞)\displaystyle 2\notin[3,+\infty), deci nu convine (de altfel, 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1, iar 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1). Numărul 5\displaystyle 5 convine: 4=2=5−3\displaystyle \sqrt{4}=2=5-3. Singura soluție este x=5\displaystyle x=5.
    2∉[3,+∞)⇒x=5\displaystyle 2\notin[3,+\infty)\Rightarrow x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul submulțimilor ordonate cu 2 elemente ale unei mulțimi cu 7 elemente.
Vezi rezolvarea
  1. O submulțime ordonată cu 2 elemente contează după ordinea elementelor: perechea (a,b)\displaystyle (a,b) este diferită de (b,a)\displaystyle (b,a). Numărul lor este numărul de aranjamente de 7\displaystyle 7 elemente luate câte 2\displaystyle 2, adică A72\displaystyle A_{7}^{2}.
    A72\displaystyle A_{7}^{2}
  2. Scriem formula aranjamentelor: Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}. Pentru n=7\displaystyle n=7 și k=2\displaystyle k=2 obținem A72=7!5!\displaystyle A_{7}^{2}=\dfrac{7!}{5!}.
    A72=7!5!\displaystyle A_{7}^{2}=\dfrac{7!}{5!}
  3. Simplificăm: 7!=7⋅6⋅5!\displaystyle 7!=7\cdot 6\cdot 5!, deci 5!\displaystyle 5! se reduce. Rămâne 7⋅6=42\displaystyle 7\cdot 6=42. Există 42\displaystyle 42 de submulțimi ordonate cu 2 elemente.
    A72=7!5!=7⋅6=42\displaystyle A_{7}^{2}=\dfrac{7!}{5!}=7\cdot 6=42
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Calculați distanța de la punctul A(2,3)\displaystyle A(2,3) la punctul de intersecție a dreptelor d1:2x−y−6=0\displaystyle d_1: 2x-y-6=0 și d2:−x+2y−6=0\displaystyle d_2: -x+2y-6=0.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție al dreptelor d1\displaystyle d_1 și d2\displaystyle d_2 se află rezolvând sistemul format din ecuațiile lor.
    {2x−y−6=0−x+2y−6=0\displaystyle \begin{cases}2x-y-6=0\\ -x+2y-6=0\end{cases}
  2. Din prima ecuație exprimăm y=2x−6\displaystyle y=2x-6, apoi înlocuim în a doua ecuație: −x+2(2x−6)−6=0\displaystyle -x+2(2x-6)-6=0.
    −x+4x−12−6=0\displaystyle -x+4x-12-6=0
  3. Reducem termenii: 3x−18=0\displaystyle 3x-18=0, deci x=6\displaystyle x=6. Atunci y=2⋅6−6=6\displaystyle y=2\cdot 6-6=6.
    x=6 și y=6\displaystyle x=6\text{ și }y=6
  4. Punctul de intersecție este B(6,6)\displaystyle B(6,6). Aplicăm formula distanței dintre A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(6,6)\displaystyle B(6,6).
    d=(6−2)2+(6−3)2\displaystyle d=\sqrt{(6-2)^2+(6-3)^2}
  5. Calculăm: d=42+32=16+9=25\displaystyle d=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}. Deci distanța este 5.
    d=25=5\displaystyle d=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cosinusul unghiului M\displaystyle M al triunghiului MNP\displaystyle MNP, știind că MN=4\displaystyle MN=4, MP=5\displaystyle MP=5 și NP=6\displaystyle NP=6.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul M\displaystyle M este opus laturii NP\displaystyle NP. Scriem teorema cosinusului pentru latura NP\displaystyle NP: NP2=MN2+MP2−2⋅MN⋅MP⋅cos⁡M\displaystyle NP^{2}=MN^{2}+MP^{2}-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M.
    NP2=MN2+MP2−2⋅MN⋅MP⋅cos⁡M\displaystyle NP^{2}=MN^{2}+MP^{2}-2\cdot MN\cdot MP\cdot \cos M
  2. Izolăm cos⁡M\displaystyle \cos M din relația de mai sus și obținem formula cosinusului în funcție de laturi.
    cos⁡M=MN2+MP2−NP22⋅MN⋅MP\displaystyle \cos M=\frac{MN^{2}+MP^{2}-NP^{2}}{2\cdot MN\cdot MP}
  3. Înlocuim valorile MN=4\displaystyle MN=4, MP=5\displaystyle MP=5 și NP=6\displaystyle NP=6. La numărător avem 42+52−62=16+25−36\displaystyle 4^{2}+5^{2}-6^{2}=16+25-36, iar la numitor 2⋅4⋅5=40\displaystyle 2\cdot 4\cdot 5=40.
    cos⁡M=16+25−3640=540\displaystyle \cos M=\frac{16+25-36}{40}=\frac{5}{40}
  4. Simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5 și obținem răspunsul final.
    cos⁡M=18\displaystyle \cos M=\frac{1}{8}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−1−22)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}.

Calculați A2−3A\displaystyle A^2-3A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A, folosind matricea dată A=(1−1−22)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}.
    A2=(1−1−22)⋅(1−1−22)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: 1⋅1+(−1)⋅(−2)=3\displaystyle 1\cdot1+(-1)\cdot(-2)=3, 1⋅(−1)+(−1)⋅2=−3\displaystyle 1\cdot(-1)+(-1)\cdot2=-3, (−2)⋅1+2⋅(−2)=−6\displaystyle (-2)\cdot1+2\cdot(-2)=-6, (−2)⋅(−1)+2⋅2=6\displaystyle (-2)\cdot(-1)+2\cdot2=6.
    A2=(3−3−66)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}3&-3\\-6&6\end{pmatrix}
  3. Calculăm 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=(3−3−66)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}3&-3\\-6&6\end{pmatrix}
  4. Scădem cele două matrice element cu element. Observăm că A2\displaystyle A^{2} și 3A\displaystyle 3A sunt egale, deci diferența este matricea nulă.
    A2−3A=(3−3−3−(−3)−6−(−6)6−6)=(0000)\displaystyle A^{2}-3A=\begin{pmatrix}3-3&-3-(-3)\\-6-(-6)&6-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−1−22)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}.

Demonstrați că X(a)⋅X(b)=X(a+b+3ab)\displaystyle X(a)\cdot X(b)=X(a+b+3ab), oricare ar fi a,b∈Z\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim definiția: X(a)⋅X(b)=(I2+aA)⋅(I2+bA)\displaystyle X(a)\cdot X(b)=(I_2+aA)\cdot(I_2+bA).
    X(a)⋅X(b)=(I2+aA)(I2+bA)\displaystyle X(a)\cdot X(b)=(I_2+aA)(I_2+bA)
  2. Distribuim: I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, I2⋅bA=bA\displaystyle I_2\cdot bA=bA, aA⋅I2=aA\displaystyle aA\cdot I_2=aA, iar aA⋅bA=abA2\displaystyle aA\cdot bA=abA^2.
    I2+bA+aA+abA2\displaystyle I_2+bA+aA+abA^2
  3. Calculăm A2=(1−1−22)(1−1−22)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}, adică A2=(1+2−1−2−2−42+4)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1+2&-1-2\\-2-4&2+4\end{pmatrix}.
    A2=(3−3−66)=3A\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}3&-3\\-6&6\end{pmatrix}=3A
  4. Folosind A2=3A\displaystyle A^2=3A, termenul abA2\displaystyle abA^2 devine 3abA\displaystyle 3abA.
    I2+aA+bA+3abA\displaystyle I_2+aA+bA+3abA
  5. Dăm factor comun pe A\displaystyle A: I2+(a+b+3ab)A\displaystyle I_2+(a+b+3ab)A. Cum a+b+3ab\displaystyle a+b+3ab este întreg, aceasta este chiar X(a+b+3ab)\displaystyle X(a+b+3ab).
    I2+(a+b+3ab)A=X(a+b+3ab)\displaystyle I_2+(a+b+3ab)A=X(a+b+3ab)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−1−22)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix} și X(a)=I2+aA\displaystyle X(a)=I_2+aA, unde a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}.

Arătați că X(a)\displaystyle X(a) este matrice inversabilă, oricare ar fi a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm aA\displaystyle aA, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu a\displaystyle a.
    aA=(a−a−2a2a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a&-a\\-2a&2a\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea I2\displaystyle I_2 cu aA\displaystyle aA, element cu element, și obținem matricea X(a)\displaystyle X(a).
    X(a)=I2+aA=(1+a−a−2a1+2a)\displaystyle X(a)=I_2+aA=\begin{pmatrix}1+a&-a\\-2a&1+2a\end{pmatrix}
  3. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul, deci trebuie să arătăm că det⁡X(a)≠0\displaystyle \det X(a)\neq 0 pentru orice a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z}.
    X(a) inversabila˘⇔det⁡X(a)≠0\displaystyle X(a)\text{ inversabilă}\Leftrightarrow\det X(a)\neq 0
  4. Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡X(a)=(1+a)(1+2a)−(−a)(−2a)\displaystyle \det X(a)=(1+a)(1+2a)-(-a)(-2a).
    det⁡X(a)=(1+a)(1+2a)−2a2\displaystyle \det X(a)=(1+a)(1+2a)-2a^{2}
  5. Desfacem parantezele: (1+a)(1+2a)=1+3a+2a2\displaystyle (1+a)(1+2a)=1+3a+2a^{2}. Apoi reducem termenii asemenea: 1+3a+2a2−2a2=1+3a\displaystyle 1+3a+2a^{2}-2a^{2}=1+3a.
    det⁡X(a)=1+3a\displaystyle \det X(a)=1+3a
  6. Determinantul se anulează doar dacă 1+3a=0\displaystyle 1+3a=0, adică a=−13\displaystyle a=-\dfrac{1}{3}. Deci det⁡X(a)≠0\displaystyle \det X(a)\neq 0 pentru a≠−13\displaystyle a\neq-\dfrac{1}{3}.
    1+3a≠0⇒a≠−13\displaystyle 1+3a\neq 0\Rightarrow a\neq-\frac{1}{3}
  7. Numărul −13\displaystyle -\dfrac{1}{3} nu este întreg, deci pentru orice a∈Z\displaystyle a\in\mathbb{Z} avem det⁡X(a)≠0\displaystyle \det X(a)\neq 0, iar matricea X(a)\displaystyle X(a) este inversabilă.
    −13∉Z⇒X(a) este matrice inversabila˘ \displaystyle -\frac{1}{3}\notin\mathbb{Z}\Rightarrow X(a)\text{ este matrice inversabilă }oricare ar fi a∈Z\displaystyle \text{oricare ar fi }a\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Polinomul f=X3+2X2−5X+m\displaystyle f=X^3+2X^2-5X+m, cu m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}, are rădăcinile x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3.

Calculați x12+x22+x32\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3+2X2−5X+m\displaystyle f=X^3+2X^2-5X+m are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−5\displaystyle c=-5, d=m\displaystyle d=m. Relațiile lui Viète sunt: x1+x2+x3=−ba\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} și x1x2+x1x3+x2x3=ca\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2+x3=−21=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{2}{1}=-2
  2. Calculăm suma produselor luate câte două: ca=−51\displaystyle \dfrac{c}{a}=\dfrac{-5}{1}.
    x1+x2+x3=−2 și x1⋅x2+x1⋅x3+x2⋅x3=−5\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2\text{ și }x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3=-5
  3. Dezvoltăm (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3). De aici exprimăm suma pătratelor.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1⋅x2+x1⋅x3+x2⋅x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3)
  4. Înlocuim x1+x2+x3=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2 și x1x2+x1x3+x2x3=−5\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-5. Obținem (−2)2−2⋅(−5)=4+10=14\displaystyle (-2)^2-2\cdot(-5)=4+10=14.
    x12+x22+x32=(−2)2−2⋅(−5)=4+10=14\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-2)^2-2\cdot(-5)=4+10=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Polinomul f=X3+2X2−5X+m\displaystyle f=X^3+2X^2-5X+m, cu m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}, are rădăcinile x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3.

Determinați m∈R∗\displaystyle m\in\mathbb{R}^* pentru care x1+x2+x3=1x1+1x2+1x3\displaystyle x_1+x_2+x_3=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3+2X2−5X+m\displaystyle f=X^3+2X^2-5X+m: x1+x2+x3=−21=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{2}{1}=-2, x1x2+x1x3+x2x3=−51=−5\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{-5}{1}=-5 și x1x2x3=−m1=−m\displaystyle x_1x_2x_3=-\dfrac{m}{1}=-m.
    x1+x2+x3=−2\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2,x1x2+x1x3+x2x3=−5\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-5,x1x2x3=−m\displaystyle \quad x_1x_2x_3=-m
  2. Cum m≠0\displaystyle m\neq 0, avem x1x2x3=−m≠0\displaystyle x_1x_2x_3=-m\neq 0, deci rădăcinile sunt nenule. Aducem fracțiile la același numitor: 1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}.
    1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}
  3. Înlocuim valorile din relațiile lui Viète: −5−m=5m\displaystyle \dfrac{-5}{-m}=\dfrac{5}{m}.
    1x1+1x2+1x3=5m\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{5}{m}
  4. Condiția din enunț devine −2=5m\displaystyle -2=\dfrac{5}{m}.
    −2=5m\displaystyle -2=\frac{5}{m}
  5. Rezolvăm ecuația: înmulțim cu m≠0\displaystyle m\neq 0 și obținem −2m=5\displaystyle -2m=5, deci m=−52\displaystyle m=-\dfrac{5}{2}. Valoarea este nenulă, deci convine.
    m=−52\displaystyle m=-\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Polinomul f=X3+2X2−5X+m\displaystyle f=X^3+2X^2-5X+m, cu m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}, are rădăcinile x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3. Arătați că determinantul Δ=∣x1x2x3x2x3x1x3x1x2∣\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\x_2&x_3&x_1\\x_3&x_1&x_2\end{vmatrix} este număr natural, oricare ar fi m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu notațiile a=x1\displaystyle a=x_1, b=x2\displaystyle b=x_2, c=x3\displaystyle c=x_3: Δ=a(bc−a2)−b(b2−ac)+c(ab−c2)\displaystyle \Delta=a(bc-a^{2})-b(b^{2}-ac)+c(ab-c^{2}). După reducerea termenilor obținem suma de mai jos.
    Δ=3x1x2x3−x13−x23−x33\displaystyle \Delta=3x_1x_2x_3-x_1^{3}-x_2^{3}-x_3^{3}
  2. Folosim identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca). Cum Δ=−(a3+b3+c3−3abc)\displaystyle \Delta=-(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc), schimbăm semnul celui de-al doilea factor și obținem forma factorizată.
    Δ=(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x3x1−x12−x22−x32)\displaystyle \Delta=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1-x_1^{2}-x_2^{2}-x_3^{2})
  3. Pentru f=X3+2X2−5X+m\displaystyle f=X^{3}+2X^{2}-5X+m, relațiile lui Viète sunt x1+x2+x3=−21\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{2}{1} și x1x2+x2x3+x3x1=−51\displaystyle x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{-5}{1}.
    x1+x2+x3=−2 și x1x2+x2x3+x3x1=−5\displaystyle x_1+x_2+x_3=-2\text{ și }x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-5
  4. Din (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle (x_1+x_2+x_3)^{2}=x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) obținem x12+x22+x32=(−2)2−2⋅(−5)=4+10\displaystyle x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}=(-2)^{2}-2\cdot(-5)=4+10.
    x12+x22+x32=14\displaystyle x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}=14
  5. Înlocuim în forma factorizată: Δ=(−2)⋅(−5−14)=(−2)⋅(−19)=38\displaystyle \Delta=(-2)\cdot(-5-14)=(-2)\cdot(-19)=38. Numărul 38\displaystyle 38 nu depinde de m\displaystyle m și este natural, deci afirmația este demonstrată pentru orice m∈R\displaystyle m\in\mathbb{R}.
    Δ=−2⋅(−5−14)=38∈N\displaystyle \Delta=-2\cdot(-5-14)=38\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[1,+∞)→R\displaystyle f:[1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex−1x\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{x}.

Calculați lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că limita cerută este chiar definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul x=2\displaystyle x=2. Funcția este derivabilă în 2\displaystyle 2, deoarece 2\displaystyle 2 se află în interiorul intervalului [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  2. Scriem funcția sub forma f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x^{-1}, ca să derivăm ușor al doilea termen.
    f(x)=ex−x−1\displaystyle f(x)=e^x-x^{-1}
  3. Derivăm termen cu termen: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, iar (x−1)′=−x−2=−1x2\displaystyle (x^{-1})'=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}. Cu semnul minus din față, obținem derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=ex+1x2\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1}{x^2}
  4. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în expresia derivatei: f′(2)=e2+122\displaystyle f'(2)=e^2+\dfrac{1}{2^2}, iar 22=4\displaystyle 2^2=4. Prin urmare limita cerută este f′(2)\displaystyle f'(2).
    lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)=e2+14\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)=e^2+\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[1,+∞)→R\displaystyle f:[1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex−1x\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{x}.

Arătați că f(x)>0\displaystyle f(x)>0, oricare ar fi x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}, iar (−1x)′=1x2\displaystyle \left(-\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=ex+1x2\displaystyle f'(x)=e^{x}+\dfrac{1}{x^{2}}
  2. Stabilim semnul derivatei: ex>0\displaystyle e^{x}>0 și 1x2>0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}>0 pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty), deci suma lor este strict pozitivă. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, ∀x∈[1,+∞)⇒f cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[1,+\infty)\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }[1,+\infty)
  3. Deoarece f\displaystyle f este crescătoare, pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\ge f(1). Calculăm f(1)=e1−11\displaystyle f(1)=e^{1}-\dfrac{1}{1}.
    f(1)=e−1\displaystyle f(1)=e-1
  4. Cum e>1\displaystyle e>1 (aproximativ 2,718\displaystyle 2{,}718), obținem f(1)>0\displaystyle f(1)>0. Prin urmare f(x)≥f(1)>0\displaystyle f(x)\ge f(1)>0, deci f(x)>0\displaystyle f(x)>0 pe tot intervalul.
    f(1)=e−1>0⇒f(x)>0\displaystyle f(1)=e-1>0\Rightarrow f(x)>0, ∀x∈[1,+∞)\displaystyle \ \forall x\in[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[1,+∞)→R\displaystyle f:[1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=ex−1x\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{x}.

Arătați că graficul funcției f\displaystyle f nu admite asimptotă spre +∞\displaystyle +\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptotele spre +∞\displaystyle +\infty pot fi orizontale sau oblice. Verificăm mai întâi asimptota orizontală, adică dacă limita funcției la +∞\displaystyle +\infty este finită. Calculăm limita: ex→+∞\displaystyle e^x\to+\infty, iar 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(ex−1x)=+∞−0=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(e^x-\frac{1}{x}\right)=+\infty-0=+\infty
  2. Deoarece limita este +∞\displaystyle +\infty, deci nu este un număr real, graficul funcției nu admite asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞⇒graficul nu admite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\Rightarrow\text{graficul nu admite }asimptota˘ orizontala˘\displaystyle \text{asimptotă orizontală}
  3. Verificăm asimptota oblică. Aceasta ar exista doar dacă limita lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} ar fi un număr real. Scriem raportul ca diferență a doi termeni.
    f(x)x=exx−1x2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x}-\frac{1}{x^{2}}
  4. Exponențiala crește mai repede decât orice putere a lui x\displaystyle x, deci exx→+∞\displaystyle \dfrac{e^x}{x}\to+\infty. Se poate justifica și cu regula lui L'Hospital: lim⁡x→+∞exx=lim⁡x→+∞ex1=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{1}=+\infty. Al doilea termen, 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}, tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞exx=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty,lim⁡x→+∞1x2=0\displaystyle \quad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0
  5. Limita raportului este +∞\displaystyle +\infty, deci nu este finită. Prin urmare graficul nu admite asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty. Cum nu există nici asimptotă orizontală, graficul funcției f\displaystyle f nu admite asimptotă spre +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)x=+∞⇒graficul nu admite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\Rightarrow\text{graficul nu admite }asimptota˘ oblica˘\displaystyle \text{asimptotă oblică}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+10\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+10}.

Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei Ox\displaystyle Ox, a graficului funcției g:[0,3]→R\displaystyle g:[0,3]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g:[0,3]→R\displaystyle g:[0,3]\to\mathbb{R} în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫03g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^3 g^2(x)\,dx.
    V=π∫03g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^3 g^2(x)\,dx
  2. Avem g(x)=x2+10\displaystyle g(x)=\sqrt{x^2+10}, deci g2(x)=x2+10\displaystyle g^2(x)=x^2+10, pentru că x2+10>0\displaystyle x^2+10>0. Obținem integrala de calculat.
    V=π∫03(x2+10) dx\displaystyle V=\pi\int_0^3 (x^2+10)\,dx
  3. O primitivă a lui x2+10\displaystyle x^2+10 este x33+10x\displaystyle \dfrac{x^3}{3}+10x, deoarece (x33)′=x2\displaystyle \left(\dfrac{x^3}{3}\right)'=x^2 și (10x)′=10\displaystyle (10x)'=10.
    V=π(x33+10x)∣03\displaystyle V=\pi\left(\frac{x^3}{3}+10x\right)\Big|_0^3
  4. Pentru x=3\displaystyle x=3 obținem 333+10⋅3=9+30=39\displaystyle \dfrac{3^3}{3}+10\cdot 3=9+30=39, iar pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Deci volumul este 39π\displaystyle 39\pi.
    V=π(333+10⋅3−0)=39π\displaystyle V=\pi\left(\frac{3^3}{3}+10\cdot 3-0\right)=39\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+10\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+10}.

Demonstrați că orice primitivă F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f este crescătoare pe mulțimea R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x2+10\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+10} este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f.
    F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F primitiva˘ a lui f\displaystyle \ F\text{ primitivă a lui }f
  2. Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)=x2+10\displaystyle F'(x)=f(x)=\sqrt{x^{2}+10}, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x2≥0\displaystyle x^{2}\geq 0, deci x2+10≥10>0\displaystyle x^{2}+10\geq 10>0. Radicalul unui număr strict pozitiv este strict pozitiv.
    f(x)=x2+10≥10>0\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+10}\geq\sqrt{10}>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Deoarece F′(x)=f(x)>0\displaystyle F'(x)=f(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, funcția F\displaystyle F este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci în particular crescătoare. Cum F\displaystyle F a fost aleasă oarecare, orice primitivă a lui f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f(x)>0\displaystyle f(x)>0, ∀x∈R⇒F este cresca˘toare pe R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+10\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+10}.

Demonstrați că ∫−1010f(x) dx=2∫010f(x) dx\displaystyle \int_{-10}^{10}f(x)\,dx=2\int_0^{10}f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f\displaystyle f este pară: f(−x)=(−x)2+10=x2+10=f(x)\displaystyle f(-x)=\sqrt{(-x)^{2}+10}=\sqrt{x^{2}+10}=f(x), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f(−x)=f(x)\displaystyle f(-x)=f(x), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Descompunem integrala pe intervalul simetric [−10,10]\displaystyle [-10,10] în două integrale, folosind punctul 0\displaystyle 0 (aditivitatea integralei față de interval).
    ∫−1010f(x) dx=∫−100f(x) dx+∫010f(x) dx\displaystyle \int_{-10}^{10}f(x)\,dx=\int_{-10}^{0}f(x)\,dx+\int_0^{10}f(x)\,dx
  3. În prima integrală facem schimbarea de variabilă x=−t\displaystyle x=-t, deci dx=−dt\displaystyle dx=-dt. Când x=−10\displaystyle x=-10, t=10\displaystyle t=10, iar când x=0\displaystyle x=0, t=0\displaystyle t=0. Obținem ∫100f(−t)⋅(−1) dt\displaystyle \int_{10}^{0}f(-t)\cdot(-1)\,dt. Cum f(−t)=f(t)\displaystyle f(-t)=f(t), integrandul devine −f(t)\displaystyle -f(t).
    ∫−100f(x) dx=∫100(−f(t)) dt\displaystyle \int_{-10}^{0}f(x)\,dx=\int_{10}^{0}(-f(t))\,dt
  4. Inversăm limitele de integrare: schimbarea limitelor schimbă semnul integralei, deci ∫100(−f(t)) dt=∫010f(t) dt\displaystyle \int_{10}^{0}(-f(t))\,dt=\int_0^{10}f(t)\,dt.
    ∫100(−f(t)) dt=∫010f(t) dt\displaystyle \int_{10}^{0}(-f(t))\,dt=\int_0^{10}f(t)\,dt
  5. Înlocuim în descompunere: ambii termeni sunt egali cu ∫010f(x) dx\displaystyle \int_0^{10}f(x)\,dx (variabila de integrare este muță), deci suma este dublul ei.
    ∫−1010f(x) dx=∫010f(x) dx+∫010f(x) dx=2∫010f(x) dx\displaystyle \int_{-10}^{10}f(x)\,dx=\int_0^{10}f(x)\,dx+\int_0^{10}f(x)\,dx=2\int_0^{10}f(x)\,dx
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M2 științe ale naturii

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.