Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)^2-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)=2

.

Vezi rezolvarea

Notăm suma din paranteză cu $\displaystyle S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$ . Pentru a o calcula, aducem toți termenii la numitorul comun $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle S=\dfrac{6}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}$
Adunăm numărătorii și simplificăm fracția: $\displaystyle S=\dfrac{6+3+2+1}{6}=\dfrac{12}{6}$ . Obținem că suma din paranteză este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle S=\dfrac{12}{6}=2$
Expresia are forma $\displaystyle S^2-S$ . Înlocuim $\displaystyle S=2$ : $\displaystyle 2^2-2=4-2=2$ . Rezultatul este $\displaystyle 2$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle 2^2-2=4-2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră

\displaystyle x_1

și

\displaystyle x_2

soluțiile ecuației

\displaystyle x^2-4x+m=0

, unde

\displaystyle m

este număr real. Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care

\displaystyle x_1^2+x_2^2=2

.

Vezi rezolvarea

Pentru ecuația $\displaystyle x^2-4x+m=0$ avem $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-4$ , $\displaystyle c=m$ . Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este $\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4$ , iar produsul este $\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m$ .
$\displaystyle x_1+x_2=4$ , $\displaystyle \quad x_1x_2=m$
Folosim identitatea $\displaystyle (x_1+x_2)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2$ , de unde $\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
Înlocuim $\displaystyle x_1+x_2=4$ și $\displaystyle x_1x_2=m$ : $\displaystyle x_1^2+x_2^2=4^2-2m=16-2m$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2=16-2m$
Condiția din enunț este $\displaystyle x_1^2+x_2^2=2$ , deci obținem ecuația $\displaystyle 16-2m=2$ .
$\displaystyle 16-2m=2$
Din $\displaystyle 16-2m=2$ obținem $\displaystyle -2m=2-16=-14$ , deci $\displaystyle m=\dfrac{-14}{-2}=7$ .
$\displaystyle m=7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{3x+1}=3x+1

.

Vezi rezolvarea

Condiția de existență a radicalului: $\displaystyle 3x+1\ge 0$ , adică $\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{3}$ . Cum radicalul este pozitiv sau zero, trebuie ca și membrul drept $\displaystyle 3x+1\ge 0$ , aceeași condiție.
$\displaystyle x\in\left[-\dfrac{1}{3},+\infty\right)$
Ridicăm ecuația la pătrat și obținem $\displaystyle 3x+1=(3x+1)^{2}$ .
$\displaystyle 3x+1=(3x+1)^{2}$
Mutăm totul într-o parte și dăm factor comun pe $\displaystyle 3x+1$ : $\displaystyle (3x+1)^{2}-(3x+1)=(3x+1)(3x+1-1)=3x(3x+1)$ . Deci ecuația devine $\displaystyle 3x(3x+1)=0$ .
$\displaystyle 3x(3x+1)=0$
Un produs este zero când unul dintre factori este zero: $\displaystyle 3x=0$ sau $\displaystyle 3x+1=0$ , deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x=-\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=-\dfrac{1}{3}$
Verificăm soluțiile. Pentru $\displaystyle x=0$ : $\displaystyle \sqrt{1}=1$ și $\displaystyle 3\cdot 0+1=1$ , deci egalitatea este adevărată. Pentru $\displaystyle x=-\dfrac{1}{3}$ : $\displaystyle 3x+1=0$ și $\displaystyle \sqrt{0}=0$ , deci egalitatea este adevărată. Ambele valori respectă condiția $\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{3}$ , deci convin.
$\displaystyle x=-\dfrac{1}{3}\text{ sau }x=0\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o ieftinire cu

\displaystyle 25\%

, prețul unui obiect este

\displaystyle 750

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul inițial al obiectului, în lei. Ieftinirea cu $\displaystyle 25\%$ înseamnă că se scade din preț $\displaystyle 25\%$ din $\displaystyle x$ , iar prețul rămas este $\displaystyle 750$ de lei. Scriem ecuația.
$\displaystyle x-\frac{25}{100}\cdot x=750$
Reducem termenii cu $\displaystyle x$ : $\displaystyle x$ minus un sfert din $\displaystyle x$ înseamnă trei sferturi din $\displaystyle x$ , deci $\displaystyle \dfrac{75}{100}\cdot x=750$ .
$\displaystyle \frac{3}{4}x=750$
Împărțim $\displaystyle 750$ la $\displaystyle \dfrac{3}{4}$ , adică îl înmulțim cu $\displaystyle \dfrac{4}{3}$ . Obținem prețul inițial: $\displaystyle x=750\cdot\dfrac{4}{3}=250\cdot 4$ .
$\displaystyle x=1000\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,2)

și

\displaystyle B(8,6)

. Determinați coordonatele punctului

\displaystyle C

, știind că

\displaystyle OABC

este paralelogram.

Vezi rezolvarea

Într-un paralelogram $\displaystyle OABC$ vârfurile se succed în ordinea $\displaystyle O, A, B, C$ , deci diagonalele sunt $\displaystyle OB$ și $\displaystyle AC$ . Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, deci segmentele $\displaystyle OB$ și $\displaystyle AC$ au același mijloc.
$\displaystyle \text{mijlocul lui }OB=\text{mijlocul lui }AC$
Calculăm mijlocul $\displaystyle M$ al segmentului $\displaystyle OB$ , cu $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle B(8,6)$ , folosind media aritmetică a coordonatelor: $\displaystyle x_M=\dfrac{0+8}{2}$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{0+6}{2}$ .
$\displaystyle M(4,3)$
Scriem că $\displaystyle M$ este și mijlocul lui $\displaystyle AC$ , cu $\displaystyle A(0,2)$ și $\displaystyle C(x_C,y_C)$ : $\displaystyle \dfrac{0+x_C}{2}=4$ și $\displaystyle \dfrac{2+y_C}{2}=3$ .
$\displaystyle \dfrac{x_C}{2}=4$ , $\displaystyle \ \dfrac{2+y_C}{2}=3$
Rezolvăm ecuațiile: $\displaystyle x_C=8$ , iar $\displaystyle 2+y_C=6$ , deci $\displaystyle y_C=4$ . Coordonatele punctului $\displaystyle C$ sunt $\displaystyle (8,4)$ .
$\displaystyle x_C=8$ , $\displaystyle \ y_C=4$ , $\displaystyle \ C(8,4)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sqrt{3}\cos 30^\circ+\sin 30^\circ+\frac{1}{2}\cos 90^\circ=2

.

Vezi rezolvarea

Reținem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile din expresie: $\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ , iar $\displaystyle \cos 90^\circ=0$ .
$\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \ \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \ \cos 90^\circ=0$
Înlocuim aceste valori în expresia $\displaystyle \sqrt{3}\cos 30^\circ+\sin 30^\circ+\dfrac{1}{2}\cos 90^\circ$ .
$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 0$
Calculăm produsul: $\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$ , deci primul termen este $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ . Ultimul termen este $\displaystyle 0$ , fiindcă se înmulțește cu $\displaystyle 0$ . Apoi adunăm fracțiile cu același numitor: $\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=I_2+aA

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(M(1))=-1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ în $\displaystyle M(a)=I_2+aA$ și obținem $\displaystyle M(1)=I_2+A$ .
$\displaystyle M(1)=I_2+A$
Adunăm matricele $\displaystyle I_2$ și $\displaystyle A$ element cu element: $\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul de ordin 2 al matricei $\displaystyle M(1)$ .
$\displaystyle \det(M(1))=\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle 1\cdot 1-1\cdot 2=1-2=-1$ .
$\displaystyle \det(M(1))=1\cdot 1-1\cdot 2=1-2=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=I_2+aA

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle M(a)\cdot M(b)-M(a+b)=2abM(0)

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele după definiție: $\displaystyle M(a)=I_2+aA$ și $\displaystyle M(b)=I_2+bA$ .
$\displaystyle M(a)=I_2+aA$ , $\displaystyle \ M(b)=I_2+bA$
Înlocuind $\displaystyle a$ cu $\displaystyle a+b$ în definiție, obținem $\displaystyle M(a+b)=I_2+(a+b)A$ .
$\displaystyle M(a+b)=I_2+(a+b)A$
Dezvoltăm produsul: $\displaystyle (I_2+aA)(I_2+bA)=I_2\cdot I_2+bA+aA+abA\cdot A$ , deoarece $\displaystyle I_2$ este element neutru la înmulțire, iar scalarii ies în fața produsului.
$\displaystyle M(a)\cdot M(b)=I_2+(a+b)A+abA\cdot A$
Scădem $\displaystyle M(a+b)$ : termenii $\displaystyle I_2$ și $\displaystyle (a+b)A$ se reduc și rămâne doar termenul cu $\displaystyle A\cdot A$ .
$\displaystyle M(a)\cdot M(b)-M(a+b)=I_2+(a+b)A+abA\cdot A-I_2-(a+b)A=abA\cdot A$
Calculăm $\displaystyle A\cdot A$ înmulțind linie cu coloană: $\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0\cdot 0+1\cdot 2&0\cdot 1+1\cdot 0\\2\cdot 0+0\cdot 2&2\cdot 1+0\cdot 0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2$
Observăm că $\displaystyle M(0)=I_2+0\cdot A=I_2$ .
$\displaystyle M(0)=I_2$
Înlocuim $\displaystyle A\cdot A=2I_2$ în $\displaystyle abA\cdot A$ și folosim $\displaystyle M(0)=I_2$ . Obținem egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle M(a)\cdot M(b)-M(a+b)=ab\cdot 2I_2=2abM(0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=I_2+aA

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați matricea

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

, știind că

\displaystyle X\cdot M(1)=M(0)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle M(1)=I_2+1\cdot A$ , adunând element cu element.
$\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}$
Calculăm matricea $\displaystyle M(0)=I_2+0\cdot A$ , care este matricea unitate.
$\displaystyle M(0)=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul lui $\displaystyle M(1)$ . Fiind nenul, matricea $\displaystyle M(1)$ este inversabilă.
$\displaystyle \det M(1)=1\cdot 1-1\cdot 2=-1\neq 0$
Determinăm inversa lui $\displaystyle M(1)$ cu formula inversei unei matrice $\displaystyle 2\times 2$ : schimbăm locurile elementelor de pe diagonala principală, schimbăm semnul celor de pe diagonala secundară și împărțim la determinant, adică la $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle (M(1))^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}1&-1\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}$
Înmulțim egalitatea $\displaystyle X\cdot M(1)=M(0)$ la dreapta cu inversa lui $\displaystyle M(1)$ . Deoarece $\displaystyle M(1)\cdot (M(1))^{-1}=I_2$ , rămâne $\displaystyle X=M(0)\cdot (M(1))^{-1}$ .
$\displaystyle X=M(0)\cdot (M(1))^{-1}=I_2\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}$
Cum $\displaystyle I_2$ este element neutru la înmulțirea matricelor, $\displaystyle X$ coincide cu inversa lui $\displaystyle M(1)$ .
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-1\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=4xy+4x+4y+3

.

Arătați că

\displaystyle 1*(-1)=-1

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x*y=4xy+4x+4y+3$ . Pentru $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=-1$ înlocuim în definiție.
$\displaystyle 1*(-1)=4\cdot 1\cdot(-1)+4\cdot 1+4\cdot(-1)+3$
Calculăm fiecare produs: $\displaystyle 4\cdot 1\cdot(-1)=-4$ , $\displaystyle 4\cdot 1=4$ , iar $\displaystyle 4\cdot(-1)=-4$ .
$\displaystyle 1*(-1)=-4+4-4+3$
Adunăm termenii: $\displaystyle -4+4=0$ , apoi $\displaystyle 0-4+3=-1$ . Deci $\displaystyle 1*(-1)=-1$ , adică egalitatea cerută.
$\displaystyle -4+4-4+3=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=4xy+4x+4y+3

.

Demonstrați că

\displaystyle x*y=4(x+1)(y+1)-1

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția $\displaystyle x*y=4xy+4x+4y+3$ și scriem termenul liber $\displaystyle 3=4-1$ , pentru a pregăti gruparea termenilor.
$\displaystyle x*y=4xy+4x+4y+4-1$
Grupăm termenii: $\displaystyle 4xy+4x=4x(y+1)$ și $\displaystyle 4y+4=4(y+1)$ , deci apare factorul comun $\displaystyle y+1$ .
$\displaystyle x*y=4x(y+1)+4(y+1)-1$
Dăm factor comun pe $\displaystyle y+1$ : $\displaystyle 4x(y+1)+4(y+1)=(4x+4)(y+1)=4(x+1)(y+1)$ . Astfel egalitatea cerută este demonstrată pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle x*y=4(x+1)(y+1)-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x*y=4xy+4x+4y+3

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x*\frac{1}{4}*(-x)=19

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție sub o formă mai comodă. Desfacem paranteza în $\displaystyle 4(x+1)(y+1)-1$ și obținem $\displaystyle 4xy+4x+4y+4-1$ , adică exact expresia dată. Deci $\displaystyle x*y=4(x+1)(y+1)-1$ .
$\displaystyle x*y=4(x+1)(y+1)-1$
Legea este asociativă, deci putem calcula compunerile pe rând, de la stânga la dreapta. Calculăm mai întâi $\displaystyle x*\frac{1}{4}$ : înlocuim $\displaystyle y=\frac{1}{4}$ , iar $\displaystyle y+1=\frac{5}{4}$ . Obținem $\displaystyle 4(x+1)\cdot\frac{5}{4}-1=5(x+1)-1=5x+4$ .
$\displaystyle x*\frac{1}{4}=5x+4$
Compunem rezultatul cu $\displaystyle -x$ . Avem $\displaystyle (5x+4)+1=5x+5=5(x+1)$ și $\displaystyle -x+1=1-x$ . Deci $\displaystyle (5x+4)*(-x)=4\cdot 5(x+1)(1-x)-1=20(1-x^{2})-1$ , pentru că $\displaystyle (x+1)(1-x)=1-x^{2}$ .
$\displaystyle x*\frac{1}{4}=5x+4$ , $\displaystyle \ (5x+4)*(-x)=20(1-x^{2})-1$
Egalăm expresia cu $\displaystyle 19$ : $\displaystyle 20(1-x^{2})-1=19$ . Adunăm $\displaystyle 1$ la ambii membri și obținem $\displaystyle 20(1-x^{2})=20$ .
$\displaystyle 20(1-x^{2})=20$
Împărțim la $\displaystyle 20$ : $\displaystyle 1-x^{2}=1$ , deci $\displaystyle x^{2}=0$ . Singura soluție este $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle 20(1-x^{2})=20\text{, de unde }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}

,

\displaystyle x\in(-1,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții derivabile pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ , iar numitorul $\displaystyle x+1$ este nenul. Folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x^{2}+4x+4$ și $\displaystyle v=x+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+4x+4)'(x+1)-(x^{2}+4x+4)(x+1)'}{(x+1)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle u'=2x+4$ , iar $\displaystyle v'=1$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+4)(x+1)-(x^{2}+4x+4)}{(x+1)^{2}}$
Efectuăm înmulțirea de la numărător: $\displaystyle (2x+4)(x+1)=2x^{2}+2x+4x+4=2x^{2}+6x+4$ .
$\displaystyle (2x+4)(x+1)=2x^{2}+6x+4$
Scădem $\displaystyle x^{2}+4x+4$ din $\displaystyle 2x^{2}+6x+4$ și reducem termenii asemenea.
$\displaystyle 2x^{2}+6x+4-x^{2}-4x-4=x^{2}+2x$
Dăm factor comun $\displaystyle x$ la numărător: $\displaystyle x^{2}+2x=x(x+2)$ . Obținem egalitatea cerută, pentru $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+1}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre

\displaystyle +\infty

la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ are forma $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$ . Calculăm mai întâi $\displaystyle m$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$
Înlocuim $\displaystyle f(x)$ și obținem fracția cu numitorul $\displaystyle x(x+1)$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+4x+4}{x(x+1)}=\frac{x^2+4x+4}{x^2+x}$
Numărătorul și numitorul sunt polinoame de gradul doi, deci limita este raportul coeficienților dominanți. Împărțim la $\displaystyle x^2$ și obținem $\displaystyle m=1$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}=1$
Calculăm acum $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)$ . Aducem la același numitor.
$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2+4x+4-x(x+1)}{x+1}$
Desfacem parantezele: $\displaystyle x^2+4x+4-x^2-x=3x+4$ .
$\displaystyle f(x)-x=\frac{3x+4}{x+1}$
Numărătorul și numitorul au gradul întâi, deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x+4}{x+1}=3$ . Cu $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle n=3$ , dreapta $\displaystyle y=x+3$ este asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+4}{x+1}=3\text{, deci asimptota oblică }$ $\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ este }y=x+3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+1}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este convexă.

Vezi rezolvarea

Scriem numărătorul astfel: $\displaystyle x^{2}+4x+4=(x+1)(x+3)+1$ . Împărțind la $\displaystyle x+1$ , obținem $\displaystyle f(x)=x+3+\dfrac{1}{x+1}$ , pentru $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ .
$\displaystyle f(x)=x+3+\dfrac{1}{x+1}$
Derivăm termen cu termen: $\displaystyle (x+3)'=1$ și $\displaystyle \left(\dfrac{1}{x+1}\right)'=-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ . Deci $\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$
Derivăm încă o dată: $\displaystyle \left(-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\right)'=-\left((x+1)^{-2}\right)'=2(x+1)^{-3}=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}$ . Deci $\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}$ , pentru $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ .
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^{3}}$ , $\displaystyle \ x\in(-1,+\infty)$
Pentru $\displaystyle x>-1$ avem $\displaystyle x+1>0$ , deci $\displaystyle (x+1)^{3}>0$ , iar $\displaystyle \dfrac{2}{(x+1)^{3}}>0$ . Cum $\displaystyle f''(x)>0$ pe tot intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ , funcția $\displaystyle f$ este convexă.
$\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)\text{, deci funcția }f\text{ este convexă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)(f(x)-x^2)\,dx=1

.

Vezi rezolvarea

Din $\displaystyle f(x)=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}+1}$ obținem $\displaystyle f(x)-x^{2}$ . Termenul $\displaystyle x^{2}$ se reduce și rămâne doar fracția.
$\displaystyle f(x)-x^{2}=\dfrac{1}{x^{2}+1}$
Înlocuim în integrand: $\displaystyle (x^{2}+1)\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}$ . Simplificăm factorul $\displaystyle x^{2}+1$ , care este nenul pentru orice $\displaystyle x$ real, și integrandul devine $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)(f(x)-x^2)\,dx=\int_0^1 (x^2+1)\cdot\frac{1}{x^2+1}\,dx=\int_0^1 dx$
O primitivă a funcției constante $\displaystyle 1$ este $\displaystyle x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_0^1 dx=x\Big|_0^1=1-0=1$ . Deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle x\Big|_0^1=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x^2+1}

.

Calculați

\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim $\displaystyle f(x)$ cu $\displaystyle x$ și distribuim: $\displaystyle x\cdot x^{2}=x^{3}$ , iar $\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle x f(x)=x^{3}+\frac{x}{x^{2}+1}$
Primitiva lui $\displaystyle x^{3}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}$ . Pentru al doilea termen observăm că $\displaystyle (x^{2}+1)'=2x$ , deci $\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(x^{2}+1)'}{x^{2}+1}$ , care are primitiva $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x)\,dx=\left(\frac{x^{4}}{4}+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\right)\Big|_{-1}^{1}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în $\displaystyle 1$ și în $\displaystyle -1$ și scădem. Valoarea în $\displaystyle 1$ este $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\ln 2$ , iar în $\displaystyle -1$ este tot $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\ln 2$ , pentru că $\displaystyle x^{4}$ și $\displaystyle x^{2}$ au aceleași valori în $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ln 2=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x^2+1}

.

Determinați numărul natural

\displaystyle n

, știind că

\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{n^2}{3}+\frac{\pi}{4}-1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim pe $\displaystyle f(x)$ cu expresia ei și descompunem integrala în două integrale: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x^2\,dx+\int_0^1 \dfrac{1}{x^2+1}\,dx$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 x^2\,dx+\int_0^1 \frac{1}{x^2+1}\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x^2+1}$ este $\displaystyle \operatorname{arctg} x$ . Deci $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\left(\dfrac{x^3}{3}+\operatorname{arctg}x\right)\Big|_0^1$ .
$\displaystyle \left(\frac{x^3}{3}+\operatorname{arctg}x\right)\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}+\operatorname{arctg}1\right)-\left(0+\operatorname{arctg}0\right)$ . Cum $\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ și $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ , obținem $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{1}{3}+\frac{\pi}{4}$
Egalăm valoarea obținută cu expresia dată în enunț: $\displaystyle \dfrac{n^2}{3}+\dfrac{\pi}{4}-1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi}{4}$ .
$\displaystyle \frac{n^2}{3}+\frac{\pi}{4}-1=\frac{1}{3}+\frac{\pi}{4}$
Reducem termenul $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ din ambii membri și obținem $\displaystyle \dfrac{n^2}{3}=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$ , deci $\displaystyle n^2=4$ . Cum $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n=2$ .
$\displaystyle n^2=4\text{ și, cum }n\text{ este număr natural, }n=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani