Bac matematică M3 tehnologic 2025, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (3+32)⋅2−32+4=10\displaystyle \left(3+3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4=10.
Vezi rezolvarea
  1. Se distribuie factorul 2\displaystyle \sqrt{2} în paranteză, înmulțind fiecare termen din paranteză cu 2\displaystyle \sqrt{2}.
    (3+32)⋅2−32+4=32+32⋅2−32+4\displaystyle \left(3+3\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4
  2. Se folosește proprietatea 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2 pentru a simplifica produsul 32⋅2\displaystyle 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}.
    32⋅2=3⋅2=6\displaystyle 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot 2=6
  3. Se reduc termenii asemenea 32\displaystyle 3\sqrt{2} și −32\displaystyle -3\sqrt{2}, care se anulează reciproc.
    32−32=0\displaystyle 3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=0
  4. Se înlocuiesc rezultatele obținute și se adună termenii rămași pentru a obține rezultatul final.
    =6+4=10\displaystyle =6+4=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+6\displaystyle f(x)=3x+6. Arătați că f(0)+f(2)=f(4)\displaystyle f(0)+f(2)=f(4).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează valoarea funcției în x=0\displaystyle x=0, înlocuind în formula f(x)=3x+6\displaystyle f(x)=3x+6.
    f(0)=3⋅0+6=6\displaystyle f(0)=3\cdot 0+6=6
  2. Se calculează valoarea funcției în x=2\displaystyle x=2, înlocuind în formula f(x)=3x+6\displaystyle f(x)=3x+6.
    f(2)=3⋅2+6=12\displaystyle f(2)=3\cdot 2+6=12
  3. Se calculează valoarea funcției în x=4\displaystyle x=4, înlocuind în formula f(x)=3x+6\displaystyle f(x)=3x+6.
    f(4)=3⋅4+6=18\displaystyle f(4)=3\cdot 4+6=18
  4. Se adună valorile obținute pentru f(0)\displaystyle f(0) și f(2)\displaystyle f(2) și se compară suma cu valoarea lui f(4)\displaystyle f(4), obținându-se astfel egalitatea cerută.
    f(0)+f(2)=6+12=18=f(4), deci f(0)+f(2)=f(4)\displaystyle f(0)+f(2)=6+12=18=f(4)\text{, deci }f(0)+f(2)=f(4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1−3=0\displaystyle \sqrt{2x-1}-3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.
    2x−1≥0, adica˘ x≥12\displaystyle 2x-1\geq 0\text{, adică }x\geq \dfrac{1}{2}
  2. Se izolează radicalul, trecând −3\displaystyle -3 în membrul drept, apoi se ridică ambii membri la pătrat pentru a elimina radicalul.
    2x−1=3, deci 2x−1=9\displaystyle \sqrt{2x-1}=3\text{, deci }2x-1=9
  3. Se rezolvă ecuația de gradul I obținută, izolând necunoscuta x\displaystyle x.
    2x=9+1=10⇒x=102\displaystyle 2x=9+1=10\Rightarrow x=\dfrac{10}{2}
  4. Se verifică soluția obținută în ecuația inițială și se confirmă că respectă și condiția de existență.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este de 400\displaystyle 400 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 25%\displaystyle 25\%.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică prețul inițial al obiectului, care este de 400\displaystyle 400 de lei, și procentul de ieftinire, 25%\displaystyle 25\%.
    P=400 de lei\displaystyle P=400\text{ de lei}, r=25%\displaystyle \ r=25\%
  2. Se calculează suma corespunzătoare reducerii de 25%\displaystyle 25\% aplicată la prețul inițial de 400\displaystyle 400 de lei.
    25100⋅400=100 de lei\displaystyle \frac{25}{100}\cdot 400=100\text{ de lei}
  3. Se scade suma reprezentând reducerea din prețul inițial pentru a obține noul preț al obiectului.
    400−100=300 de lei\displaystyle 400-100=300\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(5,6)\displaystyle B(5,6) și C(6,2)\displaystyle C(6,2). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan, care va fi folosită pentru calculul lungimilor laturilor triunghiului: dacă M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2), atunci MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Se aplică formula distanței pentru laturile AC\displaystyle AC folosind coordonatele A(2,3)\displaystyle A(2,3) și C(6,2)\displaystyle C(6,2), calculând diferențele de coordonate.
    AC=(6−2)2+(2−3)2\displaystyle AC=\sqrt{(6-2)^2+(2-3)^2}
  3. Se calculează valorile din interiorul radicalului și se simplifică, obținând lungimea laturii AC\displaystyle AC.
    AC=42+12=17\displaystyle AC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}
  4. Se aplică formula distanței pentru latura BC\displaystyle BC folosind coordonatele B(5,6)\displaystyle B(5,6) și C(6,2)\displaystyle C(6,2), calculând diferențele de coordonate.
    BC=(6−5)2+(2−6)2\displaystyle BC=\sqrt{(6-5)^2+(2-6)^2}
  5. Se calculează valorile din interiorul radicalului, se simplifică și se compară rezultatul cu AC\displaystyle AC, obținând egalitatea celor două laturi, ceea ce arată că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
    BC=12+42=17, deci AC=BC\displaystyle BC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\text{, deci }AC=BC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=4\displaystyle AC=4 și măsura unghiului C\displaystyle C egală cu 60∘\displaystyle 60^\circ. Arătați că BC=8\displaystyle BC=8.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AC\displaystyle AC este cateta alăturată unghiului C\displaystyle C.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ, BC=ipotenuza\displaystyle \ BC=\text{ipotenuza}, AC=cateta ala˘turata˘ \displaystyle \ AC=\text{cateta alăturată }unghiului C\displaystyle \text{unghiului }C
  2. Se scrie definiția cosinusului unghiului C\displaystyle C în triunghiul dreptunghic, ca raport între cateta alăturată și ipotenuză, și se folosește valoarea cunoscută a lui cos⁡60∘\displaystyle \cos 60^\circ.
    cos⁡C=12⇒ACBC=12\displaystyle \cos C=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}
  3. Se înlocuiește valoarea AC=4\displaystyle AC=4 în relația obținută, rezultând o ecuație simplă în BC\displaystyle BC.
    4BC=12\displaystyle \frac{4}{BC}=\frac{1}{2}
  4. Se rezolvă ecuația obținută, prin înmulțire încrucișată, pentru a afla lungimea ipotenuzei BC\displaystyle BC.
    4BC=12, de unde obținem BC=8\displaystyle \frac{4}{BC}=\frac{1}{2}\text{, de unde obținem }BC=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(112x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(3))=1\displaystyle \det\left(A(3)\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește x=3\displaystyle x=3 în matricea A(x)\displaystyle A(x) pentru a obține matricea A(3)\displaystyle A(3)
    A(3)=(1123)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(3)\displaystyle A(3) folosind formula determinantului de ordinul doi
    det⁡(A(3))=∣1123∣=1⋅3−1⋅2\displaystyle \det\left(A(3)\right)=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 2 & 3\end{vmatrix}=1\cdot 3-1\cdot 2
  3. Se efectuează înmulțirile din formula determinantului
    1⋅3−1⋅2=3−2\displaystyle 1\cdot 3-1\cdot 2=3-2
  4. Se calculează diferența pentru a obține valoarea finală a determinantului
    3−2=1\displaystyle 3-2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(112x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A(2)+A(6)=2A(4)\displaystyle A(2)+A(6)=2A(4).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea A(2)\displaystyle A(2) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în A(x)\displaystyle A(x).
    A(2)=(1122)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  2. Se determină matricea A(6)\displaystyle A(6) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu 6\displaystyle 6 în A(x)\displaystyle A(x).
    A(6)=(1126)\displaystyle A(6)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 6\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice element cu element pentru a obține A(2)+A(6)\displaystyle A(2)+A(6).
    A(2)+A(6)=(1122)+(1126)=(2248)\displaystyle A(2)+A(6)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 4 & 8\end{pmatrix}
  4. Se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din matricea obținută și se recunoaște că matricea rămasă este A(4)\displaystyle A(4), obținându-se rezultatul final.
    =2(1124)=2A(4)\displaystyle =2\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 4\end{pmatrix}=2A(4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A(x)=(112x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(x)=3I2\displaystyle A(x)\cdot A(x)=3I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea A(x)\displaystyle A(x) și se pregătește înmulțirea A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x), aplicând regula de înmulțire a matricelor pătratice de ordin 2\displaystyle 2 (element din linia i\displaystyle i, coloana j\displaystyle j al produsului = suma produselor elementelor corespunzătoare din linia i\displaystyle i a primei matrice cu coloana j\displaystyle j a celei de-a doua).
    A(x)⋅A(x)=(112x)⋅(112x)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & x\end{pmatrix}
  2. Se calculează fiecare element al produsului: elementul din linia 1\displaystyle 1, coloana 1\displaystyle 1 este 1⋅1+1⋅2=3\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2=3; elementul din linia 1\displaystyle 1, coloana 2\displaystyle 2 este 1⋅1+1⋅x=1+x\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot x=1+x; elementul din linia 2\displaystyle 2, coloana 1\displaystyle 1 este 2⋅1+x⋅2=2+2x\displaystyle 2\cdot 1+x\cdot 2=2+2x; elementul din linia 2\displaystyle 2, coloana 2\displaystyle 2 este 2⋅1+x⋅x=2+x2\displaystyle 2\cdot 1+x\cdot x=2+x^{2}.
    (1⋅1+1⋅21⋅1+1⋅x2⋅1+x⋅22⋅1+x⋅x)=(31+x2+2x2+x2)\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot 1+1\cdot 2 & 1\cdot 1+1\cdot x\\ 2\cdot 1+x\cdot 2 & 2\cdot 1+x\cdot x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 1+x\\ 2+2x & 2+x^2\end{pmatrix}
  3. Se scrie forma finală a produsului A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x), valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    A(x)⋅A(x)=(31+x2+2x2+x2), pentru orice numa˘r real x\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}3 & 1+x\\ 2+2x & 2+x^2\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se scrie matricea 3I2\displaystyle 3I_{2} și se pune condiția ca A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x) să fie egală cu aceasta, obținându-se un sistem de ecuații prin identificarea elementelor corespunzătoare.
    3I2=(3003)⇒{1+x=02+2x=02+x2=3\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}1+x=0\\ 2+2x=0\\ 2+x^2=3\end{cases}
  5. Se rezolvă fiecare ecuație: din prima și a doua ecuație rezultă x=−1\displaystyle x=-1, iar din a treia ecuație rezultă x2=1\displaystyle x^{2}=1, adică x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1. Valoarea comună tuturor ecuațiilor este x=−1\displaystyle x=-1, deci aceasta este soluția sistemului.
    x=−1 (din primele doua˘ \displaystyle x=-1\text{ (din primele două }ecuații) și x=±1 (din a treia), deci x=−1 verifica˘ toate cele trei \displaystyle \text{ecuații)}\text{ și }x=\pm 1\text{ (din a treia), deci }x=-1\text{ verifică toate cele trei }ecuații\displaystyle \text{ecuații}
  6. Se concluzionează egalitatea matricelor și valoarea lui x\displaystyle x care satisface simultan toate condițiile.
    (31+x2+2x2+x2)=(3003), de unde obținem x=−1\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1+x\\ 2+2x & 2+x^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+6\displaystyle x\circ y=x+y+6.

Arătați că 1∘(−3)=4\displaystyle 1\circ(-3)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=1\displaystyle x=1 și y=−3\displaystyle y=-3 care trebuie înlocuite
    x∘y=x+y+6\displaystyle x\circ y=x+y+6, x=1\displaystyle \text{ } x=1, y=−3\displaystyle \text{ } y=-3
  2. Se înlocuiesc valorile x=1\displaystyle x=1 și y=−3\displaystyle y=-3 în definiția legii de compoziție
    1∘(−3)=1−3+6\displaystyle 1\circ(-3)=1-3+6
  3. Se efectuează adunarea și scăderea numerelor întregi obținute, calculând mai întâi 1−3\displaystyle 1-3
    1−3+6=−2+6\displaystyle 1-3+6=-2+6
  4. Se finalizează calculul adunând rezultatul obținut cu 6\displaystyle 6, obținând rezultatul final
    =4\displaystyle =4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+6\displaystyle x\circ y=x+y+6.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘2=3x\displaystyle x\circ 2=3x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru perechea (x,2)\displaystyle (x,2), înlocuind y=2\displaystyle y=2 în definiția x∘y=x+y+6\displaystyle x\circ y=x+y+6.
    x∘2=x+2+6\displaystyle x\circ 2=x+2+6
  2. Se efectuează adunarea numerelor 2\displaystyle 2 și 6\displaystyle 6, obținând forma finală a expresiei x∘2\displaystyle x\circ 2, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x∘2=x+8, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ 2=x+8\text{, pentru orice număr real }x
  3. Se pune condiția din enunț ca x∘2\displaystyle x\circ 2 să fie egal cu 3x\displaystyle 3x, obținându-se ecuația de rezolvat.
    x+8=3x\displaystyle x+8=3x
  4. Se trec termenii cu x\displaystyle x într-o parte și termenii liberi în cealaltă parte a ecuației.
    8=3x−x\displaystyle 8=3x-x
  5. Se reduc termenii asemenea din partea dreaptă a ecuației.
    8=2x\displaystyle 8=2x
  6. Se împarte ecuația prin 2\displaystyle 2 pentru a obține valoarea lui x\displaystyle x, soluția finală a problemei.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+6\displaystyle x\circ y=x+y+6.

Arătați că (x2+2)∘(1−6x)≥0\displaystyle \left(x^2+2\right)\circ(1-6x)\ge 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție x∘y=x+y+6\displaystyle x\circ y = x + y + 6 pentru x=x2+2\displaystyle x = x^{2}+2 și y=1−6x\displaystyle y = 1-6x.
    (x2+2)∘(1−6x)=(x2+2)+(1−6x)+6\displaystyle \left(x^2+2\right)\circ(1-6x)=\left(x^2+2\right)+(1-6x)+6
  2. Se desfac parantezele și se reduc termenii asemenea pentru a obține forma redusă a expresiei.
    (x2+2)+(1−6x)+6=x2−6x+9\displaystyle \left(x^2+2\right)+(1-6x)+6=x^2-6x+9
  3. Se scrie rezultatul obținut, valabil pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (x2+2)∘(1−6x)=x2−6x+9, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \left(x^2+2\right)\circ(1-6x)=x^2-6x+9\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se recunoaște trinomul x2−6x+9\displaystyle x^{2}-6x+9 ca fiind un pătrat perfect, folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}, cu a=x\displaystyle a = x și b=3\displaystyle b = 3.
    x2−6x+9=x2−2⋅x⋅3+32=(x−3)2\displaystyle x^2-6x+9=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2=(x-3)^2
  5. Se observă că un pătrat perfect este întotdeauna nenegativ, deci expresia este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0 pentru orice număr real x\displaystyle x, ceea ce demonstrează inegalitatea cerută.
    x2−6x+9=(x−3)2≥0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)^2\ge 0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x−2x−1\displaystyle f(x)=\dfrac{5x-2}{x-1}.

Arătați că f′(x)=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{3}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile din numărător și numitor: u(x)=5x−2\displaystyle u(x)=5x-2 și v(x)=x−1\displaystyle v(x)=x-1, împreună cu derivatele lor u′(x)=5\displaystyle u'(x)=5 și v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1.
    u(x)=5x−2\displaystyle u(x)=5x-2, v(x)=x−1\displaystyle \ v(x)=x-1, u′(x)=5\displaystyle \ u'(x)=5, v′(x)=1\displaystyle \ v'(x)=1
  2. Se aplică formula de derivare a câtului, f′=(uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, pentru funcția dată.
    f′(x)=(5x−2)′(x−1)−(5x−2)(x−1)′(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{(5x-2)'(x-1)-(5x-2)(x-1)'}{(x-1)^2}
  3. Se înlocuiesc derivatele u′(x)=5\displaystyle u'(x)=5 și v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1 în formula obținută.
    f′(x)=5(x−1)−(5x−2)⋅1(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{5(x-1)-(5x-2)\cdot 1}{(x-1)^2}
  4. Se desface paranteza de la numărător: 5(x−1)=5x−5\displaystyle 5(x-1)=5x-5.
    f′(x)=5x−5−(5x−2)(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{5x-5-(5x-2)}{(x-1)^2}
  5. Se desface paranteza cu semnul minus și se reduc termenii asemenea din numărător: 5x−5−5x+2=−3\displaystyle 5x-5-5x+2=-3.
    f′(x)=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{-3}{(x-1)^2}
  6. Se scrie forma finală, simplificată, a derivatei, valabilă pe tot domeniul de definiție x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=5(x−1)−(5x−2)(x−1)2=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{5(x-1)-(5x-2)}{(x-1)^2}=-\frac{3}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)\displaystyle \ x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x−2x−1\displaystyle f(x)=\dfrac{5x-2}{x-1}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția și se calculează valoarea ei în punctul x=2\displaystyle x=2, prin înlocuire directă în expresia lui f\displaystyle f.
    f(2)=5⋅2−22−1=81=8\displaystyle f(2)=\dfrac{5\cdot 2-2}{2-1}=\dfrac{8}{1}=8
  2. Se determină derivata funcției f\displaystyle f, aplicând regula de derivare a câtului pentru f(x)=5x−2x−1\displaystyle f(x)=\dfrac{5x-2}{x-1}.
    f′(x)=5(x−1)−(5x−2)⋅1(x−1)2=5x−5−5x+2(x−1)2=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{5(x-1)-(5x-2)\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{5x-5-5x+2}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}
  3. Se calculează derivata în punctul x=2\displaystyle x=2, înlocuind valoarea în expresia obținută mai sus.
    f(2)=8\displaystyle f(2)=8, f′(2)=−3\displaystyle \ f'(2)=-3
  4. Se scrie formula generală a ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2.
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  5. Se înlocuiesc valorile f(2)=8\displaystyle f(2)=8 și f′(2)=−3\displaystyle f'(2)=-3 în ecuația tangentei și se prelucrează algebric pentru a obține forma explicită a dreptei.
    y−8=−3(x−2)⇒y=−3x+6+8⇒y=−3x+14\displaystyle y-8=-3(x-2)\Rightarrow y=-3x+6+8\Rightarrow y=-3x+14
  6. Se scrie ecuația finală a tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2.
    y−f(2)=f′(2)(x−2), adica˘ y=−3x+14\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)\text{, adică }y=-3x+14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x−2x−1\displaystyle f(x)=\dfrac{5x-2}{x-1}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează derivata întâi a funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
    f′(x)=5(x−1)−(5x−2)⋅1(x−1)2=5x−5−5x+2(x−1)2=−3(x−1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{5(x-1)-(5x-2)\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{5x-5-5x+2}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}
  2. Se scrie f′(x)\displaystyle f'(x) sub formă de putere pentru a deriva mai ușor a doua oară.
    f′(x)=−3(x−1)−2\displaystyle f'(x)=-3(x-1)^{-2}
  3. Se derivează f′(x)\displaystyle f'(x) pentru a obține derivata a doua, folosind regula de derivare a puterii: (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=n x^{n-1}.
    f′′(x)=−3⋅(−2)(x−1)−3=6(x−1)−3\displaystyle f''(x)=-3\cdot(-2)(x-1)^{-3}=6(x-1)^{-3}
  4. Se rescrie derivata a doua sub formă de fracție, valabilă pentru orice x din domeniul de definiție.
    f′′(x)=6(x−1)3, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle f''(x)=\dfrac{6}{(x-1)^3}\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
  5. Se observă că pentru orice x din domeniul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) avem x−1>0\displaystyle x-1>0, deci și (x−1)3>0\displaystyle (x-1)^{3}>0, iar numărătorul 6 este pozitiv, ceea ce înseamnă că întreaga fracție este pozitivă.
    x∈(1,+∞)⇒x−1>0⇒(x−1)3>0⇒6(x−1)3>0\displaystyle x\in(1,+\infty)\Rightarrow x-1>0\Rightarrow (x-1)^3>0\Rightarrow \dfrac{6}{(x-1)^3}>0
  6. Se concluzionează că derivata a doua este pozitivă pe tot domeniul de definiție, deci, conform criteriului de convexitate, funcția f este convexă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′′(x)≥0, pentru orice x∈(1,+∞), deci funcția f este convexa˘\displaystyle f''(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\text{, deci funcția }f\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2x+3.

Arătați că ∫01(f(x)−3)dx=1\displaystyle \displaystyle\int_0^1\left(f(x)-3\right)dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f și se calculează f(x)−3\displaystyle f(x)-3, pentru a simplifica integrandul.
    f(x)−3=(2x+3)−3=2x\displaystyle f(x)-3=(2x+3)-3=2x
  2. Se înlocuiește expresia simplificată în integrală și se determină primitiva funcției 2x\displaystyle 2x.
    ∫01(f(x)−3)dx=∫012x dx=x2∣01\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-3\right)dx=\int_0^1 2x\,dx=x^2\Big|_0^1
  3. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva la capetele intervalului [0,1]\displaystyle [0,1].
    x2∣01=12−02\displaystyle x^2\Big|_0^1=1^2-0^2
  4. Se efectuează calculul final și se obține valoarea integralei.
    =1−0=1\displaystyle =1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2x+3.

Arătați că ∫01exf(x) dx=3e−1\displaystyle \displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\,dx=3e-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie integrala de calculat, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa: 2x+3\displaystyle 2x+3.
    ∫01exf(x) dx=∫01ex(2x+3) dx\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)\,dx=\int_0^1 e^x(2x+3)\,dx
  2. Se alege metoda integrării prin părți, notând factorul polinomial spre derivare și exponențiala spre integrare: u=2x+3\displaystyle u=2x+3 (se derivează), dv=exdx\displaystyle dv=e^x dx (se integrează). Se obțin du=2dx\displaystyle du=2dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=2x+3\displaystyle u=2x+3, dv=ex dx ⇒ du=2 dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\ \Rightarrow\ du=2\,dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Se aplică formula de integrare prin părți: ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du, obținându-se expresia cu partea evaluată și noua integrală rămasă.
    ∫01ex(2x+3) dx=ex(2x+3)∣01−∫012ex dx=5e−3−2ex∣01\displaystyle \int_0^1 e^x(2x+3)\,dx=e^x(2x+3)\Big|_0^1-\int_0^1 2e^x\,dx=5e-3-2e^x\Big|_0^1
  4. Se detaliază evaluarea termenului ex(2x+3)\displaystyle e^x(2x+3) la capetele intervalului: pentru x=1\displaystyle x=1 se obține e(2+3)=5e\displaystyle e(2+3)=5e, iar pentru x=0\displaystyle x=0 se obține 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, deci diferența este 5e−3\displaystyle 5e-3.
    ex(2x+3)∣01=e1(2⋅1+3)−e0(2⋅0+3)=5e−3\displaystyle e^x(2x+3)\Big|_0^1=e^1(2\cdot1+3)-e^0(2\cdot0+3)=5e-3
  5. Se calculează integrala rămasă și se evaluează la capete: ∫012ex dx=2ex∣01=2e−2\displaystyle \int_0^1 2e^x\,dx=2e^x\Big|_0^1=2e-2.
    ∫012ex dx=2ex∣01=2e1−2e0=2e−2\displaystyle \int_0^1 2e^x\,dx=2e^x\Big|_0^1=2e^1-2e^0=2e-2
  6. Se combină rezultatele obținute: (5e−3)−(2e−2)=5e−3−2e+2\displaystyle (5e-3)-(2e-2)=5e-3-2e+2, care se simplifică la 3e−1\displaystyle 3e-1, reprezentând rezultatul final al integralei.
    =5e−3−2e+2=3e−1\displaystyle =5e-3-2e+2=3e-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2x+3.

Determinați a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty) pentru care ∫12f(x)x(x+3) dx=ln⁡a2\displaystyle \displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}{x(x+3)}\,dx=\ln\dfrac{a}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2x+3 și desfacem numitorul: x(x+3)=x2+3x\displaystyle x(x+3)=x^{2}+3x.
    ∫12f(x)x(x+3) dx=∫122x+3x2+3x dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x(x+3)}\,dx=\int_1^2\frac{2x+3}{x^{2}+3x}\,dx
  2. Derivata numitorului este (x2+3x)′=2x+3\displaystyle (x^{2}+3x)'=2x+3, adică exact numărătorul. Integrala are deci forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u}.
    ∫12(x2+3x)′x2+3x dx\displaystyle \int_1^2\frac{(x^{2}+3x)'}{x^{2}+3x}\,dx
  3. O primitivă a lui u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡∣u∣\displaystyle \ln|u|. Pe [1,2]\displaystyle [1,2] avem x2+3x>0\displaystyle x^{2}+3x>0, deci scriem direct logaritmul. Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 4+6=10\displaystyle 4+6=10, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 1+3=4\displaystyle 1+3=4. Atunci integrala este ln⁡10−ln⁡4=ln⁡104\displaystyle \ln 10-\ln 4=\ln\dfrac{10}{4}.
    ln⁡(x2+3x)∣12=ln⁡10−ln⁡4=ln⁡52\displaystyle \ln\left(x^{2}+3x\right)\Big|_1^2=\ln 10-\ln 4=\ln\frac{5}{2}
  4. Egalăm rezultatul cu ln⁡a2\displaystyle \ln\dfrac{a}{2}: ln⁡52=ln⁡a2\displaystyle \ln\dfrac{5}{2}=\ln\dfrac{a}{2}. Logaritmul este injectiv, deci a2=52\displaystyle \dfrac{a}{2}=\dfrac{5}{2}, de unde a=5\displaystyle a=5. Valoarea aparține intervalului (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci convine.
    a=5, care convine\displaystyle a=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.