Bac matematică M3 tehnologic 2019, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că numărul

\displaystyle N=(4+3i)^2+(3-4i)^2

este natural, unde

\displaystyle i^2=-1

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm fiecare pătrat cu formulele $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ și $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
$\displaystyle N=16+24i+9i^2+9-24i+16i^2$
Înlocuim $\displaystyle i^2$ cu $\displaystyle -1$ în fiecare termen care îl conține.
$\displaystyle N=16+24i-9+9-24i-16$
Calculăm separat cele două pătrate: primul este $\displaystyle (4+3i)^2=16-9+24i=7+24i$ , al doilea este $\displaystyle (3-4i)^2=9-16-24i=-7-24i$ .
$\displaystyle (4+3i)^2=7+24i$ , $\displaystyle \quad (3-4i)^2=-7-24i$
Adunăm cele două rezultate: termenii cu $\displaystyle i$ se reduc ( $\displaystyle 24i-24i=0$ ), iar părțile reale se reduc și ele ( $\displaystyle 16-9+9-16=0$ ). Obținem $\displaystyle N=0$ , care este număr natural.
$\displaystyle N=16-9+9-16=0\text{, care este număr natural}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați numerele reale

\displaystyle a

, știind că punctul

\displaystyle A(a,a)

aparține graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2-x^2

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(a,a)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ dacă și numai dacă $\displaystyle f(a)=a$ , adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa lui.
$\displaystyle f(a)=a$
Înlocuim $\displaystyle f(a)=2-a^{2}$ și obținem ecuația $\displaystyle 2-a^{2}=a$ .
$\displaystyle 2-a^{2}=a$
Mutăm toți termenii în membrul drept, ca să obținem o ecuație de gradul al doilea în forma standard: $\displaystyle a^{2}+a-2=0$ .
$\displaystyle 2-a^{2}=a \Leftrightarrow a^{2}+a-2=0$
Calculăm discriminantul ecuației, cu coeficienții $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -2$ : $\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$ .
$\displaystyle \Delta=9$
Aplicăm formula soluțiilor: $\displaystyle a=\dfrac{-1\pm 3}{2}$ . Obținem $\displaystyle a=\dfrac{-1+3}{2}=1$ sau $\displaystyle a=\dfrac{-1-3}{2}=-2$ .
$\displaystyle a=-2\text{ sau }a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 5^x+5^{x+1}=30

.

Vezi rezolvarea

Folosim proprietatea puterilor: $\displaystyle 5^{x+1}=5^{x}\cdot 5$ . Ecuația devine $\displaystyle 5^{x}+5^{x}\cdot 5=30$ .
$\displaystyle 5^{x}+5\cdot 5^{x}=30$
Dăm factor comun $\displaystyle 5^{x}$ : $\displaystyle 5^{x}(1+5)=30$ , adică $\displaystyle 6\cdot 5^{x}=30$ .
$\displaystyle 5^{x}(1+5)=30\Leftrightarrow 6\cdot 5^{x}=30$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle 6$ : $\displaystyle 5^{x}=\dfrac{30}{6}$ , deci $\displaystyle 5^{x}=5$ .
$\displaystyle 5^{x}=5$
Scriem $\displaystyle 5=5^{1}$ , deci $\displaystyle 5^{x}=5^{1}$ . Funcția exponențială de bază $\displaystyle 5$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle M=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\ldots,\sqrt{49}\}

, acesta să fie număr natural.

Vezi rezolvarea

Mulțimea $\displaystyle M=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\ldots,\sqrt{49}\}$ conține câte un element pentru fiecare număr de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 49$ , deci numărul cazurilor posibile este $\displaystyle 49$ .
$\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=49$
$\displaystyle \sqrt{k}$ este număr natural exact când $\displaystyle k$ este pătrat perfect. Pătratele perfecte de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 49$ sunt $\displaystyle 1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2$ , adică $\displaystyle 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ .
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle \ 4$ , $\displaystyle \ 9$ , $\displaystyle \ 16$ , $\displaystyle \ 25$ , $\displaystyle \ 36$ , $\displaystyle \ 49$
Sunt $\displaystyle 7$ pătrate perfecte, deci avem $\displaystyle 7$ elemente naturale în $\displaystyle M$ : $\displaystyle \sqrt{1}=1,\ \sqrt{4}=2,\ \ldots,\ \sqrt{49}=7$ . Numărul cazurilor favorabile este $\displaystyle 7$ .
$\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=7$
Aplicăm formula $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ și simplificăm fracția prin $\displaystyle 7$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{49}=\frac{1}{7}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,5)

,

\displaystyle B(3,5)

și

\displaystyle C(2,1)

. Determinați lungimea medianei din

\displaystyle B

a triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Mediana din $\displaystyle B$ unește vârful $\displaystyle B$ cu mijlocul $\displaystyle M$ al laturii opuse $\displaystyle AC$ . Coordonatele mijlocului sunt $\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ .
$\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$
Înlocuim coordonatele punctelor $\displaystyle A(2,5)$ și $\displaystyle C(2,1)$ : $\displaystyle x_M=\dfrac{2+2}{2}=2$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{5+1}{2}=3$ .
$\displaystyle M(2,3)$
Lungimea medianei este distanța $\displaystyle BM$ . Folosim formula distanței dintre două puncte, cu $\displaystyle B(3,5)$ și $\displaystyle M(2,3)$ : $\displaystyle BM=\sqrt{(x_B-x_M)^2+(y_B-y_M)^2}$ .
$\displaystyle BM=\sqrt{(3-2)^2+(5-3)^2}$
Efectuăm calculele: $\displaystyle (3-2)^2=1$ și $\displaystyle (5-3)^2=4$ , deci $\displaystyle BM=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ .
$\displaystyle BM=\sqrt{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Demonstrați că

\displaystyle (\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2=2

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm primul pătrat folosind formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , cu $\displaystyle a=\sin x$ și $\displaystyle b=\cos x$ .
$\displaystyle (\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x$
Dezvoltăm al doilea pătrat folosind formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ . Apoi scriem suma celor două dezvoltări.
$\displaystyle \sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x$
Termenii $\displaystyle 2\sin x\cos x$ și $\displaystyle -2\sin x\cos x$ se reduc. Rămân doi termeni $\displaystyle \sin^2 x$ și doi termeni $\displaystyle \cos^2 x$ , pe care îi grupăm.
$\displaystyle 2\sin^2 x+2\cos^2 x=2(\sin^2 x+\cos^2 x)$
Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei, $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1$ , adevărată pentru orice $\displaystyle x$ real. Obținem că expresia este egală cu $\displaystyle 2$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 2(\sin^2 x+\cos^2 x)=2\cdot 1=2\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & -y\\ y & x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Arătați că

\displaystyle \det(A(1,1))=2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=1$ în matricea $\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & -y\\ y & x\end{pmatrix}$ și obținem matricea $\displaystyle A(1,1)$ .
$\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$
Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: $\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ . Aici $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-1$ , $\displaystyle c=1$ , $\displaystyle d=1$ .
$\displaystyle \det(A(1,1))=1\cdot 1-1\cdot(-1)$
Calculăm produsele: $\displaystyle 1\cdot 1=1$ și $\displaystyle 1\cdot(-1)=-1$ . Scăderea lui $\displaystyle -1$ revine la adunarea lui $\displaystyle 1$ , deci determinantul este $\displaystyle 1+1$ , adică $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 1+1=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & -y\\ y & x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale. Determinați numărul natural

\displaystyle n

pentru care

\displaystyle A(n-1,0)+A(n+1,0)=A(2018,0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=0$ în definiția lui $\displaystyle A(x,y)$ . Obținem $\displaystyle A(n-1,0)=\begin{pmatrix}n-1 & 0\\ 0 & n-1\end{pmatrix}$ , $\displaystyle A(n+1,0)=\begin{pmatrix}n+1 & 0\\ 0 & n+1\end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(2018,0)=\begin{pmatrix}2018 & 0\\ 0 & 2018\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(n-1,0)+A(n+1,0)=\begin{pmatrix}n-1 & 0\\ 0 & n-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n+1 & 0\\ 0 & n+1\end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: $\displaystyle (n-1)+(n+1)=2n$ , iar elementele de pe diagonala secundară rămân $\displaystyle 0$ . Egalitatea din enunț devine o egalitate de matrice.
$\displaystyle \begin{pmatrix}2n & 0\\ 0 & 2n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2018 & 0\\ 0 & 2018\end{pmatrix}$
Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale, deci $\displaystyle 2n=2018$ . Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle n=1009$ , care este număr natural, deci convine.
$\displaystyle 2n=2018\Rightarrow n=1009$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}x & -y\\ y & x\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

și

\displaystyle y

sunt numere reale.

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că există un număr real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle A(x,1)\cdot A(x,1)=A(a,-2)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=1$ în definiția matricei și obținem $\displaystyle A(x,1)$ .
$\displaystyle A(x,1)=\begin{pmatrix}x & -1\\ 1 & x\end{pmatrix}$
Înmulțim matricea cu ea însăși, element cu element: pe poziția (1,1) avem $\displaystyle x\cdot x+(-1)\cdot 1=x^{2}-1$ , pe poziția (1,2) avem $\displaystyle x\cdot(-1)+(-1)\cdot x=-2x$ , pe poziția (2,1) avem $\displaystyle 1\cdot x+x\cdot 1=2x$ , iar pe poziția (2,2) avem $\displaystyle 1\cdot(-1)+x\cdot x=x^{2}-1$ .
$\displaystyle A(x,1)\cdot A(x,1)=\begin{pmatrix}x^{2}-1 & -2x\\ 2x & x^{2}-1\end{pmatrix}$
Pentru $\displaystyle x=a$ și $\displaystyle y=-2$ obținem $\displaystyle A(a,-2)=\begin{pmatrix}a & 2\\ -2 & a\end{pmatrix}$ . Egalitatea din enunț devine egalitate între două matrice.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{2}-1 & -2x\\ 2x & x^{2}-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & 2\\ -2 & a\end{pmatrix}$
Două matrice sunt egale dacă au elementele corespunzătoare egale. Din pozițiile (1,2) și (2,1) obținem $\displaystyle -2x=2$ , respectiv $\displaystyle 2x=-2$ , iar din diagonală $\displaystyle x^{2}-1=a$ .
$\displaystyle \begin{cases}-2x=2\\ 2x=-2\\ x^{2}-1=a\end{cases}$
Din $\displaystyle -2x=2$ rezultă $\displaystyle x=-1$ , valoare care verifică și $\displaystyle 2x=-2$ . Atunci $\displaystyle a=x^{2}-1=(-1)^{2}-1=0$ .
$\displaystyle x=-1\text{, de unde obținem }a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-7X^2+mX-8

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle f(-1)+f(1)=-30

, pentru orice număr real

\displaystyle m

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle -1$ în expresia polinomului: $\displaystyle f(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)-8$ .
$\displaystyle f(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)-8$
Calculăm puterile: $\displaystyle (-1)^3=-1$ și $\displaystyle (-1)^2=1$ . Obținem $\displaystyle f(-1)=-1-7-m-8$ , adică $\displaystyle f(-1)=-m-16$ .
$\displaystyle f(-1)=-1-7-m-8=-m-16$
Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 1$ în expresia polinomului: $\displaystyle f(1)=1^3-7\cdot 1^2+m\cdot 1-8$ .
$\displaystyle f(1)=1^3-7\cdot 1^2+m\cdot 1-8$
Toate puterile lui $\displaystyle 1$ sunt egale cu $\displaystyle 1$ , deci $\displaystyle f(1)=1-7+m-8$ , adică $\displaystyle f(1)=m-14$ .
$\displaystyle f(1)=1-7+m-8=m-14$
Adunăm cele două valori: $\displaystyle f(-1)+f(1)=(-m-16)+(m-14)$ . Termenii cu $\displaystyle m$ se reduc, rămâne $\displaystyle -16-14=-30$ , deci egalitatea are loc pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle f(-1)+f(1)=-m-16+m-14=-30$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-7X^2+mX-8

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați câtul și restul împărțirii polinomului

\displaystyle f

la

\displaystyle X^2-3X+1

, știind că

\displaystyle f

se divide cu

\displaystyle X-2

.

Vezi rezolvarea

Deoarece $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X-2$ , avem $\displaystyle f(2)=0$ . Calculăm $\displaystyle f(2)$ în funcție de $\displaystyle m$ .
$\displaystyle f(2)=8-28+2m-8=2m-28$
Din $\displaystyle f(2)=0$ rezultă $\displaystyle 2m-28=0$ , deci $\displaystyle m=14$ și polinomul devine cel de mai jos.
$\displaystyle m=14\text{, deci }f=X^3-7X^2+14X-8$
Începem împărțirea: primul termen al câtului este $\displaystyle X^3:X^2=X$ . Scădem $\displaystyle X\cdot(X^2-3X+1)=X^3-3X^2+X$ din $\displaystyle f$ .
$\displaystyle f-X(X^2-3X+1)=-4X^2+13X-8$
Al doilea termen al câtului este $\displaystyle -4X^2:X^2=-4$ . Scădem $\displaystyle -4\cdot(X^2-3X+1)=-4X^2+12X-4$ din $\displaystyle -4X^2+13X-8$ .
$\displaystyle (-4X^2+13X-8)-(-4X^2+12X-4)=X-4$
Restul $\displaystyle X-4$ are gradul $\displaystyle 1$ , mai mic decât gradul împărțitorului, deci împărțirea se oprește. Scriem $\displaystyle f=(X-4)(X^2-3X+1)+X-4$ , de unde câtul și restul.
$\displaystyle \text{Câtul este }X-4\text{ și restul este }X-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-7X^2+mX-8

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care polinomul

\displaystyle f

are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

Vezi rezolvarea

Notăm rădăcinile în progresie geometrică $\displaystyle x_1,x_2,x_3>0$ . Din relațiile lui Viète: $\displaystyle x_1+x_2+x_3=7$ , $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$ , $\displaystyle x_1x_2x_3=8$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=7$ , $\displaystyle \quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$ , $\displaystyle \quad x_1x_2x_3=8$
Cum numerele sunt în progresie geometrică, $\displaystyle x_1x_3=x_2^2$ . Înmulțind cu $\displaystyle x_2$ , obținem $\displaystyle x_1x_2x_3=x_2^3$ .
$\displaystyle x_1x_3=x_2^2\Rightarrow x_1x_2x_3=x_2^3$
Cum $\displaystyle x_1x_2x_3=8$ , avem $\displaystyle x_2^3=8$ , deci $\displaystyle x_2=2$ .
$\displaystyle x_2=2$
Din suma rădăcinilor: $\displaystyle x_1+x_3=7-2=5$ . Din $\displaystyle x_1x_3=x_2^2$ : $\displaystyle x_1x_3=4$ .
$\displaystyle x_1+x_3=5$ , $\displaystyle \quad x_1x_3=4$
Numerele $\displaystyle x_1$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile ecuației $\displaystyle t^2-5t+4=0$ , cu soluțiile $\displaystyle t=1$ și $\displaystyle t=4$ . Rădăcinile polinomului sunt $\displaystyle 1,2,4$ , pozitive și în progresie geometrică de rație $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle x_1=1$ , $\displaystyle \ x_2=2$ , $\displaystyle \ x_3=4$
Calculăm $\displaystyle m=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1\cdot 2+1\cdot 4+2\cdot 4=2+4+8$ , deci $\displaystyle m=14$ .
$\displaystyle m=14$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x+2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}

,

\displaystyle x\in(-2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un raport de două funcții derivabile pe $\displaystyle (-2,+\infty)$ , deoarece numitorul $\displaystyle x+2$ este strict pozitiv. Aplicăm formula de derivare a câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u(x)=x^{2}+2x+1$ și $\displaystyle v(x)=x+2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+2x+1)'(x+2)-(x^{2}+2x+1)(x+2)'}{(x+2)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle u'(x)=2x+2$ și $\displaystyle v'(x)=1$ . Le înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x+2)-(x^{2}+2x+1)\cdot 1}{(x+2)^{2}}$
Efectuăm produsul de la numărător: $\displaystyle (2x+2)(x+2)=2x^{2}+4x+2x+4=2x^{2}+6x+4$ .
$\displaystyle (2x+2)(x+2)=2x^{2}+6x+4$
Scădem $\displaystyle x^{2}+2x+1$ din rezultat: $\displaystyle 2x^{2}+6x+4-x^{2}-2x-1=x^{2}+4x+3$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}$
Descompunem numărătorul: $\displaystyle x^{2}+4x+3=x^{2}+x+3x+3=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3)$ . Obținem forma cerută, pentru $\displaystyle x\in(-2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}=\dfrac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^{2}}\text{, }x\in(-2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x+2}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ are ecuația $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$ . Cerem ca ambele limite să fie finite.
$\displaystyle y=mx+n$ , $\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ , $\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$
Scriem raportul $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}$ , înlocuind $\displaystyle f(x)$ cu expresia dată.
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+2x+1}{x(x+2)}=\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x}$
Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul al doilea cu același coeficient dominant $\displaystyle 1$ , deci limita este raportul coeficienților dominanți. Obținem $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x}=1$
Calculăm diferența $\displaystyle f(x)-x$ , aducând la același numitor.
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2+2x+1-x(x+2)}{x+2}=\frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x+2}$
După reducerea termenilor asemenea rămâne $\displaystyle 1$ la numărător. Numitorul tinde la $\displaystyle +\infty$ , deci limita este $\displaystyle 0$ și $\displaystyle n=0$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x+2}=0$
Cu $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle n=0$ , dreapta $\displaystyle y=x$ este asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .
$\displaystyle y=x\text{ este asimptotă oblică }$ $\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x+2}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este convexă pe

\displaystyle (-2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Împărțim numărătorul la $\displaystyle x+2$ ca să simplificăm calculul derivatelor. Observăm că $\displaystyle x^{2}+2x+1=x(x+2)+1$ , deci $\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x+2}$ .
$\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x+2}$ , $\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)$
Derivăm funcția. Derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar derivata lui $\displaystyle \dfrac{1}{x+2}=(x+2)^{-1}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{(x+2)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+2)^{2}}$
Derivăm încă o dată. Termenul $\displaystyle -(x+2)^{-2}$ are derivata $\displaystyle 2(x+2)^{-3}$ , adică $\displaystyle \dfrac{2}{(x+2)^{3}}$ .
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{(x+2)^{3}}$ , $\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)$
Studiem semnul derivatei a doua. Pentru $\displaystyle x>-2$ avem $\displaystyle x+2>0$ , deci și $\displaystyle (x+2)^{3}>0$ . Numărătorul $\displaystyle 2$ este pozitiv, deci fracția este pozitivă pe tot intervalul. Cum derivata a doua este pozitivă, funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2,+\infty)$ .
$\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(-2,+\infty)\text{, deci funcția }f\text{ este convexă pe }(-2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x}

.

Determinați primitiva

\displaystyle F

a funcției

\displaystyle f

pentru care

\displaystyle F(1)=0

.

Vezi rezolvarea

Primitivele funcției $\displaystyle f$ se obțin integrând termen cu termen: $\displaystyle \int f(x)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int \dfrac{1}{x}\,dx$ , pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$ .
$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int \frac{1}{x}\,dx$
Folosim formulele: o primitivă a lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ , iar pentru $\displaystyle x>0$ o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ este $\displaystyle \ln x$ . Adăugăm constanta $\displaystyle c$ .
$\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\ln x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}$
Calculăm $\displaystyle F(1)$ : deoarece $\displaystyle \ln 1=0$ , obținem $\displaystyle F(1)=\dfrac{1^{3}}{3}+\ln 1+c$ .
$\displaystyle F(1)=\frac{1}{3}+c$
Impunem condiția $\displaystyle F(1)=0$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{3}+c=0$ , de unde $\displaystyle c=-\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle c=-\frac{1}{3}$
Înlocuim constanta $\displaystyle c$ în expresia lui $\displaystyle F$ și obținem primitiva cerută.
$\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\ln x-\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x}

.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei

\displaystyle Ox

a graficului funcției

\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=f(x)

este egal cu

\displaystyle \frac{97\pi}{10}

.

Vezi rezolvarea

Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este $\displaystyle V=\pi\int_1^2 g^2(x)\,dx$ , iar $\displaystyle g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^2dx$
Folosim formula $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ cu $\displaystyle a=x^2$ și $\displaystyle b=\dfrac{1}{x}$ . Obținem $\displaystyle x^4$ , apoi $\displaystyle 2\cdot x^2\cdot\dfrac{1}{x}=2x$ , apoi $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}$ .
$\displaystyle \left(x^2+\frac{1}{x}\right)^2=x^4+2x+\frac{1}{x^2}$
Primitivele termenilor sunt: pentru $\displaystyle x^4$ este $\displaystyle \dfrac{x^5}{5}$ , pentru $\displaystyle 2x$ este $\displaystyle x^2$ , iar pentru $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle V=\pi\int_1^2\left(x^4+2x+\frac{1}{x^2}\right)dx=\pi\left(\frac{x^5}{5}+x^2-\frac{1}{x}\right)\Big|_1^2$
Înlocuim $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle \dfrac{32}{5}+4-\dfrac{1}{2}$ . Înlocuim $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle \dfrac{1}{5}+1-1$ . Scădem a doua valoare din prima.
$\displaystyle V=\pi\left(\frac{32}{5}+4-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-1+1\right)$
Avem $\displaystyle \dfrac{32}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{31}{5}$ și $\displaystyle 4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$ , iar $\displaystyle -1+1=0$ . Suma este $\displaystyle \dfrac{31}{5}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{62}{10}+\dfrac{35}{10}$ , deci volumul este cel cerut.
$\displaystyle V=\pi\left(\frac{31}{5}+\frac{7}{2}\right)=\frac{97\pi}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x}

.

Determinați numărul

\displaystyle m\in(1,+\infty)

, știind că

\displaystyle \int_1^m \left(f(x)-x^2\right)\ln x\,dx=\frac{1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Din $\displaystyle f(x)=x^{2}+\dfrac{1}{x}$ obținem că $\displaystyle x^{2}$ se reduce, deci rămâne o fracție simplă.
$\displaystyle f(x)-x^{2}=\dfrac{1}{x}$
Înlocuim în integrală și obținem integrala lui $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}$ pe intervalul $\displaystyle [1,m]$ .
$\displaystyle \int_1^m\left(f(x)-x^{2}\right)\ln x\,dx=\int_1^m\dfrac{\ln x}{x}\,dx$
Notăm $\displaystyle t=\ln x$ , deci $\displaystyle dt=\dfrac{1}{x}\,dx$ . O primitivă este $\displaystyle \dfrac{t^{2}}{2}=\dfrac{\ln^{2}x}{2}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \int_1^m\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln^{2}x\Big|_1^m=\dfrac{1}{2}\ln^{2}m-\dfrac{1}{2}\ln^{2}1=\dfrac{1}{2}\ln^{2}m$
Din condiția din enunț avem $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^{2}m=\dfrac{1}{2}$ , deci după înmulțirea cu 2 obținem $\displaystyle \ln^{2}m=1$ .
$\displaystyle \ln^{2}m=1$
Rezultă $\displaystyle \ln m=1$ sau $\displaystyle \ln m=-1$ , deci $\displaystyle m=e$ sau $\displaystyle m=\dfrac{1}{e}$ . Cum $\displaystyle m\in(1,+\infty)$ , valoarea $\displaystyle \dfrac{1}{e}<1$ nu convine, iar $\displaystyle m=e>1$ convine.
$\displaystyle \ln m=-1\text{ sau }\ln m=1\text{, deci }m=\dfrac{1}{e}\text{, care nu convine, sau }m=e\text{, care convine; } m=e$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2019, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani