Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 16: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că log⁡55−(12−13+14):512=0\displaystyle \log_5 5-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right):\frac{5}{12}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția logaritmului: log⁡55=1\displaystyle \log_5 5=1, deoarece 51=5\displaystyle 5^{1}=5.
    log⁡55=1\displaystyle \log_5 5=1
  2. Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 12\displaystyle 12: 12=612\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}, 13=412\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}, 14=312\displaystyle \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}.
    12−13+14=6−4+312\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{6-4+3}{12}
  3. Calculăm numărătorul: 6−4+3=5\displaystyle 6-4+3=5. Înlocuim în expresie și obținem 1−512:512\displaystyle 1-\dfrac{5}{12}:\dfrac{5}{12}.
    1−6−4+312:512=1−512:512\displaystyle 1-\frac{6-4+3}{12}:\frac{5}{12}=1-\frac{5}{12}:\frac{5}{12}
  4. Împărțirea a două numere egale este 1\displaystyle 1, deci 512:512=1\displaystyle \dfrac{5}{12}:\dfrac{5}{12}=1. Rămâne 1−1=0\displaystyle 1-1=0, ceea ce trebuia demonstrat.
    1−1=0\displaystyle 1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care punctul A(n,7)\displaystyle A(n,7) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=x^2+x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(n,7)\displaystyle A(n,7) aparține graficului funcției f\displaystyle f exact atunci când f(n)=7\displaystyle f(n)=7. Punem această condiție.
    f(n)=7\displaystyle f(n)=7
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu n\displaystyle n în expresia funcției și obținem ecuația n2+n+1=7\displaystyle n^{2}+n+1=7.
    n2+n+1=7\displaystyle n^{2}+n+1=7
  3. Mutăm 7\displaystyle 7 în membrul stâng și reducem termenii: 1−7=−6\displaystyle 1-7=-6. Obținem ecuația de gradul al doilea n2+n−6=0\displaystyle n^{2}+n-6=0.
    n2+n−6=0\displaystyle n^{2}+n-6=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației cu a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−6\displaystyle c=-6: Δ=b2−4ac=1+24=25\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1+24=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  5. Aflăm rădăcinile cu formula n=−b±Δ2a=−1±52\displaystyle n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 5}{2}. Rezultă n=2\displaystyle n=2 sau n=−3\displaystyle n=-3.
    n=2 sau n=−3\displaystyle n=2\text{ sau }n=-3
  6. Cerința este ca n\displaystyle n să fie număr natural, iar −3\displaystyle -3 nu este natural. Reținem doar n=2\displaystyle n=2. Verificare: f(2)=4+2+1=7\displaystyle f(2)=4+2+1=7.
    n=2\displaystyle n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−9=x−3\displaystyle \sqrt{x^2-9}=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este mereu ≥0\displaystyle \geq 0, deci trebuie ca x−3≥0\displaystyle x-3\geq 0, adică x≥3\displaystyle x\geq 3. În plus, x2−9≥0\displaystyle x^2-9\geq 0.
    x≥3\displaystyle x\geq 3
  2. Ridicăm ambii membri la pătrat: (x2−9)2=(x−3)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2-9}\right)^2=(x-3)^2, adică x2−9=x2−6x+9\displaystyle x^2-9=x^2-6x+9.
    x2−9=x2−6x+9\displaystyle x^2-9=x^2-6x+9
  3. Reducem x2\displaystyle x^2 din ambii membri și obținem −9=−6x+9\displaystyle -9=-6x+9, deci 6x=18\displaystyle 6x=18.
    6x=18\displaystyle 6x=18
  4. Împărțim la 6\displaystyle 6 și obținem x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
  5. Verificăm: pentru x=3\displaystyle x=3 avem 32−9=0=0\displaystyle \sqrt{3^2-9}=\sqrt{0}=0 și x−3=0\displaystyle x-3=0. Egalitatea este adevărată, deci soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie de forma aa‾\displaystyle \overline{aa}, unde a\displaystyle a este cifră nenulă.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Numerele de forma aa‾\displaystyle \overline{aa} cu a≠0\displaystyle a\neq 0 sunt 11,22,33,44,55,66,77,88,99\displaystyle 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, deci sunt 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    11\displaystyle 11,22\displaystyle 22,33\displaystyle 33,44\displaystyle 44,55\displaystyle 55,66\displaystyle 66,77\displaystyle 77,88\displaystyle 88,99, deci sunt 9 cazuri favorabile\displaystyle 99\text{, deci sunt }9\text{ cazuri favorabile}
  4. Înlocuim în formulă și simplificăm prin 9\displaystyle 9: p=990=110\displaystyle p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}.
    p=990=110\displaystyle p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4), B(5,4)\displaystyle B(5,4) și C(3,0)\displaystyle C(3,0). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4) și B(5,4)\displaystyle B(5,4) au aceeași ordonată, deci segmentul AB\displaystyle AB este orizontal. Îl luăm ca bază a triunghiului.
    AB∥Ox\displaystyle AB\parallel Ox, y=4\displaystyle \ y=4
  2. Calculăm lungimea bazei AB\displaystyle AB ca diferența absolută a abscizelor: AB=∣5−1∣\displaystyle AB=|5-1|.
    AB=(5−1)2+(4−4)2=4\displaystyle AB=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-4)^{2}}=4
  3. Dreapta AB\displaystyle AB are ecuația y=4\displaystyle y=4. Distanța de la C(3,0)\displaystyle C(3,0) la această dreaptă este ∣4−0∣\displaystyle |4-0|.
    d(C,AB)=∣4−0∣=4\displaystyle d(C,AB)=|4-0|=4
  4. Aplicăm formula ariei: AΔABC=AB⋅d(C,AB)2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot d(C,AB)}{2}, deci aria este 4⋅42\displaystyle \dfrac{4\cdot 4}{2}.
    AΔABC=AB⋅d(C,AB)2=4⋅42=8\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot d(C,AB)}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați măsura unghiului B\displaystyle B al triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AC=3\displaystyle AC=3 și BC=6\displaystyle BC=6.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC=6\displaystyle BC=6, iar AC=3\displaystyle AC=3 este catetă și se opune unghiului B\displaystyle B.
    BC=6 (ipotenuza˘)\displaystyle BC=6\text{ (ipotenuză)},AC=3 (cateta˘ opusa˘ lui B)\displaystyle \quad AC=3\text{ (catetă opusă lui }B\text{)}
  2. Comparăm cateta cu ipotenuza: BC2=62=3\displaystyle \dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3, deci AC=BC2\displaystyle AC=\dfrac{BC}{2}.
    AC=BC2\displaystyle AC=\frac{BC}{2}
  3. În triunghiul dreptunghic, sin⁡B=ACBC=36=12\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡B=12\displaystyle \sin B=\frac{1}{2}
  4. Cateta egală cu jumătate din ipotenuză se opune unui unghi de 30∘\displaystyle 30^\circ. Deoarece B\displaystyle B este unghi ascuțit și sin⁡B=12\displaystyle \sin B=\dfrac{1}{2}, obținem m(∢B)=30∘\displaystyle m(\sphericalangle B)=30^\circ.
    m(∢B)=30∘\displaystyle m(\sphericalangle B)=30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−1−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=4\displaystyle \det A=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordin 2 cu elementele ei: det⁡A=∣−22−1−1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣−22−1−1∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, deci ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c. Aici a=−2\displaystyle a=-2, b=2\displaystyle b=2, c=−1\displaystyle c=-1, d=−1\displaystyle d=-1.
    det⁡A=(−2)⋅(−1)−2⋅(−1)\displaystyle \det A=(-2)\cdot(-1)-2\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: (−2)⋅(−1)=2\displaystyle (-2)\cdot(-1)=2 și 2⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-1)=-2.
    (−2)⋅(−1)=2\displaystyle (-2)\cdot(-1)=2,2⋅(−1)=−2\displaystyle \quad 2\cdot(-1)=-2
  4. Scădem: 2−(−2)=2+2=4\displaystyle 2-(-2)=2+2=4. Deci det⁡A=4\displaystyle \det A=4.
    det⁡A=2−(−2)=4\displaystyle \det A=2-(-2)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−1−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}. Arătați că A⋅A+3A+4I2=O2\displaystyle A\cdot A+3A+4I_2=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, linie cu coloană. Prima linie: (−2)(−2)+2⋅(−1)=2\displaystyle (-2)(-2)+2\cdot(-1)=2 și (−2)⋅2+2⋅(−1)=−6\displaystyle (-2)\cdot 2+2\cdot(-1)=-6. A doua linie: (−1)(−2)+(−1)(−1)=3\displaystyle (-1)(-2)+(-1)(-1)=3 și (−1)⋅2+(−1)(−1)=−1\displaystyle (-1)\cdot 2+(-1)(-1)=-1.
    A⋅A=(2−63−1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2 & -6\\ 3 & -1\end{pmatrix}
  2. Calculăm 3A\displaystyle 3A înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=(−66−3−3)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}-6 & 6\\ -3 & -3\end{pmatrix}
  3. Calculăm 4I2\displaystyle 4I_2 înmulțind fiecare element al matricei I2\displaystyle I_2 cu 4\displaystyle 4. Acum avem toți cei trei termeni.
    4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele trei matrice element cu element. Se obține matricea nulă, deci egalitatea A⋅A+3A+4I2=O2\displaystyle A\cdot A+3A+4I_2=O_2 este demonstrată.
    A⋅A+3A+4I2=(2−6+4−6+6+03−3+0−1−3+4)=(0000)=O2\displaystyle A\cdot A+3A+4I_2=\begin{pmatrix}2-6+4 & -6+6+0\\ 3-3+0 & -1-3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−1−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y astfel încât A⋅A⋅A=xA+yI2\displaystyle A\cdot A\cdot A=xA+yI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: (−22−1−1)(−22−1−1)\displaystyle \begin{pmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
    A2=(4−2−4−22+1−2+1)=(2−63−1)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}4-2 & -4-2\\ 2+1 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -6\\ 3 & -1\end{pmatrix}
  2. Calculăm A3=A2⋅A\displaystyle A^3=A^2\cdot A: (2−63−1)(−22−1−1)\displaystyle \begin{pmatrix}2 & -6\\ 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
    A3=(−4+64+6−6+16+1)=(210−57)\displaystyle A^3=\begin{pmatrix}-4+6 & 4+6\\ -6+1 & 6+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 10\\ -5 & 7\end{pmatrix}
  3. Scriem membrul drept: xA+yI2=x(−22−1−1)+y(1001)\displaystyle xA+yI_2=x\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
    xA+yI2=(−2x+y2x−x−x+y)\displaystyle xA+yI_2=\begin{pmatrix}-2x+y & 2x\\ -x & -x+y\end{pmatrix}
  4. Egalăm element cu element A3\displaystyle A^3 și xA+yI2\displaystyle xA+yI_2 și obținem un sistem de patru ecuații.
    {−2x+y=22x=10−x=−5−x+y=7\displaystyle \begin{cases}-2x+y=2\\ 2x=10\\ -x=-5\\ -x+y=7\end{cases}
  5. Din 2x=10\displaystyle 2x=10 rezultă x=5\displaystyle x=5. Înlocuim în −2x+y=2\displaystyle -2x+y=2: −10+y=2\displaystyle -10+y=2, deci y=12\displaystyle y=12. Verificare: −x+y=−5+12=7\displaystyle -x+y=-5+12=7, corect.
    x=5\displaystyle x=5, y=12\displaystyle \ y=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.

Arătați că 2020∗1=1\displaystyle 2020*1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3. Luăm x=2020\displaystyle x=2020 și y=1\displaystyle y=1 și înlocuim în formulă.
    2020∗1=2⋅2020⋅1−2⋅2020−2⋅1+3\displaystyle 2020*1=2\cdot 2020\cdot 1-2\cdot 2020-2\cdot 1+3
  2. Calculăm: 2⋅2020⋅1=4040\displaystyle 2\cdot 2020\cdot 1=4040, 2⋅2020=4040\displaystyle 2\cdot 2020=4040 și 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2. Expresia devine 4040−4040−2+3\displaystyle 4040-4040-2+3.
    4040−4040−2+3\displaystyle 4040-4040-2+3
  3. Termenii 4040\displaystyle 4040 și −4040\displaystyle -4040 se reduc, rămâne −2+3=1\displaystyle -2+3=1. Deci 2020∗1=1\displaystyle 2020*1=1.
    −2+3=1\displaystyle -2+3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.

Demonstrați că x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.
    x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3
  2. Scriem termenul liber 3\displaystyle 3 ca 2+1\displaystyle 2+1, pentru ca primii patru termeni să aibă factorul 2\displaystyle 2 în comun.
    x∗y=2xy−2x−2y+2+1\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+2+1
  3. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 din primii patru termeni: 2xy−2x−2y+2=2(xy−x−y+1)\displaystyle 2xy-2x-2y+2=2(xy-x-y+1). Rămâne +1\displaystyle +1 în afara parantezei.
    x∗y=2(xy−x−y+1)+1\displaystyle x*y=2(xy-x-y+1)+1
  4. Factorizăm prin grupare expresia din paranteză: grupăm xy−x=x(y−1)\displaystyle xy-x=x(y-1) și −y+1=−(y−1)\displaystyle -y+1=-(y-1).
    xy−x−y+1=x(y−1)−(y−1)\displaystyle xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)
  5. Dăm factor comun y−1\displaystyle y-1: x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)\displaystyle x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1).
    x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)\displaystyle x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)
  6. Înlocuim în expresia obținută la început și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=2(x−1)(y−1)+1, pentru orice numere \displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x∗x)∗x=x\displaystyle (x*x)*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă mai convenabilă. Verificăm: 2(x−1)(y−1)+1=2xy−2x−2y+2+1=2xy−2x−2y+3\displaystyle 2(x-1)(y-1)+1=2xy-2x-2y+2+1=2xy-2x-2y+3, deci x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1.
    x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, luând y=x\displaystyle y=x în forma factorizată: x∗x=2(x−1)(x−1)+1\displaystyle x*x=2(x-1)(x-1)+1.
    x∗x=2(x−1)2+1\displaystyle x*x=2(x-1)^{2}+1
  3. Calculăm (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x. Avem (x∗x)−1=2(x−1)2\displaystyle (x*x)-1=2(x-1)^{2}, deci (x∗x)∗x=2⋅2(x−1)2⋅(x−1)+1=4(x−1)3+1\displaystyle (x*x)*x=2\cdot 2(x-1)^{2}\cdot(x-1)+1=4(x-1)^{3}+1.
    (x∗x)∗x=4(x−1)3+1\displaystyle (x*x)*x=4(x-1)^{3}+1
  4. Scriem ecuația 4(x−1)3+1=x\displaystyle 4(x-1)^{3}+1=x. Mutăm termenii în același membru și folosim x−1\displaystyle x-1 ca factor comun: 4(x−1)3−(x−1)=0\displaystyle 4(x-1)^{3}-(x-1)=0.
    4(x−1)3−(x−1)=0\displaystyle 4(x-1)^{3}-(x-1)=0
  5. Dăm factor comun x−1\displaystyle x-1 și obținem o ecuație produs.
    (x−1)(4(x−1)2−1)=0\displaystyle (x-1)\left(4(x-1)^{2}-1\right)=0
  6. Un produs este zero când un factor este zero. Din x−1=0\displaystyle x-1=0 obținem x=1\displaystyle x=1. Din 4(x−1)2−1=0\displaystyle 4(x-1)^{2}-1=0 rezultă (x−1)2=14\displaystyle (x-1)^{2}=\dfrac{1}{4}, deci x−1=±12\displaystyle x-1=\pm\dfrac{1}{2}, adică x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2} sau x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x=12 sau x=1 sau x=32\displaystyle x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=1\text{ sau }x=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x3−9x+5\displaystyle f(x)=3x^3-9x+5.

Arătați că f′(x)=9(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=9(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=3x3−9x+5\displaystyle f(x)=3x^3-9x+5 termen cu termen, folosind (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=n x^{n-1}, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=3⋅3x2−9⋅1+0\displaystyle f'(x)=3\cdot 3x^{2}-9\cdot 1+0
  2. Efectuăm calculele: 3⋅3x2=9x2\displaystyle 3\cdot 3x^2=9x^2, deci obținem expresia derivatei.
    f′(x)=9x2−9\displaystyle f'(x)=9x^{2}-9
  3. Dăm factor comun pe 9\displaystyle 9 în expresia derivatei.
    f′(x)=9(x2−1)\displaystyle f'(x)=9\left(x^{2}-1\right)
  4. Aplicăm diferența de pătrate a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b), cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1. Astfel am arătat egalitatea cerută pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=9(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=9(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x3−9x+5\displaystyle f(x)=3x^3-9x+5.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Trebuie deci să calculăm f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=3⋅13−9⋅1+5=3−9+5\displaystyle f(1)=3\cdot 1^3-9\cdot 1+5=3-9+5.
    f(1)=3−9+5=−1\displaystyle f(1)=3-9+5=-1
  3. Derivăm funcția: f′(x)=3⋅3x2−9=9x2−9\displaystyle f'(x)=3\cdot 3x^2-9=9x^2-9. Apoi înlocuim x=1\displaystyle x=1: f′(1)=9⋅1−9\displaystyle f'(1)=9\cdot 1-9.
    f′(x)=9x2−9\displaystyle f'(x)=9x^{2}-9,f′(1)=0\displaystyle \quad f'(1)=0
  4. Înlocuim f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0 în formula tangentei: y−(−1)=0⋅(x−1)\displaystyle y-(-1)=0\cdot(x-1), deci y+1=0\displaystyle y+1=0. Tangenta este dreapta orizontală de ecuație y=−1\displaystyle y=-1.
    y−(−1)=0⋅(x−1)⇒y=−1\displaystyle y-(-1)=0\cdot(x-1)\Rightarrow y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x3−9x+5\displaystyle f(x)=3x^3-9x+5.

Demonstrați că f(2019)+f(2021)≤f(2020)+f(2022)\displaystyle f(2019)+f(2021)\le f(2020)+f(2022).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=3x3−9x+5\displaystyle f(x)=3x^3-9x+5 termen cu termen, folosind (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}.
    f′(x)=9x2−9\displaystyle f'(x)=9x^{2}-9
  2. Dăm factor comun pe 9\displaystyle 9 și folosim diferența de pătrate: 9x2−9=9(x2−1)\displaystyle 9x^2-9=9(x^2-1).
    f′(x)=9(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=9(x-1)(x+1)
  3. Dacă x≥1\displaystyle x\ge 1, atunci x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)≥0, pentru orice x∈[1,+∞), deci f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)\text{, deci }f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
  4. Numerele 2019,2020,2021,2022\displaystyle 2019,2020,2021,2022 aparțin intervalului [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), pe care f\displaystyle f este crescătoare. Din 2019<2020\displaystyle 2019<2020 și 2021<2022\displaystyle 2021<2022 obținem inegalitățile de mai jos.
    f(2019)≤f(2020) și f(2021)≤f(2022)\displaystyle f(2019)\le f(2020)\text{ și }f(2021)\le f(2022)
  5. Adunăm membru cu membru inegalitățile f(2019)≤f(2020)\displaystyle f(2019)\le f(2020) și f(2021)≤f(2022)\displaystyle f(2021)\le f(2022) și obținem inegalitatea cerută.
    f(2019)≤f(2020) și f(2021)≤f(2022), deci f(2019)+f(2021)≤f(2020)+f(2022)\displaystyle f(2019)\le f(2020)\text{ și }f(2021)\le f(2022)\text{, deci }f(2019)+f(2021)\le f(2020)+f(2022)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.

Arătați că ∫03(f(x)+4) dx=9\displaystyle \int_0^3 (f(x)+4)\,dx=9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4 în integrandul f(x)+4\displaystyle f(x)+4.
    f(x)+4=x2−4+4\displaystyle f(x)+4=x^{2}-4+4
  2. Reducem termenii −4\displaystyle -4 și +4\displaystyle +4, deci f(x)+4=x2\displaystyle f(x)+4=x^{2}, iar integrala devine o integrală simplă din x2\displaystyle x^{2}.
    ∫03(f(x)+4) dx=∫03x2 dx\displaystyle \int_0^3 (f(x)+4)\,dx=\int_0^3 x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 3\displaystyle 3 minus valoarea ei în 0\displaystyle 0.
    ∫03x2 dx=x33∣03=333−033\displaystyle \int_0^3 x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^3=\dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}
  4. Calculăm: 273=9\displaystyle \dfrac{27}{3}=9, iar al doilea termen este 0\displaystyle 0. Astfel egalitatea cerută este demonstrată.
    x33∣03=273=9\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}\Big|_0^3=\dfrac{27}{3}=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.

Calculați ∫011f(x)+5 dx\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)+5}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^{2}-4 în expresia de sub integrală: f(x)+5=x2−4+5=x2+1\displaystyle f(x)+5=x^{2}-4+5=x^{2}+1.
    f(x)+5=x2+1\displaystyle f(x)+5=x^{2}+1
  2. Rescriem integrala: ∫011f(x)+5 dx=∫011x2+1 dx\displaystyle \int_0^1\dfrac{1}{f(x)+5}\,dx=\int_0^1\dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx. Știm că (arctg x)′=1x2+1\displaystyle (\mathrm{arctg}\,x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}, deci arctg x\displaystyle \mathrm{arctg}\,x este o primitivă a funcției.
    ∫011f(x)+5 dx=∫011x2+1 dx=arctg x∣01\displaystyle \int_0^1\frac{1}{f(x)+5}\,dx=\int_0^1\frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\mathrm{arctg}\,x\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: arctg x∣01=arctg 1−arctg 0\displaystyle \mathrm{arctg}\,x\Big|_0^1=\mathrm{arctg}\,1-\mathrm{arctg}\,0.
    arctg 1−arctg 0\displaystyle \mathrm{arctg}\,1-\mathrm{arctg}\,0
  4. Folosim valorile cunoscute arctg 1=π4\displaystyle \mathrm{arctg}\,1=\dfrac{\pi}{4} și arctg 0=0\displaystyle \mathrm{arctg}\,0=0. Rezultă π4−0=π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4}-0=\dfrac{\pi}{4}.
    π4\displaystyle \frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, pentru care ∫1aaf(1x)dx=−8\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f\left(\frac{1}{x}\right)dx=-8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în f(x)=x2−4\displaystyle f(x)=x^2-4.
    f(1x)=1x2−4\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^{2}}-4
  2. Scriem integrala cu această expresie. O primitivă a lui 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} este −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}, iar o primitivă a lui −4\displaystyle -4 este −4x\displaystyle -4x.
    ∫1aa(1x2−4)dx=(−1x−4x)∣1aa\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(\frac{1}{x^{2}}-4\right)dx=\left(-\frac{1}{x}-4x\right)\Big|_{\frac{1}{a}}^{a}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În a\displaystyle a primitiva are valoarea −1a−4a\displaystyle -\dfrac{1}{a}-4a, iar în 1a\displaystyle \dfrac{1}{a} are valoarea −a−4a\displaystyle -a-\dfrac{4}{a}. Scădem cele două valori.
    (−1a−4a)−(−a−4a)=3a−3a\displaystyle \left(-\frac{1}{a}-4a\right)-\left(-a-\frac{4}{a}\right)=\frac{3}{a}-3a
  4. Egalăm rezultatul cu −8\displaystyle -8 și înmulțim cu a\displaystyle a, care este nenul deoarece a>0\displaystyle a>0. Obținem o ecuație de gradul al doilea.
    3a−3a=−8⇔3−3a2=−8a⇔3a2−8a−3=0\displaystyle \frac{3}{a}-3a=-8\Leftrightarrow 3-3a^{2}=-8a\Leftrightarrow 3a^{2}-8a-3=0
  5. Discriminantul este Δ=64+36=100\displaystyle \Delta=64+36=100, deci a=8±106\displaystyle a=\dfrac{8\pm 10}{6}, adică a=3\displaystyle a=3 sau a=−13\displaystyle a=-\dfrac{1}{3}. Cum a>0\displaystyle a>0, reținem doar soluția pozitivă.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.