Bac matematică M3 tehnologic 2022, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (8+1)⋅(22−1)−36=1\displaystyle (\sqrt{8}+1)\cdot(2\sqrt{2}-1)-\sqrt{36}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 8=4⋅2=22\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}, deci prima paranteză devine 22+1\displaystyle 2\sqrt{2}+1.
    8+1=22+1\displaystyle \sqrt{8}+1=2\sqrt{2}+1
  2. Produsul are forma (a+1)(a−1)=a2−1\displaystyle (a+1)(a-1)=a^{2}-1, cu a=22\displaystyle a=2\sqrt{2}. De asemenea, 36=6\displaystyle \sqrt{36}=6. Expresia devine (22)2−1−6\displaystyle \left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1-6.
    (22)2−1−6\displaystyle \left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1-6
  3. Avem (22)2=4⋅2=8\displaystyle \left(2\sqrt{2}\right)^{2}=4\cdot 2=8, deci expresia este 8−1−6=8−7=1\displaystyle 8-1-6=8-7=1, ceea ce trebuia demonstrat.
    8−7=1\displaystyle 8-7=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−1\displaystyle f(x)=5x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=5+2x\displaystyle g(x)=5+2x. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f\displaystyle f și g\displaystyle g.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci egalăm expresiile celor două funcții: f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    5x−1=5+2x\displaystyle 5x-1=5+2x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 5x−2x=5+1\displaystyle 5x-2x=5+1.
    5x−2x=5+1\displaystyle 5x-2x=5+1
  3. Reducem termenii asemenea și obținem 3x=6\displaystyle 3x=6, deci abscisa punctului de intersecție este x=2\displaystyle x=2.
    3x=6⇒x=2\displaystyle 3x=6\Rightarrow x=2
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=2\displaystyle x=2 în expresia lui f\displaystyle f: f(2)=5⋅2−1=9\displaystyle f(2)=5\cdot 2-1=9. Verificăm cu g\displaystyle g: g(2)=5+2⋅2=9\displaystyle g(2)=5+2\cdot 2=9, deci rezultatul este corect.
    y=f(2)=5⋅2−1=9\displaystyle y=f(2)=5\cdot 2-1=9
  5. Punctul de intersecție al graficelor are abscisa 2\displaystyle 2 și ordonata 9\displaystyle 9, deci este punctul de coordonate (2,9)\displaystyle (2,9).
    x=2 și y=9\displaystyle x=2\text{ și }y=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+6x=x\displaystyle \sqrt{x^2+6x}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul x2+6x\displaystyle \sqrt{x^2+6x} este mereu mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deci orice soluție trebuie să verifice x≥0\displaystyle x\ge 0. Verificăm această condiție la final, după ridicarea la pătrat.
    x≥0\displaystyle x\ge 0
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației x2+6x=x\displaystyle \sqrt{x^2+6x}=x la pătrat și obținem ecuația fără radical.
    x2+6x=x2\displaystyle x^2+6x=x^2
  3. Reducem termenii x2\displaystyle x^2 din ambii membri și rămâne 6x=0\displaystyle 6x=0, de unde x=0\displaystyle x=0.
    6x=0⇒x=0\displaystyle 6x=0\Rightarrow x=0
  4. Verificăm în ecuația inițială: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 02+6⋅0=0\displaystyle \sqrt{0^2+6\cdot 0}=0, iar membrul drept este 0\displaystyle 0. Egalitatea are loc și x≥0\displaystyle x\ge 0, deci soluția convine.
    x=0, care convine\displaystyle x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, numărul 4⋅n\displaystyle 4\cdot n să fie element al mulțimii A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul de elemente ale mulțimii A\displaystyle A, adică numărul de alegeri posibile pentru n\displaystyle n. Mulțimea A\displaystyle A are elementele de la 0\displaystyle 0 la 9\displaystyle 9, deci 10\displaystyle 10 elemente.
    10\displaystyle 10
  2. Cazurile favorabile sunt valorile lui n\displaystyle n pentru care 4⋅n∈A\displaystyle 4\cdot n\in A, deci 4n≤9\displaystyle 4n\le 9. Rezultă n≤94=2,25\displaystyle n\le \dfrac{9}{4}=2{,}25. Cum n\displaystyle n este număr natural din A\displaystyle A, n\displaystyle n poate fi 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2.
    4n≤9⇒n≤94\displaystyle 4n\le 9\Rightarrow n\le \frac{9}{4}
  3. Verificăm: pentru n=0,1,2\displaystyle n=0,1,2 obținem 4n=0,4,8\displaystyle 4n=0,4,8, toate din A\displaystyle A. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem 12∉A\displaystyle 12\notin A. Așadar sunt 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    n∈{0,1,2}, deci 3 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{0,1,2\}\text{, deci }3\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=310\displaystyle p=\dfrac{3}{10}.
    p=310\displaystyle p=\frac{3}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1), B(3,4)\displaystyle B(3,4) și C\displaystyle C, astfel încât punctul A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Arătați că triunghiul AOC\displaystyle AOC este dreptunghic isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, deci coordonatele lui A\displaystyle A sunt media aritmetică a coordonatelor lui B\displaystyle B și C\displaystyle C. Scriem egalitățile pentru abscisă și ordonată.
    2=3+xC2\displaystyle 2=\frac{3+x_C}{2}, 1=4+yC2\displaystyle \ 1=\frac{4+y_C}{2}
  2. Din prima egalitate obținem 3+xC=4\displaystyle 3+x_C=4, deci xC=1\displaystyle x_C=1. Din a doua obținem 4+yC=2\displaystyle 4+y_C=2, deci yC=−2\displaystyle y_C=-2. Așadar C(1,−2)\displaystyle C(1,-2).
    xC=1\displaystyle x_C=1, yC=−2\displaystyle \ y_C=-2, C(1,−2)\displaystyle \ C(1,-2)
  3. Calculăm lungimile laturilor triunghiului AOC\displaystyle AOC cu formula distanței dintre două puncte, folosind O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(2,1)\displaystyle A(2,1) și C(1,−2)\displaystyle C(1,-2). Pentru OA\displaystyle OA avem OA=22+12=5\displaystyle OA=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.
    OA=22+12=5\displaystyle OA=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}
  4. Pentru OC\displaystyle OC avem OC=12+(−2)2=5\displaystyle OC=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}. Pentru AC\displaystyle AC avem AC=(1−2)2+(−2−1)2=1+9=10\displaystyle AC=\sqrt{(1-2)^{2}+(-2-1)^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
    OC=5\displaystyle OC=\sqrt{5}, AC=10\displaystyle \ AC=\sqrt{10}
  5. Deoarece OA=OC=5\displaystyle OA=OC=\sqrt{5}, triunghiul este isoscel. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: OA2+OC2=5+5=10=AC2\displaystyle OA^{2}+OC^{2}=5+5=10=AC^{2}. Deci triunghiul AOC\displaystyle AOC este dreptunghic în O\displaystyle O și isoscel.
    OA=OC=5\displaystyle OA=OC=\sqrt{5}, OA2+OC2=10=AC2 ⇒ △AOC dreptunghic isoscel\displaystyle \ OA^{2}+OC^{2}=10=AC^{2}\ \Rightarrow\ \triangle AOC\text{ dreptunghic isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC\displaystyle ABC în care sin⁡30∘⋅sin⁡A=cos⁡60∘⋅cos⁡A\displaystyle \sin 30^\circ\cdot\sin A=\cos 60^\circ\cdot\cos A. Calculați tg⁡A\displaystyle \operatorname{tg}A.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Înlocuim în egalitatea dată sin⁡30∘⋅sin⁡A=cos⁡60∘⋅cos⁡A\displaystyle \sin 30^\circ\cdot\sin A=\cos 60^\circ\cdot\cos A și obținem 12⋅sin⁡A=12⋅cos⁡A\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\sin A=\dfrac{1}{2}\cdot\cos A.
    12⋅sin⁡A=12⋅cos⁡A\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\sin A=\dfrac{1}{2}\cdot\cos A
  3. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem sin⁡A=cos⁡A\displaystyle \sin A=\cos A.
    sin⁡A=cos⁡A\displaystyle \sin A=\cos A
  4. Triunghiul este ascuțitunghic, deci A\displaystyle A este ascuțit și cos⁡A≠0\displaystyle \cos A\neq 0. Împărțim egalitatea la cos⁡A\displaystyle \cos A și obținem tg⁡A=sin⁡Acos⁡A=1\displaystyle \operatorname{tg}A=\dfrac{\sin A}{\cos A}=1.
    tg⁡A=sin⁡Acos⁡A=1\displaystyle \operatorname{tg}A=\dfrac{\sin A}{\cos A}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−62−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(a)=(0a−213a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}0&a-2\\1&3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=3\displaystyle \det A=3.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(3−62−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-3\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordin doi, det⁡(pqrs)=p⋅s−q⋅r\displaystyle \det\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}=p\cdot s-q\cdot r, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣3−62−3∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&-6\\2&-3\end{vmatrix}
  2. Pe diagonala principală avem 3\displaystyle 3 și −3\displaystyle -3, iar pe diagonala secundară avem −6\displaystyle -6 și 2\displaystyle 2. Înlocuim în formulă.
    det⁡A=3⋅(−3)−(−6)⋅2\displaystyle \det A=3\cdot(-3)-(-6)\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−3)=−9\displaystyle 3\cdot(-3)=-9 și (−6)⋅2=−12\displaystyle (-6)\cdot 2=-12. Deci det⁡A=−9−(−12)=−9+12=3\displaystyle \det A=-9-(-12)=-9+12=3, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=−9+12=3\displaystyle \det A=-9+12=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−62−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(a)=(0a−213a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}0&a-2\\1&3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅A+A=2B(x)\displaystyle A\cdot A+A=2B(x).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Primul element: 3⋅3+(−6)⋅2=−3\displaystyle 3\cdot 3+(-6)\cdot 2=-3. Elementul de pe linia 1, coloana 2: 3⋅(−6)+(−6)⋅(−3)=0\displaystyle 3\cdot(-6)+(-6)\cdot(-3)=0. Elementul de pe linia 2, coloana 1: 2⋅3+(−3)⋅2=0\displaystyle 2\cdot 3+(-3)\cdot 2=0. Ultimul element: 2⋅(−6)+(−3)⋅(−3)=−3\displaystyle 2\cdot(-6)+(-3)\cdot(-3)=-3.
    A⋅A=(−300−3)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-3&0\\0&-3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea A\displaystyle A la A⋅A\displaystyle A\cdot A, element cu element.
    A⋅A+A=(−3+30−60+2−3−3)=(0−62−6)\displaystyle A\cdot A+A=\begin{pmatrix}-3+3&0-6\\0+2&-3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-6\\2&-6\end{pmatrix}
  3. Scriem matricea 2B(x)\displaystyle 2B(x), înmulțind fiecare element al lui B(x)\displaystyle B(x) cu 2\displaystyle 2.
    2B(x)=(02(x−2)26x)\displaystyle 2B(x)=\begin{pmatrix}0&2(x-2)\\2&6x\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Din linia 1, coloana 2: 2(x−2)=−6\displaystyle 2(x-2)=-6, deci x−2=−3\displaystyle x-2=-3, adică x=−1\displaystyle x=-1. Din linia 2, coloana 2: 6x=−6\displaystyle 6x=-6, deci x=−1\displaystyle x=-1. Ambele condiții dau aceeași valoare, iar celelalte elemente (0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2) coincid. Echivalent, A⋅A+A=2(0−31−3)=2B(−1)\displaystyle A\cdot A+A=2\begin{pmatrix}0&-3\\1&-3\end{pmatrix}=2B(-1).
    A⋅A+A=2(0−31−3)=2B(−1), de unde x=−1\displaystyle A\cdot A+A=2\begin{pmatrix}0&-3\\1&-3\end{pmatrix}=2B(-1)\text{, de unde }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−62−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(a)=(0a−213a)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}0&a-2\\1&3a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(B(a)⋅A+B(3a))=4\displaystyle \det(B(a)\cdot A+B(3a))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B(a)⋅A\displaystyle B(a)\cdot A, înmulțind liniile lui B(a)\displaystyle B(a) cu coloanele lui A\displaystyle A. Prima linie: 0⋅3+(a−2)⋅2\displaystyle 0\cdot 3+(a-2)\cdot 2 și 0⋅(−6)+(a−2)⋅(−3)\displaystyle 0\cdot(-6)+(a-2)\cdot(-3). A doua linie: 1⋅3+3a⋅2\displaystyle 1\cdot 3+3a\cdot 2 și 1⋅(−6)+3a⋅(−3)\displaystyle 1\cdot(-6)+3a\cdot(-3).
    B(a)⋅A=(2a−4−3a+66a+3−9a−6)\displaystyle B(a)\cdot A=\begin{pmatrix}2a-4&-3a+6\\6a+3&-9a-6\end{pmatrix}
  2. Scriem matricea B(3a)\displaystyle B(3a), înlocuind a\displaystyle a cu 3a\displaystyle 3a în B(a)\displaystyle B(a).
    B(3a)=(03a−219a)\displaystyle B(3a)=\begin{pmatrix}0&3a-2\\1&9a\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: −3a+6+3a−2=4\displaystyle -3a+6+3a-2=4 și −9a−6+9a=−6\displaystyle -9a-6+9a=-6.
    B(a)⋅A+B(3a)=(2a−444+6a−6)\displaystyle B(a)\cdot A+B(3a)=\begin{pmatrix}2a-4&4\\4+6a&-6\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală, adică (2a−4)⋅(−6)−4⋅(4+6a)=−12a+24−16−24a\displaystyle (2a-4)\cdot(-6)-4\cdot(4+6a)=-12a+24-16-24a.
    det⁡(B(a)⋅A+B(3a))=−36a+8\displaystyle \det(B(a)\cdot A+B(3a))=-36a+8
  5. Impunem condiția ca determinantul să fie 4\displaystyle 4: −36a+8=4\displaystyle -36a+8=4, deci −36a=−4\displaystyle -36a=-4, de unde a=19\displaystyle a=\dfrac{1}{9}.
    −36a+8=4⇒a=19\displaystyle -36a+8=4\Rightarrow a=\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(xy+1)(x+y)\displaystyle x*y=(xy+1)(x+y).

Arătați că 1∗2=9\displaystyle 1*2=9.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=(xy+1)(x+y)\displaystyle x*y=(xy+1)(x+y) pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2, adică înlocuim în expresie.
    1∗2=(1⋅2+1)(1+2)\displaystyle 1*2=(1\cdot 2+1)(1+2)
  2. Calculăm parantezele separat: 1⋅2+1=2+1=3\displaystyle 1\cdot 2+1=2+1=3, iar 1+2=3\displaystyle 1+2=3.
    (1⋅2+1)(1+2)=3⋅3\displaystyle (1\cdot 2+1)(1+2)=3\cdot 3
  3. Înmulțim cele două valori: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, deci 1∗2=9\displaystyle 1*2=9.
    1∗2=3⋅3=9\displaystyle 1*2=3\cdot 3=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(xy+1)(x+y)\displaystyle x*y=(xy+1)(x+y).

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul e\displaystyle e este element neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm acest lucru pentru e=0\displaystyle e=0.
    x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în x∗y=(xy+1)(x+y)\displaystyle x*y=(xy+1)(x+y). Avem x⋅0=0\displaystyle x\cdot 0=0, deci primul factor este 1\displaystyle 1, iar al doilea este x\displaystyle x.
    x∗0=(x⋅0+1)(x+0)=1⋅x=x\displaystyle x*0=(x\cdot 0+1)(x+0)=1\cdot x=x
  3. Înlocuim în definiție primul termen cu 0\displaystyle 0 și al doilea cu x\displaystyle x: primul factor este 0⋅x+1=1\displaystyle 0\cdot x+1=1, iar al doilea este 0+x=x\displaystyle 0+x=x. Cum x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru.
    0∗x=(0⋅x+1)(0+x)=1⋅x=x, deci e=0 este elementul neutru\displaystyle 0*x=(0\cdot x+1)(0+x)=1\cdot x=x\text{, deci }e=0\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(xy+1)(x+y)\displaystyle x*y=(xy+1)(x+y).

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care numărul N=n∗1n\displaystyle N=n*\frac{1}{n} este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x=n\displaystyle x=n și y=1n\displaystyle y=\dfrac{1}{n}. Produsul xy=n⋅1n=1\displaystyle xy=n\cdot\dfrac{1}{n}=1, deci primul factor este xy+1=2\displaystyle xy+1=2.
    N=(n⋅1n+1)(n+1n)=2(n+1n)\displaystyle N=\left(n\cdot\frac{1}{n}+1\right)\left(n+\frac{1}{n}\right)=2\left(n+\frac{1}{n}\right)
  2. Desfacem paranteza și obținem expresia lui N\displaystyle N.
    N=2(n+1n)=2n+2n\displaystyle N=2\left(n+\frac{1}{n}\right)=2n+\frac{2}{n}
  3. Numărul 2n\displaystyle 2n este întreg, deoarece n\displaystyle n este natural. Deci N\displaystyle N este întreg exact când 2n\displaystyle \dfrac{2}{n} este întreg, adică n\displaystyle n este divizor al lui 2\displaystyle 2.
    2n∈Z  ⟺  n∣2\displaystyle \frac{2}{n}\in\mathbb{Z}\iff n\mid 2
  4. Divizorii naturali ai lui 2\displaystyle 2 sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Pentru n=1\displaystyle n=1 obținem N=2+2=4\displaystyle N=2+2=4, iar pentru n=2\displaystyle n=2 obținem N=4+1=5\displaystyle N=4+1=5, ambele întregi.
    n=1 sau n=2\displaystyle n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex−x22\displaystyle f(x)=(x-1)e^x-\frac{x^2}{2}.

Arătați că f′(x)=x(ex−1)\displaystyle f'(x)=x(e^x-1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este diferența dintre produsul (x−1)⋅ex\displaystyle (x-1)\cdot e^x și fracția x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}. Derivăm fiecare termen separat.
    f′(x)=((x−1)ex)′−(x22)′\displaystyle f'(x)=\left((x-1)e^x\right)'-\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'
  2. Pentru produs folosim regula (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', cu u=x−1\displaystyle u=x-1 și v=ex\displaystyle v=e^x, deci u′=1\displaystyle u'=1 și v′=ex\displaystyle v'=e^x. Derivata lui x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2} este 2x2\displaystyle \dfrac{2x}{2}.
    f′(x)=ex+(x−1)ex−2x2\displaystyle f'(x)=e^x+(x-1)e^x-\dfrac{2x}{2}
  3. Desfacem parantezele: ex+xex−ex\displaystyle e^x+xe^x-e^x, iar ex\displaystyle e^x se reduce. Fracția 2x2\displaystyle \dfrac{2x}{2} este egală cu x\displaystyle x.
    f′(x)=xex−x\displaystyle f'(x)=xe^x-x
  4. Dăm factor comun pe x\displaystyle x și obținem forma cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=x(ex−1)\displaystyle f'(x)=x(e^x-1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex−x22\displaystyle f(x)=(x-1)e^x-\frac{x^2}{2}.

Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x2=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0). Avem f(0)=(0−1)e0−022=−1\displaystyle f(0)=(0-1)e^{0}-\dfrac{0^{2}}{2}=-1.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1
  2. Limita are forma 00\displaystyle \dfrac{0}{0}: numărătorul f(x)−f(0)→0\displaystyle f(x)-f(0)\to 0 deoarece f\displaystyle f este continuă, iar numitorul x2→0\displaystyle x^{2}\to 0. Putem aplica regula lui l'Hospital.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x2=00\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x^{2}}=\frac{0}{0}
  3. Calculăm derivata lui f\displaystyle f folosind derivata produsului: f′(x)=ex+(x−1)ex−x=xex−x=x(ex−1)\displaystyle f'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}-x=xe^{x}-x=x(e^{x}-1).
    f′(x)=x(ex−1)\displaystyle f'(x)=x(e^{x}-1)
  4. Aplicăm regula lui l'Hospital: derivata numărătorului f(x)−f(0)\displaystyle f(x)-f(0) este f′(x)\displaystyle f'(x), iar derivata numitorului x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x.
    lim⁡x→0f(x)−f(0)x2=lim⁡x→0f′(x)(x2)′=lim⁡x→0x(ex−1)2x\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{(x^{2})'}=\lim_{x\to 0}\frac{x(e^{x}-1)}{2x}
  5. Simplificăm prin x\displaystyle x (pentru x≠0\displaystyle x\neq 0) și calculăm limita: când x→0\displaystyle x\to 0, ex→1\displaystyle e^{x}\to 1, deci ex−1→0\displaystyle e^{x}-1\to 0. Limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0x(ex−1)2x=lim⁡x→0ex−12=0\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x(e^{x}-1)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ex−x22\displaystyle f(x)=(x-1)e^x-\frac{x^2}{2}.

Arătați că f(x)≤f(x2)\displaystyle f(x)\le f(x^2), pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle x\in(-\infty,0].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției folosind regula de derivare a produsului: derivata lui (x−1)ex\displaystyle (x-1)e^{x} este ex+(x−1)ex\displaystyle e^{x}+(x-1)e^{x}, iar derivata lui x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2} este x\displaystyle x. După reducere obținem f′(x)=xex−x=x(ex−1)\displaystyle f'(x)=xe^{x}-x=x(e^{x}-1).
    f′(x)=ex+(x−1)ex−x=x(ex−1)\displaystyle f'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}-x=x\left(e^{x}-1\right)
  2. Studiem semnul produsului x(ex−1)\displaystyle x(e^{x}-1). Dacă x≥0\displaystyle x\ge 0, atunci ex≥1\displaystyle e^{x}\ge 1, deci ex−1≥0\displaystyle e^{x}-1\ge 0 și produsul este pozitiv sau zero. Dacă x≤0\displaystyle x\le 0, atunci ex≤1\displaystyle e^{x}\le 1, deci ex−1≤0\displaystyle e^{x}-1\le 0, iar produsul a doi factori negativi sau nuli este pozitiv sau zero.
    x≥0⇒ex−1≥0;x≤0⇒ex−1≤0;ıˆn ambele cazuri x(ex−1)≥0\displaystyle x\ge 0\Rightarrow e^{x}-1\ge 0;\quad x\le 0\Rightarrow e^{x}-1\le 0;\quad \text{în ambele cazuri } x(e^{x}-1)\ge 0
  3. Deoarece derivata este pozitivă sau zero pe toată mulțimea numerelor reale, funcția f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, ∀x∈R⇒f este cresca˘toare pe R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
  4. Pentru x≤0\displaystyle x\le 0 avem x≤0≤x2\displaystyle x\le 0\le x^{2}, deci x≤x2\displaystyle x\le x^{2}. Cum f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, rezultă f(x)≤f(x2)\displaystyle f(x)\le f(x^{2}) pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle x\in(-\infty,0].
    x≤0≤x2, deci f(x)≤f(x2)\displaystyle x\le 0\le x^{2}\text{, deci }f(x)\le f(x^{2}), ∀x∈(−∞,0]\displaystyle \ \forall x\in(-\infty,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx+4\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x+4}.

Arătați că ∫12(x+4)f(x) dx=6\displaystyle \int_1^2 (x+4)f(x)\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4xx+4\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x+4} în produs. Pe intervalul (−4,+∞)\displaystyle (-4,+\infty) avem x+4≠0\displaystyle x+4\neq 0, deci putem simplifica factorul x+4\displaystyle x+4.
    (x+4)f(x)=(x+4)⋅4xx+4=4x\displaystyle (x+4)f(x)=(x+4)\cdot\dfrac{4x}{x+4}=4x
  2. Integrala devine ∫124x dx\displaystyle \int_1^2 4x\,dx. O primitivă a funcției 4x\displaystyle 4x este 2x2\displaystyle 2x^{2}, deoarece (2x2)′=4x\displaystyle (2x^{2})'=4x.
    ∫12(x+4)f(x) dx=∫124x dx=2x2∣12\displaystyle \int_1^2 (x+4)f(x)\,dx=\int_1^2 4x\,dx=2x^{2}\Big|_1^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 2x2∣12=2⋅22−2⋅12\displaystyle 2x^{2}\Big|_1^2=2\cdot 2^{2}-2\cdot 1^{2}, adică 8−2\displaystyle 8-2.
    2⋅22−2⋅12=8−2=6\displaystyle 2\cdot 2^{2}-2\cdot 1^{2}=8-2=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx+4\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x+4}.

Arătați că ∫141x⋅f(x2) dx=4ln⁡2\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{x}\cdot f(x^2)\,dx=4\ln 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x2)\displaystyle f(x^2), înlocuind pe x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^2 în f(x)=4xx+4\displaystyle f(x)=\dfrac{4x}{x+4}. Expresia este definită, deoarece x2+4>0\displaystyle x^2+4>0.
    f(x2)=4x2x2+4\displaystyle f(x^{2})=\dfrac{4x^{2}}{x^{2}+4}
  2. Înmulțim cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și simplificăm prin x\displaystyle x, deoarece pe [1,4]\displaystyle [1,4] avem x≠0\displaystyle x\neq 0.
    1x⋅f(x2)=4xx2+4\displaystyle \dfrac{1}{x}\cdot f(x^{2})=\dfrac{4x}{x^{2}+4}
  3. Observăm că (x2+4)′=2x\displaystyle (x^2+4)'=2x, deci 4x=2⋅2x\displaystyle 4x=2\cdot 2x. Scoatem constanta 2\displaystyle 2 în fața integralei și obținem forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} cu u=x2+4\displaystyle u=x^2+4.
    ∫144xx2+4 dx=2∫14(x2+4)′⋅1x2+4 dx\displaystyle \int_1^4 \dfrac{4x}{x^{2}+4}\,dx=2\int_1^4 (x^{2}+4)'\cdot\dfrac{1}{x^{2}+4}\,dx
  4. Primitiva lui u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} este ln⁡u\displaystyle \ln u, iar x2+4>0\displaystyle x^2+4>0. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    2ln⁡(x2+4)∣14\displaystyle 2\ln(x^{2}+4)\Big|_1^4
  5. Înlocuim limitele: pentru x=4\displaystyle x=4 avem 42+4=20\displaystyle 4^2+4=20, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem 12+4=5\displaystyle 1^2+4=5.
    2ln⁡20−2ln⁡5\displaystyle 2\ln 20-2\ln 5
  6. Folosim ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}. Avem 205=4\displaystyle \dfrac{20}{5}=4 și ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=2\ln 2, deci rezultatul este 4ln⁡2\displaystyle 4\ln 2.
    2ln⁡20−2ln⁡5=2ln⁡205=2ln⁡4=4ln⁡2\displaystyle 2\ln 20-2\ln 5=2\ln\dfrac{20}{5}=2\ln 4=4\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx+4\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x+4}.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe intervalul (−4,+∞)\displaystyle (-4,+\infty). Din definiția primitivei, derivata lui F\displaystyle F este f\displaystyle f pe tot intervalul.
    F′(x)=f(x)=4xx+4\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{4x}{x+4}, ∀x∈(−4,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(-4,+\infty)
  2. Pentru a studia convexitatea lui F\displaystyle F, calculăm derivata a doua: F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x). Derivăm f\displaystyle f cu formula de derivare a câtului: numărătorul este 4x\displaystyle 4x, iar numitorul x+4\displaystyle x+4.
    f′(x)=(4x)′(x+4)−4x⋅(x+4)′(x+4)2=4(x+4)−4x⋅1(x+4)2\displaystyle f'(x)=\frac{(4x)'(x+4)-4x\cdot(x+4)'}{(x+4)^2}=\frac{4(x+4)-4x\cdot 1}{(x+4)^2}
  3. Reducem termenii asemenea la numărător: 4x+16−4x=16\displaystyle 4x+16-4x=16.
    F′′(x)=f′(x)=16(x+4)2\displaystyle F''(x)=f'(x)=\frac{16}{(x+4)^2}
  4. Pentru x∈(−4,+∞)\displaystyle x\in(-4,+\infty) avem x+4>0\displaystyle x+4>0, deci (x+4)2>0\displaystyle (x+4)^2>0, iar numărătorul 16\displaystyle 16 este pozitiv. Rezultă că F′′(x)>0\displaystyle F''(x)>0 pe tot intervalul, deci orice primitivă F\displaystyle F este convexă.
    F′′(x)=16(x+4)2>0\displaystyle F''(x)=\frac{16}{(x+4)^2}>0, ∀x∈(−4,+∞), deci F este convexa˘\displaystyle \ \forall x\in(-4,+\infty)\text{, deci }F\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.