Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 1,75:0,25-2\left(\frac{17}{4}-2,25\right)=3

.

Vezi rezolvarea

Amplificăm ambele numere din cât cu $\displaystyle 100$ : $\displaystyle 1,75:0,25=175:25$ .
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle 75:0$ , $\displaystyle 25=175:25=7$
Transformăm fracția în număr zecimal: $\displaystyle \dfrac{17}{4}=4,25$ .
$\displaystyle \frac{17}{4}=4$ , $\displaystyle 25$
Înlocuim în expresia dată și obținem $\displaystyle 175:25-2(4,25-2,25)$ .
$\displaystyle 175:25-2(4,25-2,25)$
Calculăm paranteza: $\displaystyle 4,25-2,25=2$ . Calculăm câtul: $\displaystyle 175:25=7$ .
$\displaystyle 7-2\cdot 2$
Efectuăm întâi înmulțirea: $\displaystyle 2\cdot 2=4$ . Apoi scăderea: $\displaystyle 7-4=3$ , deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle 7-2\cdot 2=7-4=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați imaginea funcției

\displaystyle f:[1,5]\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+1

.

Vezi rezolvarea

Imaginea funcției este mulțimea valorilor $\displaystyle y$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=y$ are o soluție $\displaystyle x$ în domeniul $\displaystyle [1,5]$ . Scriem ecuația: $\displaystyle 2x+1=y$ .
$\displaystyle 2x+1=y$
Rezolvăm ecuația în raport cu $\displaystyle x$ : scădem $\displaystyle 1$ din ambii membri, apoi împărțim la $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle x=\frac{y-1}{2}$
Cerem ca soluția $\displaystyle x$ să fie în domeniul $\displaystyle [1,5]$ , adică $\displaystyle 1\le x\le 5$ . Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \dfrac{y-1}{2}$ .
$\displaystyle 1\le \frac{y-1}{2}\le 5$
Înmulțim inegalitatea cu $\displaystyle 2$ , apoi adunăm $\displaystyle 1$ în toate părțile: $\displaystyle 2\le y-1\le 10$ . Obținem $\displaystyle 3\le y\le 11$ .
$\displaystyle 1\le \frac{y-1}{2}\le 5\Leftrightarrow 3\le y\le 11$
Deci imaginea funcției este intervalul $\displaystyle [3,11]$ .
$\displaystyle \operatorname{Im} f=[3,11]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \log_2(2x+4)=4

.

Vezi rezolvarea

Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică $\displaystyle 2x+4>0$ , deci $\displaystyle x>-2$ .
$\displaystyle x>-2$
Folosim definiția logaritmului: $\displaystyle \log_2 A=4$ dacă și numai dacă $\displaystyle A=2^4$ . Obținem $\displaystyle 2x+4=2^{4}$ .
$\displaystyle 2x+4=2^{4}$
Calculăm puterea: $\displaystyle 2^4=16$ , deci ecuația devine $\displaystyle 2x+4=16$ .
$\displaystyle 2x+4=16$
Scădem 4 din ambii membri și obținem $\displaystyle 2x=12$ , apoi împărțim la 2.
$\displaystyle x=6$
Verificăm condiția de existență: $\displaystyle 6>-2$ , deci soluția convine. Pentru $\displaystyle x=6$ avem $\displaystyle 2\cdot 6+4=16$ și $\displaystyle \log_2 16=4$ .
$\displaystyle x=6\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o ieftinire cu

\displaystyle 20\%

, prețul unui produs este de

\displaystyle 144

lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul produsului înainte de ieftinire, în lei.
$\displaystyle x=\text{prețul inițial}$
Ieftinirea cu $\displaystyle 20\%$ înseamnă că se scade din prețul inițial $\displaystyle 20\%$ din el. Prețul după ieftinire este $\displaystyle 144$ lei, deci obținem ecuația.
$\displaystyle x-\frac{20}{100}\cdot x=144$
Scoatem $\displaystyle x$ factor comun: $\displaystyle x\left(1-\dfrac{20}{100}\right)=144$ , adică $\displaystyle \dfrac{80}{100}\cdot x=144$ .
$\displaystyle \frac{80}{100}\cdot x=144$
Împărțim ambii membri la $\displaystyle \dfrac{80}{100}$ , adică îi înmulțim cu $\displaystyle \dfrac{100}{80}$ , și calculăm: $\displaystyle x=144\cdot\dfrac{100}{80}=\dfrac{14400}{80}$ .
$\displaystyle x=144\cdot\frac{100}{80}=180$
Verificare: $\displaystyle 20\%$ din $\displaystyle 180$ este $\displaystyle 36$ , iar $\displaystyle 180-36=144$ , deci rezultatul este corect. Prețul înainte de ieftinire era de $\displaystyle 180$ de lei.
$\displaystyle x=180\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,a)

și

\displaystyle B(5,0)

, unde

\displaystyle a

este număr real. Determinați numerele reale

\displaystyle a

, știind că segmentul

\displaystyle AB

are lungimea egală cu

\displaystyle 5

.

Vezi rezolvarea

Folosim formula distanței dintre punctele $\displaystyle A(x_A,y_A)$ și $\displaystyle B(x_B,y_B)$ : $\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ . Pentru $\displaystyle A(2,a)$ și $\displaystyle B(5,0)$ obținem o expresie în care apare doar necunoscuta $\displaystyle a$ .
$\displaystyle AB=\sqrt{(5-2)^2+(0-a)^2}$
Avem $\displaystyle (5-2)^2=9$ și $\displaystyle (0-a)^2=a^2$ , deci $\displaystyle AB=\sqrt{a^2+9}$ . Cum $\displaystyle AB=5$ , obținem ecuația:
$\displaystyle \sqrt{a^2+9}=5$
Ambii membri sunt pozitivi, deci putem ridica la pătrat: $\displaystyle a^2+9=25$ . Scădem $\displaystyle 9$ din ambii membri.
$\displaystyle a^2=16$
Din $\displaystyle a^2=16$ rezultă $\displaystyle a=\pm 4$ , deci avem două valori posibile pentru $\displaystyle a$ , iar ambele convin, fiindcă $\displaystyle a$ apare doar la pătrat.
$\displaystyle a=-4\text{ sau }a=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sin^2 130^\circ+\cos^2 50^\circ=1

.

Vezi rezolvarea

Observăm că unghiurile $\displaystyle 130^\circ$ și $\displaystyle 50^\circ$ sunt suplementare, deoarece $\displaystyle 130^\circ+50^\circ=180^\circ$ . Pentru unghiuri suplementare sinusurile sunt egale, deci folosim formula $\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x$ .
$\displaystyle 130^\circ+50^\circ=180^\circ$
Scriem $\displaystyle 130^\circ=180^\circ-50^\circ$ și aplicăm formula de reducere la primul cadran.
$\displaystyle \sin 130^\circ=\sin(180^\circ-50^\circ)=\sin 50^\circ$
Înlocuim $\displaystyle \sin 130^\circ$ cu $\displaystyle \sin 50^\circ$ în expresia dată. Sinusurile fiind egale, și pătratele lor sunt egale.
$\displaystyle \sin^2 130^\circ+\cos^2 50^\circ=\sin^2 50^\circ+\cos^2 50^\circ$
Suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi, aici $\displaystyle 50^\circ$ , este $\displaystyle 1$ , conform identității fundamentale $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1$ . Deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \sin^2 130^\circ+\cos^2 50^\circ=\sin^2 50^\circ+\cos^2 50^\circ=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-2&-4\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det A=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ , folosind elementele ei: $\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&6\\-2&-4\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&6\\-2&-4\end{vmatrix}$
Aplicăm formula pentru determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Diagonala principală are elementele $\displaystyle 3$ și $\displaystyle -4$ , iar cea secundară are elementele $\displaystyle 6$ și $\displaystyle -2$ . Obținem $\displaystyle \det A=3\cdot(-4)-6\cdot(-2)$ .
$\displaystyle \det A=3\cdot(-4)-6\cdot(-2)$
Calculăm produsele: $\displaystyle 3\cdot(-4)=-12$ , iar $\displaystyle 6\cdot(-2)=-12$ . Scăderea unui număr negativ revine la adunarea opusului său, deci $\displaystyle \det A=-12-(-12)=-12+12=0$ .
$\displaystyle \det A=-12+12=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-2&-4\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle A\cdot A+A=O_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot A$ element cu element, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Pe prima linie: $\displaystyle 3\cdot 3+6\cdot(-2)=9-12=-3$ și $\displaystyle 3\cdot 6+6\cdot(-4)=18-24=-6$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}-3&-6\end{pmatrix}$
Pe a doua linie: $\displaystyle (-2)\cdot 3+(-4)\cdot(-2)=-6+8=2$ și $\displaystyle (-2)\cdot 6+(-4)\cdot(-4)=-12+16=4$ . Deci $\displaystyle A\cdot A$ este matricea de mai jos.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-3&-6\\2&4\end{pmatrix}$
Scriem suma $\displaystyle A\cdot A+A$ , înlocuind pe $\displaystyle A\cdot A$ cu matricea obținută și pe $\displaystyle A$ cu matricea dată.
$\displaystyle A\cdot A+A=\begin{pmatrix}-3&-6\\2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&6\\-2&-4\end{pmatrix}$
Adunăm elementele de pe aceleași poziții: $\displaystyle -3+3=0$ , $\displaystyle -6+6=0$ , $\displaystyle 2+(-2)=0$ , $\displaystyle 4+(-4)=0$ . Obținem matricea nulă, deci $\displaystyle A\cdot A+A=O_2$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\-2&-4\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Demonstrați că există o infinitate de matrice

\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

astfel încât

\displaystyle \det X=\det(X+I_2)

.

Vezi rezolvarea

Considerăm o matrice oarecare $\displaystyle X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}$ cu $\displaystyle x,y,z,t\in\mathbb{R}$ . Adunând $\displaystyle I_2$ , se adaugă 1 pe diagonala principală.
$\displaystyle X+I_2=\begin{pmatrix}x+1&y\\z&t+1\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul lui $\displaystyle X$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det X=xt-yz$
Calculăm determinantul lui $\displaystyle X+I_2$ și desfacem parantezele.
$\displaystyle \det(X+I_2)=(x+1)(t+1)-yz=xt+x+t+1-yz$
Egalăm cei doi determinanți. Termenii $\displaystyle xt$ și $\displaystyle yz$ se reduc, iar rămâne o condiție simplă între $\displaystyle x$ și $\displaystyle t$ .
$\displaystyle xt-yz=xt+x+t+1-yz\Leftrightarrow x+t=-1$
Condiția nu impune nicio restricție asupra lui $\displaystyle y$ și $\displaystyle z$ , iar pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ alegem $\displaystyle t=-1-x$ . Deci obținem o infinitate de matrice, de exemplu $\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\0&-1-a\end{pmatrix}$ cu $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ , pentru care $\displaystyle \det X=\det(X+I_2)$ . Prin urmare există o infinitate de matrice $\displaystyle X$ cu proprietatea cerută.
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}x&y\\z&-1-x\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z\in\mathbb{R}\text{, o infinitate de matrice}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=-xy+x+y

.

Arătați că

\displaystyle 1\circ\sqrt{2}=1

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , $\displaystyle x\circ y=-xy+x+y$ .
$\displaystyle x\circ y=-xy+x+y$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=\sqrt{2}$ în definiția legii.
$\displaystyle 1\circ\sqrt{2}=-1\cdot\sqrt{2}+1+\sqrt{2}$
Reducem termenii opuși: $\displaystyle -\sqrt{2}$ și $\displaystyle +\sqrt{2}$ se anulează, deci rămâne $\displaystyle 1$ . Astfel egalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle -\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=1\text{, deci }1\circ\sqrt{2}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=-xy+x+y

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ y=-(x-1)(y-1)+1

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii de compoziție: $\displaystyle x\circ y=-xy+x+y$ , pentru $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ numere reale.
$\displaystyle x\circ y=-xy+x+y$
Adăugăm și scădem $\displaystyle 1$ în partea dreaptă, ceea ce nu schimbă valoarea expresiei. Scopul este să obținem produsul $\displaystyle (x-1)(y-1)$ .
$\displaystyle x\circ y=-xy+x+y-1+1$
Grupăm primii doi termeni, $\displaystyle -xy$ și $\displaystyle x$ , și dăm factor comun pe $\displaystyle -x$ . Obținem $\displaystyle -x(y-1)$ . Termenii rămași, $\displaystyle y-1$ , formează chiar factorul $\displaystyle y-1$ .
$\displaystyle x\circ y=-x(y-1)+(y-1)+1$
Dăm factor comun pe $\displaystyle y-1$ între primii doi termeni: $\displaystyle -x(y-1)+(y-1)=(y-1)(-x+1)=-(x-1)(y-1)$ . Adăugăm termenul $\displaystyle 1$ rămas și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle x\circ y=-(x-1)(y-1)+1\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=-xy+x+y

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 3^x\circ 5^x=1

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle -(x-1)(y-1)+1=-(xy-x-y+1)+1=-xy+x+y$ , deci $\displaystyle x\circ y=-(x-1)(y-1)+1$ .
$\displaystyle x\circ y=-(x-1)(y-1)+1$
Pentru $\displaystyle 3^x\circ 5^x=1$ obținem ecuația $\displaystyle -(3^x-1)(5^x-1)+1=1$ .
$\displaystyle -(3^x-1)(5^x-1)+1=1$
Scădem $\displaystyle 1$ din ambii membri: $\displaystyle -(3^x-1)(5^x-1)=0$ , deci $\displaystyle (3^x-1)(5^x-1)=0$ . Produsul este nul dacă un factor este nul.
$\displaystyle 3^x-1=0\text{ sau }5^x-1=0$
Din $\displaystyle 3^x=1=3^0$ rezultă $\displaystyle x=0$ . Analog, din $\displaystyle 5^x=1=5^0$ rezultă tot $\displaystyle x=0$ , deoarece funcția exponențială este injectivă.
$\displaystyle x=0$
Ambele ecuații dau aceeași valoare, deci $\displaystyle x=0$ . Verificare: $\displaystyle 1\circ 1=-1\cdot 1+1+1=1$ .
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^4-2x^2-63

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula $\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}$ , iar derivata unei constante este $\displaystyle 0$ . Avem $\displaystyle (x^4)'=4x^3$ , $\displaystyle (2x^2)'=4x$ și $\displaystyle (63)'=0$ .
$\displaystyle f'(x)=4x^{3}-4x$
Dăm factor comun pe $\displaystyle 4x$ în expresia $\displaystyle 4x^3-4x$ , deoarece $\displaystyle 4x^3=4x\cdot x^2$ și $\displaystyle 4x=4x\cdot 1$ .
$\displaystyle f'(x)=4x\left(x^{2}-1\right)$
Descompunem paranteza folosind formula diferenței de pătrate, $\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ , cu $\displaystyle a=x$ și $\displaystyle b=1$ : $\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=4x\left(x^{2}-1\right)=4x(x-1)(x+1)$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^4-2x^2-63

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=2

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Ecuația tangentei la graficul lui $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$ este $\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)$ .
$\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)$
Calculăm $\displaystyle f(2)=2^4-2\cdot 2^2-63=16-8-63$ .
$\displaystyle f(2)=-55$
Derivăm funcția: $\displaystyle f'(x)=4x^3-4x$ .
$\displaystyle f'(x)=4x^{3}-4x$
Înlocuim $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle f'(2)=4\cdot 2^3-4\cdot 2=32-8$ .
$\displaystyle f'(2)=24$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle y-(-55)=24(x-2)$ , adică $\displaystyle y+55=24x-48$ .
$\displaystyle y+55=24(x-2)$
Izolăm $\displaystyle y$ : $\displaystyle y=24x-48-55$ , deci ecuația tangentei este $\displaystyle y=24x-103$ .
$\displaystyle y=24x-103$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^4-2x^2-63

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{x^2-9}

.

Vezi rezolvarea

Verificăm că limita are forma $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ . Calculăm $\displaystyle f(3)=81-18-63=0$ , iar numitorul $\displaystyle x^2-9$ este tot $\displaystyle 0$ pentru $\displaystyle x=3$ . Putem deci aplica regula lui l'Hospital.
$\displaystyle f(3)=0$ , $\displaystyle \quad 3^2-9=0$
Calculăm derivata lui $\displaystyle f$ și o descompunem în factori: $\displaystyle f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$ .
$\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1)$
Aplicăm regula lui l'Hospital: derivăm separat numărătorul și numitorul. Derivata lui $\displaystyle x^2-9$ este $\displaystyle 2x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{f(x)}{x^2-9}=\lim_{x\to 3}\frac{f'(x)}{2x}$
Înlocuim $\displaystyle f'(x)$ cu forma factorizată și simplificăm prin $\displaystyle x$ , care este nenul în apropierea lui $\displaystyle 3$ . Rămâne $\displaystyle 2(x-1)(x+1)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{4x(x-1)(x+1)}{2x}=\lim_{x\to 3}2(x-1)(x+1)$
Înlocuim $\displaystyle x=3$ : $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 4=16$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 3}2(x-1)(x+1)=2\cdot 2\cdot 4=16$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{x+1}

și

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{(x+1)^2}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle F

este o primitivă a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru a arăta că $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ , trebuie să verificăm că $\displaystyle F$ este derivabilă pe acest interval și că $\displaystyle F'(x)=f(x)$ . Funcția $\displaystyle F$ este un raport de funcții derivabile, iar numitorul $\displaystyle x+1$ este nenul pe $\displaystyle (-1,+\infty)$ , deci $\displaystyle F$ este derivabilă.
$\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1}\text{ derivabilă pe }(-1,+\infty)$
Aplicăm formula de derivare a câtului, $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , cu $\displaystyle u=x^{2}$ și $\displaystyle v=x+1$ , deci $\displaystyle u'=2x$ și $\displaystyle v'=1$ .
$\displaystyle F'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^{2}\cdot 1}{(x+1)^{2}}$
Desfacem parantezele de la numărător și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 2x^{2}+2x-x^{2}=x^{2}+2x$ .
$\displaystyle F'(x)=\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}$
Adunăm și scădem $\displaystyle 1$ la numărător, astfel încât să apară pătratul perfect $\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$ .
$\displaystyle F'(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1-1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}$
Separăm fracția în două și simplificăm prima parte. Obținem exact $\displaystyle f(x)$ , pentru orice $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ . Deci $\displaystyle F$ este derivabilă și $\displaystyle F'=f$ , adică $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ .
$\displaystyle F'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{x+1}

și

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{(x+1)^2}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$ , fapt stabilit la punctul a. Putem verifica rapid: $\displaystyle F'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^{2}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}=1-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$ , adică exact $\displaystyle f(x)$ .
$\displaystyle F'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=f(x)$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=F(x)\Big|_0^1=F(1)-F(0)$ .
$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=F(x)\Big|_0^1=F(1)-F(0)$
Calculăm valorile: $\displaystyle F(1)=\dfrac{1^{2}}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ , iar $\displaystyle F(0)=\dfrac{0^{2}}{0+1}=0$ .
$\displaystyle F(1)=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \quad F(0)=0$
Înlocuim în formulă și obținem răspunsul final: $\displaystyle F(1)-F(0)=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{x+1}

și

\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{(x+1)^2}

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a>1

, pentru care

\displaystyle \int_1^a\frac{f(x)}{F(x)}\,dx=\ln\frac{8}{3}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle F$ cu formula de derivare a câtului: $\displaystyle F'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^{2}}{(x+1)^{2}}$ .
$\displaystyle F'(x)=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}$
Scriem numărătorul ca $\displaystyle x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1$ și împărțim la $\displaystyle (x+1)^{2}$ . Observăm că $\displaystyle F'=f$ .
$\displaystyle F'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=f(x)$
Deci integrala dată are forma $\displaystyle \dfrac{F'}{F}$ . Pentru $\displaystyle x\ge 1$ avem $\displaystyle F(x)>0$ , deci primitiva este $\displaystyle \ln F(x)$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_1^a\frac{f(x)}{F(x)}\,dx=\int_1^a\frac{F'(x)}{F(x)}\,dx=\ln(F(x))\Big|_1^a=\ln(F(a))-\ln(F(1))$
Calculăm $\displaystyle F(1)=\dfrac{1^{2}}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ și înlocuim în egalitatea din enunț.
$\displaystyle \ln(F(a))-\ln\frac{1}{2}=\ln\frac{8}{3}$
Mutăm $\displaystyle \ln\dfrac{1}{2}$ în membrul drept: $\displaystyle \ln(F(a))=\ln\dfrac{8}{3}+\ln\dfrac{1}{2}=\ln\left(\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\right)$ .
$\displaystyle \ln(F(a))=\ln\frac{4}{3}$
Deoarece funcția $\displaystyle \ln$ este injectivă, rezultă $\displaystyle F(a)=\dfrac{4}{3}$ , adică $\displaystyle \dfrac{a^{2}}{a+1}=\dfrac{4}{3}$ . Înmulțim cu $\displaystyle 3(a+1)$ și obținem o ecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle 3a^{2}-4a-4=0$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle \Delta=16+48=64$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{4\pm 8}{6}$ , adică $\displaystyle a=2$ sau $\displaystyle a=-\dfrac{2}{3}$ . Cum $\displaystyle a>1$ , rămâne doar $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani