Bac matematică M3 tehnologic 2020, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (10−2⋅3)(10+2⋅3)=64\displaystyle (10-2\cdot 3)(10+2\cdot 3)=64.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima paranteză. Efectuăm întâi înmulțirea 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, apoi scăderea: 10−6=4\displaystyle 10-6=4.
    10−2⋅3=10−6=4\displaystyle 10-2\cdot 3=10-6=4
  2. Calculăm a doua paranteză. Ținem cont de ordinea operațiilor: întâi 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, apoi adunarea: 10+6=16\displaystyle 10+6=16.
    10+2⋅3=10+6=16\displaystyle 10+2\cdot 3=10+6=16
  3. Înlocuim valorile celor două paranteze în produs: (10−2⋅3)(10+2⋅3)=4⋅16\displaystyle (10-2\cdot 3)(10+2\cdot 3)=4\cdot 16. Obținem 64\displaystyle 64, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (10−2⋅3)(10+2⋅3)=4⋅16=64\displaystyle (10-2\cdot 3)(10+2\cdot 3)=4\cdot 16=64
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2−7x+10=0\displaystyle x^2-7x+10=0. Arătați că 2(x1+x2)−x1x2=4\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții ecuației x2−7x+10=0\displaystyle x^{2}-7x+10=0: a=1\displaystyle a=1, b=−7\displaystyle b=-7, c=10\displaystyle c=10.
    a=1\displaystyle a=1, b=−7\displaystyle \ b=-7, c=10\displaystyle \ c=10
  2. Relațiile lui Viète sunt: x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} și x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x1x2=ca\displaystyle \quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}
  3. Calculăm suma rădăcinilor: x1+x2=−−71=7\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-7}{1}=7.
    x1+x2=7\displaystyle x_1+x_2=7
  4. Calculăm produsul rădăcinilor: x1x2=101=10\displaystyle x_1x_2=\dfrac{10}{1}=10.
    x1x2=10\displaystyle x_1x_2=10
  5. Înlocuim în expresie: 2(x1+x2)−x1x2=2⋅7−10=14−10=4\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=2\cdot 7-10=14-10=4, deci egalitatea este demonstrată.
    2(x1+x2)−x1x2=2⋅7−10=14−10=4\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=2\cdot 7-10=14-10=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−2020)=2log⁡23\displaystyle \log_2(x-2020)=2\log_2 3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x−2020>0\displaystyle x-2020>0, adică x>2020\displaystyle x>2020.
    x>2020\displaystyle x>2020
  2. Folosim proprietatea logaritmului de putere: alog⁡2b=log⁡2ba\displaystyle a\log_2 b=\log_2 b^{a}. Astfel, 2log⁡23=log⁡232=log⁡29\displaystyle 2\log_2 3=\log_2 3^{2}=\log_2 9.
    2log⁡23=log⁡232=log⁡29\displaystyle 2\log_2 3=\log_2 3^{2}=\log_2 9
  3. Ecuația devine log⁡2(x−2020)=log⁡232\displaystyle \log_2(x-2020)=\log_2 3^{2}. Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x−2020=9\displaystyle x-2020=9.
    log⁡2(x−2020)=log⁡232⇒x−2020=9\displaystyle \log_2(x-2020)=\log_2 3^2\Rightarrow x-2020=9
  4. Aflăm x adunând 2020 în ambii membri: x=9+2020=2029\displaystyle x=9+2020=2029. Verificăm condiția de existență: 2029>2020\displaystyle 2029>2020, deci soluția convine.
    x=2029, care convine\displaystyle x=2029\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un obiect costă 200\displaystyle 200 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că la preț se adaugă 10%\displaystyle 10\% din prețul inițial. Scriem 10%\displaystyle 10\% ca fracția 10100\displaystyle \dfrac{10}{100}.
    10%=10100\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100}
  2. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 200\displaystyle 200 de lei, înmulțind fracția cu prețul inițial: 10100⋅200=20\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 200=20. Deci scumpirea este de 20\displaystyle 20 de lei.
    10100⋅200=20\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 200=20
  3. Adăugăm scumpirea la prețul inițial: 200+20=220\displaystyle 200+20=220. Prețul după scumpire este 220\displaystyle 220 de lei.
    200+20=220 de lei\displaystyle 200+20=220\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,4)\displaystyle A(2,4) și B(4,4)\displaystyle B(4,4). Calculați distanța de la punctul O(0,0)\displaystyle O(0,0) la mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xM=xA+xB2=2+42\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2} și yM=yA+yB2=4+42\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{4+4}{2}.
    (xM,yM)=(3,4)\displaystyle (x_M,y_M)=\left(3,4\right)
  2. Rezultă că mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este punctul M(3,4)\displaystyle M(3,4).
    M(3,4)\displaystyle M(3,4)
  3. Distanța de la O(0,0)\displaystyle O(0,0) la M(3,4)\displaystyle M(3,4) se calculează cu formula distanței dintre două puncte: OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}.
    OM=(3−0)2+(4−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}
  4. Calculăm: 32=9\displaystyle 3^2=9, 42=16\displaystyle 4^2=16, suma este 9+16=25\displaystyle 9+16=25, iar 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5. Distanța cerută este 5\displaystyle 5.
    5\displaystyle 5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡60∘+cos⁡150∘=0\displaystyle \sin 60^\circ+\cos 150^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valoarea cunoscută a sinusului pentru unghiul remarcabil de 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. Scriem 150∘=180∘−30∘\displaystyle 150^\circ=180^\circ-30^\circ, adică folosim unghiuri suplementare.
    cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)\displaystyle \cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)
  3. Aplicăm formula cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x. Apoi folosim cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    cos⁡150∘=−cos⁡30∘=−32\displaystyle \cos 150^\circ=-\cos 30^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. Adunăm cele două valori: 32−32=0\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0, deci egalitatea este demonstrată.
    sin⁡60∘+cos⁡150∘=32−32=0\displaystyle \sin 60^\circ+\cos 150^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−290−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 9\\ 0 & -2\end{pmatrix} și B(x)=(x−3x0x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & -3x\\ 0 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=4\displaystyle \det A=4.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=−2\displaystyle a=-2, b=9\displaystyle b=9, c=0\displaystyle c=0, d=−2\displaystyle d=-2. Le înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣−290−2∣=(−2)⋅(−2)−0⋅9\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-2 & 9\\ 0 & -2\end{vmatrix}=(-2)\cdot(-2)-0\cdot 9
  3. Calculăm produsele: (−2)⋅(−2)=4\displaystyle (-2)\cdot(-2)=4, iar 0⋅9=0\displaystyle 0\cdot 9=0. Deci determinantul este 4−0=4\displaystyle 4-0=4, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=4−0=4\displaystyle \det A=4-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−290−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 9\\ 0 & -2\end{pmatrix} și B(x)=(x−3x0x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & -3x\\ 0 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B(x)⋅B(−x)+B(x)=A\displaystyle B(x)\cdot B(-x)+B(x)=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea B(−x)\displaystyle B(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în definiția lui B(x)\displaystyle B(x).
    B(−x)=(−x3x0−x)\displaystyle B(-x)=\begin{pmatrix}-x & 3x\\ 0 & -x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(x)⋅B(−x)\displaystyle B(x)\cdot B(-x), element cu element, după regula linie pe coloană. Pe prima linie: elementul (1,1)\displaystyle (1,1) este x⋅(−x)=−x2\displaystyle x\cdot(-x)=-x^{2}, iar elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este x⋅3x+(−3x)⋅(−x)=3x2+3x2=6x2\displaystyle x\cdot 3x+(-3x)\cdot(-x)=3x^{2}+3x^{2}=6x^{2}. Elementul (2,1)\displaystyle (2,1) este 0\displaystyle 0, iar elementul (2,2)\displaystyle (2,2) este x⋅(−x)=−x2\displaystyle x\cdot(-x)=-x^{2}.
    B(x)⋅B(−x)=(−x26x20−x2)\displaystyle B(x)\cdot B(-x)=\begin{pmatrix}-x^{2} & 6x^{2}\\ 0 & -x^{2}\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricea B(x)\displaystyle B(x) la produs, element cu element.
    B(x)⋅B(−x)+B(x)=(−x2+x6x2−3x0−x2+x)\displaystyle B(x)\cdot B(-x)+B(x)=\begin{pmatrix}-x^{2}+x & 6x^{2}-3x\\ 0 & -x^{2}+x\end{pmatrix}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Egalăm matricea obținută cu A\displaystyle A. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale, deci obținem două ecuații: una din elementele diagonalei principale și una din elementul (1,2)\displaystyle (1,2).
    −x2+x=−2 și 6x2−3x=9\displaystyle -x^{2}+x=-2\text{ și }6x^{2}-3x=9
  5. Rezolvăm prima ecuație: −x2+x=−2\displaystyle -x^{2}+x=-2 se scrie x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0, adică (x+1)(x−2)=0\displaystyle (x+1)(x-2)=0.
    x∈{−1, 2}\displaystyle x\in\{-1,\ 2\}
  6. Rezolvăm a doua ecuație: 6x2−3x=9\displaystyle 6x^{2}-3x=9 se împarte la 3\displaystyle 3 și devine 2x2−x−3=0\displaystyle 2x^{2}-x-3=0, adică (x+1)(2x−3)=0\displaystyle (x+1)(2x-3)=0.
    x∈{−1, 32}\displaystyle x\in\left\{-1,\ \dfrac{3}{2}\right\}
  7. Egalitatea matriceală are loc doar dacă ambele ecuații sunt verificate simultan, deci alegem valoarea comună a celor două mulțimi de soluții, adică x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−290−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 9\\ 0 & -2\end{pmatrix} și B(x)=(x−3x0x)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & -3x\\ 0 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația B(1)⋅X=A\displaystyle B(1)\cdot X=A.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în B(x)\displaystyle B(x) și obținem matricea B(1)\displaystyle B(1).
    B(1)=(1−301)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei B(1)\displaystyle B(1). Fiind o matrice triunghiulară, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală. Determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă.
    det⁡(B(1))=1⋅1−(−3)⋅0=1≠0\displaystyle \det(B(1))=1\cdot 1-(-3)\cdot 0=1\neq 0
  3. Calculăm inversa matricei B(1)\displaystyle B(1). Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} cu determinantul 1\displaystyle 1, inversa este (d−b−ca)\displaystyle \begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}. Deci schimbăm semnul elementului −3\displaystyle -3 și obținem 3\displaystyle 3.
    (B(1))−1=(1301)\displaystyle (B(1))^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația B(1)⋅X=A\displaystyle B(1)\cdot X=A la stânga cu (B(1))−1\displaystyle (B(1))^{-1}. Deoarece (B(1))−1⋅B(1)=I2\displaystyle (B(1))^{-1}\cdot B(1)=I_2, obținem X=(B(1))−1⋅A\displaystyle X=(B(1))^{-1}\cdot A.
    X=(B(1))−1⋅A=(1301)⋅(−290−2)\displaystyle X=(B(1))^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2 & 9\\ 0 & -2\end{pmatrix}
  5. Efectuăm înmulțirea, element cu element: 1⋅(−2)+3⋅0=−2\displaystyle 1\cdot(-2)+3\cdot 0=-2, 1⋅9+3⋅(−2)=3\displaystyle 1\cdot 9+3\cdot(-2)=3, 0⋅(−2)+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot(-2)+1\cdot 0=0, 0⋅9+1⋅(−2)=−2\displaystyle 0\cdot 9+1\cdot(-2)=-2. Aceasta este soluția ecuației.
    X=(−230−2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-2 & 3\\ 0 & -2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2+y2xy\displaystyle x\circ y=\frac{x^2+y^2}{xy}.

Arătați că 3∘13=829\displaystyle 3\circ\frac{1}{3}=\frac{82}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în formula x∘y=x2+y2xy\displaystyle x\circ y=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy} valorile x=3\displaystyle x=3 și y=13\displaystyle y=\dfrac{1}{3}.
    3∘13=32+(13)23⋅13\displaystyle 3\circ\frac{1}{3}=\frac{3^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}{3\cdot\frac{1}{3}}
  2. Calculăm pătratele: 32=9\displaystyle 3^{2}=9 și (13)2=19\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}.
    3∘13=9+193⋅13\displaystyle 3\circ\frac{1}{3}=\frac{9+\frac{1}{9}}{3\cdot\frac{1}{3}}
  3. La numitor avem 3⋅13=1\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{3}=1, deci rămâne doar numărătorul.
    9+191=9+19\displaystyle \frac{9+\frac{1}{9}}{1}=9+\frac{1}{9}
  4. Scriem 9=819\displaystyle 9=\dfrac{81}{9} și adunăm: 819+19=829\displaystyle \dfrac{81}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{82}{9}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    9+19=819+19=829\displaystyle 9+\frac{1}{9}=\frac{81}{9}+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2+y2xy\displaystyle x\circ y=\frac{x^2+y^2}{xy}.

Demonstrați că x∘y≥2\displaystyle x\circ y\ge 2, pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la inegalitatea de demonstrat și studiem semnul diferenței x∘y−2\displaystyle x\circ y-2. Înlocuim x∘y\displaystyle x\circ y cu definiția sa: x∘y−2=x2+y2xy−2\displaystyle x\circ y-2=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}-2.
    x∘y−2=x2+y2xy−2\displaystyle x\circ y-2=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}-2
  2. Aducem la același numitor xy\displaystyle xy, scriind 2=2xyxy\displaystyle 2=\dfrac{2xy}{xy}, și reunim numărătorii: x2+y2xy−2xyxy=x2+y2−2xyxy\displaystyle \dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}-\dfrac{2xy}{xy}=\dfrac{x^{2}+y^{2}-2xy}{xy}.
    x2+y2−2xyxy\displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{xy}
  3. Recunoaștem la numărător formula pătratului diferenței: x2−2xy+y2=(x−y)2\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}. Deci diferența devine o fracție cu numărătorul pătrat perfect.
    x∘y−2=(x−y)2xy\displaystyle x\circ y-2=\frac{(x-y)^{2}}{xy}
  4. Studiem semnul fracției. Numărătorul (x−y)2≥0\displaystyle (x-y)^{2}\ge 0, fiind un pătrat. Numitorul xy>0\displaystyle xy>0, pentru că x>0\displaystyle x>0 și y>0\displaystyle y>0, deoarece x,y∈M=(0,+∞)\displaystyle x,y\in M=(0,+\infty).
    (x−y)2≥0 și xy>0\displaystyle (x-y)^{2}\ge 0\text{ și }xy>0
  5. Un raport dintre un număr ≥0\displaystyle \ge 0 și un număr strict pozitiv este ≥0\displaystyle \ge 0. Deci x∘y−2≥0\displaystyle x\circ y-2\ge 0, adică x∘y≥2\displaystyle x\circ y\ge 2, pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
    x>0\displaystyle x>0, y>0 și (x−y)2≥0⇒x∘y≥2, pentru orice x\displaystyle \ y>0\text{ și }(x-y)^{2}\ge 0\Rightarrow x\circ y\ge 2\text{, pentru orice }x,y∈M\displaystyle y\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=x2+y2xy\displaystyle x\circ y=\frac{x^2+y^2}{xy}.

Determinați a∈M\displaystyle a\in M pentru care a2∘1a2=2\displaystyle a^2\circ\frac{1}{a^2}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x=a2\displaystyle x=a^{2} și y=1a2\displaystyle y=\dfrac{1}{a^{2}}. Produsul xy=a2⋅1a2=1\displaystyle xy=a^{2}\cdot\dfrac{1}{a^{2}}=1, deci numitorul este 1\displaystyle 1.
    a2∘1a2=a4+1a41=a4+1a4\displaystyle a^{2}\circ\dfrac{1}{a^{2}}=\dfrac{a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}}{1}=a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}
  2. Ecuația a2∘1a2=2\displaystyle a^{2}\circ\dfrac{1}{a^{2}}=2 devine a4+1a4=2\displaystyle a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}=2, adică a4+1a4−2=0\displaystyle a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}-2=0.
    a4+1a4−2=0\displaystyle a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}-2=0
  3. Observăm că (a2−1a2)2=a4−2⋅a2⋅1a2+1a4=a4+1a4−2\displaystyle \left(a^{2}-\dfrac{1}{a^{2}}\right)^{2}=a^{4}-2\cdot a^{2}\cdot\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{a^{4}}=a^{4}+\dfrac{1}{a^{4}}-2. Ecuația devine un pătrat perfect.
    (a2−1a2)2=0\displaystyle \left(a^{2}-\dfrac{1}{a^{2}}\right)^{2}=0
  4. Pătratul este zero doar dacă a2−1a2=0\displaystyle a^{2}-\dfrac{1}{a^{2}}=0, deci a2=1a2\displaystyle a^{2}=\dfrac{1}{a^{2}}. Înmulțind cu a2≠0\displaystyle a^{2}\neq 0 obținem a4=1\displaystyle a^{4}=1.
    a4=1\displaystyle a^{4}=1
  5. Din a4=1\displaystyle a^{4}=1 rezultă a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1. Deoarece a∈M=(0,+∞)\displaystyle a\in M=(0,+\infty), valoarea a=−1\displaystyle a=-1 nu convine, iar a=1\displaystyle a=1 convine.
    a=−1, care nu convine, a=1, care convine\displaystyle a=-1\text{, care nu convine, }a=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−12)+3\displaystyle f(x)=x(x^2-12)+3.

Arătați că f′(x)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm expresia funcției, înmulțind x\displaystyle x cu paranteza: f(x)=x⋅x2−12x+3\displaystyle f(x)=x\cdot x^{2}-12x+3, adică f(x)=x3−12x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-12x+3.
    f(x)=x3−12x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-12x+3
  2. Derivăm termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1} și faptul că derivata unei constante este 0\displaystyle 0: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (12x)′=12\displaystyle (12x)'=12, (3)′=0\displaystyle (3)'=0.
    f′(x)=(x3−12x+3)′=3x2−12\displaystyle f'(x)=(x^{3}-12x+3)'=3x^{2}-12
  3. Dăm factor comun pe 3\displaystyle 3 în expresia derivatei: 3x2−12=3(x2−4)\displaystyle 3x^{2}-12=3(x^{2}-4).
    f′(x)=3(x2−4)\displaystyle f'(x)=3(x^{2}-4)
  4. Descompunem diferența de pătrate: x2−4=x2−22=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=(x-2)(x+2). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−12)+3\displaystyle f(x)=x(x^2-12)+3.

Arătați că lim⁡x→3f(x)+6x−3=15\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)+6}{x-3}=15.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în expresia funcției: f(3)=3(32−12)+3=3⋅(−3)+3=−6\displaystyle f(3)=3(3^{2}-12)+3=3\cdot(-3)+3=-6.
    f(3)=−6\displaystyle f(3)=-6
  2. Scriem f(x)+6=f(x)−f(3)\displaystyle f(x)+6=f(x)-f(3), deoarece f(3)=−6\displaystyle f(3)=-6. Limita devine raportul de variație al lui f\displaystyle f în punctul 3\displaystyle 3, adică derivata în 3\displaystyle 3.
    lim⁡x→3f(x)+6x−3=lim⁡x→3f(x)−f(3)x−3=f′(3)\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)+6}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f'(3)
  3. Desfacem parantezele: f(x)=x3−12x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-12x+3. Derivăm termen cu termen: f′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2).
    f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12=3(x-2)(x+2)
  4. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 în derivată: f′(3)=3(3−2)(3+2)=3⋅1⋅5=15\displaystyle f'(3)=3(3-2)(3+2)=3\cdot 1\cdot 5=15. Deci limita cerută este 15\displaystyle 15.
    lim⁡x→3f(x)+6x−3=f′(3)=3(3−2)(3+2)=15\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)+6}{x-3}=f'(3)=3(3-2)(3+2)=15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−12)+3\displaystyle f(x)=x(x^2-12)+3.

Demonstrați că −13≤f(x)≤19\displaystyle -13\le f(x)\le 19, pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle x\in[-2,2].
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele și scriem funcția sub formă de polinom: f(x)=x3−12x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-12x+3.
    f(x)=x3−12x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-12x+3
  2. Calculăm derivata funcției: f′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2).
    f′(x)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2)
  3. Pentru x∈[−2,2]\displaystyle x\in[-2,2] avem x−2≤0\displaystyle x-2\le 0 și x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, deci produsul (x−2)(x+2)\displaystyle (x-2)(x+2) este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0. Echivalent, x2≤4\displaystyle x^{2}\le 4, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe [−2,2]\displaystyle [-2,2].
    x∈[−2,2]⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [−2,2]\displaystyle x\in[-2,2]\Rightarrow f'(x)\le 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[-2,2]
  4. Calculăm valoarea funcției în capătul din stânga: f(−2)=(−2)(4−12)+3=(−2)(−8)+3=16+3=19\displaystyle f(-2)=(-2)(4-12)+3=(-2)(-8)+3=16+3=19.
    f(−2)=19\displaystyle f(-2)=19
  5. Calculăm valoarea funcției în capătul din dreapta: f(2)=2(4−12)+3=2(−8)+3=−16+3=−13\displaystyle f(2)=2(4-12)+3=2(-8)+3=-16+3=-13.
    f(2)=−13\displaystyle f(2)=-13
  6. Funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe [−2,2]\displaystyle [-2,2], deci pentru orice x\displaystyle x din interval avem f(2)≤f(x)≤f(−2)\displaystyle f(2)\le f(x)\le f(-2). Înlocuind valorile, obținem −13≤f(x)≤19\displaystyle -13\le f(x)\le 19, pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle x\in[-2,2].
    f(−2)=19 și f(2)=−13, obținem −13≤f(x)≤19, pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle f(-2)=19\text{ și }f(2)=-13\text{, obținem }-13\le f(x)\le 19\text{, pentru orice }x\in[-2,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x+1\displaystyle f(x)=x^5+x+1.

Arătați că ∫−11(f(x)−x5−1)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^5-1\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x5+x+1\displaystyle f(x)=x^{5}+x+1 în expresia de sub integrală.
    ∫−11(f(x)−x5−1)dx=∫−11(x5+x+1−x5−1)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^{5}-1\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(x^{5}+x+1-x^{5}-1\right)dx
  2. Reducem termenii opuși: x5−x5=0\displaystyle x^{5}-x^{5}=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Rămâne doar x\displaystyle x.
    ∫−11(x5+x+1−x5−1)dx=∫−11x dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^{5}+x+1-x^{5}-1\right)dx=\int_{-1}^{1}x\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−11x dx=x22∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}
  4. Înlocuim limitele: 122−(−1)22=12−12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{(-1)^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}. Deci integrala este egală cu 0.
    x22∣−11=12−12=0\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x+1\displaystyle f(x)=x^5+x+1.

Calculați ∫01x2020(f(x)−x−1)dx\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2020}\left(f(x)-x-1\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x5+x+1\displaystyle f(x)=x^5+x+1 în paranteză: f(x)−x−1=x5+x+1−x−1=x5\displaystyle f(x)-x-1=x^5+x+1-x-1=x^5.
    f(x)−x−1=x5\displaystyle f(x)-x-1=x^{5}
  2. Înmulțim cu x2020\displaystyle x^{2020} și adunăm exponenții: x2020⋅x5=x2025\displaystyle x^{2020}\cdot x^{5}=x^{2025}. Integrala devine ∫01x2025dx\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2025}dx.
    ∫01x2020(f(x)−x−1)dx=∫01x2025dx\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2020}\left(f(x)-x-1\right)dx=\int_{0}^{1}x^{2025}dx
  3. Folosim ∫xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Pentru n=2025\displaystyle n=2025 primitiva este x20262026\displaystyle \dfrac{x^{2026}}{2026}, evaluată între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01x2025dx=x20262026∣01\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2025}dx=\frac{x^{2026}}{2026}\Big|_{0}^{1}
  4. Calculăm la limite: în 1\displaystyle 1 obținem 12026\displaystyle \dfrac{1}{2026}, iar în 0\displaystyle 0 obținem 0\displaystyle 0. Diferența este 12026\displaystyle \dfrac{1}{2026}.
    120262026−020262026=12026\displaystyle \frac{1^{2026}}{2026}-\frac{0^{2026}}{2026}=\frac{1}{2026}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x+1\displaystyle f(x)=x^5+x+1.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=1x(f(x)−x5)\displaystyle g(x)=\frac{1}{x}\left(f(x)-x^5\right) este egal cu π(2ln⁡2+32)\displaystyle \pi\left(2\ln 2+\frac{3}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x)−x5=(x5+x+1)−x5\displaystyle f(x)-x^5=(x^5+x+1)-x^5, deci se reduce termenul x5\displaystyle x^5 și rămâne x+1\displaystyle x+1.
    f(x)−x5=x+1\displaystyle f(x)-x^5=x+1
  2. Atunci g(x)=1x(x+1)=xx+1x\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{x}(x+1)=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}, adică g(x)=1+1x\displaystyle g(x)=1+\dfrac{1}{x}.
    g(x)=1+1x\displaystyle g(x)=1+\dfrac{1}{x}
  3. Volumul este V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}g^2(x)\,dx. Ridicăm la pătrat: g2(x)=(1+1x)2=1+2x+1x2\displaystyle g^2(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^2=1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}.
    V=π∫12(1+2x+1x2)dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)dx
  4. Integrăm termen cu termen: primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, a lui 2x\displaystyle \dfrac{2}{x} este 2ln⁡x\displaystyle 2\ln x, iar a lui 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2} este −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}.
    V=π(x+2ln⁡x−1x)∣12\displaystyle V=\pi\left(x+2\ln x-\dfrac{1}{x}\right)\Big|_{1}^{2}
  5. Calculăm în limite: (2+2ln⁡2−12)−(1+2ln⁡1−1)\displaystyle \left(2+2\ln 2-\dfrac{1}{2}\right)-\left(1+2\ln 1-1\right). Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, a doua paranteză este 0\displaystyle 0, iar prima este 2ln⁡2+32\displaystyle 2\ln 2+\dfrac{3}{2}.
    V=π(2ln⁡2+32)\displaystyle V=\pi\left(2\ln 2+\dfrac{3}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.